等腰三角形存在性问题(带答案)
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等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的 5×5方格中，每个小方格都是边长为 1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、 .如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB 为其中一腰．这样的 C 点有 ()个．3 、如图， A、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接AB、 BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB 为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（ 1）如图所示，线段OD 的一个端点O 在直线 AB 上，以 OD 为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在 AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（ 2）若∠ DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（ 3）若改变（ 2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（ 2）中的结果相同，则改变后∠DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB 是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段 AB 和直线 l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线 l 上恰好只有个 1 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 2 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 3 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 4 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 5 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 6 点 P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB ,当AOB为 30 ， 60 ， 120 时，请在射线OA 上找点 P，使POB 为等腰三角形，并分析出当AOB 发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中， AB=4， AD=10，点 Q 是 BC的中点，点P 在 AD 边上运动，若△ BPQ 是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有()个11、如图所示，在长方形ABCD 的对称轴上找一点P，使得△ PAB，△ PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有()个12、如图，边长为 6 的正方形 ABCD内部有一点P，BP=4，∠ PBC=60°，点 Q 为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q 点有 ____个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△ PBC，△ PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的 5×5方格中，每个小方格都是边长为 1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、 .如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB 为其中一腰．这样的 C 点有 ( B)个．A.8B.9C.10D.113 、如图， A、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接AB、 BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC 的面积之和等于15．【解答】解：格点 C 的不同位置分别是：C、C′、 C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC= × 4× 3=6，S△ABC′=20﹣2× 3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为： 3； 15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB 为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（ 1）如图所示，线段OD 的一个端点O 在直线 AB 上，以 OD 为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在 AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（ 2）若∠ DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（ 3）若改变（ 2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（ 2）中的结果相同，则改变后∠DOB= 90 °．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB 是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段 AB 和直线 l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有 5 个直线 l 上恰好只有个 1 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 2 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 3 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 4 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 5 点 P，使△ ABP为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 6 点 P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB ,当AOB为 30 ， 60 ， 120 时，请在射线OA 上找点 P，使POB 为等腰三角形，并分析出当AOB 发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB 为锐角，AOB60 ，有三个点，当AOB =60，只有一个点；当 AOB 为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中， AB=4， AD=10，点Q 是BC的中点，点P 在AD 边上运动，若△ BPQ 是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P 有 ( B )A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个11、如图所示，在长方形ABCD 的对称轴上找一点P，使得△ PAB，△ PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有(C )A.1 个B.3 个C.5 个D.无数多个12、如图，边长为 6 的正方形 ABCD内部有一点P，BP=4，∠ PBC=60°，点 Q 为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q 点有 ____个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△ PBC，△ PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
专题11 存在性-等腰直角三角形(解析版)
中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第11节等腰直角三角形的存在性方法点拨第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB （AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。
例题演练1．如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当a＝﹣时，①求点A、B、C的坐标；②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a 的值．【解答】解：对于y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0），令y＝a（x+1）（x﹣5）＝0，解得x ＝5或﹣1，令x＝0，则y＝﹣5a，故点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，﹣5a），当x＝2时，y＝a（x+1）（x﹣5）＝﹣9a，顶点的坐标为（2，﹣9a）．（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），则点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，2）；②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，设点P的坐标为（x，﹣（x+1）（x﹣5）），∵∠MPO＝90°，∴∠MPF+∠OPE＝90°，∵∠OPE+∠POE＝90°，∴∠POE＝∠MPF，∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，∴△PFM≌△OEP（AAS），∴PE＝MF，则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，故点P的坐标为（﹣，﹣）或（4，2）；（2）点B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣5a），顶点D的坐标为（2，﹣9a）．当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，﹣a），则OQ＝DQ，即（）2+（﹣）2＝（2﹣）2+（﹣9a+a）2，解得a＝±．2．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A、B两点代入到解析式中，得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；（2）设直线AB为：y＝k1x+1，代入点B，得，3k1+1＝4，解得k1＝1，∴直线AB为：y＝x+1，设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，如图1，则M（m，m+1），∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m，∴S△ABC＝S△ACM+S△BCM＝＝，∵C为直线AB上方抛物线上一点，∴0＜m＜3，∴时，△ABC的面积最大值为，此时C（）；（3）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，∴将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5，联立，解得，∴D（1，4），①如图2，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90°∴∠DAN＝∠EDF，又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE，∴△DNA≌△EFD（AAS），∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3，∴E（4，3），②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧，同理可得，E（﹣2，5），③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时，同理可得，E（﹣3，2），④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（﹣2，5）或（﹣3，2）或（3，0）．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点E的坐标为（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．设点P的坐标为（m，0），则PB＝3﹣m，∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在两种情况（如图2）．①取点M1与点A重合，过点M1作M1F1∥y轴，交直线BC于点F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此时△BM1F1为等腰直角三角形，∴点M1的坐标为（﹣1，0）；②取点C′（0，﹣3），连接BC′，延长BC′交抛物线于点M2，过点M2作M2F2∥y 轴，交直线BC于点F2，∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′为等腰直角三角形，∵M2F2∥y轴，∴△M2BF2为等腰直角三角形．∵点B（3，0），点C′（0，﹣3），∴直线BC′的函数关系式为y＝x﹣3，联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点M2的坐标为（﹣2，﹣5），综上所述：点M的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB＝3，抛物线经过点（2，5）．