第十章数学思维与数学思想方法

数学能力的组成
学习数学的数学能力----再创造 创造性的数学能力----数学科学活动中的能力,这种 能力产生具有社会价值的新成果和新成就. 数学运算能力,空间想象能力,逻辑思维能力. ----洞察能力,理解能力,记忆能力,运用能力,数学语 言表达交流能力,数学自学能力,分析问题和解决问 题的能力(应用).
数学创新能力
1.提出数学问题和质疑的能力,具有能疑善思敢想的品质; 2.建立新的数学模型并应用于实践的能力; 3.发现数学规律的能力,包括提出定义定理和公式; 4.推广现有数学结论的能力,包括更新概念放松条件或加强结论; 5.构作新数学对象的能力----概念理论关系; 6.将不同领域的知识进行数学连接的能力; 7.总结已有数学成果达到新认识水平的能力; 8.巧妙地进行逻辑连接作出逻辑严密论证的能力; 9.善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌; 10.知道什么是好的数学,什么是不大好的数学.
1.分析的或数学上抽象的气质 2.几何的或数学上形象化的气质 2. 3.抽象的调和气质 4.形象的调和气质
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类型 描述 语言—逻 辑成分 视觉—形 象成分 相关 解题中视 觉支持的 作用 空间概念 分析材料 分析型(抽象) 很强 弱 几何型(形象) 超过平均水平 很强 抽象—调和型 形象—调和型 强 强 平衡,语言— 逻辑成分 强 强 平衡,视觉—形象 成分
从语言—逻辑的陈 从视觉—形象的 述入手,适应概念 特征入手,适应有 分析有关的材料 意象来支持的材 料 将具体或形象表述 将抽象的对象转 的问题转化为抽象 化为视觉--形象 水平来描述 的水平来描述
描述数学 关系
分析的或数学上抽象的气质
分析型:高度发展的语言逻辑成分,比微弱的视觉形象成 分明显地占优势,他们运用抽象模式进行运算,在问题解答中 不需要形象化的东西或模型的支持; 该类型的代表不具备视觉形象的概念化能力，在依靠形 象能做出简单得多的解答时，他们却使用了更难和更复杂的 逻辑分析法.在做抽象表达的问题时非常成功,但是他们力图 在可能的范围内,把以具体形象的方式表述的问题,转换到抽 象的水平上去, 完成有关概念分析的运算，比完成有关几何 模型或图形的运算更容易. 空间概念没有得到充分的发展.
几何的或数学上形象化的气质
几何型:有发展得非常好的视觉形象成分,形象的解 释抽象的数量关系,图形表示经常取代逻辑. 如果他们以具体形象的支柱,以形象化的实物或图形 去解答问题不成功,则他们用抽象的方案进行运算就有困 难. 他们总是坚持用视觉的图式表象和具体的概念进行 运算,甚至当问题依靠推理很容易解决,而使用形象的方 法则显得多余或困难的时候,也是如此. 具有高度发展的空间概念----学生极力强调他们不 是解答问题,而是看出了所要求的东西.
教育心理学新探-----李镜流
数学能力结构的成分: 认知:包括对数的概念符号图形数量关系以及空 间关系的认识. 操作:包括对解题思路,解题程序和表达以及逆运 算的操作. 策略:包括解题直觉解题方式方法速度以及准确 性创造性,自我检查评定.
美国数学教师协会----数学课程标准
1.数的运算能力; 3.逻辑推理能力; 5.数学交流能力; 2.问题解决的能力; 4.数学联结能力; 6.数学表示能力.
直觉思维
数学直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种 非常直接的识别或猜想的心理状态,它是一种逻辑 思维的跳跃式的思维,它根据对事物的生动的知觉 印象,直接把握事物的本质和规律. 任何直觉思维都是持久探索和思考的结果,虽然在 形式上表现为逻辑条约和中断,但仍为理性的思维, 理性的积淀.它具有潜逻辑性,下意识性,突发性.
数学思维的目的性:指在思考问题时,集中精力,方向明 确,力求达到目的作出明知的选择. 根据问题的条件及结论的特点,使得每一步变形化简都 有明确的目的性,抓住问题的关键所在,设法予以突破, 将其转化为已经解决或者容易解决的问题形式. 如何实现问题的要求
数学思维的批判性:在思维活动中,善于严格地估计思维 材料和精细地检查思维过程的品质. 批判性思维是一种实事求是,周到,缜密的思维.体现在能 够发现前人理论中的不足或者错误,加以修正和发展,善 于发现问题提出质疑,善于明辨是非,敢于发表自不同的 观点----罗巴切夫斯基几何(高斯),黎曼几何，爱因斯坦 发明广义相对论. 在数学学习活动中,思维的批判性表现为善于发现问题, 提出质疑,善于明辨是非,评价优劣,敢于发表不同的观点, 善于自我检查,分析错误的原因.
