2021届山东高考数学一轮创新课件：第8章 第5讲 椭圆
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A.3x62 ＋3y22 ＝1 B.x92＋y82＝1 C.x92＋y52＝1 D.1x62 ＋1y22 ＝1 解析 由题意，得22ac＝13，2a＝6，解得 a＝3，c＝1，则 b＝ 32－12＝ 8， 所以椭圆 C 的方程为x92＋y82＝1.故选 B.
解析 答案
(3)
若
方
程
x2 m－2
＋
y2 6－m
解得 m＝61，n＝110，所以椭圆方程为1y02 ＋x62＝1.
解析
1.定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见 举例说明 1.其中常用的关系有： (1)b2＝a2－c2； (2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a； (3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a.
2.待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤
提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0， m≠n)可简记为“先定型，再定量”．见举例说明 2.
1.与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，且与圆 C2：(x－3)2＋y2＝81 内切的动 圆圆心 P 的轨迹方程为____2x_52_＋__1y_62_＝__1___．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点
焦点
∵|PA|－|PB′|≤|AB′|， ∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5. 当且仅当点 P 在 AB′的延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为 5.
解析
3．(2019·九江模拟)F1，F2 是椭圆x92＋y72＝1 的左、右焦点，A 为椭圆上
一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2 的面积为( )
＝
1
表示椭圆，则
m
的取值范围是
__2_<_m__<_6_且___m_≠__4__．
解析
m－2>0，
方程m－x2 2＋6－y2m＝1
表示椭圆⇔6－m>0， m－2≠6－m，
解得 2<m<6 且 m≠4.
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 椭圆的定义及应用
1．过椭圆x42＋y2＝1 的左焦点 F1 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，F2 是椭
圆．( )
(2)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋2c(其中 a
为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )
(4)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相同．(
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
性 顶点
质
A1(－a,0)，A2(a,0)； B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)； B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 线段 A1A2，B1B2 分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为 2a，短 轴长为 2b
焦距
△PF1F2 最大，此时 P 为短轴端点，
S△PF1F2＝12·2c·b＝bc.
又 a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤b2＋2 c2＝2，
∴当 b＝c＝ 2时，△PF1F2 面积最大，为 2.
解析
题型二 椭圆的标准方程
角度 1 定义法求椭圆的标准方程
1.已知
A－12，0，B
是圆x－212＋y2＝4(F
圆右焦点，则△ABF2 的周长为( )
A．8
B．4 2
C．4
D．2 2
解析 因为椭圆为x42＋y2＝1，所以椭圆的半长轴 a＝2，由椭圆的定义
可得 AF1＋AF2＝2a＝4，且 BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2 的周长为 AB＋ AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.
4
解析
角度 2 待定系数法求椭圆的标准方程 2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－23，25，( 3， 5)，则椭圆方程为___1y_02_＋__x6_2＝__1___．
解析 设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)．由已知得
94m＋245n＝1， 3m＋5n＝1，
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2| 的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a 转化或变形，借助三角形性 质求最值．见举例说明 2
1．如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一
定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，
然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则
为圆心)上一动点，线段 x2＋y32＝1
AB
的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为______4_____．
解析 如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2 且 |PA|＋|PF|>|AF|，即动点 P 的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，a＝1，c＝21， b2＝34.所以动点 P 的轨迹方程为 x2＋y32＝1.
积 S＝12×72×2 2× 22＝27.
解析 答案
条件探究 将本例中的椭圆方程改为ax22＋y42＝1(a>2)，“∠AF1F2＝45°” 43
改为“∠F1AF2＝60°”，则△AF1F2 的面积为___3_____．
解析 设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则 r1＋r2＝2a， 在△AF1F2 中，∠F1AF2＝60°，|F1F2|＝2c. 由余弦定理得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos60°＝(r1＋r2)2－3r1r2＝4a2－3r1r2， 所以 3r1r2＝4a2－4c2＝4b2，
解析 设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9 －r.
所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|， 所以点 P 的轨迹是以 C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆， 点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
解析
2.(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2，
又因为 b2＝4，所以 r1r2＝136，
所以
S△AF1F2＝12r1r2sin60°＝4
3
3 .