（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2PG+EF 的最大值，及此时点P的坐标；（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN 为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）∵OB＝3，∴B（﹣3，0）把C（﹣3，0）和点（2，5），代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）延长PE与x轴交于点M，FM⊥x轴，PG⊥BD，如图所示，∠FMB＝90°，∠PGF＝90°，∵∠BFM＝∠PFG，∴∠MBF＝∠GPF，∴B（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），B、D两点的横坐标距离为2，纵坐标距离为4，由勾股定理得BD＝＝2，∴cos∠MBF＝cos∠GPF＝，∴2PG+EF＝EF+2FP，∴C（0，﹣3），设直线BC解析式为l BC：y＝kx+b（b≠0），把B（﹣3，0）和C（0，﹣3）代入得，，解得，∴l BC：y＝﹣x﹣3，同理，直线BD得解析式为：y＝﹣2x﹣6，设E（m，﹣m﹣3），P（m，m2+2m﹣3），F（m，﹣2m﹣6），∴EF+2FP＝[﹣m﹣3﹣（﹣2m﹣6）]+2[（﹣2m﹣6）﹣（m2+2m﹣3）]＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，EF+2FP有最大值，∵2PG+EF＝EF+2FP，∴此时，P点坐标为P（﹣，﹣）；（3）存在，设N（0，y1），M（x2，+2x2﹣3），当y＝0时，代入抛物线y＝x2+2x+3中，解得两根为﹣3和1，A在y轴右侧，∴A（1，0），∴AN2＝OA2+ON2＝1+y12，AM2＝（x2﹣1）2+（+2x2﹣3）2，MN2＝+（+2x2﹣3﹣y1）2，①当AN⊥MN时，此时由AN＝MN，等腰直角三角形各边比为1：1：，∴M点横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，将M的横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，代入y＝x2+2x﹣3中得，∴M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），②由AN⊥MA得：M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2，将M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2代入y＝x2+2x+3中，得M点坐标为（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），综上所述，M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），5．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x，∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）．（2）如图，∵抛物线C1的向右平衡m（m＞0）个单位得到抛物线C2，∴C2的解析式为y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠CDH+∠ADE＝90°，∴△HCD＝△ADE，∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，由OC＝EH得m2+2m＝m+2，解得m1＝1，m2＝﹣2（舍去），∴抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1，∴D点坐标（2，2）．6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）如图，连接P A、PB．设△P AB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），∴可设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6），∴﹣12a＝6，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，∴A（0，6）∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+2m+6），过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，则D（m，﹣m+6），∴S＝×OB×PD＝×6×（﹣m2+2m+6+m﹣6）＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S的值取最大，此时P（3，）；（2）存在，理由如下：由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，由（1）可得，PD＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，∵PE∥x轴，∴E（4﹣m，﹣m2+2m+6），∴PE＝|2m﹣4|，∴|2m﹣4|＝﹣m2+3m，解得m1＝﹣2（舍），m2＝4，m3＝5+（舍），m4＝5﹣，∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，6），（5﹣，3﹣5）．7．如图1．二次函数y＝﹣x2+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）连接AC，求直线AC的表达式；（3）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；（4）若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点E的坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6．∴C点坐标为（0，6）．当y＝0时，．解得x1＝﹣4，x2＝4．∵A点在B点左侧，∴点A坐标为（﹣4，0），点B坐标为（4，0）．（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b．∵点A坐标为（﹣4，0），点C坐标为（6，0）．∴．解得．∴直线AC的表达式为．（3）如答图1，过点D分别作DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于G. ∴四边形DGOF为矩形，∠FDG＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠GDB＝∠FDG﹣∠GDB．即∠EDG＝∠BDF．在△BDF和△EDG中，．∴△BDF≌△EDG（AAS）．∴DF＝DG．设点D的坐标为（m，）．∴．解得m＝，∴点D的坐标为（）．（4）由（2）可得直线AC的表达式为．∵点D在直线AC上，∴设点D坐标为（）．设直线BC的解析式为：y＝kx+b．将B（4，0），C（0，6）代入得．解得．∴直线BC的解析式为．①当C位于斜边BE上时，∵点E在直线BC上，∴设点E坐标为（b，）．如答图2所示.作EM⊥x轴于点M，DQ⊥x轴于点Q，DN⊥EM于点N．易知四边形DQMN为矩形．∴∠QDN＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠NDB＝∠QDN﹣∠NDB．即∠EDN＝∠BDQ．在△BDQ和△EDN中，．∴△BDQ≌△EDN（AAS）．∴DN＝DQ，EN＝BQ．∵E坐标为（b，），D坐标为（）．∴DN＝b﹣a，EN＝．DQ＝，BQ＝4﹣a．∴．解得．∴＝．∴点E的坐标是（）．②当点D在直角边DE上时，BD交y轴于点F，如答图3所示．∵∠CDF＝∠BOF＝90°，∠CFD＝∠BFO．∴∠DCF＝∠OBF．∴tan∠DCF＝tan∠OBF．即．亦即．∴OF＝．∴点F坐标为（0，）．设直线BF解析式为y＝kx+b．将B（4，0），F（0，）代入得．解得．∴直线BF解析式为y＝．∵B、F、D三点共线，亦即直线BD解析式为y＝．联立直线AC解析式得解得．故点D坐标为（）．∵BD⊥AC，BD＝DE，∴BD2＝DE2．∴．解得b＝．∴＝．∴点E的坐标为（）．③当点D与点C重合时，即点C为直角顶点时．如答图4所示.作EG⊥y轴于点G．∵∠BCE＝90°．∴∠ECG+∠BCO＝90°．又∵∠ECG+∠GEC＝90°∴∠BCO＝∠GEC．在△GEC和△OCB中，．∴△GEC≌△OCB（AAS）．∴GE＝OC＝6，GC＝OB＝4．∴点E的坐标为（6，10）．由图知点E关于点C对称的点E'亦满足题意．则由中点坐标公式可得点E'的横坐标为2×0﹣6＝﹣6，纵坐标为2×6﹣10＝2．故点E'坐标为（﹣6，2）．综上所述，点E的坐标为（）或（）或（6，10）或（﹣6，2）．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴上一点，当P A+PC达到最小值时，求点P的坐标；（3）M、N为线段BC上两点（N在M的右侧，且M、N不与B、C重合），MN＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0），B（5，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当x＝0时，y＝5，∴C（0，5），∵A与B关于抛物线的对称轴对称，∴直线BC与对称轴的交点就是点P，此时P A+PC达到最小值，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为直线x＝2，设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵点B坐标为（5，0），则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，与对称轴的交点为（2，3），∴点P的坐标（2，3）；（3）分三种情况：①以点M为直角顶点，如图1，∵MN＝2，∴RN＝MN＝4，∵C（0，5），B（5，0），∴OC＝OB＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠RNM＝45°＝∠BCO，∴RN∥OC，由（2）知：直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设R（m，﹣m2+4m+5），则N（m，﹣m+5），则RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝4，解得m1＝4，m2＝1，∵点N在点M右侧，∴m＝4，∴R（4，5）；②以点R为直角顶点，如图2，∵MN＝2，∴RN＝MN＝2，设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5），∴RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝2，解得m1＝，m2＝，∵点N在点M右侧，∴m＝，∴R（，）；③以点N为直角顶点，如图3，∵MN＝2，∴RM＝MN＝4，∵∠RMN＝∠OBC＝45°，∴MR∥OB，设R（m，﹣m2+4m+5），则M（m﹣4，﹣m2+4m+5），把M（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y＝﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5＝﹣m2+4m+5，解得m1＝4，m2＝1，此时点M（0，5），因为点M在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以N为直角顶点的情况；综上所述：当R（4，5）或（，）时，△MNR为等腰直角三角形．9．抛物线y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．（1）如图（1），求抛物线的解析式；（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接P A交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），由题意：，解得，∴A（﹣2，0），B（8，0），把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣6ax+4，得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图2中，连接OP．设P（t，﹣t2+t+4），∵B（8，0），C（0，4），∴OB＝8，OC＝4，∴S＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×4×t+×8×（﹣t2+t+4）﹣×4×8＝﹣t2+8t（0＜t＜8）．（3）存在．理由：如图3中，设P（t，﹣t2+t+4），∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴直线P A的解析式为y＝﹣（t﹣8）x﹣t+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵PE⊥x轴，∴F（t，﹣t+4），∵D（0，﹣t+4），∴FD∥AB，∴∠CFD＝∠CBA，∵∠APF+∠CFD＝90°，∠APF+∠P AE＝90°，∴∠P AB＝∠CFD＝∠CBO，∴tan∠CBO＝tan∠P AB＝＝，∴＝，∵OA＝2，∴OD＝1，∴﹣t+4＝1，∴t＝6，∴P（6，4），E（6，0），∵PN＝NE，∴N（6，2），∵C（0，4），△CNQ是等腰直角三角形，CN是斜边，当点Q在CN的上方时，如图3，过点Q作x轴的平行线交y轴于点G，交EP的延长线于点H，设点Q（s，k），易证△QGC≌△NHQ（AAS），则GC＝QH，GQ＝HN，即s＝k﹣2，k﹣4＝6﹣s，解得，∴点Q的坐标为（4，6），∵当x＝4时，y＝﹣×42+×4+4＝6，∴点Q在抛物线y＝﹣x2+x+4上，∴满足条件的点Q的坐标为（4，6）．10．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标和△ABC的面积．（3）点P是抛物线对称轴上一点，且使得P A﹣PC最大，求点P的坐标．（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）如图1中，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴x＝2，∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），∴C（3，3），∴S△ABC＝×2×3＝3．（3）如图1中，∵A（4，0），C（3，3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+12，∵P A﹣PC≤AC，∴当点P在直线AC上时，P A﹣PC的值最大，此时P（2，6）．（4）如图4﹣1中，如图，当∠CNM＝90°，NC＝NM时，可知N（4，0），M（1，﹣1），CN＝NM＝，∴S△MNC＝×CN×MN＝5．如图4﹣2中，当∠CMN＝90°，MN＝MC时，M（1，﹣2），N（﹣4，0），可知MN ＝MC＝＝，∴S△MNC＝．如图4﹣3中，当∠CMN＝90°，MC＝MN时，可知M（1，2），N（2，0），MN＝CM ＝＝，∴S△MNC＝××＝，如图4﹣4中，当∠CNM＝90°，CN＝MN时，N（﹣2，0），M（1，﹣5），可得S△MNC ＝17．综上所述，满足条件的△MNC的面积为5或或或17．。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案)
