第二讲 随机事件及其运算
随机事件及其运算
§1.1 随机事件及其运算1.随机现象概率论的研究对象是随机现象。
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
只有一个结果的现象叫做确定性现象。
随机现象随处可见。
有的随机现象可以在相同条件下重复，如抛硬币，掷骰子，测量一物体的质量。
也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 在相同条件下重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.概率论主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。
2.样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。
在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，随机现象的基本结果称为样本点，用ω表示样本点；而随机现象的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为}{ωΩ.=在具体的随机现象或试验中, 有的凭“实际经验”可确定样本点和样本空间,有的需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间,样本点和样本空间的确定也与试验观察或记录的是什么有关.例1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为}6,5,4,3,2,1{Ω.=例 2 考虑试验:观察一天內进入某商场的人数. 一天內进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为...}Ω3,2,1,0{=例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地定为)=Ω.,0[+∞例4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反情况,则样本空间为THHTHTHTHHTTΩ;若我们记录正面出现的TTH=HHHHHT,{TTT,},,,,,次数,则样本空间为}3,2,1,0{Ω.=若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3.随机事件有了样本空间后,我们可给出随机事件的概念.直观上说, 随机事件是随机现象中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的基本结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生了应当能由试验出现的基本结果判定,因此一个事件可以由能使其发生的那些基本结果组成.换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.样本空间的子集称为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,…表示.事件A发生当且仅当试验出现的基本结果属于A.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间Ω本身.显然, 必然事件是必定发生的事件.空集Φ作为样本空间Ω的子集也是事件,称此事件为不可能事件,不可能在任一次试验中都不会发生.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，而随机事件就是该样本空间的子集。
1-2 事件的关系和运算(内蒙古大学)
5. 事件的差 不出现” 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差事件，记作 A- B。 差事件， 。 事件“长度合格但直径不合格” 实例 事件“长度合格但直径不合格”是事件 长度合格”与事件“直径合格”的差。 “长度合格”与事件“直径合格”的差。 的差： 以下两图表示 A 与 B 的差： 当 B ⊄ A时 A
推广 称 U Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , L, An 的和事件, 即
A1 , A2 , L, An 至少发生一个；
k =1
n
称 U Ak 为可列个事件 A1 , A2 , L 的和事件 , 即 A1 , A2 , L 至少发生一个。
3. 事件的积 交) 事件的积(交
k =1
∞
" 事件 A、 事件 B同时发生 "的事件 , 称为 事件 A 与 B 的积事件, 记作 A I B。显然 积事件, A I B = {e | e ∈ A而且 e ∈ B}。
A
AB
B S
推广 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , L , An 的积事件,
n
即A1 , A2 , L, An同时发生；
称
k =1
∞
IA
k =1
k
为可列个事件 A1 , A2 , L 的积事件 ,
即 A1 , A2 , L 同时发生。
和事件与积事件有下述运算性质： 和事件与积事件有下述运算性质：
A U A = A, A I A = A,
A ∪S = S ， A ∩S = A ，
A U ∅ = A,
A I ∅ = ∅.
4. 事件的互不相容 (互斥 事件的 互斥) 互斥 若事件 A 、B 满足 A I B = AB = ∅, 则称 互不相容。 事件 A与B互不相容。 与 互不相容 抛掷一枚硬币, 出现正面 出现正面” 实例 抛掷一枚硬币 “出现正面” 与 “出现背 面” 是互不相容的两个事件。 是互不相容的两个事件。 互不相容
第2章_随机事件及其概率
例：箱中装有 5 件产品，其中 有 2 件次品。为检查产品质量， 从中任取 3 件，问所取 3 件中恰 有 1 件次品的概率？
解：从5 件产品中任取 3 件，共 有 c
3 5
种等可能取法，每次只能取
其中的一种取法，而 3 件中恰有 1 件次品（表示为A）的取法总共有
频率的定义
若随机事件 A 在 n 次重复试验 中出现了 m 次，则称比值 m/n 为事件 A出现的频率。
m f(A) = n
也是随机的！
注意：在相同条件下进行大量重复 试验，随机事件发生的可能性就会 出现一定的统计规律性。事件出现 的频率会在某一常数附近摆动，这 就叫做频率的统计稳定性。
投掷硬币试验
A B
对立关系
若事件 A 与 B 有一个发生且仅有 一个发生，即： AB = Φ, A + B = Ω ， 则称事件 A 与 B 互为对立事件， 记做： A = B 及 B = A 。
A B
并事件
若事件 C 表示 A、B 中至少有一个发 生，则称事件 C 为 A 与 B 的并事件， 记做： A + B；类似的，n 个事件的并 事件记做： A = ∑i=1 Ai 。
§2.3.1 概率的加法公式
基本定理： 若事件 A, B 为互不相容 的随机事件，则有：
P(A + B) = P(A) + P(B)
推论1：若 A1,L, An 互不相容，则：
P(A1 + A 2 + L + An ) = P(A1) + L + P(An )
推论2：若 A1,L, An 互不相容，且：
A⋅B ⋅C
•A与B发生，而C不发生；
高等数学(第2版)课件：随机事件及其运算
一、随机现象与随机试验
1.确定性现象
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
2.随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称 为随机现象.
