二次函数建模
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
微专题 二次函数与实际问题(三)建模问题
微专题 二次函数与实际问题（三）建模问题
【方法技巧】根据题意找准关键点坐标，正确列出函数关系.
1.如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出（点
A 在y 轴上），足球的飞行高度y (单位：m)与飞行时间t (单位：s )之间满足函数关系y =at 2十5t +c ,已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x (单位:m)与飞行时间t (单位:s )之间具有函数关系x =10t ，已知球门
的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射人球门？
y (m)
A
t (s)
2．（2016丽水）如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线
2143105
y x x =-+的绳子．
图1x (米)A
图2N A x (米)
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱M N 撑起绳子（如图2），使左边抛
物线1F 的最低点距M N 为1米，离地面1.8米，求M N 的长；
（3）将立柱M N 的长度提升为3米，通过调整M N 的位置，使抛物线2F 对应函数的二次项
系数始终为14
，设M N 离AB 的距离为m ，抛物线2F 的顶点离地面距离为k ，当2 2.5k ≤≤时，求m 的取值范围．。
二次函数的应用与建模
二次函数的应用与建模二次函数是一种包含平方项的函数形式，常用形式为f(x) = ax^2 +bx + c。
在数学中，二次函数的图像通常为抛物线形状，具有许多重要的应用与建模价值。
一、抛物线的形状与性质抛物线是二次函数的图像，它的形状决定了二次函数的性质。
通过观察抛物线的顶点、开口方向以及对称轴等特征，可以得到以下结论：1. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点是抛物线的最高点或最低点，并且其横坐标为- b/2a。
2. 抛物线的开口方向由二次系数a的正负决定。
若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
3. 抛物线的对称轴是与x轴垂直且通过顶点的直线。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 如果a的绝对值越大，那么抛物线的开口越窄；如果a的绝对值越小，抛物线的开口越宽。
二、二次函数的应用1. 物体的抛体运动二次函数的抛物线形状与物体的抛体运动相关。
在不考虑空气阻力和其它外力的情况下，抛体的高度与时间的关系可以表示为h(t) = -gt^2 + vt + h0，其中g为重力加速度，v为初速度，h0为初始高度。
2. 表达曲线的拟合当一组数据点呈现出非线性的趋势时，可以使用二次函数进行拟合。
通过找到最佳的二次函数拟合曲线，我们可以更好地了解数据之间的关系，并进行预测和分析。
3. 经济与金融领域的建模二次函数在经济与金融领域中有广泛应用。
例如，成本函数、价格函数和收益函数等都可以使用二次函数进行建模，以便对市场行为进行预测和分析。
4. 自然科学中的应用二次函数也在自然科学中具有重要的应用价值。
例如，在生物学中，通过对种群数量与时间的关系进行建模，可以使用二次函数来描述种群的生长模式。
在物理学中，二次函数可以用来描述力学过程中的速度、加速度等物理量之间的关系。
三、二次函数的建模方法建立二次函数模型需要以下步骤：1. 确定问题要建模的变量和变量之间的关系。
2. 收集和整理相关的数据。
二次函数解析式的求法及数学建模之浅见
二次函数解析式的求法及数学建模之浅见一、二次函数解析式的求法解法一：由式子可得，可得方程两边都除以2即可得二次函数的解析式。
1。
已知直线与y轴交于A、 B两点，设其中一点为A，一点为B，函数y=kx+b的图像与x轴交于A、 B两点，由二次函数的关系式：y=kx+b得： x=k(k=0)则直线方程为y=kx+b或y=-kx+b(k=0) 2。
若点P(a,b)=(a,b)， (a,b)是点P在第一象限内的坐标，那么y=kx+b=(x^2+1)kx+b=(x^2+1)kx+2bx=(x^2+1)(b^2+3)+5b+8，b=-3(b=-3)解法三：由公式可得，利用y=kx+b可以直接求出y=k^2dx+b=k^2dx+b-3x-3x+6b-6b-3，当b=3时， x=1则k=-1(k=-1)二、数学建模浅见最近，我听了姜老师的讲座，真是受益匪浅。
姜老师介绍说，现代教育已经是信息教育了，信息教育就是培养学生用数学思想和方法分析问题、解决问题的能力，即培养学生用数学语言表达自己对问题的理解的能力。
这里包括四个方面的内容：分析问题的数学素养;建立数学模型的能力;运用数学工具进行推理的能力;收集和处理数据并进行统计分析的能力。
我觉得，数学建模就是在上述几个方面的基础上，将实际问题转化成数学问题，即将复杂问题简单化、抽象化，然后再将解决这类问题的数学模型（即数学结论）应用到新的问题中去。
我认为，数学建模可以有很多形式，如：对问题作出描述、给出一个解答、建立相关的数学模型等。
我也想发挥自己的想象力，提出几个问题，请大家帮忙解决： 1。
在坐车过程中你会观察到什么样的情况？ 2。
城市中大楼不断增多的原因是什么？3。
在网络游戏中，你怎样才能取胜？ 4。
有多少白痴竟然干过抢劫银行的勾当！ 5。
有多少人喜欢写科幻小说？。
浅谈二次函数建模方法
评注： 经过对 解析式 的分析 ， 画上 图 像 ，并通过 图像将生活与数学联系起来 ， 要知晓这样几个条件 ：１）排球运行 的最 （
方法二 ： 分析 解析式入 手 ， 从 探讨 图 本题是这类 题中最具代表性 的． 解决本题
在二次函数有关的实际问题 中，有些 大高度 即为 函数 的最大值 ；２ （ ）运动员扣
１ Ｏ２ Ｏ ｍ．
解得 ： —０３ ｚ ． ｔ ． １ ｔ 一１７
有 ：Ｏ－ ｔ ２ ． １ ｔ５ ＝ ． ２ ５
（ ）计算 距 离桥 两 端 主塔 分 别 为 ２
１ Ｏ 、０ Ｏ ｍ ５ ｍ处垂直钢 索的长 （ 精确到 ｍ） ． 分析 ： 本题看似 复杂 ， 只要仔细 理 但
像（ 如上 图 ） 可以看 出抛物线开 口向下 ， 当
ｘｌ ＝ ０时 ， 有最大值 １ ０ 即围成 矩形 的长 。， 是 １ ｍ时 ，围成矩 形 水面 面积最 大 ， ０ 是
函数模 型 ， 析解决实际 问题 的能力 ， 分 因 而往往 存在一个共 同的特征 ，就是 题 目 的 条件 并非传统地给 出 ，解题时总是 需 要我们通过 图像或解析式 的观 察 、 析 ， 分 学会联 系实际 ， 住 问题 中的数量关系 ， 抓 把 实际 问题转 化为 数学 问题来 解决 ， 这 个过程实际上也就是我们说的 “ 模”下 建 ．
垒
！ 垒
浅谈二次函数建模方法
翻安徽省枞阳县义津初级中学 汪东一
关键 词 ：二次 函数 形结合 二次 函数是反映现 实世界 中变量问 的关系和变化规律 的一种 常见的数 学模
型 ，也是近年来 中考考查的热点题型． 这 类题型侧重考查学生 应用数学知 识建立
建模方 法
数
寻 找等 量关 系的能 力． 有这样 ， 只 才能 建 立正确 的数学模型． 像 性质 ， 解决实际问题 ．
2021最新版二次函数的实际应用：建模问题
二次函数的实际应用：建模问题一、球类、跳水、喷泉问题这类问题对于解析式的确定通常采用顶点式：1. 球类问题分为篮球问题、足球问题及羽毛球问题。
篮球问题会考察“球是否入篮”，即看篮筐所在点是否在抛物线上；“足球是否进球门”即看球到达球门所在位置时纵坐标是比球门高还是低；羽毛球涉及过网越界问题，即计算在过网位置纵坐标比网高还是低，越界考察在界限位置纵坐标是正数还是负数。
2. 跳水问题考察的是动作是否在规定范围内规范，同样考察在指定位置的纵坐标与限定高度的大小比较。
3. 喷泉问题考察的比较多的是圆形水池的半径，需要计算抛物线与水池水平面的交点坐标。
1、如图，羽毛球运动员甲站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方23m 的 P 处发出，把球勘察点，其运行路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，其高度为617m ，离甲站立地点 O 的水平距离为 4m ，球网 BA 离 O 点的水平距离为 5m ，以 O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点 C 的坐标为（m ，0）①求出抛物线的解析式；（不写自变量的取值范围）②求排球落地点N 离球网的水平距离； ③乙原地起跳可接球的最大高度为49米，若乙因为接球高度不够而失球，求 m 的取值范围．2、某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 332米，入水处距池边的距离为 4 米，运动员在距水面高度为 5 米以前，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出现失误． ①求这条抛物线的解析式．②在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是①中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3.6 米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．3、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端 A 处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m ． ①若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？②若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池的半径为 3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？4、一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在 A 处出手时离地面920m ，与篮筐中心C 的水平距离为 7m ，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m （B 处），篮筐距地面 3m ，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）．①建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；②判断此球能否投中？