应用数理统计试题

Ù
Ù
Ù
Ù
10. 若q 1 和q2 分别为参数q 的两个独立的无偏估计量，且q 1 的方差是q2 方差的 4 倍，则
A=1 , 5
效。
B=4 5
Ù
Ù
时，Aq 1 + Bq 2 是q 无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中最有
二．选择题。（30 分）
1.设总体x 服从正态分布 N (m ,s 2 ), m ,s 2 为未知数，e1,e2 ×××en 是来自总体x 的随机样本，
(3 ) P {x (5 ) > 1 5 } = 1 - P {x (5 ) £ 1 5 }
= 1 - P {x 1 £ 1 5 ,x 2 £ 1 5 ,⋯ ,x 5 £ 1 5 }
= 1 - [ P { x 1 - 1 2 > 1 5 - 1 2 } ]5
2
2
= 1 - [1 - F (1 .5 ) ] 5 = 0 .2 9 2
73
77
75
76
91
试问这个分布能否看作为离散均匀分布（a =0.05）
H
：
0
F
(
x
)
=
F0 ( x ), H 1
: F (x) ¹
F0 ( x ), P{x
=
k}
=
1 10
å ∵
c
2 n
=
v m -1 2 i
i = 0 n pɵ i
-
n
=
742 + ⋯ + 912 800´ 1
- 800
=
5.125
10
<
c
2 1-
a
(m
- 1 - 1)
=
c
2 0.9
5
(
9
)
=
16.919
\ 接受H0,即能认为分布为离散均匀分布.
5
2、 显著性水平越小，犯检验错误的可能性越小。（ ×）
3、 假设检验一般是针对错误的抽样推断做的。（× ） 4. 在对参数进行最小二乘估计之前，没有必要对模型提出古典假定。（×）
5. 一元线性回归模型与多元线性回归模型的基本假定是相同的。（×）
四．解答题。（40 分）
1.设总体x ∼ N (12, 4),x1,x2 ,×××x5 为x 的一个样本，试求概率：
一．填空题。（20 分）
应用数理统计试题
1.
设
x
∼
(
m1
,
s
2 1
),h
∼
(m2,s
22 )
，则 x ,h
相互独立，其样本容量为 n1
与
n2
，样本方差分
别为
s12
与
s22 ，则统计量
s12 s22
服从
F (n1
-1, n2
-1) 的条件是
s
2 1
=
s
2 2
2. 设一组观察值为 4，6，4，3，5，4，5，8，4，则样本均值为 4.78 ,样本方差为 2.0
0,
其他.
（1） 求可估计函数 1 的极大似然估计量。 q
（2） 求可估计函数 1 的有效估计量。 q
n
n
Õ Õ （ 1） L ( q ) =
f(xi,q ) =
q
x
q i
-1
i=1
i=1
n
ln L (q ) = n ln q + å (q - 1 ) ln x i i=1
n
å ¶ l n L ( q ) = n
10.在假设检验问题中，如果检验方法选择正确，计算也没有错误，则___A____
(A) 仍有可能做出错误判断
（B）不可能做出错误判断
（C）计算再精确些就可避免做出错误判断 （D）增加样本容量就不会做出错误判断
三．判断题。（10 分）
1、 样本容量一定时，置信区间的宽度随样本容量的增大而减小。 （ √）
2
(A)1- a
（B） a
（C） a 2
（D）不能确定
9.在假设检验中，用 a 和 b 分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一
定时，下列结论正确的是____B___
(A) a 减少 b 也减少
（B）a 与 b 其中一个减少时另一个往往会增大
（C）a 增大 b 也增大
（D）（A）和（C）同时成立
3.设 X ∼ N (1, 22 ), X1, X 2 ××× X n 为 X 的样本，则___C_____
(A) X -1 ∼ N (0,1) 2
(B) X -1 ∼ N (0,1) 4
(C)
X 2
-1
∼
N (0,1)
n
(D) X -1 ∼ N (0,1) 2
4.设 0，1，0，1，1 为来自二项分布 B(1, p) 的样本观察值，则 p 放入矩估计值为____C___
8. 要使犯两类错误的概率同时减少，只有 增加样本容量 。
( ) ( ) ( ) 9. 在分布拟合检验中，欲检验的假设为 H0 : F x = F0 x,q ,q 已知后， x,q 为已知
å 分布，可应用 x2 拟合优度 检验,检验选用的统计量为 x2 = m (n1 - npi )2 。 i=1 npi
-
ln x i
i=1
q
n
q
q
n
4.要求某种元件使用寿命（单位：小时）服从正态分布 N (1000,1002 ) 。现在从某厂生产的
这类元件中抽 25 件，测得其平均使用寿命为 950 小时，试问这个厂生产的这类元件是否合
4
格？（a =0.05）
H
：
0
m
= 1000, H1
:m
¹ 1000
∵U
=|
x
n s 2 ~ c 2 ( n - 1 ) ,\ s2
x n +1 - x n + 1s n
∼ N (0 ,1)
\ x n +1 - x
/
n + 1s
n
n s 2 / (n - 1) = T s2
∼ t(n - 1)
3.设总体x 具有密度函数
