高考数学复习点拨 共点、共线与共面问题解法评析
数学共线共面问题
数学共线共面问题
数学中的共线共面问题涉及的是几何学中的基本概念。
在二维空间中，共线指的是在同一直线上，而共面则是指的是在同一个平面上。
首先，我们来看共线问题。
在二维空间中，如果三个点共线，那么它们必然位于同一直线上。
这个性质在证明几何命题时非常有用。
例如，如果你知道两个点A和B在直线l上，而点C也在直线l上，那么你就可以推断出A、B、C三点共线。
其次，我们来看共面问题。
在三维空间中，如果三个平面共面，那么它们必然位于同一个平面上。
这个性质在解决实际问题时非常有用。
例如，在建筑学中，如果建筑物的三个面共面，那么这个建筑物就可能是不稳定的。
此外，还有共线共面同时存在的问题。
在二维空间中，如果四个点共面且共线，那么它们必然位于同一直线上。
这个性质在证明几何命题时也非常有用。
例如，如果你知道两个点A和B在直线l上，而点C和D也在直线l上，而且A、B、C、D四点共面，那么你就可以推断出A、B、C、D四点共线。
在实际问题中，共线共面问题的应用非常广泛。
例如，在物理学中，共线共面问题可以用来解决力学问题；在工程学中，共线共面问题可以用来解决机械设计问题；在计算机科学中，共线共面问题可以用来解决图形学问题等等。
总之，数学中的共线共面问题涉及的是几何学中的基本概念，它
们在实际问题中的应用非常广泛。
理解这些概念对于解决实际问题非常重要。
(完整版)有机物共面、共线问题总结(含习题答案)
有机物分子中原子共线、共面问题一.熟记五类分子空间构型代表物空间构型结构球棍模型结构特点CH4正四面体任意3点(原子)共面C—C键可以旋转C2H4平面结构6点共面C=C键不能旋转C2H2直线型4点共线(面) C≡C键不能旋转C6H6平面正六边形12点共面HCHO 平面4点共面掌握上述几种分子的空间构型，以其为母体并将其从结构上衍变至复杂有机物中判断原子是否共线共面。
二、比较重要的是需要记住-------共线必共面以下几个基本规律：单键是可旋转的，是造成有机物原子不在同一平面上最主要的原因1. 结构中每出现一个饱和碳原子，则整个分子不再共面。
2. 结构中每出现一个碳碳双键，至少有6个原子共面；3. 结构中每出现一个碳碳三键，至少有4个原子共线；4. 结构中每出现一个苯环，至少有12个原子共面三、结构不同的基团连接后原子共面分析1．直线与平面连接：直线结构中如果有2个原子（或者一个共价键）与一个平面结构共用，则直线在这个平面上。
如CH2=CH-C≡CH，其空间结构为，中间两个碳原子既在乙烯平面上，又在乙炔直线上，所以直线在平面上，所有原子共平面。
2．平面与平面连接：如果两个平面结构通过单键相连，则由于单键的旋转性，两个平面不一定重合，但可能重合。
如苯乙烯分子中共平面原子至少12个，最多16个。
3．平面与立体连接：如果甲基与平面结构通过单键相连，则由于单键的旋转性，甲基的一个氢原子可能暂时处于这个平面上。
如丙烯分子中，共面原子至少6个，最多7个。
4．直线、平面与立体连接：如图所示的大分子中共平面原子至少12个，最多19个。
分析时要注意两点：①观察大分子的结构，先找出甲烷、乙烯、乙炔和苯分子的“影子”，再将甲烷“正四面体”、乙烯“平面型”、乙炔“直线形”和苯“平面型”等分子构型知识迁移过来即可；②苯环以单键连接在6号不饱和碳原子上，不管单键如何旋转，8号和9号碳原子总是处于乙烯平面上。
不要忽视8号碳原子对位上的9号碳原子也共面。
问题式 共线、共面问题分析
【回归猜想】
下列关于 的说法正确的是（ ）
A.所有碳原子不可能在同一平面上
B.最多只可能有9个碳原子在同一平面上
C.有7个碳原子可能在同一直线
D.只可能有5个碳原子在同一直线
【课堂练习】
CH3 CH3
3.在CH3-C=C-C=C-CH3分子中，处于
CH3 CH3
同一个平面上的原子最多有几个？
【课堂练习】
【思考】
甲烷母体模型衍变
1、一氯甲烷分子中所有原子一定共 平面吗？乙烷呢？
结论：碳碳单键可以自由转动，凡是具有甲烷结 构的原子不能共面。
【思考】
乙烯母体模型衍变
2、丙烯中一定共平面的原子有几个？ 最多有几个原子共平面？2-丁烯呢？
结论：凡与碳碳双键直接相连的原子连同碳碳双 键两个碳原子共面。
【思考】
【课堂练习】
1.下列物质所有原子可能在同一平面的是 A.丙烷 B.2-甲基丙烯 C.苯乙炔 D.丙烯
2.下列物质所有原子一定在同一平面的是
A.溴苯 C.氯乙烷 B.对二甲苯 D.丙炔
【小结】 共线、共面的分类
甲烷母体模型衍变 乙烯母体模型衍变 乙炔母体模型衍变 苯母体模型衍变
