第1章量子力学基础-07
第一章 量子力学基础
氧化锆晶体的X射线衍射图 (Debye-Scherrer图)
de Broglie还利用他的关系式为Bohr的轨道角动 量量子化条件
h mvr n 2
作了一个解释：由这一条件导出的
nh h S 2r n n mv p
表明圆轨道周长S是波长的整数倍，这正是在圆周上形 成稳定的驻波所需要的，如同琴弦上形成驻波的条件是 自由振动的弦长为半波长的整数倍一样. 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了， 但“定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的.
测物理量. 波函数应具有品优性 , 包括单值性、连续性 、平方可积性.
波函数的概率解释
例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等.
不确定原理可以用不同的方式来阐述, 最容易理解也 最常用的是电子的单缝衍射实验:
波是不确定性的表现
单 缝 衍 射
这个象征着科学 的标志, 迄今仍被有 些人认为是原子模型 的真实图像. 实际上, 它只是照耀过科学历 程的星光:
由于坐标与相应 的动量分量不可能同 时精确测定, 所以， 原子中的电子不可能 具有这种轨迹确切的 轨道.
(photoelectric effect), 后来导致了光的粒子学说. 1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下图G为电 流表, V为电压表; C为阴极, A为阳极):
1898年，P.勒纳特确认放电粒子为电子, 并于1902年指出: 1.入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子; 2.光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比; 3.光电流强度与光强成正比。
de Broglie波不仅对建立量子
力学和原子、分子结构理论有重要
意义，而且在技术上有重要应用.
使用de Broglie波的电子显微镜分辨率
第一章量子力学基础知识总结
第一章量子力学基础知识总结微观粒子的运动特征1.黑体辐射和能量量子化●黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。
●黑体辐射的能量量子化公式:●普朗克常数(h=6.626×10-34 J·s)2.光电效应和光子学说●只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子。
●不同金属的临阈频率不同。
●随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
●增加光的频率，光电子的动能也随之增加●式中h为Planck常数，ν为光子的频率●m = h ／c2所以不同频率的光子有不同的质量。
●光子具有一定的动量(p)P = mc = h /c = h／λ●光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
Ek = h －W3.实物微粒的波力二项性● E = h v , p = h / λ●光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为波粒二象性4.不确定度关系●具有波动性的粒子其位置偏差(△x )和动量偏差(△p )的积恒定.，有以下关系:量子力学基本假设1、波函数和微观粒子的状态●波函数ψ和微观粒子的状态●合格波函数的条件2、物理量和算符●算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。
如：sin，log等。
线性算符：Â( 1＋ 2)＝Â 1＋Â 2自轭算符：∫ 1*Â 1 d ＝∫ 1(Â 1 )*d 或∫ 1*Â 2 d ＝∫2(Â 1 )*d3、本征态、本征值和Schrödinger方程●A的本征方程Aψ= aψa 称为力学量算符 A 的本征值，ψ称为A的本征态或本征波函数，4、态叠加原理●若 1， 2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。
5、Pauli(泡利)原理●在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。
第一章量子力学基础知识.doc
第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
第1章 量子力学基础
A B ( Axi Ay j Azk) (Bxi By j Bzk) Ax Bx Ay By Az Bz
A A | A |2
| A | (Ax2 Ay2 Az2 )1/2
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2019/9/15
1.1 数学准备—矢量
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2019/9/15
1.1 数学准备—矢量
若矢量的每个分量都是某参数t的函数，即：
Ax Ax (t), Ay Ay (t), Az Az (t)
定义矢量对t的导数为：
dA i dAx j dAy k dAz dt dt dt dt
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另外, 和c 表示的是相同的状态。所以，对于
没有归一化的波函数, 乘上一个常数后, 它所描述的粒 子的状态并不改变。
若
（C为常数），
则
为归一化波函数，
表示相同的状态。
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2019/9/15
1.2 基本假设—假设1
（2） 状态函数的条件 连续性: Ψ在变数变化的全部区域内是连续的,且有连续
归一性: W (q,t) *(q,t) (q,t)d 1
几率密度: (q,t)=dW (q,t) / d *(q, t) (q, t)
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2019/9/15
1.2 基本假设—假设1
波函数可用来描述微观粒子的状态。但是波函数 所做出的种种预言, 只对在同一条件下大量的、同种 粒子的集合或者单个粒子的多次重复行为才有直接意 义; 而对个别粒子的一次行为, 一般来说只有间接的即 是几率性的意义。
第1章 量子力学基础知识
d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态
01第一章量子力学基础
2
sin
n
x
a
(
x)
均所 值以
， 只 能 求 位 置 的 平
x
* ( x )x ( x )dx
0
2
0
x
sin
2
n
xdx
2
0
x
1
cos
2n
2
x dx
1
(
0
x
x
cos
2n
x )dx
1
[
x2 2
0
2n
0
xd
sin
2n
x]
1
[
2 2
2n
1
2n
( x sin 2
x
1 2n
cos 4
x) ]
E h
E E2 E1
h
h
实物粒子的波粒二象性
de Broglie关系式为: ν= E / h λ= h / p λ= h / mv
λ h/ 2mT
不确定原理
量子力学公设
公设1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函 数Ψ（q, t）描述，Ψ（q, t）决定了体系的全部 可测物理量.
