高等数学(同济六版)PPT—— 第八章 空间解析几何与向量代数习题课

( λ 1 , λ 2 不全为 0 )
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(2)点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Π ：A x+B y+C z+D = 0 的距离为
M0
d
r n
Π
M1
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(3) 点
到直线
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
的距离为
d
M 0 M1 × s d= s
所求为
i j k n = s × n1 = 1 1 2 = 2(3 , 5 , 4) 7 1 4 3 5 4 cos α = , cos β = , cos γ = 51 50 50
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x + 5 y + z = 0 且与平面 x 4 y 8 z 例6. 求过直线L: xz+4=0 π v + 12 = 0 夹成 角的平面方程. r 4 n 提示: n1 提示 过直线 L 的平面束方程
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
旋转轨迹上任一点, 则有
=z
x +y
2
2
z
r r
M
L
M0
得旋转曲面方程
o x
x2 + y2 z 2 = 1
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y
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思考与练习
P51 题21 画出下列各曲面所围图形: x y z 2 (1) 抛物柱面 2 y = x, 平面 z = 0 及 + + = 1; 4 2 2 (2) 抛物柱面 x 2 = 1 z , 平面 y = 0, z = 0 及 x + y = 1;
三点式
z z1 z 2 z1 = 0 z3 z1
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空间直线 一般式 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A x + B y + C z + D = 0 2 2 2 2 对称式
x = x0 + m t 参数式 y = y0 + n t z = z0 + p t ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 A1 B1 C1 = = A2 B2 C2
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线与线的关系
x x1 y y1 z z1 直线 L1： = = , s1 = (m1 , n1 , p1 ) m1 n1 p1 x x2 y y 2 z z 2 = = , s 2 = ( m2 , n 2 , p 2 ) 直线 L2： m2 n2 p2
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z 1
P51 21 (2)
1 1 x
o
x2 = 1 z y=0 z=0 x + y =1
1
1
y
பைடு நூலகம்
z
1
1 x
1
y
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P51 21(4)
z
(1,1)
x
o 1
y
(1,1)
x2 + y2 = z y2 = x
x =1 z=0
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例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 垂直相交的直线方程. 提示: 提示 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线 的平面的法向量为 故其方程为 ① 化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点 最后利用两点式得所求直线方程 x 2 y 1 z 3 = = 2 1 4
习题课 空间解析几何
一、 内容小结 二、实例分析
第八章 八
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一、内容小结
1. 空间直线与平面的方程 空间平面 一般式 点法式 截距式
x y z + + =1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1 y y1 y2 y1 y3 y1
点 : ( x0 , y 0 , z 0 ) 法向量 : n = ( A , B , C )
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(2,1,3)
P
(3,2,1) (1,1,0)
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例4. 求直线 上的投影直线方程.
在平面
提示： 提示：过已知直线的平面束方程 x + y z 1 + λ ( x y + z + 1) = 0 即 从中选择 λ 使其与已知平面垂直： 得 λ = 1, 从而得投影直线方程 这是投影平面 y z 1 = 0 x + y + z = 0
s = (m , n , p) M 1 ( x1 , y1 , z1 )
i j k x1 x0 y1 y0 z1 z0
m n p
=
1 m2 + n2 + p 2
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二、实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程. 提示: 提示 所求直线的方向向量可取为
L2
提示: 提示 思路: 先求交点 M 1 , M 2 ; 再写直线方程. 的方程化为参数方程
L1
M0
M1
M2
L
设 L 与它们的交点分别为
M 1 (t1 , 2 t1 , t1 1),
M 2 (t 2 , 3t 2 4 , 2t 2 1) .
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M 0 , M 1 , M 2 三点共线
M 0 M1 // M 0 M 2
t1 = 0 , t 2 = 2
L1
L2
M0
M 1 = (0 , 0 , 1) , M 2 = (2 , 2 , 3) M 1 L x 1 y 1 z 1 L: = = 1 1 2
M2
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例8.直线 转曲面的方程. 提示: 提示 在 L 上任取一点
其法向量为 n1 = {1 + λ , 5 , 1 λ}. 已知平面的法向量为 n = {1, 4 , 8}
n n1 选择 λ 使 cos = 4 n n1
从而得所求平面方程
π
3 λ= 4 x + 20 y + 7 z 12 = 0.
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例7. 求过点
且与两直线 都相交的直线 L.
xx y y zz 直线: = = , s = (m , n , p) m n p m n p = = 垂直： s × n = 0 A B C 平行： s n = 0
夹角公式：
sn sin = s n
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3. 相关的几个问题 (1) 过直线
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 的平面束 方程 λ1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ 2 ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
垂直: 平行: s1 × s2 = 0
m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 m1 n1 p1 = = m 2 n 2 p2
s1 s2 夹角公式: cosθ = s1 s2
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面与线间的关系 平面: Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A , B , C )
s = ( m , n , p ) 为直线的方向向量.
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2.线面之间的相互关系 . 面与面的关系 平面 平面 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, n2 = ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 × n2 = 0
n1 n2 夹角公式: cosθ = n1 n2
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2x z = 0 例5. 设一平面平行于已知直线 x + y z + 5 = 0 且垂直于已知平面 7 x y + 4 z 3 = 0 , 求该平面法线的 的方向余弦. 提示: 提示 已知平面的法向量 n1 = (7 , 1, 4)
求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量
s = n1 × n2
利用点向式可得方程
= (4 , 3 , 1)
x+3 y 2 z 5 = = 4 3 1
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例2. 求直线 的交点 . 提示: 提示: 化直线方程为参数方程
与平面
=t
代入平面方程得 t = 1 从而确定交点为（1，2，2）.
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(4) 旋转抛物面 x + y = z , 柱面 y = x, 平面 z = 0
2 2 2
及 x = 1.
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解答: 解答 P51 题21(1)
z
2
o
(8 , 2 , 0)
z
o
2 y2 = x x y z + + =1 4 2 2 z=0
x
4
(2 ,1, 0)
y
x
y
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