2.1建立二次函数模型
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教学设计3
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教学设计3一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.1节《二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上，进一步研究函数图象和性质的重要内容。
这一节通过具体例子引入二次函数的概念，讨论二次函数的图象和性质，让学生体会函数与实际问题的联系，培养学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数知识基础。
但二次函数相对于一次函数，其图象和性质更为复杂，需要学生在已有的知识基础上，通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的特点。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的解析式。
2.能够绘制二次函数的图象，理解二次函数的顶点、开口方向等性质。
3.能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的概念，二次函数的解析式，二次函数的图象和性质。
2.难点：二次函数图象的绘制，二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的特点。
在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生提出问题，引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的教学课件，包括二次函数的图象、性质等内容。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用。
例如：某商品打8折后的售价为120元，原价是多少？让学生感受二次函数在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）利用课件展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，总结二次函数的特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际的例子，尝试用二次函数来解决问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生在课堂上完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
初中二次函数蕴含的思维方法
初中二次函数蕴含的思维方法作者：***来源：《教育·教学科研》2020年第03期“二次函数”是初中数学的重要组成部分，也是中考的热点和难点。
二次函数中蕴含着丰富的思维方法，学生掌握好了这些思维方法就能掌握好二次函数的知识内容，对以后学习有非常重要的作用，它不但能提升学生的思维能力，也能激发学生的潜力。
下面，笔者就二次函数中几种常用的思维方法进行简单的探究。
数形结合思维的应用我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”每个几何图形都蕴含着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过几何图形予以直观地反映和描述，所以数形结合思维也就成为研究数学的重要思维方法之一。
二次函数中“数”“形”并进，让学生做到见“数”识“形”，见“形”而想“数”。
1.1二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数a，b，c的关系。
例：如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，且过点（3，0），下列结论：①abc>0;②a-b+c0;④b2-4ac>0;正确的有（）个？A.1B.2C.3D.4解析：由抛物线开口方向得到a>0，由抛物线对称轴方程得到b=-2a1.2通过观察图象，由交点坐标可以直接写出不等式解集。
例：二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象（如图）：当y2>y1时，根据图象写出x的取值范围。
解析：通过观察图像可知，使得的的取值范围是：-2函数方程思维的应用方程和方程组是初中阶段比较重要的部分，并且与数学其他板块的关联性也比较强，同时还是解决其他数学问题的工具。
解决二次函数问题常常会使用方程和方程组的思维，同样求解一元二次方程解时，也可以用到二次函数图象来解决。
2.1求两个函数交点坐标的应用。
例：如图，函数y= 与y=-2x+8的图象交于点A、B.求A、B两点的坐标。
解析：联立函数y= 和y=-2x+8得到关于x，y的方程组，解出方程组即可得到A、B两点的坐标。
2.1二次函数定义
F
A E
B
练习：用20米的篱笆围一个矩形的花圃，设 连墙的一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数关系式. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
x
若一个二次函数的图象经过（-1， 10），（1，4）（2，7）三点，求这 个函数的解析式
3.某市9月份的房价为24000元/m² ，经连续2 个月降价，设平均下降率为x，11月份的房价 为y元/m² ，则y与x的函数关系式是 。
设人民币一年定期储蓄的年利率是x， 一年到期后，银行将本金和利息自动按一年 定期储蓄转存。如果存款是100元，那么请 你写出两年后的本息和y(元)的表达式 (1)不考虑利息税 y=100(1+x)² =100x² +200x+100 (2)考虑20%的利息税 y=100(1+80%x)² =64x² +160x+100
y=100x² +200x+100
y=64x² +160x+100
一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的 函数叫做x的二次函数。
条件：①是整式 ②二次项系数a≠0 ③自变量最高次数为2
你能举出一个二次函数的例子吗？
y kx b(k , b为常数，k 0)
一次函数
2 2
×
× √ a=10π,b=0,c=0
1 y 2 x x y 10r 2
例2、二次函数有哪些？指出它们a,b,c的值
y x x 5 y 3 x (2 x ) 3 x 1 y 2 3x 2 x 1 y x 5x 6
2 4 2 2 2
y x 2x 1 y ax bx c
数学模型的化归与构造
数学模型的化归与构造董红平;陈柏良【摘要】在解数学问题时,往往要根据题目的条件与特征,将数学问题化归为熟悉的数学模型或构造合适的数学模型.通过对数学模型的研究来解决实际问题,便是构造数学模型解题,其目的是利用转化和化归的思想,化繁为简,化难为易,化陌生为熟悉,使问题的解决更加简洁、合理、快捷、易懂.运用模型化归与构造求解问题,关键是明确化归的方向,即构造模型的目的是什么.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2012(000)002【总页数】5页(P16-20)【作者】董红平;陈柏良【作者单位】鲁迅中学浙江绍兴312000;绍兴市高级中学浙江绍兴312000【正文语种】中文在解数学问题时，往往要根据题目的条件与特征，将数学问题化归为熟悉的数学模型或构造合适的数学模型.通过对数学模型的研究来解决实际问题，便是构造数学模型解题，其目的是利用转化和化归的思想，化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉，使问题的解决更加简洁、合理、快捷、易懂．运用模型化归与构造求解问题，关键是明确化归的方向，即构造模型的目的是什么．《浙江省普通高考考试说明》中关于数学学科考试提到：要按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养．在能力要求方面，明确提到：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决；能选择有效的方法和手段分析信息，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．纵观近几年浙江省数学高考试题，不乏运用“模型化归与构造”思想求解的题目，且达到了一定的深度．常用的数学模型有函数模型、数列模型、不等式模型、三角模型、概率模型、几何模型等．重视对模型化归与构造的考查，是数学高考命题多年来所坚持的方向．构造数学模型是一种重要、灵活的思维方式，由于它常常“隐藏”在各种题型中，因此需要考生具有敏锐的洞察、丰富的联想和灵活的构思能力．此类试题能有效地检测考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能，因而，常常被高考命题者所青睐．函数模型是高考的热点和重点，题型既有小题又有大题，解题中常需针对所要解决的问题,构造相应的基本初等函数模型，通过它们的性质(单调性、极值和最值等)来寻求解题的思路．