2011上海大同杯数学竞赛试题
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2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题
一、填空题（每题10分，共80分）
1.已知关于x的两个方程：-x+3m=0……①，+x+m=0……②，其中m≠0.若方程①
有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是_________。
2.已知梯形ABCD中AB‖CD，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为______。
3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________.
4.将8个数，-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a,b,c,d,e,f,g,h,使得
+的值最小，则这个最小值为________.
5.已知正方形ABCD边长为4，E、F分别在AB，BC上，AE=3，BF=2，AF，DE交于G，则四边形DGFC的面积为。
6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则AC边长为____________。
7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1
分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手得分是_______。
8.已知a，b，c，d都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则a+b+c+d 的最小值为_________.
二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）
9.如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知∠DAC=60°，∠DAC的平分线与DC交于S，直线OS，AD相交于L,直线BL与AC交于M。求证：SM‖LC.
10.求所有正整数组a ≥b ≥c ≥d ≥e ≥f ，使得a ！=b ！+c ！+d ！+e ！+f ！
。11.①求证：存在整数x ，y ，满足+4xy+=2022
②是否存在整数x ，y ，满足+4xy+=2011？请证明你的结论。
12、整数1n >，它的所有不同的素因子为12,,k p p p ，对于每个1i k ≤≤，存在正整数i a 使得1i i a a i i p n p +≤≤。记()1212k a a a k p n p p p =++ ，例如62(100)2589p =+=。
①试找出一个正整数n ，使得()p n n >；
②证明：存在无穷多个正整数n ，使得()1110
p n n >
2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题解析
一、填空题（每题10分，共80分）
1.已知关于x的两个方程：-x+3m=0……①，+x+m=0……②，其中m≠0.若方程①
有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是_________。
2.已知梯形ABCD中AB‖CD，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为______。
3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________.
4.将8个数，-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a,b,c,d,e,f,g,h,使得
+的值最小，则这个最小值为________.
5.已知正方形ABCD边长为4，E、F分别在AB，BC上，AE=3，BF=2，AF，DE交于G，则四边
形DGFC的面积为。
6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则AC边长为____________。
7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，
比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手得分是_______。
8.已知a，b，c，d都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则a+b+c+d 的最小值为_________.
二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）
9.如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知∠DAC=60°，∠DAC的平分线与DC交于S，直线OS，AD相交于L,直线BL与AC交于M。求证：SM‖LC.
10.求所有正整数组a≥b≥c≥d≥e≥f，使得a！=b！+c！+d！+e！+f！。
11.①求证：存在整数x ，y ，满足+4xy+=2022
②是否存在整数x ，y ，满足+4xy+=2011？请证明你的结论。
12、整数1n >，它的所有不同的素因子为12,,k p p p ，对于每个1i k ≤≤，存在正整数i a 使得1i i a a i i p n p +≤≤。记()1212k a a a k p n p p p =++ ，例如62(100)2589p =+=。①试找出一个正整数n ，使得()p n n >；②证明：存在无穷多个正整数n ，使得()1110
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