往年解析几何考试题
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
解析几何大题精选题-共四套(答案)
解析几何大题精选题-共四套(答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。
（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I) 求椭圆C 的离心率；(II) 如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。
(完整版)解析几何专题含答案
椭圆专题练习1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．592.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．B C D ．133.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<14.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）345.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是. 7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r。
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（ ）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)
2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。
解析几何试题库完整
解析几何题库一、选择题1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为 A.22(1)(1)2x y ++-= B.22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D.22(1)(1)2x y +++=[解析]圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径错误!即可. [答案]B 2.直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为〔A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离 [解析]圆心(0,0)为到直线1y x =+,即10x y -+=的距离1222d ==,而2012<<,选B 。
[答案]B 3.圆心在y 轴上,半径为1,且过点〔1,2的圆的方程为〔A ．22(2)1xy +-=B ．22(2)1xy ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1xy +-=解法1〔直接法：设圆心坐标为(0,)b ,则由题意知2(1)(2)1o b -+-=,解得2b =,故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2〔数形结合法：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为〔0,2,故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3〔验证法：将点〔1,2代入四个选择支,排除B,D,又由于圆心在y 轴上,排除C 。
[答案]A4.点P 〔4,－2与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是〔A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=[解析]设圆上任一点为Q 〔s,t,PQ 的中点为A 〔x,y,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2224t y s x ,解得：⎩⎨⎧+=-=2242y t x s ,代入圆方程,得〔2x －42＋〔2y ＋22＝4,整理,得：22(2)(1)1x y -++=[答案]A5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l kx k y l k x y -+-+=--+=与平行,则k 得值是〔A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2 [解析]当k ＝3时,两直线平行,当k ≠3时,由两直线平行,斜率相等,得：kk --43＝k －3,解得：k ＝5,故选C 。
(完整版)解析几何练习题及答案
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，)，B (，－1)，则直线AB 的斜率是( )33A. B ．－33C. D ．－3333解析：斜率k ＝＝－，故选D.－1－33－(－3)33答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝，a ＋2a 则＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.a ＋2a 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4B ．21313C. D ．5132671020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝＝.|1－(－6)|62＋2271020故选D.答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角3的取值范围是( )A. B ．[π6，π3)(π6，π2)C. D ．(π3，π2)[π3，π2]解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含3端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为.故选B.(π6，π2)答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝，12∴方程为y －3＝(x －2)，即x －2y ＋4＝0.12答案：A二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为＋＝1，x a yb 由Error!解得Error!或Error!.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝＝－2，解得m ＝－8.4－mm ＋2答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即<0，化简得<0，∴－2<a <1.2a －(1＋a )3－(1－a )a －1a ＋2答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组Error!得Error!所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sinα－1＝0和l 2：2x sinα＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－，k 2＝－2sin α.1sin α要使l 1∥l 2，需－＝－2sin α，1sin α即sin α＝±，∴α＝k π±，k ∈Z .22π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4法二 由l 1∥l 2，得Error!∴sin α＝±，22∴α＝k π±，k ∈Z .π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k ＋2＝0，这与21k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 由方程组Error!解得交点P 的坐标为，(2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1)而2x 2＋y 2＝22＋2(2k 2－k 1)(k 2＋k 1k 2－k 1)＝8＋k 2＋k 21＋2k 1k 2k 2＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2＋4k 21＋k 2＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二 交点P 的坐标(x ，y )满足Error!故知x ≠0.从而Error!代入k 1k 2＋2＝0，得·＋2＝0，y －1x y ＋1x 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇 第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则＝1，得t ＝2，12＋(t －2)2所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A 2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2＝，(x －2)2＋y 2(x －8)2＋y 2化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝＝1<2，(3－2)2＋(0－0)2点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C 5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －＝0B ．