f ( x;q ) = {q xq -1, 0 < x <1,q > 0
P{X = k} = (1- p)k-1 p; k = 1, 2,×××; x1, x2 ××× xn 是总体 X 的一个简单随机样本，则 p
的矩估计量为
Ù
P 矩=
1
，
p 的极大似然估计量为
Ù
P 极大=
1
。
X
X
5. 在处理快艇的 6 次实验数据中，得到下列最大速度值（单位： m / s ）：35，31，30，
则下列结论成立的是____C____
å （A） S 2
=
1 n
n i =1
(ei
-x
2
) 服从 x2 (n -1)
分布
1
å （B） S12
=
1 n -1
n i=1
(ei
-x
2
)
服从
x2 (n -1)
分布
å （C）
1 s2
n
(ei
i=1
2
-x ) 服从 x2 (n -1) 分布
å （D）
1 s2
=
n
1
(A)
5 3
(C)
5
2
(B)
5 4
(D)
5
5.设 0，2，2，3，3 为来自均匀分布总体U (0,q ) 的样本观察值，则q 的矩估计值为____D___
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Ù
Ù
6.设q 是参数q 的无偏估计量，且 D(q ) > 0 ，则q 是q 的__C____估计量
(A) 无偏估计量 （C）有偏估计量
37，27，38，则最大艇速的数学期望的无偏估计量值是 33m/s ；最大艇速的均方差
的无偏估计是 3.07m/s 。
6. 设 X1, X 2 ,×××X n 是来自[q ,q +1](q > 0) 上的均匀分布总体的一个样本，则q 的估计量
是
Ù
q
矩=
X
-
1
2
7. 假设检验分为两类，分别为 参数假设检验 和 分布拟合 检验。
（1） p(x > 13); （2） p(x(1) < 10);
（3） p(x(5) > 15).
(1)x ~ N (1 2 , 4 ) 5
P {x
>
1 3}
=
x P{
- 12
>
13
- 12}
=
1-
F(
5 ) = 0.13
0.8
0.8
2
( 2 ) P {x (1 ) < 1 0 } = 1 - P {x (1) ³ 1 0 }
å ¶ q
q
+
n
ln x i =
i=1
0
Þ
\
æ ç
1
çè q
ö ÷ ø÷
=
-
ln x i
i=1
n
n
å å （
2 ）¶ ln L (q ) = n
¶q
q
+
n
ln x i =
i=1
n[ 1 q
- (-
ln x i
i=1
)]
n
n
n
å å ∵
E (1 ) =
E (-
ln x i
i=1
)=
1 ,\ ( 1 ) =
- m0 s
|=|
950 - 1000 100
|=
2.5
>
ua /2
= 1.96
n
5
\ 拒 绝 H 0， 即 认 为 元 件 不 合 格 .
5.在数p = 3.14159××× 的前 800 位小数中，数字 0,1, 2,×××9 出现的次数如下：
数字 0
1
2
3
4
5
6
百度文库
7
8
9
频数 74
92
83
79
80
3
å å 2.设x1,×××xn,xn+1 是总体x
∼ N (m ,s 2 ) 的一个样本，
x
=
1 n
n
xi , S 2
i=1
=
1 n
n i =1
(xi
-x
2
).
试证: T
D
=
xn+1
-
x
n -1 ∼ t(n -1) .
S n +1
∵x
~
N
s2 (a ,
n
),x
n +1
-
x
~
N (0 , n + 1 s 2 ), n
（B）有效估计量 （D）A）和（B）同时成立
ÙÙ
7.设q = q ( X1, X 2 ,×××X n ) 是参数q 的极大似然估计，则下列结论正确的是____C_____
Ù
(A) q 肯定为似然方程的解
Ù
（B）q 是唯一的
Ù
（C）q 存在时，不一定唯一
（D）（A）和（B）同时成立
8.在对总体的假设检验中，若给定显著性水平 a，则犯第一类错误的概率为____B_____
= 1 - P {x 1 > 1 0 ,x 2 > 1 0 ,⋯ ,x 5 > 1 0 }
= 1 - [ P {x 1 > 1 0 } ]5 = 1 - [1 - P {x 1 £ 1 0 } ] 5
= 1 - [1 - P { x 1 - 1 2 £ 1 0 - 1 2 } ]5
2
2
= 1 - [1 - 1 + F (1 ) ]5 = 0 .5 7 9
(ei
i =1
2
-x ) 服从 x2 (n -1) 分布
2.设随机变量x ∼ N (m ,s 2 ),h ∼ x2 (n),T = x - m n ，则____D__ h
(A) T 服从 t(n -1) 分布
（B）T 服从 t(n) 分布
（C）T 服从 N (0,1) 分布
（D）T 服从 F (1, n) 分布
( ) 3. 若 x1,x2 ,×××,xn+1 为 来 自 总 体 x ∼ m,s 2 的 一 个 样 本 ，
å ( ) hi
= xi
-
1 n+
1
n j
+1 =1
xi
i = 1, 2,×××, n +1
，则hi 服从
N (0, n s 2 ) n +1
分布
4. 设 总 体 X 服 从 参 数 为 p 的 几 何 分 布 ， 其 分 布 律 为