一次函数和二次函数的图像与性质
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数与一次函数的像与性质
二次函数与一次函数的像与性质在数学中，函数是描述不同元素间关系的一种工具。
二次函数和一次函数是两种常见的函数类型，它们在图像形状、性质和应用方面存在着一些明显的差异。
本文将探讨二次函数和一次函数的像与性质，并简要介绍它们在实际生活中的应用。
一、二次函数的像与性质二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负。
以下是对二次函数的一些重要性质的介绍：1. 零点：二次函数的零点是函数与x轴相交的点，即令y=0时对应的x值。
根据二次函数的定义，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c =0来确定零点的值。
2. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点坐标可以通过急升或求导的方法来找到。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的垂直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
左侧部分的y值与右侧部分的y值相等，即满足函数关系。
4. 开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
5. 函数值范围：根据二次函数的开口方向，可以确定函数的最小值或最大值。
当a>0时，函数的最小值为顶点的y值；当a<0时，函数的最大值为顶点的y值。
二、一次函数的像与性质一次函数的一般形式为y = mx + b，其中m、b是常数。
一次函数的图像通常是一条直线，其斜率m决定了直线的斜率和方向。
以下是对一次函数的一些重要性质的介绍：1. 斜率：一次函数的斜率表示直线的倾斜程度，可以通过两点间的坐标差值来计算。
如果两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
一次函数与二次函数图像共存及其性质
相关
a、b同号 a、b异号
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c 0 与y轴交于正半轴
c
与y轴交点的纵坐标c c
0 0
与坐标轴交于原点 与y轴交于负半轴
学以致用：
函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）
的图象可能是（C ）
y
y
y
y
1
x o
× A．
1
ox
× B．
o
x
√C．
1
0 0
从左往右上升 从左往右下降
b
与y轴
交
点
的
纵
坐
标
b b
0 0
与y轴交于正半轴 与坐标轴交于原点
b 0 与y轴交于负半轴
二次函数的一般式：y ax2 bx ca 0
二次函数的图像是一条抛物线
a
抛物线开口方向
a a
0 0
开口向上 开口向下
b
与对称轴x
b 2a
二次项系数a
ox
× D．
{ a>0→一次函数上升 + 二次函数开口向上
a相同 a<0→一次函数下降 + 二次函数开口向下
一次函数中常数项是1 →直线与y轴交于 正半轴(0,1) 二次函数中常数项是1 →抛物线与y轴交于正半轴(0,1)
新人教版初中数学九年级上册第22章《二次函数》 §22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像及性质
一次函数与二次函数 图像及其性质
学校：潮州市高级实验学校 授课者：谢骏
知识回顾：
一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0) 一次函数的图像是一条直线
一次、二次函数图象与性质
x
o
(0,c)
y
y a( x h) k
2
o
x
y
y a( x x1 )( x x2 )
o
x
已知条件…时，宜选用…式
一般式 对称轴 & 与Y轴交点
常见用处
代数分析
顶点式
顶点（对称轴）
图像平移 实际问题
求根 实际问题
交点式
与X轴交点
除非无特殊点（数轴交点，顶点），否则优先考虑顶点式与交点式
平行于 y = k x ,可由它平移而得
当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小.
应 用
(1). 待定系数法;43;b b k
x o
1
k : 斜率 b : Y轴截距
k>0
b>0
k<0 b<0
k+ 0
k-
•
1.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0, 则在直角坐标系内它的大致图象是( A )
一次函数图像与性质
一次函数的概念： 函数y=kx+b (k、b为常数，k ≠0)叫做一次函数。 当b=0时，函数y=kx(k ≠0)叫做正比例函数。
y=k xn +b为一次函数的条件是什么?
一. 指数n=1
二.
