北京清华附中初三上学期开学考试数学试题

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北京市清华附中朝阳学校九年级数学上学期第一次段考试

北京市清华附中朝阳学校2015届九年级数学上学期第一次段考试题一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2=2x的解是( )A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x1=，x2=0 D．x=02．正方形绕其对角线的交点旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为( ) A．45° B．90° C．180°D．360°3．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为( )A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．34．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是( )A．a＜0B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．当x=﹣时，y的最小值是5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠06．二次函数y=﹣2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A．y=﹣2x2﹣1 B．y=2x2+1 C．y=2x2D．y=2x2﹣17．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )A．（2，10） B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( )A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为__________．10．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=__________．11．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．12．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1，点A的对称点A1的坐标是__________，点B1的坐标是__________；（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点S成中心对称．三、解答题（共7小题，13题每小题16分，14－19题每小题16分，满分52分）13．（16分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣25=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣x﹣1=0；（4）x2+2x﹣3=0（配方法）．14．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．15．已知抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？17．设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y 轴对称．（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．18．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．求证：BE=AF+CE．19．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．四、解答题（共2小题，每小题10分，满分20分）20．已知：二次函数y=x2﹣mx+m+1（m为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．①求m的值；②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值（用含m的代数式表示）．21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．2014-2015学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2=2x的解是( )A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x1=，x2=0 D．x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．正方形绕其对角线的交点旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为( ) A．45° B．90° C．180°D．360°【考点】旋转对称图形．【分析】根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答．【解答】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4=90°，∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合，因此，这个角度至少是90°．故选：B．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为( )A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系求解．【解答】解：设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．要求熟练运用此公式解题．4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是( )A．a＜0B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．当x=﹣时，y的最小值是【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．【分析】根据抛物线开口方向可对A进行判断；根据当抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x的增大而减小的性质可对B进行判断；观察函数图象得到当x=1时，y＜0，则可对C进行判断；先根据对称轴方程得到a=b，再由抛物线开口向上，函数有最小值=，然后约分后即可对D进行判断．【解答】解：A、抛物线开口向上，则a＞0，所以A选项错误；B、抛物线开口向上，对称轴为直线x=，则x＜﹣时，y随x的增大而减小，所以B 选项错误；C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以C选项错误；D、对称轴为直线x=﹣=，则a=b，因为抛物线开口向上，所以函数有最小值==，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣，函数有最小值；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．6．二次函数y=﹣2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A．y=﹣2x2﹣1 B．y=2x2+1 C．y=2x2D．y=2x2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据原抛物线的顶点坐标求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵二次函数y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴绕坐标原点O旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），又∵旋转后抛物线的开口方向上，∴旋转后的抛物线的解析式为y=2x2﹣1．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．7．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )A．（2，10） B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】分类讨论．【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．【解答】解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位/秒，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1﹣t，S=π（1﹣t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t﹣1，S=π（t﹣1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t﹣1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．【点评】本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×（1+x），∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，故答案为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800．【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．10．如图，△A BC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=3．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP′=3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，即线段AB旋转后到AC，∴旋转了90°，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，∴PP′==3，故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．11．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入二次函数解析式计算即可得解；根据点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．12．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1，点A的对称点A1的坐标是（10，8），点B1的坐标是（8，5）；（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点S成中心对称．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）作出图形，根据所作图形即可写出坐标；（2）根据对称的性质即可作出图形．【解答】解：（1）如图；A1（10，8），B1（8，5）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍故答案是：（10，8）和（8，5）．（2）如图．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍【点评】本题以图形的分割与拼接为背景，考查了中心对称的定义和空间观念．动手实践、自主探索是学习数学的重要方式，动手操作题丰富多彩，趣味性强，能有效地考查学生的创造能力和创新思维．这类题要在动手实践的基础上进行探索，要求学生具备动手实验操作能力和熟悉图形、推理论证的能力．三、解答题（共7小题，13题每小题16分，14－19题每小题16分，满分52分）13．（16分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣25=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣x﹣1=0；（4）x2+2x﹣3=0（配方法）．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程移项后，利用直接开平方法求出解即可；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2=25，开方得：x﹣2=5或x﹣2=﹣5，解得：x1=7，x2=﹣3；（2）方程移项得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，解得：x1=2，x2=3；（3）分解因式得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=2；（4）移项得：x2+2x=3，配方得：x2+2x+1=4，即（x+1）2=4，开方得：x+1=2或x+1=﹣2，解得：x1=1，x2=﹣3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．14．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．【考点】解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系．【专题】计算题；证明题．【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．【解答】证明：（1）∵a=2，b=k，c=﹣1∴△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，∵无论k取何值，k2≥0，∴k2+8＞0，即△＞0，∴方程2x2+kx﹣1=0有两个不相等的实数根．解：（2）把x=﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1=0∴k=1∴原方程化为2x2+x﹣1=0，解得：x1=﹣1，x2=，即另一个根为．【点评】本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．15．已知抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）直接把点（0，﹣1），（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c，求出b、c的值即可；（2）令y=0，求出x的值即可；（3）利用配方法将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点，∴，解得．∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣1；（2）∵令y=0，则x2﹣2x﹣1=0，解得x=1+或x=1﹣，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（1+，0），1﹣，0）；（3）y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为件，因此每天赢利为（40﹣x）元，进而可根据题意列出方程求解．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）=1200，整理得2x2﹣60x+400=0解得x1=20，x2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．17．设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y 轴对称．（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可；（2）作出函数图象，然后根据图形写出y2的取值范围即可；（3）根据函数图象写出抛物线C2在直线AB的下方部分的x的取值范围即可．【解答】解：（1）二次函数y1=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1图象的顶点（2，﹣1），关于y轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1）所以，所求的二次函数的解析式为y2=（x+2）2﹣1，即y2=x2+4x+3；（2）如图，﹣3＜x≤0时，y2的取值范围为：﹣1≤y2≤3；（3）y2＜y3时，﹣2＜x＜0．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．18．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．求证：B E=AF+CE．【考点】旋转的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE．【解答】证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，∴△ABF≌△CBG，∴∠5=∠G，∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴∠2+∠4=∠3+∠4，即∠FBC=∠EBG，∵AD∥BC，∴∠5=∠FBC=∠EBG，∴∠EBG=∠G，∴BE=CG+CE=AF+CE．【点评】本题考查了旋转的性质，用到的知识点是正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠EBG=∠G是解题的关键．19．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣（x﹣5）2+5，∴（x﹣5）2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间的距离为﹣=5米．【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．四、解答题（共2小题，每小题10分，满分20分）20．已知：二次函数y=x2﹣mx+m+1（m为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．①求m的值；②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值（用含m的代数式表示）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）①根据二次函数x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，可得判别式为0，依此可得关于m的方程，求解即可；②由①得点A的坐标为（2，0）．根据正方形的性质可得点B的坐标为（0，﹣2），点C的坐标为（2，﹣2）．根据待定系数法可求平移后的图象对应的函数解析式；（2）分三种情况：（ⅰ）当＜0，即m＜0时；（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时；（ⅲ）当＞2，即m＞4时；讨论可求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值．【解答】解：（1）①∵二次函数y=x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，∴△=m2﹣4×1×（m+1）=0．整理，得m2﹣3m﹣4=0，解得m1=4，m2=﹣1，又∵点A在x轴的正半轴上，∴m=4，②由①得点A的坐标为（2，0）．∵四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，∴点B的坐标为（0，﹣2），点C的坐标为（2，﹣2）．设平移后的图象对应的函数解析式为y=x2+bx+c（b，c为常数）．∴，解得∴平移后的图象对应的函数解析式为y=x2﹣2x﹣2．（2）函数y=x2﹣mx+m+1的图象是顶点为（，﹣+m+1），且开口向上的抛物线．分三种情况：（ⅰ）当＜0，即m＜0时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为m+1；（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时，函数的最小值为﹣+m+1；（ⅲ）当＞2，即m＞4时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为﹣m+5．综上，当m＜0时，函数y=x2﹣mx+m+1的最小值为m+1；当0≤m≤4时，函数y=x2﹣mx+m+1的最小值为﹣+m+1；当m＞4时，函数y=x2﹣mx+m+1的最小值为﹣m+5．【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：根的判别式，方程思想，分类思想，正方形的性质，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，综合性较强．21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，则△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=（m﹣n）2＞0，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2=，由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），又因为∠ABO=45°，所以A（0，1），即n=1，则可求得直线AB的解析式为：y=﹣x+1．再向下平移2个单位可得到直线l：y=﹣x﹣1；（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2﹣（m+1）x+1．∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2﹣（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．∴M′点在二次函数y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，解得：m≥﹣．∴m的取值范围为：﹣≤m＜0．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．。

2024年北京清华大附属中学九年级数学第一学期开学预测试题【含答案】

2024年北京清华大附属中学九年级数学第一学期开学预测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A ．3，4，5B ．2，3，4C ．4，6，7D ．5，11，122、（4分）若关于x 的方程x 2+6x -a =0无实数根，则a 的值可以是下列选项中的()A ．-10B ．-9C ．9D ．103、（4分）一次函数y kx k =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长是（）A ．6.5B ．8.5C ．13D ．60135、（4分）已知a 为整数，且a ，则a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．46、（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．()21x x x x +=+B ．()233x xy x x y +-=-+C ．()226435x x x ++=+-D ．()22211x x x ++=+7、（4分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A ．y 2﹣2y +4＝（y ﹣2）2B ．10x 2﹣5x ＝5x （2x ﹣1）C ．a （x +y ）＝ax +ayD ．t 2﹣16+3t ＝（t +4）（t ﹣4）+3t8、（4分）在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为（）A ．84B ．24C ．24或84D ．42或84二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 为()6,0，点C 是第一象限上一点，以OA ，OC 为邻边作▱OABC ，反比例函数1k y x =的图象经过点C 和AB 的中点D ，反比例函数2k y x =图象经过点B ，则21k k 的值为______．10、（4分）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+PD 的最小值等于______.11、（4分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则菱形的面积为____．12、（4分）若34a b =，则b a b =+_____．13、（4分）二次函数()2215y x =---的最大值是____________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）画出函数y =-2x +1的图象．15、（8分）如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，且BE ∥DF.求证:(1)四边形BFDE 是平行四边形；(2)AE=CF.16、（8分）王达和李力是八(2)班运动素质最好的两位同学，为了选出一名同学参加全校的体育运动大寒，班主任针对学校要测试的五个项目，对两位同学进行相应的测试(成绩：分)，结果如下：姓名力量速度耐力柔韧灵敏王达60751009075李力7090808080根据以上测试结果解答下列问题：（1）补充完成下表：姓名平均成绩(分)中位数(分)众数(分)方差(分2)王达807575190李力（2）任选一个角度分析推选哪位同学参加学校的比赛比较合适?并说明理由；（3）若按力量：速度：耐力：柔韧：灵敏=1：2：3：3：1的比例折合成综合分数，推选得分同学参加比赛，请通过计算说明应推选哪位同学去参赛。

北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题答案

参考答案：1．A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而判断得出答案．【详解】AB=不是最简二次根式，故此选项不合题意；C =D=故选：A ．【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．2．D【分析】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，进而得到180B A ∠+∠=︒，即可求出结果.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴180B A ∠+∠=︒，又∵25B ∠=︒，∴155A ∠=︒，故选：D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握AD BC ∥是解题的关键.3．C【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则计算即可．【详解】A ==B ．与2不是同类二次根式，不能合并，故不正确；C 4==，正确；D 2==，故不正确；故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．C【分析】先把3-移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【详解】解：∵2430x x --=，∴243x x -=，∴24434x x -+=+，∴2(2)7x -=．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成2()(0)x m n n +=≥的形式，再利用直接开平方法求解，掌握完全平方公式是解题的关键．5．C【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可．【详解】解：A 、由于一次函数y =-x +2的k =-1<0，所以y 的值随x 的值增大而减小，故该选项不符合题意；B 、一次函数y =-x +2的k =-1<0，b =2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；C 、将（0,2）代入y =-x +2中得2=0+2，等式成立，所以（0,2）在y =-x +2上，故该选项符合题意；D 、一次函数y =-x +2的k =-1<0，所以y 的值随x 的值增大而减小，所以当x <2时，y >0，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．6．B【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．【详解】5328978.1532532532⨯+⨯+⨯=++++++分．故选B ．【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．7．A【分析】根据增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率)列出方程即可．【详解】解：根据题意，得()2500016600x +=．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律．8．C【分析】根据图象分析点P 与直线l 的距离，由此得到答案．【详解】解：由图象得，当01s ≤≤时，点P 与直线l 的距离始终是1，即点P 沿着平行于直线l 的线段运动1个单位长度，四个图均符合；当13s <≤时，点P 与直线l 的距离由1增加到3，且是匀速运动，即点P 距直线l 为3个单位长度，图B 不符合；当34s <≤时，点P 与直线l 的距离始终是3，即点P 沿着平行于直线l 的线段运动1个单位长度，图A ，C ，D 均符合；当45s <≤时，点P 与直线l 的距离由3减小为2，即点P 距直线l 为2个单位长度，图C 符合；故选：C ．【点睛】此题考查了识别函数图象，正确理解理解函数图象并得到相应的信息是解题的关键．9．12/0.5【分析】把2x =代入方程250x bx +-=中得：4250b +-=，然后进行计算即可解答．【详解】解：把2x =代入方程250x bx +-=中得：4250b +-=，解得：12b =，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．10．<【分析】根据一次函数的性质，由20k =>，可得出y 随x 的增大而增大，再结合14<，即可得出1y 与2y 的大小关系．【详解】解：∵20k =>，∴y 随x 的增大而增大，又∵点1(1,)A y ，2(4,)B y 在直线21y x =-上，且14<，∴12y y <，故答案为：<．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．11【分析】根据勾股定理求出OA 的长，即可解决问题．【详解】解：∵点23A （，），∴OA =∵点A 、B 均在以点O 为圆心，OA 长为半径的弧上，∴OB OA ==∵点B 交于x 轴的正半轴，∴点B【点睛】本题考查的是勾股定理以及坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．12．1【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出CD 的长，利用斜边上的中线即可得解．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，∴111,22OD BD OC AC ====OD OC ⊥，∴90ODC ∠=︒，∴2CD =，∵点E 边CD 的中点，∴112OE CD ==；故答案为：1．【点睛】本题考查菱形的性质，斜边上的中线．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．13．乙【分析】根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．【详解】观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故S 2甲＞S 2乙．故答案是：乙．【点睛】考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14．12096【分析】（1）观察函数图像可得答案；（2）用待定系数法求出s 与v 的函数关系式，令13s v =可解得v 的值．【详解】解：（1）观察可知，s 与v 的函数图像过点(12050)，，∴该款汽车某次测试的刹车距离为50m ，估计该车的速度约为120km/h ，故答案为：120．（2）观察可知，s 与v 的函数图像是顶点为(00)，，设2s av =，把(12050)，代入得：250120a =，解得：1288a =，∴21288s v =，∵刹车距离的数值恰好是车速数值的13，∴2113288v v =，解得：96v =，∴此时的车速约为96km/h ，故答案为：96．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是能从函数图像中获取有用的信息．15．（1）6+；（2）1215x x ==-，【分析】（1）先去括号，再把二次根式化简为最简二次根式，然后计算加减法；（2）利用因式分解法解方程，求出x 的值即可．【详解】解：（1）原式==6=+-6=+；（2）2450x x --=，()()510x x -+=，50x -=或10x +=解得1215x x ==-，．【点睛】本题考查了解一元二次方程的解法，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则，因式分解解方程是解题的关键．16．见解析【分析】此题主要考查了平行四边形的性质及判定，根据四边形ABCD 是平行四边形，得出AB CD =，AB CD ∥，由BE DF =，从而可得到AE CF =，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出CFAF 是平行四边形，得出结论．【详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形AB CD ∴=，AB CD∥BE DF= AE CF∴=AB CD∥ ∴四边形CEAF 是平行四边形AF EC ∴=．17．(1)见解析(2)PD ，菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分每一对对角【分析】（1）根据题意补全图形图形即可；（2）根据菱形的判定方法得到四边形OCPD 为菱形，利用菱形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：补全的图形如图所示；（2）证明：∵OC OD PC PD ===，∴四边形OCPD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形），∴OP 平分AOB ∠（菱形的对角线平分每一对对角）．故答案为：PD ，菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分每一对对角．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，菱形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．18．(1)点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()0,2(2)见解析(3)4x <【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A ，B 的坐标；（2）描点、连线，画出函数图象；（3）观察函数图象，找出当0y >时（即图象在x 轴上方时）x 的取值范围．【详解】（1）解：当0y =时，1202x -+=，解得：4x =，∴点A 的坐标为()4,0，当0x =时，10222=-⨯+=y ，∴点B 的坐标为()0,2；（2）在图中描出点A ，B ，连接AB ，直线AB 即为所求．（3）观察函数图象，可知：当0y >时，x 的取值范围为4x <．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A ，B 的坐标；（2）描点、连线，画出直线AB ；（3）观察函数图象，找出结论．19．(1)ACD 为直角三角形，见解析；(2)212．【分析】（1）根据图中的数据，根据勾股定理判断三角形的形状；（2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可.【详解】（1）解：ACD 为直角三角形．理由如下：由题意，2223+318==AC ，2222+28CD ==，2221+526AD ==，∴222+AC CD AD =，∴=90ACD ∠︒，ACD 为直角三角形．（2）解：在Rt ABD △中，3AB AC ==，90ABD Ð=°，∴Rt 2129ABC S AB BC ⋅== ，在Rt ACD △中，32AC =22CD ==90ACD ∠︒，∴Rt 162ACD S AC CD =⋅= ，∴ΔΔ212ABC ACD ABCD S S S =+=四边形.【点睛】本题主要考查了坐标图，提高读图能力是解题的关键.20．(1)()2312y x =-+(2)()2,0-(3)当2x <-时，y 随x 的增大而增大【分析】（1）由对称轴可求得h 的值，再把()1,3-代入可求得a 的值，可求得抛物线解析式；（2）由顶点式可求得抛物线的顶点坐标；（3）由a 的值及二次函数的增减性，即可求得答案．【详解】（1）解：抛物线()2y a x h =+的对称轴是直线2x =-，2h ∴-=-，解得2h =，∴抛物线解析式为()22y a x =+，过()1,3-，()2312a +=-∴解得13a =-，∴抛物线的解析式()2312y x =-+．（2）解：由题意得顶点为()2,0-．（3）解：103a =-< ，∴当2x <-时，y 随x 的增大而增大．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握解法及性质是解题的关键．21．(1)有两个实数根(2)1k <【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：()()()()222224242148442141b ac k k k k k k k =-=---=-+=-+=- ，∵无论k 取何值时，()2410k =-≥ ，∴原方程有两个实数根；（2）解：∵22(1)2±-=k k x ，12+2(1)=212k k x k -=-；22-2(1)=12k k x -=，∵该方程有一个根小于1，∴211k -<，∴1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式．22．(1)见解析(2)OE =【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，12AD BE =，易证得四边形ACED 是平行四边形，又由AC BC ⊥，即可证得四边形ACED 是矩形；（2）根据矩形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∵CE BC =，∴=AD CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∵AC BC ⊥，∴90ACE ∠=︒，∴四边形ACED 是矩形．（2）解：∵对角线AC BD ，交于点O ，∴点O 是BD 的中点，∵四边形ACED 是矩形，∴90BED ∠=︒，∴12OE BD =，∵32BC DE ==，，∴6BE =，222262210BD DE BE =+=+=，∴112101022OE BD ==⨯．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质．注意矩形的判定和性质是关键．23．(1)72.5(2)12p p <，理由见解析(3)该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为60人【分析】（1）根据频数直方图可得，各组数据分别为3，12，13，11，1，进而根据中位数的定义即可求解；（2）根据中位数的意义，可得120p <，220p >，即可求解；（3）根据样本估计总体，用2000乘以分数高于80分的占比即可求解．【详解】（1）根据频数直方图可得，各组数据分别为3，12，13，11，1，则中位数在7080x ≤<这组的第5个数，和第6个数的平均数，∵七年级成绩在7080x ≤<这一组的是：70 71 71 72 72 73 74 75 76 77 78 79 79∴中位数727372.52m +==；（2）∵七年级的中位数为72.5，低于平均分，则120p <，八年级的中位数为74.5，高于平均分，则220p >，∴12p p <（3）该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为1112006040+⨯=（人）答：该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为60人．【点睛】本题考查了频数直方图，求中位数，以及中位数的意义，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．24．(1)2y x =-+(2)1m ≥【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）先求出2y x =+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值的x 的范围，再根据数形结合思想求解．【详解】（1）解：函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()()1,52,2，-，则由题意得552k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得14k b =-⎧⎨=⎩，∴该函数的表达式为：2y x =-+；（2）解：由题意得24x x +>-+，解得，∴1m ≥．【点睛】本题考查了待定系数法，掌握数形结合思想是解题的关键．25．(1)作图见解析(2)ANE 是等腰直角三角形，证明见解析(3)AN NC +=，证明见解析【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）证明()SAS EDN ADN ≌ ，45AEC ∠=︒，可得结论；（3）过点B 作BF BN ⊥交PC 延长线于点F ，由FBC ABN BC AB FCB BAN ∠=∠=∠=∠，，，推导出FCB NAB ≌△△，进而得到FBN 是等腰直角三角形，FN =，FC NC +=，等量代换即可得证．【详解】（1）解：如图所示：∴即为补全的图形；（2）解：ANE 是等腰直角三角形，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴DC DA =，∵DC DE =，∴DE DA =，∵DN 平分ADE ∠，∴EDN ADN ∠=∠，在EDN △和ADN △中，DE DA EDN ADN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EDN ADN ≌ ，∴AN EN =，设ADE x ∠=，则90CDE x ∠=︒+，∵DA DE DC ==，∴()111809022DEA DAE x x ∠=∠=︒-=︒-；()11180904522DEC ECD x x ∠=∠=︒-︒-=︒-；∴1190454522AEC DEA DEC x x ⎛⎫∠=∠-∠=︒--︒-=︒ ⎪⎝⎭，∵AN EN =，∴45AEN EAN ∠=∠=︒，∴90ANE ∠=︒，∴ANE 是等腰直角三角形；（3）解：AN NC +，证明如下：过点B 作BF BN ⊥交PC 延长线于点F ，如图所示：∴FBC ABN ∠=∠，∵90CBA CNA ∠=∠=︒，∴180BCN BAN ∠+∠=︒，∵180FCB BCN ∠+∠=︒，∴FCB BAN ∠=∠，又∵AB BC =，∴()ASA FCB NAB ≌ ，∴FC AN FB BN ==，，∴FBN 是等腰直角三角形，∴FN ，∴FC NC +=，即AN NC +=．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．26．（1）①（1，0）；②302m ≤≤；（2）3-02n ≤≤或1≤n≤3.【分析】（1）①根据点A ，O 的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论；②依照题意画出图形，观察图形可知点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C′D′，根据点A ，C ，D 的坐标，利用中点坐标公式可求出点C′，D′的坐标，进而可得出m 的取值范围；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标为（n，2n），依照题意画出图形，观察图形可知：点B和四边形CDEF的中间点只能在边EF和DE上，当点B和四边形CDEF 的中间点在边EF上时，利用四边形CDEF的纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，由四边形CDEF的横、纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围．综上，此题得解．【详解】（1）①∵点A的坐标为（2，0），∴点A和原点的中间点的坐标为（202+，002+），即（1，0）．故答案为（1，0）．②如图1，点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′．由题意可知：点C′为线段AC的中点，点D′为线段AD的中点．∵点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（-2，3），点D的坐标为（1，3），∴点C′的坐标为（0，），点D′的坐标为（，），∴点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围为0≤m≤．（2）∵点B的横坐标为n，∴点B的坐标为（n，2n）．当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，有023 020nn-≤⎧⎨-≥⎩，解得：-≤n≤0；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有121 3220nn⨯-≤⎧⎨⨯-≥⎩，解得：1≤n≤3．综上所述：点B的横坐标n的取值范围为-≤n≤0或1≤n≤3．【点睛】本题考查了中点坐标公式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）①利用中点坐标公式求出结论；②通过画图找出点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′；（2）分点B和四边形CDEF的中间点在边EF上及点B和四边形CDEF的中间点在边DE上两种情况，找出关于n的一元一次不等式组．。

