开孔板问题

开孔板的问题（应力集中的问题）

一. 引言

应力集中即Stress concentration，是指受力构件由于外界因素或自身因素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象。

在弹性力学中，这是一类问题，应力在固体局部区域内显著增高的现象。多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹。在应力集中区域，应力的最大值（峰值应力）与物体的几何形状和加载方式等因素有关。局部增高的应力值随与峰值应力点的间距的增加而迅速衰减。由于峰值应力往往超过屈服极限而造成应力的重新分配，所以，实际的峰值应力常低于按弹性力学计算出的理论峰值应力。反映局部应力增高程度的参数称为应力集中系数k，它是峰值应力与不考虑应力集中时的应力的比值，恒大于1且与载荷大小无关。

二．产生应力集中的原因

构件中产生应力集中的原因主要有：

(1) 截面的急剧变化。如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。

(2) 受集中力作用。如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点等。

(3) 材料本身的不连续性。如材料中的夹杂、气孔等。

(4) 构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹。

(5) 构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的残余应力。这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。(6) 构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。

三．弹性力学中的应力集中

1.工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。

弹性力学研究‘小孔口问题’，应符合

(1)孔口尺寸＜＜弹性体尺寸，

孔口引起的应力扰动局限于小范围内。

(2)孔边距边界较远（＞1.5倍孔口尺寸）

孔口与边界不相互干扰。

当弹性体开孔时,在小孔口附近,将发生应力集中现象。 2. 孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部增大的现象。 特点：.（1）.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）

（2）.集中是在一定范围内，是局部现象，超过一定距离就无影响。 （3）.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。 3、1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q ， 图(a)。

将外边界改造成为圆边界，作()

R R r ρ=

则有

,,0

R q ρρϕρστ===

内边界条件为

,,0

r q ρρϕρστ===

利用圆环的轴对称解答，取

120,q q q

=→-

且R ＞＞r ，则得应力解答：

22221.1,0.()

r r q q a ρϕρϕσστρρ⎛⎫⎛⎫

=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

最大应力发生在孔边

()2,

r

q ϕρσ==

所以应力集中系数为2。

2、带小圆孔的矩形板. x, y 向分别受拉压力()

q ±,图(b)。

3、作

()

R R r ρ=圆，求出外边界条件为

()

,cos2,sin 2.R q q b ρρϕρσϕτϕ===-

内边界条件为

,,0

r q ρρϕρστ===

应用半逆解法求解(非轴对称问题): 由边界条件,假设cos 2,sin 2q q ρρϕσϕτϕ

∝∝-

由σ

Φ 关系,假设cos 2ϕΦ∝ ,所以设

()cos2f ρϕ

Φ=

代入相容方程43243223

299cos 20d f d f d f df d d d d ϕρρρρρρρ⎡⎤

+-+=⎢⎥⎣⎦

q

q

q

q q

q

q

r o

x

y

(a)

A

q

q

q

q q

q σρ

r o

x y

(b)

A

φ

τρφ

除去cos 2ϕ，为欧拉方程，得解

()422

.(e)

D f A B C ρρρρ=+++

前面给出的边界条件为：

(),cos2,sin 2.R q q b ρρϕρσϕτϕ=∝==- (b)

,,0

r q ρρϕρστ=== (c)

校核边界条件 (b) , (c) ,求出 A, B, C, D ，得应力解答：

2222442222cos 2113,cos 213,()

sin 2113r r q r q f r r q ρϕρϕσϕρρσϕρτϕρρ⎫

⎛⎫⎛⎫=--⎪

⎪⎪⎝⎭⎝

⎭⎪⎪⎛⎫⎪

=-+⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪

⎛⎫⎛⎫⎪

=--+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭

在孔边

()4cos 2r

q ϕρσϕ

==- ，最大、最小应力为4q ±，应力集中系数为4±

3、带小圆孔的矩形板，只受

x

向均布拉力

q 。

x

q q

y

o

q 2

q 2q 1q 1

q1+q22

q1+q2

2

q1+q22

q1+q22

q1-q22

q1-q22

q1-q22

(a)

(b)

q1-q22

(c)