高中数学】含指、对数式的复合函数问题(解析版)
详细版指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题.ppt
,
.
.精品课件.
loga
4
2;
例：函数y log0.1 4x 3的定义域.
答案：函数y
log
0.1
4
x
3的定义域是
3 4
，1
.
.精品课件.
5
例：解不等式log1 3x 1 3.
2
不等式的解集为0，2
.精品课件.
6
例：已知函数f (x) 4x 3 2x1 8, 求满足f (x) 0的取值范围。.
上单调递减，求a的取值范围。
.精品课件.
16
例：已知函数f (x) loga ax 1 a 0且a 1，
（1）求函数的定义域； （2）讨论函数f (x)的单调性.
答案：（1）当a 1时，定义域为0，+；
当0 a 1时，定义域为-，0.
（2）当a 1时，在0，+上是增函数；
当0 a 1时，在 -.精品，0课件上. 是增函数。
2
.精品课件.
12
函数y f g x
设y=f(t),t=g(x)，则 （1）当f(t)和g(x)的单调性相同时， f[g(x)]为增函数； （2）当f(t)和g(x)的单调性相反时， f[g(x)]为减函数；
.精品课件.
13
例：求下列函数的单调区间：
（1）y log1 x2 2x 3 ;
（1）y 1 a 0且a 1；
ax 2
（2）y
log2
1 3x
2
;函数的定义域为.
（1）当a 1时，函数的定义域为loga
2, ；
(3) (4)
y y
log 2
1 2 1 3x ; log2 x
高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案
高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A.a >1B.12<a <1C.a ≤1D.a >122. 函数f(x)=(14)x +(12)x −1，x ∈[0, +∞)的值域为( )A.(−54, 1]B.[−54, 1]C.(−1, 1]D.[−1, 1]3. 函数f(x)=a x−3+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为（ ）A.(3, 3)B.(3, 2)C.(3, 6)D.(3, 7)4. 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为（ ）A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(0, +∞)D.(−1, +∞)5. 函数f(x)=(a 2−4a +4)a x 是指数函数，则a 等于（ ）A.a >0，且a ≠1B.1或3C.3D.16.设α∈R ，函数f(x)=(13)x−1−a 的图象一定经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点（ ）A.(0, 23)B.(0, 1)C.(23, 1)D.(1, 0)8. 已知函数f(x)=13x +2，则函数在(0, +∞)上（ ）A.单调递减且无最小值B.单调递减且有最小值C.单调递增且无最大值D.单调递增且有最大值9. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=3x−2，则不等式f(2−x)>1的解集为( )A.{x|x<1或x>3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}10. 函数y=21x2+1的值域为()A.(1,2]B.(0,2]C.(−∞,2]D.[1,2]11. 函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是( )A.a≤−4B.a≤−2C.a≥−2D.a>−412. 关于x的方程9x+(a+4)⋅3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A.[0, +∞)B.(−∞, −8]C.(−∞, −8]∪[0, +∞)D.以上都不对13. 已知函数y=a x+b(a>1,b>0)的图象经过点P(1, 3)，则4a−1+1b的最小值为________．14. 函数f(x)=a x−3+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点P的坐标是________．15. 函数y=(13)x2−3x+2的单调递增区间为________．16. 函数y=(13)|2−x|−m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为________．17. 函数y=2x−1在[0, 4)上的值域为________．18. 函数y=32−3x2的单调递减区间是________．19. 已知函数f(x)=a x+b(a>0且, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a−b=________．20. 若方程4x +(m −3)⋅2x +m =0有两个不相同的实根，则m 的取值范围是________．21. 已知函数y =(14)x −(12)x +1的定义域为[−3, 2]，则该函数的值域为________．22. 函数y =1+2x +4x a 在x ∈(−∞, 1]上y >0恒成立，则a 的取值范围是________．23. 方程4x −3⋅2x+1+8=0的解集为________．24. 函数y =(12)x2−2x+2的值域为________．25. 已知关于x 的方程9x −(4+a)⋅3x +4=0有两个实数解x 1，x 2，则x 12+x 22x 1x 2的最小值是________．26. 求函数y =2x+2−3⋅4x ，x ∈[−1, 0]的值域．27. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）证明是 上的增函数.28. 已知函数y =4x −2x+1+2，x ∈[−1, 2]．（1）设t =2x ，求t 的取值范围；（2）求函数的最值，并求出取得最值时对应的x 的值．29. 设函数f(x)=2（n−1）x 在全体实数范围内为减函数，求n 的取值范围．30. 若函数y=a2x+2a x，(a>0且a≠1)在区间[−1, 1]上的最大值为35，求a的值．31. 已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象过点(0,−2)，(2,0).(1)求a与b的值；(2)当x∈[−2,2]时，求f(x)的值域．32. 已知：函数g(x)＝ax2−2ax+1+b(a≠0, b<1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)．x（1）求a、b的值及函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]时恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】指数函数y ＝a x ，当0<a <1时为定义域上的减函数，故依题意只需0<2a −1<1，即可解得a 的范围【解答】函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，∴ 0<2a −1<1解得12<a <1 2.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值指数型复合函数的性质及应用【解析】令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，由y 在(0, 1]递增，计算即可得到值域．【解答】解：令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，且在(0, 1]上单调递增，则有−1<y ≤1，则值域为(−1, 1]．故选C ．3.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】解析式中的指数x −3=0求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【解答】解：由于指数函数y =a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(0, 1)，故令x −3=0，解得x =3，当x =3时，f(3)=2，即无论a 为何值时，x =3，y =2都成立，因此，函数f(x)=a x−3+1的图象恒过定点的(3, 2)，故选B ．4.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：f(x)=2−|x+1|=(12)|x+1|， 设t =|x +1|，则y =(12)t ，为减函数，∴ 要求函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间，即求函数t =|x +1|的单调递减区间，∵ 函数t =|x +1|的单调递减区间是(−∞, −1)，∴ 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为(−∞, −1)，故选：A5.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1求解即可． 【解答】解：根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1∴ {a 2−4a +3=0a >0,a ≠1解得a =3故选C6.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】解：∵ f(x)=(13)x−1−a 为减函数，∴ 当a =0时，函数f(x)>0，则函数不经过第四象限，若a =3，则f(0)=1−1=0，此时函数不经过第三象限，若a <3，则f(0)=1−a <0，则函数不经过第一象限，故函数f(x)的图象一定经过第二象限.故选B .7.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据函数的解析式和a 0=1令3x −2=0，即可函数图象过的定点坐标．【解答】解：由题意得，函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)，令3x −2=0得，x =23， ∴ 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点是(23, 1)，故选：C ．8.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵ y =3x +2在(0, +∞)是为增函数，且y >2，∴ f(x)=13x +2在(0, +∞)上为减函数，则0<y <12，则函数在(0, +∞)上为减函数，无最大值和无最小值，故选：A9.【答案】A【考点】绝对值不等式指数型复合函数的性质及应用奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：当x ≥0时， f (x )=3x −2，此时函数y =f (x )单调递增.因为函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，且f(1)=31−2=1，由f(2−x)>1，得f(|x−2|)>f(1)，所以|x−2|>1，解得x<1或x>3，因此，不等式f(2−x)>1的解集为{x|x<1或x>3}. 故选A.10.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由二次函数的性质可得，x2+1≥1，∴1x2+1∈(0,1]，由指数函数的性质可得，21x2+1∈(1,2].故选A.11.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象指数型复合函数的性质及应用【解析】先求出二次函数的对称轴方程，再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解．【解答】解：记u(x)=x2+ax=(x+a2)2−a24，其图象为抛物线，对称轴为x=−a2，且开口向上，∵函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，∴函数u(x)在区间[1, 2]上是单调增函数，而u(x)在[−a2, +∞)上单调递增，所以，−a2≤1，解得a≥−2.故选C．12.B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】可分离出a ，转化为函数f(x)=−4−9x 3x −4的值域问题，令3x =t ，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．【解答】解：a =−4−9x3x−4，令3x =t(t >0)，则a =−−4−t 2t −4=−(t +4t )−4 因为t +4t ≥4，所以−4−9x 3x −4≤−8所以a 的范围为(−∞, −8]．故选B ．二、 填空题 （本题共计 13 小题 ，每题 3 分 ，共计39分 ） 13.【答案】92【考点】指数型复合函数的性质及应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)，可得3=a +b ，a >1，b >0．即(a −1)+b =2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵ 函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)， ∴ 3=a +b ，a >1，b >0．∴ (a −1)+b =2．∴ 4a−1+1b =12(a −1+b)(4a−1+1b )=12(5+4b a −1+a −1b) ≥12(5+2√4b a−1⋅a−1b )=92， 当且仅当a −1=2b =43时取等号．故答案为：92．14.【答案】(3, 4)【考点】指数型复合函数的性质及应用根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于0即可．【解答】解：由x −3=0得x =3，此时y =a 0+3=1+3=4， 故图象恒过定点P(3, 4)，故答案为：(3, 4)15.【答案】(−∞, 32] 【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】利用复合函数的单调性判断函数的单调区间．【解答】解：∵ y =x 2−3x +2在(−∞, 32]上是减函数， 在(32, +∞)上是增函数；又∵ y =(13)x 在R 上是减函数； 故函数y =(13)x 2−3x+2的单调递增区间为(−∞, 32]； 故答案为：(−∞, 32]．16.【答案】(0, 1]【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】函数y =(13)|2−x|−m 的图象与x 轴有交点可化为方程(13)|2−x|−m =0有解，从而可得m =(13)|2−x|，从而求函数的值域即可．【解答】解：由题意，∵ (13)|2−x|−m =0有解， ∴ m =(13)|2−x|，∵ |2−x|≥0，∴ 0<(13)|2−x|≤1，故0<m ≤1，故答案为：(0, 1]．17.【答案】{y|12≤y<8}【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得2−1<2x−1<23，即可求函数的值域【解答】解：∵0≤x<4∴−1≤x−1<3∴2−1<2x−1<23即12≤y<8故答案为：{y|12≤y<8}18.【答案】[0, +∞)【考点】指数函数的单调性与特殊点指数型复合函数的性质及应用【解析】原函数可看作由y=3t，t=2−3x2复合得到，复合函数单调性判断规则，原函数在定义域上的单调递减区间即为函数t=2−3x2的单调递减区间，根据二次函数图象与性质可求．【解答】解：由题意，函数y=32−3x2的是一个复合函数，定义域为R，外层函数是y=3t，内层函数是t=2−3x2，由于外层函数y=3t是增函数，内层函数t=x2+2x在(−∞, 0)上是增函数，在(0, +∞)上是减函数，故复合函数y=32−3x2的单调递减区间是：(0, +∞).故答案为：[0, +∞).19.【答案】52【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数型复合函数的性质及应用【解析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a>1时，函数f(x)=a x+b在定义域上是增函数，所以{1+b=0，1a+b=−1，解得b =−1，1a =0不符合题意舍去；当0<a <1时，函数f(x)=a x +b 在定义域上是减函数， 所以{1+b =−1，1a+b =0， 解得b =−2，a =12，符合题意， 综上a −b =52.故答案为：52. 20.【答案】(0, 1) 【考点】函数的零点与方程根的关系 指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根，故有△>0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0，由此求得m 的取值范围． 【解答】解：令t =2x ，则由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根， 故有 Δ=(m −3)2−4m >0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0， 解得0<m <1. 故答案为：(0, 1)． 21. 【答案】[34,57] 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由于x ∈[−3, 2]，可得14≤(12)x ≤8，令t =(12)x ，有y =t 2−t +1=(t −12)2+34，再利用二次函数的性质求出它的最值． 【解答】解：由于x ∈[−3, 2]， ∴ 14≤(12)x ≤8. 令t =(12)x ，则有y =t 2−t +1=(t −12)2+34， 故当t =12时，y 有最小值为34；当t =8时，y 有最大值为57. 故答案为：[34,57]．22. 【答案】(−34, +∞) 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由题设条件可化为∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立，求出−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上的最大值即可． 