注：
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 这种本质规律的一门数学学科.
S4 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DND, DDN , DDD}
E5：“在一大批电视中任意抽取一台，测试其寿命”.
S5 {t | t 0}
思考： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”：
观察正面、反面出现的情况,样本空间是什么？
观察出现正面的次数, 则样本空间是什么？
2. 随机试验通常用 来E表示.
二、样本空间 样本点
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称 为 E 的样本空间, 记为 S . 样本空间的元素, 即试验 E 的每一个结果, 称为样本点.
说明 1.试验不同, 对应的样本空间也不同. 2.同一试验, 若试验目的不同, 则对应的样本 空间也不同.
B
Ω
A
表示事件 A 发生必然导致事件 B 发生. （文氏图）
[注] 1. 若 A B 且 B A , 则称事件 A 与事件 B 相等.
记作：A B
2. A Ω .
2. 和事件
事件
称为事件 A 与事件 B 的和（或并），
Байду номын сангаас
A
记作：
表示：事件 A 、B 中至少有一个发生时，事件
随机事件与事件间的关系与运算(共22张PPT)
AC BABCABC ABC A BAC B.C
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
要求：会用集合论语言和概率论语言表述
事件的关系. 掌握： De Morgan律.
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第一章 概率论的基本概念
第一讲结束
(1) AA, AAS. AS-A. 事件的关系.
如果事件A发生必导致事件B发生，则称B包含A，或者说A是B的子事件。
相互对立
互不相容
§1 随机事件的概率
（5）不可能事件 :在试验中不可能发生的事件，记为 。
(2) AA, (3)A-BAB
请注意互不相容与对立事件的区别：
相互对立
互不相容
B A
三 样本空间的一个划分
A={e2 } U{e4} U{e6}， B={e1} U{e3} U{e5}。
（4）必然事件 :在试验中一定发生的事件，记为S 。（5）不可 能事件 :在试验中不可能发生的事件，记为。
例：抛一颗骰子，观察出现的点数。若A=“出现的点数小于7”，B =“
出现的点数大于7” ，则 A是必然事件，而B不可能事件。
四 定义：若A 1,A 2, ,A n
五 两两互斥，且A 1A 2A nS ，
六 则 构A 称 成1 A ,S1 的A ,一2 A ,个2 ,互 斥,A 事,n A 件n 的构完样备本组空。间S的一个划分，或者说
七 注：样本空间S中所有的基本事件一定可以构成一个S 的 一个划分。
四 事件间的运算法则
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3) 和（并）事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，称为
概率论-1-2随机事件间的关系及运算
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
容, 即
A B AB .
实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
基本事件，复合事件，必然事件， 不可能事件都是随机事件
学习了事件的运算及运算律，运算的 目的是什么？
用简单事件表示复合事件（复合事件分解 成简单事件）
(*)2. 概率论与集合
S 样本空间，必然事件
互为对立事件
二、随机事件间的关系及运算
事件是集合，就可以用集合间的关系和运 算来处理,我们结合 p4 图来学习：
设试验 E 的样本空间为S, 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 S 的子集.
二、随机事件间的关系及运算（续）
1. 包含关系 子事件 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以B=“产品不合格”包含A=“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
(2) 三个事件都出现;
(3)三个事件至少有一个出现;
(4) 不多于一个事件出现; (5) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (6) A, B, C 中恰好有两个出现.
解(1) ABC; (2) ABC; (3) A B C;
(4) ABC ABC ABC ABC;
(5) ( A B) C; (6) ABC ABC ABC.
复合事件—由若干个基本事件组合而成的事件.