2024年北京市清华附中数学九上开学复习检测模拟试题【含答案】

2024年北京市清华附中数学九上开学复习检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列计算中正确的是（）A =B 1-=C ．3+=D ．32=2、（4分）高跟鞋的奥秘：当人肚脐以下部分的长m 与身高，的比值越接近0.618时，越给人以一种匀称的美感，如图，某女士身高170cm ，脱去鞋后量得下半身长为102cm ，则建议她穿的高跟鞋高度大约为（）A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm 3、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，0)．点P 第1次向上跳动1个单位至点P 1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P 2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P 3，第4次向右跳动3个单位至点P 4，第5次又向上跳动1个单位至点P 5，第6次向左跳动4个单位至点P 6，…．照此规律，点P 第100次跳动至点P 100的坐标是()A ．(﹣26，50)B ．(﹣25，50)C ．(26，50)D ．(25，50)4、（4分）如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点D 在BC 上，且AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．35、（4分）下列说法中，正确的是（）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的矩形是正方形D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6、（4分）已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=1．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP和△DCE 全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D．3或77、（4分）如图．在正方形ABCD 中4AB =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，则 PC PE +的最小值是()A ．B ．C ．D ．2+8、（4分）已知一个多边形的每个外角都要是60°，则这个多边形是（）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一次函数y ＝kx +3k +5的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为_____10、（4分）中，字母x 的取值范围是__________．11、（4分）如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB 、CD 分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长约为12米，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 约为________米．12、（4分）如图，在ABC 中，260AB BAC =∠=︒，，点D 是边BC 的中点，点E 在边AC 上运动，若DE 平分ABC 的周长时，则DE 的长是_______．13、（4分）若一组数据121,1,,1n x x x +++的平均数为17，方差为2，则另一组数据122,2,,2n x x x +++的平均数和方差分别为（）A ．17，2B ．18，2C ．17，3D ．18，3三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h ，精确到1h ，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中百分数a 的值为_____，所抽查的学生人数为______．（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全条形统计图．（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．（4）如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．15、（8分）如图，在ABC ∆中，90B =∠，7AB cm =，9BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．（1）如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ？（2）如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于7cm ？16、（8分）（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN 的度数是多少，并证明你的结论；（2）将图1中的三角形纸片BMN 剪下，如图2，折叠该纸片，猜测MN 与BM 的数量关系，无需证明．17、（10分）如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 的中点，仅用无刻度的直尺按要求画图.(保留作图痕迹，不写作法)(1)在图①中画出AD 的中点H;(2)在图②中的菱形对角线BD 上，找两个点E 、F ，使BE=DF.18、（10分）如图，一次函数y=34x+6的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与点A 关于y 轴对称.动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 与点A 、C 不重合），且满足∠BPQ=∠BAO ．(1)求点A 、B 的坐标及线段BC 的长度；(2)当点P 在什么位置时，△APQ ≌△CBP,说明理由；(3)当△PQB 为等腰三角形时，求点P 的坐标.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）2-1=_____________20、（4分）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.若5AB =，8BD =，则线段EF 的长为______．21、（4分）已知一元二次方程29180x x -+=的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为__________．22、（4分）如图，菱形ABCD 的周长为20，对角线AC 与BC 相交于点O ，AC=8，则BD=________.23、（4分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，E 为AB 上一点，分别以 ED ，EC 为折痕将两个角（A ∠，B Ð）向内折起，点A ，B 恰好都落在CD 边的点F 处．若3AD =，5BC =，则EF =________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某人购进一批琼中绿橙到市场上零售，已知卖出的绿橙数量x(千克)与售价y(元)的关系如下表：数量x(千克)12345…售价y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…(1)写出售价y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为多少元？25、（10分）如图，(1,0)A -，(1,4)C ，点B 在x 轴上，且3AB =.(1)求点B 的坐标，并画出ABC ∆;(2)求ABC ∆的面积;(3)在y 轴上是否存在点P ，使以,,A B P 三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请直接写出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.26、（12分）解不等式组：2931213x x x +≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】分析：根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一计算即可．详解：A、B、C、3D32，故本选项正确．故选：D．点睛：本题考查的是二次根式的加减法，在进行二次根式的加减运算时要把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．2、C【解析】先设出穿的高跟鞋的高度，再根据黄金分割的定义列出算式，求出x的值即可．【详解】解：设需要穿的高跟鞋是x（cm），根据黄金分割的定义得：1020.618170xx+=+，解得：8x ，∴建议她穿的高跟鞋高度大约为8cm；故选：C.本题主要考查了黄金分割的应用．掌握黄金分割的定义是解题的关键，是一道基础题．3、C【解析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100250÷=，其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧.1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，以此类推可得到100P 的横坐标．【详解】解：经过观察可得：1P 和2P 的纵坐标均为1，3P 和4P 的纵坐标均为2，5P 和6P 的纵坐标均为3，因此可以推知99P 和100P 的纵坐标均为100250÷=；其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧.1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，以此类推可得到：n P 的横坐标为41n ÷+（n 是4的倍数）.故点100P 的横坐标为：1004126÷+=，纵坐标为：100250÷=，点P 第100次跳动至点100P 的坐标为()26,50.故选：C ．本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．4、C 【解析】分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，然后根据勾股定理求出AD 的长即可.详解：∵AB=AC=5，AD 平分∠BAC ，BC=6∴BD=CD=3，∠ADB=90°∴AD=故选C.点睛：本题考查了等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．5、C【解析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断.【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误；有一组邻边相等的矩形是正方形，故C正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D错误；故本题答案应为：C.平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义是本题的考点，熟练掌握其判定方法是解题的关键.6、C【解析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=11-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=11-2t=2，解得t=2．所以，当t的值为1或2秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．7、A【解析】根据正方形的性质得到点A和点C关于BD对称，BC=AB=4，由线段的中点得到BE=2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD为正方形C关于BD的对称点为A．连结AE交BD于点P，如图：此时 PC PE +的值最小，即为AE 的长．∵E 为BC 中点，BC=4，∴BE=2，∴AE ===．故选：A.本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．8、B 【解析】根据多边形的边数等于310°除以每一个外角的度数列式计算即可【详解】310°÷10°＝1．故这个多边形是六边形．故选：B ．此题考查多边形内角与外角，难度不大二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、－2【解析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】由已知得：350{0k k +＞＜，解得：-53＜k ＜2．∵k 为整数，∴k=-2．故答案为：-2．本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数的关系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键．10、1x 【解析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．【详解】根据题意得：x ﹣1≥0，解得：x ≥1．故答案为x ≥1．a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．11、1【解析】过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于E ，∵∠ABC =150°，∴∠CBE =30°，在Rt △BCE 中，∵BC =12，∠CBE =30°，∴CE =BC =1．故答案是1．点睛：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．【解析】延长CA 至M ，使AM=AB ，连接BM ，作AN ⊥BM 于N ，由DE 平分△ABC 的周长，又CD=DB ，得到ME=EC ，根据中位线的性质可得DE=12BM ，再求出BM 的长即可得到结论．【详解】解：延长CA 至M ，使AM=AB ，连接BM ，作AN ⊥BM 于N ，∵DE 平分△ABC 的周长，CD=DB ，∴ME=EC ，∴DE=12BM ，∵∠BAC=60°，∴∠BAM=120°，∵AM=AB ，AN ⊥BM ，∴∠BAN=60°，BN=MN ，∴∠ABN=30°，∴AN=12AB=1，∴BN=∴∴，．本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，作出辅助线综合运用基本性质进行推理是解题的关键．13、B【解析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．∵数据x1+1，x1+1，，x n+1的平均数为17，∴x1+1，x1+1，，x n+1的平均数为18，∵数据x1+1，x1+1，，x n+1的方差为1，∴数据x1+1，x1+1，，x n+1的方差不变，还是1；故选B．本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x1，，x n的平均数为x，方差为S1，那么另一组数据ax1+b，ax1+b，，ax n+b的平均数为a x+b，方差为a1S1．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）45%，60人；（2）18人，条形统计图见解析；（3）众数7，平均数7.2；（4）1170人．【解析】（1）用1减去每天的平均睡眠时间为6小时，8小时，9小时所占的百分比即可求出a的值，用每天的平均睡眠时间为6小时的人数除以其所占的百分比即可得到总人数；（2）用总人数乘以每天的平均睡眠时间为8小时所占的百分比即可求出睡眠时间为8小时的人数，用总人数乘以a的值即可求出睡眠时间为7小时的人数，然后即可补全条形统计图；（3）根据众数和平均数的定义计算即可；（4）先计算出睡眠时间少于8小时的人所占的百分比，然后用总人数1800乘以这个百分比即可得出答案．【详解】a=---=，（1）120%30%5%45%÷=（人）；所抽查的学生人数为1220%60⨯=（人），（2）平均睡眠时间为8小时的人数为6030%18⨯=（人），平均睡眠时间为7小时的人数为6045%27条形统计图如下：（3）由扇形统计图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，所以这部分学生的平均睡眠时间的众数为7，平均数为1262771881937.260⨯+⨯+⨯+⨯=；（4）12271800117060+⨯=（人）本题主要考查条形统计图和扇形统计图，掌握条形统计图和扇形统计图以及众数，平均数的求法是解题的关键．15、（1）出发1秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ；（2）出发0秒或2.8秒后，PQ 的长度等于7cm ．【解析】（1）设x 秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ，根据路程=速度×时间，即可用x 表示出AP 、BQ 和BP 的长，然后根据三角形的面积公式列一元二次方程，并解方程即可；（2）设y 秒后，PQ 的长度等于7cm ，根据路程=速度×时间，即可用y 表示出AP 、BQ 和BP 的长，利用勾股定理列一元二次方程，并解方程即可．【详解】解：（1）设x 秒后，PBQ ∆的面积等于62cm ，∵点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动∴AP x =，2BQ x=∴7BP x=-则有1(7)262x x -⨯=∴121,6x x ==（此时2×6=12＞BC ，故舍去）答：出发1秒后，PBQ ∆的面积等于62cm （2）设y 秒后，PQ 的长度等于7cm ∵点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动∴AP y =，2BQ y =∴7BP y =-222(7)(2)7y y -+=解得120, 2.8y y ==答：出发0秒或2.8秒后，PQ 的长度等于7cm ．此题考查的是一元二次方程的应用，掌握几何问题中的等量关系和行程问题公式是解决此题的关键．16、（1）30º，见解析．（2）12MN BM =【解析】（1）猜想：∠MBN=30°．如图1中，连接AN ．想办法证明△ABN 是等边三角形即可解决问题；（2）MN=12BM ．折纸方案：如图2中，折叠△BMN ，使得点N 落在BM 上O 处，折痕为MP ，连接OP ．只要证明△MOP ≌△BOP ，即可解决问题.【详解】（1）猜想：∠MBN=30°．证明：如图1中，连接AN ，∵直线EF 是AB 的垂直平分线，∴NA=NB，由折叠可知，BN=AB，∴AB=BN=AN，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN=60°，∴NBM=∠ABM=12∠ABN=30°．（2）结论：MN=12BM．折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP．理由：由折叠可知△MOP≌△MNP，∴MN=OM，∠OMP=∠NMP=12∠OMN=30°=∠B，∠MOP=∠MNP=90°，∴∠BOP=∠MOP=90°，∵OP=OP，∴△MOP≌△BOP，∴MO=BO=12BM，∴MN=12BM．本题考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17、见解析【解析】分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC、BD的中点，然后根据三角形的中位线判定与性质，即可画图得到H点；（2）根据①的作图中的H点，连接AP，HC，交BD于E、F点，则BE=DF.详解：图①作法如图所示：图②作法如图所示：点睛：此题主要考查了菱形的判定与性质，三角形的中位线的判定与性质，以及三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性比较强，灵活利用判定与性质的进行推理是画图的关键.18、A（－4，0），B（0，3），BC=1；（1，0）；（1，0）或（，0）．【解析】试题分析：根据函数解析式和勾股定理求出点A和点B的坐标以及BC的长度；根据全等的性质得出点P的坐标；本题分PQ=PB，BQ=BP乙BQ=PQ三种情况分别进行计算得出点P的坐标．试题解析：（1）点A坐标是（-4，0），点B的坐标（0，3），BC=1．（2）点P在（1，0）时（3）i）当PQ=PB时，△APQ≌△CBP，由（1）知此时点P（1，0）ii）当BQ=BP时，∠BQP=∠BPQ∠BQP是△APQ的外角，∠BQP＞∠BAP，又∠BPQ=∠BAO ∴这种情况不可能iii）当BQ=PQ时，∠QBP=∠QPB又∠BPQ=∠BAO，∴∠QBP=∠BAO，则AP=4+x，BP=∴4+x=，解得x=，此时点P的坐标为：（，0）考点：一次函数的应用一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】根据负指数幂的运算法则即可解答.【详解】原式=2-1=12.本题考查了负指数幂的运算法则，牢记负指数幂的运算法则是解答本题的关键.20、3【解析】由菱形性质得AC⊥BD,BO=118422BD =⨯=,AO=12AC ,由勾股定理得3==,由中位线性质得EF=132A C =.【详解】因为，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，所以，AC ⊥BD,BO=118422BD =⨯=,AO=12AC ,所以，3==,所以，AC=2AO=6,又因为E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.所以，EF=132A C =.故答案为3本题考核知识点：菱形，勾股定理，三角形中位线.解题关键点：根据勾股定理求出线段长度，再根据三角形中位线求出结果.21、2【解析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是3和1，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是1，底是3，然后可以求出三角形的周长．【详解】x 2-9x+18=0（x-3）（x-1）=0解得x 1=3，x 2=1．由三角形的三边关系可得：腰长是1，底边是3，所故周长是：1+1+3=2．故答案为：2．此题考查解一元二次方程-因式分解，解题关键在于用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长．22、1【解析】分析:根据菱形的四条边都相等可得AB =5，根据菱形的两条对角线互相垂直且平分可得AC ⊥BD ，AO=12AC =4，BO =DO ，再利用勾股定理计算出BO 长，进而可得答案．详解:∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =12，AC =4，BO =DO ，AD =AB =DC =BC ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB=5，∴BO =3，∴DO =3，∴DB =1，故答案为：1．点睛:此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．【解析】先根据折叠的性质得EA=EF ，BE=EF ，DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF ，DC=8，再作DH ⊥BC 于H ，由于AD ∥BC ，∠B=90°，则可判断四边形ABHD 为矩形，所以DH=AB=2EF ，HC=BC-BH=BC-AD=2，然后在Rt △DHC 中，利用勾股定理计算出DH=EF=【详解】解：∵分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处，∴EA=EF ，BE=EF ，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF ，DC=DF+CF=8，作DH ⊥BC 于H ，∵AD ∥BC ，∠B=90°，∴四边形ABHD 为矩形，∴DH=AB=2EF ，HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2，在Rt △DHC 中，=∴EF=12.本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)y=2.1x ；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．【解析】（1）根据表中所给信息，判断出y 与x 的数量关系，列出函数关系式即可；（2）把x=50代入函数关系式即可．【详解】(1)设售价为y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式为y=kx+b ，由已知得，2.12 4.2k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k=2.1，b=0；∴y 与x 之间的函数关系式为y=2.1x ；(2)当x=50时，y=2.1×50=1．答：这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式，并且可以求在x 一定时的函数值．25、(1)B 点的坐标为(2,0)，(4,0)-，画图见解析；(2)6；(3)P 点的坐标为20(0,)3或20(0,)3-【解析】（1）分点B 在点A 的左边和右边两种情况解答；（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）利用三角形的面积公式列式求出点P 到x 轴的距离，然后分两种情况写出点P 的坐标即可．【详解】（1）点B 在点A 的右边时，-1+3=2，点B 在点A 的左边时，-1-3=-4，所以，B 的坐标为（2，0）或（-4，0），如图所示：（2）△ABC 的面积=12×3×4=6；（3）设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h=10，解得h=203，点P 在y 轴正半轴时，P （0，203），点P 在y 轴负半轴时，P （0，-203），综上所述，点P 的坐标为（0，203）或（0，-203）．本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．26、3 4.x -≤<【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：2931213x x x +⎧⎪⎨+>-⎪⎩①② 解不等式①得，x 3≥-解不等式②得，x 4<∴原不等式组的解集是3x 4.-≤<本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．。