解析
利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法
解焦点三 角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常 利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a 两边平方是常用技巧．见举例说明 3
Baidu Nhomakorabea 1
PART ONE
基础知识过关
1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的 01 _和__等于 02 __常__数__(大 于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做 03 __焦__距_____ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝ 04 _2_a__，且 2a 05 _>__|F1F2|}，|F1F2| ＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常数． 注：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2； 当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
解析 答案
2．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是椭圆y42＋x32＝1 上的一个动点，点
A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
答案
解析 如图，∵椭圆y42＋x32＝1，∴焦点坐标为 B(0， －1)和 B′(0,1)，连接 PB′，AB′，根据椭圆的定义， 得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA| ＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)．
A．7
7 B.4
7
75
C.2
D. 2
解析 由题意，得 a＝3，b＝ 7，c＝ 2，|AF1|＋|AF2|＝6.∴|AF2|＝6－
|AF1|.在△AF1F2 中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos45°＝|AF1|2－
4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，解得|AF1|＝27，∴△AF1F2 的面
3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为 ___x8_2＋__y_62_＝__1__．
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上， ∴可设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，∵P(2， 3)是椭圆上一点，且
点 P 的轨迹是( )
A.椭圆
B．双曲线
C.抛物线 D．圆
解析 由题意得|PF|＝|MP|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|MP|＝|MO|>|OF|，
即点 P 到两定点 O，F 的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点
的距离，所以点 P 的轨迹是椭圆.
解析 答案
2.(2019·安徽皖江模拟)已知 F1，F2 是长轴长为 4 的椭圆 C：ax22＋by22＝
)
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
答案
2．小题热身
(1)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是(
)
13 A. 3
5 B. 3
2
5
C.3
D.9
解析 由已知得 a＝3，b＝2，所以 c＝ a2－b2＝ 32－22＝ 5，离心率
e＝ac＝
5 3.
解析 答案
(2)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将 长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则△PF1F2 面积的最大值为
____2____． 解析 解法一：∵△PF1F2 的面积为12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤12
|PF1|＋2 |PF2|2＝12a2.又 2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2 面积的最大值为 2. 解法二：由题意可知 2a＝4，解得 a＝2.当 P 点到 F1F2 距离最大时，S
第八章 平面解析几何 第5讲 椭圆
[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根 据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心 率)．(重点) 2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问 题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测 2021 年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③ 求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧 性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.
5．必记结论 (1)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有 最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，P 点在长轴 端点处． (2)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a.
1．概念辨析
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭
|F1F2|＝2c
标准方程
离心率 性 质 a，b，c
的关系
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
e＝ac且 e∈(0,1)
c2＝a2－b2
3．直线与椭圆位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组，消掉 y，得到 Ax2＋Bx＋C＝0 的形式(这 里的系数 A 一定不为 0)，设其判别式为 Δ： (1)Δ>0⇔直线与椭圆 01 _相__交___； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆 02 _相__切___； (3)Δ<0⇔直线与椭圆 03 ___相_离_____.
4．弦长公式 (1)若直线 y＝kx＋b 与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 01 ___1_＋__k_2_|x_1_－__x_2|__＝ 02 ____1_＋__k1_2_|y_1－__y_2_| _.
2b2 (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长 03 ___a___，最长为 04 __2_a___.
解析 答案
(3)
若
方
程
x2 m－2
＋
y2 6－m
解得 m＝61，n＝110，所以椭圆方程为1y02 ＋x62＝1.
解析
1.定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见 举例说明 1.其中常用的关系有： (1)b2＝a2－c2； (2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a； (3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a.
2.待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤
提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0， m≠n)可简记为“先定型，再定量”．见举例说明 2.
1.与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，且与圆 C2：(x－3)2＋y2＝81 内切的动 圆圆心 P 的轨迹方程为____2x_52_＋__1y_62_＝__1___．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点
焦点
∵|PA|－|PB′|≤|AB′|， ∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5. 当且仅当点 P 在 AB′的延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为 5.
解析
3．(2019·九江模拟)F1，F2 是椭圆x92＋y72＝1 的左、右焦点，A 为椭圆上
一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2 的面积为( )
＝
1
表示椭圆，则
m
的取值范围是
__2_<_m__<_6_且___m_≠__4__．
解析
m－2>0，
方程m－x2 2＋6－y2m＝1
表示椭圆⇔6－m>0， m－2≠6－m，
解得 2<m<6 且 m≠4.
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 椭圆的定义及应用
1．过椭圆x42＋y2＝1 的左焦点 F1 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，F2 是椭
圆．( )
(2)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋2c(其中 a
为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )
(4)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相同．(
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
性 顶点
质
A1(－a,0)，A2(a,0)； B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)； B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 线段 A1A2，B1B2 分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为 2a，短 轴长为 2b
焦距
△PF1F2 最大，此时 P 为短轴端点，
S△PF1F2＝12·2c·b＝bc.
又 a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤b2＋2 c2＝2，
∴当 b＝c＝ 2时，△PF1F2 面积最大，为 2.
解析
题型二 椭圆的标准方程
角度 1 定义法求椭圆的标准方程
1.已知
A－12，0，B
是圆x－212＋y2＝4(F
圆右焦点，则△ABF2 的周长为( )
A．8
B．4 2
C．4
D．2 2
解析 因为椭圆为x42＋y2＝1，所以椭圆的半长轴 a＝2，由椭圆的定义
可得 AF1＋AF2＝2a＝4，且 BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2 的周长为 AB＋ AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.