波函数应具有品优性: 单值性、 连续性、 平方可积性.
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数.
第一章 量子力学基础
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
第一章量子力学基础
m
h
c2
h
c
光子的质量与光的频率或波长有关，但光子没有静止质 量，因为根据相对论原理：
m
m0
1 (v / c)2
2020/3/17
13
④光子有动量P
P mc mc2 h h c c
⑤光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒。
h
W
Ek
h 0
1 m 2
2
——光电方程或爱因斯坦关系式
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它的强度 （振幅的平方）成正比，而与频率无关。因此 只要有足够的强度，任何频率的光都能产生光 电效应，而电子的动能将随着光强的增加而增 加，与光的频率无关，这些经典物理学家的推 测与实验事实不符。
5
E( v,T)10-9J.m-2
5 4 3 2 1
0
max
2000K
1500k
1000K
1
2
3
v/1014s-1
①随着温度（T）的增加， 总辐射能量E（即曲线下的面积） 急剧增加。
E T 4 ( 5.67 108W gm2 gK 4 )
——斯芯蕃公式
②随着温度（T）的增加，E的 极大值向高频移动；曲线的峰值 对应于辐射最强的频率，相应的 波长ma随x 温度升高而发生位移。
1
R° H
1 n12
1 n22
R°为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。
试用测不准关系判断该模型是否合理。
解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。
二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。
正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。
()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。
------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。
第一章 量子力学基础
若厄米算符Â具有本征值， 若厄米算符Â具有本征值，则其一定是实数 对一个微观体系，厄米算符给出的本征函数组ψ 对一个微观体系，厄米算符给出的本征函数组ψ1 ψ2 …..形成一个正交归一的函数组 形成一个正交归一的函数组。 ψ3…..形成一个正交归一的函数组。 波函数的正交归一化条件
一 件 1 i= j 归 条 ∫ψ ψ j dτ = 0 i ≠ j 正交条件
∗ i
d2 下列函数e 例3 下列函数 x ，sinx，2cosx，x3中，哪几个是算符 ， ， dx2
的本征函数。若是，求出本征值。 的本征函数。若是，求出本征值。
d2 (ex ) x ex是算符的本征函数，本征值为 是算符的本征函数，本征值为1 = 1× e dx2 d2 (sin x) 是算符的本征函数， 是算符的本征函数 本征值为-1 = −sin x sinx是算符的本征函数，本征值为 dx2 d2 (2cos x) = −2cos x 2cosx是算符的本征函数，本征值为 是算符的本征函数， 是算符的本征函数 本征值为-1 2 dx d2 (x3 ) = 6x 2 dx
本征值与本征函数
求解Schrödinger方程结果如下： 方程结果如下： 求解 方程结果如下
nh En = 2 8ml 2 nπ x ψ n ( x) = sin , (0 < x < l ) l l n = 1, 2,3,⋯⋯
2
2
二、讨 论
（1）不同态时的波函数和能量. ）不同态时的波函数和能量. （2）波函数Ψ(x)和几率密度︱Ψ(x)︱2图. ）波函数Ψ(x)和几率密度︱ (x)︱ 和几率密度 （3）说明： ）说明： 波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. 波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. 波函数或几率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点 波函数或几率密度为零的点或面（边界处除外） 或节面，量子数为n 或节面，量子数为n时，有n-1个节点（面），节点数越多， 个节点（ 节点数越多， 能级越高. 能级越高. 没有经典运动轨道， 没有经典运动轨道，只有几率分布 Ψ(x)——一个量子数 一个量子数n 一个量子数
第一章 量子力学基础课后习题
第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳 070601341林丽云070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。
黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。
况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。
实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。
这一结果用经典理论无法解释。
（2）光电效应。
光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。