一次函数之等腰直角三角形的存在性(讲义及答案).1. 在正方形网格中，网格线交点称为格点。
已知A、B是两个格点，若点C也是格点且使△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C只有一个。
2. 做讲义第一题时，先看知识点，再用铅笔计算并将演算保留在讲义上。
如果思路受阻（例如某个点做了2-3分钟），重复上述动作。
如果仍无法解决，重点听课堂讲解。
知识点：1. 解决存在性问题的处理思路①分析不变特征：分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征。
②分类、画图：结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形。
通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形。
③求解、验证：围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解。
验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意。
注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、角；函数背景研究点坐标、表达式等。
2. 等腰直角三角形存在性的特征分析及操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰。
通常借助构造弦图模型进行求解。
精讲精练：1. 如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A、B。
点P是第一象限内的一个动点，若以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，则点P的坐标为。
2. 如图，直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、B。
点C在直线y=-x+b上，且其纵坐标为1。
△___的面积为。
（1）求直线y=-x+b的表达式及点C的坐标。
（2）点P是第二象限内的一个动点，若△ACP是等腰直角三角形，则点P的坐标为。
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)。
点P是y轴正半轴上的一个动点，Q是直线x=3上的一个动点。
若△APQ为等腰直角三角形，则点P的坐标为。
4. 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
二次函数与几何综合专题 等腰直角三角形存在性问题
III、若 是等腰直角三角形，当DM为斜边时，则： ，
即： ，解得 ，
此时： ，
故不存在M坐使 是以DM为斜边的等腰直角三角形；
综上所述：点M坐标为（0，－1）．
（3）解：∵ ，
∴ ，
以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，有3种情况，
I．当 时，则 ，
∵四边形OHGQ是矩形，
∴ ，
∴ ，
设 ，其中 ，则P点坐标为（x，－x）
∵P在抛物线 上，即 ，解得： （不合题意舍去）， ，
故此时P坐标为 ，
综上所述：点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当 是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，符合条件的点P的坐标 或 ．
易得： （AAS）
∴ ， ，
∵四边形OHGQ是矩形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则P点坐标为（x，x）
∵P在抛物线 上，即 ，解得： ， （不合题意舍去），
此时点P坐标为
II、点P在y轴左侧的抛物线上时，如图：
以等腰 构造K字形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，过Q点作QG⊥PH，垂足为G，
易得： （AAS）
∴ ， ，
（2）在y轴上是否存在点M，使得 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，直线AC上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标．
（4）点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当 是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标．
（2）解：如图，设M点坐标为（0，y）
∵点A坐标为（－3，0），点D坐标为（－1，－4），
等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版）一、单选题(共6道，每道14分)1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C，那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰，也可以当这个等腰三角形的底．①当AB为腰时，此时作两圆，如图，②当AB为底时，此时作一线，如图，综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．A.3B.4C.7D.8答案：D解题思路：如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆；当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线；综上，满足条件的点C共有8个．故选D试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，如果以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：已知O，A两个定点，再寻找点P使得△OAP为等腰三角形，需要利用“两圆一线”解题，即：分别以O，A为圆心，以OA长为半径作圆；作线段OA的垂直平分线，与x轴的交点即为所求．如图所示，图中，，，即为所求．故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性4.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．A.8B.9C.10D.11答案：B解题思路：如图，若点A为等腰三角形顶点，则以点A为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点；若点B为等腰三角形顶点，则以点B为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点（其中与A，B共线，故舍去）．故选B试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形5.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是以BQ为腰的等腰三角形，则满足题意的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解题思路：如图，当BQ为等腰三角形的腰时，分别以点B，Q为圆心，以BQ长为半径作圆，与线段AD有三个交点．此时等腰△BPQ的腰长都为5，符合题意．综上，满足题意的点P有3个．故选B试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形6.如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )A.1个B.3个C.5个D.无数多个答案：C解题思路：点P在对称轴上，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形；∵对称轴垂直平分BC，点P在对称轴上，∴△PBC是等腰三角形；如图，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，与交于点P；如图，当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线，与交于点P；综上，满足条件的点P共有5个．故选C试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形二、填空题(共1道，每道16分)7.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．答案：5解题思路：如图所示，当BP为等腰三角形的腰时，分别以B，P为圆心，BP长为半径作圆，与正方形交于点；当BP为等腰三角形的底时，作BP的垂直平分线，交正方形于点；特别说明：：点是以点B为圆心，BP为半径作圆得到的，此时，因为∠PBC=60°，所以是等边三角形，且；：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F；在Rt△BEP中，∠EBP=90°-60°=30°，BP=4得PE=2∵EF=AD=6∴PF=4∴点F即为点；综上，满足条件的点P共有5个．试题难度：知识点：两圆一线构造等腰三角形。
中考数学培优：等腰三角形存在性问题
中考数学培优：等腰三角形存在性问题【例题讲解】例题1.如图，直线l 1、12相交于点A ,点B 是直线外一点,在直线l 1、12上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形.满足条件的点C 有个.【提示】①以B 为圆心,线段BA 长为半径作圆,与l 1、12交点即为满足条件点C ；②以A 为圆心,线段BA 长为半径作圆，与l 1、12交点即为满足条件点C ；③作线段AB 的垂直平分线，与l 1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)【巩固训练】1、一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,在坐标轴上取一点C ,使△ABC 为等腰三角形,则这样的点C 最多有个。
2、已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条例题2.一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在y 轴上取一点C ,使得AC =BC ,求出C 点坐标？【代数法、几何法均可解】解：如图所示,直线AB 的解析式为y =43x +4,当y =0时,x =－3,则A (－3.0);当x =0时,y =4,则B (0,4)。
设C 点坐标为(x .0),在Rt △AOB 中,由勾股定理得5==,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC =。
①当以AB 为底时,AC =BC ,则3+x 整理得6x =7,解得x =76,则(76,0);②当以BC 为底时,可得AC =AB ,则35x --=,解得x =2或－8,则C (2,0)或(－8,0);③当以AC 为底时,可得AB =BC ,整理得x 2=9,解得x =±3,则C (3,0)或(－3,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点C 的坐标是(76,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)例题3.如图,直线x =－4与x 轴交于点E ,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点A ,交直线x =－4于点B ,过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C ,直线OC 交直线AB 于D ,且AD :BD =1：3.(1)求点A 的坐标；(2)若△OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.解:(1)如图过点D 作DF ⊥x 轴于点F .由题意可知OF =AF 则2AF +AE =4①∵DF ∥BE ,∴△ADF ∽△ABE ,∴12AF AD AE AB ==,即AE =2AF ②①与②联立解得AE =2,AF =1.∴点A 的坐标为(－2,0);(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y =ax 2+bx∵抛物线过原点(0,0)和A 点(－2,0),∴对称轴为直线x ＝202-+＝－1∵B 、C 两点关于直线x =－1对称B 点横坐标为－4,∴C 点横坐标为2,∴BC ＝2－(－2)＝6∵抛物线开口向上,∴∠OAB >90°,OB >AB =OC .∴当△OBC 是等腰三角形时分两种情况讨论:①当OB =BC 时设B (－4,y 1),则16+y 12=36解得y 1=±(负值舍去).将A (－2,0),B (－4,)代入y =ax 2+bx得420164a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得5452a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为yx 2x ②当OC =BC 时设C (2,y 2),则4+y 22=36解得y 2=±负值舍去)将A (－2,0),C(2,代入y =ax 2+bx ,得42042a b a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴此抛物线的解析式为y =22x 2x 例题4.