系数 k ≠0
解析式
正 比 例 函 数 y = k x ( k≠0 ) k>0 k<0
k>0,b>0
一 次 函 数 ｙ=k x + b（k ≠0） k>0 y o x
k>0,b<0
k<0 y x
一次函数、二次函数
b叫做该直线在y轴上的截距。 轴上的截距 截距。
一次函数又叫做线形函数。 一次函数又叫做线形函数。 线形函数
对k的理解 的理解
在直线y=kx+b上任取两点 P( x1 , y1 ) Q( x2 , y2 ) 上任取两点 则 y1 = kx1 + b ①
b 4ac − b 2 顶点坐标是 (− , ) 2a 4a
在(-∞,− b ]上是增函数 b 2a 在( − ， ∞)上是减函数 +
2a
2a
当x = −
b 4 ac − b 2 时 ， y min = 2a 4a
当x = −
b 4 ac − b 2 时 ， y max = 2a 4a
b = 0时为偶函数b ≠ 0时为非奇非偶函数
y
5
当x取何值时，f ( x) > 0, f ( x) = 0, f ( x) < 0?
o
x
f ( x) > 0
x ≥ −2或x ≤ −6
f ( x) = 0
f ( x) < 0
x = −2或 − 6
-6 ≤ x ≤ -2
1 2 x + 4x + 6 > 0 2 1 2 x + 4x + 6 = 0 2 1 2 x + 4x + 6 < 0 2
1、一次函数的概念
函数y=kx+b（k≠0）叫做一次函数。 （ 函数 ）叫做一次函数。
注意： 注意： （1）若k=0，则函数是常数函数 k=0， （2）x的最高次项为1，否则，就不是一次函数 的最高次项为1 否则， （3）b为任意常数。 为任意常数。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
高中数学：一次函数、二次函数、指数函数知识点汇总【必考点】
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数是高中数学中的常见函数类型。
本文将从图像、性质和应用三个方面介绍二次函数和一次函数。
一、图像1. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以分为三种情况：情况一：a > 0时，抛物线开口朝上。
此时抛物线的顶点是最小值点。
情况二：a < 0时，抛物线开口朝下。
此时抛物线的顶点是最大值点。
情况三：a = 0时，二次函数退化为一次函数。
2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数且k ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
二、性质1. 二次函数的性质（1）顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其中f(x)为二次函数。
（2）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
（3）开口方向：二次函数开口方向由系数a的正负决定。
（4）最值：当抛物线开口朝上时，最小值点为顶点；当抛物线开口朝下时，最大值点为顶点。
2. 一次函数的性质（1）斜率：斜率k表示直线的倾斜程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，直线平行于x 轴。
（2）截距：截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，函数值为b。
三、应用1. 二次函数的应用（1）物体抛体运动：考虑到重力的作用，物体在抛体运动中的轨迹可以由二次函数的图像表示。
（2）开口朝上的喷水池：喷水池的喷水高度可以用二次函数来描述，根据喷水池的造型可以确定二次函数的系数。
2. 一次函数的应用（1）成本与效益分析：通常情况下，成本与效益之间呈线性关系，可以用一次函数进行建模与分析。
（2）人口增长预测：根据过去的人口数据可以用一次函数对未来的人口增长进行预测。
综上所述，二次函数和一次函数在数学中具有重要地位。
一次函数反比例函数二次函数图像及性质
一次函数图象与性质
y=kx+b b≠0)
一
次
函
图象
数
y
b
ox
y
y
y
ox
b
b
o
x
ox
b
k,b的符号
k>0 b>0
k>0
k<0
b<0
b>0
k<0 b<0
（
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
增减性
y随x的增 大而增大
y随x的增 y随x的增 大而增大 大而减少
y随x的增 大而减少
大大不过 四
知识的综合运用：
课外探索与交流：
在同一坐标系中，函数 y
k1 x
和y=k2x+b的
图像大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条 件？说明理由。
A
B
C
D
二次函数的图像 及性质
什么是二次函数
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
3.将直线
y
1 2
x
3向
下
平移
5
个单位可得
直线 y 1 x 2 2。
4.直线y=-x+1与直线y=kx+3平行,则k= -1 .