概率与统计中的随机事件与事件的运算
概率与统计中的随机事件与事件的运算在概率与统计学中，随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
事件的运算则是对多个事件进行组合、操作的过程。
本文将探讨概率与统计中的随机事件及其运算。
一、随机事件的定义与特性在随机试验中，发生的结果称为样本点。
而样本空间是指所有可能结果的集合。
随机事件是指样本空间的一个子集，表示某些特定的结果或结果组合。
随机事件具有以下特性：1. 互斥性：如果两个事件不可能同时发生，则称这两个事件是互斥的。
互斥事件的交集为空集。
2. 完备性：在一个随机试验中，必定会发生某个事件，因此，所有事件的事件和为样本空间。
3. 对立性：对立事件是指两个事件互斥且完备。
例如，抛硬币的结果只能是正面或反面，两者互斥且完备。
二、随机事件的运算1. 事件的并：事件A和事件B的并（A∪B）包含了事件A和事件B发生的所有情况。
例如，A为掷骰子得到奇数的事件，B为掷骰子得到偶数的事件，则A∪B为掷骰子得到任意数的事件。
2. 事件的交：事件A和事件B的交（A∩B）包含了既属于事件A 又属于事件B的所有情况。
例如，A为抽出红球的事件，B为抽出大球的事件，则A∩B为抽出既是红球又是大球的事件。
3. 事件的差：事件A和事件B的差（A-B）包含了属于事件A但不属于事件B的所有情况。
例如，A为掷骰子得到奇数的事件，B为掷骰子得到3的事件，则A-B为掷骰子得到1或5的事件。
4. 事件的补：事件A的补（A'）包含了属于样本空间但不属于事件A的所有情况。
例如，A为掷骰子得到偶数的事件，则A'为掷骰子得到奇数的事件。
三、事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
根据概率公理，事件的概率满足以下条件：1. 非负性：0 ≤ P(A) ≤ 12. 完备性：P(样本空间) = 13. 加法法则：对于互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)4. 减法法则：对于事件A和B，P(A-B) = P(A) - P(A∩B)四、示例分析假设有一批产品，经过质量检测，A表示产品合格的事件，B表示产品不合格的事件。
§1.2随机事件及其运算
D包含了所有样本点，即全部试验结果， 包含了所有样本点，即全部试验结果， 在任何一次试验中都必然发生，称为必然事 在任何一次试验中都必然发生，称为必然事 常用Ω 件，常用Ω表示； Ｅ不包含任何的样本点，也即不包含任何 不包含任何的样本点， 试验结果 在每次试验中都一定不发生， 试验结果，在每次试验中都一定不发生，称为 不可能事件， 表示． 不可能事件，常用 Æ 表示．
10
2、相等关系
A＝B ⇔ A⊂B且B⊂A. ＝ ⊂ 且 ⊂
它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同 它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同 ，Ａ，Ｂ 时发生或同时不发生． 时发生或同时不发生． 3、互不相容 若事件A与B在任何一次试验中都不能同时 若事件A 发生，则称A 互不相容，否则称A 相容． 发生，则称A与B互不相容，否则称A与B相容． 在例1.1中，A={掷出奇数点}，B={掷出的 在例1.1中 A={掷出奇数点} B={掷出的 1.1 掷出奇数点 点数不小于3 也不超过5} C={掷出的点数能 5}， 点数不小于3，也不超过5}，C={掷出的点数能 整除} E={掷出的点数超过8}， 掷出的点数超过8} 被4整除}，E={掷出的点数超过8}，A与C、A与E 都互不相容， 相容． 都互不相容，而A与B相容．
i =1 n
表示事件
至少有一个发生 发生” “A1 , A2 ,L , An 至少有一个发生”．
163、Βιβλιοθήκη 运算和对立运算 设A，B是两个集合，A − B 的准确含义是 是两个集合，
ω ∈ A − B ⇔ ω ∈ A且ω ∉ B ,
如果把这个蕴涵关系式翻译成概率论的语 表示A发生且B不发生． 言，那么事件 A − B 表示A发生且B不发生．称 的差． 事件 A − B 为 A与B的差． 表示“前者发生且后者不发生” “− ”表示“前者发生且后者不发生”．
随机事件的关系与运算
随机事件的关系与运算随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
在随机事件中，我们需要对其进行运算，以便得到更加准确的结果。
本文将从随机事件的关系与运算角度，对随机事件的基本概念、性质、运算规则等进行探讨。
一、随机事件的基本概念与性质随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
随机事件的基本概念包括：样本空间、随机事件、必然事件和不可能事件。
样本空间是指一个试验中所有可能的结果构成的集合，记作S。
随机事件是指样本空间S中的一个子集，即一个具有一定概率的事件。
必然事件是指在样本空间中所有结果都属于该事件的事件，记作Ω。
不可能事件是指在样本空间中没有任何结果属于该事件的事件，记作∅。
随机事件具有以下性质：1. 互斥性：若两个事件A和B之间没有公共结果，则称它们互斥。
2. 相对补集：若事件A的发生导致事件B的不发生，则称事件A是事件B的补事件，记作A的补集，即A^c。
3. 包含关系：若事件A的发生导致事件B的发生，则称事件A包含事件B，记作A⊇B。
二、随机事件的运算规则在随机事件的运算中，我们需要对事件之间的关系进行分析和计算。
随机事件的运算包括并、交、差和补四种运算。
1. 并运算并运算是指将两个事件A、B的结果集合并为一个结果集的操作，用符号“∪”表示。
