第二章导数与微分试题及答案

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(完整版)第二章.导数和微分答案解析

第二章导数与微分一导数（一）导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

（ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。

Ⅱ 基本题型（ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式1．用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分）（1）0)(='C （2）21)1(x x-=' （3）xx 21)(='（4）x x sin )(cos -=' （5）a a a xx ln )(=' （6）1)(-='μμμx x（ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。

解：xy 1'=，1)1('==k y ，所以切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y =在)1,1(点处的切线方程。

解：43x y =，41'43-=x y ，43)1('==k y切线方程为1)1(43+-=x y ，即4143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示4．填空题（每题4分）（1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化速度为 )('t T（2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )('t N Ⅲ 疑难题型（ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性（1）（7分）|sin |x y =解：在0=x 处连续但不可导（2）（7分）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x x x y 解：0)0(lim 0==→f y xxx x x x x ∆=∆-∆∆→∆→∆1sinlim 01sinlim00不存在，所以)(x f 在0=x 处连续但不可导6．（8分）已知：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,)(2x x x x x f ，求).(),0(),0(),0(x f f f f ''''-+解：)0(-'f =10lim )0()0(lim 00-=--=-+--→→xx x f x f x x ='+)0(f 00lim )0()0(lim 200=-=-+++→→xx x f x f x x ，不存在)0('f ∴ ∴⎩⎨⎧<->=0,10,2'x x x x f ）（（ⅱ）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）7．（7分）设1)0(,0)0(='=f f ，求xx f x f x )3()2(lim 0--→．解：x x f x f x )3()2(lim 0--→=xf x f f x f x )0()3()0()2(lim 0+---→=x f x f x )0()2(lim 0-→+xf x f x )0()3(lim 0+--→=)0(2f 5)0(3=+f8．（7分）对任取的y x ,，总有)()()(y f x f y x f +=+，且)(x f 在0=x 处可导，求证：)(x f 在),(+∞-∞上处处可导。

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。

(完整版)第二章导数与微分(答案)

x 第二章导数与微分(一)f X 0 X f X 0Ix 0X3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ）5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ）C . a6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C .-1 D .不存在7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）A . 8B . 12C . -6D . 68.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ）A . e f xB f X r e ff X££fX丄2x C . e f x f x D . ef x9.若 f x axe , x 0在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x,(A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到X ox 时，相应函数的改变量f x 0 x B .f x 0 x C . f x 0X f X 0 f X 。

x2 .设f x 在x o 处可，则limf X 0 B .X oC . f X 0D . 2 f X 0A .必要不充分条件B . 充分不必要条件C .充分必要条件既不充分也不必要条件4.设函数y f u 是可导的，且ux2，则 dy ( C )x 2 B . xf x 2C .2 22xf x D . x f xD .有定义10•若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ）A •一定都没有导数B •—定都有导数C .恰有一个有导数D •至少一个有导数11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fxg x 在 x o 处(D )13 . y arctg 1，贝U yxA .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知F xf g x ，在 X X 。

高等数学第二章导数试题及答案

第二章导数一．导数与微分概念 1．导数的定义如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim 存在，称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则()()()000limx x x f x f x f x x --='→h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→或hx f h x f x f h ---='→)()(lim )(0000我们也引进单侧导数概念。

右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。

切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。

例如，()x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。

4．微分的定义设函数()x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式()()x x x A y ∆+∆=∆00()0→∆x其中()0x A 为与x ∆无关，()x ∆0是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小。

第二章导数与微分复习题(1)

（4）求 lim 2 x
sin 1
x
解：
原式
lim
x
2
arctan 1
x
lim
x
1 1 x2
1
x
x2
lim
x
1
x
2
x
2
1
（5）求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
解：
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
tan2 x 3x2
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim
x0
f '( x) x0 2 cos x 2 x x0 2 在 x 0 处的切线斜率为 2，法线斜率为 1
2 对应的切线方程为 y 2x ，
法线方程为 y 1 x 。 2
5. 已知曲线 y ax 3 bx 2 cx 上点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐
点，求 a, b, c 的值，并写出此曲线的方程。
9. 函数 y x3 3 x 的单调减少区间为 [1,1] ；
10. 函数 y x 4 的单调减少区间为 [2,0),(0,2] ； x
11. 设 y 2 x2 ax 3 在点 x 1取得极小值，则 a = -4 ；
12. 曲线 y x3 3 x2 x 的拐点坐标为 (1,3) ；
x0
x0
x
f ( x) 在 x 0 处连续。
在
x
0 处，
y
(0
x ) sin
1 0 x
0
sin
1
，
x
x
x