【解答】解：由题意，得1+2x +4x a >0在x ∈(−∞, 1]上恒成立， ∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立．又∵ t =−1+2x 4x=−(12)2x −(12)x =−[(12)x +12]2+14，当x ∈(−∞, 1]时t 的值域为(−∞, −34]， ∴ a >−34；即a 的取值范围是(−34, +∞)； 故答案为：(−34, +∞)．23.【答案】 {1, 2} 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】先将方程转化为关于2x 的二次方程，再利用因式分解法求二次方程的根，最后通过解简单的指数方程得方程的解集 【解答】解：4x −3⋅2x+1+8=0 ⇔(2x )2−6×2x +8=0 ⇔(2x −2)(2x −4)=0 ⇔2x =2或2x =4 即x =1或x =2 故答案为{1, 2} 24. 【答案】 (0, 12]【解析】先利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可． 【解答】解：∵ x 2−2x +2=(x −1)2+1≥1 ∴ 函数y =(12)x2−2x+2的值域为(0, 12]故答案为：(0, 12] 25.【答案】 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】由题设可先将3x 看作一个整体，将方程整理为一元二次方程，由根与系数的关系得到3x 1⋅3x 2=4，即可得到x 1+x 2=2log 32，进而再得到x 1x 2≤(log 32)2．代入即可求得x 12+x 22x 1x 2的最小值【解答】解：原方程可化为(3x )2−(4+a)⋅3x +4=0， ∴ 3x 1⋅3x 2=4， ∴ x 1+x 2=2log 32， 又(x 1+x 2)2≥4x 1x 2， ∴ x 1x 2≤(log 32)2．∴ x 12+x 22x1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=4(log 32)2x 1x 2−2≥2．故答案为2三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 26.【答案】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43， 当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]．【解析】根据函数y 的解析式与自变量的取值范围，求出函数y 的最大、最小值即可． 【解答】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43，当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]． 27.【答案】解：∵ f(x)定义域为 ，关于原点对称。
人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
知识点三 对数函数在实际问题中的应用 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不 超过 10 万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过 10 万 元时，若超出 A 万元，则超出部分按 2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为 y(单位：万元)，销售利润为 x(单元：万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式； (2)如果业务员老江获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多 少万元？
强弱等级 L/dB
10
m
பைடு நூலகம்
求 a 和 m 的值．
很嘈杂 的马路 1×10－3
90
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
解：将 I0＝1×10－12 W/m2，I＝1×10－11 W/m2 代入 L＝a lg
I I0
，
得 10＝alg
1×10－11 1×10－12
＝a lg 10＝a，即 a＝10，m＝10lg
解：由题意知(x－3)(x＋3)>0， 解得 x<－3 或 x>3， ∴函数 y＝loga(x－3)(x＋3)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
求含对数式的函数定义域的关键是真数大于 0，底数大于 0 且不 为 1.如需对函数式变形，须注意真数底数的取值范围是否改变．
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
角度 2
求对数函数的解析式
3
已知函数
f(x)是对数函数，且
f
高中数学】含指、对数式的复合函数问题(解析版)
学习资料分享[公司地址]突破4含指、对数式的复合函数问题【举一反三系列】【考查角度1奇偶性问题】方法导入一般利用奇偶性的定义进行判断.步骤第1步：求定义域，并判断定义域是否关于原点对称；第2步：验证f(-x)与f(x)的关系；第3步：得出结论.反思若定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数.【例1】（2018秋•和平区期中）设f（x ）＝判断函数f（x）的奇偶性.【分析】利用奇偶性定义判断；【答案】解：（1）根据题意，f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝＝f（x），则函数f（x）为偶函数；【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定，关键是在掌握函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【练1.1】已知函数f（x）＝log2（），（b≠0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，构造不等式，对b值分类讨论，可得不同情况下函数的定义域；（2）根据奇函数的定义，可判断出函数f（x）为奇函数，【答案】解：（1）当b＜0时，由＞0得：x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），当b＞0时，由＞0得：x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，又由f（﹣x）＝log2（）＝log2（）＝﹣log2（）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【练1.2】（2019春•福田区校级月考）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；【分析】（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，我们可以构造关于x 的不等式组，解不等式组，即可得到答案．（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；【答案】解：（1）使解析式有意义的条件为，∴函数的定义域为x∈（﹣1，1）（4分）（2）函数的定义域关于原点对称，且，（6分）（7分）即f（﹣x）+f（x）＝0∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴f（x）为奇函数（8分）【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性和函数的奇偶性，是对数函数图象与性质的综合应用．【练1.3】（2019秋•保康县校级期中）已知函数f（x）＝lg（x+）﹣lg判断函数f（x）的奇偶性．【分析】注意到﹣x+＝，直接由奇偶性的定义判断即可．【答案】解：函数f （x ）的定义域为R ，∵f （﹣x ）＝lg （﹣x +）﹣lg＝lg ﹣lg＝lg ﹣lg （x +）＝﹣f （x ）∴f （x ）为奇函数；【点睛】本题考查复合函数的奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．【考查角度2单调性问题】方法导入复合函数单调性遵循“同增易减”的原则.步骤第1步：换元，将原函数拆分成两个函数；第2步：判断这两个函数的单调性；第3步：根据同增异减得到复合函数的单调性.反思注意优先考虑定义域，单调区间为定义域的子区间.【例2】（2019秋•工农区校级期中）已知函数y ＝（）x ﹣（）x +1的定义域为[﹣3，2]，求函数的单调区间．【分析】由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令t ＝，换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间；【答案】解：令t ＝，则y ＝t 2﹣t +1＝（t ﹣）2+当x ∈[1，2]时，t ＝是减函数，此时t ，在此区间上y ＝t 2﹣t +1是减函数当x∈[﹣3，1]时，t＝是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是增函数∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1]【点睛】本题考查指数函数单调性的运用，复合函数单调性的判断规则，解题的关键是理解并掌握复合函数单调性的判断规则及复合函数值域求法步骤。
高一数学必修第一册 第4章 专项拓展训练2 与对数函数有关的复合函数问题(解析版)
第4章 专项拓展训练2 与对数函数有关的复合函数问题一、单选题1．若函数()2g x ax bx c =++的图象如图所示，则函数()0.3log y g x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由()g x 的图象可得()1g x ≥，以及()g x 的单调性，再根据复合函数的单调性判断()0.3log y g x =的单调性，即可得解；【详解】解：由函数()g x 的图象，可知()1g x ≥，函数()g x 在(],1-∞上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，因为对数函数0.3log y t =是减函数，所以()0.3log 0y g x =≤，且在(],1-∞上是增函数，在[)1,+∞上是减函数，即只有C 满足条件．故选：C ．二、多选题2．已知函数()()2log 1(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，则下列为真命题的是（ ）A ．当2a =时，()f x 值域为RB ．存在a ，使得()f x 为奇函数或偶函数C ．当2a >时，()f x 的定义域不可能为RD ．存在a ，使得()f x 在区间(),2-∞上为减函数【答案】AC 【解析】对于A ，转化为整体真数部分能取遍一切正实数值，对于C,转化为自变量任意实数值时真数的值恒为正值，对应真数中的二次函数为正值．然后利用二次函数的性质可作出判定；对于B ，利用奇偶性的定义分别转化为关于x 的含有参数a 的等式，考察等式恒成立的条件，即可判定参数a 的无解，从而否定B ；对于D,考察函数在给定区间内为减函数的条件，注意结合复合函数的单调性法则和对数函数的单调性，同时注意函数在给定区间内真数大于零，探究满足条件的a 所满足的条件，研究发现无解，从而否定D.【详解】当2a =时，()2221211x ax x x x -+=-+=-,当1x ≠时可以取遍()0,∞+之间的一切实数值，从而()()2log 1a f x x =-可以取遍()-∞+∞，的一切值，即值域为R ,故A 正确；()2log (1)a f x x ax =-+的定义域是不等式210x ax -+>的解集，不论实数a 取何值，定义域都是无限集.要使()2log (1)a f x x ax =-+为偶函数，则()()f x f x -=,于是()2211x ax x a x -+=--+，即20ax =对定义域内的实数x 恒成立，0a ∴=,但此时对数的底数为零，无意义；要使()2log (1)a f x x ax =-+为奇函数，则()()f x f x -=-,即()()0f x f x -+=，于是()()()22111x ax x a x -+--+=，即()()22210x ax +-=对定义域内的任意实数x 恒成立，但此方程为四次方程，至多有四个不同的实数根，矛盾.综上，B 错误；210x ax -+>的解集为R ，等价于240a -<,即22a -<<,所以当2a >时，()f x 的定义域不可能为R ，故C 正确；要使()2log (1)a f x x ax =-+在区间()2-∞，上为减函数， 必须是21222210a a a >⎧⎪⎪≥⎨⎪-+≥⎪⎩故452a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩,无解，故D 错误. 综上可知，正确的只有AC,故选:AC.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，属中档题，对于此类对数函数与二次函数的复合函数，值域为R 的条件是整体真数部分能取遍一切正实数值，定义域为R 的条件是自变量任意实数值时真数的值恒为正值，对应真数中的二次函数首项系数为正值，判别式一个为大于等于零，另一个为小于零，两者要注意区分；探究函数的奇偶性时利用定义方法，注意得到在定义域内需要恒成立的等式，然后考察参数是否有可能满足条件；研究函数的单调性时，除了要注意复合函数的单调性的条件还必须注意在给定区间内有意义的要求.三、填空题3．函数()214()log 27f x x x =-++的值域为______． 【答案】3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求函数的定义域，求出真数部分的函数在定义域上的值域后可得原函数的值域．【详解】令2270x x -++>，则11x -<+设227t x x =-++，则2227(1)8t x x x =-++=--+，因为11x -<<+08t <≤，11443log log 82t ∴≥=-，∴函数()f x 的值域为3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 故填3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】在高中数学的起始阶段，函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用换元法把复杂函数的值域归结常见的函数的值域.4．若关于x 的方程221log (22)2[,2]2ax x -+=在区间上有解，则实数a 的取值范围为 【答案】3[,12]2【详解】方程()22log 222ax x -+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解,则2220ax x --=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解, 即在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有值使222a x x =+成立 设2222111222u x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭, 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时,3,122u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 3,122a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, a ∴的取值范围是3122a ≤≤. 故答案为:3,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题5．已知函数()()2log a f x ax x =-．（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）增区间为(),0-∞；减区间为()2,+∞；（2）1a >．【分析】（1）由12a =得()2121log 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先求出函数定义域，再由复合函数单调性的判定方法，即可得出单调区间；（2）先令()2g x ax x =-，根据函数在给定区间的单调性，分别讨论01a <<，1a >两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当12a =时，()2121log 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由2102x x ->，得220x x ->，解得0x <或2x >， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞， 令212t x x =-，则其在(),0-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增；又12log y t=是减函数；根据复合函数单调性可得：()f x 函数的增区间为(),0-∞，减区间为()2,+∞．（2）令()2g x ax x =-，则函数()g x 的图象为开口向上，对称轴为12x a=的抛物线， ①当01a <<时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递减，且()min 0g x >， 即()1421140164a g a ⎧≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩，此不等式组无解． ②当1a >时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递增，且()min 0g x >， 即()1222420a g a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得12a >，又1a >， ∴1a >， 综上可得1a >．所以实数a 的取值范围为(1,)+∞．【点睛】本题主要考查判断复合函数的单调性，考查由函数单调性求参数的问题，属于常考题型.6．已知函数()2log f x x =，()0,x ∈+∞．(1)解不等式：()()234f x f x +≥⎡⎤⎣⎦；(2)若关于x 的方程()()230f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦在区间[]1,2上有解，求实数m 的取值范围．