即：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并运算的性质：（1）交换律：A∪B=B∪A。
（2）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
2. 交运算交运算是指将两个事件A、B的公共结果构成一个新的事件的操作，用符号“∩”表示。
即：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交运算的性质：（1）交换律：A∩B=B∩A。
（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 差运算差运算是指事件A中除去事件B的结果所构成的新事件，用符号“-”表示。
随机事件九年级知识点
随机事件九年级知识点【正文】随机事件是概率论中的一个重要概念，也是九年级数学中的知识点之一。
本文将详细介绍随机事件的定义、性质和相关的计算方法，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识。
一、随机事件的定义随机事件是指在一次试验中可能发生也可能不发生的现象，通常用大写字母 A、B、C 等表示。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面朝上（用事件 A 表示）、也可以是反面朝上（用事件 B 表示）。
二、随机事件的性质1. 确定性：在一次试验中，随机事件只能是发生或不发生两种情况中的一种，不存在其他可能性。
2. 互斥性：如果两个随机事件不可能同时发生，那么它们就是互斥的。
例如，抛一次硬币，事件 A 表示正面朝上，事件 B 表示反面朝上，显然 A 与 B 互斥。
3. 对立性：如果一个随机事件发生的概率等于它不发生的概率的补数，那么这两个事件就是对立的。
例如，在抛一次硬币的例子中，事件 A 和事件 B 就是对立的，因为 P(A) = 1 - P(B)。
4. 包含性：一个随机事件发生所需的条件可以是另一个事件的发生。
例如，事件 A 表示掷一次骰子得到奇数点数，事件 B 表示掷一次骰子得到倍数点数（2、4、6）。
显然，事件 B 包含了事件A。
三、随机事件的计算方法1. 否定事件的概率：一个随机事件的否定事件是指这个事件不发生的情况。
设随机事件 A 发生的概率为 P(A)，则事件 A 的否定事件发生的概率为 P(A') = 1 - P(A)。
2. 事件的和事件的概率：设随机事件 A 和事件 B 分别发生的概率分别为 P(A) 和 P(B)，则事件 A 和事件 B 的和事件发生的概率为 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
3. 对立事件的概率：设随机事件 A 和事件 B 为对立事件，即P(A) = 1 - P(B)，则事件 A 发生的概率为 P(A) = 1 - P(B)。
随机事件的概念和计算
随机事件的概念和计算随机事件是指在一定条件下，其结果无法确定或者无法预测的事件。
它是概率论和统计学中的重要概念，用来描述随机性的现象。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机事件，比如掷骰子、抽奖、赌博等等。
为了更好地理解随机事件，我们需要了解概率论中相关的概念和计算方法。
一、随机事件的定义在概率论中，随机事件是指在一个试验中可能出现的结果。
试验是指一个过程或实验，具有确定的条件和规则，并具有可重复性。
随机事件的结果是不确定的，其发生与否具有一定的概率。
在数学上，我们用事件的符号表示随机事件。
通常用A、B、C等大写字母表示事件，将事件发生记作A，事件不发生记作A'或A^c。
例如，掷一枚硬币的结果可以表示为事件A，正面朝上；如果用B表示事件“掷一枚硬币的结果是反面朝上”，则B'表示事件“掷一枚硬币的结果是正面朝上”。
二、随机事件的计算在概率论中，我们可以通过计算来确定随机事件发生的概率。
概率是描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
事件发生的概率越大，其可能性就越高；事件发生的概率越小，其可能性就越低。
1. 等可能随机事件的计算在某些情况下，事件的发生是等可能的，这时我们可以通过计算来确定事件发生的概率。
例如，掷一枚均匀的硬币，正反两面出现的概率是相等的。
如果用P(A)表示事件A的概率，我们可以通过下面的公式来计算：P(A) = 发生事件A的次数 / 总的可能性次数以掷一枚硬币的例子来说，假设我们掷硬币10次，正面朝上的次数是5次，那么事件“正面朝上”的概率可以计算如下：P(正面朝上) = 5 / 10 = 0.52. 不等可能随机事件的计算在一些情况下，事件的发生是不等可能的，这时我们需要使用不同的计算方法。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，抽到黑桃A的概率是多少？在一副扑克牌中，总共有52张牌，其中有4张黑桃A。
我们可以通过下面的公式来计算：P(A) = 事件A的可能性 / 总的可能性对于抽到黑桃A的概率来说：P(抽到黑桃A) = 4 / 52 = 1 / 13 ≈ 0.07693. 互斥事件和独立事件的计算在概率论中，互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
1.1_2随机事件的关系和运算法则
B .
⑻事件的运算法则
①交换律 A B B A, A B B A;
②结合律 A B C A B C , A B C A B C;
③分配律 A B C A C B C , A B C A C B C;
④对偶律
A B A B, A B A B.
性质①②④可推广到任意 n个事件的情形.