数学思维的灵活性:指能够根据客观条件的变化及时地 改变和调整固有的思维形式,摆脱思维定势的影响，从 多方面多角度寻找解决问题的途径. 随着条件的变化迅速确定解题方向,或在解题过程中, 当思维受阻时,能有的放矢地寻求新的解题方向和方法, 能从已知的条件结构和数学关系中通过类比联想等方 法,分析出新的数学关系结构,具有从隐蔽的形式中分清 实质的能力.
数学能力
数学能力是顺利完成数学活动所具备的,而且直接 影响其活动效率的一种个性心理特征,它是在数学活 动过程中形成和发展起来的,并且在这类活动中表现 出来的比较稳定的心理特征.是系统化了的,概括化 了的那些个体经验,是一种网络型的经验结构.
能力与知识技能的区别与联系
1.内涵不同:知识是客观事物现象与本质的反映, 是后天 获得的;能力是顺利完成某中活动的本领,属于个人的心 理状态,能力与先天因素有关也与后天环境教育有关. 2.知识的发展相对快一点,能力的发展是有限度的, 发展相对慢一些. 3.知识与能力相互联系相互制约.人们从事任何活动 需要知识又需要能力,能力在掌握知识的过程中形成与 发展,已形成的能力影响知识的掌握.
数学思维的基本成分
1.具体形象思维 2.抽象逻辑思维 3.直觉思维
按照思维过程中凭借物或思维形态的不同分为： ①动作思维----依赖实际动作作为手段的思维. ②形象思维----用表象来进行分析综合抽象概括的过程. ③抽象思维----离开具体形象,运用概念判断和推理等进 行的思维.
具体形象思维
数学形象思维的过程是对一类特殊的思维材料的 加工创造过程.这类特殊的数学思维材料,就是具体 可感知的数学表象材料. 数学形象思维的基本特征:以物象为思维材料,在 整个思维过程中都不脱离形象,始终具有具体可感 知性. 数学形象思维可以弥补抽象思维的不足
语言—逻辑成分占 视觉—形象成分 优 占优 不能运用,但感到 不需要 较弱
能够运用且感到 能运用,但感 能运用且认为非 需要,并常常表现 到无必要,倾 常有必要,也倾向 出某些独创性 向于心理运算 于心理运算 很好 良好 良好 从语言—逻辑 从视觉—形象的 的陈述入手, 特征入手,常依靠 不太依靠图解 图解模式 模式 通过视觉--形 通过视觉--形象的 象的手段来描 手段来描述 述
数学思维的深刻性:指在分析问题解决问题的过程中, 能够根据所研究问题的实质,以及问题之间的相互联系, 深入钻研和思考问题,善于从复杂的现象中把握事物的 本质规律,善于探索事物间的联系与差异,善于将已有事 实变更推广为更深刻的结果. 人们认识事物总是受到对象本身和反映对象的背景所 制约,只有在反映对象背景材料的全面认识的基础上,才 能深刻领会把握对象的本质.思维的深刻性的反面是思 维的肤浅性----常常表现为对所学概念不求甚解,做练习 不明确解题思路,不领会问题的实质,不思考解决问题的 方法.
数学思维发展的关键期和成熟
数学思维发展的关键期和成熟期为七年级和高 中一年级.
思维发展的差异性 思维发展与数学学习 形象思维水平
数学思维的方式
1、思维过程的指向：发散思维与收敛思维 2、思维的策略：正向思维与逆向思维 3、思维的思考形式：直觉思维与逻辑思维 4、思维的智力特点：再现性思维与创造思维
数学思维符号化
思维的结构
客观事物 感觉 感性认识 概念 判断和推理 理性认识 主观认识 知觉 表象
苏霍姆林斯基----画应用题
割草问题（列夫·托尔斯泰）：
一个小组割草，大块草地是小块草地的两倍,上午全体人 员在大块的草地上割草,下午全体人员一分为二，其中一部 分在大块的草地上,另一部分在小块地上，到了傍晚，大块 的草地全部割完，小块的草地需要一个人再割一天,假设每 个人的割草速度一样,问共有多少人?
