四、 材料力学正应力分析

1
h/4
b
为压缩正应力
平面弯曲时梁横截面上的正应力
例题4-3 丁字截面简支梁受力如图,已知梁的参数：
FP 32kN; l 2m; 形心坐标 yc 96.4mm ; I z 1.02108 mm4
试求最大弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
50
A
l/2
FP B
l/2
C
z
200
96.4
2、纯弯曲时梁的正应力分析 纯弯曲梁的正应力分析需要三个步骤： 应 应 应 变 平面假定 物性关系 静力方程 力 力 变 公 分 分 形 式 布 布
平面弯曲时梁横截面上的正应力
a、应用平面假设确定应变分布 1） 弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、 下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截 面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我
M z y max M z Iz Wz
σmax
σmax
其中 Wz = Iz / ymax 称为弯曲截面系数；
平面弯曲时梁横截面上的正应力
弯曲截面系数: Wz = Iz /ymax ;

*矩形截面的弯曲截面系数:
Wz = b h² /6;

*圆形截面的弯曲截面系数:
*圆环截面的弯曲截面系数
Wz = π d³ / 32 ;
Wz

D3
32
(1 4 );
d ; D
平面弯曲时梁横截面上的正应力
f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式
1


Mz EI z
公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度 成反比。 3、弯曲正应力公式的应用与推广
mHale Waihona Puke Baidux
M z y max Mz Iz Wz
a、梁上最大正应力位置的判定 需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素； b、纯弯曲正应力公式可以推广到横向弯曲 纯弯曲正应力公式在横向弯曲也是近似适用的。
800N

c
课外练习：4-1；4-5；4-9；4-14
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
课堂练习4-1 图示矩形截面柱，已知：外加载荷FP以及横 截面尺寸。 试求 ABED 截面上四个角点上的正应力。
ΔA
z
y
σx
x
M y 得正应力公式： z Iz
z
正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比；
与截面的惯性矩成反比。应力分布如图：
平面弯曲时梁横截面上的正应力
d、中性轴在横截面上的位置 中性轴通过横截面的形心，并且垂直于形心主轴。 e、最大正应力公式与弯曲截面模量 对于横截面上正应力最大值
max
SZ
b h
R
zdA A z ; ydA A y ;
A i Ci A i Ci
图形几何形状的中心称形心：YC
ZC
S Z A S Y A

A
ydA A

A y
i
Ci
Ai
i Ci
; ;
zdA A Z
A
A
Ai
与应力分析相关的截面图形几何性质
3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩---IY IZ
y
MAy FA1 z FQ My 2FP!l y MAz z FQ Mz FP2l FA2 FP2
FP1 x x
x
M y max Wy Wy
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
M 6 2 FP1l 6 FP 2l z max 9.98MPa; 2 2 Wz hb bh M z max ) 9.98MPa; Wz
公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外）。
斜弯曲时梁横截面上的正应力
圆形截面斜弯曲梁的最大正应力：

max

M W M W

2 2 Mz My
W
;
_ max

2 2 Mz My
W
;
例4-4 图示矩形截面梁已知：b=90mm;
h=180mm; Fp1=800N; Fp2=1650N; l=1m; 试求梁内最大弯曲正应力及作用位置。
3
y
z b
y
h
b、圆形截面的惯性矩
IY I Z
d
4
z
;
y
d
64
C、圆环截面的惯性矩
d Iy Iz (1 4 ); ; 64 D
D 4
z
d
D
与应力分析相关的截面图形几何性质
d、圆形截面的极惯性矩
IP
d 4
32
;
e、圆环截面的极惯性矩
IP
d 4
32
(1 4 );
平面弯曲时梁横截面上的正应力
例题4-2 受均布荷载简支梁如图,已知梁的截面为矩形 b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.试求最大弯矩截 面B上1、2两点的正应力。
q A l/2 C B l/2 z 1 h/4 b y
2 h
平面弯曲时梁横截面上的正应力
解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置 MZB = q l² / 8; 2、计算正应力 1点的正应力：
800N 800N
21mm
800N
800N
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 解：1、计算开口链环直段部分横截面上
最大应力，受力如图；横截面上弯矩：
800N 800N
M
z
8 0 0 1 5 1 0 3 1 2 ( N m );
800N
Mz
800N
横截面上正应力（如图所示）
M FN W A 32 12 4 800 77.8 MPa; 3 -6 2 -6 12 10 12 10 M FN max W A 32 12 4 800 63.6 MPa; 3 6 2 6 12 10 12 10
1
50 150
平面弯曲时梁横截面上的正应力
解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。 MzB=Fp l / 4 =16 kNm; 2、计算最大弯矩截面上最大正应力 最大拉伸正应力：

max M z ymax 16103 153.6 103 6 24 . 9 10 Pa 8 3 4 Iz 1.0210 (10 )
⊕ ⊕ ⊕
x

_ max
(
M y max
A
A
σmax +
x
⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖
Mz
⊖ ⊖
x
My
⊖
B
B
σmax ˉ
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 纵向载荷作用线平行于杆件的轴线， 但不重合，这种载荷称为偏心载荷。 将载荷向截面形心简化得到两个内力
FP
FP
分量：FNx ≠ 0 ; Mz≠0;
A
FP
l/2
C B
l/2
Fq
+ x
-
M
Fpl/4 + x
位置在梁的下边缘处 最大压缩正应力：

