对数留数与辐角原理
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
幅角基本知识及其应用
f (z) z a g(z)
g(z)
由此，a为 f '(z) 一阶极点且Res[ f '(z) ，a] = n。
f (z)
f (z)
4
引例2 设b为f (z)的m阶零点，证明：b 为 f '(z) 一阶极点
f (z) 且Res[ f '(z) ，a] = -m。
f (z)
证明 b为f(z)的m级极点，则在b的去心邻域内有
2 i
d ln
C
f (z)
1
2 i
[ dln
C
|
f
(z)
| i d arg
C
f
(z)]
C arg f (z)
2
7
二、幅角原理
定理2 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
N( f ,C) P( f ,C) C arg f (z)
零点数为： N f ,C 3
6
定理1 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
另一dz f (z)
N( f ,C) P(
f ,C)
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
1
2 i
d
C
dz
[lnf
(
z)]dz
1
arg P iy n
y( )
9
10
三、儒歇（Rouché）定理
z在C上时有：(z) f (z)
11
儒歇定理
(z) f (z)
注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同
复变函数的留数定理与辐角原理
复变函数的留数定理与辐角原理复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以分为解析函数和非解析函数两类。
而留数定理（Residue theorem）和辐角原理（Arg principle）是复变函数理论中重要的两个定理，它们在解析函数的研究和应用中具有重要的作用。
一、复变函数的留数定理留数定理是由法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）在19世纪末提出的，它给出了计算复变函数沿封闭曲线的积分的方法。
留数定理的核心思想是：对于在圆盘上解析的函数，它的积分仅与它在圆盘内的奇点（亦即解析函数的不可导点）有关。
设f(z)是圆盘D内的解析函数，z_0是D内的孤立奇点，那么f(z)在z_0处的留数（residue）可以通过下式计算得到：Res(f, z_0) = (1/2πi) ∮f(z)dz其中，∮表示沿着封闭曲线的积分。
这个公式可以方便地计算复杂数学问题中的积分，特别是在计算围道积分时非常有用。
二、复变函数的辐角原理辐角原理是由奥地利数学家黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪中提出的，它描述了复变函数在解析域内辐角变化的性质。
辐角原理的核心思想是：如果在解析域内有一个点z_0，使得f(z_0) = 0，则f(z)在z_0附近的辐角将增加或减少2π的整数倍。
具体而言，对于在解析域Ω内解析的函数f(z)，假设z_0是f(z)的零点，那么f(z)在z_0附近的辐角变化等于z从z_0沿着封闭曲线C绕行一周的辐角变化：Δα = Arg(f(z)) = (1/2π) Δθ其中，Δα表示辐角的变化量，Δθ表示z从z_0沿着C绕行一周所对应的角度变化量。
迄今为止，辐角原理在解析函数的研究和应用领域起到了重要作用。
它为复变函数的数学分析提供了有力的工具和方法。
综上所述，复变函数的留数定理和辐角原理是复变函数理论中的两个重要定理。
留数定理利用留数的概念，提供了计算复变函数沿封闭曲线积分的方法；辐角原理研究解析函数的辐角特性，描述了函数在零点附近的辐角变化规律。
复变函数-幅角原理及其应用
f (z) z a g(z)
g(z)
由此，a为 f '(z) 一阶极点且Res[ f '(z) ，a] = n。
f (z)
f (z)
4
引例2 设b为f (z)的m阶零点，证明：b 为 f '(z) 一阶极点
f (z) 且Res[ f '(z) ，a] = -m。
f (z)