小结
告诉大家本节课你的收获！ 1.会画:用两点法画一次函数的图象 ２.会求:一次函数与坐标轴的交点
知识小结
1.一次函数y=kx+b的图象是直线 ，我们称它为直线y=kx+，b 它可以看做由直线y=kx平移∣__b_∣_个单位长度而得到。 当_b_>__0__时，向上平移；当__b_<__0_时，向下平移。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较一次函数和二次函数是高中数学中常见的两种函数形式。
它们在数学模型的建立和分析中扮演着重要的角色。
本文将对二次函数和一次函数进行比较，从函数的定义、图像、性质和应用等方面进行综合分析。
一、函数的定义1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义可以表示为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数是二次函数的特例，其二次项系数为零。
一次函数的定义域和值域都是整个实数集，没有任何限制。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线与y轴的交点位置。
2. 二次函数：二次函数的定义可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线。
二次函数的定义域是整个实数集，因为平方项的平方根没有定义问题。
二次函数的值域取决于二次项系数a的正负情况，若a大于零，则值域是大于等于顶点纵坐标的所有实数；若a小于零，则值域是小于等于顶点纵坐标的所有实数。
二、图像的比较1. 一次函数：一次函数的图像是一条直线。
直线具有明显的斜率和方向，斜率决定了直线的陡峭程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜。
截距决定了直线与y轴的交点位置，通过截距可以确定直线与y轴的交点坐标。
2. 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定，若a大于零，则抛物线开口向上，若a小于零，则抛物线开口向下。
抛物线的顶点是函数的最值点，对于开口向上的情况，顶点是函数的最小值点；对于开口向下的情况，顶点是函数的最大值点。
三、性质的比较1. 一次函数：一次函数是一阶多项式函数，其函数图像是直线。
一次函数的增减性与斜率的正负有关，若斜率为正，则函数递增；若斜率为负，则函数递减。
一次函数的解析式中只有一项是x的幂次项，因此其次数为一。
2. 二次函数：二次函数是二阶多项式函数，其函数图像是抛物线。
反比例函数、一次函数及二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以为对称中心的中心对称的反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
为x≠0；为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的，与坐标轴围成的面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是，又是，它有两条y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），是坐标原点。
6.若设y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于。
7.设在内有反比例函数y=k/x和y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
在工程学中，反比例函数、一次函数和二次函数可以用来描 述各种工程问题的数学模型，如结构优化、路径规划等。利 用这些函数的性质和图像，可以进行工程设计和优化，提高 工程质量和效率。
感谢您的观看
THANKS
顶点
二次函数的顶点坐标为 $left(frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
04
图像特征
01
02
03
04
形状
二次函数的图像是一条抛物线 。
位置
根据 $a$、$b$、$c$ 的取值 ，抛物线的位置会有所不同。
与坐标轴的交点
令 $y = 0$ 可求得与 $x$ 轴 的交点，令 $x = 0$ 可求得
05
函数图像比较
图像的平移与伸缩
平移
函数图像在平面直角坐标系中的位置可以通过平移来改变。对于一次函数和二次函数，图像可以沿x轴或y轴进 行平移，而对于反比例函数，图像可以沿原点进行平移。
伸缩
函数图像的形状可以通过伸缩来改变。对于一次函数，图像的伸缩表现为斜率的改变；对于二次函数，图像的 伸缩表现为开口大小或方向的改变；对于反比例函数，图像的伸缩表现为离原点的远近。
单调性
反比例函数
反比例函数的单调性取决于其定义域。在每个象限内，反比例函数都是单调的，但在整个 定义域内不是单调的。
一次函数
一次函数的单调性取决于其斜率。当斜率大于0时，函数在整个定义域内单调递增；当斜 率小于0时，函数在整个定义域内单调递减。
二次函数
二次函数的单调性取决于其二次项系数的正负和对称轴的位置。当二次项系数为正时，函 数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当二次项系数为负时，函数在对称轴 左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图像与性质课件
y ax2 当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口 对性顶点 增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对 称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点；顶点是抛物线的最低点或 最高点
一次函数反比例函数二次函数图像及性质
02
反比例函数图像及性质
反比例函数定义与表达式
定义
反比例函数是一种特殊的函数， 其自变量和因变量的乘积为常数 ，且该常数不为零。
表达式
一般地，反比例函数可以表示为 y = k/x (k ≠ 0) 的形式，其中 k 是比例系数。
反比例函数图像特征
图像位置
反比例函数的图像分布在两个象 限内，当 k > 0 时，图像位于第 一、三象限；当 k < 0 时，图像
一次函数反比例函 数二次函数图像及 性质