【小组讨论】
在H3C-CH=CH-C≡C-CH3分子中，处于同
的烃，下列说法正确的
CH3 CH3
是(
C
)
A.分子中至少有6个碳原子处于同一平面上分子中至少有9个碳原子处于同一平面上 D.分子中至少有14个碳原子处于同一平面上
【课堂小结】
有机物共线、共面问题
【学习目标】
能够判断有机物分子中共线、共面问题
【课前猜想】
下列关于 的说法正确的是（
）
A.所有碳原子不可能在同一平面上 B.最多只可能有9个碳原子在同一平面上 C.有7个碳原子可能在同一直线 D.只可能有5个碳原子在同一直线
有机物共面、共线问题总结(含习题答案)
二、比较重要的是需要记住——共线必共面以下几个基本规律：单键是可旋转的，是造成有机物原子不在同一平面上最主要的原因1. 结构中每出现一个饱和碳原子，则整个分子不再共面。
2. 结构中每出现一个碳碳双键，至少有 6个原子共面；3. 结构中每出现一个碳碳三键，至少有 4个原子共线；4. 结构中每出现一个苯环，至少有12个原子共面三、结构不同的基团连接后原子共面分析H _O—H1.直线与平面连接：直线结构中如果有 2个原子（或者一个共价键）与一个平面结构共用，则直f “一 H线在这个平面上。
如 CH=CHdCH 其空间结构为，中间两个碳原子既在乙烯平 面上，又在乙炔直线上，所以直线在平面上，所有原子共平面。
2. 平面与平面连接：如果两个平面结构通过单键相连，则由于单键的旋转性，两个平面不一定重H/合，但可能重合。
如苯乙烯分子中共平面原子至少12个，最多16个。
JH有机物分子中原子共线、共面问题代表物空间构 型结构球棍模型 结构特点CH正四面 体C -任意3点（原子）共面 C —C 键可以旋转平面结 构C lx123° =C/ ~\巴j6点共面 C=C 建不能旋转GH2直线型180° 血4点共线（面） C ^C 键不能旋转C6H平面正 六边形II H-'Hisffq12点共面HCHO平面O IIX.4点共面.熟记五类分子空间构型上述几种分子的空间构型，以其为母体并将其从结构上衍变至复杂有机物中判断原子是否共线共面。
3.平面与立体连接：如果甲基与平面结构通过单键相连，则由于单键的旋转性，甲基的一个氢原4 .直线、平面与立体连接：如图所示的大分子中共平面原子至少12个，最多19个。
分析时要注的碳原子数为b, —定在同一平面内的碳原子数为c,则a, b, c分别为（意两点：①观察大分子的结构，先找出甲烷、乙烯、乙炔和苯分子的“影子”，再将甲烷“正四面体”、乙烯“平面型”、乙炔“直线形”和苯“平面型”等分子构型知识迁移过来即可；②苯环以单键连接在6号不饱和碳原子上，不管单键如何旋转，8号和9号碳原子总是处于乙烯平面上。
高考数学一轮复习教案选修第3课空间向量的共线与共面
一、考纲要求1．理解共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件及坐标表示。
2．了解空间向量的基本定理及其意义；熟练使用空间向量垂直的充要条件及坐标表示。
二、知识梳理回顾要求1.阅读教材第82页，了解共线向量定理的内容，并与平面向量共线的充要条件作比较，看是否一致？2.阅读教材第84页～85页，了解什么样的向量是共面向量？了解空间任意一个向量p 与两个不共线向量b ,a 共面时，他们之间存在怎样的关系？3.比较空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理的内容，数学表达形式，并思考它们的本质是否一致？4.对于教材第85页的例2，如何判断四点共面呢？请学生先思考：对于空间任意一点O ,试问满足向量关系y x +=,（其中1y x =+）的三点B ,A ,P 是否共线？ 要点解析1.共线向量定理的学习过程中，请思考以下两个问题：（1）当实数0=λ时，表示什么意思？ （2）充要条件中为什么规定0a ≠？2.共面向量还理解为“平行于同一平面的向量”，那么如何利用共面向量定理证明线面平行呢？可阅读教材第85页例1.3. 空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的，因为任意两个空间向量b ,a 都可以平移到同一个平面，当b ,a 不共线时，可以作为基向量，向量p 与它们共面，也就是向量p 可以平移到这个平面，所以就能用b ,a 线形表示。