4
解析
角度 2 待定系数法求椭圆的标准方程 2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－23，25，( 3， 5)，则椭圆方程为___1y_02_＋__x6_2＝__1___．
解析 设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)．由已知得
94m＋245n＝1， 3m＋5n＝1，
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2| 的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a 转化或变形，借助三角形性 质求最值．见举例说明 2
1．如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一
定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，
然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则
为圆心)上一动点，线段 x2＋y32＝1
AB
的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为______4_____．
解析 如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2 且 |PA|＋|PF|>|AF|，即动点 P 的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，a＝1，c＝21， b2＝34.所以动点 P 的轨迹方程为 x2＋y32＝1.
积 S＝12×72×2 2× 22＝27.
解析 答案
条件探究 将本例中的椭圆方程改为ax22＋y42＝1(a>2)，“∠AF1F2＝45°” 43
改为“∠F1AF2＝60°”，则△AF1F2 的面积为___3_____．
解析 设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则 r1＋r2＝2a， 在△AF1F2 中，∠F1AF2＝60°，|F1F2|＝2c. 由余弦定理得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos60°＝(r1＋r2)2－3r1r2＝4a2－3r1r2， 所以 3r1r2＝4a2－4c2＝4b2，
解析 设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9 －r.
所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|， 所以点 P 的轨迹是以 C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆， 点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
解析
2.(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2，
又因为 b2＝4，所以 r1r2＝136，
所以
S△AF1F2＝12r1r2sin60°＝4
3
3 .
解析
利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法
解焦点三 角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常 利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a 两边平方是常用技巧．见举例说明 3
Baidu Nhomakorabea 1
PART ONE
基础知识过关
1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的 01 _和__等于 02 __常__数__(大 于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做 03 __焦__距_____ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝ 04 _2_a__，且 2a 05 _>__|F1F2|}，|F1F2| ＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常数． 注：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2； 当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
解析 答案
2．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是椭圆y42＋x32＝1 上的一个动点，点
A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
答案
解析 如图，∵椭圆y42＋x32＝1，∴焦点坐标为 B(0， －1)和 B′(0,1)，连接 PB′，AB′，根据椭圆的定义， 得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA| ＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)．
A．7
7 B.4
7
75
C.2
D. 2
解析 由题意，得 a＝3，b＝ 7，c＝ 2，|AF1|＋|AF2|＝6.∴|AF2|＝6－
|AF1|.在△AF1F2 中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos45°＝|AF1|2－
4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，解得|AF1|＝27，∴△AF1F2 的面
3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为 ___x8_2＋__y_62_＝__1__．
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上， ∴可设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，∵P(2， 3)是椭圆上一点，且
点 P 的轨迹是( )
A.椭圆
B．双曲线
C.抛物线 D．圆
解析 由题意得|PF|＝|MP|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|MP|＝|MO|>|OF|，
即点 P 到两定点 O，F 的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点
的距离，所以点 P 的轨迹是椭圆.
解析 答案
2.(2019·安徽皖江模拟)已知 F1，F2 是长轴长为 4 的椭圆 C：ax22＋by22＝
)
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
答案
2．小题热身
(1)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是(
)
13 A. 3
5 B. 3
2
5
C.3
D.9
解析 由已知得 a＝3，b＝2，所以 c＝ a2－b2＝ 32－22＝ 5，离心率
e＝ac＝
5 3.
解析 答案
(2)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将 长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则△PF1F2 面积的最大值为
____2____． 解析 解法一：∵△PF1F2 的面积为12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤12
|PF1|＋2 |PF2|2＝12a2.又 2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2 面积的最大值为 2. 解法二：由题意可知 2a＝4，解得 a＝2.当 P 点到 F1F2 距离最大时，S
第八章 平面解析几何 第5讲 椭圆
[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根 据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心 率)．(重点) 2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问 题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测 2021 年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③ 求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧 性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.
5．必记结论 (1)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有 最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，P 点在长轴 端点处． (2)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a.
1．概念辨析
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭
|F1F2|＝2c
标准方程
离心率 性 质 a，b，c
的关系
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
e＝ac且 e∈(0,1)
c2＝a2－b2
3．直线与椭圆位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组，消掉 y，得到 Ax2＋Bx＋C＝0 的形式(这 里的系数 A 一定不为 0)，设其判别式为 Δ： (1)Δ>0⇔直线与椭圆 01 _相__交___； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆 02 _相__切___； (3)Δ<0⇔直线与椭圆 03 ___相_离_____.
4．弦长公式 (1)若直线 y＝kx＋b 与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 01 ___1_＋__k_2_|x_1_－__x_2|__＝ 02 ____1_＋__k1_2_|y_1－__y_2_| _.
2b2 (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长 03 ___a___，最长为 04 __2_a___.