证明 b为f(z)的m级极点，则在b的去心邻域内有
零点数为： N f ,C 3
6
定理1 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
另一方面
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
N( f ,C) P(
f ,C)
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
1
2 i
dCdz来自[lnf(z)]dz
1
arg P iy n
y( Z )
9
10
三、儒歇（Rouché）定理
z在C上时有：(z) f (z)
11
儒歇定理
(z) f (z)
注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同
零点已知的解析函数比较，推出关于零点的一些信息。
例4 证明多项式 g(z) z4 3z+1 的全部4个零点都位 于 z 2 内。 例5 证明: 满足条件 at | a0 | | a1 | L | at1 | | at1 | | an|
4
8
在自动控制中，一些技术的稳定性归结为要求常系 数线性微分方程解的稳定性，而这类问题要求该方 程的特征多项式
P z a0zn a1zn1 L an
复变函数--幅角原理
§3 辐角原理及其应用一、教学目标或要求：掌握幅角原理的准确叙述及其应用二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：对数留数 幅角原理 例题 重点：幅角原理 例题 难点: 幅角原理 例题 三、教学手段与方法： 讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习： 11－14§3 辐角原理及其应用1．对数留数留数定理的另一个应用的考虑形如 的复变函数在极点处的留数,以之导出辐角原理,提供确定解析函数零点个数的一个有效工具。
积分dzz f z f i C ⎰)()('21π称为)(z f 的对数留数。
引理 6.4（1）设为的级零点，则必为的一级极点，且 ；（2）设为的级极点，则必为的一级极点，且 。
证 （1）若设为的级零点，则在的邻域内，，其中在的邻域内解析,且,于是, 从而。
由于在是邻域内解析,故可在的邻域内展开成Taylor级数,必定不含的负幂项，因此必为的一级极点，且。
（2）设为的级极点，则必为的级零点，由（1）的结论,必为的一级极点，且。
定理6.9设为一条围线，满足条件：（1）在的内部除可能有极点外是解析的；（2）在上解析且不为零，则，其中与分别表示在内部的零点与极点的个数(一个级零点算作个零点，一个级极点算作个极点)。
证由第五章(二)习题14知,在内部至多只有有限个零点和极点。
设为在内部的不同零点，其级相应地为,为在内部的不同极点,其级相应为。
根据引理 6.4，、都是的一级极点，于是，在内部及上除去、，外均解析，故由留数定理2. 辐角原理辐角原理 在定理6.9的条件下，函数)(z f 在C 内部的零点个数与极点个数之差，等于当z 沿C 之正向绕行一周后的改变量)(arg z f C ∆除以π2，即π2)(arg ),(),(z f C f P C f N C ∆=- (6.27)特别地，如果在围线C 上及C 之内部均解析，且在C 上不为零，则π2)(arg ),(z f C f N C ∆=(6.28)证（大意）根据定理6.9，注 定理6.9（2）可减弱为“连续到边界,且沿,”，围线也可以是复围线。
高考数学知识点速记留数定理与辐角原理
高考数学知识点速记留数定理与辐角原理在高考数学的众多知识点中，留数定理与辐角原理无疑是较为复杂和抽象的部分。
但只要我们掌握了其核心概念和方法，就能在解题中如鱼得水。
首先，我们来了解一下什么是留数。
留数是复变函数中的一个重要概念。
对于一个在孤立奇点处解析的函数，其留数可以通过特定的公式计算得出。
留数在计算复变函数的积分时有着极其重要的作用。
留数定理则是联系函数在孤立奇点处的留数与沿闭合曲线的积分之间的重要定理。
简单来说，如果我们有一个在某个区域内除了有限个孤立奇点外处处解析的函数，那么沿该区域内的一条闭合曲线的积分，就等于函数在这些孤立奇点处的留数之和乘以2πi 。