事件A B 表示“灯泡寿命超过200小时而小于300小时”
⑹互不相容事件
如果A B , 则称事件A与事件B是互不相容事件, 或 称事件A与事件B互斥.
事件A表示“灯泡寿命不超过200小时” 事件B表示“灯泡寿命至少300小时”
如果一组事件中的任意两个事件都互不相容, 那么称 该事件组是两两互不相容事件组.
来表示“城市正常供水”和“城市断水”这两个事件.
水源甲
1
3
城市
水源乙
2
水源甲 水源乙
1
3
2
城市
解 供水正常:
A1 A2 A3
城市断水:
A1 A2 A3 A1A2 A3
谢谢
随机事件之间 的关系与运算
⑴事件的包含
若事件A的发生必然导致事件B的发生, 则称事件A包含
在事件B中, 记作 A B .
事件A表示“灯泡寿命不超过200小时”
事件B表示“灯泡寿命不超过300小时” B A
⑵事件的相等
若事件A包含事件B, 而事件B也包含事件 A, 那么就称 事件A与事件B相等, 记作 A B .
试用事件之间的相互关系表示下图所描述的元件系统能
正常工作这一事件.
1
3
2
4
解: {系统能正常工作} A1 A2 A3 A4.
例3 设A, B,C为任意三个事件, 用事件的相互关系表示
概率论与统计1-2 事件的关系和运算
AB = ∅
A发生则 发生则 B必发生 必发生
集合论
A是B的 是 的 子集 A与B相等 与 相等
Venn图 Venn图
A⊂ B 且B ⊂ A
事件A与 不 与 不 事件 与B不 A与B不 能同时发生 相交 A的余集 A的对立事件 ① A U A = Ω ② AA = ∅
A
A
包含关系 出现, 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 则称 事件 B 包含事件 A, 记作 B ⊃ A 或 A ⊂ B . 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 长度不合格” 格”“产品不合格” “长度不合格”. 所以“ 包含“ 所以 产品不合格” 包含 长度不合格” 图示 B 包含 A. A B
抛掷一枚骰子, 实例 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 . “骰子出现 点” 互斥 骰子出现1点 骰子出现 “骰子出现2点” 骰子出现 点
图示 A与B互斥 与 互斥 A B
Ω
可将A∪ 记为 直和” 记为“ 说明 当A∩B= ∅时,可将 ∪B记为“直和”形式 ∩ 可将 A+B. 任意事件A与不可能事件 为互斥. 与不可能事件∅ 任意事件 与不可能事件∅为互斥
“二事件 A, B至少发生一个”也是一 个事件, 至少发生一个” 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A U B，显然 A U B = {e | e ∈ A或e ∈ B }.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 产品不合格” 直径是否合格所决定 因此 “产品不合格”是“长度 不合格” 不合格”与“直径不合格”的并. 直径不合格”的并 的并. 图示事件 A 与 B 的并 B AU BA
( 3 ) A， B， C中恰有两个发生 .
7.1.4随机事件的运算高一数学(北师大版必修第一册)课件
点数为6”与事件A，B有何关系？
【解析】若在一次抛掷骰子的实验中，事件A与事件B都产生， 则意味着抛出的点数既是偶数又大于4，因此“掷出的点数为6”这 个事件产生，反之，若在一次实验中“掷出的点数为6”这个事件 产生，因为6是偶数，所以事件A产生，又因为6大于4，所以事件 B产生，即事件A与事件B都产生，从集合运算的角度看， A={2,4,6},B={5,6},A∩B={6}.
课堂练习
1 (1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互
斥事件是( )
A．两次都中靶
B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶
D．只有”包含“只有一次中靶”和“两次
都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．
答案：(1)A
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是
并事件(或和事件)
并事件(或和事件)：一般地，由事件 A 和事件 B 至少有一个发生(即 A 发生，或 B 发生，或 A，B 都发生)所构成的事件．记作_A__∪__B___(或 _A__＋__B___)．用 Venn 图表示：
它表示英语、高数至少有一门及格.
A
AB
B
互斥事件
在一个随机实验中,我们把一次实验下不能 同时产生的两个事件A与B称作互斥事件. 如：
【解析】（1）根据题意，事件A和事件B不可能同时产生，所以A∩B是不可能事件； A∪B表示事件“甲分的1号卡片或乙分的1号卡片”.
（2）有(1)可知事件A和事件B不可能同时产生,所以事件A与事件B是互斥事件,又因为事 件A与事件B可以都不产生（A∪B≠Ω），所以事件A与事件B不是对峙事件，A的对峙 事件 是指事件“甲未分得1号卡片”，事件B的对峙事件 是指事件“乙未分得1号卡 片”.
