2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第13讲 函数和方程及答案

第13讲函数与方程

1．结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系．2．判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

知识梳理

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)三个等价关系

方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点.

(3)函数零点的判定(零点存在定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b) <0，

那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少

．．有一个零点.

2．二分法

(1)二分法的意义

对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2)利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤：

第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε.

第二步，求区间(a，b)的中点x1.

第三步，计算f(x1)；

①若f(x1)＝0，x1就是函数的零点；

②若f(a)f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；

③若f(x1)f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b).

第四步，判断是否达到精确度的要求，否则重复第二至第四步．

1．有关函数零点的结论

(1)若连续函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续函数的图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)零点的分布 ⎩

⎨⎧

Δ>0－b

2a

0 ⎩

⎨⎧

Δ>0－b

2a

>m f (m )>0

x1

m

m0f(n)<0f(p)>0

只有一个零点在(m，n)之间⎩

⎨

⎧

Δ＝0m<－

b

2a

3.三个等价关系的推广

方程f(x)－g(x)＝0有实根函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点．

热身练习

1．(2018·济宁模拟)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x －1， x ≤1，

1＋log 2x ， x >1，则f (x )的零点为(D)

A.1

2

B ．－1

C ．0或1

2

D ．0

当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x

＝0；

当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝1

2，

又因为x >1，所以此时方程无解． 综上，函数f (x )的零点只有0.

2．函数f(x)＝x3＋3x－1在以下哪个区间内一定有零点(B)

A．(－1,0) B．(0,1)

C．(1,2) D．(2,3)

因为f(0)·f(1)<0，所以f(x)在(0,1)上一定有零点．

3．已知函数f(x)＝2ax－a＋3.若∃x0∈(－1,1)，f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(A)

A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)

C．(－3,1) D．(1，＋∞)

当a＝0时，显然不成立．当a≠0时，由题意知f(－1)·f(1)<0，

即(－3a＋3)(a＋3)<0，解得a<－3或a>1.

4．(2018·武昌区模拟)函数f(x)＝

1

2

x－(

1

2)

x的零点的个数为(B)

A．0 B．1 C．2 D．3

在同一平面直角坐标系内作出y＝

1 2 x

与y＝(1

2)

x的图象(如图)，

由图可知，两函数图象只有一个交点，

因此函数f(x)＝12x－(1

2)

x只有1个零点．

5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2

A．1.2 B．1.3

C．1.4 D．1.5

可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上，

因为1.40625≈1.4,1.4375≈1.4，故近似解为1.4.

函数零点的判断与求解

(1)设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属

于区间

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

(2)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2， x ≤0，

2x －6＋ln x ， x >0的零点个数是____________．

(1)设f(x)＝ln x＋x－4，

因为f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e－1＝0，所以f(2)·f(3)<0，

所以f(x)在(2,3)上有零点．

(2)当x≤0时，由x2－2＝0，得x＝－2；

当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0. 所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．

综上，f(x)的零点个数为2.

(1)C(2)2