如图甲,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4cm,BC =3cm.如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为1cm /s .连接PQ ,设运动时间为t (s )(0<t <4),解答下列问题：(1)设△APQ 的面积为S ,请写出S 关于t 的函数表达式？(2)如图乙,连接PC ,将△POC 沿QC 翻折,得到四边形PQP 'C ,当四边形PQP 'C 为菱形时,求t 的值；(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形？解:(1)如图1,过点P 作PH ⊥AC 于H ,∵∠C =90°,∴AC ⊥BC ,∴PH ∥BC ,∴△APH ∽△ABC ,∴PH AP BC AB =,∵AC =4cm ,BC =3cm ,∴AB =5cm ∴535PH t -=,∴PH ＝3－35t ，∴△AQP 的面积为:S =12×AQ ×PH =12×t ×(3－35t )=23518()1025t --+∴当t 为52秒时,S 最大值为185cm 2.(2)如图2,连接PP ',PP '交QC 于E ,当四边形PQP 'C 为菱开时,PE 垂直平分QC ,即PE ⊥AC ,QE =EC ,∴△APE ∽△ABC ,∴AE AP AC AB =,∴AE =(5)44455AP AC t t AB ⋅-⨯==-+∴QE =AE －AQ =45t -+4－t =95t -+4，QE =12QC =12(4－t )=12-t +2∴95t -+4＝12-t +2，∴解得:t ＝2013，∵0＜2013＜4.∴当四边形PQP 'C 为菱形时,t 值是2013秒;(3)由(1)知,PD =335t -+,与(2)同理得:QD =AD －AQ =945t -+∴PQ ==在△APQ 中,①当AQ =AP ,即=5－t 时,解得:t 1=52，②当PQ =AQ ,t 时,解得:t 2=2513,t 3=5.③当PQ =AP－t 时,解得:t 4=0,t 5=4013∵0<t<4,∴t 3=5,t 4=0不合题意,舍去,∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时,△APQ 是等腰三角形.例题5.已知,如图,在Rt △ABC 中,AC =6,AB =8,D 为边AB 上一点,连接CD ,过点D 作DE ⊥DC 交BC 与E ,把△BDE 沿DE 翻折得△DE B 1,连接B 1C(1)证明:∠ADC =∠B 1DC ；(2)当B 1E /∥AC 时,求折痕DE 的长；(3)当△B 1CD 为等腰三角形时,求AD 的长.解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE =∠B 1DE ,∵DE ⊥DC ,∴∠ADC =180°－90°－∠BDE =90°－∠BDE ,∠B 1DC =90°－∠B 1DE ，∴∠ADC =∠B 1DC(2)解延长B 1E 交AB 于F .∵B 1E ∥AC ,∠A =90°,∴B 1F ⊥AB ,∴∠EB 1D +∠BDB 1=90°.∵∠B =∠EB 1D ,∴∠B +∠BDB 1=90°,∴∠BGD =90°,在△BDC 和△B 1FD 中,111B EB D BGD B FD BD DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△B 1FD .∴DF =DG ,在△ADC 和△GDC 中,90ADC CDG A DGC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△ADC ≌△GDC ,∴DG =AD .∴DF =AD =DG ,设DF =AD =DG =x ,∴BF ＝8－2x ,∵EF ∥AC ,∴△BFE ∽△BAC ,∴EF BF AC AB =,∴EF ＝1232x -，∵△EFD ∽△ACD ,∴DF EF AC AD=,∴12326x x x -=，解得:x =3,∴BF =3,EF ＝32，∴DE.(3)解设AD =x ,则CD,BD =8－x ，∵△B 1CD 是等腰三角形,①当B 1D =B 1C 时则∠B 1DC =∠B 1CD ,∴DB 1=BD =8－x ,如图2过B 1作B 1F ⊥CD ,则DF =CF =12CD=2,∵∠ADC =∠B 1DC ,∠B 1FD =∠A =90°,∴△CDA ∽△B 1DC ,∴1B D DF CD AD =,2x =，∴3x 2－16x +36=0,此方程无实数根.∴B 1D ≠BC .②B 1D =CD 时，∴B 1D =CD =BD =8－x .∴(8－x )2=x 2+6，∴x ＝74,∴AD ＝74.③当CD =BC 时如图2过C 作CH ⊥DB ,则DH =B 1H =12DB 1=12BD =12(8－x )在△ACD 和△CHD 中，90ADC CDH A CHD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ∴△ACD ≌△CHD ,∴AD =DH =x∴x ＝12(8－x ),∴x =83,∴AD =83,综上所述:当△B 1CD 是等腰三角形时AD 的长为74或83.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.72.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)(2)求出PA的长.3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.(1)求OB的最大值；(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.5、如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1，0),B(5,0)两点，直线y=－2x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x.轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若△PCE为等腰三角形,求m的值.6.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12,－8),点B、C在x轴上，tan∠ABC=43，AB=AC，AH⊥BC 于H,D为AC的中点,BD交AH于点M.(1)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；(2)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将(2)中的抛物线沿直线1平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E'(点E'在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形？若存在,请求出此时顶点E'的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中点B坐标为(6,0),点A在第一象限,△AOB为等边三角形,OH⊥AB于点H,动点P、Q分别从B、O两点同时出发,分别沿BO、OA方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),PQ交OH于点M,设四边形AQPB的面积为y.(1)求y与t之间的函数关系式；(2)设PQ的长为x(cm)试确定y与x之间的函数关系式；(3)当t为何值时,△OPM为等腰三角形；(4)线段OM有最大值吗？如果有,请求出来;如果没有,请说明理由.8.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=20.E为矩形外一点,且△EBA∽△ABD.3(1)求AE和BE的长；(2)将△ABE绕点B顺时针旋转一个角a(0°<α<180°),记旋转中的△ABE为△A'BE',在旋转过程中,设A'E'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形？若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.9.如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处。
等腰三角形的存在性问题
等腰三角形的存在性问题解题策略假如△ ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，② BA＝ BC，③ CA＝ CB三种状况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直均分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相联合，能够使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、绘图、计算．代数法一般也分三步：排列三边长，分类列方程，解方程并查验．例题精讲1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 D 在座标为 (3， 4)，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，假如△ DOP 是等腰三角形，求点 P 的坐标．分析．因为 D（3， 4），所以 OD＝5，cos DOP 3．①如图 1，当 PD＝PO 时，作 PE⊥ OD 于 E．5在 Rt△OPE中，cos DOP OE3， OE5，所以 OO25．此时点 P 的坐标为(25,0)．OP5266②如图 2，当 OP＝ OD＝ 5 时，点 P 的坐标为 (5， 0)．③如图 3，当 DO＝ DP时，点 D 在 OP 的垂直均分线上，此时点P 的坐标为 (6， 0)．2．如图，在矩形ABCD中， AB＝ 6， BC＝ 8，动点 P 以 2 个单位 / 秒的速度从点 A 出发，沿AC向点 C 挪动，同时动点 Q 以 1 个单位 / 秒的速度从点C出发，沿 CB 向点 B 挪动，当、Q 两点中此中一点抵达终点时则停止运P动．在 P、Q 两点挪动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t 的值．分析．在 Rt△ ABC 中，ACAB 2BC 2628210 .所以 cos ACB4.5在△ PQC中， CQ＝t ，CP＝ 10－ 2t .①如图 1，当 CPCQ 时， t 10 2t ，解得 t10 (秒 ).3②如图 2，当 QP QC 时，过点 Q 作 QM ⊥ AC 于 M ，则 CM ＝1P C 5 t . 2在 Rt △ QMC 中， cosQCM4 CM5 t25 (秒 ).5CQt ，解得 t9③如图 3，当 PQPC 时，过点 P 作 PN ⊥ BC 于 N ，则 CN ＝1QC1t .224 CN1 t 80在 Rt △ PNC 中， cos PCN2，解得 t (秒 ).5 CP10 2t 21综上所述，当 t 为10 25 803秒、秒、 秒 时，△ PQC 为等腰三角形 .9213．如图，直线 y ＝ 2x ＋ 2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，直线 PQ 与直线AB 垂直，交 y 轴于点 Q ，假如△ APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．分析 ．由 y ＝ 2x ＋2 得， A(－ 1， 0)， B(0， 2)．所以 OA ＝ 1， OB ＝2．如图，由△ AOB ∽△ QOP 得， OP ∶ OQ ＝ OB ∶ OA ＝ 2∶1． 设点 Q 的坐标为 (0， m)，那么点 P 的坐标为 (2m ， 0)．所以 AP 2＝ (2m ＋ 1)2， AQ 2＝ m 2＋ 1， PQ 2＝ m 2 ＋(2m)2＝ 5m 2． ①当 AP ＝AQ 时， AP 2＝AQ 2，解方程 (2m ＋ 1)2＝ m 2＋1，得 m0 或 m4 P 不存在．．所以切合条件的点3②当 PA ＝ PQ 时， PA 2＝ PQ 2，解方程 (2m ＋ 1)2＝ 5m 2 ，得 m 25 ．所以 P(4 2 5,0) ．1 ．所以 P(1,0) ．③当 QA ＝ QP 时， QA 2＝ QP 2，解方程 m 2＋ 1＝ 5m 2，得 m24．如图，点 A 在 x 轴上， OA ＝ 4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的地点．（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A 、 O 、 B 的抛物线的分析式；（ 3）在此抛物线的对称轴上，能否存在点 P ，使得以点 P 、O 、B 为极点的三角形是等腰三角形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明原因．分析 ．（1）如图，过点 B 作 BC ⊥ y 轴，垂足为 C ．在 Rt △OBC 中，∠ BOC ＝30°， OB ＝ 4，所以 BC ＝2， OC 2 3 ．所以点 B 的坐标为 ( 2, 2 3) ．（ 2）因为抛物线与 x 轴交于 O 、 A(4, 0)，设抛物线的分析式为 y ＝ ax(x － 4)，代入点 B( 2, 2 3)， 232 a ( 6) ．解得 a3 ．6所以抛物线的分析式为y3x( x 4)3 x 2 2 3x ．66 3（ 3）抛物线的对称轴是直线 x ＝ 2，设点 P 的坐标为 (2, y)．①当 OP ＝ OB ＝4 时， OP 2＝16．所以 4+y 2＝ 16．解得 y2 3 ．当 P 在 (2, 2 3) 时， B 、O 、P 三点共线．②当 BP ＝ BO ＝ 4 时， BP 2＝ 16．所以 2( y2 3)2．解得 y 1 y 2 2 3 ．4 16 ③当 PB ＝ PO 时， PB 2＝ PO 2．所以 4 2 ( y 2 3) 2 22 y 2 ．解得 y2 3 ．综合①、②、③，点 P 的坐标为 (2,2 3) ．5．如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，极点 A 、C 分别在 x 、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点． P(0,m)是线段 OC 上一动点（ C 点除外），直线 PM 交 AB 的延伸线于点 D ．