14.2.1平方差公式课件.ppt_(1)
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14.2.1 平方差公式 初中数学人教版八年级上册课件
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
√ (1)(2x 3a)(2x 3a) 4x2 9a2
×(2)(2a 3b)(2a 3b) 4a42a29b62ab 6ab 9b2
4a2 12ab 9b2
×(3)(x 2)(x 2) x2 2 (x 2)(x 2) x2 22 x2 4
1002 22 10000 4 9996
4、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
今天我们收获了哪些知识？
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到形式相 同的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果。
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x 1)(x 1) ___x_2__1__; x2 － 12
(2)(m 2)(m 2) _m_2___4___; m2－22
(3)(2x 1)(2x 1) __4_x_2__1__ . (2x)2 － 12
1.说一说乘法的平方差公式？ 符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.应用平方差公式时要注意什么？
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项 式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用.
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
14.2.1+平方差公式+课件+2024—2025学年人教版数学八年级上册
五、练习小测
运用平方差公式计算下面各题。
（1） (a+3b)(a-3b) （2） (3+2a)(-3+2a) （3） 51×49 （4） （3X+4)(3X-4)-(2X+3)(3X-2)
六、应用思考
你能根据图中的阴影面积说明平方差公式吗？
a米
b米
a米
b米
相等吗？
(a-b)
七、问题解决
学校设计花园，起初被设计为边长为a米的正方形，后铅球场 地原因，设计修改为：北边往南平移2.5米，而东边往东平移2.5米。 试问修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？如果不 相等，相差多少？
（(3x-x＋+22y)(3-xx-－2y2)。) ； 解解：： ＝=(3(-xx))22－-(22y2)2
＝=9xx22－- 44y；2.
练习：第108页的第1题
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x+2)(x-2)=x²-2
(-3a-2)(-3a-2)=(-3a)²-2²=9a²-4
设计修改为：北边往南平移x(x≤a)米，而西边往西平移x米。 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a的圆的面积，正六边形的面积。由此你有什么新的 发现？
四、巩固新知
例2计算: (1)102×98
小 贴
尝试用上平方差公
士 式进行变形计算。
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5)
解: =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996
《14.2.1平方差公式》课件(3套)
(4)(－3x＋2y)(－3x－2y)＝_9_x_2_－__4_y_2_.
4．填空：(－12x＋2y)(__－__12_x_－__2_y__)＝14x2－4y2； (－4a－1)(_－_1_＋__4_a__)＝1－16a2.
5．运用平方差公式计算： (1)(9s＋11t)(11t－9s)； 解：121t2－81s2
14．2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运 算．
重点 平方差公式的推导和应用． 难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与 结果有什么规律吗？ (1)(x＋1)(x－1)； (2)(m＋2)(m－2)； (3)(2x＋1)(2x－1)． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括． 二、举例分析 再举几个这样的运算例子． 让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)， 然后由其中一个小组的代表来汇报．
项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列
多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
你能将发现的规律用式子表示出来吗？ （a+b）（a-b）=a 2 -b2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b）（a-b） =a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2
理解平方差公式
前面探究所得的式子（a+b）（a-b）=a2-b2 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
4．填空：(－12x＋2y)(__－__12_x_－__2_y__)＝14x2－4y2； (－4a－1)(_－_1_＋__4_a__)＝1－16a2.
5．运用平方差公式计算： (1)(9s＋11t)(11t－9s)； 解：121t2－81s2
14．2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运 算．
重点 平方差公式的推导和应用． 难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与 结果有什么规律吗？ (1)(x＋1)(x－1)； (2)(m＋2)(m－2)； (3)(2x＋1)(2x－1)． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括． 二、举例分析 再举几个这样的运算例子． 让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)， 然后由其中一个小组的代表来汇报．
项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列
多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
你能将发现的规律用式子表示出来吗？ （a+b）（a-b）=a 2 -b2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b）（a-b） =a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2
理解平方差公式
前面探究所得的式子（a+b）（a-b）=a2-b2 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
人教版教材《平方差公式》课件ppt1
多项式与多项式是如何相乘的？
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
人教版八年级数学上册《平方差公式》PPT
如果可以，请你计算出结果.
