思维及其数学思维

证法二:注意到KCnK =nCn-1K-1 , 所以有 Cn1+2Cn2+……+nCnn = nCn-10 + nCn-11 + …… +n Cn-1n-1, =n(Cn-10+Cn-11+……+Cn-1n-1)=n2n-1 证法三: 用数学归纳法证明.
证法四: 因为(1+x)n=Cn1+Cn2 x +……+Cnn xn, 所以 对两边取导数,得 n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2 x +……+nCnn xn-1, 取x=1即可.
按主体意识分类
直觉思维----是指人脑基于有限的数据和事
实,调动一切已有的知识经验，对客观事物的 本质及其规律性联系进行迅速的识别、敏锐 的观察、直接的理解和整体的判断的思维过 程.
分析思维----是指遵循严密的逻辑规则,通过
逐步推理得到符合逻辑的正确答案或结论的 思维方法. 又称为逻辑思维.
数学思维及其思维方法
例 已知x,y,z为三个互不相等的实 数，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x， 求证: x2y2z2=1
思路4:类似地， x＋1/y=y＋1/z⇒yz(x－y)=y－z y＋1/z=z＋1/x ⇒zx(y－z)=z－x x＋1/y=z＋1/x ⇒xy(z－x)=x－y 三式相乘，得x2y2z2(x－y)(y－z)(z－x) =(y－z)(z－x)(x－y)，易知结论成立.
⇔
x= 2 y=3
例 全集I={(x,y)|x,y∈R}, M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}， N={(x,y)|y ≠x+1},那么M∪N=( A. Φ C.（2，3） B . {（2，3）}
)
D. {(x,y)|y=x＋1}
创新性思路:I是整个平面,M是平面内一 直线y=x+1去掉一点(2,3),N是整个平 面内去掉一直线y=x+1,则M∪N是整个 平面去掉一个“孔”,而M∪N就是这个 “孔”的集合,即{(2,3)}
按思维的结果分类: 聚合思维----从已知信息中产生逻
辑结论,从现成资料中寻求正确答案的一 种有方向、有范围、有条理的思维方式. 又称为收敛思维、集中思维、求同思维、 辐合思维.
发散思维----从已知信息中产生大
量的、独特的新信息的一种沿不同方向、 在不同范围、不因循传统的思维方式.又 称为求异思维、辐射思维.
思路1:解方程组求出x，y，z，但注意到， 三个未知数，只有两个独立方程,方程的 , 解不唯一,此路不通.
例 已知x,y,z为三个互不相等的实 数，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x， 求证: x2y2z2=1
思路2:由x＋1/y=y＋1/z得 xyz=y2z＋y－z, 由y＋1/z=z＋
1/x得xyz=z2x＋z－x，于是 x2y2z2=(y2z＋y－z)(z2x＋z－x)， 但化简不出1.放弃.
数学思维方法是在数学活动中表现出 来的思维方法.如数学逻辑思维方法、 数学形象思维方法、化归方法、模型 方法、公理化方法、无穷小方法等.
)
D. {(x,y)|y=x＋1}
例 全集I={(x,y)|x,y∈R}, M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}， N={(x,y)|y ≠x+1},那么M∪N=( A. Φ C.（2，3） B . {（2，3）}
)
D. {(x,y)|y=x＋1}
常规思路: M∪N⇔M∩N ⇔
x－2=0 或y≠x+1 y=x－1
例 已知x,y,z为三个互不相等的实 数，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x， 求证: x2y2z2=1
思路4:注意到x，y，z间的轮换，进行减 元类比:设x,y为二个互不相等的实数，并 且x＋1/y=y＋1/x，求证: x2y2=1。 由x＋1/y= y＋1/x得 xy(x－y)=(y－x) ， ∵x≠y，∴xy=－1，∴ x2y2=1。
3.思维的灵活性 思维的灵活性是指思维的灵活程度,主 要表现为善于摆脱已有模式的束缚,及 时由一条思路转向另一条思路。 思维灵活的人善于从错误思路中退 出来并及时转向,关于联想,关于类比, 关于逆向思考,如逆用定义、公式， 善于将问题简约化归等.
例 已知x,y,z为三个互不相等的实 数，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x， 求证: x2y2z2=1
例 已知x,y,z为三个互不相等的实 数，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x， 求证: x2y2z2=1
思路3:据处理比例的经验， 设x＋1/y= y＋1/z=z＋1/x=k， 则xy=ky－1， yz=kz－1， zx=kx－1， 于是x2y2z2=(ky－1)(kz－1)(kx－1)， 但右边化简不出1.此路不通.