x ＋y ＋1＝02C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋＝02解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得＝1，故b ＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形|b |12＋122分析知b ＝－，则直线方程为x ＋y －＝0.故选A.22答案：A 6．(2012年高考福建卷)直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦3AB 的长度等于( )A ．2B ．253C. D ．13解析：因为圆心到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝＝1，半径r ＝2，3|0＋3×0－2|12＋(3)2所以弦长|AB |＝2＝2.22－123故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝＝，|2×3－4＋3|4＋15∴弦长为2×＝2＝4.25－5205答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝＝2，|1－1＋4|12＋(－1)22又圆半径r ＝.2所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝.2答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴＝1，|4m －9m |5∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二 直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝，2mm 2＋1∴x ＝.mm 2＋1当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝，y －1x 代入x ＝，得x＝，mm 2＋1[(y －1x )2＋1]y －1x 化简得x 2＋2＝.(y －32)14经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋2＝.(y －32)1412．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2时，求直线l 的方程．2解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有＝2.解得a ＝－.|4＋2a |a 2＋134(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得Error!解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇 第3节一、选择题1．设P 是椭圆＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )x 225y 216A ．4 B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D 2．(2014唐山二模)P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若x 24y 23∠F 1PF 2＝60°，则·等于( )PF1→ PF 2→ A ．3 B ．3C ．2 D ．23解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝，c ＝1，3∴Error!∴|PF 1||PF 2|＝4.∴·＝||||cos 60°＝4×＝2.PF 1→ PF 2→ PF 1→ PF 2→ 12答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A. B ．1455C. D ．－2125解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝＝.故应选B.ca 55答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的x 2a 2y 2b 2直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率45为( )A. B ．3557C. D ．4567解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×＝36，45则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝|AB |12＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝＝.c a 57故选B.答案：B5．已知椭圆E ：＋＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与x 2m y 24l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A 、B 、C ，故选D.答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使＝，则该椭圆的离心率的asin ∠PF 1F 2csin ∠PF 2F 1取值范围为( )A ．(0，－1) B ．2(22，1)C.D ．(－1,1)(0，22)2解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得＝，|PF 2|sin ∠PF 1F 2|PF 1|sin ∠PF 2F 1所以由＝a sin ∠PF 1F 2c sin ∠PF 2F 1可得＝，a|PF 2|c|PF 1|即＝＝e ，|PF 1||PF 2|ca 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝.2ae ＋1由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <<a ＋c ，2ae ＋1即1－e <<1＋e ，2e ＋1也就是Error!解得－1<e .2又0<e <1，∴－1<e <1.故选D.2答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中x 225y 216点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线x 2a 2y 2b 2与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋，332c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝＝2－.ca 3答案：2－39．(2014西安模拟)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方35y 225x 29程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(m <9)，y 225－m x 29－m 代入点(，－)，35得＋＝1，525－m 39－m 解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24答案：＋＝1y 220x 2410．已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且x 2a 2y 2b 2⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.PF1→ PF 2→ 解析：由题意得Error!∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，12∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得Error!∴Error!故椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得Error!消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1相切得Error!消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得Error!解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝时，k ＝，b ＝－时，k ＝－.222222即直线l 的方程为y ＝x ＋或y ＝－x －.22222212．(2014海淀三模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一x 2a 2y 2b 2内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的x 2a 2y 2b 2菱形的四个顶点．所以a ＝，b ＝1，3椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝2，|PO |＝3，3所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以Error!化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝，33k 2＋1则|AO |＝＝.1＋k 233k 2＋13k 2＋33k 2＋1设AB 的垂直平分线为y ＝－x ，1k 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以Error!