5、如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA ，O 恰好在水面的中心，OA=1.25 米．由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA 距离为 1 米处达到距水面的最大高度 2.25 米．①建立适当的平面直角坐标系，使A 点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；②若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？ ③若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池半径为 3.5 米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米？6、如图，足球上守门员在O 处开出一高球．球从离地面 1米的A 处飞出（A 在 y 轴上），把球看成点．其运行的高度y （单位：m ）与运行的水平距离 x （单位：m ）满足关系式h x a y +-=2)6(（1）①当此球开出后．飞行的最高点距离地面 4 米时．求y 与 x 满足的关系式．②在①的情况下，足球落地点 C 距守门员多少米？（取734≈）③如图所示，若在①的情况下，求落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求：站在距离O 点 6 米的 B 处的球员甲要抢到第二个落点 D 处的球．他应再向前跑多少米？（取562≈）（2）球员乙升高为 1.75 米．在距 O 点 11 米的H 处．试图原地跃起用头拦截．守门员调整开球高度．若保证足球下落至 H 正上方时低于球员乙的身高．同时落地点在距 O 点 15 米之内．求 h 的取值范围．7、如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下 4 米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线， 当球运行到水平距离为 2.5 米时达到最高高度为 3.5 米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为 3.05 米，该运动员的身高为 1.8 米．在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方 0.25 米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为________米．运动员乙跳离地面时，最高能摸到 3.3 米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？二、隧道、过桥问题隧道、过桥问题通常采用的是y=ax2+c 的形式，通常考察的是车或者船是否能够通过，考察的是车或者船的高度比车或者船边缘对应纵坐标的数值大小比较。
二次函数基础上的数学建模类(原卷版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题01 二次函数基础上的数学建模类【方法综述】此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。
【典例示范】类型一临界点讨论例1：（2019河北石家庄毕业班教学质量检测）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.(1)当身高为15m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据: √10取3.16)针对训练1．（2017内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a(x−6)2+ℎ，已知球网与O点的水平距离为9m，高度为3m，球场的边界距O点的水平距离为14m.（1）当h=4时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=4时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=k（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向x滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．3．（2019盘锦双台子区）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模一、利用二次函数解决面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即 当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y又∵500,02500＜x＜＞x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)1(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)1(42504422max =-⨯-=-=a b ac y图（1）图解：（得：（2即水流距水平面的最大高度系.（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?4.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A．2.76米B．6.76米解：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x2/25因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：y=-81/25=-3.24此时水深6+4-3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B2、有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,求出将d表示h的函数解析式.（3）设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行?(1)设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x2/25(2)设水面上升hm，水面与抛物线的交点为（d/2,h-4），带入抛物线得h-4=-d2/4×1/25 化简得：d=10√4-h(3)将d=18代入d=10√4-h得：h=0.76所求最大水深为：2+0.76=2.76(米)8.如图，是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为（4，8）．所以8=a×42 a=1/2 ∴所求抛物线的函数解析式为：y=x2/2（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．（3）由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A的坐标为（4，8），∴点D的坐标为（-4，8），设直线BD的函数解析式为y=kx+b，2k+b＝2..........①−4k+b＝8........②解得：k=-1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．三、利用抛物线解决最大利润问题1、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b30a+b＝500.........①40a+b＝400.........②解得：a＝−10 b＝800∴函数解析式为：y=-10x+800（2）①由题意得出：P=yx=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；②∵P=yx=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，∴当x=50时，P=9000元，当x=35时，P=6750元，∴P的取值范围是：6750≤P≤9000．3.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：销售单价x（元/件）…55 60 70 75 …一周的销售量y…450 400 300 250 …（件）（1）直接写出y与x的函数关系式：y=-10x+1000（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请求出该商家最大捐款数额是多少元？解：（1）设y=kx+b，由题意得，55k+b＝450...........①60k+b＝400...........②解得：k＝−10 b＝1000则函数关系式为：y=-10x+1000；（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？解：：（1）当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,300×（12﹣10）=300×2=600元, 即政府这个月为他承担的总差价为600元;（2）依题意得,w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0,∴当x=30时,w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元;（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得：x1=20,x2=40．∵a=﹣10＜0,抛物线开口向下,∴结合图象可知：当20≤x≤40时,w≥3000．又∵x≤25,∴当20≤x≤25时,w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元,∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小,∴当x=25时,p有最小值500元．即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元．5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）（220－10x）；物线的开侧，随的知，，最大时，该文具店每周解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为，将（3000，100），（3200，96）代入得，解得：。