随机事件及其运算
随机事件及其运算
例7
解
（1）A1 A2 A3 ：只击中第一枪 ； （2）A1 A2 A3 ：至少击中一枪 ； （3）A1A2 A3 ：三枪都击中； （4）A1A2 A1A3 A2 A3 ：至少击中两枪 .
随机事件及其运算
1.3 随机事件的概率
一个随机试验有许多可能的结果，我们常常希望知道得到某得结果的可能性有多大.例如，有 1000张彩票，其中有2张一等奖，现有1000人各取一张，则每个人得到一等奖的机会有多大？ 又如， 100件产品中有90件合格品，10件次品，从中任取2件，则恰好有1件次品的机会有多大？ 对于这类 随机事件，我们通常把刻画某事件发生的可能性的大小数值用概率来表示，记作P (A).
例1
随机事件及其运算
1.2 随机事件的关系与运算
1.事件的包含与相等
设事件A={点落在小圆内}，事件B={点落在大圆内}，如图9-1所示.显然， 若所投掷的点落在小圆内，则该点必落在大圆内，也就是说，若事件A 发生， 则事件B 一定发生.
定义1
如果事件 A 发生，必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，记作A B . 若 A B且B A ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A B .
上两例“抓彩票”和“产品质量检测”试验有两个特征：(1)基本事件总数有限；(2)每个基本事件发 生的可能性相同.满足这两个特征的试验称为古典概型.
定义7
在古典概型中，若基本事件总数为n ，事件A包含的基本事件数为m ，则事件A
的概率P A m .概率的这种定义称为概率的古典概型 .
4.1 随机事件及其关系与运算
大千世界，所遇到的现象不外乎两类：一类是确定性现象，如在标准大气压下，水加热到100％时会沸腾，向上抛一石子必然下落，等等。另一类则是随机遇而发生的不确定现象，这类不确定现象叫做随机现象。如以上投掷骰子观察点数和抛掷硬币观察正、反面的例子都属于随机现象。
为了确定随机现象的规律性，需要进行多次的试验、调查或观察，我们把这些工作统称为试验。一个试验如果满足下述条件：
1、包含关系如果事件A发生必然导致事件B发生，即A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A，记作A B。
显然；对任何事件A，有 。
2、和关系“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件称为A与B的和，记作A+B。A+B是由事件A与事件B的所有样本点构成的集合（重复样本点只取其一）。
类似地，“事件A1，A2，…An至少有一个发生”这一事件称为A1，A2，…An的和，记作A1+A2+…+An。
图1-1
如同数的四则运算有运算规划，事件的运算也遵循一定规则，以下A，B，C为任意三个事件。
（1）交换律
（2）结合律 ；
（3）分配律 ；
（4）对偶律（摩根律）
（5）A-B= ，
例2用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1）A出现，B，C都不出现；
（2）A，B都出现，C不出现；
（3）所有三个事件都出现；
1）试验可以在相同条件下重复进行；
2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个；
3）每次试验之前，不能判定哪一个结果将会出现。
就我满足这样条件的试验是一个随机试验。
随机试验的每个可能结果称为一个基本事件或样本点。全体基本事件的集合称为样本空间，记作Ω
随机事件及其运算
不可能 随机
练习：指出下列事件中，哪些是不可能事
件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（5）
当 x 是实数时，x² ≥ 0 直线 y= k(x+1) 过定点(-1,0) 打开电视机，正在播广告
我市每年都会下雨
必然
必然 随机 必然
（6） (7)
(8)
练习：指出下列事件中，哪些是不可能事件？
哪些是必然事件？哪些是随机事件？
解 （1）√ （2）× （3）× （4）√
练习5：一射手连续向目标射击3发子弹，
Ai表示第i次射击打中目标（i＝1，2，3〕。 试用文字叙述下列事件：
1 2 3 4 5
A1 A2 ; A1 A2 A3 ; A1 A2 A3 ; A3 A2 ; A3 A2 ;
A、B 互斥
A B ，
A B
A
B
Ω
A、B 对立 且A B
Ω
A
B A
互 斥
对 立
下列说法是否正确？为什么？
1 2
若A B , 则A, B互为对立事件； 若ABC , 则A, B, C两两互不相容。
概率论基本事件等概念与 集合论中元素等的对应关系表： 概率论 集合论 记号
试用Bi 表示A
A
= “两件产品不都是合格品”.
B1 B2 B1 B2
B1 B2 B1 B2 B1 B2 .
练习1.设 A, B, C 为三个随机事件，用A,
B, C 的运算关系表示下列各事件. (1) {A 发生，B 与 C 都不发生}=
AB C .
(2) { A ,B , C 都发生}=
（9）
（10）
明天的太阳从西方升起来
第二讲 随机事件及其运算
i 1 i 1
则称 P ( A) 为事件 A 的概率（probability）.