2.1.1 构造一次函数模型例1 某地区居民生活用电分为高峰和低谷2个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价如表1所示：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元.分析本题求解的关键是题意的正确理解和函数模型的构造以及快速的运算能力．解设高峰用电x千瓦时，低谷用电y千瓦时，则当50<x,y≤200时，电费f(x,y)= 50×0.568+(x-50)×0.598+50×0.288+(y-50)×0.318=0.598x+0.318y-3=148.4(元)评注应用性问题考查的方法很多，根据浙江省自主命题的特点，考查主要以客观题形式出现，且以函数模型的应用为主.2.1.2 构造二次函数模型例2 设函数f(x)=x2-1，对任意有恒成立，则实数m的取值范围是________．分析本题主要考查不等式恒成立和二次函数的最值问题，考查转化思想．解由题意知在上恒成立,分离参数得构造函数y=--+1，当x=时，ymin=-，即解得评注求解恒成立问题常采用分离参数后化归为求函数的最值的方法，如m≥f(x)恒成立等价于m≥fmax(x),m≤f(x)恒成立等价于m≤fmin(x)等.二次函数是高考考查的重点内容，备考时应重视对这方面知识的复习．2.1.3 构造二次分式型函数模型例3 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________．分析本题主要考查基本不等式的应用,求解时要注意1的代换．解令S=2x+y,则因为xy≠0，所以当且仅当=，即4x2=y2时等号成立，此时评注本题也可直接应用基本不等式或构造直线与二次曲线有公共点的模型，求解时要结合配凑的技巧.最后的结果要注意开方，避免出错．2.1.4 利用公式构造函数模型例4 f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf ′(x)-f(x)<0.对任意的正数a，b,若a>b，则必有A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)C.af(a)<bf(b)D.bf(b)<af(a)分析本题考查商函数的求导、单调性和导数的关系，解题时要认真审题，注意导数的合理运用.解构造函数F(x)=(x>0)，求导得由已知条件得F′(x)<0，即F(x)=在(0,+∞)上单调递减. 又a>b>0，得即bf(a)<af(b).故选B．评注商函数的求导是求解本题的关键，根据选项信息构造函数，结合单调性来处理．2.1.5 构造其他函数模型例5 已知不等式对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围．分析本题的难点在于不等式左边的式子很难求和，注意到左式与n有关，而右式与n无关.从函数的观点看，左式是关于n的函数，要使原不等式成立，即求这个函数的最小值大于右式，即转化为求函数最值的模型．解设f(n)=+++…+,其中n∈N*,n≥2，则+-=>0，因此f(n)是关于n的递增函数，即要使不等式成立，只需满足>loga(a-1)+，解得实数a的取值范围是评注本题主要考查函数思想在解决不等式、数列等问题中的应用，需要学生有较强的综合分析能力和解决问题能力.2011年浙江省数学高考理科试题以解答题的形式对数列知识进行考查，体现了命题者对数列考试要求的转变．数列作为特殊的函数，与方程、不等式、三角函数、解析几何等联系紧密.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力．例6 已知函数f(x)=x+，h(x)=,试比较与的大小．分析本题是压轴题，难度较大，对分析运算的能力要求较高.由联想到数列求和，而f(100)·h(100)可看成新数列的前100项和．解设数列{an}的前n项和Sn，且从而当2≤k≤100时，ak= Sk-Sk-1=·-·.又ak-=[(4k-3)·-(4k-1)·]=即对任意的k(2≤k≤100)，有ak>成立．又因为a1=1=，所以故评注本题运用数列的方法解决函数问题，运用“差值比较法”比较大小.解答此类问题时，应充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立有关等差(比)数列、递推数列的模型，再综合其他相关知识来解决．2.3.1 构造基本不等式模型例7 已知x,y,z∈R，x-2y+3z=0，求的最小值.分析已知条件是x,y,z的代数和，而要求的是乘积xz，易联想到基本不等式模型. 解将x-2y+3z=0移项平方得从而≥3，即的最小值为3.评注本题主要考查二元基本不等式，运用消元的思想进行求解，这是高考考查的重点内容之一．2.3.2 构造柯西不等式模型例8 若正实数a,b,c满足abc=1，求++的最小值.分析本题考查利用三维柯西不等式和三元均值不等式求最小值，求解的关键是添项．解由柯西不等式得又由均值不等式知从而式(1)≥(a2+b2+c2)≥=，当且仅当a=b=c=1时等号成立.故++的最小值为．评注应用柯西不等式和均值不等式证明一些简单的不等式、解决最大(小)值问题是自选模块《数学史与不等式选讲》中的常规问题.解题的难点是配凑相应的项，使用时应重点掌握不等式(包括变形)的结构特征．例9 若数列{an}共有11项，a1=0，a11=4,且|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,10),则满足条件的不同数列的个数为A．100 B．120 C．140 D．160分析原问题等价于“从数轴上原点出发，每次向左(或右)走一个单位长度，走10步，到达4所对应的点，求不同的走法有几种”.解因为10步中有3步向左走、7步向右走，所以共有种不同的方法.评注本题的立意是要求学生真正理解、领悟知识的本质，思维要求较高，值得关注．2.5.1 构造圆模型例10 已知平面向量α,β,(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．分析本题考查平面向量的四则运算及其几何应用，突出考查问题的转化能力和运用数形结合方法解题的能力．解设则在△OAB中，|OB|=1，∠A=60°.设△OAB的外接圆半径为R，则由正弦定理得2R==为定值．由平面几何知识可知，点A在△OAB外接圆的一段优弧上运动，故α(即的最大值为2R，即|α|评注在近几年的浙江省数学高考试题中，平面向量试题的命制往往兼顾向量的代数性质和几何背景,而构造适当的平面图形，借助平面几何的性质解题已成为一道独特的“风景”．2.5.2 构造圆柱模型例11 如图1所示，AB是平面α的斜线段，A为斜足.若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是A．圆 B．椭圆C．1条直线 D.2条平行直线分析如图2所示，因为△ABP的面积为定值，AB是定线段，所以动点P到定线段AB的距离为常数(不妨设为d)，则P在以直线AB为轴，半径为d的圆柱侧面上，于是可结合圆柱模型作答.解由于动点P的轨迹为圆柱侧面被平面α所截的图形，而轴AB是平面α的斜线段，于是圆柱侧面与平面α斜交，因此动点P的轨迹为椭圆.故选B.评注本题是立体几何中的轨迹问题，解题的关键是理解圆锥曲线的“由来”，这提示我们应充分重视课本知识和数学概念，理解其本质含义．2.5.3 构造正方体模型例12 一个四面体所有棱长都是，4个顶点在同一球面上，则此球表面积为A．3π B.4π C.3π D.6π分析若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错.把正四面体补形成正方体，则迎刃而解.解如图3所示，正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共点.因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径R=，S球=4πR2=3π.故选A．评注补形是解立体几何题的一种重要方法.几何体的补形要围绕已知条件来进行，通常策略是把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把不规则几何体补成规则几何体等．1．设向量a,b,c,满足|a|=|b|=1，a·b=-，<a-c,b-c>=60°，则|c|的最大值等于A．2 B. C. D.12．若AB=2，AC=BC,则S△ABC的最大值为________．3．已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=0，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1，l2的距离之和的最小值是________．4．求函数y=的值域．5．设实数x,y满足3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．6．圆x2+(y-1)2=1上任意点P(x,y)中的x,y对不等式x+y+m≥0恒成立，求m的取值范围．参考答案1．A 2．2 3．1。
2020年北师大版九年级数学下册课件：2.1 二次函数 (共20张PPT)
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.