数学思维的创造性:指思维的结果相对于已有的认识成 果来说,具有独特性和新颖性,是主体对知识经验和思维 材料进行新颖的组合分析,抽象概括以至达到人类思维 的高级形态; 思维的结果,不论是概念理论假设方案或是结论,都包含 着新的因素,它是一种探新的思维活动.在学习过程中善 于独立思考； 善于分析和解决问题,善于追求独特新颖的解题方法,善 于改造和推广已有的成果.
数学思维是人类的最高思维形式之一. 数学思维指人类关于数学对象的理性认识过程,包括应用数学 工具解决各种实际问题的思考过程.也就是研究数学对象的本质和 内在联系的认识过程.
数学思维的特征
数学思维抽象性
数学思维的思维对象是数学关系----逐级抽象
数学思维严谨性
逻辑思维是数学思维的主要形式----直觉、顿 悟、猜测、想象都是以逻辑思维为基础的.
NCTM. Principles and standards for School Mathematics 2000
关于数学思维能力的界定
1.数形感觉与判断能力; 3.几何直观和空间想象; 5.数形运算和数形变换; 7.逻辑思考与演绎证明; 9.数学计算和算法设计; 2.数据收集与分析; 4.数学表示与数学建模; 6.归纳猜想与合情推理； 8.数学联结与数学洞察; 10.理性思维与建构体系.
中学数学能力培养的基本途径
1.加强学习方法研究,关注学生的个性发展,提高学 生学习的自觉性积极性是培养能力的前提. 2.加强基础知识教学,关注数学知识的发生发展过 程的教学,学好数学基础知识是培养能力的基础. 3.改进教学方法和教学组织形式,重视数学思想方 法,注重思维能力的培养是培养能力的关键. 4.注意各科知识的渗透综合,指导学生运用数学知 识解决实际问题是培养能力的重要措施. 5.转变教育理念,提高教师的知识业务水平和教育 思想水平是教学中培养学生能力的重要条件.
克鲁捷茨基提出的数学能力结构--20世纪50年代
1.使数学材料形式化的能力; 2.概括数学材料的能力; 3.运用数字和其它符号进行运算的能力; 4.连续而有节奏的逻辑推理的能力; 5.缩短推理过程和相应的运算系统的能力; 6.从正向思维序列转向逆向思维序列的能力; 7.思维的灵活性---从一种心理运算转向另一种心理运算 的能力; 8.对典型推理的运算模式的概括和记忆能力; 9.形成空间概念的能力; 10.综合成分,如气质,灵感,韧性,洞察力等.
第十章 数学思维与数学思想方法
数学思维
思维品质（目的性,敏 捷性,灵活性深刻性,批 判性,创造性）
思维内容 （序关系, 函数关系, 集合形式, 代数运算)
思维操作（形象思 维,逻辑思维,直觉 思维）
思维与数学思维
思维是人脑对客观事物现实概括的和间接的反映,它反映的是事 物的本质与内部的规律性. 数学思维不同于其他学科的思维形式,其区别源于数学学科自身 的特点、数学学科的研究对象及研究数学科学的方法;
数学思维的广阔性:善于全面地看问题,不仅善于抓住 某个问题最一般的基本框架,而且关注重要的细节和主 要因素,是一种不依常规,寻求变异,从多角度多方面去 思考问题,寻求解决问题的思维品质. 数学思维的广阔性表现为能捕捉有效的信息,广泛地进 行对比联想,对问题能够想出不同的解决方式和策略,不 但能研究问题本身,而且能研究相关的其他问题. --------一题多解
数学学习与思维发展
数学思维发展的年龄特征：
年龄阶段 婴儿期 0----3 幼儿期 3----6,7 学龄初期 6,7-----11,12 少年期 11,12---14,15 青年初期 14,15----17,18 思维水平 感知动作思维水平 具体形象思维水平 形象抽象思维水平 经验型为主的抽象逻辑思维 理论型为主的抽象逻辑思维
抽象数学逻辑思维
抽象数学逻辑思维是数学思维的基本形式,以反映 客观事物数学本质属性的概念为思维材料.在数学 概念的基础上,通过一定的逻辑法则进行推理,形成 概念定理原理. 数学逻辑思维方法：归纳和演绎,分析与综合,具体 与抽象. 数学逻辑思维的主要功能：认识数学概念,建立数 学理论体系乃至其他科学理论体系.