实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。
（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。
经典物理学不能解释原子的稳定性问题。
原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。
定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。
这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。
评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。
对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。
但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。
由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。
第一章量子力学基础
（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V
第01章 量子力学基础(定稿)
从金属表面打出电子，临阈频率只与金 光的能量则是由光的强度（振幅） 属种类有关。 决定的。
光电流增大，但不影响光电子的动能。
● 随着光强的增加，发射的电子数目增加，
● 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
第一章
光电子动能mv 2/2
斜率为h
纵截距为-φ
光频率ν
第一章
Einstein 首先认识到 Planck 提出的能量量子化的重 要性，他将能量量子化的概念应用于电磁辐射。 1905年，Einstein提出了光子学说，内容如下： 1 光不是看成一种波，光是一束光子流。每一种频率的光的能量都有一个最
第一章
黑体
带有一个微孔的空心的 金属球，非常接近于黑 体，进入金属小孔的辐 射，经过多次吸收、反 射，使射入的辐射完全 被吸收，当空腔受热时 ，又能发射出各种波长 的电磁波。
第一章
5 4 3 2 1 1000K 0 1 2 3 14 -1 /10 s 1500K 2000K
E: 黑体辐射的能量，
Ed: 频率在到 +d范围内、单位 时间、单位表面积上辐射的能量。
E/(10-9J/m2)
以E对作图，得到能量分布曲线。
规律：
随着温度升高，
同一频率的E增大，
极大值向高频移动。
第一章
按照经典物理学的方法，Rayleigh-Jeans 及 Wien等分别作了很多 研究工作，但都不能满意地解释黑体辐射实验的能量分布曲线。
第一章
上式解释了光电效应实验的全部结果： 当hν＜W 时，光子没有足够的能量使电子逸出金属，不发生 光电效应；
当hν=W 时，光子的频率是产生光电效应的临阈频率(ν0) ；
当hν＞W 时，从金属中发射的电子具有一定的动能，它随ν的 增加而增加，与光强无关。 增加光的强度可增加光束中单位体积内的光子 数，因此增加发射电子的数目。
第一章量子力学基础 - 南开大学结构化学精品课程网站 孙宏伟
C为任意值， 令C=1
令C=i
ˆ f * Agd ˆ g ( Af ˆ )* d f ( ACg ˆ )* d g * Afd
Nankai University
ˆ g ( Af ˆ )* d f * Agd
第一章 量子力学基础
The Foundation of Quantum Mechanics
Nankai University
《量子化学》第一章 量子力学基础
§1.1 量子力学算符
Operators in quantum mechanics 经典力学 可观 测力 学量 —函数
Nankai University
《量子化学》第一章 量子力学基础
证明：设 = f + Cg C为任意参数
* ˆ ˆ )* d ( A d A
* ˆ ˆ ( f Cg )]* d ( ) ( ) ( )[ f Cg A f Cg d f Cg A
f f xf xf x 2 f f 2 xf ( x 2 1) f ˆ x 2 1) f ˆ 2 2 xD (D
ˆ x ˆ 2 2 xD ˆ x2 1 ˆ )2 D (D
ˆ x ˆ x ˆ x 直接算符运算 ( D ˆ )( D ˆ) ˆ )2 ( D ˆ (D ˆ x ˆ x ˆ(D ˆ) ˆ) x D ˆ 2 Dx ˆ ˆ xD ˆ2 ˆˆ x D ˆ x2 1 ˆ 2 2 xD D
第一章：量子力学基础
ˆ p n | pn 2 n d 2 n sin x ) * ( i ) sin xdx 0 a a dx a a a 2 n n n (i ) (sin x)( )(cos x)dx 0 a a a a 2 n 1 a 2 n (i )( ) sin xdx a a 2 0 a 0 (
1. 乘法与对易 满足结合律，一般不服从交换律
ˆ ˆ ˆ AB A( B )
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ A( BC ) ( AB)C
ˆ ˆ ˆˆ AB BA
ˆˆ 如： xDf ( x) xf ' ( x)
ˆ xf ( x) d xf ( x) f ( x) xf ' ( x) Dˆ dx ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Dx I xD xD
*
(m n ) m | n 0
因为
13
m n
所以
m | n 0
Chapter 1 量子力学基础
1.4 算符
厄米算符的本征函数与本征值 —— 性质 III
定理（3）：厄米算符本征函数构成一完备集合，任何一个