解得Error!则|PO |＝，9k 2＋9(k －1)2因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝|AO |，3代入得＝，9k 2＋9(k －1)233k 2＋33k 2＋1解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇 第4节一、选择题1．设P 是双曲线－＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若x 216y 220|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17 D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C 1：－＝1与C 2：－π4x 2sin2θy 2cos2θy 2cos2θ＝1的( )x 2sin2θA ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．离心率相等 D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.cos2θ＋sin2θ答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：－＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近x 2a 2y 2b 2线上，则C 的方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 220y 25x 25y 220C.－＝1 D ．－＝1x 280y 220x 220y 280解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝x 得a ＝2b .ba a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为－＝1.故选A.x 220y 25答案：A 4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A. B ．1435C. D ．3445解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，22由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝＝.故选C.(42)2＋(22)2－422×42×2234答案：C5．设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆513C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 242y 232x 2132y 252C.－＝1 D ．－＝1x 232y 242x 2132y 2122解析：在椭圆C 1中，因为e ＝，2a ＝26，513即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.x 242y 232答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域x 29y 216(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5] D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线－＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )x 29y 2162＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数|4m |5m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的x 29y 216点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点x 2a 2y 2b 2的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，ca ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－＝1.y 23答案：x 2－＝1y 239．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)和圆x 2a 2y 2b 2x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3该双曲线的离心率等于＝＝＋1.|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||2m3m －m 3答案：＋1310．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若x 2a 2y 2b 2在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt △F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝c ，3根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(－1)c ＝2a ，3e ＝＝＝＋1.c a 23－13答案：＋13三、解答题11．已知双曲线x 2－＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，y 22且点P 是线段AB 的中点？解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由Error!得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝＝.x 1＋x 22k (1－k )2－k 2由题意，得＝1，k (1－k )2－k 2解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在，即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x －＝1，x －＝1，21y 2122y 22两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－＝0，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2即2－＝0，y 1－y 2x 1－x 2即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，联立Error!得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.13(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝，13设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则Error!解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为＋＝1，x 249y 236双曲线方程为－＝1.x 29y 24(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2，13∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝＝.102＋42－(213)22×10×445第八篇 第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A. B ．(1,0)(12，0)C. D ．(0，18)(0，14)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝y ，它的焦点坐标是.故选C.12(0，18)答案：C2．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )x 24y 29A ．x 2＝－4y B ．y 2＝－4x55C ．x 2＝－4yD ．y 2＝－4x1313解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝＝，a 2－b 25∴抛物线焦点坐标为(0，－)，5∴抛物线方程为x 2＝－4y .故选A.5答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离 B ．相交C ．相切 D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝(|AA 1|＋|BB 1|)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.1212答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A. B ．5383C. D ．10103解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由Error!解得x 1＝3，x 2＝，13故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于＋1＝.故选B.x 1＋x 2283答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A. B ．