对数留数与辐角原理

周线C变成w平面上的闭曲线,由于
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w 1
( z)
f ( z)
1,
故在圆周 w 1 1 的内部, 而原点w 0不在
此圆周的内部, 即w不会绕原点w 0绕行, 故 ( z)
f ( z) ) 0,
C arg(1
即 arg( f ( z) ( z)) arg f ( z) C C
a0 at 1 at 1 an at f ( z) , 由Rouche定理, P( z)与f ( z)在 z 1 内有相同零点个数,即n t个.
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eR 例5 如果 a n , 试证方程 R
ez az n (n为正整数) 在圆 z R内恰有n个根.




于是P( z)的零点全在左半平面 Re z 0内的充要条件是
N ( f , CR ) 0 R成立, R arg P( z ) 故 0 Rlim
lim R arg P( z ) lim ( R R ) arg P(iy )
R R
即
N ( f , C) N ( f , C).
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内有4个根. 如 P( z) z7 5z 4 z 2 z在 z 1
证明
令f ( z) 5z , ( z) z z z,
4 7 2
则f ( z)及 ( z)在 z平面解析,
且在 z 1上
( z) z z z 4
9 10 '
f ( z)在 z 4内部解析, 有10个零点,
1 {N ( f , C ) P( f , C )} 10 1 {10 0} 1. 10
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二、辐角原理
1. 对数留数的几何意义 围线C : z (t ) t ( ) ( ),
在虚轴上无零点, 试证它的零点全在左半平面 Re Z 0 内的充要条件是
arg P(iy) n .
)
即当点z自下而上沿虚轴从点走向点的过程中, P( z ) n 绕原点转 圈. 2
15
证明
令周线CR由
R : z Re
i
2 2 及虚轴上从Ri到 Ri的有向线段所构成,
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2．辐角原理
在定理6.9条件下, f ( z )在周线C内部的零点 个数与极点个数之差, 等于当z沿C正向绕行一周 后, arg f ( z )的改变量C arg f ( z )除以2 , 即 1 N ( f , C ) P( f , C ) C arg f ( z ). 2
注 若f ( z)在C上及C内解析, 且f ( z)在C上不为零, 则 1 N ( f , C) C arg f ( z ). 2
而
n R arg P( z) R arg a0 z (1 g( z))
R arg a0 z n
R arg(1 g ( z))
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a1 z n1 an 其中g ( z ) , n a0 z
在R 时g ( z)沿R一致趋于零.
所以
R
lim R arg a0 z n (1 g ( z )) 0,
证明 令 f ( z) az n , ( z) e z ,
2 2 2 0 6 .
则
C arg f ( z ) 6 3 N ( f , C) 2 2
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注 若定理6.9条件(2)减弱为" f ( z )连续到边界C,
且沿C, f ( z ) 0", 则辐解原理仍成立
在C内取C ' , C '内含f ( z)在C内部全部零点和极点, 则
' n '
n1
4
其中h( z)在点b的邻域内解析, 且h(b) 0.于是
' mh ( z ) h ( z) ' f ( z) , m1 m ( z b) ( z b) f ( z ) m h' ( z ) ; f ( z) z a h( z ) ' h ( z) 由于 在点b的邻域内解析, h( z ) f ( z ) f ( z ) s[ ] m. 故b必为 的一阶极点,且 Re z b f ( z) f ( z)
经变换w f ( z)的像为 : w f ( (t )) (t ) t ( ) ( );
C
z

w f ( z )

. w f (z) Arg w
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f ( z ) 1 dz C arg f ( z ). f ( z) 2 C 1 1 ' (t ) 1 f ( (t )) ' dt ( t )dt (t ) 2 i 2 π i 2πi f ( (t )) 1 2πi
另一方面又有
R arg a0 z n
故
y ( )
arg P(iy) n .
[ , ] 2 2