4.空间四点B ,A ,P ,M 共面⇔对空间任意一点O ，z y x ++=,且1z y x =++5.做教材86页练习第6题，在上述2的基础上，思考如何证明面面平行？三、诊断练习1.下列说明正确的是 ．（1）.在平面内共线的向量在空间不一定共线；（2）.在空间共线的向量在平面内不一定共线；（3）.在平面内共线的向量在空间一定不共线；（4）.在空间共线的向量在平面内一定共线．【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解向量共线与直线共线的区别，在平面内共线的向量在空间一定共线，根据向量的平移性，在空间共线的向量在平面上一定共线．教学时，教师要向学生讲清共线向量不一定在一条线上，平行向量不一定就是真平行，也可以是在一条线上。
高考数学专题07 点、线共面问题的证明与探索(第三篇)(解析版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇 立体几何专题07 点、线共面问题的证明与探索【典例1】【浙江省嘉兴一中2020届月考】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，,M N 分别是棱1AA 、AB 上的点，且1AM AN ==. （1）证明：1,,,M N C D 四点共面；（2）求几何体1AMN DD C -的体积.【思路引导】（Ⅰ）欲证M ，N ，C ，D 1四点共面，转证MN ∥A 1B 即可；（Ⅰ）先证明几何体1AMN DD C -是一个三棱台，再求几何体1AMN DD C -的体积．试题解析：（1）证明：∵11//A D AD ，11A D AD =，又//BC AD ，BC AD =，∴11//A D BC ，且11A D BC =，连接1A B ，则四边形11A BCD 是平行四边形，所以11//A B D C在1ABA ∆中，1AM AN ==，13AA AB ==， 所以1AM AN AA AB=，所以1//MN A B 所以1//MN D C ，所以1,,,M N C D 四点共面.（2）因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，又1,,,M N C D 四点共面，所以平面//AMN 平面1DD C延长CN 与DA 相交于点P ，因为//AN DC 所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =，同理可得32QA =，所以点P 与点Q 重合 所以1,,D M DA CN 三线相交于一点，所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台所以11191333222AMN DD C V -⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 【典例2】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于点Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．【思路引导】如下图所示，连接A 1B ，CD 1．易证BD 1⊂平面A 1BCD 1． BD 1⊂平面ABC 1D 1．即平面ABC 1D 1∩平面A 1BCD 1＝BD 1，下证 Q ∈平面A 1BCD 1．Q ∈平面A 1BCD 1．即可.【详解】如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．∴BD1⊂平面A1BCD1．同理BD1⊂平面ABC1D1．∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1．又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1．∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．【典例3】【安徽省合肥市庐阳区第一中学2020届月考】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且14 AE CFAB CB==；求证：（1）点E，F，G，H四点共面；（2）直线EH，BD，FG相交于同一点．【思路引导】（1）根据题意利用中位线定理，平行线分线段成比例逆定理和平行公理，可得//EF HG，再根据公理2的推论即得证；（2）由（1）知//EF HG 且EF HG ≠，所以EH 与FG 交于一点P ，只需再证明点P 在直线BD 上，即可证出．【详解】（1）如图所示，连接EF ，HG ，空间四边形ABCD 中，H 、G 分别是AD 、CD 的中点，∴//HG AC 且12HG AC =． 