（ 1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（ 2）当△ APD 是等腰三角形时，求 m 的值；（ 3）设过 P 、 M 、 B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E ，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为H （如图 2）．当点 P 从 O 向 C 运动时，点 H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不用写解答过程） ．图 1图 2分析 ．（1）因为 PC// DB ，所以CPPM MC 1 ．所以 PM ＝ DM ， CP ＝ BD ＝ 2－ m ．所以 AD ＝ 4－ m ．于是BDDM MB获得点 D 的坐标为 (2， 4－m)．（ 2）在△ APD 中， AD 2 (42m2， PD 2 (2 PM )24 4(2 m)2 ．m)2 ， AP4 ①当 AP ＝ AD 时， (4 m)2m 24 ．解得 m3（如图 1）．2②当 PA ＝ PD 时， m244 4(2m)2 ．解得 m 4 （如图 2）或 m4 （不合题意，舍去） ．3③当 DA ＝ DP 时， (4m) 2 4 4(2m)2 ．解得 m 2 （如图 3）或 m2 （不合题意，舍去） ．3综上所述，当△ APD 为等腰三角形时， m 的值为3， 4 或 2 ．23 3[ 另解 ]第（ 2）题解等腰三角形的问题，此中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图 1，当 AP ＝ AD 时， AM 垂直均分 PD ，那么△ PCM ∽△ MBA ． 所以PCMB 1．所以PC1，m3 ．CMBA22 2②如图 2，当 PA ＝ PD 时， P 在 AD 的垂直均分线上．所以 DA ＝ 2PO ．所以 4 m 2m．解得 m4 ．3（ 3）点 H 所经过的路径长为5 ．思路是这样的： 4如图 4，在 Rt △ OHM 中，斜边 OM 为定值， 所以以 OM 为直径的⊙ G 经过点 H ，也就是说点H 在圆弧上运动． 运动过的圆心角怎么确立呢如图5， P 与 O 重合时，是点 H 运动的起点，∠ COH ＝ 45°，∠ CGH ＝90°．6．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ m （ m 是大于 0 的常数），BC ＝ 8， E 为线段 BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结 DE ，作 EF ⊥DE ，EF 与射线 BA 交于点 F ，设 CE=x ， BF ＝ y ．（ 1）求 y 对于 x 的函数关系式；（ 2）若 m ＝ 8，求 x 为什么值时， y 的值最大，最大值是多少（ 3）若 y12，要使△ DEF 为等腰三角形， m 的值应为多少 m分析 ． (1)因为∠ EDC 与∠ FEB 都是∠ DEC 的余角，所以∠ EDC ＝∠ FEB ．又因为∠ C ＝∠ B ＝ 90°，所以△ DCE ∽△ EBF ．所以DCEB ，即 m 8 x ．CE BFxy整理，得 y 对于 x 的函数关系为 y1 x2 8x ．mm(2) 如图 1，当 m ＝ 8 时， y1 x2 x 1(x 4)22 ．所以当 x ＝4 时， y 获得最大值为 2．8 8(3) 若 y12，那么12 1 x 2 8x ．整理，得 x 28x 12 0 ．解得 x ＝2 或 x ＝ 6．mmmm要使△ DEF 为等腰三角形，只存在 ED ＝ EF 的状况． 因为△ DCE ∽△ EBF ，所以 CE ＝ BF ，即 x ＝ y ． 将 x ＝ y ＝2 代入 y12，得 m ＝ 6（如图 2）；将 x ＝ y ＝ 6 代入 y12，得 m ＝ 2（如图 3）．mm第6题图 1第6题图 2 第6题图37．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 10，BC ＝ 16，DE ＝ 4．动线段 DE （端点 D 从点 B 开始）沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当端点 E 抵达点 C 时运动停止．过点 E 作 EF// AC 交 AB 于点 F （当点 E 与点 C 重合时，EF 与 CA 重合），联络 DF ，设运动的时间为 t 秒（ t ≥ 0）．（ 1）直接写出用含 t 的代数式表示线段 BE 、EF 的长；（ 2）在这个运动过程中，△ DEF 可否为等腰三角形若能，恳求出 t 的值；若不可以，请说明原因；（ 3）设 M 、N 分别是 DF 、 EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．分析 ．（1） BE t 4 ， EF5(t 4)．8（2）△ DEF 中，∠ DEF ＝∠ C 是确立的．5 4)①如图 1，当 DE ＝ DF 时，DEEF ，即 4(t156 ．8．解得 t AB BC 1016 25②如图 2，当 ED ＝ EF 时， 4 5(t 4)．解得t12 ．85③如图 3，当 FD ＝FE 时，FE5(t 4)10．解得 tAC ，即80，即 D 与 B 重合．DE BC 416第7题图 1 第7题图2 第7题图 3（ 3） MN 是△ FDE 的中位线， MN // DE ， MN ＝ 2， MN 扫过的形状是平行四边形．如图 4 ，运动结束， N 在 AC 的中点， N 到 BC 的距离为 3； 如图 5 ，运动开始， D 与 B 重合， M 到 BC 的距离为3．4所以平行四边形的高为 339，面积为92 9 ．4 44 2第7题图4第7题图58．如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且 AB ＝ 3，BC ＝23 ，直线 y ＝ 3x 2 3经过点 C ，交 y 轴于点 G ．（ 1）点 C 、 D 的坐标分别是 C （ ）， D （） ；（ 2）求极点在直线 y ＝3x 23上且经过点C 、D 的抛物线的分析式；（ 3）将（ 2）中的抛物线沿直线y ＝ 3x 23平移，平移后的抛物线交 y 轴于点 F ，极点 为点 E （极点在 y 轴右边）．平移后能否存在这样的抛物线，使△ EFG 为等腰三角形若存在，恳求出此时抛物线的分析式；若不存在，请说明原因．分析 ．（1） C (4,2 3) ， D (1,2 3) ．（2）极点 E 在 AB 的垂直均分线上，横坐标为5，代入直线 y ＝3x2 3 ，得 y3 ．22设抛物线的分析式为ya( x 5)23，代入点 C (4,2 3) ，可得 a2 3 ．2 23 所以物线的分析式为y2 3 (x 5) 2 3 ．3 22（ 3）由极点 E 在直线 y ＝ 3x2 3 上， 可知点 G 的坐标为 (0,2 3) ，直线与 y 轴正半轴的夹角为30°， 即∠ EGF ＝30°．设点 E 的坐标为 (m,3m 2 3) ，那么 EG ＝ 2m ，平移后的抛物线为 y2 3 (x m)23m 2 3 ．所以点 F 的坐3标为 (0,2 3m 23m2 3)．3①如图 1，当 GE ＝ GF 时， y F G ＝ GE ＝ 2m ，所以2 3 23m 2m ．－ ym3解得 m ＝ 0 或 33． m ＝ 0 时极点 E 在 y 轴上，不切合题意．2此时抛物线的分析式为y23(x33 )2 3 7 3 ．322②如图 2，当 EF＝EG 时， FG＝23x E，所以2 3m23m 2 3m．解得 m＝ 0 或3．32此时抛物线的分析式为y 2 3 (x3)2 3 ．322③当极点 E 在 y 轴右边时，∠ FEG为钝角，所以不存在FE＝FG 的状况．第8题图 1第8题图29．如图，已知△ABC中， AB＝ AC＝ 6，BC＝ 8，点 D 是 BC边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，∠ ADE＝∠ B．设BD 的长为 x， CE的长为 y．（ 1）当 D 为 BC 的中点时，求CE的长；（ 2）求 y 对于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（ 3）假如△ ADE为等腰三角形，求x 的值．备用图备用图分析．（ 1）当 D 为 BC 的中点时， AD⊥BC， DE⊥ AC， CE 8．3（2）如图 1，因为∠ ADC＝∠ ADE＋∠ 1，∠ ADC＝∠ B＋∠ 2，∠ ADE＝∠ B，所以∠ 1＝∠ 2．又因为 AB＝ AC，所以∠ C＝∠ B．所以△ DCE∽△ ABD．所以DCCE ，即8x y ．AB BD6x整理，得 y 1x24x ．x的取值范围是0≤x≤8．6 3（3）①如图 1，当 DA＝ DE时，△ DCE≌△ ABD．所以 DC＝ AB， 8－ x＝ 6．解得 x＝ 2．②如图 2，当 AD＝AE 时， D 与 B 重合， E 与 C 重合，此时x＝0．8 x6．解得 x 7③如图 3，当 EA＝ ED时，∠ DAE＝∠ ADE＝∠ B＝∠ C，所以△ DAC∽△ ABC．所以8．62第9题图1第9题图2第9题图3。
初中数学等腰三角形存在性问题(含答案)
等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形．几何法】“两圆一线”得坐标1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有AB=AC；2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有BA=BC；3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．y【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0)C3、C4 同理可求，下求 C5．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单位，当点为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3， BH=2设AC5= x，则 BC5=x，C5H=3-x13解得： x=619故 C5坐标为（ ,0）而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些．A 坐标222(3-代数法】表示线段构相等1）表示点：设点 C 5坐标为（ m ， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3），2)表示线段： AC 5 (m 1) (0 1) ， BC 5 (m 4) (0 3) 3）分类讨论：根据 AC 5 BC 5 ，可得： （m 1）2 12（m 4）2 32 ，【小结】 几何法：（ 1）“两圆一线 ”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段： AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取① AB=AC 、②AB=BC 、③ AC=BC ； （4）列出方程求解．问题总结：1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2018 泰安 中考】4）求解得答案：解得： 23 6故 C 5 坐标为23,0如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c交x轴于点 A( 4,0) 、 B(2,0) ，交y轴于点 C(0,6) ，在y轴上有一点 E(0, 2) ，连接AE ．1)求二次函数的表达式；2)若点D为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．分析】 1) y3x 2 3x 6； 422) 可用铅垂法，当点 D 坐标为 ( 2,6 )时，△ ADE 面积最大，最大值为 14； 3) 这个问题只涉及到 A 、 E 两点及直线 x=-1(对称轴)① 当 AE=AP 时，以 A 为圆心， AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE=2 5 ，∴ AP 1=2 5，又 AH=3，∴ P 1H故P 1( 1, 11)、 P 2 ( 1, 11)．② 当 EA=EP 时，以 E 点为圆心， EA 为半径画圆，故 P 5 ( 1,1) ． P 5 ( 1,1)．补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．P 1HP 4Bx11，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM=1， 1, 2 19)故P 3( 1, 2 19)、 P 4( 作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 ③当 PA=PE 时，P 点．设 P 5 ( 1,m )，P 5A 2 2 2 2 ( 1 4)2 (m 0)2， P 5E 2=( 1 0)2(m 2)2 ∴ m 2 9 (m2)2 1，解得： m=1 ．综上所述， P 点坐标为 P 1( 1, 11)、P 2( 1, 11 )、P 3( 1,19 )、P 4 ( 1, 2 19)、19 ，P 3M P4 M【 2019 白银中考（删减）】如图，抛物线 y ax2 bx 4交x轴于 A（ 3,0）， B（4,0）两点，与y轴交于点 C ，连接AC ，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作 PM x轴，垂足为点M ，PM 交 BC 于点 Q ．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以A， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；yCP分析】1) y1x2 1x 4 ；332)①当 CA=CQ 时，∵ CA=5，∴ CQ=5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则 CH QH 5 2，故 Q 点坐标为5 2,4 5 2．2 2 2②当 AC=AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y=-x+4，可设 Q 点坐标为( m， -m+4)，AQ (m 3)2( m 4 0)2，即(m 3) ( m 4 0) 5 ，解得： m=1 或 0(舍)，故 Q 点坐标为( 1， 3)．③当 QA=QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述， Q点坐标为5 2 ,4 5 2或( 1， 3)．