北京清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．D ．．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数为（）．70°B 50°．40°．将抛物线212y x =向左平移个单位长度，得到的抛物线是（21(1)2y x =+通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确()246x -=-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（3k ≤2x +上，那么下列结论正确的是12y y =A ．B ．C ．D ．8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）(0°＜x ≤90°)近似满足函数关系2y ax bx c =++(a ≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A ．18°B ．36°C ．41°D ．58°二、填空题13．如图所示，在14．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =-+的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△CDE 可以看作是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，三、解答题(3)根据图象回答：当03x ≤<时，y 的取值范围是______．20．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ，DE ，(1)依题意补全图形(2)求证：AEB ADC △≌△；(3)若105ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)(3)0x m x m +-+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若此方程有一个负数根，求m 的取值范围．22．如图，已知AB 为O 的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC 、OC 、BC ．(1)求证：CAO BCD ∠=∠．(2)若3BE =，8CD =，求O 的直径．23．如图，二次函数21y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,3)-，一次函数2y mx n =+的图象过点A 、C ．小高的做法为：①作出ABC 的外接圆，圆心为M ；②作出线段AB 的垂直平分线1l ，1l 与③以O 为圆心，OA 的长为半径画圆，老师说小高的做法是正确的．根据小高设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ，∵M 是ABC 的外接圆，又在M ∵1l 是AB 的垂直平分线∴OA OB =∴点B 也在以O 为圆心，以OA 为半径的圆上，对于O ， AB AB =∴12APB ∠=∠25．排球场的长度为18m ，球网在场地中央且高度为以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，度y （单位：m ）与水平距离x （单位：(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离水平距离/m x 0246竖直高度/my 2.482.722.82.72①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度位：m ）近似满足函数关系0.02(y x =--并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）求c 的值（用含a 的式子表示）；（3）若点()1,3M x ，()2,3N x 为抛物线上不重合两点求a 的取值范围．27．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段线段AD ，连接CD ．(1)连接BD ，①如图1，若80α=︒，则BDC ∠的度数为______；②证明：BDC ∠的大小不随α的改变而改变．(2)如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得B ACD ∠=∠90CED ∠=︒，求α的值．28．在平面直角坐标系xOy 中，线段4AB =，点M ，N 在线段为MN 的中点，如果任取一点Q ，将点Q 绕点P 顺时针旋转180︒得到点Q '，则称点Q '为点Q 关于线段AB 的“旋平点”(1)如图1，已知()1,0A -，()3,0B ，()1,2Q ，如果(),Q a b '为点Q 关于线段AB 的“旋平点”，①写出一个点Q 的“旋平点”的坐标______；②画出示意图，写出a 的取值范围：(2)如图2，O 的半径为3，点A ，B 在O 上，点()1,0Q ，如果在直线x m =上存在点Q 关于线段AB 的“旋平点”，求m 的取值范围．。

北京市海淀区清华附中本部2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题及答案

北京市海淀区清华附中本部2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．2a >-B ．a b>C ．0a b +>D ．0b a -<2．如图，将ABC V 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC CD =；②A EBC ∠=∠；③AB EB ⊥；④CD 平分ADE ∠（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题3．有甲､乙两组数据，如表所示：甲1112131415乙1212131414甲､乙两组数据的方差分别为22,s s 甲乙，则2s 甲2s 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）．4．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e 的卡片写有数字．三、解答题5．计算：021)|1|()2π-----.6．解不等式组：247412x x x x -<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩．7．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1)试说明：此方程总有两个实数根．(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.8．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，交PA 的延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，交BC 的延长线于点Q ；③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：∵AB =，CB =，∴PQ l ∥（）（填推理的依据）．9．列分式方程解应用题．150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形0.618≈）10．如图，在四边形ABCD 中，6810AB CD AC BC ABC BCD ====∠=∠，，，．过点D 作DE BC ⊥，延长DE 至点F ，使EF＝DE ，连接CF ．(1)求证：四边形ABFC 是矩形；(2)求DE 的长．11．在平面直角坐标系xOy 中，点1A m （-，）是直线2y x =-+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B (1)求B 点的坐标；(2)若直线l ：20y kx k =-≠（）与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围．12．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a ．乙校区学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为5组：6580x ≤<；8085x ≤<；8590x ≤<；9095x ≤<；95100x ≤<）：b ．乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是：91919294c ．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：校区平均数中位数方差甲校区89.388.542.6乙校区89.3m87.2根据上述信息，解答问题：(1)m ______；(2)对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”）；(3)抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．13．如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：x（单位：m）01213225234…y（单位：m）1985411832138742…(1)该喷枪的出水口到地面的距离为m；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；(3)结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m时，水流的最高点到地面的距离为m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为m（精确到1m）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222y x tx t t =-+-．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；(2)点，在抛物线上，其中112t x t -≤≤+，21x t =-．①若1y 的最小值是2-，求1y 的最大值；②若对于1x ，2x ，都有12y y <，求t 的取值范围．15．已知ADE V 和ABC V 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=︒，P 为AE 的中点(1)如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，直接写出DP 与BC 的位置关系；(2)将图1中的ADE V 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C 、D 、P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明BAE ACP ∠=∠；②连接BD ，交AE 于点F ，判断线段BF 与DF 的数量关系16．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC V 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB >的直角三角形，则称点C 为线段AB 的“从属点”．已知点A 的坐标为(0,1)．(1)如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C -，()22,2C ，()31,0C ，()40,3C 中，线段AB 的“从属点”是___________；(2)如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =--上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；(3)点B 为x 轴上的动点，直线()40y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围．参考答案：1．B【分析】由数轴及题意可得32,01a b -<<-<<，依此可排除选项．【详解】解：由数轴及题意可得：32,01a b -<<-<<，∴,0,0a b a b b a >+<->，∴只有B 选项正确，故选B ．【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．2．A【分析】由旋转的性质可得AC CD BC CE AB DE A CDE ===∠=∠，，，，可判断①，由等腰三角形的性质可判断②④，由于A ABC ∠+∠不一定等于90︒，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故③错误．【详解】解：∵将ABC V 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∴AC CD BC CE ==，，故①正确；∴ACD BCE EBC BEC ∠=∠∠=∠，，∴1118018022A ADC ACD BCE ∠=∠=︒-∠=︒-∠（）（），∴A EBC ∠=∠，故②正确；∵将ABC V 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∴A CDE ∠=∠，∵AC CD =，∴A ADC ∠=∠，∴ADC CDE ∠=∠，即CD 平分ADE ∠，故④正确；∵A ABC ∠+∠不一定等于90︒，∴ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故③错误；故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．3．＞【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．【详解】解：由题意得：1112131415135x ++++==甲，1212131414135x ++++==乙，∴()()()()()2222221113121313131413151325s⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==甲，()()()()()22222212131213131314131413455s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==乙，∴425>，∴22s s >乙甲；故答案为＞．【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．4．B4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B 与第二行中c 肯定有一张为白1，若第二行中c 为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B 的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A 的位置，；第一行中C 与第二行中c 肯定有一张为白2，若第二行中c 为白2，则a ，b 只能是黑1，黑2，而A 为黑1，矛盾，∴第一行中C 为白2；第一行中F 与第二行中c 肯定有一张为白3，若第一行中F 为白3，则D ，E 只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．5．-2.【详解】【分析】按顺序先分别进行零指数幂运算、绝对值化简、二次根式化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】原式=1﹣（1）4，=1﹣4，=﹣2．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算．6．16x -<≤【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集．【详解】247412x x xx -<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②解不等式①得：1x >-，解不等式②得：6x ≤，∴不等式组的解集为：16x -<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．7．(1)见解析；(2)m=-1,-3.【分析】（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．【详解】解:（1）∵m≠0，∴方程mx 2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵x=()()332m m m--±+，∴x 1=-3m，x 2=1，∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．8．(1)见解析(2)AP ，CQ ，三角形中位线定理【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【详解】（1）解：直线PQ 如图所示；（2）证明：∵AB AP CB CQ ==，，∴PQ l ∥（三角形中位线定理）．故答案为：AP CQ ，，三角形中位线定理．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．边衬的宽度应设置为10厘米【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设边衬的宽度设置为x 厘米，由题意得：8220.61502x x+=+，解得：10x =，经检验：10x =是原方程的解，答：边衬的宽度应设置为10厘米．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．10．(1)见解析(2)4.8【分析】（1）根据垂直的定义得到90DEC FEC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到CF CD =，推出四边形ABFC 是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，根据全等三角形的性质得到AH DE =，根据三角形的面积公式得到AB AC AH BC⋅=．于是得到结论．【详解】（1）证明：∵DE BC ⊥，∴90DEC FEC ∠=∠=︒，在DEC 与FEC 中，DE EF DEC FEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS DEC FEC ≅（）△△，∴CF CD DCE FCE =∠=∠，，∵ABC BCD ∠=∠，∴ABC FCE ∠=∠，∴AB CF ，∵AB CD =，∴CF AB =，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵6810AB AC BC ===，，，∴242AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，∴四边形ABFC 是矩形；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，∴90AHB DEC ∠=∠=︒，在ABH 与DCE △中，∵ABH DCE AHB DEC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AAS ABH DCE ≅（）△△，∴AH DE =，∵1122ABC S AB AC AH BC =⋅=⋅△，∴68 4.810AB AC AH BC⋅⨯===．∴ 4.8DE AH ==．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得ABH DCE ≅△△是解题的关键．11．(1)()33，(2)5k ≤-或53k ≥【分析】（1）将点()1A m -，代入2y x =-+，求出m ，得到点A 的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B 的坐标；（2）分别求出直线l ：2y kx =-过点()13A -，、点33B （，）时k 的值，再结合函数图象即可求出b 的取值范围．【详解】（1）解：∵点()1A m -，是直线2y x =-+上一点，∴()123m =--+=．∴点A 的坐标为()13-，．∴点()13-，向右平移4个单位长度得到点B 的坐标为()33，．（2）当直线l ：2y kx =-过点()13A -，时，得32k =--，解得5k =-．当直线l ：2y kx =-过点()33B ，时，得332k =-，解得53k =．如图，若直线l ：()22y kx k =-≠与线段AB 有公共点，则5k ≤-或53k ≥．【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B 的坐标是解题的关键．12．(1)91(2)乙，甲(3)50【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均数，中位数，方差判断即可；（3）先求出抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分的人数，然后用样本估计总体即可求解．【详解】（1）解：由乙校区学生成绩的频数分布直方图知：9095x ≤<有4人，95100x ≤<有7人，∴乙校区抽取20名学生的竞赛成绩的中位数在9095x ≤<，又乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是：91，91，92，94，∴中位数为91+91=912m =，故答案为：91；（2）解：∵甲、乙两校区的平均数都是89.3，而甲校区的中位数88.5小于乙校区的中位数91，∴对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校，∵甲校区的方差42.6小于乙校区的方程87.2，∴甲校区的成绩更整齐，故答案为：乙，甲；（3）解：∵抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分，∴两校区不低于95分共有()20+2030%=12⨯人，又抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有7人，∴抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有1275-=人，∴估计甲校区被选中人数有52005020⨯=人．【点睛】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．13．(1)1(2)见解析(3)3，13【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离；（2）直接描点可得图象；（3）求出y 与x 的关系式，把代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程．【详解】（1）解：由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1m ，故答案为：1；（2）如图，（3）由（2）得，y 与x 是一次函数关系，设y kx b =+，把()()0142，，，代入得142b k b =⎧⎨+=⎩，解得141k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y 与x 的关系式为114y x =+，当6x =时，53m 2y =≈；设水流轨迹263w a x =-+（），把（0，1）代入得118a =-，∴216318w x =--+（），当0=w 时，636x =±，负值舍去，∴63613(m)x =+≈∴水流的射程为13m ．故答案为：3，13．【点睛】本题考查二次函数的实际应用、一次函数的应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键．14．(1)(,)t t -(2)①2；②21t <-或32t >．【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；（2）①先确定出当x t =时，1y 的最小值为t ，进而求出t ，再判断出当2x t =+时，1y 取最大值，即可求出答案；②先由12y y <得出2121()(2)0x x x x t -+->，最后分两种情况，利用112t x t -≤≤+，21x t =-，即可求出答案．此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．【详解】（1）解：2222()y x tx t t x t t =-+-=-- ，∴抛物线的顶点坐标为(,)t t -；（2）解：①2222()y x tx t t x t t =-+-=-- ，∴抛物线的对称轴为x t =，10> ，∴抛物线开口向上，112t x t -≤≤+ ，∴当x t =时，1y 的最小值为t -，1y 的最小值是2-，2t ∴=，|1|1t t --= ，|2|2t t +-=，∴当2x t =+时，21(2)4422y t t t t =+--=-=-=最大，即1y 的最大值为2；② 点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在抛物线2()y x t t =--上，211()y x t t ∴=--，222()y x t t =--，对于1x ，2x ，都有12y y <，22222121212121()()()()()(2)0y y x t t x t t x t x t x x x x t ∴-=----+=---=-+->，∴21212121002020x x x x x x t x x t ->-<⎧⎧⎨⎨+->+-<⎩⎩或，Ⅰ、当2121020x x x x t ->⎧⎨+->⎩①②时，由①知，21x x >，112t x t -≤≤+ ，21x t =-，12t t ∴->+，12t ∴<-，由②知，212x x t +>，112t x t -≤≤+ ，21x t =-，2103x x ∴≤+≤，20t ∴<，0t ∴<，即21t <-；Ⅱ、当2121020x x x x t -<⎧⎨+-<⎩时，由210x x -<得：21x x <，112t x t -≤≤+ ，21x t =-，11t t ∴-<-，1t ∴>，由2120x x t +-<知，212x x t +<，112t x t -≤≤+ ，21x t =-，2103x x ∴≤+≤，23t ∴>，32t ∴>，即32t >；即满足条件的t 的取值范围为21t <-或32t >．15．(1)DP BC⊥(2)①见解析；②BF DF =．证明见解析【分析】（1）根据ADE V 是等腰直角三角形，可得AD ED =，由P 为AE 的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到DP AE ⊥；进一步证得AE BC ∥，得出DP BC ⊥；（2）①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得45BAE CAD BAC DAE ∠+∠=∠-∠=︒，即可证明结论；②延长CP 至G ，使PG DP =，连接AG BG ，，利用SAS 证明APG APD BAG CAD ≌，≌，可得BGC APG ∠=∠，进而可得PF BG ∥，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论．【详解】（1）解：∵ADE V 是等腰直角三角形，90ADE ∠=︒，∴AD ED =，∵P 为AE 的中点，∴DP AE ⊥；又∵ADE V 和ABC V 都是等腰直角三角形，∴45EAD ABC ∠=∠=︒，∴AE BC ∥，∴DP BC ⊥；（2）①补全图形如图2所示；证明：∵ADE V 和ABC V 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=︒，∴45DAE AD ED ∠=︒=，，∵P 为AE 的中点，∴45ADP EDP ∠=∠=︒，∴45BAE CAD BAC DAE ∠+∠=∠-∠=︒，∵45CAD ACP ADP ∠+∠=∠=︒，∴BAE ACP ∠=∠；②BF DF =．证明如下：如图3，延长CP 至G ，使PG PD =，连接BG BG ，，∵ADE V 是等腰直角三角形，90ADE ∠=︒，∴45AD DE DAE =∠=︒，，∵P 为AE 的中点，∴90APD APG AP DP PG ∠=∠=︒==，，∴SAS APG APD ≌（），∴45AG AD PAG DAE AGP =∠=∠=∠=︒，，∴90GAD BAC ∠=∠=︒，∴90BAG BAD CAD BAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAG CAD ∠=∠，∵AG AD AB AC ==，，∴SAS BAG CAD ≌（），∴180135AGB ADC ADP ∠=∠=︒-∠=︒，∴90BGC AGB AGP ∠=∠-∠=︒，∴BGC APG ∠=∠，∴PF BG ∥，∴1DF DP BF PG==，∴BF DF =．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．16．(1)1C ，2C (2)25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭或41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)5b >或4b <-【分析】（1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可；（2）分90ABP ∠=︒和90BAP ∠=︒两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；（3）画出图象，分0b >和0b <两种情况，分别求出其临界值，从而得到b 的取值范围．【详解】（1）解：1(02)C -，，则132AC AB =>=，且ABC V 为直角三角形，故1C 是线段AB 的“从属点”；2(22)C ，，则22AC AB ==，且ABC V 为直角三角形，故2C 是线段AB 的“从属点”；3(1,0)C ，则AB 不是直角边，故3C 不是线段AB 的“从属点”；4(0,3)C ，则42AC AB ==，故4C 不是线段AB 的“从属点”；综上：线段AB 的“从属点”是1C ，2C （2）解：设点P 的坐标为(),23a a --，点P 为线段AB 的“从属点”，①90ABP ∠=︒时，由题意可知：1OA OB ==，∴OAB △为等腰直角三角形，∴45ABO ∠=︒，∴45OBP ∠=︒，过点P 作PF y ⊥轴，垂足为F ，BP 交y 轴于点E ，可知OBE △和PEF !为等腰直角三角形，∴1OE OB ==，PF EF a ==-，∴1OF a =-，则123a a -=+，解得：23a =-，∴点P 的坐标为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时AP AB >；②90BAP ∠=︒时，过点P 作PG x ⊥轴，垂足为G ，AP 交x 轴于点H ，同理可知：45OAP AHO PHG ∠=︒=∠=∠，∴AOH △和PHG 为等腰直角三角形，∴1AO HO ==，23PG HG a ==+，∴24OG a =+，则24a a --=，解得：43a =-，∴点P 的坐标为41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时AP AH HP AB =+>；综上，点P 的坐标为：25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭或41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）解：如图，AC AE AB==由“从属点”的定义可知：线段AB 的从属点在射线1CC ，1EE ，BD 上，当0b >时，当点B 和原点重合时，若要满足线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，则点C 在线段MN 上此时点1(1,1)C -，代入4y x b =+，得：5b =从而当5b >时，总能找到点B ，满足条件，故5b >当0b <时，若要满足线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，如图，当点E 和M 重合时，AB AE= ABE ∴ 为等腰直角三角形可得：1AO EO ==，即(1,0)E ，代入4y x b =+，得：4b =-而当4b >-时，四条射线1CC 、1DD 、1EE 、1FF 无法与线段MN 产生两个交点，从而当4b <-时，总能找到点B ，满足条件，故4b <-综上，b 的取值范围是：5b >或4b <-【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行数形结合分析．。

北京市清华附中2023-2024学年九年级上学期9月开学考数学试题

北京市清华附中2023-2024学年九年级上学期9月开学考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．15．点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数合条件的整数a 的值．16．21C 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列）（a b c >>，且,,a b c 均为正整数）下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮小菲a小冬小敏b根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为(1)求证：四边形BECF 是平行四边形；(2)若90,4,3AEC AE CE ∠=︒==，当21．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为解答过程补充完整：解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量3+个搬运工的体重和条形石的重量+1个搬运工的体重，所以①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：②解这个方程得，x =______．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______．个搬运工的体重④最终可求得：大象的体重为______斤．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点((1)求抛物线的顶点坐标；(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为24．某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工b．A部门每日餐余重量在68x≤<这一组的是：6.1c．B部门每日餐余重量如下：第1周 1.4 2.8 6.97.8 1.9②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______m ，并求y 与x 满足的函数解析式；③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系()23 4.25y a x =-+，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d _____5（填“>”，“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()22220y mx m x m =-+≠与y 轴交于点A ，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B ．(1)求B 点的横坐标（用含m 的式子表示）；(2)已知点(22)(02)P m Q m ++，，，，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．27．如图1，E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点（不与B ，D 重合），F 为DE 中点，作EG BC ⊥于G ，连接AF ，FG ．(1)直接写出线段AF 与FG 的数量关系和位置关系，不必证明；(2)将BEG 绕点B 逆时针旋转α（090α︒<<︒）．①如图2，若045α︒<<︒，（1）中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；②如图3，若4590α︒<<︒，连接AE 且满足AE EG ⊥，直接用等式表示线段EA ，AF ，EG 之间的数量关系，不必证明．28．在平面直角坐标系中，对于点(),P a b ，(),Q c d ，当0c ≥时，将点P 向右平移c 个单位，当0c <时，将点P 向左平移c -个单位，得到点P '，再将点P '关于直线y d =对称得到点M ，我们称点M 为点P 关于点Q 的跳跃点．例如，如图1，已知点()1,3P ，()3,2Q ，点P 关于点Q 的跳跃点为()41M ，．(1)已知点()31A ，，()22B ，，①若点C 为点A 关于点B 的跳跃点，则点C 的坐标为______．②若点A 为点B 关于点C 的跳跃点，则点C 的坐标为______．(2)已知点D 在直线2y x =上，点D 的横坐标为m ，点E 的坐标为()03m ，．①点K 为点E 关于点D 的跳跃点，若DKO △的面积为4，直接写出m 的值；②点E 向上平移1个单位得到点F ，以EF 一边向右作正方形EFGH ，点R 为正方形EFGH 的边上的一个动点，在运动过程中，直线2y x =上存在点D 关于点R 的跳跃点，请直接写出m 的取值范围．。

