高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义

高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义
第二章 圆锥曲线与方程
一、曲线与方程的定义：
(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：
()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；
()(),,.
F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上
()(),,.
C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程
二、求曲线方程的两种类型：
()
1、已知曲线求方程；用待定系数法
()()()
2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；
③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求
椭圆
一、椭圆及其标准方程
1、画法
{}
121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：
3、方程
()()22
22
22221010x y y x a b a b a b
a b
+=>>+=>>①或
②
()
22
22+10x y a b a b
=>>二、几何性质：
1,.
x a y b ≤≤、范围：
2x y O 、对称性：关于、、原点对称.
()()()()12123,0,,0,0,,0,.
A a A a
B b B b --、顶点
222
4,,a b c a b c =+、之间的关系： ()
2
25101c b e e a a
==-<<、离心率：
0,
1e e →→越圆越扁
扩展：
()2222
22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1
()()
2222
22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或
.
a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是
12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.
24.
AB F ABF a V ⑤为过焦点的弦，则的周长为
()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:
()(
)2
22
121
2
12114l k x k x x x x ⎡⎤
=+-=
++-⎣⎦
()2
12121222110114k l y y y y y k k
⎡⎤=+
-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.
Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为
双曲线
一、双曲线及其标准方程
1、画法
{}121222,2P PF PF a F F a -=>、定义：
3、方程：
()()22
22
22221,01,0x y y x a b a b a b
a b
-=>-=>①或
②
()
22
221,0x y a b a b
-=>二、几何性质：
1,x a y R
≥∉、范围：
2x y O 、对称性：关于轴、轴、原点对称.
()()
121212,0,,0=2.
A a A a A A a
B B b -=3、顶点：实轴2，虚轴
222.
a b c c a b =+4、、、之间的关系：
()
2
2511c b e e a a
e ==+>、离心率:越大，开口越阔
22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫
=±-==± ⎪
⎝⎭6、渐近线：的渐近线为
()2222
222210x y x y m m a b a b
-=-=>说明：与有相同离心率.
抛物线
一、抛物线及其标准方程
P l PF P F l d -⎧⎫∉⎨⎬
⎩⎭
1、定义：且
2、标准方程及几何性质 标准方程 ()
220y px p =>
()
220y px p =->
()
220x py p =>
()
220x py p =->
简图
焦点
,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭
02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
、 02p ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭、
准线 2
p x =-
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
范围 0x ≥
0x ≤
0y ≥
0y ≤
对称性 x 轴
y 轴
顶点 ()0,0
离心率 1
e =
P 说明：①越大，开口越阔.
②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.
扩展：
Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？
()1.
Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线
1Q ②当位于抛物线上，
个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，
个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线
2、过焦点的弦长
()
22A B A B AB AF BF
p p x x p x x =+⎛⎫⎛⎫
=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++如图，。