这个定理为我们计算一些复杂的积分提供了非常有效的方法。
为了更好地理解留数定理，我们来看一个例子。
假设我们要求函数f(z) ＝ 1 ／（z^2 ＋ 1) 在｜z| ＝ 2 上的积分。
首先，我们需要求出函数的孤立奇点。
通过求解方程 z^2 ＋ 1 ＝ 0 ，得到 z ＝ ±i 。
接下来，计算这两个奇点处的留数。
对于 z ＝ i ，留数为 1 ／（2i) ；对于 z ＝i ，留数为－1 ／（2i) 。
然后根据留数定理，沿｜z| ＝ 2 的积分就等于2πi × 1 ／（2i) 1 ／（2i) ＝ 0 。
接下来，我们再谈谈辐角原理。
辐角原理主要涉及到函数的零点和极点与函数沿闭合曲线的辐角变化之间的关系。
具体来说，如果函数 f(z) 在某个区域内除了有限个零点和极点外处处解析，并且闭合曲线 C 不经过这些零点和极点，那么函数 f(z) 沿 C的辐角变化等于2π乘以函数在 C 内部的零点个数减去极点个数。
比如说，对于函数 f(z) ＝（z 1)（z 2) ／（z 3)（z 4) ，我们要计算它沿｜z| ＝ 5 的辐角变化。
首先求出函数的零点为 z ＝ 1 和 z ＝ 2 ，极点为 z ＝ 3 和 z ＝ 4 。
然后判断这些点与｜z| ＝ 5 的关系，发现它们都在｜z| ＝ 5 的内部。
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
复变函数课件54对数留数与辐角原理
掌握辐角原理在解决复变函数问题中的 应用，如求解复数方程、求解积分等。
通过习题练习，加深对辐角原理的理解 和应用。
详细描述
理解辐角原理的基本概念，掌握辐角原 理的表述形式。
感谢观看
THANKS
VS
详细描述
计算留数的方法主要有两种。直接法是通 过求函数在奇点的极限来确定留数。这种 方法适用于能够直接求极限的情况。间接 法是通过变形将函数表示为另一种形式， 使得留数的计算更加简便。这种方法适用 于难以直接求极限的情况。
留数的应用
总结词
留数在复变函数中有着广泛的应用，例如在解决定积 分、全纯函数的展开式等问题中都有重要的应用。
辐角原理的证明
通过反证法、数学归纳法等数学方法，证明辐 角原理的正确性。
辐角原理的应用实例
通过具体实例，如解析函数的性质、积分公式的推导等，展示辐角原理的应用 方法和效果。
04
习题与解答
对数函数习题
详细描述
总结词：理解对数函数的定 义和性质
01
计算复数对的对数值，理解
对数函数的定义域和值域。
02
常用对数
以 10 为底的对数，记作 lg(x)，其特 点是易于计算和比较大小。
对数函数的图像与性质
图像
对数函数的图像通常是一条单调递增或递减的曲线，其形状取决于底数的大小。
性质
对数函数具有单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有对数的运算性质和换底公式等特殊性质。
02
留数
留数的定义与性质
总结词
留数是复变函数中的一个重要概念，它描述了函数在奇点附近的性态。
详细描述
留数是复变函数中的一个重要概念，用于描述函数在奇点附近的性态。具体来说，对于复平面上的奇点，如果函 数在该点的极限存在且有限，则称该点的留数为该极限值。留数具有一些重要的性质，例如，如果函数在奇点的 留数不为零，则函数在该点的奇点一定是极点。
6.5辐角原理与儒歇定理
周线C R是右半周线 π π iθ ΓR : z = Re (− ≤ θ ≤ ) 2 2
y
Ri
CR
R
x
ΓR
∆y(−R
arg P(iy) = ∆ΓR arg P(z) + R)
+ R)
arg P(iy)
∆y(−R
= ∆ΓR arg a0z +∆ΓR arg[1+ g(z)] = nπ + ∆Γ arg[1 + g( z)]
1 f ′(z) ∫C f (z) dz = N( f ,C) − P( f , C) 2π i
∆C arg f (z) ∴ N( f , C) − P( f , C) = 2π
辐角原理 设是C一条周线，f (z)符合条件： (1)在C的内部是亚纯(半纯)的； （2）f (z)连续到C且在C上不为零.
由零点的孤立性，故存在δ > 0,使在圆周 C :| z − z0 |= δ 上 f ( z) − f ( z0 ) ≠ 0
在C内部f (z) − f (z0 ) 及f ′(z)无异于z0的零点.