【答案】(1){|2x x ≥或10}16x <≤(2)[]0,4【分析】（1）依题意可得()()140f x f x -+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即可得到2log 1x ≥或2log 4x ≤-，再根据对数函数的性质计算可得；（2）依题意()222log 3log m x x =+在[]1,2x ∈上有解．令2log t x =，()23g t t t =+，根据二次函数的性质求出()g t 的值域，即可求出参数m 的取值范围；【详解】(1)解：由()()234f x f x +≥⎡⎤⎣⎦，即()()140f x f x -+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得()1f x ≥或()4f x ≤-，即2log 1x ≥或2log 4x ≤-，解得2x ≥或1016x <≤，所以原不等式的解集为{|2x x ≥或10}16x <≤． (2)解：关于x 的方程()()230f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦在区间[]1,2上有解，即()222log 3log m x x =+在[]1,2x ∈上有解．令2log t x =，由[]1,2x ∈，得[]0,1t ∈，则23m t t =+，其中[]0,1t ∈．令()23g t t t =+，则()g t 在[]0,1上单调递增， 所以()()()01g g t g ≤≤，即()04g t ≤≤，所以04m ≤≤．故实数m 的取值范围为[]0,4．7．已知函数()()244log log 3f x x a x =-+，其中a 为常数．(1)当2a =时，求函数()f x 的值域； (2)若1444,4x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()127f x ≤≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)[)2,+∞(2)2,⎡-⎣【分析】（1）利用换元法转化为求二次函数的值域即得；（2）通过换元可得1,44u ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，242u a u u u -≤≤+恒成立，再利用函数的单调性及基本不等式求函数的最值即得.【详解】(1)当2a =时，()()244log 2log 3f x x x =-+．令4log t x =，易知R t ∈，于是求函数()f x 的值域等价转化为求函数223y t t =-+在R 上的值域．∵()222312y t t t =-+=-+的值域为[)2,+∞， ∴函数()f x 的值域为[)2,+∞．(2)设4log u x =，∵1444,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1,44u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ∵1444,4x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()()2441log log 327f x x a x ≤=-+≤恒成立， ∴1,44u ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，21327u au ≤-+≤恒成立， ∴1,44u ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，242u a u u u -≤≤+恒成立． 令()24F u u u =-，1,44u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 易知()24F u u u =-在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴()()max 244424F u F ==-=-， 令()2G u u u =+，1,44u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵()2G u u u =+≥=u =∴()min G u G ==∴2a -≤≤a 的取值范围是2,⎡-⎣．。
微专题27常见复合函数及其性质7种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题27 常见复合函数及其性质7种常考题型总结题型1 判断复合函数的单调性题型2 已知复合函数的单调性求参数题型3 求复合函数的值域或最值题型4 根据复合函数的值域或最值求参题型5 复合函数的奇偶性及应用题型6 与复合函数有关的不等式问题题型7 复合函数性质的综合应用1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：()[]x g f y =，令：()x g t =，则()()x g f y =转化为()()x g t t f y ==,其中t 叫作中间变量.()x g 叫作内层函数，()t f y =叫作外层函数.2.求复合函数单调性的步骤：①确定函数的定义域②将复合函数分解成两个基本函数 ()[]x g f y = 分解成()()x g t t f y ==,③分别确定这两个函数在定义域的单调性④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
))((x g f y =在),(b a 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”)(x g t =)(t f y =))((x g f y =增增增增减减减增减3.指数型复合函数值域的求法（1）形如()=xy f a （0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令=xa t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域，但要注意“新元t ”的范围．（2）形如()=f x y a（0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令()=f x m ，先求出()=f x m 的值域，再利用=y am的单调性求出()=f x y a的值域．4.对数型复合函数值域的求法（1）形如(log )=a y f x （0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ，再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域．（2）形如()log =a y f x （0>a ，且1¹a ）的函数的值域：令()=f x m ，先求出()=f x m 的值域，再利用log =ay m 的单调性求出()log =a y f x 的值域．题型1 判断复合函数的单调性【例1】函数()122(23)f x x x -=-++的单调递减区间为（ ）A ．[]1,1-B ．(],1-¥C ．(]1,1-D ．()1,3【答案】C【分析】令223t x x =-++，12u t -=，利用复合函数的单调性求解.【详解】解：由2230x x -++>，得2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以()f x 的定义域为{}|13x x -<<，令223t x x =-++，在(]1,1-上递增，在[1,3）上递减，又12u t -=，在()0,¥+上递减，所以()f x 在(]1,1-上递减，所以函数()f x 的单调递减区间为(]1,1-，故选：C【变式1】函数y =的单调递增区间是 .【答案】(),5-¥-【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性即可求出该函数的增区间．【详解】由2450x x +->得5x <-或1x >，∴函数y =的定义域为()(),51,¥¥--È+．∵函数245y x x =+-在(),5-¥-上单调递减，在()1,+¥上单调递增，又∵函数y =在其定义域()0,¥+上单调递减，∴函数y =在(),5-¥-上单调递增，在()1,+¥上单调递减．故答案为：(),5-¥-．【变式2】已知函数24()2x x f x -=，则函数()f x 的递增区间为（ ）A ．(4,)+¥B ．(,0)-¥C ．(,2)-¥D ．(2,)+¥【答案】D【解析】令24u x x =-，则函数()u x 在(),2-¥上单调递减，在()2,+¥单调递增，而函数2u y =在R 上单调递增，所以函数()f x 在(),2-¥上单调递减，在()2,+¥单调递增.故选：D【变式3】函数21181722x xy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø的单调递增区间为.【答案】[)2,-+¥【解析】设12xt æö=ç÷èø，则()2281741y t t t =-+=-+，对称轴为4t =，当4t ≥，即142xæö≥ç÷èø，即2x -≥，即2x £-时，12xt æö=ç÷èø为减函数，函数()241y t =-+为增函数，则21181722x xy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø为减函数，即函数单调减区间为(],2-¥-；当4t £，即142xæö£ç÷èø，即2x -£，即2x ≥-时，12xt æö=ç÷èø为减函数，函数()241y t =-+为减函数，则21181722xxy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø为增函数，即函数单调增区间为[)2,-+¥.故答案为：[)2,-+¥【变式4】函数()()2lg 4f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,¥+B ．(),0¥-C ．()2,+¥D ．(),2-¥-【答案】C【分析】求出函数的定义域，由复合函数单调性求出答案.【详解】函数()f x 的定义域为()(),22,¥¥--È+．令24t x =-，其中t 在(),2-¥-上单调递减，在()2,+¥上单调递增．()lg f t t =Q 为单调递增函数，()f x \的单调递增区间为()2,+¥．故选：C【变式5】函数()2ln 56y x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．(,6)-¥-B ．52æö-¥-ç÷èø,C ．5,2æö-+¥ç÷èøD ．(1,)+¥【答案】D【解析】由不等式2560x x +->，即(1)(6)0x x -+>，解得6x <-或1x >，又由函数256y x x =+-在(,6)-¥-单调递减，在(1,)+¥单调递增，因为ln y x =在定义域上为单调递增函数，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数()2ln 56y x x =+-的单调递增区间为(1,)+¥.故选：D.【变式6】若()()2log 1f x x =-在区间M 上单调递增，则M 可以是（ ）A ．(),2-¥-B ．()2,1--C ．()1,0-D ．()0,1【答案】D【分析】根据复合函数的单调性可知函数2log (1)y x =-在(,1)-¥上单调递减，且过原点(0,0)，进而得2()log (1)f x x =-在(0,1)上单调递增，即可求解.【详解】函数1y x =-在R 上单调递减，函数2log y x =在(0,)+¥上单调递增，又函数()f x 的定义域为(,1)-¥，所以函数2log (1)y x =-在(,1)-¥上单调递减，且过原点(0,0)，所以函数2()log (1)f x x =-在(,0)-¥上单调递减，在(0,1)上单调递增.故选：D.【变式7】已知函数()112æ=ç÷èøf x ，则()f x 的单调递增区间为，值域为 ．【答案】(,0]-¥(0,2]【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.【详解】令220x x ≥－，解得2x ≥或0x £，∴()f x 的定义域为(][),02,¥+¥U -，令1t =，则其在(,0]-¥上递减，在[2,)+¥上递增，又12ty æö=ç÷èø为减函数，故()f x 的增区间为(,0]-¥．∵11t ≥-，∴(]10,22tæöÎç÷èø，故()f x 的值域为(0,2]．故答案为：(,0]-¥，(0,2].题型2 已知复合函数的单调性求参数【例2】函数()2232x ax f x --=在[)1,+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是．【答案】(],1-¥【解析】设223u x ax =--，函数()2232xax f x --=在[)1,+¥上单调递增，函数2u y =在R 单调递增，故223u x ax =--在[)1,+¥上单调递增，故1a £.故答案为：(],1-¥.【变式1】已知函数()22321x x y a -+=-在区间[)1,+¥上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()(),11,-¥-È+¥B ．()1,1-C ．()1,+¥D．(),-¥+¥U【答案】D【解析】由题意知函数()22321x x y a -+=-由22(1),23t y a t x x =-=-+复合而成，223t x x =-+在[)1,+¥上为增函数，由复合函数的同增异减性，可知2(1)t y a =-需为R 上的增函数，故211a ->，∴22a >，∴a >或a < D.【变式2】设0a >，函数()22()log f x ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <£B ．102a <£C ．1a ≥D ．12a ≥【答案】C【分析】根据复合函数的单调性，列出关于a 的不等式，求解即可.【详解】因为函数()22()log f x ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，所以2y ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，且20ax x ->在(1,)x Î+¥上恒成立，所以011210a a a >ìïï£íï-≥ïî，解得1a ≥.故选：C【变式3】已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-¥B ．[6,)+¥C ．10,43éùêúëûD ．10,43æùçúèû【答案】C【解析】令2()1t x x ax =-+-，因为lg y t =为增函数，函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，所以2()1t x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，且(3)0t ≥，所以229310aa ì£ïíï-+-≥î，解得1043a ££，故选：C【变式4】若函数()()212log 65f x x x =-+-在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5,3éö+¥÷êëøB ．5,33éùêúëûC ．5,23éùêúëûD ．5,23éö÷êëø【答案】D【解析】由已知得2650x x -+->，解之得()1,5x Î，即()f x 的定义域为()1,5，又()f x 在区间()32,2m m -+内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：3233225m m m -≥ìí-<+£î，解得523m £<．故选：D【变式5】已知()21log 3af x x ax a=--（0a >且1a ¹）在区间(),1-¥-上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．10,2æùçúèûC ．1,12éö÷êëøD ．[)2,+¥【答案】B【分析】依题意可得()()2log 3a f x x ax a =---，即可得到()2log 3a y x ax a =--在区间(),1-¥-上为增函数，结合二次函数及对数函数的性质计算可得.【详解】函数()()221log log 33a a f x x ax a x ax a==-----，因为()21log 3af x x ax a=--（0a >且1a ¹）在区间(),1-¥-上为减函数，则()2log 3a y x ax a =--在区间(),1-¥-上为增函数，所以23y x ax a =--在区间(),1-¥-上单调递减，且大于(等于)0恒成立，log a y x =为减函数，所以()20112130a aa a ì<<ïï≥-íïï-+-≥î，解得102a <£，即实数a 的取值范围是10,2æùçúèû.故选：B【变式6】已知函数21,01()2,12x ax ax a x f x x -+-££ìï=í<£ïî，若12,[0,2]x x "Î，12x x ¹，都有()()21210f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,2]B ．(,1]-¥C ．(0,1]D ．(0,)+¥【答案】C【分析】由题意，函数()f x 是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求a 的取值范围.【详解】因为对于12,[0,2]x x "Î，12x x ¹，都有()()21210f x f x x x ->-成立，所以函数()f x 是增函数，则函数()101y ax a x =+-££和()2212x axy x -=<£均为增函数，且有112a -£，即10,1,221,a a a ->ìïï£íï≥ïî解得01a <£.故选：C ．题型3 求复合函数的值域或最值【例3】函数2222x x y -+=，[]1,2x Î-的值域是（ ）A ．RB ．[]4,32C ．[]2,32D ．[)2,+¥【答案】C【分析】根据二次函数的性质求出指数的范围，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】函数2222xx y -+=，是由2t y =和222t x x =-+，[]1,2x Î-复合而成，因为()222211t x x x -+==-+对称轴为1x =，开口向上，所以222t x x =-+在[)1,1-单调递减，在[]1,2单调递增，所以=1x -时，()()2max 12125t =--´-+=，1x =时，min 12121t =-´+=，所以15t ££，因为2t y =在R 上单调递增，所以15222232t y =£=£=，所以函数2222x x y -+=，[]1,2x Î-的值域是[]2,32.