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
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②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
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2021
2023
= × × × × ⋯×
×
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2
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2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
人教版八年级数学上册课件：14.2.1平方差公式
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
2．下列各式能用平方差公式计算的是( B ) A．(-3+x)(3-x) B．(-a-b)(-b+a) C．(-3x+2)(2-3x) D．(3x+2)(2x-3)
3．已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2等于( C ) A．4 B．3 C．12 D．1
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/102021/8/10Tuesday, August 10, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 9:46:20 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/102021/8/102021/8/10Aug-2110- Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/102021/8/102021/8/10Tues day, August 10, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/8/102021/8/10 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10
2．下列各式能用平方差公式计算的是( B ) A．(-3+x)(3-x) B．(-a-b)(-b+a) C．(-3x+2)(2-3x) D．(3x+2)(2x-3)
3．已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2等于( C ) A．4 B．3 C．12 D．1
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/102021/8/10Tuesday, August 10, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 9:46:20 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/102021/8/102021/8/10Aug-2110- Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/102021/8/102021/8/10Tues day, August 10, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/8/102021/8/10 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
《14.2.1平方差公式》课件
巩固平方差公式
课本P108 例 1 计算：
（1）(3x+2)(3x-2) （2）(-x+2y)(-x-2y)
解：(1) (3x+2)(3x-2) = (3x)2-22
注意
1、先把要计算的
(a + b)(a-b)= a2 － b2 式子与公式对照,
= 9x2-4
2、哪个是 a
解：(2) (-x+2y)(-x-2y) = (-x)2-(2y)2 哪个是 b
(3)51×49；
2499
(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). 3x2-15x-10
1．（眉山·中考）下列运算中正确的是（ ）
A．3a 2a 5a2
B．(2a b)(2a b) 4a2 b2
C．2a2 a3 2a6
D．(2a b)2 4a2 b2
1.下面各式的计算对不对，如果 不对，应当怎样改正？P108
(1)(x+2)(x-2)=x2-2; X2-4
(2)(-3a-2)(3a+2)=9a2-4. 不满足平方差公式特点 -9a2-12a-4
2.运用平方差公式计算： P108 (1)(a+3b)(a-3b); a2-9b2
(2)(3+2a)(-3+2a); 4a2-9
【解析】选B. 在A中3a＋2a＝5a；C中 2 a 2a 32 a 2 32 a 5 ；
D中 (2a b)2 4a2 4ab b2 .
总结
（a+b）(a-b)= a2 – b2
两数的和与它们的差的积，等于这两数的平方差。
即： （a+b)(a-b) a2b2
八年级数学第十四章14.2.1乘法公式(平方差公式)_ppt课件
问题一
竞赛： 谁能最先算出9998×10002
Hale Waihona Puke 利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a - 3b) =(a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （2）(3+2a)(－3+2a)
（3）51×49 =(50+1)(50-1) =502－12 =(-2x2 )2－y2 =2500-1 =4x4－y2. =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) =(9x2－16) －(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
(
×)
n2 -m2
（2）(m–n )(-m -n)=-m2 -n2 ( × ) （3）(x+ y) (-x -y)=x2 -y2 ( ×) （5）(3b+2a)(2a-3b)=4a2 -9b2
-x2-2xy -y2
√ ） （4）（a-b+c)(a-b-c)= (a-b )² -c² （
(
√)
例3 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996. (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （4）(－2x2－y)(－2x2+y)
！
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拓展提升
14.2.1《平方差公式》ppt课件(共28张PPT)
14.2.1《平方差公式》ppt课件（共28张PPT）
5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
个边长为b的小正方形，如图1，拼成
如图2的长方形，你能根据图中的面
图1
积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2
图2
【例题】
【例1】运用平方差公式计算：
只有符合(a+b) (a－ b)的
形式才能用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) .(2) (b+2a)(2a－b).
