专题13 结构不良题(三角函数与解三角形)(原卷版)

专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）
结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。

一、题型选讲
题型一 、研究三角形是否存在的问题
例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=
，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例2、（2021年徐州联考）在①cos cos 2c B b C +=，②πcos()cos 2
b C
c B -=，③sin cos B B +=条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC △的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π6
A =，______________，4b =？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积
例3、【2020年高考北京】在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己
知，求：
（Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积． 条件①：17,cos 7
c A ==-
； 条件②：19cos ,cos 816A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .
如图，在平面四边形ABCD 中，34
ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .
例5、（湖北黄冈高三联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
b a =2sin tan b A a B =()()sin sin sin a
c A c A B b B -++=ABC A B C a b c B 4a c +=ABC ABC
例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________．
(1)求A ；
(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．
例7、（2020·全国高三专题练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满
()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.
（1）求A 的大小；
（2）再在①2a =，②4B π
=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下
面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积.
题型三、考查三角函数的图像与性质
例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象向右
平移12π
个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②向量()
3sin ,cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2
π．
（1）若02π
θ<<，且sin 2
θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．
二、达标训练
1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件①(2)cos cos b c A a C -=, 条件②45cos 2cos 2=+⎪⎭⎫
⎝⎛+A A π; 请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．
在锐角△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b,c , a =7, b +c =5,
且满足
．
(1) 求角A 的大小；
(2) 求△ABC 的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
2、（2021年泰州高三期中）在①a=√2,②S=C 2 cosB ， ③C=π3这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.
问题:在∆A BC 中，内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,面积为S ，
√3bcosA=acosC+ccosA ，b=1,____________，求 c 的值.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

3、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos 5C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =，③2c =，1cos 8
A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC 的内角A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC 的面积S .
4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②
sin cos()6a B b A π=+，③sin sin 2
B C b a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， .
求ABC ∆的面积.
5、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆
同时满足下列四个条件中的三个：①33()
b a
c c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③a =
b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
6、（2020cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③
sin sin 2
A C b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，
求ABC ∆的面积.
7、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②22
B C bsin
+=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，a =.
(1)求sinA ;
(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积。