22记直线 x=2 与 x 轴交点为 H 点， ∵ OH =2，∴ BH=1，故 B 点坐标为（ 2，1）或（ 2，-1），k=-1 或 -3． ②当 AO=AB 时，易知 B 点坐标为（ 2，0），k=-2． 综上所述， k 的值为 -1或-2 或-3． 【 2018 贵港中考(删减) 】2019 盐城中考删减 】如图所示， 二次函数 y k （x 1）2 2 的图像与一次函数 y kx k 2 的图像交于 A 、B 两点， 点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于 C 、 D 两点，其中 k 0 ． 1）求 A 、 B 两点的横坐标；2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值．分析】1）A 、B 两点横坐标分别为 1、 2；B 点横坐标始终为 2 ，故点 B 可以看成是直线 x=2 上的一个动点， 满足△ OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形， 又 A 点坐标为（ 1， 2），故 OA 5 ① 当 OA=OB 时，即 OB 5 ，如图，已知二次函数 y ax2 bx c 的图像与x 轴相交于 A( 1,0) ， B(3,0) 两点，与y 轴相交于点 C(0, 3) ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，P H x轴于点H ，与线段 BC 交于点M ，连接 PC ．当 PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．y② 当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为 （m,m 22m 3），则 M 点坐标为 （m, m 3）， 故线段 PM （m 3） （m 2 2m 3） m 2 3m 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△ MCN 是等腰直角三角形，故 MC 2m ，m 2 3m 2m ，解得 m 32 或 0（舍），故 P 点坐标为 (3 2,2 综上所述， P点坐标为（ 2， -3）或 （3 2,2 分析】1） y x 2 2 x 3 ；2）①当 PM=PC 时，（特殊角分析） 考虑∠ PMC =45°，∴∠ PCM=45°， 即△ PCM 是等腰直角三角形， P 点坐标为（ 2，-3）；4 2 )．【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 4 x2 bx c经过点 A（ 5,0）和点 B（1,0）．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A 、B重合），作 DMN DBA，MN 交线段AD 于点 N ，是否存在这样点M ，使得 DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由．x分析】1) y 4 x2 16 x 20，顶点 D 坐标为( 2,4 )；9 9 92)考虑到∠ DAB=∠DBA=∠DMN，即有△ BMD ∽△ ANM(一线三等角)①当 MD=MN 时，有△ BMD≌△ ANM，可得 AM=BD =5，故 AN=BM=1；②当 NM=ND 时，则∠ NDM =∠ NMD =∠DAB，③当 DM=DN时，∠ DNM =∠DMN =∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M．△ MAD ∽△ DAB ，可得AM=25，6BM116ANBMAM，即BDAN116256，5解得： AN5536AN 的值为 1 或55．综上，36【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y x 4与x轴交于点B，与y轴交于点 C，抛物线 y x2 bx c经过B，C 两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒 2个单位长度的速度在线段 BC上由点B向点 C 运动（点P 不与点B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点P 作x 轴垂线交x轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交 BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．y分析】1） y x2 3x 4 ；2）①考虑到∠ DPM =45°，当 DP=DM 时，即∠ DMP =45°，直线 AM ：y=x+1，联立方程：x 3 x 4 x 1，解得： x1 3 ， x2 1 （舍）．此时 t=1 ．②当 PD=PM 时，∠ PMD =∠ PDM =67.5°，∠ MAB=22.5°，考虑 tan∠ 22.5 °= 2 1 ，直线 AM ：综上所述， t 的值为附： tan22.5 =° 2 1 ．总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，联立方程：x2 3 x 4 ( 2 1)x 21解得：x1 5 2 ， x2 1 （舍）．此时 t= 2 1．222.5 °tan 22.5 1 2 121可减轻计算量．。
中考数学复习折叠问题中等腰三角形存在性问题解析版
例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB =90°，点P 为∠AOB 内部一点，作射线OP ，点M 在射线OB 上，且OM= 点M 与点M ’关于射线OP 对称，且直线MM ’与射线OA交于点N ，当△ONM ’为等腰三角形时，ON 的长为.【分析】分三种情况讨论：①当M ’落在线段ON 的垂直平分线上时，即M ’N =M ’O ，设∠ONM =x °，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x =30°，进而利用三角函数求得ON 的长；②当M ’N =ON 时，作出图形，得到∠ONM ’度数，利用三角函数求解；③当M ’O =ON =OMM 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】1或3.【解析】解：由△ONM ’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：①当M ’落在线段ON 的垂直平分线上时，即M ’N =M ’O ，如图所示，设∠ONM ’=x °，则∠OM ’M =∠OMM ’ =2x °,∵∠AOB =90°，∴x +2x =90，解得：x =30，在Rt △NOM 中，ON =°=3tan 30OM ； ②当M ’N =ON 时，如下图所示，ANH由①知：∠NOM ’=30°，过M ’作M ’H ⊥OA 于H ，∴HM’=1OM'=22, 在Rt △HNM ’中，NM ’=°'=1cos30HM ， 即ON =1；③当M ’O =ON =OM此时M 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：1或3.例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC ≤BC ，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点，设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，则∠B = .【分析】由题意知，△CDF 是等腰三角形，则CD =CF ，△BDE 是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当DE =BD 时，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =45；②当BD =BE 时，作出图形，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得NHNx=30；③当BE=DE时，得∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】45°或30°.【解析】解：由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°，∴∠FDB=135°，△BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：①当DE=BD时，见下图，设∠B=x°，则∠DEB=x，∠EDB=180°－2x，由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，∴180－2x+90－x =135，解得：x=45，即∠B=45°；②当BD=BE时，如下图所示，设∠B=x°，则∠EDB=°1802x-，由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，∴1802x-+90－x =135，解得：x=30，AA即∠B=30°；③当BE=DE时，得∠B=∠EDB，∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：45°或30°.。
等腰三角形存在性问题(带标准答案)
等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．A.8B.9C.10D.113、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB= 90°．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ο60≠，有三个点，当AOB ∠=ο60，只有一个点；当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2个B.3个C.4个D.5个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )A.1个B.3个C.5个D.无数多个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
等腰三角形存在性问题
y
设A（x，0）则
B
P
OP 2 8,,OA2 x2,, PA2 x2 4x 8
若OP OA 则x2 8
oA
x 若OP PA
若OA PA
则x2 4x 8 8 则x2 4x 8 x2
【例】已知抛物线
的顶点坐标为P（﹣4， ),与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）． （1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的 点Q使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．
y
A
o
x
“两圆一线”解决等腰三角形存在性问题的方法
1、“两圆”：以已知两点为圆心，这两点连线段长为半径，画两个圆， 这两个圆上除共线点外的所有点均满足。
2、“一线”画已知线段的垂直平分线，垂直平分线上除了与线段交点的 所有点，均满足。
例： 如图,在平面直角坐标系xOy中,三角板的直角顶点P的坐标为 （2,2）,一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于 点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中,当△POA为等腰三角 形时,请写出所有满足条件的点A的坐标。
y
（1）若OP为底
先求AC的解析式，再求点A的坐标。
BPBiblioteka （2）若OP为腰C
①以点O为圆心，则OP=OA，可求点A坐标。
D
o A A x ②以点P为圆心，则OP=AP。
作PD┴OA，则OA=2OD=4。
例： 如图,在平面直角坐标系xOy中,三角板的直角顶点P的坐标为 （2,2）,一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于 点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中,当△POA为等腰三角 形时,请写出所有满足条件的点B的坐标。
等腰三角形存在性问题(带答案)
( 带答等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C 点有（）个．3、如图，A、B 是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB 上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB= ．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l 上恰好只有个 1 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 2 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 3 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 4 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 5 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 6 点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( ) 个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ 4 ）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的 C 点3、如图， A 、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接 AB 、BC 、AC ，当△ ABC 为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有 3 处，设网格中的每个小正方形的边长 为 1，则所有满足题意的等腰三角形 ABC 的面积之和等于 15 ．∵网格中的每个小正方形的边长为 1， ∴ S △ABC= ×4×3=6，S△ABC ′=20﹣2×3﹣ =6.5 ，故答案分别为： 3；15．格点 C 的不同位置分别是： C 、C ′、C ″，S△A BC ″=2.54、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB 上，这样的等腰三角形能画 4 个（在图中作出点P）（2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 2 个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠ DOB= 907、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有5 个直线l 上恰好只有个1点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个2点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个3点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个4点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个5点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；结论】当AOB为锐角，AOB 60 ，有三个点，当AOB= 60 ，只有一个点；当AOB 为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( C ) A.1 个 B.3 个 C.5 个 D. 无数多个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