134C. D ．5474解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋＝3，12∴x A ＋x B ＝.52∴线段AB 的中点到y 轴的距离为＝.xA ＋xB 254故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，3联立Error!消去y ，得x 2＝2p (x ＋b )，3即x 2－2px －2pb ＝0，3∴x 1＋x 2＝2p ＝3，3∴p ＝，则抛物线的方程为x 2＝y .323答案：x 2＝y38．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为，3∴直线方程为y ＝(x －1)．3联立方程Error!解得Error!或Error!由已知得A 的坐标为(3,2)，3∴S △OAF ＝|OF |·|y A |＝×1×2＝.121233答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ，则(72，4)|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－，焦点F 坐标为.12(12，0)求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋，12所以|PA |＋|PM |≥5－＝.1292答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－，求实数m 的值．12解：法一 如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由Error!得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.12n2由x 1x 2＝－，得n ＝1.12又x 0＝＝－，x 1＋x 2214y 0＝－x 0＋n ＝＋1＝，1454即点M 为，(－14，54)由点M 在直线l 上，得＝－＋m ，5414∴m ＝.32法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴Error!∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝＝4x 0.y 1－y 2x 1－x 2又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－.14又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －，14即M ，(－14，m －14)∴AB 的方程是y －＝－，(m －14)(x ＋14)即y ＝－x ＋m －，代入y ＝2x 2，12得2x 2＋x －＝0，∴x 1x 2＝－＝－，∴m ＝.(m －12)m －122123212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，2B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→ 解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，2(x －p2)从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)，22即C (4λ＋1,4λ－2)，22所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，2即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
解析几何单元测试题及答案
解析几何单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 椭圆的标准方程是哪一个？A. \((x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1\)B. \((x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1\)C. \((x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 0\)D. \((x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1\)2. 点P(-1, 3)到直线3x - 4y + 5 = 0的距离是？A. 2B. 3C. 4D. 53. 抛物线 \(y^2 = 4x\) 的焦点坐标是？A. (1, 0)B. (0, 2)C. (1, 2)D. (2, 0)4. 直线 \(ax + by + c = 0\) 与 \(dx + ey + f = 0\) 平行的条件是？A. \(a/d = b/e\)B. \(a/d = b/e ≠ c/f\)C. \(a/d ≠ b/e\)D. \(a/d = b/e = c/f\)5. 圆心在原点，半径为5的圆的标准方程是？A. \(x^2 + y^2 = 25\)B. \((x-5)^2 + y^2 = 25\)C. \(x^2 + y^2 = 5\)D. \((x-5)^2 + y^2 = 5\)二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)，其长轴的长度为________。
7. 点A(2, -1)关于直线 \(x-y-1=0\) 对称的点的坐标是________。
8. 直线 \(2x - 3y + 1 = 0\) 与 \(x + y - 2 = 0\) 的交点坐标是________。
9. 抛物线 \(x^2 = 6y\) 的准线方程是________。
10. 圆 \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0\) 的圆心坐标是________。
解析几何考试题及答案
解析几何考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知点A(2,3)，B(-1,5)，C(4,-2)，下列哪个点与点A、B、C共线？A. (1,2)B. (3,4)C. (0,1)D. (2,1)答案：C解析：要判断点是否共线，可以计算向量AB和AC的斜率是否相等。
向量AB的斜率为(5-3)/(-1-2)=-1/3，向量AC的斜率为(-2-3)/(4-2)=-5/2。
只有选项C的斜率与向量AB和AC的斜率相等，即(1-3)/(0-2)=-1/3。
2. 已知直线l的方程为2x+3y-6=0，下列哪个点在直线l上？A. (1,2)B. (2,0)C. (3,4)D. (0,2)答案：B解析：将每个选项的坐标代入直线方程，只有选项B满足方程，即2*2+3*0-6=0。
3. 已知椭圆的方程为x²/16+y²/9=1，下列哪个点在椭圆内部？A. (2,3)B. (4,0)C. (0,5)D. (-3,-3)答案：D解析：将每个选项的坐标代入椭圆方程，只有选项D满足方程，即(-3)²/16+(-3)²/9<1。
4. 已知双曲线的方程为x²/9-y²/16=1，下列哪个点在双曲线上？A. (3,4)B. (5,0)C. (0,-4)D. (-3,3)答案：B解析：将每个选项的坐标代入双曲线方程，只有选项B满足方程，即5²/9-0²/16=1。
5. 已知抛物线的方程为y²=4x，下列哪个点在抛物线上？A. (1,2)B. (2,1)C. (3,-2)D. (4,-1)答案：A解析：将每个选项的坐标代入抛物线方程，只有选项A满足方程，即2²=4*1。
二、填空题（每题5分，共30分）6. 已知直线l1的方程为3x-4y+5=0，直线l2的方程为2x+y-3=0，求两直线的交点坐标。
答案：(7/5, 11/5)解析：联立两直线方程，解得x=7/5，y=11/5，即为交点坐标。
大学解析几何考试题及答案
大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。
解析几何-期末考试试题3套卷
说明：1.试题集中填写（或打印）在方格内，字迹须工整清晰，答题纸另附；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核、签字；3.学生接到试卷后，应先检查是否有缺页，如有及时报告监考老师更换。
解析几何期末考试试题（A3）卷
八、（12分）已知二次曲线 化简其方程，写出相应的坐标变换公式，并作出它的图形.
七、(10分)在双曲抛物面 上求平行于平面 的直母线方程
4、平面 的法式化因子 为.
5、二次曲线 的主方向为，主直径为．
三、（8分）证明 ．
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
合计
得分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案，把你认为是正确答案的代号，填在题后的括号内．（每小题4分,共20分）
1、如果 , ,若 ，则k为（）
A. ；B. ；C. ；D. .
2、二次曲线 属于（）
A.抛物型；B.椭圆型；C.双曲型；D.不能确定.
3、直线 与平面 的相关位置为（）
A．垂直；B．平行；C．相交；D．直线在平面上.
4、过点M(2，－3，－5)且与平面 垂直的直线为（）.
A． ；B． ；
C． ；D． .
说明：1.试题集中填写（或打印）在方格内，字迹须工整清晰，答题纸另附；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核、签字；3.学生接到试卷后，应先检查是否有缺页，如有及时报告监考老师更换。
解析为何值时，二次曲线 为中心直线（）
A.a=1.b=4；B.a=2,b=8；C.a=3.b=10；D.a=4,b=12.