【完整升级版】浙教版第二章二次函数教案
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)课题：2.1二次函数教学目标：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：（1）面积y (cm2)与圆的半径x ( Cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文x 两年后王先生共得本息y元;(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为x (cm), 种植面积为y (m2)（一）教师组织合作学习活动：1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。
2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。
（1）y =πx2（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法。
最新2.1《二次函数》参考教案2
§二次函数教学目标1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.教学重点1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 教学方法探索—总结—运用法.课程资源与利用教学课件.教学内容及过程设计意图一、问题思考1.某工厂方案为一批正方体形状的产品涂上油漆，假设正方体的棱长为a(m)，那么每个正方体需要涂漆的外表积S(m2)如何表示？2.2021年7月，我国发行奥运纪念版人民币受到广阔收藏者的喜爱，原面值10元.经过两次增长(增长率一样)，假设设增长率为x，奥运纪念版人民币面值为y元，那么y与x的关系式如何表示？二、知识回忆函数的定义及函数的分类.三、探究新知1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所承受的阳光就会减少.根据经历估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式.2.设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).3. (1)矩形的周长为40cm ，它的面积可能是100cm 2吗？可能是75cm 2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？(2)两数的和是20，设其中一个数是x ，你能写出这两数之积y 的表达式吗？四、思考归纳1.二次函数的定义.2.二次函数的判断.五、新知运用1.以下函数中，哪些是二次函数？(1)y=3(x-1)2+1； (2)； (3)s=3-2t 2； (4)； (5)y=(x+3)2-x 2； (6)v=10πr 22.以下函数中不是二次函数的是( )A.y=3x 2+4；B.y=-x 2；C.y=-x 2+x 3-5； =(x+3)(x-2).3.函数y=(m-n)x 2+mx+n 是关于x 的二次函数的条件是( )A.m 、n 为常数，且m≠0B.m 、n 为常数，且m≠nC.m 、n 为常数，且n≠0D.m 、n 可以为任何常数4.函数y=ax 2+bx+c(其中a ，b ，c 是常数)，____是二次函数；____时，是一次函数；____时，是正比例函数.5.函数()22221m y m x x -=++-是关于x 的二次函数，那么m=____.6.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？7.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件.假设他将每件商品售出价提高为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式.六、总结回忆1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.4.二次函数是某些单变量最优化问题的数学模型.对二次函数的研究为进一步学习函数,体会函数思想奠定根底,积累经历.七、布置作业习题〔30页〕体会函数的生活化，激发学生的学习兴趣.八、教学反思课后，结合组内教师的评课，我自己也进展了认真反思：成功之处：1.对二次函数的学习，本节课通过丰富的现实背景，通过学生感兴趣的问题，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值.对二次函数的学习，通过学生的探究性活动(经历数学化的过程)，通过学生之间的合作与交流，通过分析实际问题，如探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系.2.设计大量的可以表示为二次函数、利用所学的二次函数知识可以解决的实际问题，开展学生的数学应用能力；利用“想一想〞，提出进一步的最大产量的问题；用统计的方法得到关于最大产量的一种猜测，问题的最后让学生初步感受二次函数能解决最优化的实际问题.在“做一做〞的活动中，把两年后的本息和y 与年利率x的关系表示为二次函数；在以上两例的根底上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，为新知的理解做好了铺垫.3.在新知的稳固应用环节，我精心设计了不同题型的问题，很好稳固应用了本节的新知，课堂到达了较好的教学效果.4.本节课我注重训练学生书写的标准性，让学生养成良好的答题标准习惯.缺乏之处：1.在分组教学时，对用统计的方法得到关于最大产量的一种猜测，课堂上有一局部学生没有充分参加计算，此处给学生的时间少一些.2.在“做一做〞的活动中，把两年后的本息和y与年利率x的关系表示为二次函数的过程中，没有让学生有更多的交流和互相评价，有些学生对列函数关系式不是完全理解.总之，通过本节课，让我真正意识到：对于每节课的教学不能仅仅凭经历设计.在每节课的课前，一定要进展精心的预设.在课堂中，同时要结合课堂的实际效果和学生的情况注意灵活处理课堂生成.课堂上在进展分组教学时，提前预设好教学时间，在每节课上，既要放的开，同时又要注意在适当的时机收回，以保证每节教学根本任务完成.。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
初中数学教学课例《“2.1二次函数”教学设计》教学设计及总结反思
要环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为 行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流”的新课 标的要求。本设计同时还注重发挥多媒体的辅助作用， 使学生更好地理解数学知识；在学习的过程中，前面所 学的反比例函数和一次函数起到了“脚手架”的作用。 本课例体现的自主学习方式是以学生为学习的主体，通 过独立思维、分析、探索、实践、质疑、创造等，达到 学习目标。要培养学生的自主学习能力，教学重心就要 以“教师的教”转移到“学生的学”上来。教师的主导 作用应体现在恰当帮助学生选择自主学习的内容和进 程；详细监控学生自主学习的全过程，并及时予以调整 和指导；做好进行个性化指导的各种准备等方面。通过 学生之间的讨论，激发他们学习数学的兴趣和积极性， 体会数学从实践中来，培养学生的主体意识、合作意识 和创新意识。通过与其它知识的联系以及不断地应用， 在后续的学习中，通过基本初等函数，引导学生以具体 函数为依托、反复地、螺旋上升地理解二次函数的本质
本课重点：对二次函数概念的理解。 本课难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变 量的取值范围。
九年级学生的思维处于具体运算阶段向形式运算 阶段的过渡时期，这是一个关键时期，需要由类比、归 纳方法逐步向演绎方法过渡的教学方法支持。就学生的 学生学习能 起点水平而言，由于在八年级学习了《数量的变化》， 力分析 《位置的的变化》，《一次函数》等，因此知道变量、 自变量、因变量的定义，了解平面直角坐标系的有关知 识，能判断图象上点的坐标的实际意义和变量的变化趋 势，知道常见的公式，会求代数式的值。
问题 3 三角形面积为 3cm2，求底边上的高 ycm 与 底边 xcm 之间的函数关系式
问题 4 一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩 展，扩大的圆的面积 S 与半径 r 之间的函数关系式是 ——。
二次函数
二次函数1 二次函数1.1 二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如c bx y ax ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx y ax ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 1、下列函数，其中图象为抛物线的是（ ） A ．y ＝x1B ．y=2xC ．y=x 2D ．y=2x+32、已知方程02=++cy bx ax （a ≠0、b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．1.2 根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．1、某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．2、如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O1与AB 切于点M ，设⊙O1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式是 （要求写出自变量x 的取值范围）．3、如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ．y=x 2252 B ．y=x 2254 C ．y=x 252 D ．y=x 2542 二次函数的图象与性质2.1 二次函数的图象2.2 二次函数的性质1、已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2、函数y=xk 与y=-kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．3、抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是 ．4、如图，已知函数y=−x3与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ．点P的纵坐标为1．则关于x 的方程ax 2+bx+x3=0的解为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= ．6、如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 ．7、对于二次函数y=）（12x +2的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是x=-1C ．顶点坐标是（1，2）D ．与x 轴有两个交点8、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x=21C ．当x ＜21，y 随x 的增大而减小D ．当-1＜x ＜2时，y ＞02.3 二次函数图象与系数的关系 二次函数c bx y ax ++=2（a≠0）①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）． ④抛物线与x 轴交点个数．△=ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=ac b 42-=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点．