第7章立体几何专练11—翻折问题(小题)-2021届高三数学一轮复习

翻折问题

一、单选题

1．在边长为a 菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则(a = )

A B C D ．3

解：取BD 的中点H ，连接AH ，CH ，

在等边三角形ABD 中，AH =

，在等边三角形CBD 中，CH =， 由平面DAB ⊥平面BDC ，AH BD ⊥，平面ABD ⋂平面CBD BD =， 可得AH ⊥平面CBD ，即有AH CH ⊥， ACH ∆为等腰直角三角形，

设三棱锥A BCD -的外接球的球心为O ，半径设为R ， 底面BCD 的中心为O '，

在直角三角形ACH 中，OC R ==，

而245R ππ=，解得R =

=a B ．

2．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，在BCD ∆中90BCD ∠=︒且3BC =．将ABC ∆沿BC 边翻折，设点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若3

2

AM =

，那么( )

A ．平面ABD ⊥平面BCD

B ．平面AB

C ⊥平面ABD

C ．AB C

D ⊥

D ．AC BD ⊥

解：ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，3BC =， 点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若32

AM =

， 由1

2

AM BC =

，可得M 为BC 的中点，AM ⊥平面BCD ，则AM CD ⊥， 又CD BC ⊥，AM ，BC 为相交直线，可得CD ⊥平面ABC ，可得CD AB ⊥，故选：C ．

3．矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，将正方形ADFE 沿EF 折到11A D FE 位置，使得二面角1A EF B --的大小为120︒，则异面直线1A F 与CE 所成角的余弦值为( )

A B C ．

12

D ．

34

解：矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点， 将正方形ADFE 沿EF 折到11A D FE 位置，使得二面角1A EF B --的大小为120︒，

以E 为原点，在平面1A EB 中，过E 作EB 的垂线为x 轴，EB 为y 轴，EF 为z 轴，建立空间直角坐标系，

1A ，1

2

-，0)，(0F ，0，1)，(0C ，1，1)，(0E ，0，0)，

1(2A F =-

，1

2

，1)，(0CE =，1-，1)-， 设异面直线1A F 与CE 所成角为θ， 则113||3

2cos 4

||||22A F CE A F CE θ===．

∴异面直线1A F 与CE 所成角的余弦值为

3

4

． 故选：D ．

4．如图，中，，，为中点，沿翻折过程中，直线与直线所成的最大角、最小角分别记为，，直线与直线所成最大角、最小角分别记为，，则有

ABC ∆AB BC ⊥60ACB ∠=︒D AC ABD ∆BD AB BC 1α1βAD BC 2α2β()

A ．，

B ．，

C ．，

D ．， 解：翻折到时，，所成角最小， 可知，，所成角最小，，

翻折时，，所成角最大，可知， 翻折过程中，可知的投影可与垂直， 所以，所成最大角，

所以，，，．

故，． 故选：．

5．已知矩形ABCD ，1AB =

，BC ．将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )

A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置，使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“ AB 与CD ”，“ AD 与BC ”均不垂直 解：如图，A

E BD ⊥，C

F BD ⊥，依题意，1AB =

，BC

，AE CF =

，BE EF FD ===

A ，若存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直，则BD AE ⊥，BD ∴⊥平面AEC ，

从而BD EC ⊥，这与已知矛盾，排除A ；

12αα<12ββ12αα<12ββ>12αα12ββ12αα12ββ>180︒AB BC 130β=︒AD BC 20β=︒0︒AB BC 190α=︒AD BC AD BC 290α=︒190α=︒130β=︒290α=︒20β=︒12αα12ββ>D

B ，

若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则CD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面BCD 取BC 中点M ，连接ME ，则ME BD ⊥，AEM ∴∠就是二面角A BD C --的平面角，此角显然存在，即当A 在底面上的射影位于BC 的中点时，直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确； C ，若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则BC ⊥平面ACD ，从而平面ACD ⊥

平面BCD ，即A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的，排除C

D ，由上所述，可排除D

故选：B ．

6．如图1，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．点E ，

F ，

G ，

H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE ∆，

BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆，

使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥P ABCD -（如图2)．当四棱锥P ABCD -的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB 与CD 所成角的余弦值为(

)

A B C D