故选：C.【变式1】函数()()22log 22f x x x =++的值域为（ ）A ．(),1-¥B ．[)0,¥+C ．[)0,1D ．(],0-¥【答案】B【解析】函数()()22log 22f x x x =++的定义域为R ，令222t x x =++，则()2111t x =++≥，又2log y x =在[)1,+¥上单调递增，则22log log 10t ≥=，则函数()()22log 22f x x x =++的值域为[)0,¥+故选：B【变式2】函数()1422x x f x +=-+ 在11x -££时的值域是．【答案】[]1,2【解析】当11x -££时，1222x ££，函数22()(2)222(21)1x x x f x =-×+=-+，显然当21x =，即0x =时，min ()1f x =，当22x =，即1x =时，max ()2f x =，所以所求值域是[]1,2.故答案为：[]1,2【变式3】函数()()()22log 2log 4f x x x =×的值域为（ ）A ．RB ．1,24éö-+¥÷êëøC ．1,4éö-+¥÷êëøD ．3,2éö-+¥÷êëø【答案】C【分析】()()()221log 2log x x f x =++，设2log x t =，23124y t æö=+-ç÷èø，计算得到答案.【详解】()()()()()2222log 2log 41log 2log f x x x x x =×=++，设2log x t =，则()()223111232244y t t t t t æö=++=++=+-≥-ç÷èø，故函数的值域为1,4éö-+¥÷êëø.【变式4】已知函数()2m f x x-=，且()()415216f f -=．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()2243g x f x x =-+在[]1,2-上的值域．【答案】(1)()4f x x=(2)11,2434éùêúëû【分析】（1）由题目条件代入即可求得2216m -=，从而求出24m -=，即可求出()f x 的解析式.（2）由（1）可知，()221111684g x x æö=-+ç÷èø，由二次函数求值域即可求出函数()g x 在[]1,2-上的值域.【详解】（1）因为()()415216f f -=，所以224152160m m ---´-=，整理得()()22216210m m ---+=，即2216m -=或221m -=-（舍去），则24m -=，故()4f x x =．（2）由（1）可知，()()2242222111164316431684g x x x xx x æö=-+=-+=-+ç÷èø．因为[]1,2x Î-，所以，[]20,4x Î，所以221111116,243844x æöéù-+Îç÷êúèøëû．故()g x 在[]1,2-上的值域为11,2434éùêúëû．题型4 根据复合函数的值域或最值求参【例4】已知4323x x y =-×+的值域为[]1,7，则x 的取值范围可以为（ ）A ．[]2,4B ．(),0¥-C ．()[]0,12,4U D ．(][],01,2¥-È【答案】D【分析】令2x t =，根据值域解不等式组可得t 的范围，然后解指数不等式可得.【详解】令2x t =，则233y t t =-+，由题知，22331337t t t t ì-+≥í-+£î，解得11t -££或24t ££，即121x -££或224x ££，解得0x £或12x ££.故选：D【变式1】已知函数()121x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，则实数m 的值为.【答案】3【分析】根据图象的变换得到函数()121x f x -=-，然后根据函数图象求m 即可.【详解】作出函数()121x f x -=-的图象如图，函数()121x f x -=-在[]0,1上单减，在[)1,+¥上为增函数，又()01f =，()10f =，()33f =，\若函数()121x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，则实数3m =.故答案为：3.【变式2】已知函数()log 4a af x x xæö=+-ç÷èø在(0,)+¥上的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+¥B ．(],4¥-C ．(]0,4D ．()(]0,11,4È【答案】D【解析】设()4ag x x x=+-，因为()log 4a a f x x x æö=+-ç÷èø的值域为R ，所以()min 0g x £，又0,1a a >¹，,()0x Î+¥，所以444a x x +-≥=-，即()min 40g x =£，解得：04a <£且1a ¹，所以实数a 的取值范围是()(]0,11,4È.故选：D.【变式3】若函数()()2log 23a f x x x =--+（0a >且1a ¹）的最小值为－4，则实数a 的值为 .【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出.【详解】由题意知，2230x x --+>，解得31x -<<，因为()()()22log 23log 14a a f x x x x éù=--+=-++ëû，因为()3,1x Î-，则()20144x <-++£，又因为()f x 的最小值为－4，则01a <<，所以()2log 14log 4a a x éù-++≥ëû，即()min log 44a f x ==-，得44a -=，因为01a <<，所以a =.【变式4】已知函数()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<.(1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为2-，求a 的值.【答案】(1)()3,3-(2)13【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域；（2）求得()()2log 9a f x x =-，求出29x -的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数a 的等式，结合01a <<可求得实数a 的值.【详解】（1）解：对于函数()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<，有3030x x ->ìí+>î，解得33x -<<，因此，函数()f x 的定义域为()3,3-.（2）解：因为()()2log 9a f x x =-，且33x -<<，则2099x <-£，因为01a <<，则函数log a y u =为()0,¥+上的减函数，故()min log 92a f x ==-，可得29a -=，01a <<Q ，解得13a =.【变式5】已知函数()()()log 21log 82(0x xa a f x a =-+->且1)a ¹．(1)求函数()f x 的定义域；(2)是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,3；(2)存在实数a =时，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2．【分析】（1）由题意210820x xì->í->î解出x 即可；（2）利用换元法以及对数函数性质分析即可.【详解】（1）依题意210820x xì->í->î，即128x <<，所以03222,x <<即03x <<，所以函数()f x 的定义域为()0,3．（2）()()()()()log 21log 82log 2182x x x xa a a f x éù=-+-=--ëû，令()()()2,18xt g t t t ==--，则()()log a f x g t =，][1,22,4x t éùÎ\ÎëûQ ．易知二次函数()g t 的图像开口向下，对称轴为直线18922t +==，所以函数()g t 在[]2,4上单调递增，所以()()min max ()26,()412g t g g t g ====．假设存在满足题意的实数a ，当1a >时，函数log a y x =单调递增，max ()log 122a f x \==，解得a =或a =-（舍去），当01a <<时，函数log a y x =单调递减，max ()log 62a f x \==，解得a =综上，存在实数a =时，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2．【变式6】已知函数()()()25112a x a x f x --+-=的值域为()0,¥+，()()23log 85g x x x b =-+的值域为[)2,+¥，则a b -=（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】A【解析】因为函数2(5)(1)1()2a xa x f x --+-=的值域为(0,)+¥，所以函数2(5)(1)1y a x a x =--+-的值域为R ，所以50a -=，解得5a =，因为23()log (85)g x x x b =-+的值域为[2,)¥+，所以()22854516y x x b x b =-+=-+-的最小值为9，所以5169b -=，解得5b =，所以0a b -=．故选：A ．题型5 复合函数的奇偶性及应用【例5】已知3()31xx f x a =+-是奇函数，则=a （ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】A【解析】由函数3()31x x f x a =+-，可得31()3131x x x f x a a ---=+=-+--，因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，即3103131x x x a a +-+=--，解得12a =-.故选：A.【变式1】函数lnx ay x a-=+（a 为常数）的奇偶性为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．都不是【答案】A【解析】根据题意，设()lnx af x x a-=+，其定义域为{}x x a ¹±，()()lnln x a x af x f x x a x a--+-===--+-所以函数f （x ）为奇函数，故选：A ．【变式2】已知函数()222e ex x f x -+=+，则（ ）A ．()1f x +为奇函数B ．12f x æö+ç÷èø为偶函数C ．()1f x -为奇函数D ．12f x æö-ç÷èø为偶函数【答案】B【分析】方法一：可得()()1f x f x -=，即可得到函数()f x 关于12x =对称，从而得到12f x æö+ç÷èø为偶函数；方法二：求出12f x æö+ç÷èø的解析式，即可判断.【详解】方法一：因为()222e e x x f x -+=+，所以()()2221ee xx f x f x --=+=，所以函数()f x 关于12x =对称，将()f x 的函数图象向左平移12个单位，关于y 轴对称，即12f x æö+ç÷èø为偶函数.方法二：因为()2121221ee e e e 2x x x xf x +-+-æö+=+=+ç÷èø，x ÎR ，则()2211e e e22x xf x f x -æöæö-+=+=+ç÷ç÷èøèø，所以12f x æö+ç÷èø为偶函数；又()2221ee x xf x +-+=+，故()022111e e e f ==++-+，()422411e e e 1e f -=+++=，所以()()1111f f -+¹+，()()1111f f -+¹-+，故()1f x +为非奇非偶函数；又()22241ee x xf x --+-=+，故()466411e ee 1e f -=-=+-+，()022111e e e f ==+-+，所以()()1111f f --¹-，()()1111f f --¹--，故()1f x -为非奇非偶函数；又21231e e 2x x f x --+æö-=+ç÷èø，故533511e 1e e 2e f -æö--=+=+ç÷èø，11e e 2e 2f æö-=+÷è=çø，所以111122f f æöæö--¹-ç÷ç÷èøèø，111122f f æöæö--¹--ç÷ç÷èøèø，故12f x æö-ç÷èø为非奇非偶函数.故选：B题型6 与复合函数有关的不等式问题A ．1,1010æöç÷èøB ．()1,10C ．()1,11,1010æöç÷èøU D ．()10,10,10¥æöÈ+ç÷èø【答案】D【分析】先得到函数定义域和奇偶性，由复合函数单调性得到()21log 1f x x æö=++ç÷èø(0)+¥，上单调递减，结合(1)3f =，从而得到|lg |1x >，求出解集.【详解】()f x 的定义域为(0)(0)-¥+¥U ，，，又()()2211log 1log 1f x f x x x æöæö-=+=++=ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，故()f x 为偶函数，当0x >时，()21log 1f x x æö=++ç÷èø因为11t x =+，213u x=+在()0,¥+上单调递减，又()()2,log t h u g t ==在()0,¥+上单调递增，根据复合函数单调性可知，()21log 1f x x æö=++ç÷èø(0)+¥，上单调递减；又2(1)log 223f =+=，(lg )3f x <可化为(lg )(1)f x f <，即(|lg |)(1)f x f <，得|lg |1x >，即lg 1x >或lg 1x <-，解得10(10)10æö+¥ç÷èøU ，，.故选：D.【变式1】已知定义域为R 的函数()22x x f x -=-，则满足条件()()22100f t t f t ++->的实数t 的取值范围是 .【答案】2t >或5t <-.【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再变形不等式，即可求解.【详解】()()22x xf x f x --=-=-，所以函数为奇函数，且()22x xf x -=-为单调递增函数，所以不等式()()()()222100102f t t f t f t t f t ++->Û+>-，则2102t t t +>-，即23100t t +->，解得：2t >或5t <-.故答案为：2t >或5t <-【变式2】若函数()32e 1xf x x =-+，则()()()()()21012f f f f f -+-+++的值为 .；不等式()()212f x f x +->-的解集为 .【答案】5-1,3æö+¥ç÷èø【分析】根据函数的解析式，由()()2f x f x +-=-求得()()()()()21012f f f f f -+-+++的值，根据函数的单调性化简不等式()()212f x f x +->-，从而求得不等式的解集.【详解】∵()()()33222e 1e 1x x f x f x x x -+-=-+--=-++且()01f =-，∴()()()()()210125f f f f f -+-+++=-；又不等式()()212f x f x +->-可化为：()()()()21f x f x f x f x +->+-，即()()21f x f x ->-，且由基本初等函数知()f x 在R 上单调递增，∴()()21f x f x ->-，即21x x ->-，∴13x >.故答案为：5-；1,3æö+¥ç÷èø【变式3】函数()lg(931)x x f x a =×+-.(1)如果()0,1x Î时，()f x 有意义，求实数a 的取值范围；(2)当0a £时，()f x 值域为R ，求实数a 的值；(3)在（2）条件下，()()101f x g x =+.解关于x 的不等式()22(2)g x tx t g x +-≥.【答案】(1)[)0,¥+(2)0(3)答案见解析【分析】（1）变换1193x x a æöæö>-ç÷ç÷èøèø，令13xu æö=ç÷èø，计算最值得到答案.（2）令()931x xh x a =×+-，()h x 的值域包含()0,¥+，考虑0a =和a<0两种情况，计算得到答案.（3）确定()3x g x =，函数单调递增，得到2220x tx t x +-≥>，考虑2t <-，2t =-，02t >>-，0t ≥几种情况，解得答案.【详解】（1）()0,1x Î，9310xxa ×+->，即1193x xa æöæö>-ç÷ç÷èøèø，令13xu æö=ç÷èø，113u <<，则2a u u >-恒成立，221124u u u æö-=--ç÷èø，()2max110u u-<-=，故0a ≥，a 的取值范围为[)0,¥+.（2）令()931x xh x a =×+-，()h x 的值域包含()0,¥+，①0a =时，()31xh x =-，其值域为()1,-+¥，满足条件；②a<0时，()931xxh x a =×+-，令3x t =，0t >，22111124y at t a t a a æö=+-=+--ç÷èø，函数为开口向下的抛物线，()h x 的值域为1,14a æö-¥--ç÷èø，不满足条件；综上所述：0a =.（3）()lg(31)x f x =-，定义域为()0,¥+，()()1013f x x g x =+=，函数单调递增，2(2)(2)g x tx t g x +-≥，即2220x tx t x +-≥>，即()()()22220x t x t x x t +--=-+≥，且0x >，①当2t <-时，解集为{02x x <£或}x t >-；②当2t =-时，解集为{}0x x >；③当02t >>-时，解集为{0x x t <£-或}2x ≥；④当0t ≥时，解集为{}2x x ≥；【变式4】已知函数 ()221x xaf x -+=+是定义域为R 的奇函数.(1)求()f x 并判断 ()f x 的单调性；(2)解关于 x 的不等式()()()()22log 2log 20f x f x ++->.【答案】(1)21()21x x f x -+=+，()f x 在R 上单调递减；(2)．