1、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ） A ．c ＞0B ．2a+b=0C ．ac b 42-＞0D ．a-b+c ＞02、二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ） A ．（-1，-1）B ．（1，-1）C ．（-1，1）D ．（1，1）3、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+c 的图象不经过第 象限．4、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①b 2＞4ac ； ②abc ＞0； ③2a-b=0； ④8a+c ＜0； ⑤9a+3b+c ＜0．其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）2.4 二次函数图象上点的坐标特征二次函数c bx y ax ++=2（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；．①抛物线是关于对称轴ab2-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +．1、设抛物线c bx y ax ++=2（a ≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．2、已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y=x 2-1上，下列说法中正确的是（ ）A ．若y 1=y 2，则x 1=x 2B ．若x 1=-x 2，则y 1=-y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 22.5 二次函数图象与几何变换1）、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 2）、 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1、若将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）A ．y=）（22+x +3 B ．y=）（22-x +3 C ．y=）（22+x -3 D ．y=）（22-x -3 2、在平面直角坐标系中，把抛物线y=-x221+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是 ．2.6 二次函数的最值（1）当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=ab2-时，y=ab ac 442-．（2）当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=ab2-时，y=ab ac 442-．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．1、如图，P 是抛物线y=-x 2+x+2在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．2、当-2≤x ≤1时，二次函数y=-)(2m x -+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A ．-47B ．3或−3C ．2或−3D ．2或3或−472.7 待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．1、如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B （0，-2）．它与反比例函数y=-x8的图象交于点A （m ，4），则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y=x 2-x-2B ．y=x 2-x+2C ．y=x 2+x-2D ．y=x 2+x+22、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c= ．2.8 二次函数的三种形式1）、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2）、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3）、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.1、函数y=a ·sin x ·cosx+b ·sinx+b ·cosx+c 运用换元法可以化简为：将 设为t ，则化简为 ．友情提醒：x sin 2=1-x cos 22、把二次函数y=-41x2-x+3用配方法化成y=a )(2h x -+k 的形式（ ）A ．y=-41)2(2-x +2B ．y=41)2(2-x +4C ．y=-41)2(2-x +4D ．y=)2121(2-x +33 实践与探究3.1 抛物线于x 轴的交点求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即c bx ax ++2=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程c bx ax++2=0根之间的关系．ac 4b 2-=∆决定抛物线与x 轴的交点个数． ac 4b 2-=∆＞0时，抛物线与x 轴有2个交点； ac 4b 2-=∆=0时，抛物线与x 轴有1个交点； ac 4b 2-=∆＜0时，抛物线与x 轴没有交点．（2）二次函数的交点式：12()()y a x x x x =--（a ，b ，c 是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x 轴的交点坐标（x 1，0），（x 2，0）．1、已知抛物线y=x 2-x-1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2-m+2014的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．20152、如图，抛物线y=a x2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a-2b+c的值为．3.2 图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= ．2、根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.263.3 二次函数与不等式（组）二次函数2=++（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系y ax bx c①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．1、二次函数2=++（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取y ax bx c值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32、如图是抛物线2=++的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一y ax bx c交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3.4 二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．1、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．2、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．3.5 二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．1、如图，已知抛物线y 1=-x 2+1，直线y 2=-x+1，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1，y 2．若y 1≠y 2，取y 1，y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=2时，y 1=-3，y 2=-1，y 1＜y 2，此时M=-3．下列判断中：①当x ＜0时，M=y 1；②当x ＞0时，M 随x 的增大而增大； ③使得M 大于1的x 值不存在；④使得M=21的值是-22或21，其中正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42、已知抛物线y ＝21x2+bx 经过点A （4，0）．设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD-CD|的值最大，则D 点的坐标为 ．。
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人教版初中数学目录：七年级上册第一章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.3 有理数的加减法1.4 有理数的乘除法1.5 有理数的乘方第二章整式的加减2.1 整式2.2 整式的加减第三章一元一次方程3.1 从算式到方程3.2 解一元一次方程(一)3.3 解一元一次方程(二)3.4 实际问题与一元一次方程第四章图形认识初步4.1 多姿多彩的图形4.2 直线、射线、线段4.3 角4.4 课题学习设计制作长方体形状. 七年级下册第五章相交线与平行线5.1 相交线5.2 平行及其判定5.3 平行线的性质5.4 平移第六章平面直角坐标系6.1 平面直角坐标系6.2 坐标方法的简单应用第七章三角形7.1 与三角形有关的线段7.2 与三角形有关的角7.3 多边形及其内角和7.4 课题学习镶嵌第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.2 消元——二元一次方程组的解.8.3 实际问题与二元一次方程组8.4 三元一次方程组的解法举例第九章实际问题与一元一次不等式9.1 不等式9.2 实际问题与一元一次不等式9.3 一元一次不等式组第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查10.2 直方图10.3 课题学习从数据谈节水八年级上册第11章全等三角形11.1 全等三角形11.2 三角形全等的判定11.3 角的平分线的性质第12章轴对称12.1 轴对称12.2 作轴对称图形12.3 等腰三角形第13章实数13.1 平方根13.2 立六根13.3 实数第14章一次函数14.1 变量与函数14.2 一次函数14.3 用函数观点看方程(组)与不等.14.4 课题学习选择方案第15章整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法15.2 乘法公式15.3 整式的除法15.4 因式分解八年级下册第16章分式16.1 分式16.2 分式的运算16.3 分式方程第17章反比例函数17.1 反比例函数17.2 实际问题与反比例函数第18章勾股定理18.1 勾股定理18.2 勾股定理的逆定理第19章四边形19.1 平行四边形19.2 特殊的平行四边形19.3 梯形19.4 课题学习重心第20章数据的分析20.1 数据的代表20.2 数据的波动20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析九年级上册第21章二次根式21.1 二次根式21.2 二次根式的乘除21.3 二次根式的加减第22章一元二次方程22.1 一元二次方程22.2 降次——一元二次方程的解.22.3 再探实际问题与一元二次方程第23章旋转23.1 图形的旋转23.2 中心对称23.3 课题学习图案设计第24章圆24.1 圆24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆24.4 弧长和扇形面积第25章概率初步25.1 随机事件与概率25.2 用列举法求概率25.3 用频率估计概率25.4 课题学习键盘上字母的排列规律九年级下册第26章二次函数26.1 二次函数及其图像26.2 用函数观点看一元二次方程26.3实际问题与二次函数第27章相似27.1 图形的相似27.2 相似三角形27.3 位似第28章锐角三角函数28.1 锐角三角函数28.2 解直角三角形第29章投影与视图29.1 投影29.2 三视图29.3 课题学习制作立体模型北师大版初中数学目录：七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形2．