arg a0 Rnein
n ,
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三、儒歇(Rouche)定理
1定理6.10 设C是一条周线,函数f ( z) 及 ( z) 满足条件
(1) 它们在C的内部均解析, 且连续到C; (2) 在C上 f ( z) ( z) ; 则函数f ( z )与f ( z ) ( z )在C的内部有同样多(几阶
则P( z)在单位圆 z 1 内有n t个零点. t 取 f ( z ) a z 证明 t , ( z) a0 z n at 1zt 1 at 1zt 1 an , 则在 z 1上有 ( z ) a0 z n at 1 z t 1 at 1 z t 1 an
nk (m j )
k 1
p
q
j 1
N ( f , C ) P( f , C ).
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1 z9 dz. 例1 计算积分 10 2 i z 4 z 1
解 设f ( z ) z10 1,
则f ( z)在 z 4上解析且不等于零,
故
1 1 ( z 1) 1 z dz dz 10 10 z 4 10 2 i z 4 z 1 2 i z 1
dw w
1 由于 沿任意一条围绕原点的周线正向积分为2 i, w 负向积分为 2 i, 任意一不围绕原点的周线积分为0. 1 dw 从而 为围绕原点的正向圈数与负向圈 2 i w 数的代数和 绕原点的圈数.
用C arg f ( z)表示当z沿C一周时f ( z)的辐解改变量, 则
算几个 )的零点,即 N ( f , C ) N ( f , C ). 证明 由假设知,f ( z)及f ( z) ( z)在C内解析, 且连续到C , 且在C 上满足条件 f ( z) g ( z) ; 故在C上有 f ( z) ( z) f ( z) ( z) 0, f ( z) 0,
的零点个数 的极点个数
注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.
6
证明 由第五章习题(二)14可知,
f ( z)在C的内部至多只有有限个零点和极点, 设ak (k 1, 2, , p)为f ( z )在C的内部不同
零点, 其阶相应地为nk ; 设b j ( j 1, 2, , q)为f ( z )在C的内部不同
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从而f ( z)及f ( z) ( z)满足定理6.9及注条件, 由于这两个函数在C内解析, 于是由辐解原理
1 C arg( f ( z ) ( z )) N ( f , C ), 2 1 C arg f ( z ) N ( f , C ); 2
而 ( z) ), C arg( f ( z) ( z)) C arg f ( z) C arg(1 f ( z) ( z) 将z平面上的 由条件(2), 当z沿C变动时, w 1 f ( z)
2
在C内孤立奇点处的留数的代数和;
f ( z ) 的 2. 引理6.4 (1) 设a为f ( z )的n阶零点, 则a必为 f ( z) f ( z ) s[ ] n; 一阶极点, 并且 Re z a f ( z) f ( z ) (2) 设b为f ( z )的m阶极点, 则b必为 的 f ( z) f ( z ) ] m. 一阶极点, 并且 Re s[ z b f ( z)
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例2 设f ( z) ( z 1)( z 2) ( z 4)
2
C: z 3
试验证辐解原理. 解
f ( z) z平面解析, 且在C内有 一阶零点z 1, 二阶零点z 2, N ( f , C ) 3, 当z沿C转一周时,有
2 arg( z 1) arg( z 2) C arg( z 4) C arg f ( z) C C
N ( f , C ) P( f , C )
N ( f , C ' ) P( f , C ' )

C ' arg f ( z ) 2
C arg f ( z ) 2
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例3 设n次多项式
n
P( z ) a0 z a1 z
y (
n 1

an
(a0 0)
7
2

f ( z ) 5 z 5,
4
N ( P, C ) N ( f , C ) 4.
一般情况下有
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例4 设n次多项式 a0 z n a1 z n1 an1 z an 0 (a0 0)
符合条件 a a t 0
at 1 at 1 an
由引理6.4可知,
极点, 其阶相应地为m j ;
f ( z ) 在C的内部及C上除去在C内部有一阶极 f ( z) , p)及b j ( j 1, 2, , q)外均解析,
7
点ak (k 1, 2,
故由留数定理及引理6.4得,
1 2 i
C

p q f ( z ) f ( z ) f ( z) s[ ] Re s[ ] dz Re z ak z b j f ( z) f ( z) f ( z) k 1 j 1
证明 (1) 若a为f ( z )的n阶零点, 则在点a的邻域内有
f ( z) ( z a)n g ( z),
其中g ( z)在点a的邻域内解析, 且于g (a) 0.于是
3
f ( z) n( z a) g ( z) ( z a) g ( z), f ( z ) n g ' ( z) ; f ( z) z a g ( z) ' g ( z) 由于 在点a的邻域内解析, g ( z) f ( z ) f ( z ) 故a必为 的一阶极点,且 Re s[ ] n. z a f ( z) f ( z) (2) 若b为f ( z)的m阶极点, 则在点b的邻域内有 h( z ) f ( z) , m ( z b)
第三节 辐角原理及应用
Department of Mathematics
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一、对数留数
1. 定义 具有下列形式的积分:
1 f ( z ) dz 2 i f ( z )
称为f ( z)关于曲线的对数留数.
f ( z ) 说明: 1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数 f (z) f ( z ) 2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点. f (z)
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3. 定理6.9 设C是一条周线, f ( z)符合条件
(1) f ( z)在C的内部是亚纯的,
(2) f ( z)在C上解析且不为零, ( z ) 1 f 则有 dz N ( f , C ) P( f , C ). 2 i C f ( z ) f ( z )在C内 f ( z )在C内