汇报人：XXX 2024-01-28
目录
• 一次函数图像及性质 • 反比例函数图像及性质 • 二次函数图像及性质 • 函数图像变换规律探讨 • 函数性质应用举例
01
一次函数图像及性质
一次函数定义与表达式
定义
一次函数是函数中的一种，一般形如$y=kx+b$（$k，b$是常数，$k≠0$）， 其中$x$是自变量，$y$是因变量。
表达式
一次函数的标准形式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，表示$x$每增加一个单位 ，$y$增加$k$个单位；$b$是截距，表示当$x=0$时，$y$的值。
一次函数图像特征
1 2 3
直线形状
一次函数的图像是一条直线。
斜率决定倾斜程度
当$k>0$时，直线从左下方向右上方倾斜；当 $k<0$时，直线从左上方向右下方倾斜；当 $k=0$时，直线与$x$轴平行。
二次函数
图像沿x轴或y轴平移，开 口方向和宽度不变，顶点 位置发生变化。
伸缩变换规律
一次函数
01
通过改变斜率的大小，可以实现图像在x轴或y轴方向上的伸缩
变换。
反比例函数
专题08 一元二次函数的图像和性质(解析版)
专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋b x a )＋c ＝a(x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b ac b a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系表二、典例精析【典例1】求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．【答案】见解析【解析】∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C(，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．【说明】：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．【典例2】某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？【答案】见解析【分析】：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．【解析】由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋b 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．【典例3】把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值． 【答案】见解析 【解析】解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x+2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．【说明】：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．【典例4】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．【答案】见解析【分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型，它们在图像形状、增长趋势和应用领域等方面有着明显的不同。
本文将就二次函数与一次函数在这些方面的比较进行详细的论述。
1. 图像形状比较二次函数的图像通常为一个抛物线，其形状可以是开口向上或开口向下。
而一次函数的图像则是一条直线。
抛物线具有曲线性质，而直线则是一种线性图像。
这两种图像形状的差异决定了它们的性质和特点。
2. 增长趋势比较二次函数随着自变量的增大或减小呈现出一种非线性的变化趋势。
具体来说，当二次函数的二次项系数大于0时，它的图像开口向上；当二次项系数小于0时，图像开口向下。
而一次函数在自变量增大或减小时呈现一种线性的变化趋势，增长速率是恒定的。
3. 零点、极值点比较二次函数和一次函数在零点和极值点的表现也有所不同。
二次函数的零点是方程的解，可用求根公式求得。
而一次函数的零点则直接通过一次方程求解。
对于二次函数，当抛物线与x轴交点处有极值时，该极值点被称为顶点，可以通过平方完成调整求得。
而一次函数没有极值点，只有一个斜率。
4. 应用领域比较二次函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理中，抛物线的运动轨迹通常由二次函数描述；在工程中，通过调整二次函数的参数，可以实现曲线的优化；在计算机图形学中，抛物线曲线的生成与渲染是常见的技术。
与之相比，一次函数在直线运动和线性增长方面有着广泛的应用，如速度和距离的线性关系等。
综上所述，二次函数与一次函数在图像形状、增长趋势、零点和极值点以及应用领域上存在明显差异。
对于研究这两种函数的数学学生来说，深入理解和比较二者的特点，对于解决实际问题和拓宽数学思维具有重要意义。
一次函数与二次函数的基本性质
一次函数与二次函数的基本性质一次函数和二次函数是数学中常见的两类函数。
它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍一次函数和二次函数的基本性质，并比较它们之间的异同点。
一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线。
2. 斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，计算方法为斜率k = Δy / Δx = (f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁)。
斜率为正时，函数图像向上倾斜，斜率为负时，函数图像向下倾斜，斜率为0时，函数图像水平。
3. 截距：一次函数的截距是函数图像与坐标轴的交点。
当x=0时，函数图像与y轴的交点为y-intercept，即为函数的纵截距。
当y=0时，函数图像与x轴的交点为x-intercept，即为函数的横截距。
4. 性质：一次函数图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
