二次函数与圆结合的压轴题

(

(

图二次函数和圆

【例题1】(芜湖市)已知圆P的圆心在反比例函数y=k

x

(k>1)图象上，并与x轴相交于A、B两点．且

始终与y轴相切于定点C(0，1)．

(1)求经过A、B、C三点的二次

函数图象的解析式;

(2)若二次函数图象的顶点为

D，问当k为何值时，四边

形ADBP为菱形．

【例题2】湖南省韶关市)25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线y=-x+3

2与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.

（1）求M、D两点的坐标；

（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；

（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.

y

C

H N B

E

F M

P

O D A x 【例题3】甘肃省白银等7市新课程)28.在直角坐标系中，⊙A的半径为64，圆心A的坐标为（2，

（

0），⊙A 与 x 轴交于 E 、F 两点，与 y 轴交于 C 、D 两点，过点 C 作⊙A 的切线 BC ，交 x 轴于点 B ． （1）求直线 CB 的解析式；

（2）若抛物线 y =ax 2+b x +c 的顶点在直线 BC 上，与 x

轴的交点恰为点 E 、F ，求该抛物线的解析式；

（3）试判断点 C 是否在抛物线上？

（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC 相似？直接写出两组这样的点．

【例题 4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线 y = ax 2 + bx －3 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于

C 点，经过 A 、B 、C 三点的圆的圆心 M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为

5 ．设

⊙M 与 y 轴交于 D ，抛物线的顶点为 E ． （1）求 m 的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求 sin （α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点 P ，使得以 P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指

出点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例题 5】 南充市）25.如图，点 M （4，0），以点 M 为圆心、2 为半径的圆与 x 轴交于点 A 、B ．已

知抛物线 y = 1 6

x 2

+ bx + c 过点 A 和 B ，与 y 轴交于点 C ．

（2）点 Q （8，m ）在抛物线 y = x 2 + bx + c 上，点 P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ ＋PB 的

0) - △S

PDE =

B

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（1）求点 C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

1

6

最小值．

（3）CE 是过点 C 的⊙M 的切线，点 E 是切点，求 OE 所在直线的解析式．

y

O

D

A

E

M x

B

【例题 6】(山西省临汾市

)26. 如图所示，在平面直角坐标系中， M 经过原点 O ，且与 x 轴、 y 轴分

别相交于 A(-6，， B (0， 8) 两点．

（1）请求出直线 AB 的函数表达式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M ，顶点C 在 M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的 函数表达式；

（3）设（2）中的抛物线交 x 轴于 D ，E 两点，在抛物线上是否存在点 P ，使得

出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

1 15 △S ABC

y

？若存在，请求

A

D

C

E O x

M

【例题 7】△在

ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是 AB 上的动点（不与 A ，B 重合），过 M 点作 MN ∥BC

交 AC 于点 N ．以 MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形 AMPN ．令 AM ＝x ．

（1）用含 x 的代数式表示△ ＭNP 的面积 S ； （2）当 x 为何值时，⊙O 与直线 BC 相切？

（3）在动点 M 的运动过程中，记△ ＭNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y ，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求

A

M

O

P

N

【例题 8 】如图，点 P 在 y 轴上，半径为 3 的⊙P 分别交 x 轴于 A 、B 两点，AB=4，交 y 轴负半轴于点 C ，连

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x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

A

M

N

O

B

D 图 2 A

M

O

N

B

C

C

P

图 3

接 AP 并延长交⊙P 于点 D ，过 D 作⊙P 的切线分别交 x 轴、y 轴于点 F 、G ； （1）求直线 FG 的解析式；

（2）连接 CD 交 AB 于点 E ，求 tan PCD 的值；

（3）设 M 是劣弧 BC 上的一个动点，连接 DM 交 x 轴于点 N ，问：是否存在这样的一个常数 k ，始终满足 AN ·AB+DN ·DM=K ，如果存在，请求出 K 的值，如果不存在，请说明理由；