二次函数基础上的数学建模类(解析版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题01 二次函数基础上的数学建模类【方法综述】此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。
【典例示范】类型一临界点讨论例1：（2019河北石家庄毕业班教学质量检测）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.(1)当身高为15m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据: √10取3.16)【答案】（1）y=−16x2+23x；（2）①绳子能碰到小丽的头，理由见解析；②1.684⩽d⩽2.316.【思路引导】（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a≠0），把小亮拿绳子的手的坐标（4，0），以及小红头顶坐标（1，1.5-1）代入，得到二元一次方程组，解方程组便可；（2）①由自变量的值求出函数值，再比较便可；①由y=0.65时求出其自变量的值，便可确定d的取值范围．【解析】（1）根据题意,设绳子所对应的抛物线的表达式为y=ax2+bx(a≠0)∵1.5-1=0.5，∴抛物线经过点(4,0)和点(1,0.5)∴{16a +4b =0a +b =0.5 ，解得{a =−16b =23 ∴绳子对应的抛物线表达式为y =−16x 2+23x（2）①绳子能碰到小丽的头理由如下：∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m 处，∴小丽所在位置与原点距离为4-1.5=2.5(m )，∴当x =2.5时，y =−16x 2+23x =−16×2.52+23×2.5=0.625∵1+0.625=1.625<1.65∴绳子能碰到小丽的头.②∵1.65-1=0.65，∴当y =0.65时，0.65=−16x 2+23x即10x 2−40x +39=0，解得：x =20±√1010 ∵√10取3.16∴x 1=20+3.1610=2.316，x 2=20−3.1610=1.684，∴4−2.316=1.684，4−1.684=2.316，∴1.684≤d ≤2.316.【方法总结】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．针对训练1．（2017内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y =a(x −6)2+ℎ，已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为3m ，球场的边界距O 点的水平距离为14m.（1）当h=4时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）（2）当h=4时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.【答案】(1) y =−118(x −6)2+4 ;(2)见解析;(3) h≥327.【解析】分析：（1）运用待定系数法求二次函数解析式；（2）由（1）可得函数解析式，当x =9时y=3.5,由此可判定球能越过网，令y =0时，求得x =6+6√2,所以球会出界;(3)把两临界值求出来即可.详解：（1）当h=4时，y =a(x −6)2+4∵它过（0,2），∴2=a(0−6)2+4∵a =−118∴y =−118(x −6)2+4；（2）答：球能越过球网且球会出界理由如下：由（1）可知， y =−118(x −6)2+4令x=9得y=3.5，∵3.5＞3∴球能越过球网;令y=0得x=6+6√2，∵6+6√2＞14∴球会出界（3）当球过球网时y =a(x −6)2+ℎ过（0，2）和（9,3）{36a +ℎ=29a +ℎ=3 解得：{a =−127ℎ=103∴-h≥103 当球到界时，y =a(x −6)2+ℎ过（0，2）和（14,0）{36a +ℎ=264a +ℎ=0 解得：{a =−114ℎ=327∴-h≥327 ∴h≥327时球一定能越过球网，又不出边界.2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道y=k x （x≥1）交于点A ，且AB=1米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设v=5．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．【答案】（1）k=18，h=5t 2；（2）x=5t+1，y=﹣5t 2+18，y=−15x 2+25x +895，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v 乙＞7.5解：（1）由题意，点A （1，18）代入y=k x ，得：18=k 1，∴k=18，设h=at 2，把t=1，h=5代入，∴a=5，∴h=5t 2；（2）∵v=5，AB=1，∴x=5t+1，∵h=5t 2，OB=18，∴y=﹣5t 2+18，由x=5t+1，则t=15（x -1），∴y=﹣15（x -1）2+18=−15x 2+25x +895，当y=13时，13=﹣15（x -1）2+18，解得x=6或﹣4，∵x≥1，∴x=6，把x=6代入y=18x ， y=3，∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；（3）把y=1.8代入y=﹣5t 2+18得t 2=8125， 解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）∴x=10∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=18x 上，此时，乙的坐标为（1+1.8v 乙，1.8），由题意：1+1.8v 乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，∴v 乙＞7.5.3．（2019盘锦双台子区）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。
二次函数在生活中的建模应用
二次函数模型的应用探究学习单1问题：怎样确定面积的最大值？引导问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？探究问题：用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？归纳探究，总结方法：运用新知：为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿带的面积为 y m 2．（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？问题：怎样定价利润最大？引导问题：某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？探究问题：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？归纳探究，总结方法：运用新知：某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲。
如果游客居住房间，并关需对每个房间每天支出20元的各种费用。
房价定位多少时，宾馆利润最大？问题：拱桥问题引导问题：飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t-1. 5t2.飞机着陆后滑行多远才能停下来？探究问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？归纳探究，总结方法：运用新知：有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．问题：探究与二次函数有关的数学问题引导问题：观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是 9，个位上的数的和等于 10），猜想其中哪个积最大．91×99，92×98，…，98×92，99×91．探究问题：（1）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2）．在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线．（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标为（x，y），你能由PA与PM的关系得到x，y满足的关系式吗？你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？你得出的结论与（1）中你的猜想一样吗？归纳探究，总结方法：运用新知：分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？问题：推测刹车距离与刹车时间的关系探究问题：行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表（1）在如图所示网格中，建立平面直角坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象，探究刹车时车速、刹车距离之间的函数关系；（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．。
2023年安徽中考数学总复习专题：基于数学建模的二次函数的实际应用(PDF版,有答案)