又14AECFAB CB ==，∴//EF AC 且34EF AC =．故//EF HG ，即E 、F 、G 、H 四点共面．（2）由（1）知//EF HG 且EF HG ≠，∴设EH 与FG 交于点P ，∵EH ⊂平面ABD ，P 在平面ABD 内，同理P 在平面BCD 内，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴点P 在直线BD 上，∴直线EH ，BD ，FG 相交于一点．【典例4】【安徽省太和中学2020届月考】如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.【思路引导】（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值.解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件.1. 【2020届湖南省长沙市一中高三月考试卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11AA =，AB =2AC =.E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点.（1）求异面直线EF 与1A B 所成角的大小；（2）若G 为线段1AA 的中点，试在图中作出过E 、F 、G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出以该多边形为底，1A 为顶点的棱锥的体积.【思路引导】（1）连接11AC AC ，交于点O ，根据中位线定理找到与1AB 的平行线OF ，并找到异面直线EF 与1A B 所成角，计算,OF EF OE ，长度，根据余弦定理，可得结果.（2）画出截面GEFN ，计算四边形GEFN 的面积，根据1A B //面GEFN ，可得1A 到面GEFN 的距离，结合椎体体积公式，可得结果.【详解】（1）连接11AC AC ，交于点O ，连接,OF GE如图由1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂面ABC ，所以1AA AC ⊥，又90BAC ∠=︒所以AC AB ⊥，1AA AB ⊂，面1ABA所以AC ⊥面1ABA ，故四边形11AAC C 为矩形，所以,,G O E 共线O 为1A C 的中点，所以OF //1A B ，故异面直线EF 与1A B 所成角为OFE ∠11AA =，AB =2AC =，且E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点所以121,A B OE BC ===，所以1,OF EF ==又222OF OE EF +=且OF OE =所以OEF ∆为等腰直角三角形， 故=4OFE π∠（2）取AB 的中点N 连接GN ，,FN又G 为线段1AA 的中点，所以GN //1A B则GN //OF ，且=GN OF过E 、F 、G 三点的平面截该棱柱所得的多边形为四边形GEFN由（1）可知，NF //GE 且GN GE ⊥所以四边形GEFN 为直角梯形，所以()()1213222GEFN NF GE NGS ++⨯===g又1A B ⊄平面GEFN ，GN ⊂面GEFN ，所以1A B //平面GEFN ，作1NM A B ⊥所以11sin AA NM BN NBM BN A B =∠==gg 且1A到截面的距离即NM =所以113A GEFN GEFN V S NM -==g g 2．【2020届辽宁省大连市高三双基测试】已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA PC AB ==，过侧面PAD △中线AE 的一个平面α与直线PD 垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形。
共线、共点、共面问题探析
ＭＱ ． 因此 ， 直 线 ＰＮ ， ＭＱ 可 确 定 一 个 平 面 ａ ．
有且 只有 一个 平 面 ， 所 以 ａ与 重 合 ， 即 Ｒ∈
÷， 所以Ｅ Ｆ ≠Ｇ Ｈ， 所 以四边形 Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ 为梯
ａ ．
同 理 可 证 Ｓ∈ａ ． 因此 ， 尸， Ｑ， Ｒ， Ｓ， Ｍ， Ｎ 六