展开与折叠3．截一个几何体4．从不同方向看5．生活中的平面图形第二章有理数及其运算1．数怎么不够用了2．数轴3．绝对值4．有理数的加法5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算7．水位的变化8．有理数的乘法9．有理数的除法10．有理数的乘方11．有理数的混合运算12．计算器的使用第三章字母表示数1．字母能表示什么2．代数式3．代数式求值4．合并同类项5．去括号6．探索规律第四章平面图形及其位置关系1．线段、射线、直线2．比较线段的长短3．角的度量与表示4．角的比较5．平行6．垂直7．有趣的七巧板8．图案设计第五章一元一次方程1．你今年几岁了2．解方程3．日历中的方程4．我变胖了5．打折销售6．“希望工程”义演7．能追上小明吗8．教育储蓄第六章生活中的数据1．认识100万2．科学记数法3．扇形统计图4．月球上有水吗5．统计图的选择第七章可能性1．一定摸到红球吗2．转盘游戏3．谁转出的四位数大七年级下册第一章整式的运算1．整式2．整式的加减3．同底数幂的乘法4．幂的乘方与积的乘方5．同底数幂的除法6．整式的乘法7．平方差公式8．完全平方公式9．整式的除法第二章平行线与相交线1．台球桌面上的角2．探索直线平行的条件3．平行线的特征4．用尺规作线段和角第三章生活中的数据1．认识百万分之一2．近似数和有效数字3．世界新生儿图第四章概率1．游戏公平吗2．摸到红球的概率3．停留在黑砖上的概率第五章三角形1．认识三角形2．图形的全等3．图案设计4．全等三角形5．探索三角形全等的条件6．作三角形7．利用三角形全等测距离8．探索直角三角形全等的条件第六章变量之间的关系1．小车下滑的时间2．变化中的三角形3．温度的变化4．速度的变化第七章生活中的轴对称1．轴对称现象2．简单的轴对称图形3．探索轴对称的性质4．利用轴对称设计图案5．镜子改变了什么6．镶边与剪纸八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理2．能得到直角三角形吗3．蚂蚁怎样走最近第二章实数1．数怎么又不够用了2．平方根3．立方根4．公园有多宽5．用计算器开方6．实数第三章图形的平移与旋转1．生活中的平移2．简单的平移作图3．生活中的旋转4．简单的旋转作图5．它们是怎样变过来的6．简单的图案设计第四章四边形性质探索1．平行四边形的性质2．平行四边形的判别3．菱形4．矩形、正方形5．梯形6．探索多边形的内角和与外角和7．平面图形的密铺8．中心对称图形第五章位置的确定1．确定位置2．平面直角坐标系3．变化的鱼第六章一次函数1．函数2．一次函数3．一次函数的图象4．确定一次函数表达式5．一次函数图象的应用第七章二元一次方程组1．谁的包裹多2．解二元一次方程组3．鸡兔同笼4．增收节支5．里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数第八章数据的代表1．平均数2．中位数与众数3．利用计算器求平均数八年级上册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系2．不等式的基本性质3．不等式的解集4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数6．一元一次不等式组第二章分解因式1．分解因式2．提公因式法3．运用公式法第三章分式1．分式2．分式的乘除法3．分式的加减法4．分式方程第四章相似图形1．线段的比2．黄金分割3．形状相同的图形4．相似多边形5．相似三角形6．探索三角形相似的条件7．测量旗杆的高度8．相似多边形的性质9．图形的放大与缩小第五章数据的收集与处理1．每周干家务活的时间2．数据的收集3．频数与频率4．数据的波动第六章证明(一)1．你能肯定吗2．定义与命题3．为什么它们平行4．如果两条直线平行5．三角形内角和定理的证明6．关注三角形的外角九年级上册第一章证明(二)1．你能证明它们吗2．直角三角形3．线段的垂直平分线4．角平分线第二章一元二次方程1．花边有多宽2．配方法3．公式法4．分解因式法5．为什么是0.618第三章证明(三)1．平行四边形2．特殊平行四边形第四章视图与投影1．视图2．太阳光与影子3．灯光与影子第五章反比例函数1．反比例函数2．反比例函数的图象与性质3．反比例函数的应用第六章频率与概率1．频率与概率2．投针实验3．生日相同的概率4．池塘里有多少条鱼九年级下册第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起2．30º，45º，60º角的三角函数值3．三角函数的有关计算4．船有触礁的危险吗第二章二次函数1．二次函数所描述的关系2．结识抛物线3．刹车距离与二次函数4．二次函数y=ax2+bx+c 的图象5．用三种方式表示二次函数6．何时获得最大利润7．最大面积是多少8．二次函数与一元二次方程第三章圆1.车轮为什么做成圆形2.圆的对称性3.圆周角和圆心角的关系4.确定圆的条件5.直线和圆的位置关系6.圆和圆的位置关系7.弧长及扇形的面积8.圆锥的侧面积第四章统计与概率1.50年的变化2.哪种方式更合算3.游戏公平吗浙教版初中数学目录：七年级上册第1章从自然数到有理数1.1 从自然数到分数1.2 有理数1.3 数轴1.4 绝对值1.5 有理数大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 准确数和近似数2.8 计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数3.3 立方根3.4 用计算器进行数的开方3.5 实数的运算第4章代数式4.1 用字母表示数4.2 代数式4.3 代数式的值4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 解一元一次方程的方法和步骤5.3 一元一次方程的应用5.4 问题解决的基本步骤第6章数据和图表6.1 数据的收集和整理6.2 统计表6.3 条形统计图和折线形统计图6.4 扇形统计图第7章图形的初步知识7.1 几何图形7.2 线段射线和直线7.3 线段的长短比较7.4 角和角的度量7.5 角的大小比较7.6 余角和补角7.7 相交线7.8 平行线七年级下册第1章三角形的初步认识1.1 认识三角形1.2 三角形的角平分线和中线1.3 三角形的高线1.4 全等三角形1.5 三角全等的条件1.6 作三角形第2章图形和变换2.1 轴对称图形2.2 轴对称变换2.3 平移变换2.4 旋转变换2.5 相似变换2.6 图形变换的简单应用第3章事件的可能性3.1 认识事件的可能性3.2 可能性的大小3.3 可能性和概率第4章二元一次方程4.1 二元一次方程4.2 二元一次方程组4.3 解二元一次方程组4.4 二元一次方程组的应用第5章整式的乘除5.1 同底数幂的乘法5.2 单项式的乘法5.3 多项式的乘法5.4 乘法公式5.5 整式的化简5.6 同底数幂的除法5.7 整式的除法第6章因式分解6.1 因式分解6.2 提取公因式6.3 用乘法公式分解因式6.4 因式分解的简单应用第7章分式7.1 分式7.2 分式的乘除7.3 分式的加减7.4 分式方程八年级上册第1章平行线1.1 同位角内错角同旁内角1.2 平行线的判定1.3 平行线的性质1.4 平行线之间的距离第2章特殊三角形2.1 等腰三角形2.2 等腰三角形的性质2.3 等腰三角形的判定2.4 等边三角形2.5 直角三角形2.6 探索勾股定理2.7直角三角形的全等判定第3章直棱柱3.1 认识直棱柱3.2 直棱柱的表面展开图3.3 三视图3.4 由三视图描述几何体第4章样本与数据的分析初步4.1 抽样4.2 平均数4.3中位数和众数4.4 方差和标准差4.5 统计量的选择和应用第5章一元一次不等式5.1 认识一元一次不等式5.2 不等式的基本性质5.3 一元一次不等式5.4 一元一次不等式组第6章图形与坐标6.1 探索确定位置的方法6.2 平面直角坐标系6.3 坐标平面内的图形变换第7章一次函数7.1 常量和变量7.2 认识函数7.3 一次函数7.4 一次函数的图象7.5 一次函数的简单应用八年级下册第1章二次根式1.1 二次根式1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的应用第3章频数及其分布3.1 频数与频率3.2 频数分布直方图3.3 频数分布折线图第4章命题与证明4.1 定义与命题4.2 证明4.3 反例与证明4.4 反证法第5章平行四边形5.1 多边形5.2 平行四边形5.3 平行四边形的性质5.4 中心对称5.5 平行四边形的判定5.6 三角形的中位线5.7 逆命题和逆定理第6章特殊平行四边形与梯形6.1 矩形6.2 菱形6.3 正方形6.4 梯形九年级上册第一章反比例函数1.1反比例函数1.2反比例函数的图象和性质1.3反比例函数的应用第二章二次函数2.1 二次函数2.2 二次函数的图象2.3 二次函数的性质2.4 二次函数的应用第三章圆的基本性质3.1 圆3.2 圆的轴对称3.3 圆心角3.4 圆周角3.5 弧长及扇形的面积3.6 圆锥的侧面积和全面积第四章相似三角形4.1 比例线段4.2 相似三角形4.3 两个三角形相似的判定4.4 相似三角形的性质及应用4.5 相似多边形4.6 图形的位似九年级下册第一章解直角三角形1.1 锐角三角函数1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形第二章简单事件的概率2.1 简单事件的概率2.2 估计概率2.3 概率的简单应用第三章直线与圆、圆与圆的基本性质3.1 直线与圆的位置关系3.2 三角形的内切圆3.3 圆与圆的位置关系第四章投影与三视图4.1 视角与盲区4.2 投影4.3 简单物体的三视图湘教版初中数学目录：七年级上册第一章有理数1．1具有相反意义的量1．2 数轴，相反数与绝对值1．3有理数大小的比较1．4有理数的加法1．5 有理数的减法1．6有理数的乘法1．7有理数的除法1．8有理数的乘方1．9有理数的混合运算1．10用计算器计算第二章代数式2．1用字母表示数2．2列代数式2．3代数式的值2．4一类代数式的加法第三章图形欣赏人与操作3．1图形欣赏3．2平面图形与空间图形3．3观察物体3．4图形操作3．5视图第四章一元一次方程模型与算法4．1 一元一次方程模型4．2 解一元一次方程的算法4．3 一元一次方程的应用第五章一元一次不等式5．1 不等式的基本性质5．2 一元一次不等式的解法5．3 一元一次不等式的应用第六章数据的收集与描述6．1 数据的收集6．2 统计图6．3 平均数、中位数和众数七年级下册第一章一元一次不等式组1.1 一元一次不等式组1.2 一元一次不等式组的解法1.3 一元一次不等式组的应用第二章二元一次方程组2.1 二元一次方程组2.2 二元一次方程组的解法2.3 二元一次方程组的应用第三章平面上直线的位置关系和度量3.1 线段、直线、射线3.2 角3.3 平面直线的位置关系3.4 图形的平移3.5 平行线的性质与判定3.6 垂线的性质与判定第四章多项式4.1 多项式4.2 多项式的加减4.3 多项式的乘法4.4 乘法公式第五章轴对称图形5.1 轴反射与轴对称图形5.2 线段的垂直平分线5.3 三角形5.4 三角形的内角和5.5 角平分线的性质5.6 等腰三角形5.7 等边三角形第六章数据的分析与比较6.1 加权平均数6.2 极差、方差6.3 两组数据的比较八年级上册第一章实数1．