品优函数可用它展开
f Cnn
n
其中展开系数：
1.4 算符 其它力学量表示法 动能
ˆ F (r ,i) ˆ F (r , p) F
p2 2 2 ˆ T T 2m 2m
势能 V(r ) V (r ) ˆ 角动量 L r p L r (i) H Hamilton 算符
1.4 算符
厄米算符 （Hermitian Operator)
对任意品优波函数，算符满足 则 F 是厄米算符
ˆ ˆ 定理：若两个厄米算符 A 和 B 对易，即 ˆ 是厄米的 。 ˆ 则乘积算符 AB
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Acos2(xt)Acos2(xpEt)
hh
Acos2h(xpx Et)Acos 1(xpx Et)
1-7
23
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（2）德布罗波波长的估算
动量为p的自由粒子，当它的运动速度比光速小得多时（c）
ET+V1mv2 eV 2
h h h p mv 2meV
6.626 1034
2 9.111031 1.602 1019 V
频率ν0 时，才有光电子产生。 ● 随着光的强度增大，发射的电子数目
增多，但不影响光电子的动能。
● 增大频率，光电子动能随之增大。 22.03.2022
Einstein光子学说（1905）
1 光是一束光子流，每种频率的光的能量都有其 最小单位
即 ε=h v
光子静止质量为零，运动质量为m。
Einstein
第1章 量子力学基础
1
22.03.202
1.1 量子力学的实验基础
经典物理学
Maxwell 电磁理论
Newton力学
Gibbs-Boltzman 统计力学
开尔文
物理学的大厦已经完 成，今后物理学家的 任务只是把实验做得
更精确些。
2014年 厦 门 市 中 考满 分作文 ：时光 的海岸 线 当 夕 阳 消 逝在 地平线 ，一丝 微 光 是 时 光 的尾巴 ，那迷 人的海 岸线， 恰似你 迷人的 双眼…… 晨 曦 ， 你 的笑 容 太 阳缓缓 升起， 海岸那 端，天 水相接 ，波光 粼粼， 阳光倾 洒在蓝 色的海 面， 金 黄 的 沙 滩 ，晨曦 的足迹 。 我 牵 着 外 婆， 一蹦一 跳地在 沙滩上 行走， 身后拉 长 的 背 影 ， 累了， 依偎在 外婆怀 里，看 着远处 海岸上 闪闪发 光的我 ，我问 外婆： “ 那 是 什 么 ？那个 我怎么 会发光 ？”“ 那是太 阳的长 发哦！ 和它一 样亮。 ”外婆 微 笑 着 向 我 解释， 扬起嘴 角，浅 浅的酒 窝。我 伸出小 手，摸 着外婆 的脸说 ：“外 婆 的 脸 在 发 光！” 阳光照 在那张 脸上， 酒窝是 一道道 弯曲的 线，像 那海岸 线，带 着 无 尽 的 温 柔…… 午 后 ， 你 的发跟 梢 缕 缕 银 丝 透过 树梢， 带着阳 光的气 息 ， 钻 进 我 和外婆 的怀抱 ，暖暖 的。 芒 果 树 下， 芒果淡 淡的清 香弥漫 ，那是 我 的 最 爱 。 外婆讲 着精灵 的故事 ，芒果 里的小 精灵。 我入迷 地听着 ，阳光 下你的 银 发 闪 闪 发 光，抚 摸着你 的发梢 ，拿起 梳子为 你整理 缕缕发 丝，像 梳理时 光留下 的 痕 迹 ， “ 外婆老 了！” 她轻声 地叹息 ，时光 总是那 么快， 一个人 在时光 的海岸 边 ， 带 走 那 些青春 。海岸 线上的 太阳， 牵挂着 两端的 思念。 夕 阳 ， 你 的泪光
黑体是指能全部吸收各种波长入 射光线辐射的物体。
微孔空心金属球代替黑体
5
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实验得出: 平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，只与黑体 的绝对温度有关，而与空腔的形状及物质无关。
E
T=1500K T=1000K
6
E： 黑体辐射的能量
Ed ：频率在 到d 范围内、
单位时间、单位表面 积上辐射的能量
30
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以多晶粉末电子衍射花纹图案为例说明： 在点（x,y,z）附近的微体积元内，电子密度为： d N
d
波的强度 2
电子密度与实物波的强度成正比，即： 2
几率密度与实物波的强度成正比
微体积内发现电子的几率为：
dPk2d '2d 2d
dPk2'22 d
1-9
31
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Bohr “玻尔”模型
19
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Bohr原子模型（1913）
原子存在具有确定能量的状态 —— 定态（能量 （1）最低的叫基态，其它叫激发态），定态不辐射。
（2） 定态（E2）→定态（E1）跃迁辐射
1 h
E 2
E1
（3） 电子轨道角动量
Mn
h
2
Bohr
Bohr 模型可以很好地说明H原子光谱为线状光谱的事实。 但它不能推广到多电子原子也不能解释光谱精细结构。
hWEKh01 2mv2
1-2
式中W 是电子逸出金属所需要的最小能量（逸出功；EK 是电子的动能。
13
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hWEKh01 2mv2 1-2
上式解释了光电效应实验的全部结果：
当hv＜W 时，光子无足够能量使电子逸出，不发生光电效
应； 当hv=W 时，这时的频率为产生光电效应的临阈频率(v0) ；
射能量的最小单位为 0=hν。0 被称为能
量子。
谐振子的辐射能量 E只能是 0 的整倍，即
E = n0 = nhv n=0,1,2…
