大学物理,第二章,质点动力学

t1 t2
I y Fy dt mv2 y mv1y
t1
t2
I z Fz dt mv2 z mv1z
t1
t2
例题11 长度为L的匀质柔绳,单位长度的质量为 λ,上端悬挂,下端刚好和地面接触,现令绳自由下 落,求当绳落到地上的长度为l 时绳作用于地面的 力。
L-l L
y
例题1 质量为m0的楔块A，置于光滑水平桌面上， 质量为m的物体B沿楔的光滑斜面自由下滑，试 求楔块A相对于地面的加速度及物体B相对楔块 的加速度。
B

A
F
BHale Waihona Puke Baidu

m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
例题12 有一条单位长度质量为λ的匀质柔绳， 开始时盘绕在光滑的水平桌面上端悬挂，试求 （1）若以恒定的加速度a 向上提起，当提起的 高度为y 时作用于绳端的力；（2）若以恒定的 速度v向上提起，当提起的高度为y 时作用于绳 F 端的力。
a
y
F
解:(1)取竖直向上为正，当绳加速 上升高度y 时
*积分形式：

t2
t1
p2 Fdt dp p2 p1 mv2 mv1 p1

t2
t1
p2 Fdt dp p2 p1 mv2 mv1 p1
*动量定理的冲量表示： I p
I x Fx dt mv2 x mv1x
积分
mg
O

T


0
vdv ( g sin )d v0 l
v
2 v v0 2 gl (cos 1)
v2 法向 T mg cos man m l 2 v0 T m( 3g cos 2 g ) l
例题6 图中AＢ为一固定于光滑水平桌面半圆形 轨道，质量为m 物块以v0 从A点射入,它与轨道间 摩擦系数为 ，求物块从Ｂ点滑出的速度。 B
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
vo
y vo o
解：忽略子弹的重力,子弹将 沿x轴运动，如图所示。
x
dv f kv m dt
v
0
积分： v
t dv k dt 0 v m
得: v v0e

k t m
k t m
xmax vdt v0e
0 0

mv0 dt k
例题4 一质量为m 的质点t=0 时自坐标原点以 初速 v0 v0i 做平抛运动，运动中受到空气阻 ，求：（1）t 时刻质点的速度； 力 f mkv （2）质点的运动方程。
t2 t1
*质点的动量：p mv n n *质点系的动量：p pi mi vi
i 1 i 1
二、动量定理 1.单个质点的动量定理： *微分形式：
dp d (mv ) F dt dt
或： Fdt dp d (mv )
例题5 质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动， 经过最低点的速度为v0 ，绳长为l,不计空气阻 力及轻绳的形变，求小球在任意位置（和竖直 方向夹角为 ）的速率绳中张力。
O

解：任意位置小球m受力如图,有 mg T ma
dv 切向 mg sin ma m dt dv dv d 即 g sin dt d dt
v0
A
解:选取自然坐标, 分析物块在水平面内的受力 B
v
v2 Fn N m R
v0
N
f
dv F m f N dt
A
dv dv ds dv v2 即： v dt ds dt ds R
积分：

v
v0
R dv ds 0 v R
可得： v v0 e
t kt
竖直方向 mg mkv y m
积分
dv y dt
(k )dt
0
t
vy
0
g kt ，得 v y (1 e ) k vy g / k
dvy
dy g kt v (1 e ) 由 y dt k
积分 0 dy 0
y
t
g g g kt kt y t (1 e ) (1 e )dt ，得 2 k k k

例题7 一长度为l，质量为m的绳索，一端系在 轴上，另一端固结一质量为M 的物体，它们在 光滑水平面上以均匀的角速度 转动，求:绳中 距离轴心为r 处的张力T。
m o l
M
此题中绳的质量不能忽略，绳中各部分的速度、加速 度都不相同，整个绳不能看成一个质点！在绳的不同 位置处，张力也不会相同。
2
dr 积分： T d T r m r l
Tl l 2
2 T M l 对绳子末端的小球：l
l r T M l m 可得： 2l
2 2 2
2
讨论: 1.量纲正确 2.特例: r = l 时，T = M 2l 正确 r 0 时， T = M 2l+ m 2l /2 (最大)
v0 O x
y
解：任意时刻t，对质点m，有
mg f ma
dvx 水平方向 mkvx m dt t vx dv x kt ( k ) dt v0 vx ，得 vx v0e 积分 0
dx kt v v e 由 x 0 dt
积分

