高考数学复习点拨 共点、共线与共面问题解法评析

三条直线交于一点．
三、线共面问题．
证线共面问题，先根据已知条件，确定一个平面，再证其余直线也在这个平
面内．
例 3 求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面。
证明：分两种情况证明：
⑴有三条直线过同一点，如图，
∵AD，∴过 A、D 确定平面 ，
又∵B、C、DD，∴B、C、D 。
于是 AB ，AC ，AD ，因此 A、B、C、D 四条直线共面．
共点、共线与共面问题解法评析
平面的基本性质是研究立体几何的基础，公理 3 及其推论是将立体几何图形
问题转化为平面几何图形问题的理论依据，在这里，判断和证明点、线共面问题
就显得十分重要．下面介绍点、线共面问题的三种常见类型．
一、点共线问题
证明此类问题，可先由两点确定一条直线，再证其余的点也在这条直线上；
EF 平面BF P EF


P平面
BF，
同理，Q平面 BF， ∴P，H，Q平面 BF．
由 A C ∥AC，确定平面 A C，
11
1
D1 A1
F
P·
C1
E
B1
· H
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A
D Q·
C
B
PA 1 C 1 ，QAC，HA 1 C，∴P，H，Q
A C． 1
根据公理 3，P，H，Q 三点一定在平面 BF 与平面 A C 的交线上，故 P，H，Q 1
⑵ 任三条直线都不过同一点，如图， ∵A B =A，∴过 A、B 确定平面 ．
a b
又∵D、EB，B、CA，
A
∴D、E ，B、C ， 由 B、E ，得 C ；由 C、D ，得 D ．
D
B
c
E
因此 A、B、C、D 四条直线共面．
C
d
评析：证明多个元素(点和线)共面，一般先由公理 2 或其推论确定平面 经
E B
又平面 ABC 平面 ACD = AC，∴P∈AC．
A
F D
H C
G
故 EG、FH、AC 相交于同一 P．
评析：证明共点问题一般是证明三条直线交于一点．
P
首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线
的两个平面的交线，由公理 2 可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即
也可以证明所有的点都在一条特定的直线(如两个平面的交线)上．
例 1 如图，在正方体 ABCD —A B C D 中，E，F 分别是 B C 和 D C 的
1 111
11
11
中点，P，Q 分别为 EF 和 BD 的中点，对角线 A C 与平面 EFDB 交于 H 点．求证： 1
P，H，Q 三点共线．
证明：由 EF∥DB，确定平面 BF．
GC HC 证明：∵E、F 分别是 AB、AD 的中点，∴EF∥BD 且 EF = 1 BD．
2
又∵ BG = DH = 2，∴GH∥BD 且 GH = 1 BD，
GC HC
3
∴EF∥GH 且 EF＞GH．
∴四边形 EFHG 是梯形，其两腰必相交，
设两腰 EG、FH 相交于一点 P， ∵EG 平面 ABC，FH 平面 ACD， ∴P∈平面 ABC，P∈平面 ACD，
三点共线．
评析：证明点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这
样可根据公理 2 证得这些点都在这两个平面的公共直线上．
二、线共点问题
证明此类问题，通常先证明某两条直线相交于一点，再证交点在第三条直线
上；或证某一条直线与两外两条都相交，再证两交点重合(即用同一法) ．
例 2 如图，已知空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且 BG = DH = 2，求证：EG、FH、AC 相交于同一 P．
过某些元素(或者说这些元素在平面 内)，再由公理 1 或公理 3 证明其它元素也 在平面 内．
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