【解析】（1）由题意1(0)011af -+==+，1a =，此时21()21x x f x -+=+，2112()()2112x xx xf x f x ---+-+-===-++，()f x 是奇函数，设任意两个实数12,x x 满足12x x <，则122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以2122x x >，所以21220x x ->，又12120,120x x +>+>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减；（2）因为()f x 是奇函数，因此原不等式化为()()()()22log 2log 2f x f x +>--，又()f x 在R 上单调递减，所以不等式化为22log (2)log (2)x x +<--，即22log (4)0x -<，所以2041x <-<，又20,20x x ->+>，故解得2x <<所以原不等式的解集为．题型7 复合函数性质的综合应用数()f x 图像有5个交点，其横坐标从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则51i i x ==å（ ）．A ．0B ．5C ．6D ．10【答案】B 【分析】由题意可得，函数()g x 与函数()f x 的图像都关于点()1,0对称，有152x x +=，242x x +=，31x =，可求和.【详解】∵()1f x +为奇函数，函数图像关于原点对称，且()1f x +是由()f x 向左平移1个单位长度得到，∴()f x 的图像关于点()1,0对称，对于函数())ln =h x x ，定义域为R ，有()()))ln ln ln10h x h x x x -+=+==，∴函数()h x 为奇函数，其图像关于原点对称，∴函数()()()1ln 1g x h x x ù=-=-úû的图像关于点()1,0对称，∴152x x +=，242x x +=，31x =，∴515i i x ==å．故选：B ．【变式1】【多选】已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()10f =B ．()30f =C ．()20f =D ．()00f =【答案】AB【分析】由条件判断函数的对称性，即可判断选项.【详解】由条件可知，()()22f x f x -=+，函数关于2x =对称，()()11f x f x -+=-+，所以函数关于点()10，对称，因为函数的定义域为R ，所以()10f =，因为函数关于直线2x =对称，所以()30f =，所以AB 正确.故选：AB【变式2】【多选】已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()f x 为偶函数，当[]0,1x Î时，()21f x x =-+，则以下结论正确的有（ ）A ．点()1,0-不是()f x 的图象的对称中心B ．x "ÎR ，()()4f x f x +=C ．当[]5,7x Î时，()21235f x x x =-+D ．91053f æö=ç÷èø【答案】BCD【分析】利用函数对称性和奇偶性可得出()()20f x f x ++-=，进一步推导可判断B 选项；利用()()()2f x f x f x -=-=--结合函数对称性的定义可判断A 选项；利用函数对称性和周期性求出函数()f x 在[]5,7上的解析式，可判断C 选项；利用周期性计算可得出103f æöç÷èø的值，可判断D 选项.【详解】对于B 选项，因为()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -=-+，即()()110f x f x -++=，()()20f x f x ++-=，又因为()f x 为偶函数，则()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，所以，()()()42f x f x f x +=-+=，B 对；对于A 选项，()()()2f x f x f x -=-=--，即()()20f x f x -+-=，所以，点()1,0-是()f x 的图象的对称中心，A 错；对于C 选项，当10x -£<时，01x <-£，则()()()2211f x f x x x =-=--+=-+，所以，对任意的[]1,1x Î-，()21f x x =-+，所以，当[]1,3x Î时，121x -£-£，则()()()()2222121f x f x x x =--=--=--，故当[]5,7x Î时，[]41,3x -Î，所以，()()()224611235f x f x x x x =-=--=-+，C 对；对于D 选项，210102254133339f f f æöæöæöæö=-=-=--=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，D 对.故选：BCD.。
专题拓展指数型与对数型复合函数(技巧解密6考点过关检测)(原卷版)
专题拓展：指数型与对数型复合函数一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ，则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数，其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数．二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数． 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．三、复合函数的值域求解1、指数型复合函数值域的求法（1）形如()=xy f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域：令=xa t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域，但要注意“新元t ”的范围． （2）形如()=f x y a（0>a ，且1≠a ）的函数求值域：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用=y aμ的单调性求出()=f x y a的值域．2、对数型复合函数值域的求法（1）形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ，再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域．（2）形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域．考点一：判断复合函数的单调性例1．（2324高一上·河北石家庄·月考）已知函数24()2x xf x -=，则函数()f x 的递增区间为（ ）A ．(4,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【变式11】（2223高一上·广东·期末）函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 .【变式12】（2324高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数()()212log 45f x x x =--，则函数()f x 的减区间是（ ）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(),1-∞-D ．()5,+∞【变式13】（2324高一上·广东广州·期末）函数()2ln 56y x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．(,6)-∞-B ．52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,C ．5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞考点二：根据复合函数的单调性求参数例2.（2324高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数()2232xax f x --=在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【变式21】（2324高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数()22321x x y a -+=-在区间[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．((),2,-∞+∞【变式22】（2324高一上·江苏连云港·月考）已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．[6,)+∞C ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式23】（2324高一上·湖北·期末）若函数()()212log 65f x x x =-+-在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点三：求复合函数的最值或值域例3.（2324高一上·浙江杭州·月考）函数()()22log 22f x x x =++的值域为（ ）A ．(),1-∞B ．[)0,∞+C ．[)0,1D ．(],0-∞【变式31】（2324高一上·重庆·期末）函数2231()4x x y ++=的值域是 .【变式32】（2324高一上·福建三明·期中）函数()1422x x f x +=-+ 在11x -≤≤时的值域是 ．【变式33】（2223高一上·山东·月考）已知()f x 对数函数，并且它的图象过点32⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的解析式； (2)若()39x x g x f f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[3,27]x ∈，求()g x 的值域.考点四：根据复合函数的最值/值域求参例4.（2324高一上·四川成都·期末）已知函数()()()25112a x a x f x --+-=的值域为()0,∞+，()()23log 85g x x x b =-+的值域为[)2,+∞，则a b -=（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【变式41】（2324高一上·江苏南京·期末）已知函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+∞B ．(],4∞-C ．(]0,4D ．()(]0,11,4⋃【变式42】（2324高一上·山西长治·期末）已知函数()()23log 41f x x x a =-++-的最大值为2，则=a ．【变式43】（2223高一下·青海西宁·开学考试）若函数()f x =[)0,∞+，则a 的取值范围是 .考点五：复合函数的奇偶性及应用例5.（2324高一上·新疆伊犁·期中）已知3()31xx f x a =+-是奇函数，则=a （ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【变式51】（2324高一上·辽宁·月考）设0a >且1a ≠，若函数()()32x x xf x a =-是R 上的奇函数，则=a （ ）A B ．12C D 【变式52】（2324高一上·广东汕头·期末）函数lnx ay x a-=+（a 为常数）的奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．都不是【变式53】（2324高三上·福建莆田·月考）若函数()()1ln1x f x x a x -=-+为偶函数，则=a （ ） A ．1 B ．0C ．12D ．1考点六：与复合函数有关的不等式例6.（2324高一上·广东肇庆·期末）已知函数()f x 是定义在[][]4,11,4--⋃上的偶函数，当[]1,4x ∈时，2()log 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式(2)2()f x f x ≥.【变式61】（2324高一上·江西九江·期末）已知函数 ()221x x af x -+=+是定义域为R 的奇函数.(1)求()f x 并判断 ()f x 的单调性；(2)解关于 x 的不等式()()()()22log 2log 20f x f x ++->.【变式62】（2324高一上·辽宁大连·期末）已知定义域为R 的函数()2121x x a f x ⋅-=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)试判断()f x 的单调性，并用定义证明；(3)解关于x 的不等式()()44520x xf f --+-⋅<.【变式63】（2324高一上·广东深圳·期末）已知函数()y f x =的定义域为R ，对任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+，()12f -=，且当0x >时，()0f x <.(1)求()1,12f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)已知0m >，且1m ≠，若2log 103m f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.一、单选题1．（2223高一上·河北石家庄·月考）函数241()3x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．[81,)+∞B ．1,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,81⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．(,81]-∞-2．（2324高一上·浙江杭州·期中）函数()()()22log 2log 4f x x x =⋅的值域为（ ） A ．RB ．1,24⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3．（2324高一上·湖南娄底·期末）函数()()22log 45f x x x =-++的单调递增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,5D ．1,24．（2324高一上·广东佛山·月考）函数232()2xx f x -+=的单调递减区间为（ ）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．(,0)-∞5．（2324高一上·山东济宁·月考）已知()2212x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,3上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)3,+∞6．（2324高三下·广东·一模）已知函数()ln (0,0)1m x f x m n n x +=>>--是奇函数，则12m n+的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．3+D ．3+二、多选题7．（2324高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数()2()lg 1f x x ax a =+--则下列说法正确的有（ ）A ．当0a =时，函数()f x 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．函数()f x 有最小值C ．当0a =时，函数()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是(,3]-∞- 8．（2324高一上·湖北荆州·期中）已知函数243()2xx f x -+=，则（ ）A ．()f x 在[)2,+∞上单调递增B ．()f x 的值域为()0,∞+C ．不等式()256f x <的解集为()1,5-D ．若()2()ax g x f x -=⋅在(],1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围为[)2,-+∞三、填空题9．（2122高一上·山西忻州·期末）函数()22log y x x a ＝＋＋的值域为R ，则a 的取值范围为10．（2324高一上·广东茂名·期中）函数()()2lg 214lg 216x x y ⎡⎤=+-++⎣⎦的值域是 .11．（2122高一上·山东枣庄·期中）设0a >，且1a ≠，函数()21x xf x a a =+-在[]1,1-上的最大值为5，则实数a 的值为 .四、解答题12．（2324高一上·甘肃威武·月考）已知函数()24313ax x f x -+⎛⎫⎪⎝⎭=．(1)若1a =-，求()f x 的单调区间 (2)若()f x 有最大值3，求a 的值 (3)若()f x 的值域是()0,∞+，求a 的值13．（2324高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数()4lg 4mx f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，其中0m >且()()011f f +-=．(1)求m 的值和函数()f x 的定义域； (2)判断并证明函数()f x 的奇偶性； (3)求不等式()0f x <的解集．。
指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题
信号处理
在信号处理中，指数和对数的复合函数被用来进行 信号的调制和解调，以及滤波和频谱分析等操作。
控制工程
在控制工程中，指数和对数的复合函数可以 用来描述系统的动态响应和稳定性，以及进 行系统分析和设计。
THANKS
感谢观看
偶函数与偶函数的复合仍为偶函 数。
03
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的最值问题
最值的定义
最值定义
函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值点
函数取得最值的点。
端点值
函数在区间端点的函数值。
求最值的方法
导数法
通过求导找到函数的极值点，然后比较极值点和端点 值，确定最大值和最小值。
不等式法
利用不等式性质，通过比较函数在不同点的函数值来 求最值。
导数法
通过求导数并判断导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0 ，函数单调递减。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如果任意两点之间的函数值满足递增或递减关 系，则函数在该区间内单调。
复合函数的单调性
同增异减：如果内外层函数单调性相 同（都递增或都递减），则复合函数 单调递增；如果内外层函数单调性不 同，则复合函数单调递减。
判断复合函数单调性的关键则进行判断。
02
