双曲线与抛物线 高数整理版

课题：双曲线与抛物线

编写人：江南中校区高数组

【教学目标】

一、知识目标

1、掌握双曲线与抛物线的定义，掌握双曲线与抛物线标准方程并了解其推导过程，掌握

运用定义法、待定系统法求双曲线与抛物线的标准方程；

2、掌握双曲线与抛物线的性质，能根据性质正确地作出双曲线与抛物线草图；掌握双曲

线与抛物线方程中系数的几何意义及关系；

3、懂得利用方程解决直线与双曲线、抛物线的位置关系问题；

4、能利用双曲线与抛物线的性质解决实际问题。

二、能力目标

培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及类比的学习方法。提高学生观察、分析、综合的技能。

三、情感目标

培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。【教学重点】

1、双曲线与抛物线的定义及标准方程；

2、利用双曲线与抛物线的标准方程研究双曲线与抛物线的几何性质。

【教学难点】

运用数形结合，用代数方法研究双曲线与抛物线的性质。

【考点分析】

1、考查双曲线与抛物线的概念与方程；

2、考查双曲线与抛物线的性质；

3、关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.

【知识点梳理】

（一）定义

1．双曲线：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。定点F1、F2叫做焦点，定点间的距离叫焦距。

定义式：||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|).

注：若2a=|F1F2|,P的轨迹是以F1和F2为端点射线；若2a>|F1F2|,P的轨迹不存在。2．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，其中F l.

（二）标准方程和几何性质1．双曲线

2．抛物线

【典型例题】

题型一 双曲线的标准方程

例1：根据下列条件，求双曲线的标准方程。

（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭

⎫

⎝⎛-

5316，Q 且焦点在坐标轴上。

（2）6=c ，经过点（－5，2），且焦点在x 轴上。

（3）与双曲线

14

162

2=-y x 有相同焦点，且经过点()

223， 思路分析：

1）题意分析：本题从不同的角度考查了对双曲线方程的求解。

2）解题思路：过两点的方程我们一般设为

12

2=+n

y m x ，代入点计算。巧设方程，尽可能使系数越少越好。 解答过程：

解：（1）设双曲线方程为

12

2=+n

y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，

∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1259256116225

9n

m n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m

∴所求双曲线方程为19

162

2=+-y x 说明：采取以上“巧设”方法可以避免分两种情况讨论，达到“巧求”的目的。 （2）∵焦点在x 轴上，6=

c ，

∴设所求双曲线方程为：

162

2=--λ

λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164

25=--λ

λ

∴5=λ或30=λ（舍去）

∴所求双曲线方程是15

22

=-y x （3）设所求双曲线方程为：

()16414162

2<<-=+--λλ

λy x ∵双曲线过点()

223，

，∴144

1618=+--λ

λ ∴4=λ或14-=λ（舍）

∴所求双曲线方程为

18

122

2=-y x 点评：第（3）题中，注意到了与双曲线

14

162

2=-y x 有公共焦点的双曲线方程为

14162

2=+--λ

λy x 后，便有了以上巧妙的设法，以上简单易行的方法使我们在解题过

程中感到明快、简捷。

变式：已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为（3，24-）、 （

5,4

9

），求双曲线的标准方程. 解析：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为：

122

22=-b

y a x (a >0,b >0) ① 因为点P 1、P 2在双曲线上，所以点P 1、P 2的坐标适合方程①.将（3，24-）、（

5,4

9

）分别代入方程①中，得方程组⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=-=--1

)

49(2513)24(22

222

2

2b a

b a 解得：a 2

=16,b 2

=9.故所求双曲线的标准方程为：.19

162

2=-x y

题型二 双曲线系数之间的关系

例2：方程1112

2=-++k

y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）

A ．11<<-k

B ．0>k

C ．0≥k

D ．1>k 或1-

答案：D

变式1：若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13

322

=+--k y k x 表示双曲线”的( )

（A ）充分不必要条件.（B ）必要不充分条件.（C ）充要条件.（D ）既不充分也不必要条件. 答案：A

变式2：若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122

22=-b

y a x 有

（ ）

A ．相同的虚轴

B ．相同的实轴

C ．相同的渐近线

D ． 相同的焦点

答案：D