x
0
v0 kt x (1 e ) dx v 0 e dt ，得 0 k
习题
牛顿运动定律的应用
一、牛顿运动定律的适用范围： 1.仅适用于惯性系；
2.仅适用于低速物体；
3.一般仅适用于宏观物体； 4.仅适用于实物，不完全适用于场。
二、牛顿运动定律的应用：
1.动力学问题：受力情况 2.基本步骤： 隔离物体，分析受力情况； 适当选择并建立坐标系（在惯性参考系上）； 根据给出坐标列出方程； 求解方程得出结果。 运动情况
dr m o l
M
解：取距轴心 r 处， 长度为 d r 的一段质 元，其质量为 m dm dr l
设 r 处的张力为T ，r + d r 处 T+dT 的张力为T + dT ；由牛顿定律
T dr r an
T T d T d m r
2
dr d T m r l
解：取竖直向下为正，当绳下落 长度l 时
v 2gl
L- l L
y
在其后的一小段时间dt内,对 dm dl vdt 的绳子 , 忽略重力 作用，由动量定理可知
Fdt 0 dm v
dm F v v 2 2l g dt
N (m dm) g F ' 3l g
N
a
N (mg ma) 0 N mg ma
mg
F ( ma )
例题9 在以加速度a加速上升的电梯中，一根 轻绳跨过定滑轮，两端分别系有质量为m1和m2 的物体,如图所示。假设绳不能伸长,与滑轮也 无相对滑动，并忽略定滑轮的质量及摩擦。求： 物体相对于电梯的加速度和绳的张力。
二、牛顿第二定律
1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
3.分量式：
dpx dvx Fx m max dt dt dp y dv y Fy m ma y dt dt dpz dvz Fz m maz dt dt dv F ma m dt
④物体惯性不仅表现在合外力为0、保持匀速运 动状态和静止状态的性质上，还表现在受到外力 作用时，物体运动状态改变的难易程度上。物体 惯性越大，越难改变运动状态，获得的加速度就 越小；牛顿第一定律为质量的科学定义也作好了 准备。物体惯性大小用质量来量度。
4.惯性系： ①不与外界作用，完全孤立的粒子或系统。 ②使惯性定律严格成立的参考系。 ③凡相对于某一已知的惯性系作匀速直线运动的 参考系也是惯性系。
2-2 非惯性系与惯性力
一、非惯性系
1.相对于惯性系加速运动的参考系不是惯性系， 而是非惯性系。 2.在非惯性系中牛顿定律是不适用的。 二、惯性力 在非惯性系中，为使牛顿定律仍然适用而引入的 假想力。
①惯性力不是实际存在的力，没有施力物体，只 有受力物体。
②表达：
F ma'
*惯性力的方向与非惯性系加速度的方向相反。 例题8 质量为m的人静止在以加速度a匀加速上 升的电梯中，求人对地板的压力。
可得 v v0e
k t m
dx v0e 对 v dt
k t m
m 积分,得 x v0 (1 e k
k t m
)
例题3 质量为m 的子弹以速度v0水平射入沙土中， 设子弹所受的阻力与速度反向，大小与速度成正 比，比例系数为k，忽略子弹的重力。求: （1）子弹射入沙土后速度随时间的函数关系； （2）子弹进入沙土的最大深度。
联立可得
mB a' ( g a) mA mB
mAmB T ( g a) mA mB
2-3 动量定理与动量守恒定律 一、冲量与动量 1.定义：一段时间内力 F 的冲量为
t2 I Fdt
t1
F
*平均作用力：F
2.动量：

t2
t1
Fdt
F
o t t
a
m2
m1
解：分别对物体和滑轮进行受 力分析，如图
a
a’
对 m1 m1g m1a T m1a ' a’ 对 m2 T (m2 g m2 a) m2a ' 联立可得：
(m1 m2 )( g a) a' m1 m2
T
m2
T
m1
m2 g m 2a
m1 g
m1a
2m1m2 ( g a) T m1 m2
第二章 质点动力学
2-1 牛顿运动定律 一、牛顿第一定律（惯性定律） 1.伽利略的理想实验 2.牛顿第一定律：
①经典表述：任何物体都要保持静止或匀速直 线运动的状态，直到其他物体作用的力迫使它 改变这种状态为止。
②现代表述：自由粒子永远保持静止或匀速直 线运动的状态。
③惯性是物体的固有特性。
3.第一定律的意义： ①牛顿第一定律包含了力的定性定义：力是质点 运动状态改变的原因。 ②运动状态是由速度来描述的，力是使物体产生 加速度的原因。这为力的定量定义做好了准备。 ③合外力为零有两种含义：物体不受外力作用； 物体虽受外力作用，但这些外力的矢量和为0。
直角坐标系
自然坐标系
v2 Fn man m r
三、牛顿第三定律：
F2 F1
m1
· F
2
F1
·
m2
*作用力与反作用力在同一直线上，大小相等、 方向相反，分别作用在两个不同的物体上； *作用力与反作用力没有主从、先后之分，同时 产生、同时存在、同时消失，并且性质相同； *作用力与反作用力仅描述两个物体间的相互作 用，不涉及物体运动，对任何参考系都成立。
例题10 在以加速度a加速上升的电梯中，物体质 量分别为mA 和mB ，不计滑轮质量，忽略桌面和 轮轴摩擦，求：两物体的加速度和绳的张力。
mA mB
N
mA
T
解：分别对物体进行受力分析
a
mA g
mAa
对物体A
T mAa '
对物体B
T
mB mB g mB a
mB a mB g T mB a '
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
解：快艇受到的摩擦阻力为 f kv
dv 由牛顿第二定律列出方程 kv m dt v dv t k dt 分离变量并积分 v0 v 0 m