2023年安徽中考数学总复习专题：基于数学建模的二次函数的实际应用1．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？2．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．（1）求水流运行轨迹的函数解析式；（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．3．如图1是一座抛物线型拱桥C1侧面示意图．水面宽AB与桥面长CD均为24m，点E在CD上，DE＝6m，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离；（2）如图2，在（1）的条件下，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的抛物线C2，C3，其最低点与桥面CD的距离均为1m．求拱桥抛物线C1与钢缆抛物线C2的竖距离的最小值．4．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和w（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？5．在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图1是跳台比赛场地的示意图，在图2中取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=―112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=―18x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离H取到最大值？最大值为多少？6．掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是小杰投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小杰某次试投时的数据如图2所示．（1）在图中画出实心球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式；（3）根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），若实心球投犾距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为满分10分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩是否能达到满分．7．如图1，在建筑工人临时宿舍外，有两根相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线y=120x2+bx+c，已知绳子最低点距离地面74米．以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系．（1）求立柱AB的长度；（2）一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线F1的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；（3）若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN与CD的最近距离．8．如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且OA＝1m．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点6m的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度BC＝4m，点E到篮球框正下方的距离EF＝2m，篮球框的垂直高度为3m．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的12，以小明站立处点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求抛物线ACD的函数解析式；（2）求篮球第二次的落地点E到点O的距离；（结果保留整数）（3）若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：3≈1.73，6≈2.45）9．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．10．如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．（1）按如图1所示建立平面直角坐标系；求该抛物线的解析式．（2）现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN，点G、M在AD上，点N、F在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设M（m，0），且满足12≤m≤1，当窗户框架FGMN的周长最大时，每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇长方形窗户框架FGMN成本）（3）根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润W（元）最大？最大利润是多少？参考答案与试题解析1．解：（1）以水面所在直线AB为x轴，以过拱顶垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：∴A（﹣10，0），C（0，4），设二次函数的解析式为y＝ax2+4（a≠0），把点A坐标代入解析式得：100a+4＝0，解得：a=―1 25，∴这个函数的表达式为：y=―125x2+4；（2）当水面宽10m时，即x＝5时，y=―125×52+4＝3，此时水面离拱顶4﹣3＝1（m），1÷0.2＝5（h），答：达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没．2．解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5），设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，将点（0，1）代入可得a=―5 64，∴抛物线为：y=―564（x﹣8）2+5．（2）能，理由如下：当x＝12时，y=―564（12﹣8）2+3.75＞3.5，∴水流能碰到这棵果树．3．解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1=―1 24，∴y1=―124x2，当x＝12时，y1=―124×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m；（2）由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x ﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=1 12，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1设拱桥抛物线C1与钢缆抛物线C2的竖距离为Lm，则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（―124x2）=18x2﹣x+4=18（x﹣4）2+2，∵18＞0，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：拱桥抛物线C1与钢缆抛物线C2的竖距离的最小值是2m．4．解：（1）由题意得：5k＝3，解得k＝0.6，∴y1＝0.6x；∵抛物线y2＝ax2+bx经过（1，2），（5，6），∴a+b=225a+5b=6，解得：a=―0.2 b=2.2，∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；（2）w＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，∵﹣0.2＜0，∴当t＝4时，w有最大值9.2（千元），答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元．5．解：（1）由题意可知抛物线C2：y=―18x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：c =4―18×16+4b +c =8， 解得：b =32c =4， ∴抛物线C 2的函数解析式为：y =―18x 2+32x +4； （2）∵运动员与小山坡的竖直距离为H 米，∴H =―18x 2+32x +4﹣（―112x 2+76x +1）； =―124（x ﹣4）2+113 ∵―124＜0， ∴当x ＝4时，H 取到最大值，最大值为113． 6．解：（1）如图所示：（2）解：依题意，抛物线的顶点B 的坐标为（4，3），点A 的坐标为（0，2）．设该抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣5）2+4，∵抛物线过点A （0，2），∴a （0﹣5）2+4＝2，解得，a =―225， ∴该抛物线的表达式为y =―225（x ﹣5）2+4； （3）解：令y ＝0，得―225（x ﹣5）2+4＝0， 解得x 1＝5+52，x 2＝5﹣52（C 在x 轴正半轴，故舍去）．∴点C 的坐标为（5+52，0）．∴OC ＝5+52＞5+5＝10，∴小杰此次试投的成绩达到满分．7．解：（1）由题意抛物线的解析式为y=120（x﹣5）2+74，即y=120x2―12x+3，令x＝0，得到y＝3，∴AB＝3米；（2）由题意设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣3）2+2，把A（0，3）代入解析式得：3＝a（0﹣3）2+2，解得：a=1 9，∴y=19（x﹣3）2+2，当x＝4时，y=19 9，∴MN=199米；（3）抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米，∴设抛物线F1的解析式为y=112（x﹣h）2+1.92，把A（0，3）代入解析式得：3=112（﹣h）2+1.92，解得：h1＝﹣3.6（舍去），h2＝3.6，∴抛物线F1的解析式为y=112（x﹣3.6）2+1.92，∵MN＝2.4，∴当y＝2.4时，112（x﹣3.6）2+1.92＝2.4，解得：x1＝1.2，x2＝6，当x＝1.2时，DM＝10﹣1.2＝8.8（米），当x＝6时，DM＝10﹣6＝4（米），∵4＜8.8，∴MN与CD的最近距离为4米．8．解：（1）设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，∵h＝6，k＝4，∴y＝a（x﹣6）2+4，由已知：当x＝0时y＝1，即1＝36a+4，∴a=―1 12，∴抛物线ACD的函数表达式为y=―112（x﹣6）2+4；（2）令y＝0，―112（x﹣6）2+4＝0，∴（x﹣6）2＝48，解得：x1＝43+6≈13，x2＝﹣43+6＜0（舍去），∴篮球第一次落地距O点约13米；如图，第二次篮球弹出后的距离为DE，根据题意：DE＝MN，∴2=―112（x﹣6）2+4，解得：x1＝6﹣26，x2＝6+26，∴DE＝MN＝|x1﹣x2|＝46≈10，∴OE＝OD+DE≈13+10＝23（米），∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为23米；（3）当y＝3时，3=―112（x﹣6）2+4，解得：x1＝6﹣23≈2.5，x2＝6+23≈9，∵OF＝OE+EF≈23+2＝25，∴25﹣9＝16（米）或25﹣2.5＝22.5（米），∴小明需要在第一次抛球时投中篮筐，他应该向前走16米或22.5米．