北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷

北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷2019北京清华附中初三（上）开学考试数学一、选择题(本题共24分，每小题3分)1.下列四组数可作为直角三角形三边长的是A.4cm、5cm、6cmB.1cm、2cm、3cmC.2cm、3cm、4cmD.1cm、√2cm、√3cm2,己知△ABC(如图1),按照图2图3所示的尺规作图痕迹，(不需要借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、下列各图象中，不是y关于x的函数的是4、甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s, 10次测试成绩的方差如下表，则这四个人中发挥最稳定的是选手甲乙丙丁方差（S2）0.020 0.019 0.021 0.0225、在平面直角坐标系中，将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线得表达式为A.y=?2(x+1)2+2B. y=?2(x+1)2?2C. y=?2(x?1)2+2D. y=?2(x?1)2?26.缺题7、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1,0)，点C的坐标是(2，4)则B的长A.6B.3√3C.5D.4√28.2018年我国科技实力进一步增加，嫦娥探月、北斗组网、航母测试、鲲龙击水、港珠澳大桥的正式通车……。

这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入，下图是2014年—2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出及增长速度情况。

2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出为19657亿元，比上年增长11.6%，其中基础研究经费1118亿元。

根据统计图提供的信息，下列说法中合理的是A.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出的增长速度始终在增加B.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长速度最快的年份是2017年C. 2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长最多的年份是2017年D.2018年，基础研究经费约占该年研究与试验发展(R&D)经费支出的10%二、填空题(本题共24分，每小题3分)9.如果关于x 的方程x 2-3x-2k=0没有实数根，则k 的取值范围为 . 10.若直线y=2x+1下移后经过点((5,1)，则平移后的直线解析式为.11.如图是二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=12，抛物线与x 轴的交点为A 、B ，则A,B 两点的距离是.12.己知一组据1，4,a,3,5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是. 13.若二次函数y=a x 2-bx+5(a ≠5)的图象与x 轴交于(1,0)，则b-a+2014的值是 . 14.如图，正方形AOCB 的顶点C,A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线。

北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A 3B 0.5C 12D 32．如图，ABCD 中，25B ∠=︒，则A ∠=（）A ．50︒B ．65︒C ．115︒D ．155︒3．下列计算正确的是（）A 2810B ．2222-=C 284=D 824=4．用配方法解方程2430x x --=，则配方正确的是（）A ．2(2)1x -=B ．2(2)1x +=C ．2(2)7x -=D ．2(2)7x +=5．已知一次函数2y x =-+，那么下列结论正确的是（）A ．y 的值随x 的值增大而增大B ．图象经过第一、二、三象限C ．图象必经过点()0,2D ．当2x <时，y <06．某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（）A ．8分B ．8.1分C ．8.2分D ．8.3分7．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）A ．()2500016600x +=B ．2 50006600x =C ．()2660015000x -=D ．()()250001500016600x x +++=8．如图1，动点P 从点A 出发，在边长为1的小正方形组成的网格平面内运动．设点P 经过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d ，已知d 与s 的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P 的运动路线的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知2x =是关于x 的一元二次方程250x bx +-=的一个根，则b 的值是．10．已知点1(1,)A y ，2(4,)B y 在直线21y x =-上，比较1y 与2y 的大小：1y 2y ．（填“>”，“=”或“<”）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点23A （，），以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点B ，则点B 的横坐标为．12．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 边CD 的中点，连接OE ．若AC =2BD =，则OE 长为．13．甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则这两地中6月上旬日平均气温的方差较小的是．（填“甲”或“乙”）14．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行测试，设汽车的刹车距离为s （单位：m ），车速为v （单位：km/h ），根据测得的数据，s 与v 的函数关系如图所示，（1）若该款汽车某次测试的刹车距离为50m ，估计该车的速度约为km/h ；（2）在测试中发现该款汽车在车速达到某一数值时，其刹车距离的数值恰好是车速数值的13，则此时的车速约为km/h （结果取整数）．三、解答题15．（1（2）解方程：2450x x --=．16．如图，在ABCD 中，点E F ，分别在AB ，CD 上，且BE DF =．求证：AF CE =．17．下面是小茜设计的“作一个已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，AOB ∠．求作：射线OP ，使得OP 平分AOB ∠．作法：如图2，①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧交射线OB 于点D ；②分别以点C ，D 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧交于点P （异于点O ），连接PC 和PD ；③作射线OP ．所以射线OP 平分AOB ∠．根据小茜设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理依据．证明：∵OC OD PC ===，∴四边形OCPD 是（），∴OP 平分AOB ∠（）．18．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数122y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B．(1)求A、B两点的坐标；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；(3)结合图象直接写出当0y>时，x的取值范围．19．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．(1)判断ACD的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD的面积．20．抛物线()2y a x h =+的对称轴是直线2x =-，且过点()1,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？21．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k +-=-．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．22．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC BC ⊥，点E 是BC 延长线上一点，且CE BC =，连接DE ．(1)求证：四边形ACED 为矩形；(2)连接OE ，若32BC DE ==，，求OE 的长．23．2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，某校准备以此为契机，开展一次“普及航天知识，弘扬航天精神”的科普讲座.为了获悉学生对航天知识的了解程度，讲座前学校从七、八两个年级各随机抽取名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a.七年级名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x≤<，≤<，6070xx≤≤）：x≤<，90100x≤<，80907080b.七年级成绩在7080x≤<这一组的是：70717172727374757677787979c.七、八两个年级成绩的平均分、中位数如下：年级平均分中位数七73.8m八73.874.5根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为1p.在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为2p.比较1p，2p的大小，并说明理由；(3)假设该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数.24．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()()1,52,2，-．(1)求该函数的表达式；(2)当x m >时，对于x 的每一个值，函数2y x =+的值大于函数()0y kx b k =+≠，直接写出m 的取值范围．25．如图，正方形ABCD 中，点P 在边AD 上，连接DE ，使DE DC =，交CE 于点N ，连接AE AN BN 、、．(1)依题意补全图形；(2)判断ANE 的形状，并证明；(3)用等式表示线段AN BN CN 、、三者之间的数量关系，并证明．26．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（-2，3），D（1，3），E（1，0），F（-2，0）（1）点A（2,0），①点A和原点的中间点的坐标为；②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；（2）点B为直线y=2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．。

2021-2022学年北京市海淀区清华附中九年级(上)统练数学试卷(一)

2021-2022学年北京市海淀区清华附中九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共16分）1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线2．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5，13．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．y的最小值为﹣3C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．图象的对称轴在y轴的右侧4．已知抛物线y=12（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3 5．比较A组、B组中两组数据的平均数及方差，以下说法正确的是（）A．A组、B组平均数及方差分别相等B．A组、B组平均数相等，B组方差大C．A组比B组的平均数、方差都大D．A组、B组平均数相等，A组方差大6．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1cm B．2cm C．√3cm D．2√3cm8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，共16分）9．一元二次方程x（x+2）＝0的根为．10．如图，△AOB与△COD关于公共顶点O成中心对称，连接AD、BC，添加一个条件，使四边形ABCD成为菱形．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：x……0123……y……﹣5﹣5﹣9﹣17……则该函数的对称轴为．12．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C'在同一条直线上，则旋转角的度数是．13．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是．14．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE 的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为．16．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是．三、计算题（本大题共6小题，共30分）17．解方程：2x2+3x＝3．18．如图，已知△ABC：（1）AC的长等于；（2）若将△ABC向右平移2个单位得到△A'B'C'，则A点的对应点A'的坐标是；（3）若将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是；（4）在图中画出第（2）问中△A'B'C'或第（3）问中△A1B1C1的图形．19．如图，在△ABC中，∠C＝40°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，连接BD．当DE∥AC时，求∠ABD的度数．20．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？21．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．已知：在△ABC 中，∠C ＝90°．求作：△ABC 的中位线DE ，使点D 在AB 上，点E 在AC 上．作法：如图，①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，与AB 交于点D ，与AC 交于点E ．所以线段DE 就是所求作的中位线．根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接P A ，PC ，QA ，QC ，DC ， ∵P A ＝PC ，QA ＝，∴PQ 是AC 的垂直平分线（）（填推理的依据）． ∴E 为AC 中点，AD ＝DC ． ∴∠DAC ＝∠DCA ，又在Rt △ABC 中，有∠BAC +∠ABC ＝90°，∠DCA +∠DCB ＝90°． ∴∠ABC ＝∠DCB （）（填推理的依据）． ∴DB ＝DC ． ∴AD ＝BD ＝DC ． ∴D 为AB 中点．∴DE 是△ABC 的中位线．22．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +2k +1＝0．（1）求证方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为x ＝4，求k 的值，并求出此时方程的另一根．四、解答题（本大题共6小题，共38分）23．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．24．已知抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的表达式．（2）设P是该抛物线上的动点，当△P AB的面积等于△ABC的面积时，直接写出P点的坐标．25．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到分的学生才可以入选．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．（1）抛物线的对称轴为直线；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．（1）如图1，当点E在线段CD上时，①依题意补全图形；②求证：点G为BF的中点；（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．如图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点C，B的“伴随矩形”的面积为；（2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，并求出直线ON 的函数解析式；②当正方形的对角线长度为3√2时，原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值和最小值分别为m和n，则m＝，n＝．。