使0 <| a |< m, 则在C上| f (z) − f (z0 )|>| −a |> 0 f (z) − f (z0 ) − a与f (z) − f (z0 )在C内 有相同个数零点， 所以f (z) − f (z0 ) − a在C内有n(n ≥ 2)个零点. 这些零点不同于z0 , 且均为单零点，
n
R→+∞
+∞)
arg P(iy) = ∆ΓR arg P(z) =∆ΓR arga0z [1+ g(z)] + R)
n
lim ∆ Γ R arg[1 + g( z )] = 0
对数留数
设f(z)在c内有q个不同的极点:
bj ( j 1,2,3,...q )
3
其级数相应的为m j ，那么在 bj
的去心邻域0 z bj | '内，有 |
f (z )
1 (z b j )
mj
(z )
其中 (z )在|z bj | '内解析，且
14
与c内解析，且在c 上满足条件|f (z )|| g (z )|
则f (z )和f (z ) g (z )在c内部有相同的零点个数。
证 因为在简单闭区线c 上有|f (z )|| g (z )| 0 所以 f (z ) 0,|f (z ) g (z )| |f (z ) g (z )| 0
f '(z ) bj 是 的1级极点，且留数为 mj f (z )
纵上所述及留数定理，得
1 2 i
p k 1 p q f '(z ) f '(z ) f '(z ) f (z ) dz Re s[ f (z ) , ak ] Re s[ f (z ) ,bj ] k 1 j 1 c q
求方程z 4 6z 3 0在圆|z | 1 内 例12
与圆环域 z | 2 1 | 内根的个数。
12
解
当|z|=1时，令
f1(z ) 6z , g1(z ) z 3
4
|f1(z )||6z | 6 4 z 4 3||g1(z )| |
1 N c arg f (z ) 2
即可得辐角原理。 定理7 （辐角原理）如果f(z) 在简单闭区线c上 与c的内部解析，且在c上不等于零，那末f(z)
辐角原理及其应用
解 设f (z) z10 1, 则f (z)在 z 4上解析且不等于零,
f (z)在 z 4内部解析,有10个零点,
故 1
2 i
z
4
z9 z10 1
dz
1 10
1
2 i
(z10 1)' dz z 4 z10 1
1
{N ( f ,C) P( f ,C)}
10
1 {10 0} 1. 10
f (z) 的一阶极点,且 f (z)
Re s[ za
f (z)] f (z)
n.
(2) 若b为f (z)的m阶极点,则在点b的邻域内有
f
(z)
h(z) (z b)m
,
3
f
(z)
h(z) (z b)m
,
其中h(z)在点b的邻域内解析,且h(b) 0.于是
f
'(z)
mh( z ) (z b)m1
内的充要条件是 y( ) arg P(iy) n.
即当点z自下而上沿虚轴从点走向点的过程中, P(z) 绕原点转 n 圈.
2
14
证明 令周线CR由
R : z Rei
2
2
y
及虚轴上从Ri到 Ri的有向线段所构成,
Ñ 1 2πi
f ((t)) ' (t)dt f ((t))
1 2πi
' (t)
dt
(t)
1
2 i
dw w
由于 1 沿任意一条围绕原点的周线正向积分为2 i,
w
负向积分为 2 i,任意一不围绕原点的周线积分为0.