9．解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，解得a=―3 4，∴抛物线的解析式为：y=―34（x﹣1）2+3．（2）令y＝0，得，0=―34（x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，∵2×3＝6（米），∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），设平移后的抛物线的解析式为：y=―34（x﹣1）2+h，将（2.5，0）代入得，―34（2.5﹣1）2+h＝0，解得h=27 16，当x＝0时，y=―34（0﹣1）2+2716=1516．∴调整后水管的最大长度1516米．10．解：（1）∵长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米，∴OH＝AB＝3米，EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1米，E（0，1），D（2，0），由题意知抛物线的函数表达式为y＝ax2+1，把点D（2，0）代入，得a=―1 4，∴该抛物线的函数表达式为y=―14x2+1；（2）∵M（m，0），∴N（m，―14m2+1），∴MN=―14m2+1，∴C矩形MNFG＝2（MG+MN）＝2[2m+（―14m2+1）]=―12m2+4m+2，∵―12＜0，对称轴为m＝4，且12≤m≤1，∴当m＝1时，C有最大值，最大值为11 2，∴长方形窗户框架的成本为112×10＝55（元），∴395+55＝450（元），答：每个B型活动板房的成本是450元；（3）根据题意，得W＝（n﹣450）[100+20(600―n)10]＝﹣2（n﹣550）2+20000，∵﹣2＜0，∴当n＝550 时，W有最大值，且最大值为20000，答：公司将销售单价n定为550 元时，每月销售B型活动板房所获利润W最大，最大利润20000元．。
二次函数建模
2．1 建立二次函数模型主备：何安华审核:初三备课组课型：新授课编号：1201小组：姓名：授课时间：【学习目标】1.理解二次函数的概念，明确二次函数的一般形式。
2.通过对实际问题的情境分析，建立二次函数的模型，确定自变量的取值范围。
【重点、难点】重点：建立二次函数模型和理解二次函数的概念。
难点：建立二次函数模型，确定自变量的取值范围。
【学法指导】1.学法：应用数学建模的思想来建立二次函数模型。
2.独学：预习教材第21页至22页独立完成知识梳理和基础演练。
3.群学：组内讨论学习基础演练和拓展延伸后小组展示，提出疑惑，并解决问题。
一．知识梳理：（我独学，我体验，我充实）问题1：圆的面积y（cm2）与该圆的半径x（cm）之间的函数关系式是问题2：学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图所示，现在已备足可以砌100m长的墙的材料，大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生什么样的变化？问题3：一种型号的电脑两年前的销售为6000元，现在售价为y元，如果每年的平均降价率为x，那么降价率变化时，电脑售价怎样变化吗？观察：以上三个函数解析式具有什么共同点？归纳：1.定义:如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数。
它的一般形式是y＝a x2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）2.思考：（1）二次项系数a为什么不可以等于0？（2）一次项系数b和常数项c可以为0吗？二．基础演练：（我们群学、我们合作、我们团结）1.下列函数中，哪些是二次函数？如果是二次函数请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) 21x y -= (2) y ＝x (x －5)＋2 (3)y ＝3x 3＋2x 22.写出下列函数的解析式，并判断它们是什么类型的函数。
（1）正方形的面积S 关于它的边长x 的函数；（2）圆的周长c 关于它的半径r 的函数；三．拓展延伸：（我们展示，我们质疑，我们快乐）1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．四．整理学案：（我们总结，我们收获，我们提升）1.这节课我们学到了什么？2.易错点归纳五．当堂检测：（我们检测，我们反思，我们升华）1.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y＝1－3x2（2）y＝x＋1x2.已知函数3xa=xy不是二次函数，求4a的值)14-(2++3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．五．当堂检测：（我们检测，我们反思，我们升华）1.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y＝1－3x2（2）y＝3x3＋2x22.已知函数3x=xay不是二次函数，求4a的值(2+4-)1+3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．。
数学建模思想探讨——二次函数解析式的建立方法
数学建模思想探讨——二次函数解析式的建立方法数学建模是数学应用研究中极为重要的一种技术，它通过计算机和科学方法将实际问题翻译成数学命题，是数学分析和解决问题的有效方法。
而二次函数解析式的建立方法是建立数学模型的基础，它拥有简单的结构，准确地反映了对象之间属性间的实际关系，具有重要的研究价值。
首先，我们要了解二次函数解析式的建立特点，即二次函数解析式是描述一个实体某一属性的变化情况的函数，是定义的变量满足二阶多项式的一般形式。
它由一个未知变量和对应的参数组成，其参数关系可以用线性方程组来描述。
它的建立要满足一定的准则：1、拟合的结果需尽可能接近实际；2、拟合的结果需与实际曲线成相同的拐点；3、拟合的曲线需要连续及其梯度连续，即考虑到变量的微分和积分；4、拟合结果要尽量少，也就是拟合参数的数量要最低，以此达到函数简洁性。
根据以上的准则，我们可以构建二次函数解析式的建立方法，即根据实际问题收集完整的数据，将原始数据进行数据分析和结构分析，根据原始数据拟合出拟合函数，并根据拟合函数进行建模，以获得最佳拟合曲线。
一般来说，应用数学建模技术，先根据经验拟合出满足准则的初步方程，然后再将实际拟合数据与初步方程进行比较，通过数值实验最终得出满足方程中参数的值，从而得到真实的拟合曲线。
而在实际应用中，如果满足上述建立方法中的所有准则，不仅可以得到准确结果，而且可以搭建出能够反映实际的微分的空间曲线，以达到精确的拟合曲线。
另外，二次函数解析式的建立方法也可以帮助我们确定拟合曲线的偏移，并给出相应的修正措施，从而获得更加准确的拟合曲线和模型结果。
综上所述，二次函数解析式的建立方法是构建数学模型的基础，它拥有简单的结构，准确地反映了对象之间属性间的实际关系，具有广泛的应用价值，但也要满足一定的准则，以保证拟合曲线的准确性及偏差的最小化，同时还需要考虑到变量的微分和积分，才能达到最优拟合效果。
二次函数的建模运用
二次函数的应用 1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A ．2.76米B ．6.76米C ．6米D ．7米考点：二次函数的应用．专题：应用题；压轴题．分析：根据已知，假设解析式为y=ax 2，把（10，-4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x=9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．解答：解：设该抛物线的解析式为y=ax 2，在正常水位下x=10，代入解析式可得-4=a×102 ∴ 故此抛物线的解析式为：因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：此时水深6+4-3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B ．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．难度中上，首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解．2.林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−51-x 2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ）A ．3.2mB ．4mC ．4.5mD ．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x 的值，加上2.5即为所求的数值．2251-y x =251-a =米24.381251-y -=⨯=解答：解：由题意得：3.05=−51-x 2+3.5， x 2=2.25，∵篮圈中心在第一象限，∴x=1.5， ∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m ，故选B ．点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．3.如图是江夏宁港灵山脚下古河道上一座已有了400年历史的古拱桥的截面图，这座拱桥桥洞上沿是抛物线形状，若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，如果在桥洞两侧壁上各安装一盏距离水面4m 的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是（ ）A ．3mB ．4mC ．5mD ．6m 考点：二次函数的应用．分析：根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的左端点坐标为（0，1），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可．解答：解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1），设抛物线解析式为y=a （x-5）2+5，把点（0，1）代入得：1=a （0-5）2+5，即∴抛物线解析式为令y=4，得∴盏景观灯之间的水平距离是： 故选C ．点评：根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．4.