如 图 １ 所 示 ， 四 边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ， 一 例 ２ 如 图 ２ 所 示 ， 空 间 四 边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
ｌ ， 过 Ｅ， Ｆ， Ｇ 的 平 面 交 ＡＤ 于 Ｈ ， 连 结 ＥＨ ．
Ｇ， Ｈ 必在 同一 直 线上 ．
Ｂ
Ｆ
Ｃ
图 １
图２
思索 本题需要证明多条共面直线 与
解析 连结 Ａ Ｂ， ＭＱ， ＮＲ ． 因为 Ｐ， Ｎ
解 析 （ １ ） 因 为 篙一 一 ２ ， 所 以 Ｅ Ｆ 为 Ａ Ｄ ／ ／Ｂ Ｃ， 所以 Ａ Ｍ∥Ｂ Ｑ． 因为 Ｍ ， Ｑ
Ｄ ， ＢＣ 的 中点 ， 所以 Ａ Ｍ —Ｂ Ｑ， ／ ／ ＡＣ， 所 以 ＥＦ∥ 平 面 ＡＣ Ｄ． 而 Ｅ ＦＣ 平 面 分别 为 Ａ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ， 且平 面 Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ ｎ平 面 ＡＣ Ｄ—Ｇ Ｈ， 所 又 因为 Ａ Ｍ ∥Ｂ Ｑ， 所 以四边形 Ａ Ｂ Ｑ Ｍ 为
这些 点是 某 两个 平 面 的公 共 点 ， 然 后 证 得 这
二 、线 共 点 问题
所谓 线 共 点 问 题 就 是 指 三 条 或 三 条 以 些 点都在 这 两个 平 面 的交 线 上 ； ②证 明 多 点 上 的直线 交 于 同一 点 的 问题 ． 证 明线 共 点 问 共 线 问题 时 ， 通常是 过其 中两点作 一直线 ， 题 的一般 方法 是 ： 先 证 其 中两 条 直 线 交 于一 然 后 证 明其 他 的点都 在 这条 直线 上 ． 点， 再 证该 点 也在 其他 直线 上 ．
高考数学复习点拨 共点、共线与共面问题解法评析
共点、共线与共面问题解法评析平面的基本性质是研究立体几何的基础，公理3及其推论是将立体几何图形问题转化为平面几何图形问题的理论依据，在这里，判断和证明点、线共面问题就显得十分重要．下面介绍点、线共面问题的三种常见类型．一、点共线问题证明此类问题，可先由两点确定一条直线，再证其余的点也在这条直线上；也可以证明所有的点都在一条特定的直线(如两个平面的交线)上．例1 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1C 1和D 1C 1 的中点，P ，Q 分别为EF 和BD 的中点，对角线A 1C 与平面EFDB 交于H 点．求证：P ，H ，Q 三点共线．证明：由EF ∥DB ，确定平面BF ．⎭⎬⎫∈⊂EF P BF EF 平面⇒P ∈平面BF ，同理，Q ∈平面BF ， ∴P ，H ，Q ∈平面BF ． 由A 1C 1∥AC ，确定平面A 1C ，P ∈A 1C 1，Q ∈AC ，H ∈A 1C ，∴P ，H ，Q ∈ A 1C ．根据公理3，P ，H ，Q 三点一定在平面BF 与平面A 1C 的交线上，故P ，H ，Q 三点共线．评析：证明点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可根据公理2证得这些点都在这两个平面的公共直线上．二、线共点问题证明此类问题，通常先证明某两条直线相交于一点，再证交点在第三条直线上；或证某一条直线与两外两条都相交，再证两交点重合(即用同一法) ．例2 如图，已知空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且GCBG =HCDH = 2，求证：EG 、FH 、AC 相交于同一P ．证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 且EF =21BD ．· A· BCEFHP · QDA 1B 1C 1D 1又∵GCBG =HCDH = 2，∴GH ∥BD 且GH =31BD ，∴EF ∥GH 且EF ＞GH ．∴四边形EFHG 是梯形，其两腰必相交， 设两腰EG 、FH 相交于一点P ， ∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， ∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD ，又平面ABC 平面ACD = AC ，∴P ∈AC ． 故EG 、FH 、AC 相交于同一P ．评析：证明共点问题一般是证明三条直线交于一点．首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，由公理2可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即三条直线交于一点．三、线共面问题．证线共面问题，先根据已知条件，确定一个平面，再证其余直线也在这个平面内．例3 求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面。