v是谐振子的频率， h=6.626×10-34J·s , 称为普朗克常数， n 称为量子数。
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Planck解释
Planck公式
E
2h3
c2
h
(e kT
2 根据质能关系系ε=mc2
m =ε/c2 = hv/c2
3 光子具有一定的动量p。
p=mc=hv/c=h/λ
4 光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子的密度
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光电效应的解释
将频率为v的光照射到金属上，当产生光电效应时，光子 消失，将能量传给电子。电子吸收的能量部分用于克服金 属对它的束缚力（逸出功），部分转化为电子的动能。
当hv＞W 时，逸出电子的动能随v的增加而增加，与光强
无关。但光的强度的增加可增大光束中单 位体积内的光子数，因此增加发射电子的 数目。
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光的波粒二象性 光的本质认识历史:
以Newton为代表的微粒说（1680年）
以Huggens为代表的波动说（1690年）
Maxwell在十九世纪证明光是一种电磁波
粒子性标志： P
光强
波动性标志：
光强 2
所以有
=k2 或 =2
光具有波粒二象性，即在一些场合光的行为象粒子， 在另一些场合光的行为象波。粒子在空间定域，波不 能定域。光子模型得到的光能是量子化的。
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1.1.3 氢原子的线状光谱与玻尔（Bohr）原子结构理论 原子光谱
Born
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电子的波性是和粒子的统计行为联系在一起的。对大量粒子 而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多， 衍射强度小的地方，粒子出现的数目就小。对一个粒子而言，通 过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在 相同的条件下重复做多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地 方，粒子出现的机会多，在衍射强度小的地方，粒子出现的机会 少。
大小相当于分子大小的数量级，说明原子和分子中电子运动 的波效应是重要的。但与宏观体系的线度相比，波效应是微 小的。
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（3）De Brogile 波的实验证实
当V=102～104V时，从理论上已估算出电子德布罗依波 长为1.2～0.12Å，与x光相近（0.1～100 Å），用普通的光 学光栅是无法检验出其波动性的。
Einstein在二十世纪初提出光具有波粒二象性（1905）
15
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光具有波动和微粒的双重性质，就称为光的波粒二象性。 标志光的粒子性的能量和动量，和标志波动性的光的频率和 波长之间，遵循爱因斯坦关系式
相互作用
粒 子
h
1-3
波
传播过程
ph/
1-4
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光的波与粒子性的统一还表现在
在光学上，比起波动的研究方法，是否忽略了粒子的研 De Brogile
究方法；在实物微粒上，是否发生了相反的错误？是不
是把粒子的图象想得太多而过于忽略了波的图象？
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De Broglie提出实物微粒也具有波性，以此作为克服 旧量子论的缺点，探求微观粒子运动的根本途径，这种实 物微粒所具有的波就称为物质波或德布罗依波。
1.226 109 (m) 12.26 A
V
V
1-8
对电子等实物粒子，其德布罗依波长具有Å数量级。
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例 求以1.0×106m·s-1的速度运动的电子的de Broglie波波长。
λ= h
mv
=（6.6×10-34J·s）/(9.1×10-31kg×1.0×106m·s-1) = 7×10-10m = 7Å
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经典物理学方法解释
Wien公式
E (,T ) c 1 3ex c2 p /T ()
只适用于短波部分
Rayleigh-Jeans公式
E(,T)
82
c3
kT
只适用于长波部分，引出了“紫外灾难”的争论
7
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Planck 8
Planck解释（1900）
黑体由带电的谐振子组成，谐振子 吸收或发射辐射的能量是不连续的，辐
戴维逊实验——单晶镍 （C.J.Davtsson）
汤姆逊实验——金-钒多晶 （G.P.Thomson）
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戴维逊单晶电子衍射实验
电子在单晶金上的衍射
对Dovissn和Germer单晶电子衍射实验，由布拉格
（Bragg）方程
2dhklsinhkl n
和 12.26
V
可分别计算出衍射电子的波长λ。两种方法的计算结果非常吻
“外婆，