如图，在“江夏杯”钓鱼比赛中，选手甲钓到了一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看作以A 为最高点的一条抛物线，已知鱼线AB 长6m ，鱼隐约在水面了，估计鱼离鱼竿支点有8m ，254-a =5)5(254-y 2+-=x 215x 1=m 525-215=25x 2=此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹脚α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为考点：二次函数的应用．分析：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，在RT△ABC 中，可求出AC 、BC ，然后根据OB=8米，可得出点A 的坐标，根据二次函数过原点及二次函数的顶点坐标即可确定二次函数解析式．解答：解：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，∵AB=6米，OB=8米，α=60°，∴AC=ABsin∠α=米BC=ACcos∠α=3米，∴OC=OB -BC=5米，故可得点A 的坐标为设函数解析式为y=a （x-5）2+ 又∵函数经过原点， ∴0=a （0-5）2 +解得：故函数解析为： 故答案为：点评：此题考查了二次函数的应用，关键是利用几何知识求出点A 的坐标，另外要掌握二次函数的一般式及顶点式的特点，有一定难度．33）（33,533332533-a =33)5(2533-y 2+-=x 33)5(2533-y 2+-=x5.如图，AB 是自动喷灌设备的水管，点A 在地面，点B 高出地面1.5米．在B 处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平线成45°角，水流的最高点C 与喷头B 高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D 到点A 的距离是 米．考点：二次函数的应用．分析：根据所建坐标系，易知B 点坐标和顶点C 的坐标，设抛物线解析式为顶点式，可求表达式，求AD 长就是求y=0是x 的值．解答：解：如图，建立直角坐标系，过C 点作CE⊥y 轴于E ，过C 点作CF⊥x 轴于F ， ∴B（0，1.5），∴∠CBE=45°，∴EC=EB=2米，∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5，∴C（2，3.5）设抛物线解析式为：y=a （x-2）2+3.5，又∵抛物线过点B ，∴1.5=a（0-2）2+3.5 ∴∴ ∴所求抛物线解析式为： ∵抛物线与x 轴相交时，y=0， ∴（舍去）727221-=+=x x∴点D 坐标为）（0,72+水流落点D 到A 点的距离为：米72+点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系的特点设合适的函数表达式形式进而求出二次函数解析式是解决问题的关键．6.我市某工艺厂设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（注：利润=销售总价-成本总价）销售单价x （元∕件） … 30 40 50 60 …21-a =23221-5.3)2(21-y 22++=+-=x x x 23221-y 2++=x x 23221-02++=x x每天销售量y（件）…500 400 300 200 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．考点：二次函数的应用．分析：（1）描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）①根据利润=销售总价-成本总价=单件利润×销售量；②据①中表达式，运用性质求P的取值范围．解答：解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b30a+b＝500.........①40a+b＝400.........②解得：a＝−10 b＝800∴函数解析式为：y=-10x+800；（2）①由题意得出：P=yx=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；②∵P=yx=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，∴当x=50时，P=9000元，当x=35时，P=6750元，∴P的取值范围是：6750≤P≤9000．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，根据已知得出y与x的函数关系式是解题7.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？解答：解：（1）设y=kx+b，由题意得，55k+b＝450...........①60k+b＝400...........②解得：k＝−10 b＝1000则函数关系式为：y=-10x+1000；（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，∵-10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）∵由40（-10x+1000）≤10000解得x≥75∴当x=75时，利润最大，为8750元．点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．8.如图，是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）考点：二次函数的应用．专题：压轴题． 分析：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y=ax 2，又由点A 在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；（2）延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求；（3）首先根据题意求得点B 与D 的坐标，设直线BD 的函数解析式为y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线BD 的函数解析式，把x=0代入y=-x+4，即可求得点P 的坐标． 解答：解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax 2，由题意知点A 的坐标为（4，8）． ∵点A 在抛物线上，∴8=a×42， 解得:21=a 221y x =∴所求抛物线的函数解析式为：（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．（3）由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A的坐标为（4，8），∴点D的坐标为（-4，8），设直线BD的函数解析式为y=kx+b，2k+b＝2..........①−4k+b＝8........②解得：k=-1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题．。
二次函数实际问题建模专题训练(培优)
二次函数实际问题建模专题训练（培优）1．弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图16，甲站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2．（1）a的值为；点B的横坐标为；（2）若弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半．①求弹力球第一次着地后抛物线解析式；②求弹力球第二次着地点到点O的距离；③如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，若要甲能投球成功，需将筐沿x轴向左移动bm，直接写出b的取值范围．2．图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置．图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系．发射装置底部在轮廓线的点A 处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C1：y＝﹣x2+x+1，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c．（1）直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；（2）若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；（3）圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在C1上，其横坐标为14，CF∥x轴，CD＝1.5，DE＝1，若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．3．如图是小智用数学软件模拟弹球运动轨迹的部分示意图，已知弹球P从x轴上的点A向右上方弹射出去，沿抛物线l1：y＝﹣x2+2x+15运动，落到图示的台阶S1﹣S5某点Q处后，又立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与L1，形状相同的抛物线L2，抛物线L2的顶点N与点Q的垂直距离为4，点A到台阶底部O的距离为3，最高一是台阶S1到x 轴的距离为9，S1～S5每层台阶的高和宽均分别为1和1.5．台阶的各拐角均为直角．（1）求弹球P上升到最高点M时，弹球到x轴的距离；（2）①指出落点Q在哪一层台阶上，并求出点Q的坐标；②求出抛物线L2的解析式；（3）已知△BCD的BC边紧贴x轴，∠C＝90°，BC＝1，CD＝2，当弹球沿抛物线L2下落能击中△BCD时，求点C的横坐标的最大值与最小值．4．图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图．水平台面的长和宽分别为2.8m和1.6m，中间球网高度为0.15m，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为0.4m，乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v（单位：m/s）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当t＝1时，h＝5；P，Q的水平距离是vt（单位：m）．