另外，一次函数的定义域和值域都是实数集。
二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数又称为抛物线，其定义为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是使得f(x) = 0的x值。
零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其横坐标x = -b / 2a 可以通过公式来计算得到。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称线，过顶点且垂直于x轴。
对称轴的方程为x = -b / 2a。
5. 性质：二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。
当a>0时，图像开口向上，函数有最小值；当a<0时，图像开口向下，函数有最大值。
二次函数的定义域是实数集，而值域则依赖于a的正负情况。
一次函数与二次函数的像性质比较
一次函数与二次函数的像性质比较一次函数和二次函数是高中数学中常见且重要的数学概念。
它们在图像性质上有着一些明显的区别和相似之处。
本文将会比较一次函数与二次函数的像性质，以帮助读者更好地理解这两种函数的特点。
1. 函数定义与图像特点一次函数的定义为y = kx + b，其中k和b为常数，k表示斜率，b表示y轴截距。
一次函数的图像是一条直线，特点是具有恒定的斜率，即每单位横坐标x的变化所对应的纵坐标y的变化都相同。
二次函数的定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于零。
二次函数的图像是抛物线，特点是开口方向、开口程度、顶点位置等可以通过参数a、b和c来确定。
2. 斜率或导数一次函数的斜率恒定，可以通过斜率k来表示。
斜率为正时，函数图像向上倾斜；斜率为负时，函数图像向下倾斜；斜率为零时，函数图像水平。
二次函数的斜率是变化的，由导数来表示。
导数在不同的x值处可能为正、负或零。
当导数为正数时，函数图像在该点上升；当导数为负数时，函数图像在该点下降；当导数为零时，函数图像达到顶点或者底点。
3. 零点和交点一次函数的零点表示函数图像与x轴的交点，即方程kx + b = 0的解。
一次函数只有一个零点，当k不等于零时，零点存在且唯一。
二次函数的零点表示函数图像与x轴的交点，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
二次函数可能有两个零点、一个零点或者没有零点，具体情况取决于方程的解。
4. 最值点和顶点一次函数没有最值点，因为直线是无限延伸的。
它的图像可以取得任意大或任意小的值。
二次函数的顶点是抛物线的最值点，可以通过求导数或者配方法来确定。
当a大于零时，顶点为最小值点；当a小于零时，顶点为最大值点。
5. 对称性一次函数的图像关于直线y = x对称，即在直线y = x上的任意点(x, y)，对应的点(y, x)也在函数图像上。
二次函数的图像关于它的顶点对称。
顶点是抛物线的对称轴。
结论：一次函数和二次函数在图像性质上有着明显的区别。
一次函数和二次函数的性质与图象
一次函数和二次函数的性质与图象Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】【本讲主要内容】一次函数和二次函数的性质与图象【知识掌握】 【知识点精析】1. 一次函数定义：形如)0(≠+=a b ax y 的函数叫一次函数。
一次函数图象：斜率为a ，在y 轴上截距为b 的直线。
一次函数性质：在（－∞，+∞）上是单调函数，a>0增函数，a<0减函数。
2. 二次函数（1）定义：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数。
（2）图象：抛物线，对称轴：abx 2-=，顶点)442(2a b ac a b --，，开口方向a>0向上；a<0向下。
（3）二次函数的基本性质 <1>二次函数的三种表示法：n x x a y x x x x a y c bx ax y +-=--=++=20212)();)((;<2>当a>0，f(x)在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令)(210q p x +=若p ab<-2，则M q f m p f ==)()(， 若02x a b p <-≤，则M q f m a bf ==-)()2(，若q a b x <-≤20，则m a bf M p f =-=)2()(，；若q ab ≥-2，则m q f M p f ==)()(，特别提醒：（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即2x 项的系数是否为零，必要时加以讨论。
（2）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。
（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。
【解题方法指导】例1. （1）设x 、y 是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是（ ）A. 4112-B. 18C. 8D. 43剖析：由0)6(4)2(2≥+--=∆a a ，得2-≤a 或3≥a 。
一次函数与二次函数的图像与性质
一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。
它们在图像和性质上有着明显的区别。
本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质进行介绍。
一、一次函数的图像与性质一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。
斜率为正值时，直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。
2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。
当x=0时，直线与y轴的交点为截距b。
3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的线性关系。
直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。