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⑵ 任三条直线都不过同一点，如图， ∵A B =A，∴过 A、B 确定平面 ．
a b
又∵D、EB，B、CA，
A
∴D、E ，B、C ， 由 B、E ，得 C ；由 C、D ，得 D ．
D
B
பைடு நூலகம்
c
E
因此 A、B、C、D 四条直线共面．
C
d
评析：证明多个元素(点和线)共面，一般先由公理 2 或其推论确定平面 经
GC HC 证明：∵E、F 分别是 AB、AD 的中点，∴EF∥BD 且 EF = 1 BD．
2
又∵ BG = DH = 2，∴GH∥BD 且 GH = 1 BD，
GC HC
3
∴EF∥GH 且 EF＞GH．
∴四边形 EFHG 是梯形，其两腰必相交，
设两腰 EG、FH 相交于一点 P， ∵EG 平面 ABC，FH 平面 ACD， ∴P∈平面 ABC，P∈平面 ACD，
三条直线交于一点．
三、线共面问题．
证线共面问题，先根据已知条件，确定一个平面，再证其余直线也在这个平
面内．
例 3 求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面。
证明：分两种情况证明：
⑴有三条直线过同一点，如图，
∵AD，∴过 A、D 确定平面 ，
又∵B、C、DD，∴B、C、D 。
于是 AB ，AC ，AD ，因此 A、B、C、D 四条直线共面．
过某些元素(或者说这些元素在平面 内)，再由公理 1 或公理 3 证明其它元素也 在平面 内．
微迅雷 微迅雷 峵孞尛
共点、共线与共面问题解法评析
平面的基本性质是研究立体几何的基础，公理 3 及其推论是将立体几何图形
问题转化为平面几何图形问题的理论依据，在这里，判断和证明点、线共面问题
就显得十分重要．下面介绍点、线共面问题的三种常见类型．
一、点共线问题
证明此类问题，可先由两点确定一条直线，再证其余的点也在这条直线上；
E B
又平面 ABC 平面 ACD = AC，∴P∈AC．
A
F D
H C
G
故 EG、FH、AC 相交于同一 P．
评析：证明共点问题一般是证明三条直线交于一点．
P
首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线
的两个平面的交线，由公理 2 可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即
EF 平面BF P EF
P平面
BF，
同理，Q平面 BF， ∴P，H，Q平面 BF．
由 A C ∥AC，确定平面 A C，
11
1
D1 A1
F
P·
C1
E
B1
· H
A
D Q·
C
B
PA 1 C 1 ，QAC，HA 1 C，∴P，H，Q
A C． 1
根据公理 3，P，H，Q 三点一定在平面 BF 与平面 A C 的交线上，故 P，H，Q 1
也可以证明所有的点都在一条特定的直线(如两个平面的交线)上．
例 1 如图，在正方体 ABCD —A B C D 中，E，F 分别是 B C 和 D C 的
1 111
11
11
中点，P，Q 分别为 EF 和 BD 的中点，对角线 A C 与平面 EFDB 交于 H 点．求证： 1
P，H，Q 三点共线．
证明：由 EF∥DB，确定平面 BF．
三点共线．
评析：证明点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这
样可根据公理 2 证得这些点都在这两个平面的公共直线上．
二、线共点问题
证明此类问题，通常先证明某两条直线相交于一点，再证交点在第三条直线
上；或证某一条直线与两外两条都相交，再证两交点重合(即用同一法) ．
例 2 如图，已知空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且 BG = DH = 2，求证：EG、FH、AC 相交于同一 P．