max M z ymax 16103 96.4 103 6 15 . 12 10 Pa 8 3 4 Iz 1.0210 (10 )
50
y z
200
σmax ˉ
MZ
斜弯曲时梁横截面上的正应力
解：1、确定梁截面上的内力分量，梁 的内力如图：最大弯矩在固定端处。 Mymax = -Fp1l ; Mzmax = -Fp2l ; 2、确定梁根部截面上最大正应力作 用点：如图 ,A 点处是两拉应力相加； B 点处是两压应力相加。 3、计算最大正应力:
max
其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力：

max
FP
Mz Mz
M FN M FN ; max （ ） ; W A W A
FP
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 例4-5 图示开口链环由直径d=12mm的园钢制作而成。 试求： 1）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力； 2）、当链环焊接成闭口状态应力如何？
们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线
称为中性轴。
M M
中性轴
平面弯曲时梁横截面上的正应力
2）梁弯曲时的平面假设 梁变形后周边表面的横向线仍然是直 线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截 面在变形前后仍然保持为平面，只是相对 转过一个角度 dθ 。 3）沿梁横截面高度方向正应力表达式：
d ; D
4、形心主惯性矩
图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩，
与应力分析相关的截面图形几何性质
例4-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩 Iy ;Iz ;
解：由负面积法, Iz=H b³ / 12 – h b³ / 12 = b³ ( H - h) / 12;
y
Iy = b H³ / 12 – b h³ / 12 = b( H³ - h³ ) /12;
96.4
x
位置在梁的上边缘处。
思考：对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，
设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限 度地发挥了材料的强度潜力？
1
50
σmax +
150
斜弯曲时梁横截面上的正应力
1、产生斜弯曲的加载条件 当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面时，这种弯曲 称斜弯曲。如图：
c、应用静力方程确定正应力公式 由
y
dA y M
A x
z
（ A
E E ydA ） y

A
y 2 dA M z
z ΔA
y
σx
x
由 E y 2 dA M z A

E
z


Mz Iz
平面弯曲时梁横截面上的正应力
y
E E Mz y 将 带人公式 Iz
平面弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯 矩作用的情况，如梁的BC 段。截面上只有正应力。
A FAy
l/5
F B
3l/5
F C
l/5
D FDy
横向弯曲：梁的横截面上既有
FQ +
F x
剪力也有弯矩，如梁的AB
段。因而其上既有正应力 也有切应力。
M
F Fl/5
+
x
平面弯曲时梁横截面上的正应力
M z y1 10103 0.452 0.03 0.02 0.033 42.2 106 Pa Iz 8 4 12
q A
l/2
C B
l/2
Fq
+ x
M
+ x
为拉伸应力
y
2点的正应力：
z
2 h
M z y2 10103 0.452 0.03 0.02 0.033 84.3 106 Pa Iz 8 2 12

dx d y y dx dx
1


d dx
平面弯曲时梁横截面上的正应力
b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布 由虎克定律 将上述应变公式带人得：
σ=Eε
即：正应力与高度坐标成线性关系
σ = -E y / ρ
其中 ρ 表示该点的曲率半径，它如何表达呢？
平面弯曲时梁横截面上的正应力
第4章
弹性杆件横截面上的 正应力分析
第4章 弹性杆件横截面上的正应力分析
1、与应力分析相关的截面图形几何性质 2、平面弯曲时梁横截面上的正应力 3、斜弯曲时梁横截面上的正应力 4、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
5、基于最大正应力的强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
1、横截面面积 常见的横截面有： 矩形—— A = h×b ; 圆形—— A = πR² ; 2、静矩、形心 截面面积对轴的矩称为静矩：S Y
2 z dA; A

A
y 2 dA;
iY iZ
Iy A
;
惯性半径----
Iz ; A
极惯性矩------ 由r 2 x 2 y 2 ; 惯性矩与极惯性矩的关 系为：
IP I y Iz;
与应力分析相关的截面图形几何性质
4、常见形体的惯性矩、极惯性矩 a、矩形截面的惯性矩
IY IZ hb ; 12 b h3 ; 12
max
σmax+
c
σmax ˉ
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 2、计算闭口链环直段部分横截面上最大 应力，受力如图：横截面上只有拉应力。

FN 4 FN 3 .5 7 M P a ; 2 A d
800N
800N 400N 400N
比较两种形式链环的正应力大小相差近 22倍。
z
h
H
b
与应力分析相关的截面图形几何性质
小鸟
与 应 力 分 析 相 关 的 截 面 图 形 几 何 性 质
平面弯曲时梁横截面上的正应力
1、平面弯曲的概念 梁的对称面：梁的横截面具有 对称轴，所有相 同的对称轴组成 的平面。 形心主轴平面：所有相同的形 心主轴组成的平 面。 平面弯曲：所有外力都作用在梁 的同一主轴平面内， 梁的轴线在该平面中 弯曲成曲线。
FP2
z
FP1
变形平面
y
合力作用平面
斜弯曲时梁横截面上的正应力
2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力 当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横 截面上的正应力可以应用叠加法确定。如图：
y y
σmax +
C C
z
z
σmax ˉ
My My M M _ 其最大正应力： max z ; max ( z ); Wz Wy Wz Wy