例5、抛掷一枚骰子，如果骰子六个点数出现的 1 可能性是相同的，则 P({1}) P({6}) 6 。试问出 现点数是偶数的概率是多少？
例6、某工厂生产的一批灯泡，寿命不小于100 小时内的概率是0.8，则寿命不到100小时的概率 是多少？
三、概率的基本性质 P 性质1、 ( A) P( A) 1 P 性质2、 ( A B) P( AB) P( A) P( AB) 性质3、P( A B) P( A) P( B) P( AB) 性质4、若 A B，则 P( A) P( B) 1 1 例7、设事件A，B的概率分别是 2 、 ，试求下 3 列三种情况下P( A B) 的概率： A 与 B 互斥；2） A ；3）( AB) 1 B P 1） 8 例8、某人度假期间带了两本书A、B，喜欢A的 概率是0.5，喜欢B的概率是0.4，两本都喜欢的 概率是0.3，则两本都不喜欢的概率是多少？
例10、袋中有6个白球、4个黑球，除颜色不同 外，其他方面没有差别， 1）现在把球随机的一个个的摸出来，求第2次摸 出的一个球是白球的概率； 2）无放回的取出5个球，求这些取出的球中恰 有3个白球的概率； 3）有放回的取出5个球，求取出的球恰有3个白 球的概率。
五、几何概率 问题： 1）某人午觉醒来，发现表停了，打开收音机， 想听电台整点的报时，则他等待时间短于10分钟 的概率是多少？
四、古典概型 定义5、如果一个随机试验具有以下两个特点： 1）样本空间中的样本点总是有限的；有限性 2）每个样本点出现的可能性相同。 等概性 则称该试验为古典概型。 若一个古典概型共有N的样本点，则必有每个 样本点的概率为1 N 。每个事件的概率怎么计算？ 例9、抛掷两颗骰子，试计算出现的点数之和为7 的概率是多少？
事件的关系和运算
集合论 Venn图
包含
A B
A发生则 B必发生
A是B的 子集
等价
A B
A B 且B A
A与B相等
互斥
(互不 相容)
AB
事件A与B不 A与B不 能同时发生 相交
对立
A
A的余集 A的对立事件 ① A A
A
(互逆)
② AA
包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称
事件 B 包含事件 A, 记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格所” 以“产品不合格”包含“长度不合格”.
图示 B 包含 A.
AB
事件 A 与 B 互不相容 (互斥)
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度
不合格”与“直径不合格”的并.
图示事件 A 与 B 的并.
B ABA
事件 A 与 B 的差
由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
i 1
A1, A2,, An,中 至 少 有 一 个 发 生.
n
② A1 A2 An Ai :
i 1
A1, A2,, An同 时 发 生. A1 A2 An Ai :
i 1
A1, A2,, An,同 时 发 生.
2.关系(有4种） 关系 符号 概率论
与“直径合格”的差. 图示 A 与 B 的差
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随机试验 概率定义； 概率的性质 古典概型 几何概型
一 随机试验（Random Experiment)
为研究随机现象的统计规律性而进行的各 种试验或者观察统称为随机试验，简称为试验， 通常用E表示。 如： E1：抛一枚硬币，正面和反面出现的情况； E2：10米气步枪射击比赛，10环以上的次数； E3： 掷两颗骰子，观察出现的点数之和； E4：在一批灯泡中任取一只，测试它的寿命。
2、事件间的运算 n n n n 分配率： B ( Ai ) ( Ai B) B ( Ai ) ( Ai B) i 1 i 1 i 1 i 1 德摩根法则： A B A B A B A B 例4、设A、B、C三人各购买一注福利彩票，以A表示A 中奖，B表示B中奖，C表示C中奖，试用A、B、C表示 下列事件： A B C 1）至少有一人中奖； 2）恰有一个人中奖； ABC ABC ABC 3）至多有一个人中奖。 ABC ABC ABC ABC
四、古典概型 定义5、如果一个随机试验具有以下两个特点： 1）样本空间中的样本点总是有限的；有限性 2）每个样本点出现的可能性相同。 等概性 则称该试验为古典概型。 若一个古典概型共有N的样本点，则必有每个 样本点的概率为1 N 。每个事件的概率怎么计算？ 例9、抛掷两颗骰子，试计算出现的点数之和为7 的概率是多少？
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
则称 P ( A) 为事件 A 的概率（probability）.