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的奇偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函 数。
VS
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
对数函数常见题型(解析版)
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
(压轴题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ）A ．111c a b =+ B ．221c a b =+ C ．122c a b =+ D ．212c a b =+ 2．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ）A ．(1)(1)0a c -->B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<3．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）. A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)5．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.36．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ）A ．134217728B ．268435356C ．536870912D ．5137658029．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.14．定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，设{}()max ,log xa f x a a x=--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.15．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.16．设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.17．若幂函数()2()57m f x m m x =-+在R上为增函数则1log 2log 2lg5lg4mm m+-=_____．18．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．设函数()122,12log ,1x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩，若()()04f f x =则0x ______.三、解答题21．已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇．函数，且3(1)2f =. （1）求k 的值，并判断()f x 的单调性（不要求证明）； （2）是否存在实数()2,3mm m >≠，使函数()()22(2)log 1x xm g x a a mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦在[]1,2上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值；如果不存在，请说明理由.22．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）. 23．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+=⎪+⎝⎭.24．（1）已知12x y +=，9xy =，且x y <，求11221122x y x y-+值；（2）求值：2(lg 2)lg5lg 20+⋅.25．已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠.（1）当2a =时，求(2)f ； （2）求解关于x 的不等式()0f x >；（3）若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值； （2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ），∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.3．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．4．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-，故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.5．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.6．C解析：C 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．A【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.9．C解析：C 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可． 【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算10．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.11．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==，则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010xxxg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.14．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力 解析：21(0,][log (2),)a a a++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可.【详解】解：()log log xxa a a a x a a x ---=-+，1a >，()log xa g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数，又1(1)log 10a g a a =-+=， 当()0,1x ∈时，log 0xa a a x -+<，当()1,x ∈+∞时，log 0xa a a x -+>，,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥，21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩，解得log (2)a x a ≥+或210x a <≤， 故答案为：21(0,][log (2),)a a a ++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.15．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型 解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为：[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.16．【分析】根据题意由韦达定理得进而得再结合换底公式得【详解】解：因为､是方程的两个实根所以由韦达定理得所以所以所以故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算其中两个公式的转化是解析：37±【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得1log log b acc b a==【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根， 所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-， 所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以11log log log log b c c acc b b a a===-故答案为： 【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.17．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键解析：3 【分析】利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去），1log 2log 2lg 5lg 4mm m∴+-=31log 23l l og 3g1003+=故答案为：3.【点睛】正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.18．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当（舍去）故答案为：或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算解析：1-或2 【分析】已知复合函数值求自变量，从外层求出里层，设0()t f x =，求出()4f t =对应的t 的值，再由0()t f x =求出0x 即可. 【详解】令0()t f x =，则()4f t =，当11,24,1tt t +≤==，若010001,()21,1x x f x x +≤===-，若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===， 当2211,()2log 4,log 2,4t f t t t t >=-==-=（舍去） 故答案为：1-或2. 【点睛】本题考查由函数值求自变量，涉及到简单指数和对数方程，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）1k =；()f x 为R 上的增函数；（2）存在，176m =. 【分析】（1）根据奇函数的性质和()312f =，代入求函数的解析式，并判断单调性；（2）由（1）可知()()2(2)2log 22221xx x x m g x m ---=+--+⎡⎤⎣⎦，并通过换元22x x t -=-，转化为()()()22log 3m g t t mt -=-+，讨论底数21m ->，和021m <-<两种情况，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系，结合外层函数的单调性，确定内层函数的最值，最后确定函数的最大值求m . 【详解】（1）∵函数()x xf x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数，0R ∈，∴(0)0f =，10k -=，∴1k =. 因为3(1)2f =，∴132a a -=，22320a a --=，2a =或12a =-， ∵0a >，∴2a =，()22x x f x -=-，因为2x 为增函数，2x -为减函数，所以()f x 为R 上的增函数.（Ⅱ）()()22(2)log 1xx m g x aa mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦()22(2)log 22221x x x x m m ---=+--+⎡⎤⎣⎦()()2(2)log 22223x x x x m m ---⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，∵[]1,2x ∈，∴315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()23h t t mt =-+， （1）当021m <-<，即23m <<时，要使()g x 最大值为0，则要min ()1h t =，∵22()()(3)24m m h t t =-+-，312m <<，315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，∴()h t 在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴min 3213()()242h t h m ==-，由min ()1h t =，得176m =，因17(2,3)6∈，所以176m =满足题意. （2）当21m ->，即3m >时，要使()g x 最大值为0，则要max ()1h t =，且min ()0h t >. ∵322m >， ①若321228m <≤ ，则max 1522515()()314164h t h m ==-+=，25760m =，又2min ()()3024m m h t h ==->，∴3m <<25760>∴25760m =不合题意. ②若2128m > ，即214m >，则max 32132132121()()02424248h t h m ==-<-⨯=-<，max ()1h t ≠，综上所述，只存在176m =满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数根据最值，求参数的取值范围，属于中档题型，本题的第一个关键点是换元化简函数，设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，第二个关键点是需分析外层函数的单调性，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系.22．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3) 【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<， 解得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-， 因为13x，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3). 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 23．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值； （2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫⎪+⎝⎭，即可证明结论.【详解】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-，当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=， 整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-； 当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=， 整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =；（2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=+--=-， ()()()()()()1111ln ln ln 1111m n m nf m f n m n m n +++++=+=----，()()()()11111ln ln ln 111111m nm n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn++++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+， 所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证. 24．（1）3-2）1. 【分析】（1）求出x y -的值，再化简11221122x y x y-+即得解；（2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】（1）因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=，又x y <，所以x y -=-所以1111222221122()3x y x y x y x y--====--+. （2）原式22(lg 2)lg5(1lg 2)(lg 2)lg5lg 2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛：解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点，再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解.25．（1）2-；（2）当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当01a <<时；()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）(31,2⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭.【分析】（1）将2a =直接代入解析式计算即可.（2）将()2()log log 20a a f x x x =-->整理为()()log 2log 10a a x x -+>，解得log 1<-a x 或log 2a x >，再对a 讨论即可解不等式.（3）将问题转化为min ()4f x ≥，分别分1a >和01a <<讨论，求()f x 最小值，令其大于4，即可求解.【详解】（1）当2a =时，()()222log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=-（2）由()0f x >得：()()()2log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>log 1a x ∴<-或log 2a x >当1a >时，解不等式可得：10x a<<或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1x a>或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,aa ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =2log 42log a a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=1a ≤<综上所述：a 的取值范围为(3,11,22⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题. 26．（1）1；（2）1010． 【分析】（1）根据4()42xx f x =+的表达式，求出()(),1f a f a -的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a +-=． （2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值．【详解】 （1）4()42xxf x =+，x ∈R ． ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力.。