【解析】 (1) (3x＋2)(3x－2) (2)(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
=9x2－4.
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
【例2】计算
(1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
【解析】
（1） 102×98
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=1002－22
= y2－22－y2-5y+y+5
=10 000－4
5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
个边长为b的小正方形，如图1，拼成
如图2的长方形，你能根据图中的面
图1
积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2
图2
【例题】
【例1】运用平方差公式计算：
只有符合(a+b) (a－ b)的
形式才能用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) .(2) (b+2a)(2a－b).
【解析】 (1) (3x＋2)(3x－2) (2)(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
=9x2－4.
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
【例2】计算
(1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
【解析】
（1） 102×98
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=1002－22
= y2－22－y2-5y+y+5
=10 000－4
八年级数学上册教学课件《平方差公式》
( y-1)( y+5)可以用平方差公式进行运算吗？ 不能，不符合平方差公式的条件. 自己动手算一算.
解:（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5) =y2-4-( y2+4y-5) =1-4y;
（2）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996.
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
下列式子能用平方差公式计算吗?
① (-3x+2)(3x-2)
② (b+2a)(22y)
能，4a2-b2 ④ (-x+y)(x-y)
能，x2-4y2
不能
随堂演练
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的
是( B )
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
思考 你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面
积=S.
A
D
E MF BN
S= (a-b)b+(a-b)a = a2-b2
.
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，
如图.
A
D(M) N
E
M
解:（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5) =y2-4-( y2+4y-5) =1-4y;
（2）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996.
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
下列式子能用平方差公式计算吗?
① (-3x+2)(3x-2)
② (b+2a)(22y)
能，4a2-b2 ④ (-x+y)(x-y)
能，x2-4y2
不能
随堂演练
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的
是( B )
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
思考 你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面
积=S.
A
D
E MF BN
S= (a-b)b+(a-b)a = a2-b2
.
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，
如图.
A
D(M) N
E
M
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4 4
x y
8
8
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)
相反为b
合理加括号
平方差公式的特征
• 1，公式左边是两个二项式相乘，并且两个二项 式中有一项（a）是相同的，有一项（b与-b） 互为相反数； • 2，公式的右边是乘数中两项的平方差（相同项 的平方减去相反项的平方）； • 3，公式中字母可以是具体数字，也可以是多项 式或单项式。 • 重点：只要符合公式的结构特征，就可以运用这 一公式。
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 12－(2a)2 ③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 m2 － (6n)2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 (5y)2 － z2
它们的结果有什么特点？
平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
口答下列各题： 2-a2 b (l)(-a+b)(a+b)= _________ 2-b2 a (2)(a-b)(b+a)= __________ 2-b2 a (3)(-a-b)(-a+b)= ________ 2-a2 b (4)(a-b)(-a-b)= _________
1、找一找、填一填
=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （4）(－2x2－y)(－2x2+y)
！
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拓展提升
1.计算 20042 － 2003×2005; 解： 20042 － 2003×2005 = 20042 － (2004－1)(2004+1) = 20042－ （20042－12 ) = 20042－ 20042+12 =1
利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b) =(a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （2）(3+2a)(－3+2a)
（3）51×49 =(50+1)(50-1) =502－12 =(-2x2 )2－y2 =2500-1 =4x4－y2. =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 2－16) －(6x2+5x -6) =(9x =3x2－5x- 10
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
a
1 -3
b
x a
a2-b2
12-x2 (-3)2-a2
a (1+a)(-1+a) 1 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1
a2-12
( 0.3x)2-12
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
例1、用平方差公式计算
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+ =am +an +bm +bn n)
（x ＋ 3)( x＋５）
2 ＋5x =x
＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
•
灰太狼开了租地公司,一天他把一边长 为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊 羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊 村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家 一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢 羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢 羊羊这是为什么吗?
