概率论习题2答案

习题2

2.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X 表示前后两次出现点数之和，求X 的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。

2.1解：样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω，且每个样本点出现的概率均为

36

1

，X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有 {}{}{}363

)2,2(),1,3(),3,1()4(,36

2)1,2(),2,1()3(,361)1,1()2(=

======

==P X P P X P P X P

类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X P ,363)10(,364)9(====X P X P ,36

1

)12(,362)11(====X P X P

X 的概率分布为

36

118112191365613659112118136112111098765432k

p X 满足：

136

2/652636543212366)(12

2

=⨯⨯+=+++++=

=∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}k

P X k ae -==， k=1，2,…，试确定常数.a 2.2解：由于111

1

1)(1--∞

=-∞=-====

∑∑e e a ae

k X P k k

k ，故111

1

-=-=--e e

e a

2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率：

（1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。

2.3解：设Y X ,分别为甲、乙投中的次数，则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ，因此有

2,1,0,)6.0()4.0()(,)3.0()7.0()(2222=====--k C k Y P C k X P k k k

k k k

（1） 两人投中次数相同的概率为

∑======2

3142.0)()()(k k Y P k X P Y X P

（2） 甲比乙投中次数多的概率为

5628

.0)]

1()0()[2()0()1()()()(2

==+==+===<==>∑=Y P Y P X P Y P X P k Y P k X P Y X P k 2.4设离散随机变量X 的概率分布为 {}1

2k

P X k ==

， k=1，2，….求 （1）{}2,4,6,...P X =； （2）{}2.5P X ≥；

2.4解：（1）{}4.015

6

15321)3()2()1(31==++==+=+==≤≤X P X P X P X P （2）{}2.0153

1521)2()1(5.25.0==+==+==<

2.5设离散随机变量X 的概率分布为 {}15

k

k X P ==， k=1，2，3，4，5.求

（1）{}13P X ≤≤； （2）{}0.5 2.5P X <<；

2.5解：（1）{}31

4/114/14

121)2(,...6,4,21121=-=

=====∑∑∑∞

=∞

=∞

=k k k k k k X P X P （2）25.041

2/118/12

1)()3(33

==-====

≥∑

∑∞

=∞

=k k

k k X P X P 2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.4，当A 发生3次或3次以上时，指示灯发出信

号，求下列事件的概率.

（1）进行4次独立试验，指示灯发出信号； （2）进行5次独立试验，指示灯发出信号；

2.6解：设X 为4次独立试验时事件A 发生的次数，设Y 为5次独立试验时事件A 发生的次数，则有)4.0,5(~),4.0,4(~B Y B X （1）所求概率为：

1792

.04.06.04.04)4.01(4.0)4.01(4.0)4()3()3(4

34

444

434334=+⨯⨯=-+-==+==≥--C C X P X P X P

（2）所求概率为：

31744

.04.06.04.056.04.010)

4.01(4.0)4.01(4.0)4.01(4.0)5()4()3()3(5

4235

555

5

4

54453533

5=+⨯⨯+⨯⨯=-+-+-==+=+==≥---C C C Y P Y P Y P Y P

2.7 某城市在长度为t （单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，且与时间间隔的2无关，求下列事件的概率. （1）某天中午12点到下午15点末发生火灾；

（2）某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。 2.7解：（1）设X 为中午12点到下午15点发生火灾的次数，根据题意可知，X 服从参数为5.15.03=⨯=λ的泊松分布，所求概率为

22313.0!

05.1)0(5.15

.10≈===--e e X P

（2）设Y 为中午12点到下午16点发生火灾的次数，根据题意可知，Y 服从参数为25.04=⨯=λ的泊松分布，所求概率为

59399

.031!

12!021)]

1()0([1)1(1)2(2

2120≈-=--==+=-=≤-=≥---e e e Y P Y P Y P Y P 2.8 为保证设备正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员，现有同类设备180台，且各

设备工作相互独立，任一时间设备发生故障的概率都是0.01。假定一台设备由一人进行修理，问至小配备多小设备维修人员，才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于0.99？.

2.8解：设X 为180台机器同时发生故障的台数，则)8.1()01.0,180(~P B X ≈，设需要n 个维修人员才能保证{}99.0≥≤n X P ，即01.0)1(≤+>n X P ，现在

8

.1!8.1)(-==e k k X P k ，于是1.0)(1

==∑∞

+=n k k X P ，查表得6,71==+n n ，即6个维修人

员可满足要求。其它

2.9 某种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为：

2

1000

1000,,()1000.

0,

x f x x x ⎧≥⎪

=⎨<⎪⎩

求5个元件使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。

2.9解：设事件A 为元件寿命大于1500小时，则

3

2

15001000|10001000)()1500()(1500

1500

15002==-===≥==∞∞

∞

⎰

⎰

x dx x dx x f X P A P p 设Y 为5个元件中寿命不大于1500小时的元件个数，则)3/1,5(~B Y ，所求概率为：

243

80929110)

3/11()3/1()2(332

522

5

=⨯⨯=-==-C Y P

2.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦)是一连续型随机变量，概率密度函数为： 120(1),

01,()0,

.

x x x f x -<<⎧=⎨

⎩其它