（1）设v＝10m/s，用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范围）（2）在（1）的条件下，①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线0.3m，边线0.3m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：≈2.6）（3）将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接出v的取值范围．（结果保留根号）5．将小球（看作一点））以速度v1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度．小球相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v1（m/s）与时间t（s）的积，另一部分与时间t（s）的平方成正比．若上升的初始速度v1＝10m/s，且当y＝5m时，小球达到最大高度．（1）求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升到最大高度时的时间；（2）如图，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v2（m/s），发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式与（1）中的解析式相同．①若v2＝5m/s，当t＝s时，小球的坐标为，小球上升的最高点坐标为；求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；②在小球的正前方的墙上有一高m的小窗户PQ，其上沿P的坐标为（6，），若小球恰好从窗户中穿过（不包括恰好击中点P，Q，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度v2的取值范围．6．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣，﹣10）．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为（1，），正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝，EN＝，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．。
二次函数的模型建立与解决实际问题
二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。
本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。
一、二次函数的基本形式二次函数一般可以写成以下形式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
其中，a不等于0，否则称为一次函数。
二次函数的图像一般是一个抛物线。
二、二次函数的模型建立方法建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。
常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。
下面以几个具体的例子来说明。
例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + cy2 = ax2^2 + bx2 + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：c = a * 0^2 + b * 0 + c0 = a * x^2 + b * x + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。
由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
三、利用二次函数解决实际问题二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。
在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。
在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。
初中中考二次函数压轴题分类突破之专题(一)数学建模类(附答案解析)
专题01 二次函数基础上的数学建模类【方法综述】此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。
【典例示范】类型一临界点讨论例1：（2019河北石家庄毕业班教学质量检测）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.(1)当身高为15m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据: √10取3.16)【答案】（1）y=−16x2+23x；（2）①绳子能碰到小丽的头，理由见解析；②1.684⩽d⩽2.316.【思路引导】（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a≠0），把小亮拿绳子的手的坐标（4，0），以及小红头顶坐标（1，1.5-1）代入，得到二元一次方程组，解方程组便可；（2）①由自变量的值求出函数值，再比较便可；①由y=0.65时求出其自变量的值，便可确定d的取值范围．【解析】（1）根据题意,设绳子所对应的抛物线的表达式为y=ax2+bx(a≠0)∵1.5-1=0.5，∴抛物线经过点(4,0)和点(1,0.5) ∴{16a +4b =0a +b =0.5 ，解得{a =−16b =23∴绳子对应的抛物线表达式为y =−16x 2+23x （2）①绳子能碰到小丽的头 理由如下：∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m 处， ∴小丽所在位置与原点距离为4-1.5=2.5(m )，∴当x =2.5时，y =−16x 2+23x =−16×2.52+23×2.5=0.625∵1+0.625=1.625<1.65 ∴绳子能碰到小丽的头.②∵1.65-1=0.65，∴当y =0.65时，0.65=−16x 2+23x即10x 2−40x +39=0，解得：x =20±√1010∵√10取3.16 ∴x 1=20+3.1610=2.316，x 2=20−3.1610=1.684，∴4−2.316=1.684，4−1.684=2.316， ∴1.684≤d ≤2.316. 【方法总结】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．针对训练1．（2017内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y =a(x −6)2+ℎ，已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为3m ，球场的边界距O 点的水平距离为14m. （1）当h=4时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=4时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.【答案】(1) y =−118(x −6)2+4 ;(2)见解析;(3) h≥327.【解析】分析：（1）运用待定系数法求二次函数解析式；（2）由（1）可得函数解析式，当x =9时y=3.5,由此可判定球能越过网，令y =0时，求得x =6+6√2,所以球会出界;(3)把两临界值求出来即可. 详解：（1）当h=4时，y =a(x −6)2+4 ∵它过（0,2）， ∴2=a(0−6)2+4 ∵a =−118∴y =−118(x −6)2+4；（2）答：球能越过球网且球会出界 理由如下：由（1）可知， y =−118(x −6)2+4令x=9得y=3.5， ∵3.5＞3 ∴球能越过球网; 令y=0得x=6+6√2， ∵6+6√2＞14 ∴球会出界 （3）当球过球网时y =a(x −6)2+ℎ过（0，2）和（9,3） {36a +ℎ=29a +ℎ=3 解得：{a =−127ℎ=103 ∴-h≥103 当球到界时，y =a(x −6)2+ℎ过（0，2）和（14,0）{36a +ℎ=264a +ℎ=0 解得：{a =−114ℎ=327 ∴-h≥327 ∴h≥327时球一定能越过球网，又不出边界.2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道y=kx （x≥1）交于点A ，且AB=1米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M ，A 的水平距离是vt 米． （1）求k ，并用t 表示h ；（2）设v=5．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．【答案】（1）k=18，h=5t 2；（2）x=5t+1，y=﹣5t 2+18，y=−15x 2+25x +895，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v 乙＞7.5 解：（1）由题意，点A （1，18）代入y=kx ，得：18=k1，∴k=18，设h=at 2，把t=1，h=5代入， ∴a=5， ∴h=5t 2；（2）∵v=5，AB=1， ∴x=5t+1， ∵h=5t 2，OB=18，∴y=﹣5t 2+18， 由x=5t+1， 则t=15（x -1），∴y=﹣15（x -1）2+18=−15x 2+25x +895，当y=13时，13=﹣15（x -1）2+18， 解得x=6或﹣4， ∵x≥1， ∴x=6，把x=6代入y=18x ， y=3，∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）； （3）把y=1.8代入y=﹣5t 2+18 得t 2=8125，解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去） ∴x=10∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=18x 上，此时，乙的坐标为（1+1.8v 乙，1.8）， 由题意：1+1.8v 乙﹣（1+5×1.8）＞4.5， ∴v 乙＞7.5.3．（2019盘锦双台子区）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。
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2017年中考数学专题复习二次函数建模实际问题、几何综合、数形结合一直以来是襄阳中考后三大轴题，其中实际问题从2015年开始以二次函数为模型创设实际问题。