2022-2023学年北京清华附中九年级上学期开学考数学试题及答案

清华附中2023届初三数学模拟卷一、选择题（共24分，每题3分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2. 在实数范围内有意义，则x 的值可以为（）A. 0B. 1C. 2D. 43. 如图，ABCD Y 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD Y 的周长为28，则ABE ∆的周长为（）A. 28B. 24C. 21D. 144. 如图，一次函数1y x =+与y kx b =+的图象交于点P ，则不等式1x kx b +>+的解集为（）A. 1x >B. 1x <C. 2x >D. 2x <5. 2022年将在北京-张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关课程．如表记录了某校的4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差2s ：队员1队员2队员3队员4平均数x (秒)51505150方差2s (秒2)3.53.514.515.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )A. 队员1B. 队员2C. 队员3D. 队员46. 甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算．走得最快的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D EF 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF 的面积是（）A. 1B.12C.13D.148. 下面三个问题中都有两个变量：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x ；②将水箱中水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ；的的③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ，其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D.①②③二、填空题（共24分，每题3分）9. 二次函数()=-+2y 2x 31的顶点坐标是______________．10. 一组数据3，6，8，a ，8，3的平均数是6，则这组数据的众数是_____．11. 如图所示，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP 绕点B 按顺时针方向旋转能与CBP ' 重合，若3PB =，则PP '=__________12. 若点()11,A y -，()22,B y 在抛物线22y x =上，则1y ，2y 的大小关系为：1y _____2y （填“＞”，“=”或“＜”）．13. 已知P （x 1，1），Q （x 2，1）两点都在抛物线y ＝x 2﹣4x +1上．那么x 1+x 2＝_____．14. 在Rt ABC △中，斜边AC 上的中线和高分别是6和5，则ABC 的面积S =_____________．15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 2,0（-），点B 0,1（）．将线段BA 绕点B 旋转180°得到线段BC ，则点C 的坐标为__________．16. 某同学将如图所示的三条水平直线123,,m m m 的其中一条记为x 轴(向右为正方向)，三条竖直直线456,,m m m 的其中一条记为y 轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了二次函数221(0)y ax ax a =-+<的图象，那么所选择的x 轴为直线_______．三、解答题（本题共72分，第17-18题，每小题5分，第19-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分，解答应写出文字说明、演算步骇或证明过程）17. 解方程：230x x +-=．18. 已知1x =-，求代数式2(2)(1)x x x +++的值．19. 已知：如图，ABC ．求作：直线AD ，使AD BC ∥．作法：①以点A 为圆心，BC 长为半径画弧；②以点C 为圆心，AB 长为半径画弧；③两弧相交于点D ，且点D 与点B 在直线AC 的异侧；④作直线AD ．如图，直线AD 就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依据以上作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD ，∵AD =______，CD =___________∴四边形ABCD 是平行四边形．（________________）（填推理的依据）∴AD BC ∥．（_________________）（填推理的依据）20. 已知关于x 的一元二次方程2(2)20x k x k -++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．21. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与函数y x =的图象平行，且该一次函数图象经过点()0,1．（1）求这个一次函数解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数2y x n =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．22. 在学校开展的课外阅读活动中，某届学生的人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，求该校七年级至九年级人均阅读量的平均增长率．23. 如图，已知四边形ABCD 中，CD AB ∥且CD CB =，连接BD ，过C 作CO BD ⊥于O ，延长CO 交AB 于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形BCDE是菱形；的（2）若5,6AE BE AD ===，求BD 的长．24. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n 名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x 表示）：A ：7075x ≤<，B ：7580x ≤<，C ：8085x ≤<，D ：8590x ≤<，E ：9095x ≤<，F ：95100x ≤≤，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩D 组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．请根据以上信息，完成下列问题：（1）n =_________，=a _________﹔（2）八年级测试成绩的中位数是_________________﹔（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请通过计算，估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生各有多少人．25. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x 米，距地面的竖直高度为y 米，获得数据如表：x （米）0.0 1.0 2.0 3.0 4.5y （米）1.84.25.04.20.0小明根据学习函数的经验，对函数随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（2）水流的最高点距喷水枪的水平距离为_________米；（3）结合函数图象，解决问题：若公园准备在距喷水枪水平距离为3.5米处加装一个石柱，使该喷水枪喷出水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_________米．（精确到0.1米）26. 平面直角坐标系中，直线1322y x =-与x 轴交于点A ，抛物线2y ax bx =+过点A ，（1）求a 与b 的关系：（2）点()1,B m 在直线1322y x =-上，将点B 向左移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，90,ACB CA CB ∠=︒=，点P 为ABC 内一点，连接AP BP CP ，，，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CP '，连接,PP AP ''（1）用等式表示AP '与BP 的数量关系，并证明；（2）当135APB ∠=︒时，①直接写出P AP ∠'的度数为_______；②若M 为AB 的中点，连接PM ，依题意补全图形，用等式表示PM 与PP '的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对任意两点()()1122,,,M x y N x y ，我们称1212x x y y +++，为点M 与点N 的“绝对和”，记作(),S M N ．已知点()1,0P．的（1）在点()()231310,2,1,1,,22Q Q Q ⎛⎫⎪⎝-⎭-中，与点P 的“绝对和”为1的点是_______；（2）若直线2y x b =-+上恰好有两个点与点P 的“绝对和”等于1，求b 的取值范围：（3）已知点()2,3R --，正方形ABCD 顶点坐标分别为()()()()1,1,1,1,1,1,1,1A t B t C t D t -+---+．若线段PR 上存在点E ，正方形ABCD 上存在点F ，使得(),2S E F =，直接写出t 的取值范围．清华附中2023届初三数学模拟卷一、选择题（共24分，每题3分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．2. 在实数范围内有意义，则x的值可以为（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可；【详解】解：由题意得：30x -≥，解得: 3x ≥，则 x 的值可以是4 ，故选：D【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键3. 如图，ABCD Y 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD Y 的周长为28，则ABE ∆的周长为（）A. 28B. 24C. 21D. 14【答案】D 【解析】【分析】根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，AB CD =，AD BC =，∵平行四边形的周长为28，∴14AB AD +=∵OE BD ⊥，∴OE 是线段BD 的中垂线，∴BE ED =，∴ABE ∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=，故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.4. 如图，一次函数1y x =+与y kx b =+的图象交于点P ，则不等式1x kx b +>+的解集为（）A. 1x >B. 1x <C. 2x >D. 2x <【答案】A 【解析】【分析】观察函数图象得到当1x >时，函数1y x =+的图象都在y kx b =+的图象上方，所以关于x 的不等式1x kx b +>+的解集为1x >．【详解】解：当1x >时，函数1y x =+的图象都在y kx b =+的图象上方，则1x kx b +>+，即不等式1x kx b +>+的解集为1x >．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是由函数的图象在平面直角坐标系内的高低位置来确定自变量的取值范围，掌握数型结合是解题的关键．5. 2022年将在北京-张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差2s ：队员1队员2队员3队员4平均数x (秒)51505150方差2s (秒2)3.53.514.515.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )A. 队员1 B. 队员2 C. 队员3 D. 队员4【答案】B 【解析】【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定．故选B．【点睛】题目主要考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6. 甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算．走得最快的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】【分析】根据图象，先比较甲、乙的速度；然后再比较丙、丁的速度，进而在比较甲、丁的速度即可．【详解】乙在所用时间为30分钟时，甲走的路程大于乙走的路程，故甲的速度较快；丙在所用时间为50分钟时，丁走的路程大于丙走的路程，故丁的速度较快；又因为甲、丁在路程相同的情况下，甲用的时间较少，故甲的速度最快，故选A【点睛】本题考查了从图象中获取信息的能力，正确的识图是解题的关键．D E F分别是AB，BC，CA的中点，则7. 如图，面积为1的等边三角形ABC中，,,的面积是（）DEFA. 1B. 12C.13D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14．【详解】∵,,D E F分别是AB，BC，CA的中点,且△ABC是等边三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是14．故选D．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．8. 下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D.①②③【答案】A【解析】【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故②可以利用该图象表示；③设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x -，则矩形的面积为：21122y L x x x Lx ⎛⎫=-⋅=-+⎪⎝⎭，故③不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①②，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．二、填空题（共24分，每题3分）9. 二次函数()=-+2y 2x 31的顶点坐标是______________．【答案】()31，【解析】【分析】根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为()=-+2y 2x 31，∴二次函数()=-+2y 2x 31的顶点坐标为()31，，故答案为：()31，．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的顶点坐标为()h k ，是解题的关键．10. 一组数据3，6，8，a ，8，3的平均数是6，则这组数据的众数是_____．【答案】8【解析】【分析】由题意先根据平均数的计算方法求出a ，然后根据众数的定义求解即可．【详解】解：根据题意得（3+6+8+a+8+3）＝6×6，解得a ＝8，则这组数据为3，3，6，8，8，8的平均数为6，所以这组数据的众数是8．故答案为：8．【点睛】本题考查众数以及平均数的定义，熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．11. 如图所示，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP 绕点B 按顺时针方向旋转能与CBP ' 重合，若3PB =，则PP '=__________【答案】【解析】【分析】首先根据正方形的性质得到90ABC ∠=︒，再根据旋转的性质得90ABC PBP '∠=∠=︒，3BP BP '==，则BPP ' 为等腰直角三角形；然后根据等腰直角三角形的性质，运用勾股定理求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC ∠=︒．∵ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与CBP ' 重合，∴ABP CBP '≌ ，∴ABP CBP '∠=∠，BP BP '=，∴90ABC PBP '∠=∠=︒，3BP BP '==，∴BPP ' 是等腰直角三角形，∴222BP BP PP ''+=，∵3PB =，∴PP '=所以PP '等于故答案为：【点睛】本题是有关旋转的性质的题目，关键涉及到了正方形与等腰直角三角形的性质．12. 若点()11,A y -，()22,B y 在抛物线22y x =上，则1y ，2y 的大小关系为：1y _____2y （填“＞”，“=”或“＜”）．【答案】<【解析】【分析】分别求出1y ，2y 的值，再比较大小即可．【详解】解：∵点()11,A y -，()22,By 在抛物线22y x =上，∴()212212248y y =⨯-==⨯=，，∴12y y <．故答案为：<.【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．13. 已知P （x 1，1），Q （x 2，1）两点都在抛物线y ＝x 2﹣4x +1上．那么x 1+x 2＝_____．【答案】4【解析】【分析】根据P 、Q 两点坐标可知，P 、Q 两点关于对称轴对称，根据轴对称的性质求解即可．【详解】解：P （x 1，1），Q （x 2，1）两点都在抛物线y ＝x 2﹣4x +1上，纵坐标相等，∴P 、Q 两点关于对称轴x =2对称，∴x 1+x 2=4，故答案为：4．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P 、Q 两点关于对称轴对称求解．14. 在Rt ABC △中，斜边AC 上的中线和高分别是6和5，则ABC 的面积S =_____________．【答案】30【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边长为6212⨯=，再根据三角形的面积公式可得答案；【详解】∵Rt ABC △ 中，斜边上的中线为 6 ，∴斜边长为 6212⨯=，∵斜边上的高为 5 ，∴ABC 的面积为： 1125302´´=，故答案为：30【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 2,0（-），点B 0,1（）．将线段BA 绕点B 旋转180°得到线段BC ，则点C 的坐标为__________．【答案】（2，2）【解析】【分析】根据旋转性质可得出点B 是A 、C 的中点，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，利用相似三角形的判定与性质求得OD 和CD 即可求解．【详解】解：∵点A -2,0（），点B 0,1（），∴OA =2，OB =1，由旋转性质得：AB=BC ，即点B 是A 、C 的中点，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则CD ∥OB ，∴△AOB ∽△ADC ，∴12OA OB AB AD CD AC ===，∴OD =2，CD =2，∴点C 坐标为（2，2），故答案为：（2，2）．【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．16. 某同学将如图所示的三条水平直线123,,m m m 的其中一条记为x 轴(向右为正方向)，三条竖直直线456,,m m m 的其中一条记为y 轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了二次函数221(0)y ax ax a =-+<的图象，那么所选择的x 轴为直线_______．【答案】2m 【解析】【分析】由已知求得顶点坐标为()1,1a -，再结合a<0，即可确定坐标轴的位置．【详解】解：∵()222111y ax ax a x a =-+=-+-，∴顶点坐标为()1,1a -，∵a<0，∴抛物线与5m 的交点为顶点，∴4m 为y 轴，∵二次函数221y ax ax =-+与y 轴交点为()0,1，且11a ->，∴2m 为x 轴，故答案为：2m ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键．三、解答题（本题共72分，第17-18题，每小题5分，第19-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分，解答应写出文字说明、演算步骇或证明过程）17. 解方程：230x x +-=．【答案】12x x ==【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程即可．【详解】解：1,1,3a b c ===- 2411213b ac ∴∆=-=+=x ∴==12x x ∴==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的关键．18.已知1x =-，求代数式2(2)(1)x x x +++的值．【答案】5【解析】【分析】先去括号，再合并同类项，然后把1x =-代入化简后的式子进行计算即可解答；详解】解： 2(2)(1)x x x +++的【22221x x x x =++++2241,x x =++1x =- 2(2)(1)x x x +++∴()22241211x x x =++=+-)22111=-+-5=【点睛】本题考查了整式混合运算和化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键.19. 已知：如图，ABC ．求作：直线AD ，使AD BC ∥．作法：①以点A 为圆心，BC 长为半径画弧；②以点C 为圆心，AB 长为半径画弧；③两弧相交于点D ，且点D 与点B 在直线AC 的异侧；④作直线AD ．如图，直线AD 就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依据以上作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD ，∵AD =______，CD =___________∴四边形ABCD 是平行四边形．（________________）（填推理的依据）∴AD BC ∥．（_________________）（填推理的依据）【答案】（1）见详情；的（2）,BC AB ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行；【解析】【分析】（1）根据题意画图即可；（2）证明四边形ABCD 是平行四边形，可得结论；【小问1详解】如图，直线AD 即为所求：【小问2详解】证明：连接CD ，∵AD BC =，CD AB =,∴四边形ABCD 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，∴AD BC ∥ (平行四边形的对边平行)，故答案为：,BC AB ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行；【点睛】本题考查作图-基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型20. 已知关于x 的一元二次方程2(2)20x k x k -++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．【答案】（1）见详解；（2）1k <【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 2(2)0k =-≥∆，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出12x =-、2x k =-, 根据方程有一根小于1 ，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；【小问1详解】证明：∵在方程 2(2)20x k x k -++=中，222[(2)]41(2)44(2)0k k k k k ∆=-+-⨯⨯=-+=≥-，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】∵2(2)2(2)()0x k x k x x k -++=--=，∴122,x x k ==，∵方程有一根小于 1 ，∴1k <，∴k 的取值范围为 1k <；【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是（1）牢记“当 0∆≥ 时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1 ，找出关于k 的一元一次不等式21. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与函数y x =的图象平行，且该一次函数图象经过点()0,1．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数2y x n =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）1y x =+（2）0n >【解析】【分析】（1）先根据直线平移时 k 的值不变得出 1k =，再将点 ()0,1 代入 y x b =+，求出 b 的值，即可得到一次函数的解析式；（2）把 1x = 分别代入 2y x n =+和1y x =+根据题意即可解得；【小问1详解】∵一次函数 (0)y kx b k =+≠ 的图象由直线 y x = 平移得到，∴1k =，将点 ()0,1代入解得 1b =∴一次函数的解析式为 1y x =+；【小问2详解】把 1x = 分别代入 2y x n =+和1y x =+ 求得 2y n =+，或2y =∵当 1x > 时，对于 x 的每一个值，函数 2y x n =+的值大于一次函数 1y x =+ 的值， ∴22n +>0n ∴>；【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键22. 在学校开展的课外阅读活动中，某届学生的人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，求该校七年级至九年级人均阅读量的平均增长率．【答案】10%【解析】【分析】设该届学生七到九年级人均阅读量的年均增长率为x ，根据从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，列一元二次方程，求解即可．【详解】解：设该届学生七至九年级人均阅读量的年均增长率为x ，根据题意，得()21001121x +=，解得1210%210%x x ==-，(舍去)，答：该届学生七到九年级人均阅读量的年均增长率为10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立一元二次方程是解题的关键．23. 如图，已知四边形ABCD 中，CD AB ∥且CD CB =，连接BD ，过C 作CO BD ⊥于O ，延长CO 交AB 于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形BCDE 是菱形；（2）若5,6AE BE AD ===，求BD 的长．【答案】（1）见解析（2）10【解析】【分析】（1）根据三线合一可得DCO BCO ∠=∠，根据平行线的性质得出DCE CEB ∠=∠，进而可得BCE CEB ∠=∠，则BE BC =，结合已知条件可得即可得证；（2）证明四边形ADCE 是平行四边形，进而得出ADB 是直角三角形，勾股定理，即可求解．【小问1详解】证明： CD CB =，且CO BD ⊥，DCO BCO ∴∠=∠．CD AB ∥，DCE CEB ∴∠=∠．BCE CEB ∴∠=∠，BE BC ∴=．BE CD ∴=且CD AB ∥．∴四边形BCDE 是平行四边形．BC BE = ，∴平行四边形BCDE 是菱形．【小问2详解】平行四边形BCDE 是菱形，∴BE CD =，DB CE ⊥，∴5AE BE ==，∴AE CD =，CD AB ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，DB CE⊥∴BD AD ⊥，∴ADB 是直角三角形，6,210AD AB AE ===，∴8BD ===．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．24. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n 名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x 表示）：A ：7075x ≤<，B ：7580x ≤<，C ：8085x ≤<，D ：8590x ≤<，E ：9095x ≤<，F ：95100x ≤≤，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩D 组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．请根据以上信息，完成下列问题：（1）n =_________，=a _________﹔（2）八年级测试成绩的中位数是_________________﹔（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请通过计算，估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生各有多少人．【答案】（1）20，4（2）86（3）七年级对冬奥会关注程度高的学生有100人，八年级对冬奥会关注程度高的学生有150人．【解析】【分析】（1）根据八年级测试成绩D 组数据可得总人数n ，进而根据七年级频数直方图，求得a 的值，即可求解；（2）根据扇形统计图得出中位数在D 组第3个和第4个数据的平均数，进而即可求解；（3）分别用500乘以测试成绩不低于90分的人数的占比，即可求解．【小问1详解】解：∵八年级测试成绩D 组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88，共7个，扇形统计图中D 组占比为35%，则72035%n ==，∴()20263124a =----÷=，故答案为：20，4．【小问2详解】解：,,A B C 组的占比为5%5%20%35%++=，则,,A B C 共有7人，D 组的占比为35%，将D 组数据从小到大排列为：85，85，86，86，87，88，89，则中位数在D 组第3个和第4个数据的平均数即8686862+=，故答案为：86．【小问3详解】解：七年级对冬奥会关注程度高的学生有3150010020+⨯=（人）根据扇形统计图可得,E F 的占比为135%35%30%--=八年级对冬奥会关注程度高的学生有50030%150⨯=（人）答：七年级对冬奥会关注程度高的学生有100人，八年级对冬奥会关注程度高的学生有150人．【点睛】本题考查了频数分布直方图，求中位数，样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x 米，距地面的竖直高度为y 米，获得数据如表：x （米）0.0 1.0 2.0 3.0 4.5y （米） 1.8 4.2 5.04.20.0小明根据学习函数的经验，对函数随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（2）水流的最高点距喷水枪的水平距离为_________米；（3）结合函数图象，解决问题：若公园准备在距喷水枪水平距离为3.5米处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_________米．（精确到0.1米）【答案】（1）函数的图像见解析（2）2（3）3.2【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，用光滑的曲线顺次连接即可；（2）设抛物线的解析式为2+y ax bx c =+，利用待定系数法求出解析式，把抛物线的解析式化成顶点式，即可得到答案；（3）把 3.5x =代入（2）中求出的抛物线的解析式即可求得答案．【小问1详解】解：函数图象如图所示：【小问2详解】解：∵ 喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，∴设抛物线的解析式为2+y ax bx c =+，。

清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷(无答案)

2019北京清华附中初三（上）开学考试数学一、选择题(本题共24分，每小题3分)公众号：北京初高中数学1.下列四组数可作为直角三角形三边长的是A.4cm、5cm、6cmB.1cm、2cm、3cmC.2cm、3cm、4cmD.1cm、√2cm、√3cm2,己知△ABC(如图1),按照图2图3所示的尺规作图痕迹，(不需要借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、下列各图象中，不是y关于x的函数的是4、甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s, 10次测试成绩的方差如下表，则这四个人中发挥最稳定的是选手甲乙丙丁方差（S2）0.020 0.019 0.021 0.0225、在平面直角坐标系中，将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线得表达式为A.y=−2(x+1)2+2B. y=−2(x+1)2−2C. y=−2(x−1)2+2D. y=−2(x−1)2−26.缺题7、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1,0)，点C的坐标是(2，4)则B的长A.6B.3√3C.5D.4√28.2018年我国科技实力进一步增加，嫦娥探月、北斗组网、航母测试、鲲龙击水、港珠澳大桥的正式通车……。

这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入，下图是2014年—2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出及增长速度情况。

2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出为19657亿元，比上年增长11.6%，其中基础研究经费1118亿元。

2020-2021学年北京市海淀区清华附中九年级(上)统练数学试卷(4)(附答案详解)