二、二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的根。
零点也是方程y=0的解。
3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。
当抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程为x=-b/(2a)。
对称轴把抛物线分为两个对称的部分。
5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。
总结：一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。
而二次函数的图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等性质。
了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解决和实际应用具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次函数和二次函数的
图像与性质
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一次函数的图像与性质 练习
1、一次函数y=2x-1的图象大致是（ ）
2、函数y ＝k （x －k ） （k ＜0 )的图象不经过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
3、若点A （2, 4）在函数y ＝k x －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A 、（0，－2）
B 、（，0）
C 、（8, 20）
D 、（，）。
4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )
A B C D 5、若把一次函数y=2x －3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) A y=2x B y=2x －6 C y=5x －3 D y=－x －3 6、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的
符号是( )
(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0
7、直线y=2x+1与y=3x-1的交点P的坐标为____，点P到x轴的距离为
_______，点P到y轴的距离为______。
8、如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax+b<0的
解集是
9、点P（a,b）点Q（c,d）是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且a<c，则b 与d的大小关系是____
10、知一次函数图象经过（3,5）和（－4，－9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在函数图象上，求a的值。
二次函数的图像与性质
1、二次函数：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R。
2、二次函数的解析式：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
②顶点式：；
③零点式（两根式）：y＝a（x－x
1）（x－x
2
）（a≠0），其中，x
1
、x
2
是
函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点（或是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）。
3、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线.
4、二次函数的图像的性质：
①开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；
②顶点坐标：；
③对称轴方程：；
④开口大小：a值越大，开口越小；a值越小，开口越大；
⑤单调性：若a>0，单调减区间为（－∞，），单调增区间为
（，＋∞）；若a<0，单调减区间为（，＋∞），单调增区间为（－∞，）；
线是（ ）
A ．y=x 2+3x －5
B ．y=－
12x 2．y=12x 2+3x －5 D ．y=12
x 2 2、若直线y=3x+m 经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x －m ）2+1的顶点必在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、已知抛物线的顶点坐标为（1，9），它与x 轴交于A （－2，0），B 两点，则B 点坐标为（ ）
A ．（1，0）
B ．（2，0）
C ．（3，0）
D ．（4，0） 4、抛物线y=2（x+3）（x －1）的对称轴是（ ）
A ．x=1
B ．x=－1
C ．x=1
2
D ．x=－2
5、已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点（a ，－1
4
）和（－a ，y 1），则y 1的值是
_______．
6、如图所示，抛物线y=－x 2+5x+n 经过点A （1，0），与y 轴交于点B ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．
7、如图已知二次函数图象的顶点为原点， 直线42
1
+=x y 的图象与该二次函数的图象交
于A 点(8,8)，直线与x 轴的交点为C ，与y 轴的交点为B ．
（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A B
，不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范
围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与BOC
△相似若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。