它涉猎的知识和方法有整式运算、方程、不等式、一次函数二次函数图象性质及配方法、待定系数法等等。
要求同学们既要弄清题意，还要有过硬的计算能力，可谓一分难求。
〖基本问题设计〗1、构建二次函数关系式2、解一元二次方程3、求最值（顶点式的最值、非顶点式的最值）4、解二次不等式5、根据自变量的取值范围及一次函数的最大（小）值6、利用二次函数性质求参数范围〖题干呈现形式〗1、用表格或图象提供解答问题的信息2、函数要分段〖答题注意事项〗1、计算要准确2、格式、步骤要规范【数学练习】1、化简下列函数：①y=(0.25x+30-20)(120-2x) = －0.5x2+10x+1200②y=(－0.5x+48-20)(120-2x) =x2-116x+33602、求下列函数的最大值①当1≤x≤24时，y=－0.5x2+10x+1200 ；解：∵y=－0.5x2+10x+1200=－0.5(x-10)2+1250又∵y是x的二次函数且a＝－0.5＜0∴当x=10时，y最大=1250.②当25≤x≤48时，y=x2-116x+3360解：∵y=x2-116x+3360=(x-58)2-4又∵y是x的二次函数且a＝1＞0∴开口向上，且对称轴为直线x=58∵又25≤x≤48在对称轴x＝58左侧∴y随x增大而减小∴当x=25时，y最大=1085.3、根据二次函数的性质确定下列不等式的解集：－0.5x2+10x+1200≥1152解：解方程－0.5x2+10x+1200＝1152，得x1=－4，x2=24∴根据y=－0.5x2+10x+1200图象（如右图）得y=－0.5x2+10x+1200≥1152的解集是－4≤x≤24【例题】某超市以每千克20元购进一种水果，经调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（1）求日销售利润y(元)与x之间函数关系式，解：当1≤x≤24时，y=(0.25x+30-20)(120-2x)=－0.5x2+10x+1200当25≤x≤48时，y=(－0.5x+48-20)(120-2x)=x2-116x+3360综上可得：y＝()()⎩⎨⎧≤≤+-≤≤++-482533601162411200105.022xxxxxx（2）该超市第几天的销售利润为1152元？解：当1≤x≤24时，y=－0.5(x-10)2+1250＝1152，解之得x1=－4（舍），x2=24当25≤x≤48时，y=(x-58)2-4＝1152，解之得x1=24（舍），x2=94（舍）综上可得：该超市第24天的销售利润为1152元（3）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？解：当1≤x≤24时，y=－0.5x2+10x+1200=－0.5(x-10)2+1250∵y是x的二次函数且a＝－0.5＜0∴当x=10时，y最大=1250.当25≤x≤48时，y=x2-116x+3360=(x-58)2-4∵y是x的二次函数且a＝1＞0∴开口向上，且对称轴为直线x=58∵又25≤x≤48在对称轴x＝58左侧∴y随x增大而减小∴当x=25时，y最大=1085.综上可得:在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元（4）若日销售利润不低于1152元，①求x的取值范围．②该超市至少需要多少元的进货款。
解：①∵当25≤x≤48时，最大利润为1085元＜1152元这种范围内所获得利润不能不低于1152元。
当1≤x≤24时，由y=－0.5x2+10x+1200＝1152得x1=－4，x2=24∴根据y=－0.5x2+10x+1200图象（如右图）Array得y=－0.5x2+10x+1200≥1152时x的范围是－4≤x≤24又∵1≤x≤24∴1≤x≤24故若日销售利润不低于1152元时， x的取值范围是1≤x≤24．②设超市的总进货款为P元，则当1≤x≤24时，P＝20（－2x+120）＝－40x+2400∵P是x一次函数，且k＝－40＜0∴P随x增大而减小∴当x＝24时P最小值是－40×24+2400＝1440故若日销售利润不低于1152元时，超市的至少需要1440元的进货款。
（5）在实际销售的前24天中，该公司决定每销售1kg的这种水果，就捐赠n元利润(n ＜9)给果农．公司通过销售记录发现，前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x (天)的增大而增大，请直接写出n的取值范围．解：当1≤x≤24，设扣除捐赠后的日销售利润为P元，则P=(0.25x+30-20-n)(120-2x)=-0.5x2+(2n+10)x+1200-120n，∵y是x二次函数，且a＝－0.5＜0∴开口向下，且对称轴为x=2n+10，∴要使在前24天y随x的增大而增大∴由二次函数的图像及性质知：2n+10≥24，解得n≥7.又∵n＜9,∴7≤n＜9.〖练习〗1、某商场经销一种商品，这种商品在第x（1≤x≤90）天的售价及与销售量与x之间关系如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）若该商品的日销售利润不低于4800元时，求该商场至少需要多少进货款2为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司可安排员工多少人？（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用）（3）若该公司有80名员工，求月销售利润W（万元）与x之间的函数关系式（4）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？3某公司进行甲、乙两种产品加工，已知加式甲种产品每件需成本费30元，加工乙种产品每件需成本费20元。
经调研：甲种产品年销售量为y（万件）与销售单价为x（元/件）的函数关系式如下图所示；乙种产品年销售量稳定在10万件。
物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元。
（1）直接写出y与x之间的函数关系式。
价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围。
（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）2解：（1）()()⎩⎨⎧+-≤≤+-=10060505.0604081.0xxxxy（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，由5=（－0.1×50+8）（50－40）－15－0.25a，解之得a=40，所以公司可安排员工40人；（3）设公司月利润为W元当40≤x≤60时，W=（－0.1x+8）（x－40）－15－20=﹣0.1（x－60）2+5，则当x=60时，W的最大值为5万元；当60＜x＜100时，W=（－0.05x+5）（x－40）－15－0.25×80=－0.05（x－70）2+10，∴x=70时，W的最大值=10万元，∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，∴n≥8，∴n的最小值为8．答：该公司最早可在8个月后还清无息贷款3解：（1）y=()()⎩⎨⎧≤≤+-≤+-7050151.05045202.0xxxx（2）①当45≤x＜50时，W=（x－30）（20－0.2x）+10（90－x－20），=－0.2x2+16x+100，=－0.2（x－40）2+420，∵W是x的二次函数且a＝﹣0.2＜0，∴开口向下且对称轴为x＝40∴45≤x＜50在对称轴的右侧，W随x的增大而减小，∴当x=45时，W的最大值为－0.2（45－40）2+420=415万元；②当50≤x≤70时，W=（x－30）（－0.1x+15）+10（90－x－20），=－0.1x2+8x+250，=－0.1（x－40）2+410，∵W是x的二次函数且a＝﹣0.1＜0，∴开口向下且对称轴为x＝40∴50≤x≤56在对称轴的右侧，W随x的增大而减小，∴当x=50时，W有最大值为－0.1（50－40）2+410=400万元．综上所述，当x=45，W的最大值是415答：甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；（3）根据题意得，W=－0.1x2+8x+250+415－700=－0.1x2+8x－35，当W=85，则－0.1x2+8x﹣35=85，解得x1=20，x2=60．∵W是x的二次函数且a＝－0.1＜0∴开口向下∴根据二次函数的性质得当W≥85时，20≤x≤60又∵50≤x≤65，∴50≤x≤60，即50≤90﹣m≤60，解之得30≤m≤40．∴第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围是30≤m≤40．二次函数建模复习专题【数学基础练习】1、化简下列函数：①y=(0.25x+30-20)(120-2x)=②y=(－0.5x+48-20)(120-2x)=2、求下列函数的最大值①当1≤x≤24时，y=－0.5x2+10x+1200 ；②当25≤x≤48时，y=x2-116x+33603、根据二次函数的性质确定下列不等式的解集：－0.5x2+10x+1200≥1152【讲练例题】某超市以每千克20元购进一种水果，经调研发现，这种水果在未来48天的销售单价（1）（2）该超市第几天的销售利润为1152元？（3）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（4）若日销售利润不低于1152元，①求x的取值范围．②该超市至少需要多少元的进货款。
（5）在实际销售的前24天中，该公司决定每销售1kg的这种水果，就捐赠n元利润(n＜9)给果农．公司通过销售记录发现，前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x (天)的增大而增大，请直接写出n的取值范围．〖课后练习〗1、某商场经销一种商品，这种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价及与销售量与x 之间关系如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）若该商品的日销售利润不低于4800元时，求该商场至少需要多少进货款2为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司可安排员工多少人？（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用）（3）若该公司有80名员工，求月销售利润W （万元）与x 之间的函数关系式（4）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？3某公司进行甲、乙两种产品加工，已知加式甲种产品每件需成本费30元，加工乙种产品每件需成本费20元。