等于 这两数的平方差.
公式变形: 1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
相同为a 适当交换
2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
2、利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a + 4)
2
解:原式=(a -4)(a +4)
=a -16
4
2
2
3.化简
( x y)( x y)( x y ) (x4+y4 )
2 2
解原式 x y )( x y )(x4+y4 ) （
2 2 2 2
x y ） 4+y4) (x （
例3 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =1000 – 4 =9996 (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
原来
5米
现在
(a+5)米
a米
2 a
5米
(a-5)
(a+5)(a-5)
相等吗？
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4） ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16
x2 － 42
计算：（x+2y)(x-2y)
2 解：原式＝ x
注意 1、先把要计算的 式子与公式对照, 2、哪个是 a
-
2 (2y)
哪个是 b
ห้องสมุดไป่ตู้
＝x2
- 4y2
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) 2－22 =(3x) =(2a)2－b2 2－4； =9x =4a2－b2. (3) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
x y
8
8
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)
相反为b
合理加括号
平方差公式的特征
• 1，公式左边是两个二项式相乘，并且两个二项 式中有一项（a）是相同的，有一项（b与-b） 互为相反数； • 2，公式的右边是乘数中两项的平方差（相同项 的平方减去相反项的平方）； • 3，公式中字母可以是具体数字，也可以是多项 式或单项式。 • 重点：只要符合公式的结构特征，就可以运用这 一公式。
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 12－(2a)2 ③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 m2 － (6n)2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 (5y)2 － z2
它们的结果有什么特点？
平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
口答下列各题： 2-a2 b (l)(-a+b)(a+b)= _________ 2-b2 a (2)(a-b)(b+a)= __________ 2-b2 a (3)(-a-b)(-a+b)= ________ 2-a2 b (4)(a-b)(-a-b)= _________
1、找一找、填一填
=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （4）(－2x2－y)(－2x2+y)
！
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拓展提升
1.计算 20042 － 2003×2005; 解： 20042 － 2003×2005 = 20042 － (2004－1)(2004+1) = 20042－ （20042－12 ) = 20042－ 20042+12 =1
利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b) =(a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （2）(3+2a)(－3+2a)
（3）51×49 =(50+1)(50-1) =502－12 =(-2x2 )2－y2 =2500-1 =4x4－y2. =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 2－16) －(6x2+5x -6) =(9x =3x2－5x- 10
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
a
1 -3
b
x a
a2-b2
12-x2 (-3)2-a2
a (1+a)(-1+a) 1 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1
a2-12
( 0.3x)2-12
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
例1、用平方差公式计算
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+ =am +an +bm +bn n)
（x ＋ 3)( x＋５）
2 ＋5x =x
＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
•
灰太狼开了租地公司,一天他把一边长 为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊 羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊 村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家 一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢 羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢 羊羊这是为什么吗?
等于 这两数的平方差.
公式变形: 1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
相同为a 适当交换
2-(b)2 (a+b)(a-b)=(a)
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
2、利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a + 4)
2
解:原式=(a -4)(a +4)
=a -16
4
2
2
3.化简
( x y)( x y)( x y ) (x4+y4 )
2 2
解原式 x y )( x y )(x4+y4 ) （
2 2 2 2
x y ） 4+y4) (x （
例3 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =1000 – 4 =9996 (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
原来
5米
现在
(a+5)米
a米
2 a
5米
(a-5)
(a+5)(a-5)
相等吗？
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4） ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16
x2 － 42
计算：（x+2y)(x-2y)
2 解：原式＝ x
注意 1、先把要计算的 式子与公式对照, 2、哪个是 a
-
2 (2y)
哪个是 b
ห้องสมุดไป่ตู้
＝x2
- 4y2
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) 2－22 =(3x) =(2a)2－b2 2－4； =9x =4a2－b2. (3) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2