解析几何历年高考真题试卷--带详细答案
解析几何高考真题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 82.（2020·新课标Ⅲ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. （ 14 ，0）B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 △ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=15.（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F ，准线为l.若与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且 |AB|=4|OF| （O 为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √56.（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ ⊥l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线 OPD. 垂直于直线 OP7.（2019·天津）已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ）A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B两点．若|AF+BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45 ， 则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A. (0,√32] B. (0,34] C. [√32.1) D. [34,1)10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b ， e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b ， e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 211.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b,e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b,e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2二、填空题（共5题；共6分）12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F 为双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1 的左焦点为F ，点P 在椭圆且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ,双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1 . 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．三、解答题（共9题；共85分）17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5) 的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线 x =6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP ⊥BQ ，求 △APQ 的面积．18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|= 43 |AB|． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1 （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ，P 为直线x=6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.21.（2019·天津）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= x22，D为直线y= −12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: y=x22，D为直线y=- 12的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知F1,F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。
解析几何专项训练试题答案
解析几何专项训练试题答案一、选择题1. 若点A(2,3)关于直线x=3的对称点为A'，则A'的坐标为：A. (4,3)B. (2,3)C. (1,3)D. (5,3)答案：D解析：点A(2,3)关于直线x=3的对称点A'的横坐标为3-(2-3)=4，纵坐标不变，因此A'的坐标为(4,3)。
2. 已知圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，则其圆心坐标为：A. (a, b)B. (a, r)C. (b, r)D. (r, a)答案：A解析：根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，可知圆心坐标为(a, b)。
3. 直线2x-3y=6的斜率为：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B解析：直线方程2x-3y=6可以转化为y=(2/3)x-2，其斜率为2/3，因此答案为-2/3。
4. 已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,6)，C(7,2)，求三角形ABC的面积。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C解析：首先计算线段AB和AC的斜率，分别为1和-1，说明AB和AC 垂直。
然后计算AB的长度为3，由于AC与AB垂直，所以三角形ABC 为直角三角形，其面积为1/2 * AB长度 * BC长度 = 1/2 * 3 * 5 = 7.5。
选项中没有7.5，但最接近的是8，因此选择C。
5. 已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则其焦点坐标为：A. (a, 0)B. (0, b)C. (a, b)D. (0, 0)答案：D解析：椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点位于y轴上，且焦距为2c，因此焦点坐标为(0, c)或(0, -c)。
由于题目未给出具体数值，无法确定c的值，但焦点坐标的形式为(0, c)，因此答案为D。
解析几何初中试题及答案
解析几何初中试题及答案1. 已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标。
答案：线段AB的中点坐标为(\(\frac{2+(-1)}{2}, \frac{3+(-2)}{2}\))，即(\(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\))。
2. 已知直线l的方程为y=2x+3，求直线l与x轴的交点坐标。
答案：当直线l与x轴相交时，y=0，代入方程得2x+3=0，解得x=-\(\frac{3}{2}\)。
因此，交点坐标为(-\(\frac{3}{2}\), 0)。
3. 已知圆C的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9，求圆C的半径和圆心坐标。
答案：圆C的半径为3，圆心坐标为(1, -2)。
4. 已知直线l1: y=x+1与直线l2: y=-2x+4相交，求两直线的交点坐标。
答案：将两个方程联立，得到x+1=-2x+4，解得x=1。
将x=1代入任一方程得y=2。
因此，两直线的交点坐标为(1, 2)。
5. 已知抛物线y^2=4px(p>0)的焦点坐标为(2,0)，求抛物线的方程。
答案：由焦点坐标(2,0)可得p=2，因此抛物线的方程为y^2=8x。
6. 已知椭圆的长轴为10，短轴为6，求椭圆的方程。
答案：设椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
由题意得a=5，b=3，因此椭圆的方程为\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)。
7. 已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，求双曲线的方程。
答案：设双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中a为实轴的一半，b为虚轴的一半。