2020-2021学年北京市海淀区清华附中九年级（上）统练数学试卷（4）1.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列说法正确的是()A. 直径是弦，弦是直径B. 圆有无数条对称轴C. 无论过圆内哪一点，都只能作一条直径D. 度数相等的弧是等弧3.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是()A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定4.⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为()A. a>bB. a≥bC. a<bD. a≤b5.用配方法解一元二次方程x2−6x−2=0以下正确的是()A. (x−3)2=2B. (x−3)2=11C. (x+3)2=11D. (x+3)2=26.如图平行四边形ABCD中，∠A=110°，AD=DC.E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF=()A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=2，∠ABO=60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE=60°时，EF的长为()A. 1B. √3C. 28.已知抛物线y=ax2+bx+m是由抛物线y=−x2+2x+2先关于y轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平移3个单位长度得到的，点Q1(−2.5,q1)、Q2(1,q2)都在物线y=ax2+bx+m上，则q1，q2的大小关系是()A. q1>q2B. q1=q2C. q1<q2D. 不能确定9.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB=40°，则∠AOD的大小为______度．10.已知关于x的方程x2+6x+a=0有一根为−2，则方程的另一根为______．11.如图，已知点A(0,1)，B(0,−1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于______度．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AC=AD，且∠DAC=50°，则∠B的度数为______．,10)，B(1,3)，则关于x 13.已知抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−52的方程ax2+bx=mx+n的解为______．14.如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为−1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1，则∠AOM的度数为______；点B1的纵坐标为______．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，点C是BD⏜中点．若AB=26，AD=10，则BC的长______．16.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．17.解方程：(x+1)2=5x+5．18.如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．19.如图，在△ABC中，∠C=40°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，连接BD.当DE//AC时，求∠ABD的度数．20.已知：关于x的方程x2+4x+2m=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．21.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y=ax2+2bx+2b−a(a≠0)．(1)当x=−1时，求y的值．(2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点(−1,0)，求b的值．22.如图，在Rt△ABO中，∠O=90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．(1)若∠A=25°，则弧BC的度数为______．(2)若OB=3，OA=4，求BC的长．23.已知一条抛物线分别过点(3,−2)和(0,1)，且它的对称轴为直线x=2，试求这条抛物线的解析式．24.如图，点A，B，C在⊙O上，BE//AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，AC平分∠BAD，连接AC．(1)求证：AD//CE；(2)连接EA，若BC=3，则当CD=______时，四边25.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y(当x的值为0或3时，y的值为2)探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．(1)通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组对应值，请补全表格：x/cm00.400.55 1.00 1.80 2.29 2.613y/cm2 3.68 3.84______ 3.65 3.13 2.702(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)解决问题：点F与点O重合时，DE长度为______.(请写出精确值)26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−3ax+a+1与y轴交于点A．(1)求点A的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点M(−2,−a−2)，N(0,a).若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27.在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点D在AB上，连接CD，并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE，连接AE．(1)如图1，当点D为AB中点时，直接写出DE与AE长度之间的数量关系；(2)如图2，当点D在线段AB上时，①根据题意补全图2；②猜想DE与AE长度之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD 边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．(1)已知点E(0,4)，①直接写出d(点E)的值；②直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1.若d(⊙T)<6，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】B【解析】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；B、圆有无数条直径，故正确，符合题意；C、过圆心有无数条直径，故错误，不符合题意；D、完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意；故选：B．利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项．考查了圆的认识、轴对称的性质及轴对称图形的知识，解题的关键是了解圆的有关定义、性质及定理，难度不大．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac 有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；上面的结论反过来也成立．先根据方程的一般式得出a、b、c的值，再计算出△=b2−4ac的值，继而利用一元二次方程的根的情况与判别式的值之间的关系可得答案．【解答】解：∵a=1，b=−2，c=1，∴△=(−2)2−4×1×1=4−4=0，∴有两个相等的实数根，故选：B．4.【答案】B【解析】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解．本题主要考查与圆有关的概念，注意理解直径和弦之间的关系．5.【答案】B【解析】解：∵x2−6x−2=0，∴x2−6x=2，则x2−6x+9=2+9，即(x−3)2=11，故选：B．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵平行四边形ABCD中，AD=DC，∴四边形ABCD为菱形，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB=90°∴∠PEF=90°−55°=35°，故选：A．先判定四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质即可得到∠BEF的度数，再根据∠PEB= 90°，即可得出∠PEF的度数．此题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠ABC=∠BAD=90°，又∵∠ABO=60°，∴△ABO为等边三角形，∴∠BAO=60°，∴∠OAE=30°，∵线段EF绕点O转动，∠AOE=60°，∴∠AEO=180°−60°−30°=90°，∴四边形ABFE为矩形，∴AB=EF=2．故选：C．证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO=60°，由三角形内角和求出∠AEO=90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵y=−x2+2x+2=−(x−1)2+3，∴顶点为(1,3)∴抛物线y=−x2+2x+2先作关于y轴的轴对称抛物线的顶点为(−1,3)，再向下平移3个单位长度顶点为(−1,0)，∴抛物线y=ax2+bx+m的解析式为y=−(x+1)2，∵点Q1(−2.5,q1)、Q2(1,q2)都在物线y=ax2+bx+m上，∴q1=−(−2.5+1)2=−9，q2=−(1+1)2=−4，4∴q1>q2，故选：A．根据关于y轴对称的抛物线形状相同、顶点横坐标互为相反数、纵坐标相同得出轴对称的抛物线，再得出平移后的抛物线的解析式，分别求出q1、q2的值，即可得出答案．本题主要考查二次函数与几何变换，解题的关键是根据轴对称的性质和平移的规律得出新抛物线的解析式．9.【答案】30【解析】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD，∴∠DOB=70°，∵∠AOB=40°，∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=30°，故答案为：30．由旋转的性质可得∠DOB=70°，即可求解．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．10.【答案】−4【解析】解：设方程的另一根为m，根据题意得：−2+m=−6，解得：m=−4．故答案为：−4．设方程的另一根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于−ba是解题的关键．11.【答案】60【解析】解：∵A(0,1)，B(0,−1)，∴AB=2，OA=1，∴AC=2，在Rt△AOC中，cos∠BAC=OAAC =12，∴∠BAC=60°，故答案为60．求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．12.【答案】115°【解析】解：∵AC=AD，且∠DAC=50°，∴∠D=∠ACD=180°−50°2=65°，∴∠B=180°−∠D=180°−65°=115°，故答案为：115°．首先根据等腰三角形的顶角的度数求得底角∠D的度数，然后利用圆内接四边形对角互补确定答案即可．本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形对角互补，难度不大．13.【答案】x1=−52，x2=1【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−52,10)，B(1,3)，∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=−52，x2=1．故答案为x1=−52，x2=1．关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．14.【答案】75°；−1【解析】解：∵AB=AO，∴∠AOB=∠ABO=30°．∵点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，∴直线MN垂直平分AA1，∵直线MN经过原点O，∴AO=OA1，∴∠AOM=12∠AOA1=12(180°−∠AOB)=12×(180°−30°)=75°．如图，过A作AC⊥x轴于C，过B1作B1D⊥x轴于D．∵点A的横坐标为−1，∴OC=1，∵AB=AO，∴BO=2OC=2=OB1，∵∠B1DO=90°，∠DOB1=∠AOB=30°，∴B1D=12OB1=1，∵点B1在第四象限，∴点B1的纵坐标为−1，故答案为：75°；−1．根据等边对等角的性质得出∠AOB=∠ABO=30°，利用轴对称性质得出∠AOM=12∠AOA1，从而求出∠AOM的度数；过A作AC⊥x轴于C，过B1作B1D⊥x轴于D，根据点A的横坐标为−1求出OC=1，根据等腰三角形三线合一的性质得出BO=2OC=2= OB1，根据∠B1DO=90°和∠DOB1=30°求出B1D即可．本题是几何变换综合题，其中涉及到等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，主要考查学生的推理和计算能力．准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．15.【答案】4√13【解析】解：连接BD、OC，它们相交于E，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，BD=√262−102=24，∵点C是BD⏜中点．∴OC⊥BD，∴DE=BE=12，∴OE=√132−122=5，∴CE=13−5=8，在Rt△BCE中，BC=√82+122=4√13．故答案为4√13．连接BD、OC，它们相交于E，如图，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则利用勾股定理可计算出BD=24，再根据垂径定理得到OC⊥BD，DE=BE=12，接着计算出OE=5得到CE=8，然后利用勾股定理可计算出BC的长．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．16.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，MN=2，∴BE=12∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2−5(x+1)=0，则(x+1)(x−4)=0，∴x+1=0或x−4=0，∴x1=4，x2=−1．【解析】利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：设∠B=x，∵BD=OD，∴∠DOB=∠B=x，∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=2x，∵∠AOC=∠A+∠B，∴2x+x=114°，解得x=38°，∴∠AOD=180°−∠OAD−∠ADO=180°−4x=180°−4×38°=28°．【解析】设∠B=x，根据等腰三角形的性质，由BD=OD得∠DOB=∠B=x，再根据三角形外角性质得∠ADO=2x，则∠A=∠ADO=2x，然后根据三角形外角性质得2x+ x=114°，解得x=38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了等腰三角形的性质．19.【答案】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，∴△ADE≌△ABC，∴∠C=∠E=，∵DE//AC，∴∠E=∠EAC，又∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD=∠C=40°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=1(180°−∠BAD)=70°．2【解析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC，则∠C=∠E=，由平行线的性质得出∠E=∠EAC，则可得出∠ABD=∠ADB，则可求出答案．本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)根据题意知△=42−4×2m=16−8m≥0，解得m≤2；(2)由m≤2且m为正整数得m=1或m=2，当m=1时，方程的根不为整数，舍去；当m=2时，方程为x2+4x+4=0，解得x1=x2=−3，∴m的值为2．【解析】(1)根据方程有实数根知△≥0，据此列出关于m的不等式，解之可得；(2)先根据m≤2且m为正整数得m=1或m=2，再分别代入求解可得．本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．21.【答案】解：(1)当x=−1时，y=a−2b+2b−a=0；(2)∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点(−1,0)∴原抛物线经过(1,0)，把(1,0)代入解析式可得：0=a+2b+2b−a，∴b=0．【解析】(1)把x=−1代入y=ax2+2bx+2b−a，即可求得；(2)根据题意原抛物线经过(1,0)，代入解析式解方程即可求得．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，(2)求得原抛物线经过的点的坐标是解题的关键．22.【答案】解：(1)50°．(2)如图，作OH⊥BC于H．在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=4，OB=3，∴AB=√OB2+OA2=√32+42=5，∵S△AOB=12⋅OB⋅OA=12⋅AB⋅OH，∴OH =3×45=125，∴BH =√OB 2−OH 2=√32−(125)2=95， ∵OH ⊥BC ，∴BH =CH ，∴BC =2BH =185．【解析】【分析】(1)连接OC ，利用三角形的内角和定理求出∠B ，再利用等腰三角形的性质求出∠BOC 即可．(2)作OH ⊥BC 于H ，利用面积法求出OH ，再利用勾股定理求出BH ，利用垂径定理BC =2BH 即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：(1)连接OC ．∵∠AOB =90°，∠A =25°，∴∠B =90°−∠A =65°，∵OB =OC ，∴∠B =∠OCB =65°，∴∠BOC =180°−65°−65°=50°，∴弧BC 的度数为50°，故答案为50°．(2)见答案．23.【答案】解：∵抛物线的对称轴为 x =2，∴可设抛物线的解析式为 y =a(x −2)2+b ，把 (3,−2)，(0,1)代入解析式得 {a(3−2)2+b =−2a(0−2)2+b =1，解得 a =1，b =−3，∴所求抛物线的解析式为 y =(x −2)2−3．【解析】根据题意设抛物线的解析式为 y =a(x −2)2+b ，把 (3,−2)，(0,1)代入求得a 、b 即可．本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质以及求解析式的方法是解题的关键．24.【答案】3【解析】(1)证明：∵AC 平分∠BAD∴∠BAC =∠DAC∵∠E =∠BAC∴∠E =∠DAC∵BE//AC∴∠E =∠ACE∴∠ACE =∠DAC∴AD//EC(2)如图，∵四边形EBCA 是矩形，∴∠ACB =90°，∵∠BAC +∠ABC =90°，∠CAD +∠D =90°，∠BAC =∠CAD ，∴∠ABC =∠D ，∴AB =AD ，∵AC⊥BD，∴CD=BC=3，故答案为3．(1)欲证明AD//CE，只要证明∠ACE=∠DAC即可．(2)只要证明AB=AD，利用等腰三角形的性质可以推出CD=BC=3．本题考查圆周角定理，平行线的判定，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】4 2√3【解析】解：(1)当x=1时，如图1所示，∵圆的半径=12AB=2，当x=1时，点F在AO的中点，即AF=OF=1=12OD，故∠FDO=30°，∴∠DOA=60°=∠ACD=60°，故点C、O重合，故DE为圆的直径，即y=4，故答案为4；(2)根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下：(3)当点F与点O重合时，此时x=2，如图2所示，连接FE，过点F作FH⊥DE于点H，∵∠ACD=60°，则∠FDH=30°，则y=DE=2DH=2×DF⋅cos∠ODC=2×2×cos30°=2√3，故答案为2√3．(1)当x=1时，如图1所示，圆的半径=12AB=2，当x=1时，点F在AO的中点，即AF=OF=1=12OD，故∠FDO=30°，则∠DOA=60°=∠ACD=60°，即可求解；(2)根据表格数据描点连线绘制函数图象即可；(3)当点F与点O重合时，此时x=2，如图2所示，y=DE=2DH=2×DF⋅cos∠ODC= 2×2×cos30°=2√3．本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−3ax+a+1与y轴交于A，令x=0，得到y=a+1，∴A(0,a+1)．(2)由抛物线y=ax2−3ax+a+1，可知x=−−3a2a =32，∴抛物线的对称轴x=32．(3)对于任意实数a，都有a+1>a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C(−2,y)，∴y c=11a+1，①如图1中，当a>0时，y c>−a−2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a<0时，(a)如图2中，当抛物线经过点M时，y c=−a−2，∴a=−1，4结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．<a<0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．(b)当−14(c)如图3中，当a<−1时，y c<−a−2，4∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤−1．4【解析】(1)利用待定系数法求解即可．(2)根据抛物线的对称轴：x=−b求解即可．2a(3)对于任意实数a，都有a+1>a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C(−2,y)，可得y c=11a+1，分a>0，a<0两种情形分别求解即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建不等式解决问题，属于中考压轴题．27.【答案】解：(1)结论：DE=AE．理由：如图1中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴AB=2BC，∠B=60°，∵AD=DB，∴CD=AD=DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB=60°，∵DC=DE，∠CDE=60°，∴∠ADE=180°−∠ED−∠CDB=60°，∵DA=DC，DC=DE，∴AD=DE，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．(2)①图形如图2所示：②如图2−1中，结论：DE=AE．理由：取AB的中点F，连接CE，CF，EF．∵∠ACB=90°，AF=BF，∴CF=AF=BF，∵∠B=60°，∴△BCF是等边三角形，∵DC=DE，∠CDE=60°，∴△ECD是等边三角形，∴∠1+∠2=∠2+∠3=60°，CE=CD，CF=CB，∴∠1=∠3，∴△ECF≌△DCB(SAS)，∴∠5=∠B=60°，∵∠6=60°，∴∠4=∠5=60°，∵EF=EF，FA=FC，∴△EFA≌△EFC(SAS)，∴AE=EC，∵EC=ED，∴AE=ED．【解析】（1）想办法证明△ADE是等边三角形即可解决问题．（2）①根据要求画出图形即可．②首先证明△的长，△FBC都是等边三角形，再证明△ECF≌△DCB，推出∠4=∠5=60°，证明△EFA≌△EFC（SAS）可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)①∵正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0)，点E(0,4)在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d(点E)的值为5；②如图1所示：∵d(点E)=5，∴d(线段EF)的最小值是5，∴符合题意的点F满足d(点F)≤5，当d(点F)=5时，BF1=DF2=5，∴点F1的坐标为(4,0)，点F2的坐标为(−4,0)，将点F1的坐标代入y=kx+4得：0=4k+4，解得：k=−1，将点F2的坐标代入y=kx+4得：0=−4k+4，解得：k=1，∴k=−1或k=1．∴当d(线段EF)取最小值时，EF1直线y=kx+4中k≤−1，EF2直线y=kx+4中k≥1，∴当d(线段EF)取最小值时，k的取值范围为：k≤−1或k≥1；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1，当d(⊙T)=6时，如图2所示：CM=CN=6，OH=3，∴T1C=TC=5，CH=OC+OH=1+3=4，∴T1H=√T1C2−CH2=√52−42=3，TH=√TC2−CH2=√52−42=3，∴d(⊙T)<6，t的取值范围为：−3<t<3．【解析】(1)①由题意得点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d(点E)的值为5②由d(点E)=5得出d(线段EF)的最小值是5，得出符合题意的点F满足d(点F)≤5，求出当d(点F)=5时，BF1=DF2=5，得出点F1的坐标为(4,0)，点F2的坐标为(−4,0)，代入y=kx+4求出k的值，再结合函数图象即可得出结果；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1，当d(⊙T)=6时，CM=CN=6，OH=3，得出T1C=TC=5，CH=OC+OH=4，由勾股定理求出T1H=√T1C2−CH2=3，TH=√TC2−CH2=3，即可得出结果．本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、新定义、一次函数解析式的求法以及圆的有关知识；本题综合性强，理解新定义是解题的关键．。

北京市海淀区清华大学附属中学上地学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

北京市海淀区清华大学附属中学上地学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．正比例函数()0y kx k =≠的图像如图所示，则一次函数y x k =-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是()1,0，()2,0-，()0,2，则顶点C 的坐标是（）A ．()4,2-B ．()3,2-C ．()3,2D ．()4,23．将2y x =向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（）A ．22y x =+B ．22y x =-C ．2(2)y x =+D ．2(2)y x =-4．用配方法解方程2410x x ++=，下列变形正确的是（）A ．()225x +=-B ．()225x +=C ．()223x +=-D ．()223x +=5．已知()211y x m x =+-+，当05x ≤≤且x 为整数时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．8m <-B ．8m ≤-C ．9m <-D ．9m ≤-6．直线11:l y ax b =+与22:l y mx =的图象如图所示，则关于x 的不等式mx ax b <+的解集为（）A ．1x >-B ．1x <-C ．2x <D ．2x >7．如图，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，4AB BC ==，3AD =，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，则DE 的长度是（）A ．3.2B ．3.4C ．3.6D ．48．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①0abc <；②20a b +>；③240b ac ->；④30a c +<；⑤230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如果关于x 的一元二次方程14．已知一元二次方程214x -周长．15．已知抛物线2y x bx =++都在抛物线2y x bx c =++上，且16．对于二次函数2y ax =和x 1-()1m m ≠-2y ax =c c 2y bx =3+c d根据二次函数图象的相关性质可知：三、解答题17．用适当的方法解下列一元二次方程：(1)240x x +-=；(2)()()22115821x x ++=+．18．如图，在直角坐标系xOy 中，直线l 过(13)，和(3)1，两点，且分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点．(1)求直线l 的函数解析式．(2)若点C 在x 轴上，且BOC 的面积为6，求点C 的坐标．19．已知二次函数2y x bx c =++的图象过点()0,3A ，()10B ,．（1）求这个二次函数的解析式；（2）画出这个函数的图象．20．已知关于x 的一元二次方程2420x x m -++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．21．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，过点A 做AE BC ⊥于点E ，延长BC 到点F ，使得CF BE =，连接DF ．(1)求证：四边形AEFD 是矩形；(2)若6AD =，4EC =，60ABF ∠=︒，求BD 的长．22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？23．平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）将点C 向右平移n 个单位，再次落在二次函数图象上，求n 的值；（3）对于这个二次函数，若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围．(2)如图2，点D在BC上运动（不与点①判断EDF∠的大小是否发生改变，并说明理由；②点D关于射线AC的对称点为点依题意补全图形，判断四边形25．对于平面直角坐标系形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点备用图=-+ (1)请写出一次函数y x。

北京清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

2023～2024学年度第一学期九年级期中练习数学一、选择题（每题2分，共16分）1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”根据定义，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选：B.2. 如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数为（）．A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°【答案】C【解析】【分析】直接利用圆周角定理计算即可．【详解】解：∵ ∠A=12∠BOC ， ∠BOC=100° ， ∴ ∠A=50° ．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理．圆周角定理 “一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．3. 将抛物线212y x =向左平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A. 2112y x =+B. 2112y x =−C. 21(1)2y x =+D. 21(1)2y x =− 【答案】C【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．【详解】解：抛物线212y x =向左平移1个单位长度后得到新抛物线的解析式为：()2112y x =+，故选C ．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4. 将一元二次方程28100x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（） A. ()246x −=B. ()286x −=C. ()246x −=−D. ()2854x −= 【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵28100x x −+=，∴2810x x −=−，∴28161016x x +=−+−，即2(4)6x −=，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5. 一元二次方程2630kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A. 3k <B. 3k <且0k ≠C. 3k ≤D. 3k ≤且0k ≠【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可；【详解】解：由题意得：2(6)1200k k −−> ≠ 解得：3k <且0k ≠【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0；熟练运用根的判别式是解题关键．6. 如果点()12,M y −，()22,N y 在抛物线22yx x =−+上，那么下列结论正确的是（） A. 12y y <B. 12y y >C. 12y y =D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，直接代入计算求出1y ，2y ，即可得出答案．【详解】点()12,M y −，()22,N y 在抛物线22y x x =−+上，即当2x =−时，2128y x x =−=−+，当2x =时，2220y x x −+==， 12y y ∴<；故选：A ． 7. 如图，在同一坐标系中，二次函数2y ax c =+与一次函数y ax c =+图象大致是（） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图象，逐项判断,a c 符号，即可求解．【详解】解：A 、由二次函数图象，可得a<0 ，一次函数图象，可得0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、由二次函数图象，可得0a > ，一次函数图象，可得a<0 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、由二次函数图象，可得0c > ，一次函数图象，可得0c < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、由二次函数图象，可得0a > ，0c <，一次函数图象，可得0a > ，0c <，故本选项正确，符合题意；的【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到,a c 符号是解题的关键．8. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）(0°＜x ≤90°)近似满足函数关系2y ax bx c ++(a ≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A. 18°B. 36°C. 41°D. 58°【答案】C【解析】【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得．【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，∴旋钮的旋转角度x 在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．二、填空题（每题2分，共16分）9. 点M （2，-4）关于原点对称的点的坐标是______．【答案】（-2，4）【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可得出答案．的【详解】点A (2，−4)关于原点对称的点的坐标是(−2，4)．故答案为：（-2，4）．【点睛】本题考查关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握关于原点对称点的性质．10. 写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当0x >时，y 随着x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．【答案】y=-x 2-2x-1．【解析】【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-2b a ≤0；只要举出满足以上两个条件的a 、b 、c 的值即可得出所填答案．【详解】解：二次函数y=ax 2+bx+c ，①开口向下，∴a ＜0；②当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小，-2b a ≤0，即b ＜0； ∴只要满足以上两个条件就行，如a=-1，b=-2，c=-1时，二次函数的解析式是y=-x 2-2x-1．故答案为：y=-x 2-2x-1．题目．11. 若二次函数22y x x k =−+的图象与x 轴只有一个公共点，则k =__________．【答案】1【解析】【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x 轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x 轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答．【详解】解：∵二次函数22y x x k =−+的图象与x 轴只有一个公共点，∴方程220x x k −+=有两个相等的实数根，∴()224240b ac k ∆=−=−−=，解得：1k =，故答案为：1．12. 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，如果20AB =，6OE =，那么弦CD 的长为______．【答案】16【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接OD ，根据圆的性质得到10OA OB OD ===，利用勾股定理求出DE ，再利用垂径定理可得结果．【详解】解：如图，连接OD ，∵20AB =，∴10OAOB OD ===， ∵6OE =，∴8DE =，∵CD AB ⊥，∴216CD DE ==，故答案为：16．13. 如图所示，在O 中，已知100AOB ∠=°，则ACB =∠______°．【答案】130【解析】【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角，可得OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，再根据三角形内角和定理可得1802AOC OAC OCA °−∠∠=∠=，1802BOC OBC OCB °−∠∠=∠=，问题随之得解．【详解】连接OC ，如图，∵OC OA OB ==，∴OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，∵180OAC OCA AOC ∠+∠+∠=°，180OBC OCB COB ∠+∠+∠=°， ∴1802AOC OAC OCA °−∠∠=∠=，1802BOC OBC OCB °−∠∠=∠=， ∴18018022AOC BOC ACB OCA OCB °−∠°−∠∠=∠+∠=+， ∴1802BOC AOC ACB ∠+∠∠=°−， ∵100BOC AOC AOB ∠+∠=∠=°， ∴1001801302ACB°∠=°−=°，故答案为：130． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =−+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF =________．【答案】米【解析】【分析】已知抛物线上距水面AB 高为8米的E 、F 两点，可知E 、F 两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E 、F 两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF 长．【详解】解：由“在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯”，把y=8代入211040y x =−+得：，∴由两点间距离公式得：，故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△CDE 可以看作是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB 得到△CDE 的过程：__________．【答案】将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°，再沿x 轴向右平移一个单位（答案不唯一）【解析】【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△AOB得到△CDE的过程．【详解】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE．故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．【点睛】考查了坐标与图形变化——旋转，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．16. 某快餐店的价目表如下：菜品价格汉堡（个）21元薯条（份）9元汽水（杯）12元1个汉堡＋1份薯条（A套餐）28元1个汉堡＋1杯汽水（B套餐）30元1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C套餐）38元小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元．【答案】300【解析】【分析】由题意可知，A、B、C套餐的优惠力度分别为2元、3元、4元，如果三样商品数量比较接近的话，选择C套餐会更划算，但是本题汉堡的数量接近于薯条和汽水之和，所以应该选择套餐搭配的方式，尽量保证每个商品都能在套餐里购买，所以，选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐，会更优惠．【详解】选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐价格最低，需要花费30×5+28×4+38×1=300元，故答案为：300．【点睛】本题属于创新题型，主要考查的了方案选择，比较贴合生活实际，需要学生梳理出有哪些方案，根据一定的规律找到最优方案．三、解答题（17题8分，18题3分，19至23题每题5分，24至26题每题6分，27至28题每题7分）17. 解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】（1）x 1＝5，x 2＝﹣1；（2）1x =，2x = 【解析】【分析】（1）用十字相乘法分解因式，即可求解；（2）利用公式法求解，先判断△的大小，再根据x =即可得到答案；【详解】解：（1）x 2﹣4x ﹣5＝0，分解因式得：（x ﹣5）（x +1）＝0，∴x ﹣5＝0，x +1＝0，即：x 1＝5，x 2＝﹣1；（2）2x 2﹣2x ﹣1＝0，a ＝2，b ＝﹣2，c ＝﹣1，△＝b 2﹣4ac ＝(﹣2）2﹣4×2×(﹣1)＝12＞0，方程有两个不相等的实数根，即：x ，∴1x =，2x =．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的求解，掌握用十字相乘法分解因式以及公式法解方程是解题的关键．18. 已知1x =是关于x 的方程2223x ax a ++=的一个根，求代数式()215a a a a −++的值．【答案】4【解析】【分析】先将1x =代入方程2223x ax a ++=得到222a a +=，再由()()222152422a a a a a a a a −++=+=+，用整体代入法进行计算即可得到答案．【详解】解：()215a a a a −++ 225a a a a =−++224a a +．∵1x =是关于x 的方程2223x ax a ++=的一个根，∴2123a a ++=． ∴222a a +=．∴原式()2224a a =+=．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解． 19. 已知二次函数243y x x =−+．（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； x…123 4 …y…31−…（2）写出该函数顶点坐标______．（3）根据图象回答：当03x ≤<时，y 的取值范围是______．【答案】（1）见详解（2）()2,1- （3）13y −≤≤ 【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可；（2）根据（1）中的函数图象作答即可；（3）根据函数图象写出y 的取值范围即可．【小问1详解】当3x =时，2430y x x =−+=，当4x =时，2433y x x =−+=，补全表格如下： x … 0 1 23 4 ... y (3)1−3…画图【小问2详解】由（1）中的函数图象可知：该函数顶点坐标()2,1-，故答案为：()2,1-；【小问3详解】由（1）中的函数图象可知：当03x ≤<时，y 的取值范围是13y −≤≤．故答案为：13y −≤≤．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法，数形结合是解题的关键．20. 如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ，DE ，（1）依题意补全图形（2）求证：AEB ADC △≌△；（3）若105ADC ∠=°，求BED ∠的度数．【答案】（1）见详解（2）见详解（3）45° 【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质及全等三角形的判定与性质．（1）依据题意画图即可；（2）由等边三角形的性质知60BAC ∠=°，AB AC =，由旋转的性质知60DAE ∠=°，AE AD =，从而得EAB DAC ∠=∠，再证AEB ADC △≌△可得答案；（3）由60DAE ∠=°，AE AD =知EAD 为等边三角形，即60AED ∠=°，继而由AEB ADC △≌△，得到105AEB ADC ∠=∠=°，再利用BED AEB AED ∠=∠−∠即可得解．【小问1详解】补全图形如下：【小问2详解】证明：ABC 是等边三角形，60BAC ∴∠=°，AB AC =．线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，60DAE ∴∠=°，AE AD =．BAD EAB BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠． EAB DAC ∴∠=∠．在EAB 和DAC △中，AB ACEAB DAC AE AD =∠=∠ =， ()SAS AEB ADC ∴△≌△．【小问3详解】解：如图，60DAE ∠=° ，AE AD =， EAD ∴ 为等边三角形．60AED ∴∠=°， AEB ADC △≌△，105AEB ADC ∴∠=∠=°．45BED AEB AED ∴∠=∠−∠=°．21. 已知关于x 的一元二次方程2(2)(3)0x m x m +−+−=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个负数根，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）3m < 【解析】【分析】（1△0 ，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【小问1详解】证明：依题意，得△()()()2224134m m m =−−××−=−．2(4)0m − ，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】2(2)(3)0x m x m +−+−=，可得(1)(3)0x x m −−+=，解得11x =，23x m =−，若方程有一个根为负数，则30m −<，故3m <．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．22. 如图，已知AB 为O 的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC 、OC 、BC ．（1）求证：CAO BCD ∠=∠．（2）若3BE =，8CD =，求O 的直径．【答案】（1）见详解（2）256【解析】【分析】（1)根据圆周角定理得到90ACB ∠=°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到答案；（2）根据垂径定理得到CE 的长，根据勾股定理计算5BC ，证明BAC BCE ∽，即有BA BCBC BE=，问题随之得解．【小问1详解】 ∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=°， ∴A B ∠∠=°+90， ∵AB CD ⊥， ∴90BCD B ∠+∠= ， ∴CAO BCD ∠=∠；【小问2详解】∵AB CD ⊥，8CD =，∴142CE CD ==，∴5BC ，∵CAO BCD ∠=∠，B B ∠=∠∴BAC BCE ∽，∴BA BCBC BE=， ∴525533BCBA BC BE =×=×=， ∴12526OAOB BA ===．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．23. 如图，二次函数21y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(3,0)−，点C 的坐标为(0,3)−，一次函数2y mx n =+的图象过点A 、C ．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出二次函数的图象与x 轴的另一个交点B 的坐标；（3）根据图象，直接写出21y y <时，x 的取值范围．【答案】（1）2123y x x =+− （2）(1,0) （3）3x <−或0x > 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法即可求解；（2）令10y =，得到2230x x +−=，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x 轴的另一个交点B 的坐标；（3）观察图象可得当3x <−或0x >，抛物线都在直线的上方，即21y y <．【小问1详解】解：由题意得：3930c b c =−−+=，解得：23b c = =−∴抛物线的解析式为2123y x x =+−；【小问2详解】令10y =，得2230x x +−=，解这个方程，得13x =−，21x =，∴此二次函数的图象与x 轴的另一个交点B 的坐标为(1,0)；【小问3详解】观察图象可知，当3x <−或0x >，21y y <．24. 如图，当90ACB ∠=°时，求作直线l 上一点P ，使45APB ∠=°。