从而
1
2
i
Ñ
dw为围绕原点的正向圈数与负向圈 w
辐角的原理及应用
辐角的原理及应用什么是辐角辐角也被称为幅角，是指向量与参考轴之间的角度。
在数学中，辐角常用于描述复数的相位，表示复数与实轴之间的夹角。
辐角的原理辐角的计算可以使用三角函数来进行。
以复数z=a+bi为例，其中a为实部，b 为虚部。
我们可以使用反正切函数来计算辐角，公式如下：arg(z) = atan(b/a)其中，atan为反正切函数，b/a表示复数的虚部与实部之比。
辐角的计算结果为弧度制。
在计算机中，通常使用math库中的atan2函数来计算辐角，该函数可以处理实部为0的情况。
辐角的应用辐角在各个领域有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 电工学在电工学中，辐角用于描述交流电的相位差。
交流电的正弦波可以表示为A*sin(ωt+φ)，其中A为电流的幅值，ω为频率，t为时间，φ为辐角。
辐角决定了交流电的相位，从而影响电压、电流的波形以及电路的特性。
2. 信号处理在信号处理中，辐角用于描述频谱中不同频率成分的相位差。
相位差反映了不同频率成分之间的时间延迟关系，是分析和合成信号的重要参数之一。
辐角的变化可以反映信号的频率变化情况。
3. 几何学在几何学中，辐角可以用于描述向量之间的夹角。
例如，两个向量的辐角为0度时，表示它们方向相同；辐角为90度时，表示它们相互垂直。
4. 复数运算辐角在复数运算中有着重要的作用。
复数乘法中，两个复数的辐角相加，模长相乘，可以得到乘积的辐角。
复数的辐角也可以用于求解复数的幅值和幂运算。
5. 控制系统在控制系统中，辐角可以用于描述系统的相位相位辐角将直接影响系统的稳定性和性能。
通过对辐角进行调整，可以实现控制系统对信号的滤波、补偿和调节。
总结辐角作为描述向量相对于参考轴的角度，具有广泛的应用。
它在电工学、信号处理、几何学、复数运算和控制系统等领域中起着重要的作用。
了解辐角的原理和应用，有助于深入理解这个概念，并能应用于实际问题的解决。
复变函数----5
点
4
z0是m级极点
f
z
gz ， z-z0 m
其中g z在z0解析，且g z0 0。
证: 上述讨论.
第 一 节
f
z
gz z z0 m
,而g
z
在z0解析
孤 立
f
z
z
1 z0
m
c0 c1 z z0 c2 z z0 2
R
z
1
z0 m
g
z
节
z
z0时，f
1
z
z
z0
m
g
1
z
z
z0
m
z
孤
立
显然 z在z0点解析，且 z0 0
奇
点
而 lim z z0
f
1
z
0
只要令
f
1
z
0，则z0即是
f
1
z
的m级零点
第 一
例7
判别
sin3
1
z
奇
点
t 0是 t的m级极点 z 是f z的m级极点
3 若1式中含有无穷多正幂项
t 0是 t的本性奇点 z 是f z的本性奇点
第
一 此外，与有限奇点类似:
孤
立 奇
zz0 R
T 展开
z z0
m c0 c1
z z0
留数及其应用对数留数与辐角原理
以(z - z0 )m 乘上式两边, 得 (z - z0 )m f (z) c-m c-m1(z - z0 ) c-1(z - z0 )m-1
c0(z - z0 )m
两边求m - 1阶导数得
d m-1 dzm-1
{(z
-
z0 )m
f
(z)}
(m
- 1)!c-1
m!(z
-
z0 )
d m-1
1
d m-1
Re
s[
f
( z ),
z0 ]
(m
-
1)!
lim
z z0
dz m -1
(z - z0 )m
f (z)
(5)
证明：由条件
f (z) c-m (z - z0 )-m c-2(z - z0 )-2 c-1(z - z0 )-1 c0 c1(z - z0 ) , (c-m 0)
f
( z )]
lim
z0
-
e-z
-1
例
函数
f(z)
1
e iz z
2在极点处的留数
解：因为函数 且
f (z)
e iz 1 z2
,有两个一阶极点
z
i
，
P(z) 1 eiz , Q'(z) 2z
有Res[ f z, i] eiz
- i
2z zi
2e
Res[ f z,-i] eiz
i e.