对数型复合函数相关问题
令 =_x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_ >0 ∴ _x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_>0 _x001A_−1_x001B_<0<2
=_x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_
令 =−1 (4<<28)
−3<<−1
=_x001A__x001A_log_x001B__x001A_1_x001B_3_x001B__x001B__x001B__x001A_−1_x001B_ (4<<28) _x001B_
1，先求出函数定义域
01
1−_x001B__x001A_+3_x001B_><<1
定义域
内函数
外函数
复合函数
=_x001A__x001A_log_x001B__x001A_1_x001B_2_x001B__x001B__x001B_(−_x001A__x001B_2_x001B_+4)_x001B_
定义域
内函数
外函数
复合函数
=_x001A__x001A_log_x001B_3_x001B__x001B_(−_x001A__x001B_2_x001B_+4+5)_x001B_
在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0当 0＜x＜1 时，y＞0
复合函数值域求解
复合函数单调性求解
）
01
单击添加标题
单击此处添加正文
02
单击添加标题
单击此处添加正文
对数型复合函数相关问题
∵ 底数 10>1
∴ = 为增函数
4.求出复合函数单调性
定义域
综上
= − −
在 −∞, −1 单调递减
在 3, +∞ 单调递增
= − −
练习
1
=
2
2
= log 1
2
2
(−
+ 4)
定义域
=
定义域
= log 1 (− 2 + 4)
2
综合题：求下列函数的定义域，值域，单调性
2
= log 3 (− + 4 + 5)
1.先求定义域
− 2 + 4 + 5 > 0
+1 −5 <0
−1 < < 5
2.求内函数
= − 2 + 4 + 5 的值域和单调性
2
= − + 4 + 5
= log ( − )( + )
= log 1 − 1
3
(4 < < 28)
令 = − 1 (4 < < 28)
3 < < 27 = log 1
3
−3 < < −1
= log 1 − 1
3
(4 < < 28)
= log ( − )( + )
1，先求出函数定义域
1− +3 >
∴ −3 < < 1
2，求出内函数t值域
= 1− +3
2
= −( + 1) + 4
06-专项拓展训练1 与对数函数有关的复合函数问题高中数学必修一北师大版
B. 在区间 1, +∞ 上单调递减
C. 的值域为 lg 3, +∞
D. 的图象关于点 1,3 对称
BC
)
3 > 0,
【解析】 对于A，由ቊ
得 > 1,所以函数 的定义域为
− 1 > 0,
1, +∞ ，所以A错误；对于B， = lg
3
−1
=
3
lg(
−1
+ 3),令 =
法正确的是( AB
)
A.若函数 的定义域为，则实数的取值范围是
1+ 5
, +∞
2
B.若函数 的值域为[−1, +∞)，则 = 2
C.若函数 在[2, +∞)上单调递增，则实数的取值范围是 0, +∞
D.若 = 0，则不等式 < 1的解集为
3
−∞,
2
【解析】 因为 的定义域为,所以关于的不等式
函数
4.（多选）[2024广东汕头联考]已知函数 = log 2
则( AB
)
A.函数 的图象与轴有两个交点
B.函数 的最小值为−4
C.函数 的最大值为4
D.函数 的图象关于直线 = 2对称
2
− log 2 2 − 3，
【解析】
令 = 0，即 log2
（2）求不等式 2 − 2 + 3 − 2 < 0的解集.
【解析】 由（1）可知，
=
=
2−
log
+2
4
+2
=
−2−+4
log
+2
人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
A．指数函数 y＝2t B．对数函数 y＝log2t C．幂函数 y＝t3 D．二次函数 y＝2t2 答案：A
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来
的 2 000 元降到 1 280 元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
(1)我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没 有别的变化方式？
答案：有，还有指数衰减． (2)我们知道当底数大于 1 时，对数函数的增长速度越来越慢，那 么当底数小于 1 时，对数函数的变化有何特点？ 答案：当底数小于 1 时，对数函数的递减速度越来越慢．
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
(1)判断正误． ①实际问题中两个变量之间一定有确定的函数．( × ) ②解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( × ) ③在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该 函数模型．( × ) ④对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模 拟效果越好．( √ )
高中数学 必修 第一册
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
知识点三 建立拟合函数模型解决实际问题 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在 50 万元到 500 万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金 y(单位： 万元)随年产值 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 7 万元，同 时奖金不超过年产值的 15%. (1)若某企业产值 100 万元，核定可得 9 万元奖金，试分析函数 y ＝lg x＋kx＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明 原因(已知 lg 2≈0.3，lg 5≈0.7).
专题强化二 与指数函数、对数函数有关的复合函数(解析版)
强化专题二 与指数函数、对数函数有关的复合函数【题型目录】一、判断复合函数的单调性 二、已知复合函数单调性求参数范围 三、求复合函数的值域 四、求复合函数的最值五、与复合函数有关的不等式问题 六、判断复合函数的奇偶性【例题详解】一、判断复合函数的单调性1．设()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x ∈R ，则()f x 是（ ）A ．奇函数且在(,0)-∞上单调递减B ．偶函数且在(,0)-∞上单调递减C ．奇函数且在(0,)+∞上单调递减D ．偶函数且在(0,)+∞上单调递减2．函数()ln(2)ln(4)f x x x =++-的单调递减区间是（ ）． A ．[1,)+∞ B ．(1,4)C ．(,1]-∞D ．(2,1)-【答案】B【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判定即可确定函数的单调区间.【详解】由题意知()ln(2)ln(4)f x x x =++-的定义域为(2,4)-， 又2()ln(2)ln(4)ln(28)f x x x x x =++-=-++，而函数228y x x =-++图象的对称轴为1x =，当1x >时，函数递减， 故当14x <<时，2()ln(28)f x x x =-++单调递减， 即2()ln(28)f x x x =-++的单调递减区间是(1,4)， 故选：B3．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞)【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >， 即函数()25log 23y x x =+-的定义域为()(),31,-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数()25log 23y x x =+- 的单调递增区间是()1,+∞ ；故答案为：()1,+∞ . 4．求下列函数的单调区间： (1)232(1)xx y a a -++=>；(2)y ＝2|x －1|.（2）当[)1,x ∞∈+时，函数y ＝2x －1，因为t ＝x －1为增函数，y ＝2t 为增函数，∴y ＝2x －1为增函数；当x ∈(－∞，1)时，函数y ＝21－x .而t ＝1－x 为减函数，y ＝2t 为增函数，∴y ＝21－x 为减函数． 故函数y ＝2|x －1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．5．求函数223x x y a ＋－＝（a >0，且a ≠1）的单调区间． 【答案】答案见解析【分析】根据指数复合函数的单调性的性质，运用分类讨论法，结合二次函数的单调性、指数函数的单调性进行求解即可.【详解】设y ＝au ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4，得u 在（－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞）上为增函数． 当a >1时，y 关于u 为增函数； 当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞），减区间为（－∞，－1]； 当0<a <1时，原函数的增区间为（－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞）．二、已知复合函数单调性求参数范围 1．若函数221()x ax f x a -+=(0a >且1a ≠)在区间(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(1,4]D ．(,4]-∞2．已知函数()22log f x x ax =-在区间(]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．(][),02,-∞⋃+∞C ．()2,+∞D ．()(),01,2-∞()log f μ=2x μ∴=-①当0a <∴当(0,1x ∈3．已知函数()()log 6a f x ax =-在()0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,3 B ．()1,3C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【分析】根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为0a >，所以()6t x ax =-为减函数．又由函数()()log 6a f x ax =-在()0,2上为减函数，可得函数()6t x ax =-在()0,2上大于零，且1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a ．故选：A ．4．若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．5．若函数()()22133x a x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．6．对于函数()()212log 24f x ax x =-+，解答下列问题： (1)若函数定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数在(],3-∞内为增函数，求实数a 的取值范围．2193a，故实数三、求复合函数的值域1．函数212log (610)y x x =-+的值域是________.2．求下列函数的定义域、值域：(1)y=(2)2231.2x xy--⎛⎫= ⎪⎝⎭3．求函数11()()142x xy=++的值域．4．已知函数()24313x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调区间； (2)若[]1,4x ∈，求()f x 的值域.5．求下列函数的值域：(1)()22log 1y x =+；(2)()212log 2y x x =-．(1)211x +≥()22log 1x +2x -，则10u u >．，∴在()0+∞，12log 0u ≥．四、求复合函数的最值1．设函数()2212,0()log 2,0x x x f x x x ⎧--<⎪=⎨+≥⎪⎩，求()f x 的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．22．函数)04y x =≤≤的最大值是______．3．函数()12log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______.【答案】-24．函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为___________.5．已知函数113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时函数有最值.图象（下图中虚线），再将函数||13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象向左平移1个单位得到函数|1|13x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭图象，函数图象如下图所示：(2)解：由图象知函数在(,1]-∞-上是增函数，在(1,)-+∞上是减函数，即函数的单调递增区间为(,1]-∞-，单调递减区间为(1,)-+∞；(3)解：由图象知当1x =-时，函数有最大值1，无最小值.五、与复合函数有关的不等式问题1．已知函数||2()2log ||x f x x =+，且2(log )(2)f m f >，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1(,4)4B ．(4,)+∞C ．1(,)(4,)4-∞+∞ D ．1(0,)(4,)4⋃+∞ 【答案】D【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，则可将2(log )(2)f m f >化为2|log |2m >，根据对数函数的单调性解不等式，可得答案.【详解】根据题意，||2()2log ||x f x x =+，则||2()2log ||()x f x x f x --=+-=，故||2()2log ||x f x x =+为偶函数；且当0x >时，()22log x f x x =+为单调增函数，故2(log )(2)f m f >即2(|log |)(2)f m f >，则2|log |2m >，所以2log 2m >或2log 2m <-，解得4m >或104m <<， 故实数m 的取值范围为1(0,)(4,)4⋃+∞， 故选：D2．已知函数()()2log 4,4041,0x x x f x x ⎧+-<<=⎨-≥⎩，若()()3f f a >，则a 点的取值范围是______.12,0)(,)2+∞．3．不等式23124x x -≥的解集为__________. [2,)+∞【分析】先将原不等式变形为4．已知()f x 是在定义域()0,∞+上的单调函数，且对任意()0,x ∈+∞都满足：()()22log 4f f x x -=，则满足不等式()()22log 3f x x -<的x 的取值范围是________.【答案】(0,3)【分析】由换元法求出()f x 的解析式，再解原不等式【详解】由题意得()22log f x x -为正常数，令()22log ,0f x x t t -=>，则22l )o (g x t f x =+， 且2()2log 4f t t t =+=，解得2t =，原不等式为222log log (3)x x <，可得203x x x >⎧⎨<⎩，解得03x <<， 故答案为：(0,3)5．已知函数()()222log log 2f x x x =--.(1)若()0f x ， 求x 的取值范围; (2)当184x ≤≤时， 求函数()f x 的值域.6．已知函数()31x f x a +=，()521x g x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0a >，且1a ≠.(1)求f （x ）在[1，2]上的取值范围；(2)求不等式()()f x g x ≥的解集.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】(1)对a 的取值分类讨论，利用指数函数的单调性求出函数的最大、小值即可；(2)根据题意可得3125x x a a +-≥，对a 的取值分类讨论，利用指数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）当01a <<时，()31x f x a +=在[1，2]上是减函数，所以()()4max 1f x f a ==，()()7min 2f x f a ==，此时f （x ）在[1，2]上的取值范围是74a a ⎡⎤⎣⎦，.当1a >时，()31x f x a +=在[1，2]上是增函数，所以()()7max 2f x f a ==，()()4min 1f x f a ==，六、判断复合函数的奇偶性1．已知函数()()()1122log 4log 4f x x x =--+ (1)求函数()f x 的定义域；(2)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(3)求不等式()0f x <的解集.2．已知函数()e e e ex xx x f x ---=+. (1)判断函数()f x 的奇偶性，并进行证明；(2)若实数a 满足()()2122log log 10f a f a f ⎛⎫++-≤ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. ()f x 定义域为()f x ∴为定义在(2)()e e f x =2e 1x y =+由（1）知：12log a =。