2024北京清华附中初三上学期10月月考数学试题及答案

2024北京清华附中初三10月月考数学（清华附中初22级）一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 用配方法解方程2610x x +−=，变形后结果正确的是（） A. ()2310x +=B. ()237x +=C. ()2310x −=D. ()237x −=3. 如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（） A. 81:16B. 27:12C. 9:4D. 3:24. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（） A. 23(x 4)1y =+−B. 23(4)1y x =++C. 23(4)1y x =−−D. 23(4)1y x =−+5. 如果()11,M y −，()22,N y 是正比例函数y kx =的图象上的两点，且12y y >．那么符合题意的k 的值可能是( ) A.13B. 1C. 3D. 2−6. 如图，在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，对角线AC BD ，交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则AOE ∠的度数为（）A. 114︒B. 120︒C. 123︒D. 147︒7. 已知0b >时，二次函数221y ax bx a =++−的图象如下列四个图之一所示．根据图分析，a 的值等于．．．．（）A. 2−B. 1−C. 1D. 28. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △，连接EF ，若AED AEF ≌△△，下列结论：①45DAE =︒∠；②ABD EAF △∽△；③BE CD DE +=；④222BE CD DE +=．其中正确的是（） A. ①②③B. ②③④C. ①②D. ①②④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 在平面直角坐标系中，点()3,4P −关于原点对称的点的坐标是______． 10. 二次函数2246y x x =−+−的最大值是______． 11. 如图，ABCD 中，延长BC 至E ，使得12CE BC =．若2CF =，则DF 的长为_______．12. 2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x ，根据题意列出方程得 ____________________．13. 已知点()11,P y −，()23,Q y 在一次函数()10y kx k =+≠的图象上，且12y y <，则k 的值可以是______．（写出一个即可）．14. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E ，若6AB =，则OE 的长为______．15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边20cm DE =，10cm EF =，测得边DF 离地面的高度 1.5m AC =，6m CD =，则树高AB 是______m ．16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示：_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、21、22、23题每小题5分，20、26题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17. 解方程：2520x x −+=．18. 如图，已知△ABC 顶点的坐标分别为A （1，－1），B （4，－1），C （3，－4）．（1）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的11AB C ∆,并写出点1B 的坐标：1B ；（2）以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的222A B C ∆，使得它与△ABC 的位似比等于2：1 .19. 二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：（1）直接写出c ，m 的值；（2）求此二次函数的解析式．20. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+m+2=0．（1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程两个根均为正整数，求负整数m 的值．21. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 上任意一点，连接CE ，点F 为CE 的中点，过点F 作MN CE ⊥，MN 与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，连接CM 、EN ．（1）求证：四边形CNEM 为菱形；（2）若10AB =，4=AD ，当2AE =时，求EM 的长．22. 如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等（设为x 厘米），如图所示，求宽度x ．23. 某高校要选派一位同学去参加首都高校校园文化演讲，为了选出综合素质最高的一名同学进行演讲，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试90分以上（含90分）的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是98，94，90．之后组织了十位评委对小强、小亮、小旭三位同学面试表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．之后对这三位同学的面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．评委给小强同学打分如下：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6b．评委给小亮、小旭两位同学打分的折线图如下图：c．小强、小亮、小旭三位同学面试情况统计表：（1）直接写出表中m，n的值；（2）在面试中，如果评委给某个同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：小强、小亮、小旭三位同学中，评委对_________的评价更一致（填“小强”、“小亮”或“小旭”）；（3）在笔试和面试两项成绩中，按笔试成绩占40%，面试成绩占60%，计算小强、小亮、小旭的综合成绩，综合成绩最高的是_________（填“小强”、“小亮”或“小旭”）．=，点D为BC中点，作点D关于线段AC的对称点F，连接DF交AC 24. 如图，在ABC中，AB AC∥交AC、AB于H、G．于E，过点F作FG BC=；（1）求证：CE EH（2）若3BC =，1CE =，求GH 的长．25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日．某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，100cm 高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x （单位：度），影长为y （单位：cm ），x 与y 的部分数据如下表：（1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x 和影长y 之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象；（2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm 高的物体的影长约为______cm （精确到0.1）；（3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm 高的物体的影长均为40cm ，那么他们生活的地区纬度差约是______度．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221y ax mx =−−经过点()1,22P m −−，（1）求a 的值；（2）己知点()11,A m y −−，()224,B m y +在此抛物线上，当11m −<<时，比较1y ，2y ，1−的大小，并说明理由．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，P 为线段BC 上的动点（不与点C 重合），将线段AP 绕点A 顺时针旋转α得到线段AQ ．（1）如图1，当P 是BC 中点时，连接BQ ，求证：BP BQ =；（2）过点Q 作直线QM AC ∥，交直线BC 于点M ，在射线MB 上取一点N ，使得2MN CP =，连接QN ．请补全图2，直接写出MQN ∠的大小并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，Q 是x 轴正半轴上一点，对于四边形ABCD 边上的点P 和图形W （点P 不在x 轴上），给出如下定义：若POQ α∠=，将图形W 绕点P 逆时针旋转α得到图形M ，则称图形M 是图形和点P 的“关联图”．如图，点()1,1A ，()1,1B −，()1,1C −−，()1,1D −．（1）点()11,2N −，()222N ,，331,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，(4N 中，在四边形ABCD 和点()0,1E 的“关联图”上的点是__________；（2）已知点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，3G t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ①若线段OF 关于点P 的“关联图”在四边形ABCD 的内部（包含边界），设点P 的横坐标的最小值为m ，纵坐标的最大值为n ，直接写出n m −的值__________；②当OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部（包含边界）时，锐角α的最大值是60︒，请直接写出t 的取值范围__________．参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】本题考查了轴对称、中心对称图形的定义，掌握相关定义是解题的关键．“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，据此找出图中的轴对称图形；“ 把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此找出图中的中心对称图形即可解答题目．【详解】A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意； D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．故选：D ． 2. 【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案．【详解】解：2610x x +−= 即261x x +=， ∴26919x x ++=+， ∴()2310x +=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键．【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为9:4， ∴两个相似三角形的相似比为3:2， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两个三角形的周长之比为3:2，故选：D ． 4. 【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．【详解】将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是23(4)1y x =−+．故选：D ． 5. 【答案】D【分析】本题考查了正比例函数的性质，由12x x <时，12y y >，根据正比例函数的增减性，得到0k <，即可得到答案．【详解】解：∵()11,M y −，()22,N y 是正比例函数y kx =的图象上的两点，且12y y >． ∴0k <，故选：D ． 6. 【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得33DBC ∠=︒，90AOD ∠=︒，根据三角形中位线定理得到OE BC ∥，求得33DOE ∠=︒，据此求解即可．【详解】解：∵在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒， ∴1332DBC ABC ∠=∠=︒，90AOD ∠=︒，O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 是DBC △的中位线， ∴OE BC ∥，∴33DOE DBC ∠=∠=︒， ∴9033123AOE ∠=︒+︒=︒，故选：C ． 7. 【答案】B【分析】本题难度中等，考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围，先根据所给条件和图象特征，判断出正确图形，再根据图形特征求出a 的值．【详解】解：因为前两个图象的对称轴是y 轴，所以02ba−=，又因为0a ≠，所以0b =，与0b >矛盾；第三个图的对称轴02ba−>，0a >，则0b <，与0b >矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将(0,0)代入解析式，得：210a −=，解得1a =±，由于开口向下，1a =−．故选：B ．8. 【答案】D【分析】先求出90,45BAC ABC C ︒︒∠=∠=∠=，再根据旋转和全等的性质得到1452DAE EAF FAD =∠=∠=︒∠，即可判断①；AFE BDA ∠=∠，45EAF ABD ∠=∠=︒，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到BF CD =，EF DE =，再根据三角形三边关系即可判断③；证明90EBF ABF ABC ∠=∠+∠=︒，在Rt BEF △中，利用勾股定理和等量代换即可判断④．【详解】解：在Rt ABC △中，AB AC =， ∴90,45BAC ABC C ︒︒∠=∠=∠=，∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴90FAD ∠=︒， ∵AED AEF ≌△△， ∴1452DAE EAF FAD =∠=∠=︒∠，故①正确；∵AED AEF ≌△△， ∴AFE BDA ∠=∠，又∵45EAF ABD ∠=∠=︒， ∴ABD EAF △∽△，故②正确；∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴BF CD =， ∵AED AEF ≌△△， ∴EF DE =，在BEF △中，BE BF EF +>， ∴BE CD DE +>，故结论③错误；∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴45ABF C ∠=∠=︒，BF CD =， ∴90EBF ABF ABC ∠=∠+∠=︒， ∴在Rt BEF △中，222BE BF EF +=， ∴222BE CD DE +=，故结论④正确，综上可知，正确的是①②④，故选：D【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 【答案】(3,−4)【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点(),x y 关于原点对称的点的坐标为(),x y −−求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点()3,4P −关于原点对称的点的坐标是()3,4−，故答案为：()3,4−．10. 【答案】4−【分析】先求出对称轴，再求出最大值即可．【详解】∵2246y x x =−+−∴二次函数2246y x x =−+−开口向下，在顶点处有最大值，∵二次函数2246y x x =−+−对称轴为直线4122x ，∴当1x =时，2464y =−+−=−，即最大值为：4−，故答案为：4−．【点睛】本题考查二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11. 【答案】4【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，AD BC ∥， 12CE BC =， 12CE AD ∴=， AD CE ∥，ADF ECF ∴∽，∴AD DF CE CF=2=， 2CF =，24DF CF ∴==，故答案为：4．12. 【答案】()26.5817.96x +=【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元”列方程求解．【详解】解：由题意得：()26.5817.96x +=，故答案为：()26.5817.96x +=．13. 【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数的性质，由13−<时，12y y <，得y 随x 的增大而增大，则0k >，然后取值即可，根据正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．【详解】解：∵点()11,P y −，()23,Q y 在一次函数()10y kx k =+≠的图象上，∴当13−<时，12y y <，∴y 随x 的增大而增大，∴0k >，∴取1k =，故答案为：1（答案不唯一）．14. 【答案】3【分析】首先根据矩形的性质得到OA OD =，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AE DE =，然后证明出OE 是ABD △的中位线，进而求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴OA OD =∵OE AD ⊥∴AE DE =∵OB OD =∴OE 是ABD △的中位线 ∴132OE AB ==．故答案为：3．【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15. 【答案】4.5【分析】根据相似三角形的判定及性质可得3BC =（m ），进而可求解．【详解】解：90FED BCD ∠=∠=︒，且D D ∠=∠，FED BCD ∴∽，EF DE CB DC ∴=，即：0.10.26CB =，解得：3BC =（m ），3 1.5 4.5AB BC AC ∴=+=+=（m ），∴树高AB 是4.5m ，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．16. 【答案】 ①. 29 ②. 48【分析】本题主要考查统计的知识，理解题意是解题的关键；在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和．【详解】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为1086529+++=（分）；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，甲完成四间客房“打扫卫生”需40分钟，甲完成一间客房“打扫卫生”需10分钟，随后乙、丙进行其他三个步骤，可完成四间客房整理床铺、更换客用物品的工作，其中一人完成四间客房整理床铺需32分钟，可再完成两间客房检查设备的工作，一人完成四间客房更换客用物品需24分钟，也可再完成两间客房检查设备的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要40848+=（分）；故答案为29；48．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、21、22、23题每小题5分，20、26题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17. 【答案】152x =，252x −=【详解】首先找出方程中得a 、b 、c ，再根据公式法求出b 2﹣4ac 的值，计算x = 2b a−，即可得到答案．∵a =1，b =－5，c =2()2245412170b ac −=−−⨯⨯=＞∴代入求根公式得， ()521x −−===⨯∴152x +=，252x −= “点睛”当一元二次方程方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，且a ，b ，c 都是常数）的二次项的系数不为1或是无理数时，优先考虑公式法.18. 【答案】（1）作图见解析；B （1， 2）；（2）作图见解析.【详解】分析：（1）由题意得，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．则AB 1⊥AB ，AC 1⊥AC ，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A 2B 2C 2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．详解：（1）如图： B 1（1，2），（2）如图点睛：此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．19. 【答案】（1）4c =，52m =；（2）219(1)22y x =−++或2142y x x =−−+ 【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值，根据抛物线的对称性即可求得m 的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【详解】解：（1）根据图表可知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（0，4），（-2，4）， ∴对称轴为直线2012x −+==−，c=4， ∵（-3，52）的对称点为（1，52）， ∴m=52；（2）∵对称轴是直线x=-1， ∴顶点为（-1，92），设y=a （x+1）2+92，将（0，4）代入y=a （x+1）2+92得，a+92=4，解得a=-12， ∴这个二次函数的解析式为y=-12（x+1）2+92．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．20. 【答案】(1)见解析；(2) m=-1.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>0，由此即可证出：无论实数m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根；（2）利用分解因式法解原方程，可得x 1=m ，x 2=m+1，在根据已知条件即可得出结论．【详解】（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）=（m+1）2∴无论m 取何值，（m+1）2恒大于等于0∴原方程总有两个实数根（2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=0∴x 1=1, x 2=m+2∵方程两个根均为正整数,且m 为负整数∴m=-1.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二次方程.21. 【答案】（1）证明见解析（2）5【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．（1）根据已知证明EFM CFN △≌△，证得EM CN =，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM 是平行四边形，然后证明NE NC =，即可证得结论；（2）10AB =，2AE =，则8BE =，设EM MC x ==，则8BM x =−，利用勾股定理求出x 即可解答．【小问1详解】证明：矩形ABCD 中，AB DC ，MEF NCF ∴∠=∠，EMF CNF ∠=∠，点F 为CE 的中点，EF CF ∴=，EFM CFN ∴≌，EM CN ∴=，∴四边形CNEM 为平行四边形，MN CE ⊥于点F ，EF CF =，NE NC ∴=，∴四边形CNEM 为菱形；【小问2详解】解：四边形CNEM 是菱形，EM CM ∴=，四边形ABCD 是矩形，4AD BC ∴==，90B ，10AB =，2AE =，8BE ∴=，设EM MC x ==，则8BM x =−，在Rt BMC 中，222BM BC CM +=，即2224)8(x x −+=，解得5x =，EM ∴的长为5．22. 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移的观点，把6个长方形平移在一起，成为一个一个新的长方形，则长和宽分别是(20x −米和()153x −米，根据面积公式即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()()826015143x x −=⨯−，整理得210160x x −+=，解得12x =，28x =（不符合题意，舍去）故宽度x 为2．23. 【答案】（1）79，9（2）小旭（3）小亮【分析】本题考查了求中位数、求方差、求加权平均数，熟练掌握求法是解此题的关键．（1）将小强的成绩全部相加即可得出m 的值，根据中位数的定义即可得出n 的值；（2）分别求出三人面试成绩的方差，比较即可得出答案；（3）分别求出三人数为最终成绩，进行比较即可得出答案．【小问1详解】解：由题意可得：10109888776679m =+++++++++=，将小亮的面试成绩按从小到大排列如下：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，故9992n +==；故答案为：79，9【小问2详解】解：79107.9x =÷=小强，()()()()()2222222107.997.9387.9277.9267.9 1.8910S ⨯−+−+⨯−+⨯−+⨯−==小强，85108.5x =÷=小亮，()()()()()22222268.5278.588.5398.53108.5 1.8510S −+⨯−+−+⨯−+⨯−==小亮，87108.7x =÷=小旭，()()()2222588.7398.72108.70.6110S ⨯−+⨯−+⨯−==小旭，222S S S ∴>>小强小旭小亮，故评委对小旭的评价更一致；故答案为：小旭【小问3详解】解：小强的成绩为：9840%7960%39.247.486.6⨯+⨯=+=（分），小亮的成绩为：9440%8537.65188.6⨯+⨯=+=（分），小旭的成绩为：9040%8760%3652.288.2⨯+⨯=+=（分），86.688.288.6<<，∴综合成绩最高的是小亮．故答案为：小亮24. 【答案】（1）见详解（2）13GH = 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；（1）由轴对称可知DE FE =，则有()ASA DCE FHE ≌，然后问题可求证；（2）连接AD ，交FG 于点M ，由题意易得32BD CD ==，AD BC ⊥，由（1）可得3,12HF CD EH CE ====，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【小问1详解】证明：∵点D 关于线段AC 的对称点F ，∴DE FE =，DFAC ⊥，∵FG BC ∥，∴EDC F ∠=∠， ∵CED HEF ∠=∠，∴()ASA DCE FHE ≌，∴CE EH =；【小问2详解】解：连接AD ，交FG 于点M ，如图所述：∵点D 为BC 中点，3BC =， ∴32BD CD ==，AD BC ⊥， ∵FG BC ∥，∴AM GH ⊥，ABC AGH ACB AHG ∠=∠=∠=∠，∴AG AH =，∴GM MH =，∵DCE FHE ≌， ∴3,12HF CD EH CE ====， ∵90,DEC ADC ACD DCE ∠=∠=︒∠=∠，∴DCE ACD ∽， ∴CD CE AC CD=，即2CD CE AC =⋅， ∴94AC =， ∴14AH AC CH =−=， ∵FG BC ∥， ∴AMH ADC ∽，∴114994MH AH CD AC ===， ∴16MH =， ∴123GH MH ==． 25. 【答案】（1）见解析（2）30.0（3）44【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键；（1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象；（2）结合函数图象找到40x =时，y 的值即可；（3）结合函数图象找到40y =时，x 的值，再作差即可；【小问1详解】解：函数的图象如下：【小问2详解】解：根据（1）中图象可得：当40x =时，30.0y ≈，故答案为：30.0（答案不唯一）；【小问3详解】解：根据（1）中图象可得：当40y =时，1x ≈或45x ≈，45144−=，故答案为：44（答案不唯一）；26. 【答案】（1）1a =−（2）211y y <<−，理由见解析【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．（1）把()1,22P m −−代入221y ax mx =−−，即可得到答案；（2）由（1）得到()222211y x mx x m m =−−−=−++−，当1x m =−−时，122y m =−，当24x m =+时，2282417y m m =−−−，则21y y −24913m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质得到当11m −<<时，249103m ⎛⎫−++< ⎪⎝⎭，则当11m −<<时21y y <，由221m −<−得到1221y m =−<−，即可得到答案．【小问1详解】解：∵抛物线221y ax mx =−−经过点()1,22P m −−，∴把点()1,22P m −−代入221y ax mx =−−得到， 2221m a m −=+−，解得，1a =−；【小问2详解】由（1）得到抛物线221y ax mx =−−为()222211y x mx x m m =−−−=−++−，当1x m =−−时，()1222112y m m m m =−−−++−=−，当24x m =+时，()222224182417y m m m m m =−+++−=−−−， ∴()2122282417292415y y m m m m m −=−−−−−=−−−24913m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭ 当249103m ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭时，解得1m =−或53m =−，即抛物线24913y m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭与x 轴交于点()1,0−和5,03⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，∵抛物线24913y m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭开口向下，∴当11m −<<时，249103m ⎛⎫−++< ⎪⎝⎭， ∴当11m −<<时，210y y −<，即21y y <， ∵11m −<< ∴201m <<， ∴221m −<− ∴1221y m =−<− ∴211y y <<−27. 【答案】（1）见详解（2）图见详解，90MQN ∠=︒，过程见详解【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、（1）由题意易得11,22AP AQ BAP BAC QAP =∠=∠=∠，然后可证()SAS BAP BAQ ≌，然后问题可求证；（2）按题意画出图形，连接BQ ，作QB QD =，交CN 于点D ，由题意易得()SAS BAQ CAP ≌，则有QBA C ABC ∠=∠=∠，12BQ CP MN ==，然后可得QD DN DM ==，进而问题可求解．【小问1详解】证明：由旋转可知：,AP AQ QAP BAC α=∠==∠， ∵AB AC =，点P 是BC 中点， ∴1122BAP BAC QAP ∠=∠=∠， ∴BAP BAQ ∠=∠， ∵AB AB =，∴()SAS BAP BAQ ≌， ∴BP BQ =；【小问2详解】解：由题意可得如图：连接BQ ，作QB QD =，交CN 于点D ， ∵,AP AQ QAP BAC α=∠==∠，∴,QAB QAP BAP PAC BAC BAP ∠=∠−∠∠=∠−∠，即QAB PAC ∠=∠， ∵AB AC =，∴()SAS BAQ CAP ≌，∴QBA C ABC ∠=∠=∠，12BQ CP MN ==， ∵QB QD =，∴2QBD QDB C ∠=∠=∠， ∵QM AC ∥， ∴C QMD ∠=∠，∴DQM QDB QMD C QMD ∠=∠−∠=∠=∠， ∴QD DM =， ∴12DM QD BQ MN ===， ∴点D 是MN 的中点， ∴QD DN DM ==，∴,N DQN DQM DMQ ∠=∠∠=∠，由三角形内角和可知22180DQN DQM ∠+∠=︒， ∴90DQN DQM ∠+∠=︒，即90∠=︒NQM ． 28. 【答案】（1）24,N N（2；②11t −≤≤【分析】（1）由题意得：90α=︒，此时正方形ABCD 绕点()0,1E 逆时针旋转90︒得到的关联图形M 仍为正方形，()1,1A 的对应点为()10,2A ，()1,1B −的对应点为()10,0B ，点()1,1C −−的对应点()12,0C ，点()1,1D −的对应点()12,2D ，即可确定；（2）①分类讨论，分别讨论点P 在正方形的四条边上，画出示意图进行分析，找出临界状态，多动点，固定变量，一个一个分析即可；②由①可知，只有P 落在CD 或AD 边上，OF 关于点P 的“关联图”才在正方形ABCD 内部，要使OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部，且α的最大值为60︒，故P 一定会在CD 上，当60POF ∠=︒，此时α不能增大，即移动点G 时，不能使得G '仍然落在正方形ABCD 内部，则此临界状态时，G '一定落在BC 上．由G t ⎛ ⎝⎭可知点G 在直线3y =上运动，记为直线l ，记直线l 与y 轴交于点M ，过点P 作PN l ⊥，由勾股定理建立方程221533t t +=++P 落在AD 上时，1t =−，均可满足G O F '''△在正方形ABCD 内部，综上所述：11t −≤≤．【小问1详解】解：如图，由题意得：90α=︒，此时正方形ABCD 绕点()0,1E 逆时针旋转90︒得到的关联图形M 仍为正方形，()1,1A 的对应点为()10,2A ，()1,1B −的对应点为()10,0B ，点()1,1C −−的对应点()12,0C ，点()1,1D −的对应点()12,2D ，当()12,0C 时，连接1,CE EC CD 与y 轴交于点R ，则11,2CR OE ER OC ====，而190CRE EOC ∠=∠=︒， ∴1CRE EOC △≌△， ∴1EC EC =， ∴1CER EC O ∠=∠，∴11190CER CE O EC O CE O ∠+∠=∠+∠=︒， ∴点()1,1C −−的对应点()12,0C ，同理可证明点()1,1D −的对应点()12,2D ，∴()11,2N −，()22,2N 在四边形ABCD 和点()0,1E 的“关联图”上，故答案为：()11,2N −，()22,2N ；【小问2详解】解：①当点P 在AD 上时，连接,PO DO ，∵四边形ABCD 是正方形，∴045α<≤︒，OP OD ≤==∴1OP <≤当点P 与点D 重合时，即45α=︒，此时点O 的对应点'O 在CD 上，且()11O '−，如图：随着点P 在AD 上运动，画图可知O F ''在正方形内部运动，直至点F '落在AD 上，如图：如上图，此时POQ FPF α'∠=∠=， ∵PTF OTP ∠=∠， ∴PTF OTP △∽△， ∴PT TFOT PT=， ∴211122PT TO TF =⨯=⨯=，∴2PT =，∴当点P 在AD 上运动时，12P y −≤≤，当点P 在AB 边上时，此时45135α︒≤≤︒，即点P 在AB 两个端点处，α取得最小值和最大值，1OP OA ≤≤=随着α增大，作图可发现O F ''会远离AB ，如图：当点P 运动到AB ，点O '恰好落在点A ，但此时点F '仍在正方形的外部，∴当点P 在AB 边上时，线段OF 关于点P 的“关联图”不可能在正方形ABCD 的内部；当点P 在BC 边运动时，∵135180α︒≤<︒，O F ''会更加远离正方形ABCD ，如图：∴点P 在BC 边运动时，线段OF 关于点P 的“关联图”不可能在正方形ABCD 的内部；当点P 在CD 边上时， ∵OPO POQ α'∠=∠=， ∴O P OF '∥，如图：当点P 运动到CD 中点时，此时O '落在点C 处，F 点落在点112⎛⎫−− ⎪⎝⎭，处，随着点P 继续接近点D ，O F ''始终在正方形ABCD 内，如图：∴点P 在CD 边上时，01P x ≤≤，综上所述：点P 横坐标最小值为0，纵坐标最大值为2n =，∴2n m −=，故答案为：2；②由①可知，只有P 落在CD 或AD 边上，OF 关于点P 的“关联图”才在正方形ABCD 内部，∴要使OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部，且α的最大值为60︒，∴P 一定会在CD 上，如图所示，当60POF ∠=︒，此时α不能增大，即移动点G 时，不能使得G '仍然落在正方形ABCD 内部，则此临界状态时，G '一定落在BC 上．由,3G t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可知点G 在直线3y =上运动，记为直线l ，记直线l 与y 轴交于点M ，过点P 作PN l ⊥，∴在Rt OMG △中，由勾股定理得：2222133GO G O t t ⎛⎫==+=+ ⎪ ⎭'⎝'⎪， ∵60POQ α∠==︒，CD x ∥轴， ∴60OPR ∠=︒， ∴30ROP ∠=︒， ∴2OP PR =，设,2RP x OP x ==，则在Rt ORP △中，由勾股定理得：1OR ==，∴3x =，∴3OP =，∴11333CO CP PO ''=−=+−=−，在Rt CG O '△中，由勾股定理得：22221113CG t t ⎛=+−−=+ ⎝⎭'，∴在Rt CG P '△中，由勾股定理得：22221113G P t t ⎛'=−++=+ ⎝⎭，在Rt GNP △中，222251333GP t t ⎛⎫⎛=−++=−++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，由旋转得G O P GOP ''△≌△，∴GP G P '=，∴221533t t ++=+解得：13t =−，当点P 落在AD 上时，1t =−，均可满足G O F '''△在正方形ABCD 内部，∴综上所述：11t −≤≤．故答案为：11t −≤≤．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，难度很大，重点理解题意，根据旋转的不变性，进行画图分析，对分类讨论的思想要求较高．。