2z z-i 2
2z
5
-
1 10
Res[
f
z ,2]
lim( z
z2
-
2)
f
(z)
lim
z2
第5章：留数理论及其应用
[
]
16
四、本性奇点处留数的计算 对本性奇点或奇性不明的奇点，没有一般的公式， 只能作Laurent展开，然后取负一次幂的系数！当 极点的阶数较高时，也直接作Laurent展开求留数。 例
cos x = ( z + z ) / 2; sin x = ( z − z ) /( 2i ); dx = dz /(iz )
21
−1
−1
原积分变成
z + z −1 z − z −1 dz , I= R iz | z |=1 2 2 i
∫
• 0 y
• 2π
x
z平面 1 o • x
例题：计算积分
I=
∫
2π
0
cos 2ϑ dϑ , (0 < p < 1). 2 1 − 2 p cosϑ + p
分析：因 1-2pcosϑ+p2=(1-p)2+2p(1-cosϑ)，当0<p<1, 在 0≤ϑ ≤2π, 分母大于0， 因而在实轴上无零点。
22
cos 2ϑ = ( e 2iϑ + e −2iϑ ) / 2 = ( z 2 + z −2 ) / 2
1 Resf ( z0 ) ≡ f ( z )dz ∫ 2πi C
为函数f(z)在奇点z0处数f(z)在奇点 z0处作Laurent展开
f ( z) =
n = −∞
∑
∞
an ( z − bk ) n
利用公式
0, (C 不包围z0 ) 1 dz = ∫ 2πi C z − z0 1, (C 包 围 z0 ) 1 n ( z − z ) 0 dz = 0. (n ≠ −1) ∫ 2πi C
第六章 留数理论及其应用
例题6.5
计算积分： e
1 z2 z 1
dz
分析：z 0是本质奇点，在该点的 去心领域 内有洛朗展式：
1
e
z2
1 1 1 1 2 4 z 2! z
z 1
e z dz 2 i Re s f ( z ) 2 i.c1 0
2
1
z 0
由此例可以看出可去奇点处留数为零，但是留数为零 的点不一定是可去奇点
( z a) f ( z ) (a) Re s f ( z ) lim z a z a (n 1)! (n 1)!
( n 1) n
( n 1)
1 ( z) ( n1) (a) 证明： s f ( z ) Re ( z a)n dz (n 1)! z a 2i
2
再设z u, 注意当z绕一周，u在上面绕两周
2du 于是I 2 i (u 2 6u 1) 4 1 2i. Re s 2 2 i u 3 8 u 6u 1
详细参考P236--237
例题6.10 计算积分：I
0
cos mx dx 5 4 cos x
( n 2 )( n 1) 2
1 1 1 f( ) 2 2 n t t t (1 t )(1 2t ) (1 nt)
以 t 0 为一级极点。
所以
1 1 1 1 Re s f ( ) 2 lim t f ( ) 2 1 t 0 t 0 t t t t
I 2i ( Re s f ( z )) 2i.
Re s f ( z ) lim z1 f ( z )
z 0 z 0
new 第四节 幅角原理和Rouche定理
4
则当 z = 1 时,
( z ) = z + 6 ≤ z + 6 = 7 < 8z = f (z )
定理, 由 Rouche 定理,
N ( z 4 8 z + 6, z = 1) = N ( 8 z , z = 1) = 1.
(2) (2)取区域 D : z < 3 ,其边界为 z = 3 ,
1 1 △L [ Lnf ( z )] = △L [ ln f ( z ) + i arg f ( z )] = 2π i 2π i
其中 △L [ Lnf ( z )] 表示当 z 沿 L 走一圈时 Lnf ( z ) 获得的增 可从任一单值分支开始. 量,这里 Lnf ( z ) 可从任一单值分支开始.
f ( z ) = a0 z n , ( z ) = a1 z n 1 + + an , 证明: 证明 记 ( z ) n ak 1 ≤∑ k 则 P ( z ) = f ( z ) + ( z ) , 且 f ( z ) k =1 a0 z ,
ak 的邻域， f ( z ) 可表示为 f ( z ) = ( z ak ) nk k ( z ), 可表示为 在 的邻域，
其中 k ( z ) 在 ak 解析且 k ( ak ) ≠ 0 ,
′ f ′( z ) = nk ( z ak ) nk 1 k ( z ) + ( z ak ) nk k ( z ), 又
下证
为此, 为此,令
(z) △C arg(1 + ) = 0. f (z) (z)
w =1+ f (z) ,
(z) w 1 = < 1 (z ∈ C ), 则 f (z)
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dw w
1 由于 沿任意一条围绕原点的周线正向积分为2 i, w 负向积分为 2 i, 任意一不围绕原点的周线积分为0. 1 dw 从而 为围绕原点的正向圈数与负向圈 2 i w 数的代数和 绕原点的圈数.