专题 图形折叠中的等腰三角形存在性问题
专题06图形折叠中的等腰三角形存在性问题【题型演练】一、解答题1．对于面积为S 的三角形和直线l ，将该三角形沿直线l 折叠，重合部分的图形面积记为0S ，定义00S S S -为该三角形关于直线l 的对称度．如图，将面积为S 的ABC 沿直线l 折叠，重合部分的图形为C DE '，将C DE '的面积记为0S ，则称00S S S -为ABC 关于直线l的对称度．在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．（1）过点M(m ，0)作垂直于x 轴的直线1l ，①当1m =时，ABC 关于直线1l 的对称度的值是：②若ABC 关于直线1l 的对称度为1，则m 的值是．（2）过点N(0，n)作垂直于y 轴的直线2l ，求△ABC 关于直线2l 的对称度的最大值．（3）点P(－4，0)满足5AP =，点Q 的坐标为(t ，0)，若存在直线，使得APQ 关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t 的值．2．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，40A ∠=︒，D 为AC 的中点，E 为边AB 上一动点，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，点A 落在AC 上方点F 处，连接EF ，CF ．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若DEF 与以点C ，D ，F 为顶点的三角形全等，求出ADE ∠的度数：(3)翻折后，当DEF 和ABC 的重叠部分为等腰三角形时，直接写出ADE ∠的度数．3．数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，求BM的长(2)如图2，若∠ACB＝2∠A，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，①求AC的长；②若O是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，A M与AC相交于点F，则PFFM的取值范围为．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．5．如图1，已知直线y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．(1)求点A、C的坐标；(2)将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图2）；△是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点P的(3)在y轴上是否存在一点P（不与C重合），使得CDP坐标；若不存在，请说明理由．折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：第一步：如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合．再将正方形ABCD 展开，得到折痕EF ；第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C 与点E 重合，边BC 翻折至B E '的位置，得到折痕MN ，B E '与AB 交于点P ．则点P 为AB 的三等分点，即:2:1AP PB =．问题解决如图1，若正方形ABCD 的边长是2．(1)CM 的长为______；(2)请通过计算AP 的长度，说明点P 是AB 的三等分点．类比探究(3)将长方形纸片()ABCD AB BC >按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P 也为AB 的三等分点，请直接写出AB AC 的值．在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．问题情境：如图，在ABC 中，6AB AC ==，90A ∠=︒，点D 在边AB 上运动，点E 在边BC 上运动．探究发现：(1)如图2，当沿DE 折叠，点B 落在边AC 的点B '处，且DB BC '∥时，发现四边形BEB D '是菱形．请证明；探究拓广：(2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿DE 折叠，点B 落在点B '处，延长DB '交AC 于点F ，DF BC ∥，点G 在边BC 上运动，沿FG 折叠使点C 落在线段DB '的中点C '处，求线段DF 的长；探究应用：(3)沿DE 折叠，点B 的对应点B '恰好落在边AC 的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出BD 的长．8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，在四边形OABC 中，顶点A （0，2），)C ，)B n ，且点B 在第一象限，△OAB 是等边三角形．(1)如图①，求点B 的坐标；(2)如图②，将四边形OABC 沿直线EF 折叠，使点A 与点C 重合，求点E ，F 的坐标；(3)如图③，若将四边形OABC 沿直线EF 折叠，使EF OB ∥，设点A 对折后所对应的点为A '，△AEF 与四边形EOBF 的重叠面积为S ，设点E 的坐标为（0，m ）（0＜m ＜1），请直接写出S 与m 的函数关系式．9．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP 折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．10．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”，则该三角形的面积为；（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP PDC的面积．11．如图1，在ABC 中，5cm AB AC ==，6cm BC =，AE 为BC 边上的中线．（1）求AE 的长；（2）动点P 的速度为2cm /s ，运动时间为t 秒．①如图2，当点P 从点B 开始沿BC 边向点C 移动时，若ABP 是以BP 为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的t 的值．②如图3，当点P 从点C 开始沿AC 边向点A 移动时，将CPE △沿直线PE 对折，点C 的对称点为C '，当C PE '△与AEP △重叠部分为直角三角形时，请直接写出t 的值为_________12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作⊙O，⊙O与x轴交于点B、C．点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP 翻折，得到△APQ．（1）当△OAQ为等边三角形时，请直接写出P点坐标；（2）若△ABQ为直角三角形时，请求出t的值；（3）求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时，请直接写出t的值．13．（1）操作发现：如图①，在Rt ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系？并说明理由．（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC＝3，求出DE的长．14．我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．【发现与证明】ABCD Y 中，AB BC ≠，将ABC 沿AC 翻折至AB C 'V ，连结B D '．结论1：AB C 'V 与ABCD Y 重叠部分的图形是等腰三角形．结论2：//B D AC '；……(1)请利用图1证明结论1或结论2；【应用与探究】在ABCD Y 中，已知30B ∠=︒，将ABC 沿AC 翻折至AB C 'V ，连结B D '．(2)如图，若AB =75AB D '∠=︒，则ACB =∠_____︒，BC =_____；(3)已知AB =BC 长为多少时，AB D 'V 是直角三角形？请直接写出答案15．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．（1）求AB的长度；（2）重叠部分的面积为；（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．16．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．（1）在三等角四边形ABCD 中，A B C ∠=∠=∠，则A ∠的取值范围为_______；（2）如图1，折叠平行四边形DEBF ，使得顶点,E F 分别落在边,BE BF 上的点,A C 处，折痕为DG DH 、．求证：四边形ABCD 为三等角四边形；（3）如图2，在三等角四边形ABCD 中，A B C ∠=∠=∠，若5AB =，AD =7DC =，则BC 的长度为_______．17．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD Y 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD Y 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，如图③，点A 的对应点为'A ，使'A B CD ⊥于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD Y 的面积为20，边长5AB =，BC =，求图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．18．综合与实践在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：第一步：如图1，将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E，然后展开铺平；第二步：如图2，将CD边沿CE翻折到CF的位置；第三步：如图3，再将BC沿过点C的直线翻折，使点B和点F重合，折痕与AB边交于点G．他们认为：该点G就是AB边的一个三等分点．(1)试证明上面的结论：(2)“奋进”小组的同学是这样操作的：第一步：先将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，找到AD的中点E；第二步：再折出正方形纸片ABCD的对角线AC，以及点B和点E的连线BE，这两条折痕相交于点F；第三步：最后，过点F折出AB的平行线GN，分别与AD，BC交于点G和点N．①请根据上面的描述，在图4中画出所有的折痕，确定点G和点N的位置；②请结合①中所画的图形，判断点G是否为AD边的三等分点，并说明理由．。
初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)
等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
等腰三角形存在性问题
2解：（1）当t=4时，B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y=- x+6．（2）过点C作CE⊥x轴于点E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．∴= = = ，∴BE= AO=3，CE= OB= ，∴点C的坐标为（t+3，）．方法一：S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9，S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t，S△BEC= BE•CE= ×3× = t，∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC= t2+ t+9-3t- t= t2+9．方法二：∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC= AB•BC=BC2．在Rt△ABC中，BC2=CE2+BE2= t2+9，即S△ABC= t2+9．（3）存在，理由如下：①当t≥0时，Ⅰ．若AD=BD，又∵BD‖y轴，∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，∴∠OAB=∠BAD，又∵∠AOB=∠ABC，∴△ABO∽△ACB，∴= = ，∴= ，∴t=3，即B（3，0）．Ⅱ．若AB=AD．延长AB与CE交于点G，又∵BD‖CG，∴AG=AC，过点A画AH⊥CG于H．∴CH=HG= CG，由△AOB∽△GEB，得= ，∴GE= ．又∵HE=AO=6，CE= +6= ×（+ ），∴t2-24t-36=0，解得：t=12±6 ．因为t≥0，所以t=12+6 ，即B（12+6 ，0）．Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB．当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况．②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F．可求得点C的坐标为（t+3，），∴CF=OE=t+3，AF=6- ，由BD‖y轴，AB=AD得，∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，∴∠BAO=∠FAC，又∵∠AOB=∠AFC=90°，∴△AOB∽△AFC，∴= ，∴= ，∴t2-24t-36=0，解得：t=12±6 ．因为-3≤t＜0，所以t=12-6 ，即B（12-6 ，0）．③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，可求得点C的坐标为（t+3，），∴CF=-（t+3），AF=6- ，∵AB=BD，∴∠D=∠BAD．又∵BD‖y轴，∴∠D=∠CAF，∴∠BAC=∠CAF．又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC，∴AF=AB，CF=BC，∴AF=2CF，即6- =-2（t+3），解得：t=-8，即B（-8，0）．综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：B1（3，0），B2（12+6 ，0），B3（12-6 ，0），B4（-8，0）．。