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。
四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。
2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。
题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-题型二 根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ， 由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0， 即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负， 所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤， 故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦， 则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭， 令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦， 因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数， 所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=， 则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--， 又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值． 【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦， 令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3； 由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大， 当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =， 故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-， 当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-， 当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-， 综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥， 则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减， 所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=， 其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅， 所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+， 故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-， 等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 则a 的取值范围是______． 【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =， 因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<； 当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤； 综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点， 所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习资料分享[公司地址]突破4含指、对数式的复合函数问题【举一反三系列】【考查角度1奇偶性问题】方法导入一般利用奇偶性的定义进行判断.步骤第1步：求定义域，并判断定义域是否关于原点对称；第2步：验证f(-x)与f(x)的关系；第3步：得出结论.反思若定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数.【例1】（2018秋•和平区期中）设f（x ）＝判断函数f（x）的奇偶性.【分析】利用奇偶性定义判断；【答案】解：（1）根据题意，f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝＝f（x），则函数f（x）为偶函数；【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定，关键是在掌握函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【练1.1】已知函数f（x）＝log2（），（b≠0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，构造不等式，对b值分类讨论，可得不同情况下函数的定义域；（2）根据奇函数的定义，可判断出函数f（x）为奇函数，【答案】解：（1）当b＜0时，由＞0得：x∈（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，b）∪（﹣b，+∞），当b＞0时，由＞0得：x∈（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），故此时函数的定义域为：（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞），（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称，又由f（﹣x）＝log2（）＝log2（）＝﹣log2（）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【练1.2】（2019春•福田区校级月考）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；【分析】（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，我们可以构造关于x 的不等式组，解不等式组，即可得到答案．（2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性；【答案】解：（1）使解析式有意义的条件为，∴函数的定义域为x∈（﹣1，1）（4分）（2）函数的定义域关于原点对称，且，（6分）（7分）即f（﹣x）+f（x）＝0∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴f（x）为奇函数（8分）【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性和函数的奇偶性，是对数函数图象与性质的综合应用．【练1.3】（2019秋•保康县校级期中）已知函数f（x）＝lg（x+）﹣lg判断函数f（x）的奇偶性．【分析】注意到﹣x+＝，直接由奇偶性的定义判断即可．【答案】解：函数f （x ）的定义域为R ，∵f （﹣x ）＝lg （﹣x +）﹣lg＝lg ﹣lg＝lg ﹣lg （x +）＝﹣f （x ）∴f （x ）为奇函数；【点睛】本题考查复合函数的奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．【考查角度2单调性问题】方法导入复合函数单调性遵循“同增易减”的原则.步骤第1步：换元，将原函数拆分成两个函数；第2步：判断这两个函数的单调性；第3步：根据同增异减得到复合函数的单调性.反思注意优先考虑定义域，单调区间为定义域的子区间.【例2】（2019秋•工农区校级期中）已知函数y ＝（）x ﹣（）x +1的定义域为[﹣3，2]，求函数的单调区间．【分析】由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令t ＝，换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间；【答案】解：令t ＝，则y ＝t 2﹣t +1＝（t ﹣）2+当x ∈[1，2]时，t ＝是减函数，此时t ，在此区间上y ＝t 2﹣t +1是减函数当x∈[﹣3，1]时，t＝是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是增函数∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1]【点睛】本题考查指数函数单调性的运用，复合函数单调性的判断规则，解题的关键是理解并掌握复合函数单调性的判断规则及复合函数值域求法步骤。
【练2.1】（2019秋•铜官山区校级期中）已知函数f（x）＝log4（2x+3﹣x2），求函数f（x）的单调区间.【分析】由f（x）＝log4（2x+3﹣x2），先求出其定义域，再利用复合函数的单调性的性质，能求出函数f（x）的单调区间【答案】解：由f（x）＝log4（2x+3﹣x2），得2x+3﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3，设t＝2x+3﹣x2，∵t＝2x+3﹣x2在（﹣1，1]上单调增，在[1，3）上单调减，而y＝log4t在R上单调增，∴函数f（x）的增区间为（﹣1，1]，减区间为[1，3）．【点睛】本题考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，注意换元法和配方法的合理运用【练2.2】（2019秋•西安区校级期末）已知f（x）＝log4（4x﹣1）．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的单调性；【分析】（1）根据4x﹣1＞0求解即可（2）利用单调性的定义判断即可【答案】解：（1）4x﹣1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），（2）f（x）在（0，+∞）上单调增，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log4（4x1﹣1）﹣log4（4x2﹣1）＝log4又∵0＜x1＜x2，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1﹣1＜4x2﹣1∴0＜＜1，即log4＜0∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上单调增．【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．【练2.3】（2019秋•宝坻区期中）已知函数f（x）＝lg[（）x﹣2x]．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．【分析】（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，利用指数函数的单调性解出即可得出．（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．利用定义及其指数函数的单调性即可给出证明．【答案】解：（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，可得：﹣x＞x，∴x＜0．∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．（5分）（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．下面给出证明：设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则x2﹣x1＞0令g（x）＝（）x﹣2x，则g（x2﹣g（x1）＝﹣﹣+）＝﹣+﹣＝＝∵0＜＜1，x1＜x2＜0，∴﹣＜0g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．（15分）【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的定义单调性及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【考查角度3单调性中的含参问题】【例3】（2019秋•黄陵县校级期中）已知函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）＝x2﹣ax+a，y＝g（x）是单调递减函数，由复合函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，只要g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且g（x）＞0在x∈（﹣∞，）上恒成立，由此能求出a的取值范围．【答案】（本小题满分12分）解：令g（x）＝x2﹣ax+a，∵0＜＜1，∴y＝g（x）是单调递减函数，而已知复合函数y＝（x2﹣ax+a）在区间（﹣∞，）上是单调递增函数，∴只要g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且g（x）＞0在x∈（﹣∞，）上恒成立，即，∴2≤a≤2（+1），故所求a的取值范围是[2，2（+1）]．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．【练3.1】（2019春•大连校级月考）已知函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，求实数a的取值范围，并判断f（x）在x∈（﹣∞，1]上为是增函数还是减函数．【分析】由题意：函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，则x2﹣ax+在x∈（﹣∞，1]上必须大于0，即可求实数a的取值范围．根据复合函数的性质，同增异减，即可判断其单调性！【答案】解：由题意：函数f（x）＝log a（x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]上为单调函数，即：函数h（x）＝x2﹣ax+）在x∈（﹣∞，1]有h（x）＞0恒成立．那么：，解得：2＜a＜3，所以实数a的取值范围是（2，3）．∵2＜a＜3，∴f（x）＝log a h（x）（h（x）＞0）在定义域内是增函数．h（x））＝x2﹣ax+在x∈（﹣∞，1]是减函数，根据复合函数的单调性“同增异减”，可得f（x）在x∈（﹣∞，1]上为是减函数．【点睛】本题考查了对数函数的性质的运算能力和复合函数的单调性“同增异减”的运用能力．属于中档题．【练3.2】（2019秋•长安区校级月考）已知函数f（x）＝lg（m x﹣2x）（0＜m＜1）,试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明．【分析】利用函数单调性判断即可【答案】解：设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则△＝x2﹣x1＞0令g（x）＝m x﹣2x，则g（x2）﹣g（x1）＝m x2﹣2x2﹣m x1+2x1＝m x2﹣m x1+2x1﹣2x2∵0＜m＜1，x1＜x2＜0，∴m x2﹣m x1＜0，2x1﹣2x2＜0g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，∴△y＝lg（g（x2））﹣lg（g（x1））＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．【点睛】本题综合考查了函数的单调性，运用转化出不等式求解问题，属于中档题，但是难度不大．【练3.3】（2019秋•晋安区校级期末）已知函数f（x）＝log2（m+）（m∈R，且m＞0）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．【分析】（1）对数函数要有意义，必须真数大于0，即m+＞0，这是一个含有参数的不等式，故对m分情况进行讨论；（2）根据复合函数单调性的判断法则，因为y＝log2u是增函数，要使得若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数u＝m+在（4，+∞）上单调递增且恒正，据些找到m满足的不等式，解不等式即得m的范围．【答案】解：（1）由m+＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，∵m＞0，∴（x﹣1）（x﹣）＞0，若＞1，即0＜m＜1时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；若＝1，即m＝1时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；若＜1，即m＞1时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数g（x）＝m+在（4，+∞）上单调递增且恒正．所以，解得：．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．【考查角度4最值问题】方法导入通过换元转化为形式较为简单的函数（如二次函数或对数函数等），再求最值.第1步：换元，得到关于新元的较为简单的函数；步骤第2步：求关于新元的函数的最值。