1 平方根1．2 立方根1．3 实数1．4 平面直角坐标系第二章一次函数2．1 函数和它的表示法2．2 一次函数和它的图象3．3 建立一次函数模型第三章全等三角形3．1 旋转3．2 图案设计3．3 全等三角形及其性质3．4 全等三角形的判定定理3．5 直角三角形3．6 勾股定理3．7 作三角形第四章频数与频率4．1 频数与频率4．2 数据的分布八年级下册第一章因式分解1.1 多项式的因式分解1.2 提公因式法1.3 公式法第二章分式2.1 分式和它的基本性质2.2 分式的乘除法2.3 整数指数幂2.4 分式的加减法2.5 分式方程第三章四边形3.1 平行四边形与中心对称图形3.2 菱形3.3 矩形3.4 正方形3.5 梯形3.6 多边形的内角和与外角和第四章二次根式4.1 二次根式和它的化简4.2 二次根式的乘除法4.3 二次根式的加、减法第五章概率的概念5.1 概率的概念5.2 概率的含义九年级上册第一章一元二次方程1.1 建立一元二次方程模型1.2 一元二次方程的算法1.3 一元二次方程的应用第二章定义命题公理与证明2.1 定义2.2 命题2.3 公理与定理2.4 证明第三章相似形3.1 相似的图形3.2 比与比例3.3 相似三角形的性质和判定3.4 相似多边形及性质3.5 图形的放大与缩小、位似变换第四章解直角三角形4.1 正弦和余弦4.2 正切4.3 直角三角形及其应用第五章概率的计算5.1 用频率估计概率5.2 用列举法计算概率九年级下册第一章反比例函数1.1 建立反比例函数模型1.2 反比例函数的图像与性质1.3 实际生活中的反比例函数第二章二次函数2.1 建立二次函数模型2.2 二次函数的图像与性质2.3 二次函数的应用第三章圆3.1 圆3.2 点、直线与圆的位置关系，圆3.3 圆与圆的位置关系3.4 弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积3.5 平行投影和中心投影第四章统计估计4.1 总体与样本4.2 用样本估计总体华师大版初中数学目录：七年级上册第一章走进数学世界1.1 与数学交朋友1.2 让我们来做数学第二章有理数2.1 正数和负数2.2 数轴2.3 相反数2.4 绝对值2.5 有理数的大小比较2.6 有理数的加法2.7 有理数的减法2.8 有理数加减混合运算2.9 有理数的乘法2.10 有理数的除法2.11 有理数的乘方2.12 科学记数法2.13 有理数的混合运算2.14 近似数和有效数字2.15 用计算器进行数的简单运算第三章整式的加减3.1 列代数式3.2 代数式的值3.3 整式3.4 整式的加减第四章图形的初步认识4.1 生活中的立体图形4.2 画立体图形4.3 立体图形的展开图4.4 平面图形4.5 最基本的图形——点和线4.6 角4.7 相交线4.8 平行线第五章数据的收集与表示5.1 数据的收集5.2 数据的表示七年级下册第六章一元一次方程6.1 从实际问题到方程6.2 解一元一次方程6.3 实践与探索第七章二元一次方程组7.1 二元一次方程组和它的解7.2 二元一次方程组的解法7.3 实践与探索第八章一元一次不等式8.1 认识不等式8.2 解一元一次不等式8.3 一元一次不等式组第九章多边形9.1 三角形9.2 多边形的内角和与外角和9.3 用正多边形拼地板第十章轴对称10.1 生活中的轴对称10.2 轴对称的认识10.3 等腰三角形第十一章体验不确定现象11.1 可能还是确定11.2 机会的均等与不等11.3 在反复实验中观察不确定现象八年级上册第12章数的开方12.1 平方根与立方根12.2 实数与数轴第13章整式的乘除13.1 幂的运算13.2 整式的乘法13.3 乘法公式13.4 整式的除法13.5 因式分解第14章勾股定理14.1 勾股定理14.2 勾股定理的应用第15章平移与旋转15.1 平移15.2 旋转15.3 中心对称15.4 图形的全等第16章平行四边形的认识16.1 平行四边形的性质16.2 矩形、菱形与正方形的性质16.3 梯形的性质八年级下册第17章分式17.1 分式及其基本性质17.2 分式的运算17.3 可化为一元一次方程的分式方程17.4 零指数幂与负整指数幂第18章函数及其图像18.1 变量与函数18.2 函数的图象18.3 一次函数18.4 反比例函数18.5 实践与探索第19章全等三角形19.1 命题与定理19.2 三角形全等的判定19.3 尺规作图19.4 逆命题与逆定理课题学习图形中的趣题第20章平行四边形的判定20.1 平行四边形的判定20.2 矩形的判定20.3 菱形的判定20.4 正方形的判定20.5 等腰梯形的判定第21章数据的整理与初步处理21.1 算术平均数与加权平均数21.2 平均数、中位数和众数的选用21.3 极差、方差和标准差课题学习心率与年龄九年级上册第22章二次根式22.1 二次根式22.2 二次根式的乘除法22.3 二次根式的加减法第23章一元二次方程23.1 一元二次方程23.2 一元二次方程的解法23.3 实践与探索第24章图形的相似24.1 相似的图形24.2 相似图形的性质24.3 相似三角形24.4 中位线24.5 画相似图形24.6 图形与坐标第25章解直角三角形25.1 测量25.2 锐角三角函数25.3 解直角三角形课题学习高度的测量第26章随机事件的概率26.1 概率的预测26.2 模拟实验课题学习通讯录的设计九年级下册第27章二次函数27.1 二次函数27.2 二次函数的图象与性质27.3 实践与探索第28章圆28.1 圆的认识28.2 与圆有关的位置关系28.3 圆中的计算问题第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法29.2 反证法阅读材料《几何原本》第30章样本与总体30.1 抽样调查的意义30.2 用样本估计总体30.3 借助调查作决策苏科版初中数学目录：七年级上册第一章我们与数学同行1.1 生活数学1.2 活动思考第二章有理数2.1 比0小的数2.2 数轴2.3 绝对值与相反数2.4 有理数的加法与减法2.5 有理数的乘法与除法2.6 有理数的乘方2.7 有理数的混合运算第三章用字母表示数3.1 字母表示数3.2 代数式3.3 代数式的值3.4 合并同类项3.5 去括号第四章一元一次方程4.1 从问题到方程4.2 解一元一次方程4.3 用方程解决问题第五章走进图形世界5.1 丰富的图形世界5.2 图形的变化5.3 展开与折叠5.4 从三个方向看第六章平面图形的认识(一)6.1 线段射线直线6.2 角6.3 余角补角对顶角6.4 平行6.5 垂直七年级下册第七章平面图形的认识(二)7.1 探索直线平行的条件7.2 探索平行线的性质7.3 图形的平移7.4 认识三角形7.5 三角形的内角和第八章幂的运算8.1 同底数幂的乘法8.2 幂的乘方与积的乘方8.3 同底数幂的除法第九章从面积到乘法公式9.1 单项式乘单项式9.2 单项式乘多项式9.3 多项式乘多项式9.4 乘法公式9.5 单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（一）9.6 乘法公式的再认识——因式分解（二）第十章二元一次方程10.1 二元一次方程10.2 二元一次方程组10.3 解二元一次方程组10.4 用方程组解决问题第十一章图形的全等11.1 全等图形11.2 全等三角形11.3 探索三角形全等的条件第十二章数据在我们周围12.1 普查与抽样调查12.2 统计图的选用12.3 频数分布表和频数分布直方图第十三章感受概率13.1 确定与不确定13.2 可能性八年级上册第一章轴对称图形1.1 轴对称与轴对称图形1.2 轴对称的性质1.3 设计轴对称图案1.4 线段、角的轴对称性1.5 等腰三角形的轴对称性1.6 等腰梯形的轴对称性数学活动剪纸第二章勾股定理与平方根2.1 勾股定理2.2 神秘的数组2.3 平方根2.4 立方根2.5 实数2.6 近似数与有效数字2.7 勾股定理的应用数学活动关于勾股定理的研究第三章中心对称图形(一)3．1 图形的旋转3．2 中心对称与中心对称图形3．3 设计中心对称图案3．4 平行四边形3．5 矩形、菱形、正方形3．6 三角形、梯形的中位线数学活动镶嵌小结与思考第四章数量、位置的变化4.1 数量的变化4.2 位置的变化4.3 平面直角坐标系数学活动：确定藏宝地第五章一次函数5．1 函数5．2 一次函数5．3 一次函数的图象5．4 一次函数的应用5．5 二元一次方程组的图象解法数学活动温度计上的一次函数第六章数据的集中程度6.1 平均数6.2 中位数与众数6.3 用计算器求平均数全章复习与测试数学活动你是“普通”学生吗八年级下册第七章一元一次不等式7.1 生活中的不等式7.2 不等式的解集7.3 不等式的性质7.4 解一元一次不等式7.5 用一元一次不等式解决问题7.6 一元一次不等式组7.7 一元一次不等式与一元一次方方程、一次函数第八章分式8.1 分式8.2 分式的基本性质8.3 分式的加减8.4 分式的乘除8.5 分式方程第九章反比例函数9.1 反比例函数9.2 反比例函数的图象与性质9.3 反比例函数的应用第十章图形的相似10.1 图上距离与实际距离10.2 黄金分割10.3 相似图形10.4 探索三角形相似的条件10.5 相似三角形的性质10.6 图形的位似10.7 相似三角形的应用第十一章图形的证明(一)11.1 你的判断对吗11.2 说理11.3 证明11.4 互逆命题第十二章认识概率12.1 等可能性12.2 等可能条件下的概率(一)12.3 等可能条件下的概率(二)课题学习：游戏公平吗？九年级上册第一章图形与证明(二)1．1 等腰三角形的性质与判定1．2 直角三角形全等的判定1．3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定1．4 等腰梯形的性质和判定1．5 中位线第二章数据的离散程度2．1 极差2．2 方差与标准差2．3 用计算器求标准差的方差第三章二次根式3．1 二次根式3．2 二次根式的乘除3．3 二次根式的加减。
二次函数2.1,2.2学案
2.1二次函数教学目标：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学重点：二次函数的概念和解析式教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：（1）面积y (cm2)与圆的半径x ( Cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)（一）教师组织合作学习活动：1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？1113x教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax ²+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式.板书：我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二）做一做1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=三、例题示范，了解规律例1、已知二次函数 q px x y ++=2当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。
2.1 建立二次函数模型湘教版九年级下册
此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系，
对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函
数叫做x的二次函数其中,ax2叫二次项，a叫做二次项系
数，bx叫做一次项， b叫做一次项系数，c叫做常数项.
