力学答案——漆安慎,08章

0
( R + x )θ − Rθ Rθ
2
=
τ=
σ = Yε , ε = σ / Y
F S
=
7×105 90×10 − 4
= 7.78 × 10 7 N / m 2
7.78×10 7 8×1010
V − V0 σ (1 − 2 µ ) 1.37(1 − 2 × 0.3) = = ≈ 2.8 × 10 −12 10 V0 Y 19.6 × 10
µ =| εε | ，拉伸时，ε>0, ε1<0, ∴ε1=-με
1
8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为 500kg。最大负载极限 5.5kN。每根钢索都能独立承担总负载，且其

第 8 章弹性体的应力和应变习题解答
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第 8 章弹性体的应力和应变习题解答
以 2d 为梁的高： R1 = Y (3d )(2d ) /(12τ )
3
以 3d 为梁的高： R2 = Y ( 2d )(3d ) /(12τ )
3
R1 3 × 18 4 = = R2 2 × 27 9
8.3.3 某梁发生纯弯曲，梁长度为 L,宽度为 b，厚度为 h，弯曲 后曲率半径为 R,材料杨氏模量为 Y,求总形变势能。 解：建立图示坐标 o-x, 原点 o 在中性层。梁的弯曲 R θ 是由不同程度的拉伸压缩形 b 变组成。 在坐标 x 处，取一体元 dv=bLdx ，其应变 ε =
整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷： Fmax = 1.37 × 10 N
4
∴ D = 2 T /(πσ ) = 2 4.16 × 10 3 /(3.14 × 0.7 × 6.0 × 10 8 ) = 6.15 × 10 −3 m = 6.15mm
8.1.5 ⑴矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε，此材料 的泊松系数为μ，求证杆体积的相对改变为 (V-V0)/V0=ε(1-2μ)， V0 表示原体即，V 表示形变后体积. ⑵上式是否适用于压缩？⑶低 碳钢杨氏模量为 Y=19.6×1010Pa，泊松系数μ=0.3，受到的拉应力为 σ=1.37Pa，求杆件体积的相对改变。 解：⑴设杆原长为 l0，矩形截面两边原长分别为 a0 和 b0，据线 应变定义：轴向应变 ε =
Y L b h3
24 R 2
8.3.2 矩形横截面长宽比为 2:3 的梁，在力偶矩作用下发生纯弯 曲，各以横截面的长和宽作为高度，求同样力偶矩作用下曲率半径 之比。 解：设梁衡截面长为 2d, 宽为 3d，据梁纯弯曲的曲率公式：
k = 12τ /(Ybh 3 ) = 1 / R, R = Ybh 3 /(12τ )
σ = F / S = F4 / S =
3×10 4 5.0×10 − 4
= 0.6 × 10 8 N / m 2
C T A 1.0m D 0.6m W B
⒍梁弯曲的曲率与力偶矩的关系
k=
12τ Ybh 3
⒎杆的扭转角与力偶矩的关系
τ = Cϕ , C =
πNR
2l
4
8.1.2 利用直径为 0.02m 的 钢杆 CD 固定刚性杆 AB.若 CD 杆 内的应力不得超过σmax=16×107Pa 0.8m .问 B 处最多能悬挂多大重量？ 解：隔离 AB，以 A 点为轴， 由力矩平衡条件，有
解： F1 E F2 G F3 H F4
A B C D 根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在 AB 之间 E 处，BC 之间 G 处，CD 之间 H 处作垂直杆的假想截面 S。 隔离 AE 段，由平衡条件，E 处 S 面上的内力 F=F1,∴A、B 之 间的应力
σ = F / S = F1 / S =
l 0 Fl Y S
θ=
∫
l'
l
γ F dl = ∫ ( YS +Y x)dx ∴ ∆l =
+ γ2 lY
2
Ml 50 × 10 = 3 R 2π NR d 2 × 3.14 × 2.65 × 1010 × 0.02 3 × 0.001 ≈ 0.376rad =
ψl