用C arg f ( z)表示当z沿C一周时f ( z)的辐解改变量, 则
2 2 2 0 6 .
则
C arg f ( z ) 6 3 N ( f , C) 2 2
13
注 若定理6.9条件(2)减弱为" f ( z )连续到边界C,
且沿C, f ( z ) 0", 则辐解原理仍成立
在C内取C ' , C '内含f ( z)在C内部全部零点和极点, 则
' n '
n1
4
其中h( z)在点b的邻域内解析, 且h(b) 0.于是
' mh ( z ) h ( z) ' f ( z) , m1 m ( z b) ( z b) f ( z ) m h' ( z ) ; f ( z) z a h( z ) ' h ( z) 由于 在点b的邻域内解析, h( z ) f ( z ) f ( z ) s[ ] m. 故b必为 的一阶极点,且 Re z b f ( z) f ( z)
12
例2 设f ( z) ( z 1)( z 2) ( z 4)
2
C: z 3
试验证辐解原理. 解
f ( z) z平面解析, 且在C内有 一阶零点z 1, 二阶零点z 2, N ( f , C ) 3, 当z沿C转一周时,有
2 arg( z 1) arg( z 2) C arg( z 4) C arg f ( z) C C
第三节 辐角原理及应用
Department of Mathematics
1
一、对数留数
1. 定义 具有下列形式的积分:
1 f ( z ) dz 2 i f ( z )
称为f ( z)关于曲线的对数留数.
f ( z ) 说明: 1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数 f (z) f ( z ) 2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点. f (z)
则P( z)在单位圆 z 1 内有n t个零点. t 取 f ( z ) a z 证明 t , ( z) a0 z n at 1zt 1 at 1zt 1 an , 则在 z 1上有 ( z ) a0 z n at 1 z t 1 at 1 z t 1 an
的零点个数 的极点个数
注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.
6
证明 由第五章习题(二)14可知,
f ( z)在C的内部至多只有有限个零点和极点, 设ak (k 1, 2, , p)为f ( z )在C的内部不同
零点, 其阶相应地为nk ; 设b j ( j 1, 2, , q)为f ( z )在C的内部不同
于是P( z)的零点全在左半平面 Re z 0内的充要条件是
N ( f , CR ) 0 R成立, R arg P( z ) 故 0 Rlim
lim R arg P( z ) lim ( R R ) arg P(iy )
R R
证明 令 f ( z) az n , ( z) e z ,
在虚轴上无零点, 试证它的零点全在左半平面 Re Z 0 内的充要条件是
arg P(iy) n .
)
即当点z自下而上沿虚轴从点走向点的过程中, P( z ) n 绕原点转 圈. 2
15
证明
令周线CR由
R : z Re
i
2 2 及虚轴上从Ri到 Ri的有向线段所构成,
9 10 '
f ( z)在 z 4内部解析, 有10个零点,
1 {N ( f , C ) P( f , C )} 10 1 {10 0} 1. 10
9
二、辐角原理
1. 对数留数的几何意义 围线C : z (t ) t ( ) ( ),
即
N ( f , C) N ( f , C).