如：y=-5x2+100x+60000
是二次函数关系式
【例1】写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的 函数关系； （2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
x2 【解析】(1)由题意得 y ( x 0) 其中y是x的二次函数； 4
y=（4+x）（3+2x）=2x2+11x+12
3.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
是 不是 是 不是
1 ( 2) y 2 x (3) y x(1 x) (4) y ( x 1) 2 x 2
先化简后判断
4.关于x的函数 y (m 1) x 解: 由题意可得
(4) y x 2 2 x 3
(
)
(5) y ( x 2)( x 2) ( x 1) 2
(
否
)
4.若函数 y=(m -1)x
2
m2 -m
为二次函数，求m的值.
解：因为该函数为二次函数，
m 2 -m=2 则 2 m -1 0 ① ②
解①得：m=2或m=-1,
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案一. 教材分析《二次函数》是北师大版数学九年级下册第2.1节的内容。
本节课主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像，培养学生利用二次函数解决实际问题的能力。
教材通过引入二次函数的概念，让学生从图像和解析式两个方面理解二次函数的性质，为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。
但在二次函数方面，学生可能对函数图像的解读、对称性、顶点坐标的求解等方面存在困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，理解二次函数的图像特征，掌握二次函数的性质。
2.能够从实际问题中识别二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力、数学表达能力及合作交流能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其图像特征。
2.二次函数的性质，包括对称性、顶点坐标、开口方向等。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
2.利用数形结合的方法，让学生直观地理解二次函数的图像特征。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的主体参与意识。
4.运用启发式教学，激发学生的思维，引导学生发现和总结二次函数的性质。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入二次函数的概念。
2.制作二次函数图像的课件，用于展示二次函数的图像特征。
3.准备一些关于二次函数性质的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
例如：抛物线与x轴的交点问题。
2.呈现（15分钟）展示二次函数图像的课件，让学生直观地了解二次函数的图像特征，如顶点、开口方向等。
同时，引导学生观察图像，发现二次函数的性质。
2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题课件(北师大版)
实际畜养量x(只)与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
解:(1)根据题意,由于最大畜养量为 m 只,实际畜养量为 x 只,则畜养率为 ,故空闲率
为 1- ,由此可得 y=kx(1- )(0<x<m).
制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是(
)
(A)月接待游客量逐月增加
(B)年接待游客量逐年增加
(C)各年的月接待游客量高峰期大致在7月和8月
(D)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较
安稳
解析:由题图可知A不正确,并不是逐月增加,但是每一年是递增的,所以B
正确.从图视察C是正确的,D也正确,1～6月比较安稳,7～12月波动比较
),所以 L(x)=
- + -, < < 19,
-( +
), ≥ .
(2)年产量为多少万件时,该厂家在这一商品的生产中所获利润最大?最大利
润是多少?
2
解:(2)当 0<x<19 时,L(x)=- (x-18) +116,
此时,当 x=18 时,L(x)取得最大值 L(18)=116 万元.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.
备用例题
[例题] 某企业常年生产一种出口产品,自202X年以来,每年在正常情况下,
该产品产量安稳增长.已知202X年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表
《2.1 二次函数》优秀教案
《2.1 二次函数》教学设计一、教学目标1.通过三种情境探究，对比理解二次函数的概念和一般形式；2.能尝试结合生活实际，确定二次函数自变量的取值范围；3.通过课堂问题探究，能举出生活中有关二次函数的例子.二、教学重难点1.教学重点：通过情境探究，对比理解二次函数的概念和一般形式；2.教学难点：通过问题探究，能举出生活中有关二次函数的例子.三、教学流程教学程序教学活动学生活动设计意图（一）课题引入1.观看篮球比赛视频，视频中显示姚明命中三分球；2.视频结束，显现篮球的运动轨迹在一个平面直角坐标系中的图象.教师发问：在篮球运动过程中，h与t之间的关系是函数吗？学生回答以后，教师继续追问，你能说出函数的定义吗？它是一次函数吗？它是反比例函数吗？3.通过褚时健波折的一生引出本节课关于二次函数的问题情境.学生观看视频.学生自主思考教师提出的问题，并回顾已学的函数知识.让学生从视频中感受数学源于生活，而高于生活.一系列的追问可以让学生充分的思考，唤醒已有的认知.次函数。
a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项。
思考：判断2233y x x=-+-的二次项，一次项系数和常数项。
学生充分感受知识的生成过程.（三）知识应用例1.下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）①2y ax bx c=++；②232s t=-；③2y x=；④21yx=；⑤2325y x x=++；⑥22(3)y x x=+-教师追问：判定一个函数是否为二次函数，有哪些注意事项？变式：1.27(3)my m x-=+（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？例2.已知某一片“褚橙”果园为矩形，且该矩形的周长为400m，如果设该矩形果园的其中一边长为x米，请表示出这个矩形的面积s与这一边长x的关系.教师追问：在这个问题情境中，x的取值范围有何限制？二次函数自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.教师追问：对于最初的三个问题情境，自变量x的取值范围为多少？问题解决：我们知道2y ax bx c=++（a，b，c是常数，a≠）叫做二次函数的一般式，请举出生活中有关二次函数的例子。
2.1二次函数·2014数学浙教版九上-步步为营
第2章 二次函数2.1 二 次 函 数1. 说明二次函数的概念，掌握二次函数的形式．2. 会建立简单的二次函数模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．3. 会用待定系数法求二次函数的解析式．1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）.A. y =8x 2+1B. y =8x +1C. y =8xD. y =28x 2、有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm 和6 cm ，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x <6)的纸条(如图)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y = .（第2题）3. 二次函数y =x 2+bx +3中，当x =3时，y =0，则b 的值为 ．4. 已知正方形的周长是C cm ，面积是S cm 2.(1) 求S 与C 之间的函数关系式；(2) 当S =1 cm 2时，求正方形的边长. 5. 圆的半径是1 cm ，假设半径增加x cm 时，圆的面积增加y cm 2.(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)当圆的半径分别增加1 cm ， 2 cm,2 cm 时，圆的面积增加多少？6. 自由下落的物体的高度h (米)与下落的时间t (秒)的关系为h =4.9t 2. 现在有一铁球从离地面19.6x x86米高的建筑物的顶部作自由下落，到达地面需要的时间是 秒.7. 已知y ＝(2m －3)xm 2－5.(1)当m 为何值时，y 是x 的反比例函数？(2)当m 为何值时，y 是x 的二次函数？8. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋5，当x ＝1时，函数值是3；当x ＝－2时，函数值是7.求这个函数解析式．9、如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设边AB 的长为x 米，求菜园的面积y (单位：米2)与x (单位：米)的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围).