数学思维的品质:
思维的广阔性 思维的深刻性 思维的灵活性 思维的独创性 思维的批判性
数学思维的品质: 1. 思维的广阔性
表现为思路开阔,善于从不 同角度、不同层次对问题进行全 面的观察和思考.
例1 求证:
Cn1+2Cn2+……+nCnn=n·2n－1
证法一:设 Sn=Cn1+2Cn2+……+nCnn 则Sn= nCnn + …… + 2Cn2 + Cn1, 于是 Sn=n(Cn1+Cn2+……+Cnn)=n2n 故结论成立.
5.思维的批判性
思维的批判性是指主体对思维内容和思维过程 进行反思和评价的程度,它是思维过程中主体 自我意识作用的结果.主要表现在: 评价所选择的思路; 预测可能出现的结果并进行检验; 喜欢独立思考; 凡是要经过自己思考再作结论; 善于提出各种疑问,及时发现错误等.
思维是一个通过对感知记忆的信息进行加 工改造而得出新信息的过程. 要使思维能进行,首先要有被加工的材料,即 概念信息和表象信息,其次要有科学的加工 方法,即思维方法. 思维方法分为一般思维方法和特殊思维方 法. 前者有逻辑思维方法、形象思维方法等;后 者是指各学科特有的思维方法,如观察、实 验、模拟方法等.
4.思维的独创性
思维的独创性是指思维的创新程度,表现为 思维的方式、方法或结果具有新颖、独特 的特点. 如高斯的1＋2＋3＋＋100 =50(100＋1)=5050 这种算法具有独创性.
例 全集I={(x,y)|x,y∈R}, M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}， N={(x,y)|y ≠x+1},那么M∪N=( A. Φ C.（2，3） B . {（2，3）}
数学物象----现实世界的空间形式和 数量关系以及反映出来的结构和模型. 数学思维----以数学物象为思维对象, 以数学语言符号为思维载体,并以认识 和揭示数学规律为目的的一种思维.
数学思维过程中,受到的刺激有 二类: 一类是数学概念的刺激 另一类是图形或图式的刺激 当处于概念时的思维称为数学 逻辑思维; 当处于图形(式)时的思维称为 数学形象思维。
直观行动思维(感知运动思维或动作思维): 具体形象思维: 以具体表象为材料的思维. 抽象逻辑思维: 以概念为材料的思维,主要以概念、判 断和推理的形式表现出来. 又分为形式逻辑思维和辩证逻辑思维.
2. 按思维结果划分: 再现性思维----运用原有的知 识经验,按现成的方法去解决类似 的问题的思维. 创造性思维----进行创造性活动 时的思维,如科学发现、发明、技 术革新、艺术创造等.
思维及数学思维
哲学:
பைடு நூலகம்
思维是物质的产物---人脑的机 能,是社会的产物,是客观事物的反 映,是人类认识的理性阶段.
普通心理学: 意识是心理学理论中的根本问题,思
维是人的意识活动的产物,它是人 脑对客观物质世界的能动反映,它 和语言一起成为意识的核心.
思维发展心理学:
思维是人脑对客观事物的本质 和事物内在规律性关系的概括和间 接的反映.
现代神经生理学: 大脑二个半球基本上是以不 同的方式进行思维,左脑负责语言 和逻辑思维,右脑形象思维.
现代认知心理学:
思维是一个通过感知记忆的信 息进行提取、整合、分解、比较、 选择等一系列的加工改造而得出新 信息的过程.
思维的分类
1. 按思维抽象性分类:
直观行动思维、 具体形象思维、 抽象逻辑思维.
2.思维的深刻性
思维的深刻性即思维的深度,它反映着 分辨事物本质的能力. 表现为: 善于洞察数学对象的本质属性及其相 互关系; 善于从所研究的材料中揭示隐藏的特 殊情况，发现有价值的东西; 能辩证地思考.
例 求函数y=1－6sinx－2cos2x的 最大(小)值. 误解: 因为－1≤sinx≤1,且0≤cos2x≤1, 所以－6≤ －6sinx ≤6 且－2≤ －2 cos2x ≤0, 所以－7≤1－6sinx－2cos2x≤7, 所以最大值为7,最小值为－7.