2
x o
dx
σ=
F' S
=
F +γ S x S
=
F S
+γ x
F
据剪切形变的胡克定律： τ = Nψ ,
ψ=
τ
N
=
⑵考虑 x 处的线元 dx，该线元在重力作用下的绝对伸长为 dl, 据胡克定律， 积分：
M 2π NR 2 d
σ = Ydl / dx , dl = σdx / Y = [ F /(YS ) + γ x / Y ]dx
应力仅为允许应力的 70%，若电梯向上的最大加速度为 g/5,求钢索 直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力 TTT 为 6.0×108Pa. 解：设每根钢索承受拉力为 T,电梯自重为 W=mg,负荷为 W'=m'g.由牛顿第二定律，
3T − W − W ' = (m + m' )a = 0.2(m + m' ) g + W '+0.2(m + m' ) g ] T=1 3 [W =1 + 1.2W ' ) = 0.4(mg + W ' ) 3 (1.2mg = 0.4 × (500 × 9.8 + 5.5 × 10 3 ) = 4.16 × 10 3 N
⑵对于压缩，ε<0, ε1>0, 仍有ε1=-με成立，因此上式对压 缩情况仍然适用 ⑶据胡克定律
8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了 切变。钢板的横截面积为 S=90cm2.两刀口间的垂直距离为 d=0.5cm. d 当剪切力为 F=7×105N 时，求：⑴钢板中的 切应力，⑵钢板的切应变，⑶与刀口相齐的 两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切 模量 N=8×1010Pa。 解：⑴据切应力定义
对于钢管：
第 8 章弹性体的应力和应变习题解答
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第 8 章弹性体的应力和应变习题解答
θ=
50 × 10 ≈ 0.124rad 2 × 3.14 × 8.0 × 1010 × 0.02 3 × 0.001
在整个梁中积分，即得到整个梁的形变势能
Ep =
YbL
2R
2
∫
h/2
−h / 2
x 2 dx =
2 Ep = 1 2 Yε ， 0 2 Ep = 1 2 Nψ 。 0
8.1.1 一钢杆的截面积为 5.0×10-4m2，所受轴向外力如图所示， 试计算 A、B，B、C 和 C、D 之间的应力。
F1 = 6 × 10 4 N , F2 = 8 × 10 4 N , F3 = 5 × 10 4 N , F4 = 3 × 10 4 N
σ ( x) =
Fl SY
F S
+ γx 。⑵杆内应力如上式，试证明杆的总伸长量
x
∆l =
+ γ2lY
2
证明：⑴建立图示坐标 o-x，在坐标 x 处取 一截面 S，隔离 o、x 段杆，由平衡条件，截面 S 上的内力 F’=F+γSx ，据应力定义
8.3.1 一铝管直径为 4cm，壁厚 1mm，长 10m，一端固定，而另 一端作用一力矩 50Nm， 求铝管的扭转角θ； 对同样尺寸的钢管再计 10 算一遍，已知铝的剪切模量 N=2.63×10 Pa，钢的剪切模量为 8.0×1010Pa 解：设管的半径为 R, 管壁厚 d，管长为 l, 外力 θ 矩为 M，由于 d<<R，可认为管壁截面上各处的切应 力大小相等，设为τ，在平衡状态下，内、外力矩相 ψ 等： M = τ (2π Rd ) R, τ = M /( 2π R d )
l −l0 l0
根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆
Fmax S1
=Y
∆l1 l1
，所以，
∆l1 =
Fmax l1 Y1S1
；对于钢杆，同样有 ∆l 2 =
l1 Y1S1
Fmax l2 Y2 S 2
. 整个杆的伸长量是：
∆l = ∆l1 + ∆l 2 = Fmax ( = 1.37 × 10 (
4
+ +
l2 Y2 S 2
，横向应变 ε 1 =
) ) = 2.89 × 10 m
−3
b −b0 b0
=
a − a0 a0
，所以：
l = (1 + ε )l 0 , a = (1 + ε 1)a 0 , b = (1 + ε 1)b0 ，由泊松系数定义
3.0 6.9×1010 ×4.0×10 − 4
2.0 19.6×1010 ×1.0×10 − 4
V − V0 abl − a 0 b0 l 0 (1 + ε 1)a 0 (1 + ε 1)b0 (1 + ε )l 0 − a 0 b0 l 0 = = V0 a 0 b0 l 0 a 0 b0 l 0 = (1 + ε 1) 2 (1 + ε ) − 1 = (1 − µ ε ) 2 (1 + ε ) − 1 = (1 − 2 µ ε + µ 2 ε 2 )(1 + ε ) − 1 = ε (1 − 2 µ )(略去高级小项)
8.1.6 ⑴杆受轴向拉力 F，其横截面为 S，材料的重度（单位 体积物质的重量） = Nψ ∴ψ =
τ
N
=
= 9.7 × 10 −4 rad
−4
⑶∵ψ = ∆l / d ∴ ∆l = dψ = 0.5 × 9.7 × 10
= 4.85 × 10 −4 cm
6×10 4 5.0×10 − 4