（第9题）10、 心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分钟)之间满足函数关系y =－0.1x 2+2.6x +43(0≤x ≤30)，y 的值越大，表示接受能力越强.(1) 若用10分钟提出概念，学生的接受能力y 的值是多少?(2) 如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.11、某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造一个长方体水池，培育不同品种的鱼苗. 他已备足可以修高为1.5 m 、长为18 m 的墙的材料准备施工，设与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m ，即AD =EF =BC = x m.(不考虑墙的厚度).(1) 若想水池的总容积为36 m 3，x 应等于多少？(2) 求水池的总容积V 与x 的函数关系式，并直接写出．．．．x 的取值范围； A B C D菜园 墙11. （2011·山东泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x-7 -6 -5 -4 -3 -2y-27 -13 -3 3 5 3则当x=1时，y的值为（）.A.5B.-3C.-13D.-27第2章 二 次 函 数2．1 二 次 函 数1. A2. x 2－14x +483. -44. (1) S =221614C C =⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2) 当S =1时，由S =2161C ，得1=2161C ，解得C =4或C =－4(舍去). ∴ C =4. 此时，正方形的边长为1 cm.5. (1)y ＝πx 2＋2πx (2)3π cm 2 (2π＋22π)cm 2 8π cm 26. 27. (1)±2 (2)±78. y ＝－13x 2－53x ＋5 9. ∵ 篱笆的长为30米，边AB 的长为x 米，∴ 另一边AD 长为230x -米. ∴ y =x ·230x -=x x 15212+-. 10. (1) 当x =10时，y =－0.1x 2+2.6x +43=－0.1×102+2.6×10+43=59.(2)当x =8时，y=－0.1x 2+2.6x +43=－0.1×82+2.6×8+43=57.4， ∴ 用8分钟与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；当x =15时，y=－0.1x 2+2.6x +43=－0.1×152+2.6×15+43=59.5， ∴ 用15分钟与用10分钟相比，学生的接受能力增强了.11. (1) 1.5x (18－3x )=36，解得x 1=2，x 2=4.(2) V =1.5x (18－3x )=－4.5x 2+27x .∵ 18-3x >0，∴ 0<x <6.12. D。
北师大版九年级数学下册2
1.创设情境，激发兴趣。
通过生活中的实例，如抛物线运动、拱桥设计等，引出二次函数的概念，激发学生对二次函数学习的兴趣。
2.分步骤教学，循序渐进。
首先，从简单的二次函数y=x^2入手，引导学生观察图像，总结性质。然后，逐步引入含参的二次函数，分析参数对图像的影响。最后，结合实际问题，让学生在实际情境中运用二次函数知识。
为了巩固本节课所学的二次函数知识，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）完成课本习题2.1中的第1、2、3题，巩固二次函数的定义及图像性质；
（2）完成课本习题2.1中的第4、5题，掌握二次函数图像的平移、伸缩变换。
2.应用能力提升：
（1）结合实际情境，编写一道二次函数的应用题，并求解；
2.练习与指导：
学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解题过程，发现问题及时解答。
3.反馈与评价：
学生提交练习结果，教师进行批改和评价，针对共性问题进行讲解，确保学生掌握本节课的知识。
（五）总结归纳
1.教学内容回顾：
引导学生回顾本节课所学的二次函数定义、图像性质、图像变换等知识。
2.知识体系构建：
此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏将问题抽象为数学模型的能力，需要教师在教学过程中给予引导和指导。在情感态度方面，部分学生可能对数学学习产生畏惧心理，担心无法掌握复杂的二次函数知识。因此，教师在教学过程中应关注学生的心理变化，鼓励他们克服困难，树立信心。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二次函数的定义、图像与性质，以及二次函数在实际问题中的应用。
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论，发现二次函数的性质。
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x < 50
写出下列函数的解析式，并且指出它们中哪些是二次函数， 写出下列函数的解析式，并且指出它们中哪些是二次函数，哪些是一 次函数，哪些是反比例函数. 次函数，哪些是反比例函数. 关于它的边长x的函数 （1）正方形的面积 关于它的边长 的函数； ）正方形的面积S关于它的边长 的函数； S=x2 二次函数
1 S = xy 2
y= 2S x
反比例函数
y = ax +bx +c( a,b, c是 数 a ≠ 0) 常 ,
2
③
二次函数的自变量的取值范围是所有实数， 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但是对于实际问题中的二 次函数，它的自变量的取值范围会有一些限制， 次函数，它的自变量的取值范围会有一些限制， 例如，上面第一个例子中， 0 < 例如，上面第一个例子中，
2.1 建立二次函数模型
1.植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？ 植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？ 植物园的面积随着砌法的不同怎样变化 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙， 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一 个矩形植物园，如图所示，现在已备足可以砌100m 100m长的墙的 个矩形植物园，如图所示，现在已备足可以砌100m长的墙的 材料，大家来讨论对应于不同的砌法， 材料，大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生 什么样的变化. 什么样的变化.
y = 6000 (1 − x ) , 0 < x < 1
2
即
y = 6000x2 −12000x +6000,0 < x &x,0 < x < 50 y = 6000x2 −12000x +6000,0 < x <1
在上面的两个例子中，矩形植物园的面积 与相邻于围墙面的每一面墙 在上面的两个例子中，矩形植物园的面积S与相邻于围墙面的每一面墙 的长度x的关系式 的关系式① 电脑价格y与平均降价率 的关系式② 与平均降价率x的关系式 的长度 的关系式①，电脑价格 与平均降价率 的关系式②有什么共同 点？…… 像关系① 像关系①、②那样、如果函数的解析式是自变量的二次多项式， 那样、如果函数的解析式是自变量的二次多项式， 这样的函数称为二次函数 二次函数， 这样的函数称为二次函数，它的一般形式是
s = x(100−2x),0 < x < 50
即
s =−2x2 +100x,0 < x < 50
①
有了公式① 有了公式①，我们对植物园的面积S随着砌法的不同而变 化 的情况就了如指掌了.
2.电脑的价格 电脑的价格
一种型号的电脑两年前的销售为6000元，现在售价为y元，如 元 现在售价为 元 一种型号的电脑两年前的销售为 果每年的平均降价率为x，那么降价率变化时， 果每年的平均降价率为 ，那么降价率变化时，电脑售价怎样变 化吗？ 化吗？
（2）圆的周长 关于它的半径 的函数； 关于它的半径r的函数 ）圆的周长c关于它的半径 的函数； C=2 πr S=π r 2 一次函数
关于它的半径r的函数 （3）圆的面积 关于它的半径 的函数； ）圆的面积S关于它的半径 的函数； 二次函数
一定时， （4）当菱形的面积 一定时，它的一条对角线的长度 关于另一条对角线 ）当菱形的面积S一定时 它的一条对角线的长度y关于另一条对角线 的长度x的函数 的函数. 的长度 的函数
有没有一种统一的能包括一切可能砌法的探讨方法呢？ 有没有一种统一的能包括一切可能砌法的探讨方法呢？
设与围墙相邻的每一面墙的长度都为xm， 设与围墙相邻的每一面墙的长度都为 ，则与围墙相对的 一面墙的长度为（ － ） ，于是矩形植物园的面积S为 一面墙的长度为（100－2x）m，于是矩形植物园的面积 为
上图中小明在投篮，你知道篮球在空中运行的路线是什么曲线吗？ 上图中小明在投篮，你知道篮球在空中运行的路线是什么曲线吗？你 能建立一个函数模型来刻画这条曲线吗？ 能建立一个函数模型来刻画这条曲线吗？ 像上述这类实际问题（如打炮时，炮弹发行的路线），就是本章要 像上述这类实际问题（如打炮时，炮弹发行的路线），就是本章要 ）， 研究的二次函数的图象. 研究的二次函数的图象 本章的内容有：建立二次函数的模型，研究二次函数的图形和性质， 本章的内容有：建立二次函数的模型，研究二次函数的图形和性质， 展示二次函数的应用. 展示二次函数的应用