2018-2019学年北京市清华附中九年级(上)开学数学试卷含答案

2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．若代数式有意义，则x 的取值范围是（）A ．B ．x ≥C ．x ≤D ．x ≠﹣2．已知P 1（﹣2，y 1），P 2（1，y 2）是函数y ＝﹣2x +1图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系是（） A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1＝y 2D ．无法确定3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点．若∠AOB ＝60°，AC ＝8，则AB 的长为（）A ．4B ．C ．3D ．54．如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC ．若AE ：EC ＝1：2，则S △AED ：S △CEB 为（）A ．1：B ．1：2C ．1：3D ．1：45．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s 2：平均数（秒）根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（） A ．队员1B ．队员2C ．队员3D ．队员46．若关于x 的方程kx 2﹣（k +1）x +1＝0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．如图，是用图象反映的某地男女生身高生长速度y（厘米/年）与年龄x（岁）的对应关系．根据图象，有以下四个推断：①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快③15岁时，男生、女生的身高增长速度达到最高值④13岁以前，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度慢其中合理的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若3a＝4b，则a：b＝．10．一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是．11．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax ﹣3的解集是．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝6，S3＝10，则S1＝．13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF 的长为．14．已知一次函数y＝kx+b（k＜0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，b的值为．15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB ＝2，则PB+PE的最小值是．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确的结论是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：x2+x﹣1＝0．18．已知：a＝+1，求代数式a2﹣2a﹣1的值．19．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：DE∥BF．20．平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与直线y＝x交于点A（m，1）．与y轴交于点B （1）求m的值和点B的坐标；（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是1，请直接写出点C的坐标．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝4．求△ABC的面积．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．24．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：（1）可求得m的值为；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为．25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 7979.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是；（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．①依题意补全图2；②判断△QPM的形状并加以证明；（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．28．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ 为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．如图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“伴随矩形”的面积为；（2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，并求出直线ON的函数解析式；②当正方形的对角线长度为时，原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值和最小值分别为m和n，则m＝，．n＝．2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，解得：x≥．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣2＜1即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小．∵P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，﹣2＜1，∴y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝4，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．4．【分析】由AD∥BC可证明△ADE∽CBE，再由相似三角形的性质就可以得出结论【解答】解：∵AD ∥BC ． ∴△ADE ∽CBE ，∴S △AED ：S △CEB ＝AE 2：EC 2， ∵AE ：EC ＝1：2， ∴S △AED ：S △CEB ＝1：4，故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用．解答本题求出两三角形相似是关健．5．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定．故选：B ．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．【分析】当k ＝0时，可求出x 的值，根据x 的值为整数可得出k ＝0符合题意；k ≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x 的值，再根据x 的值为整数结合k 的值为整数即可得出k 的值．综上即可得出结论．【解答】解：当k ＝0时，原方程为﹣x +1＝0，解得：x ＝1， ∴k ＝0符合题意；当k ≠0时，kx 2﹣（k +1）x +1＝（kx ﹣1）（x ﹣1）＝0，解得：x 1＝1，x 2＝，∵方程的根是整数， ∴为整数，k 为整数，∴k ＝±1．综上可知：满足条件的整数k 为0、1和﹣1．故选：C ．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．7．【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝＝15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．【分析】依据男女生身高生长速度y（厘米/年）与年龄x（岁）的对应关系，即可得到正确的结论．【解答】解：①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同，故①正确；②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快，故②正确；③15岁时，只有男生的身高增长速度达到最高值，故③错误；④在9岁以后，13岁以前，男生的身高增长速度明显比女生的身高增长速度慢，故④错误；故选：A．【点评】本题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据比例的基本性质，若3a＝4b，则可直接得出a：b的值．【解答】解：∵3a＝4b，∴＝．∴a：b＝4；3．【点评】考查了比例的基本性质：比例式和等积式的互相转换．10．【分析】利用方差的定义求解．方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．【解答】解：数据的平均数＝（﹣1+0+1+2+3）＝1，方差s2＝[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝2．故填2．【点评】本题考查了方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n，平均数＝（x1+x2+x3…+x n），方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．11．【分析】根据函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），然后根据图象即可得到不等式3x+b ＞ax﹣3的解集．【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．【分析】先根据勾股定理得出△ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可得出S1的值．【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴BC2＝AC2﹣AB2，∵BC2＝S1、AB2＝S2＝6，AC2＝S3＝10，∴S1＝S3﹣S2＝10﹣6＝4．故答案为：4【点评】本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出AB、BC及AC之间的关系是解答此题的关键．13．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠FAE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF＝2AF是解题的关键．14．【分析】由一次函数的性质，求解即可．【解答】解：当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，∴当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝﹣2，代入一次函数解析式y＝kx+b得：，解得，故答案为：4【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质解答．15．【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．【解答】解：连接DE交AC于P，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE＝＝．∴PB+PE的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．16．【分析】根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②进行判断；由ax2+bx+c﹣m ＝0没有实数根得到抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，加上二次函数的最大值为2，则m＞2，于是可对③进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确；∵ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，即抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，而二次函数的最大值为2，∴m＞2，故③正确．故答案是：①②③．【点评】主要考查抛物线与x轴的交点坐标，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】观察原方程，可用公式法进行求解，首先确定a，b，c，再判断方程的解是否存在，若存在代入公式即可求解．【解答】解：a＝1，b＝1，c＝﹣1，b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对不同的题型选用合适的方法．18．【分析】利用完全平方公式得到原式＝（a﹣1）2﹣2，再由已知条件得到a﹣1＝，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：原式＝（a﹣1）2﹣2，因为a＝+1，所以a﹣1＝，所以原式＝（）2﹣2＝5﹣2＝3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．19．【分析】直接连接BD，交AC于点O，利用平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，进而得出四边形EBFD是平行四边形求出答案即可．【解答】证明：连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵AF＝CE，∴OF＝OE．∴四边形EBFD是平行四边形．∴DE∥BF．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形EBFD是平行四边形是解题关键．20．【分析】（1）依据一次函数图象上点的坐标特征，即可得到m的值和点B的坐标；（2）依据点C在y轴上，且△ABC的面积是1，即可得到BC＝1，进而得出点C的坐标．【解答】解：（1）∵直线与直线交于点A（m，1），∴，∴m＝2，∴A（2，1），代入y＝x+b，可得，∴b＝﹣2，∴B（0，﹣2）．（2）点C（0，﹣1）或C（0，﹣3）．理由：∵△ABC的面积是1，点C在y轴上，∴BC×2＝1，∴BC＝1，又∵B（0，﹣2），∴C（0，﹣1）或C（0，﹣3）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．22．【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长即可解决问题．．【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB；∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD；∴CD2＝AD•BD＝8，即CD＝2，＝×6×2＝6∴S△ACB【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，题目比较简单．23．【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．24．【分析】（1）（2）把表中的三个点（0，3），（1，0），（2，﹣1）代入函数的解析式，得到关于a，b，c的方程组，即可求得解析式，把x＝4代入即可求得m的值；（3）根据函数的图象开口方向，增减性即可确定．【解答】解：（1）（2）根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y＝x2﹣4x+3，当x＝4时，m＝16﹣16+3＝3；（3）函数的顶点坐标是：（2，﹣1），当0＜x＜3时，则y的取值范围为：﹣1≤y＜3．故答案是：3；﹣1≤y＜3．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，理解函数的增减性是关键．25．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A课程的中位数为＝78.75，即m＝78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩超过75.8分的人数为300×＝180人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．27．【分析】（1）连接AC，由正方形的性质得到∠DBC＝45°，再求出∠BQM＝90°，根据等腰直角三角形的判定即可解答；（2）①根据题意补充图形即可；②△QPM的形状是等腰三角形，延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，证明△DCP≌△ABE，得到∠DPC＝∠E，再证明MN∥AE，得到∠NMP＝∠E，通过等量代换得到∠DPC＝∠NMP，根据等角对等边得到QM＝QP，即可解答．（3）利用相似三角形的性质定理和判定定理、对称的性质，写出解题思路．【解答】解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，∵点M、N分别为BC、AP的中点，∴MN∥AC，∴∠BQM＝∠BOC＝90°，∴∠QMB＝45°，∴△QPM是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．（2）①如图2，②△QPM的形状是等腰三角形，如图3，延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，∵PB＝CE，∴PB+BC＝CE+BC，即CP＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，在△DCP和△ABE中，∴△DCP≌△ABE，∴∠DPC＝∠E，∵M为BC的中点，∴MB＝MC，∴MB+BP＝MC+CE，即MP＝ME，∴M为PE的中点，∵N为AP的中点，∴MN∥AE，∴∠NMP＝∠E，∴∠DPC＝∠NMP，∴QM＝QP，∴△QPM是等腰三角形．（3）求解思路如下：a，由题意画出图形，并延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，如图4．b，由（2）可得QM∥AE，可证．c，由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，从而．d，可得．e，由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′＝BP＝CE，设BP′＝BP＝CE＝x，由AD＝BC＝2，可分别表示P′M，ME，P′P，可求BP的长．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、相似三角形的性质定理与判定定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线．28．【分析】（1）确定BC的解析式求出点C坐标即可解决问题；（2）①根据题意确定点N的坐标即可解决问题；②由正方形MENF的对角线为3，推出点F的运动轨迹是直线l′：y＝﹣x+9，点E的运动轨迹是直线l：y＝﹣x+3，作OP⊥直线l于P交直线l′于Q．求出OP，OQ即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵A（0，6），B（4，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，当x＝2时，y＝3，∴C（2，3），∴B，C的“伴随矩形”矩形BFCE的长为3，宽为2，面积为6．故答案为6．（2）①如图2中，∵点M，N的“伴随矩形”是正方形，∴B（6，0），由题意M（3，3），N（5，1）或（1，5），∴直线ON的解析式为y＝5x或y＝x．②如图3中：∵正方形MENF的对角线为3，∴点F的运动轨迹是直线l′：y＝﹣x+9，点E的运动轨迹是直线l：y＝﹣x+3，作OP⊥直线l于P交直线l′于Q．可得OP＝，OQ＝，当点N与B重合时，点F（6，3），此时OF的值最大，最大值＝＝3∴原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值m＝3，最小值n＝，故答案为3，．。

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