等腰三角形存在性问题
x等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（坐标系）模型一例1：在平面直角坐标系中，已知A （3，4），设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标；分析：（1） 定方向：构造类。
无现成的三角形（2） 定分类：可以分为如下三类：x（OA=OP ） （OA=AP ） （OP=AP ） （3）定解法：（1）几何法：无角相似；（2）代数法：勾股定理表示三角形的三边长，建立等腰三角形三边相等建立方程求解；（4）定结果：将OP 的长度转为为坐标。
解法1：∵)4,3(A ，∴5 OA 情形一：OA=OP ；则点P （5，0） 情形二：OA=AP ； 过Ａ点作AB ⊥OP 。
∴OP=2OB=6(三线合一)等腰三角形存在性问题分析思xxx点P （6，0） 情形三：OP=AP作PC ⊥OA ，AB ⊥OP 易得△AB O ∽△PCOOBOCAO OP = 3255=OP OP=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． 解法2：△AOP 三边分别表示如下： OA=5；OP=x ；在Rt △ABP 中，AB=4,PB= x-3， 则222)3(4-+=x AP （罗列三边） 情形一：OA=OP ；则x=5，∴点P （5，0） 情形二：22AP OA =；则222)3(45-+=x ； 解得：x=6 ∴点P （6，0） 情形三：22AP OP =222)3(4)3(-+=-x x解得：x=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． 点睛：（1）解法1：几何法的关键就是利用直角三角形构造相似或者解直角三角形。
而坐标可以构造直角，三线合一也可以构造直角。
（2）解法2：解析法的关键是利用x 表示出三条边，然后利用边长相等建立方程。
（3）两种方法各有利弊，几何法计算简单，但寻找相似有难度。
而解析法分析问题简单，但计算复杂。
2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案
2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案研究创造才智，知识成就未来。
以下是上海市初中数学考试的几道题目。
题目一：等腰相似直角三角形存在性问题给定顶点为P(4,-4)的二次函数图像，经过原点，并且点A在该图像上。
连接OA与对称轴l的交点为M，点M和N 关于点P对称，连接AN和ON。
1) 求该二次函数的关系式。
2) 若点A的坐标是(6,-3)，求△ANO的面积。
3) 当点A在对称轴l右侧的二次函数图像上运动时，请回答以下问题：①证明：∠ANM=∠XXX。
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由。
题目二：等腰三角形的存在性问题在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△XXX与△XXX重合在一起，△XXX不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点。
1) 求证：△ABE∽△ECM。
2) 探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由。
3) 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。
题目三：抛物线问题已知抛物线y=3/2x^2+bx+63经过A(2,0)。
设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。
1) 求b的值，求出点P、点B的坐标。
2) 如图，在直线y=3x上是否存在点D，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
3) 在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由。
题目四：三角形问题在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=1.把△XXX的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=AC与y轴交于点E。
1) 求AC所在直线的函数解析式。
2) 过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积。
等腰三角形的存在性问题
探索等腰三角形存在性问题如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．分类讨论思想1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知正方形ABCD ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都是等腰三角形．．．．．．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．3．已知正三角形AB Ｃ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．A D CB AC B1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．4.如图,点A的坐标为（1,1）在坐标轴上．．．．是否存在点P，使△AOP为等腰三角形，若存在，请分别写出它们的坐标.若不存在，请说明理由.2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC 向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝24，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．C M8.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点()()1122P x y Q x y ，、，的对称中心的坐标为1212.22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点()()120123P P -、，的对称中心是点A ，则点A 的坐标为_________；（2）另取两点()()1.62.110.B C --，、，有一电子青蛙从点1P 处开始依次关于点A B C 、、作循环对称跳动，即第一次跳到点1P 关于点A 的对称点2P 处，接着跳到点2P 关于点B 的对称点3P 处，第三次再跳到点3P 关于点C 的对称点4P 处，第四次再跳到点4P 关于点A 的对称点5P 处，…则点38P P 、的坐标分别为_________、_________.拓展延伸：（3）求出点2012P 的坐标，并直接写出在x 轴上与点2012P 、点C 构成等腰三角形的点的坐标.。
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等腰三角形存在性问题（两圆一线）
类型一、格点中的等腰三角形
1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）
2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，
使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．
3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．
4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？
类型二、定边几何法讨论：两圆一线
5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来
6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）
（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）
（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．
7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．
8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个
直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．
9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο
120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；
类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形
10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个
11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个
12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．
13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；
等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案
类型一、格点中的等腰三角形
1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）
2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，
使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．
A.8
B.9
C.10
D.11
3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．
【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，
∵网格中的每个小正方形的边长为1，
∴S△ABC=×4×3=6，
S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，
S△ABC″=2.5，
∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．
故答案分别为：3；15．
4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？
类型二、定边几何法讨论：两圆一线
5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来
6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）
（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）
（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB= 90°．
7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．
8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个
直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形
直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．
9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο
120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；
【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ο60≠，有三个点，当AOB ∠=ο
60，只有一个点；
为钝角或直角，只有一个点；
当AOB
类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形
10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )
A.1个
B.3个
C.5个
D.无数多个
12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．
13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。