由题意得a=4，b=3，因此双曲线的方程为\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)。
高中解析几何试题及答案
高中解析几何试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若点P(2,3)在直线l上，则直线l的方程不可能是（）A. 2x-y+1=0B. x+2y-7=0C. 3x-2y+4=0D. 4x+3y-5=02. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=25，圆心C的坐标为（）A. (1,2)B. (-1,-2)C. (3,-2)D. (-3,2)3. 直线2x+y-3=0与x轴的交点坐标为（）A. (3/2, 0)B. (0, 3)C. (3, 0)D. (0, -3)4. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率k为（）A. 1B. -1C. 0D. 无法确定5. 已知点A(1,2)，B(4,6)，则线段AB的中点坐标为（）A. (2,4)B. (3,4)C. (2.5,4)D. (3,3)6. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，则双曲线C的离心率为（）A. √(1+(b/a)^2)B. √(1-(b/a)^2)C. √(a^2+b^2)D. √(a^2-b^2)7. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若点P(1,2)在抛物线C上，则抛物线C的焦点坐标为（）A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (0,2)8. 已知椭圆C的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，若椭圆C的离心率为e=√3/2，则椭圆C的长轴与短轴之比为（）A. 2:1B. 1:2C. √3:1D. 1:√39. 若直线l的方程为y=kx+b，且直线l过点(1,2)和(2,3)，则直线l的斜率k为（）A. 1/2B. 1C. 3/2D. 210. 已知直线l1: x+y-1=0与直线l2: 2x-y+3=0平行，则直线l1与l2之间的距离为（）A. √5B. 2√5C. √10D. 2√10二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知直线l的方程为3x-4y+5=0，若点P(2,-1)在直线l上，则直线l与x轴的交点坐标为________。
2024年高考数学试题分类汇编07：解析几何
解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 23．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．254．（2024·北京）求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A ．23B ．2C ．32D 65．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．（2024·北京）已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．11．（2024·天津）22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．参考答案：1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【解析】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=221323211++=+，故选：C.5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222PF PF F F c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ==所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a ⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y -=，解得52y =，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），。
大学考试解析几何试题答案
大学考试解析几何试题答案一、选择题1. 若一条直线过点A(2,3)，且与直线2x-y=0垂直，求该直线的方程。
解析：已知直线2x-y=0的斜率为2，与其垂直的直线斜率为-1/2（因为垂直直线的斜率互为负倒数）。
设所求直线方程为y=kx+b，代入点A(2,3)和斜率-1/2，得到方程为y=-1/2x+7/2。
2. 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，若该圆过点(1,2)，且其圆心在直线2x-y=0上，求D、E、F的值。
解析：将点(1,2)代入圆的一般方程得1^2+2^2+D+2E+F=0。
又因为圆心(-D/2, -E/2)在直线2x-y=0上，代入得-D/2*2-E/2=0，解得D=E。
将D=E代入前面的方程，解得D=-6，E=-6，F=-7。
所以圆的方程为x^2+y^2-6x-6y-7=0。
二、填空题1. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2)，B(4,5)，C(7,3)，求三角形ABC的面积。
解析：首先计算三条边的长度，|AB|=√[(4-1)^2+(5-2)^2]=√10，|BC|=√[(7-4)^2+(3-5)^2]=5，|AC|=√[(7-1)^2+(3-2)^2]=2√5。
然后利用海伦公式计算面积，p=(|AB|+|BC|+|AC|)/2=(√10+5+2√5)/2，面积S=√[p(p-|AB|)(p-|BC|)(p-|AC|)]=√[(9+2√10)(4+√10)(4+2√5)(4+√5)]。
2. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a>b，若椭圆的周长为P，求P的近似值。
解析：椭圆的周长没有精确公式，但可以用Ramanujan的近似公式计算：P≈π[3(a+b)-√{(3a-b)(a+3b)}]。
这个公式在大多数情况下都能给出较为精确的结果。
三、解答题1. 已知锥体的高为h，底面为正方形，边长为a，求锥体的侧面积。
解析：锥体的侧面积可以通过底面周长与斜高之积的一半来计算。
解析几何试题及答案
解析几何试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知点A(1,2)，B(4,6)，C(3,2)，下列哪个点与点A的距离最近？A. BB. CC. D(2,3)D. E(5,7)答案：B2. 若直线l的方程为2x-y+3=0，且点P(1,1)在直线l上，则直线l的斜率k为：A. 2B. -2C. 1/2D. -1/2答案：C3. 已知圆C的方程为(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9，圆心C的坐标为：A. (1,2)B. (-1,-2)C. (2,-1)D. (-2,1)答案：A4. 若椭圆的方程为x^2/16 + y^2/9 = 1，其焦点在x轴上，则椭圆的离心率为：A. 1/4B. 3/4C. 1/2D. 3/5答案：B5. 已知抛物线y^2 = 4x，其准线方程为：A. x = -1B. x = 1C. y = -1D. y = 1答案：A6. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y = ±(bx/a)，若a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为：A. y = ±xB. y = ±2xC. y = ±1/2xD. y = ±1/2x答案：A7. 已知直线l1: 3x + 4y - 5 = 0与直线l2: 6x + 8y + 15 = 0平行，则l1与l2的距离d为：A. 5/√(3^2 + 4^2)B. 5/√(6^2 + 8^2)C. 5/√(3^2 + 6^2)D. 5/√(4^2 + 8^2)答案：A8. 已知点P(2,3)在直线l: x/a + y/b = 1上，且a和b都大于0，则a和b的取值范围为：A. a > 2, b > 3B. a < 2, b < 3C. a > 0, b > 0D. a < 0, b < 0答案：C9. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，圆C的半径r 为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C10. 已知抛物线y^2 = 8x，焦点F的坐标为：A. (2,0)B. (-2,0)C. (0,2)D. (0,-2)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，且直线l与x轴交于点A，则点A的坐标为______。