20
内有4个根. 如 P( z) z7 5z 4 z 2 z在 z 1
证明
令f ( z) 5z , ( z) z z z,
4 7 2
则f ( z)及 ( z)在 z平面解析,
且在 z 1上
( z) z z z 4
周线C变成w平面上的闭曲线,由于
19
w 1
( z)
f ( z)
1,
故在圆周 w 1 1 的内部, 而原点w 0不在
此圆周的内部, 即w不会绕原点w 0绕行, 故 ( z)
f ( z) ) 0,
C arg(1
即 arg( f ( z) ( z)) arg f ( z) C C
而
n R arg P( z) R arg a0 z (1 g( z))
R arg a0 z n
R arg(1 g ( z))
16
a1 z n1 an 其中g ( z ) , n a0 z
在R 时g ( z)沿R一致趋于零.
所以
R
lim R arg a0 z n (1 g ( z )) 0,
2
在C内孤立奇点处的留数的代数和;
f ( z ) 的 2. 引理6.4 (1) 设a为f ( z )的n阶零点, 则a必为 f ( z) f ( z ) s[ ] n; 一阶极点, 并且 Re z a f ( z) f ( z ) (2) 设b为f ( z )的m阶极点, 则b必为 的 f ( z) f ( z ) ] m. 一阶极点, 并且 Re s[ z b f ( z)
算几个 )的零点,即 N ( f , C ) N ( f , C ). 证明 由假设知,f ( z)及f ( z) ( z)在C内解析, 且连续到C , 且在C 上满足条件 f ( z) g ( z) ; 故在C上有 f ( z) ( z) f ( z) ( z) 0, f ( z) 0,
N ( f , C ) P( f , C )
N ( f , C ' ) P( f , C ' )
C ' arg f ( z ) 2
C arg f ( z ) 2
14
例3 设n次多项式
n
P( z ) a0 z a1 z
y (
n 1
an
(a0 0)
另一方面又有
R arg a0 z n
故
y ( )
arg P(iy) n .
[ , ] 2 2
arg a0 Rnein
n ,
17
三、儒歇(Rouche)定理
1定理6.10 设C是一条周线,函数f ( z) 及 ( z) 满足条件
(1) 它们在C的内部均解析, 且连续到C; (2) 在C上 f ( z) ( z) ; 则函数f ( z )与f ( z ) ( z )在C的内部有同样多(几阶
经变换w f ( z)的像为 : w f ( (t )) (t ) t ( ) ( );
C
z
w f ( z )
. w f (z) Arg w
10
f ( z ) 1 dz C arg f ( z ). f ( z) 2 C 1 1 ' (t ) 1 f ( (t )) ' dt ( t )dt (t ) 2 i 2 π i 2πi f ( (t )) 1 2πi
18
从而f ( z)及f ( z) ( z)满足定理6.9及注条件, 由于这两个函数在C内解析, 于是由辐解原理
1 C arg( f ( z ) ( z )) N ( f , C ), 2 1 C arg f ( z ) N ( f , C ); 2
而 ( z) ), C arg( f ( z) ( z)) C arg f ( z) C arg(1 f ( z) ( z) 将z平面上的 由条件(2), 当z沿C变动时, w 1 f ( z)
a0 at 1 at 1 an at f ( z) , 由Rouche定理, P( z)与f ( z)在 z 1 内有相同零点个数,即n t个.
22
eR 例5 如果 a n , 试证方程 R
ez az n (n为正整数) 在圆 z R内恰有n个根.
nk (Biblioteka j )k 1pq
j 1
N ( f , C ) P( f , C ).
8
1 z9 dz. 例1 计算积分 10 2 i z 4 z 1
解 设f ( z ) z10 1,
则f ( z)在 z 4上解析且不等于零,
故
1 1 ( z 1) 1 z dz dz 10 10 z 4 10 2 i z 4 z 1 2 i z 1
由引理6.4可知,
极点, 其阶相应地为m j ;
f ( z ) 在C的内部及C上除去在C内部有一阶极 f ( z) , p)及b j ( j 1, 2, , q)外均解析,
7
点ak (k 1, 2,
故由留数定理及引理6.4得,
1 2 i
C
p q f ( z ) f ( z ) f ( z) s[ ] Re s[ ] dz Re z ak z b j f ( z) f ( z) f ( z) k 1 j 1