例5、抛掷一枚骰子，如果骰子六个点数出现的 1 可能性是相同的，则 P({1}) P({6}) 6 。试问出 现点数是偶数的概率是多少？
例6、某工厂生产的一批灯泡，寿命不小于100 小时内的概率是0.8，则寿命不到100小时的概率 是多少？
例1、将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的 情况，则样本空间是S={HHH，HHT，HTH， THH，HTT，THT，TTH，TTT}，第一次出现是 正面的事件A1={HHH，HHT，HTH，HTT}，三 次出现同一面的事件A2={HHH，TTT}。 H: head T: tail 例2、掷一枚骰子，观察出现的点数，则样本空 间为S={1，2，3，4，5，6}，Ai={出现点数i}就 是基本事件，若记B={出现的点数小于7}，则是 必然事件，而C={出现点数7}，则是不可能事件。
2.4 事件间的关系与运算 1、事件间的关系： 设事件A、B为两个随机事件 1）和事件：称A∪B为A与B的和事件，或A+B； 2）积事件：称A∩B为A与B的积事件，或AB； 3）差事件：称A—B为A与B的差事件， ； AB 4）补事件：称S—A为A的补事件， A ； 5）互不相容：若AB= ，则称A与B互不相容，或互斥 例3、将一枚硬币抛掷三次，观察正面及反面出现的情况。 S={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT} A={HHH，HTH，HHT，HTT}，B={HHH，TTT} 求： A∪B、 AB、AB 、 A
定义1 一个试验如果具有以下特征，则 称该试验为一个随机试验： 1）该实验可在相同条件下重复进行； 2）所有可能出现的结果是已知的； 3）试验之前不可预测哪个结果出现。
2.2 样本空间（Sample Space)
定义2 随机试验的所有可能出现的结果组成的集合 ，我们称之为该实验对应的样本空间，记作S，或 。 S1={正面，反面}； S2={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} S3=？ S4=？
二、概率定义
在随机试验中，各种可能出现的结果的情况 并不确定，如何描述他们出现的可能性？ 定义4、设 为随机试验E的样本空间，若A 都有一个实数 P ( A) 与之对应，且满足： 1）非负性 1 P( A) 0 2）归一性 P() 1 3）可加性 若A1 , A2 , An , 互不相容，则有
2.3 随机事件（Random Event)
定义3 我们将随机试验所对应的样本空间S的子集称 为随机事件，简称事件，一般用A，B，C…表示。特别 的由一个样本点构成的事件，我们称为基本事件。 如掷一颗骰子的随机试验中，骰子出现的点数，样本 空间是S={1，2，3，4，5，6}，押小可以表示为A={1,2, 3},押大则可以表示为B={4，5，6}，此时A和B就是两个 事件。{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}则是基本事件。 每次试验总发生的的事件，我们称之为必然事件。每 次试验都不会出现，也不可能出现的事件，我们称之为 不可能事件。 当且仅当事件中的某个样本点出现时，我们称该事件 发生。
练习： 1、写出下列试验的样本空间： 1）将一枚硬币掷三次，记录出现正面的次数； 2）在单位圆内任取一点，记录该点的坐标； S1={0，1，2，3} ；S2={(x,y)|x^2+y^2<1} 2、设A、B、C三个随机事件，用试验A、B、C 及其关系和运算表示下列各事件： 1）恰有A发生； 2）A、B都发生，而C不发生； 3）A、B、C都发生； 4）至少有两个发生； 5）恰有两个发生； 6）不多于两个发生；
三、概率的基本性质 P 性质1、 ( A) P( A) 1 P 性质2、 ( A B) P( AB) P( A) P( AB) 性质3、P( A B) P( A) P( B) P( AB) 性质4、若 A B，则 P( A) P( B) 1 1 例7、设事件A，B的概率分别是 2 、 ，试求下 3 列三种情况下P( A B) 的概率： A 与 B 互斥；2） A ；3）( AB) 1 B P 1） 8 例8、某人度假期间带了两本书A、B，喜欢A的 概率是0.5，喜欢B的概率是0.4，两本都喜欢的 概率是0.3，则两本都不喜欢的概率是多少？
1 P({2, 4, 6}) P({2}) P({4}) P({6}) 2
{L 100} {L 100}
P({L 100}) P({L 100}) P() 1
P({L 100}) 1 P({L 100}) 1 0.8 0.2
2）如果在一块5万平方公里的海域里有表面积 达40平方公里的大陆架储藏着石油，若在该海域 任选一点钻井，则钻到石油的概率是多少？
例11、两人相约7点到8点之间在电影院门口见 面，并且约定先到者等候另外一个人20分钟，过 时就可离去，试求这两个人会面的概率。
练习： 在（0，2）内任取两数，则两者之积小于1的概 率是多少？
例10、袋中有6个白球、4个黑球，除颜色不同 外，其他方面没有差别， 1）现在把球随机的一个个的摸出来，求第2次摸 出的一个球是白球的概率； 2）无放回的取出5个球，求这些取出的球中恰 有3个白球的概率； 3）有放回的取出5个球，求取出的球恰有3个白 球的概率。
五、几何概率 问题： 1）某人午觉醒来，发现表停了，打开收音机， 想听电台整点的报时，则他等待时间短于10分钟 的概பைடு நூலகம்是多少？