导数与微分(含答案)

第二单元导数与微分一、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h→--+=2、()cos x y e -=，则()0y '=3、3sin y x =，则dy =4、y =1|x dy ==5、()3ln f x x x =，则()1f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()8y =7、设()23sin 7n y x e -=+，则()n y =8、设210cos 2x y e x x =++，则()10y = ；()12y =9、设()()22f x x y ef e =+，则dy dx=10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为法线方程为 11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()1f '= 12、()22,43f x y x xy y =-+，则()()1,1,limh f y h f y h→+-=13、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0z x ∂=∂ ；()1,0y f '=14、()zu xy =，则du = 15、2ln xz y=，则12x y dz ===16、yz x=在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的z ∆= ；dz = 17、设233z x xy y =-+，则22z x∂=∂ ；22z y ∂=∂ ；2zy x ∂=∂∂18、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则x f '= ；y f '=19、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的条件；连续是极限存在的条件极限存在是连续的条件；连续是可微可导的条件20、多元函数可微、可导（偏导数存在）、连续之间关系：（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的条件（3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的条件二、计算题1、xaaa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y ' 2、()3ln 32cos 2sin 332x x y e x x +=+-+，求(0)y '3、()2sin 2x y x =，求y ' 4、sin x y x =y '5、y =y ' 6、设ln tan x y arc t ⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx7、设sin cos t tx e ty e t⎧=⎨=⎩，求0t dy =8、设()ln(2)111x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，求()2f '-，()f x '9、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b10、设()2135f x x x -=++，求()f x '11、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '12、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂13、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 14、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 15、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dz dt16、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy dx=17、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 18、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz==-19、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z zx y∂∂+=∂∂导数与微分答案二、基本题1、设()23f '=，则()()232limh f h f h h →--+=()4212f '-=-2、设()12f '=-，则()()11limh f f h h→-+=()12f '-=3、()cos x y e -=，则()0y '=sin14、3sin y x =，则233cos dy x x dx =5、()3ln f x x x =，则()15f ''=6、设()62ln 3x y e =+，则()824x y e =7、设()2sin 7n y x -=，则()49sin 7ny x =-8、设210cos 2x y e x x =++，则()10102101021022cos 21010!22cos 210!2x x y e x e x π⎛⎫=++⋅+=-+ ⎪⎝⎭ ；()12122121221222cos 21222cos 22x x y e x e x π⎛⎫=++⋅=+ ⎪⎝⎭9、设()()22f x x y e f e =+，则()()()222222f x x x dy xe f x xf e e dx''=⋅+⋅10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为3y x =- 法线方程为3y x =+11、()()()()()123......10f x x x x x x =----，则()19!f '=-()()()()()123......10f x x x x x x =----⇒⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()123......10123......10f x x x x x x x x x x x '''=----+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()23......10123......10x x x x x x x x x '=---+----⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11121311009!f '=⋅-⋅-⋅⋅⋅-+=-12、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系：可微可导是连续的充分条件；连续是极限存在的充分条件极限存在是连续的必要条件；连续是可微可导的必要条件 13、()212y x x x x =-+-不可导点2x =-14、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,01z x ∂=∂ ；()11,02y f '=15、()22,43f x y x xy y =-+，则()()()01,1,lim1,46y h f y h f y f y y h→+-'==-+16、2lnxz y=，则1212x y dz dx dy ===-17、设233z x xy y =-+，则222z x∂=∂ ；226z y y ∂=∂ ；23zy x ∂=-∂∂ 18、()z u xy =，则()()()()11ln z z zdu yz xy dx xz xy dy xy xy dz --=++19、yz x =在点()2,1处当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的()()2.1,1.22,10.0714z f f ∆=-= 21110.10.20.07542y dz dx dy dz x x =-+⇒=-⋅+⋅=20、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1212x f f xf y '''=+ ；1222y xf f yf y '''=--21、（1）(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的充分条件； (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的必要条件（2）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的必要条件； (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的充分条件（3）(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的充分条件（4）(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的充分条件22、曲线2cos 2sin 3x t y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩上对应于6t π=处的切线方程213z x π-==- ，法平面方程：()1302x y z π⎛⎫--+-+-= ⎪⎝⎭23、曲面27z e z xy -+=在点()2,3,0处的切平面方程()()()322310032120x y z x y z -+---=⇒+--= ，法线方程：230231x y z ---==-二、计算题1、x a aa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠，求y '【解】：()()111ln x a a x a a a x x a a e a x x a a e y e a e x e x e a a e ax e x ---'''=⋅+⋅+=⋅+⋅+2、()3ln 32cos 2sin 332xx y e x x +=+-+，求y ' 【解】：()()()33213323ln 32323cos 22sin 2032x xx x x y e x e x x ⋅⋅+-++'=-+-+ ()()33233ln 323cos 22sin 232x x x e x e x x -+=-++3、sin x y x =y ' 【解】：()1sin sin ln 223xx xy xex x ==++⇒()()1s i n l n22s i n 1c o s l n 3232x x x y e x x x x x x -⎛⎫'=⋅+++⋅+ ⎪⎝⎭4、()2sin 2x y x =，求y ' 【解】：()222lnsin 2lnsin 22cos 2sin 22ln sin 22sin 2x x xxxx y x e y e x x x x ⎛⎫'==⇒=+⋅⋅⎪⎝⎭ ()2l n s i n 222l n s i n 22c ot 2xx e x xx x =+⋅5、y =y ' 【解】：1）()()()()()21ln ln 1ln 13ln 5ln 1ln 212y x x x x x =+--++--+ 2）等式两边同时对x 求导()()212135211221221x y y x x xx x --'=-++-⇒+--+ ()()2213511122121x y y x xx x x ⎡⎤'=++--⎢⎥+--+⎣⎦()()2213511122121x x xx x x ⎡⎤=++--⎢⎥+--+⎣⎦6、函数()y y x =由方程：()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dydx =【解】：1）0x =时0y =2）()()()1cos sin x y x y e e xy e e y xy y xy ''''-+=⇒-⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦ ()0,0sin sin 01sin sin x x x y yy e y xy e y xyy y e x xy e x xy==++''=⇒==--7、求由方程：()()cos sin xyy x =所确定的函数()y y x =的导数dydx【解】：1）等式两边同时取对数()()ln cos ln sin x y y x = 2）等式两边同时对x 求导数：()()sin cos ln cos ln sin cos sin y xy x y y x y y x-''+⋅⋅=+⋅⇒ ()()ln cos cot ln sin tan y y xdy dx x x y -=+8、设ln tan x y arc t⎧⎪=⎨=⎪⎩，求dy dx【解】：1）()()2222121ln 12tan 1tan 1t t t x t x t x y arc t y arc t y t ⎧'=⎧⎪⎧+=+⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩=⎩'=⎪+⎩2）1t t y dy dx x t'==' 9、设2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩，求t dy dx =【解】：1）0t =时，1y =2) 6262cos sin cos 01sin t t y y yt t t y x t x t e t e y t e t y y e t '=+⎧'=+⎧⎪⇒⇒⎨⎨⋅''⋅+⋅-='=⎩⎪-⎩3）0,1cos cos 1sin 1sin 62622y y y yt t t y t e te ty dy dy e e t e t dx x t dxt ===⋅⋅'--==⇒=='++ 10、设()ln 111x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，求()2f '，()f x '【解】：1）()()()2212ln 2x x f f x x =='''===2）()()11ln x f x x f x x'>⇒=⇒=， ()()111x f x x f x '<⇒=-⇒= 1x =为分段点，且()1=ln1=0f ()()()111101lim lim 111x x f x f x f x x ---→→---'===--， ()()()()()()11111ln 01lim lim lim 11111111x x x f x f x x f f f f x x ++++-+→→→--''''====⇒=⇒=-- ()1111x f x xx ⎧>⎪'=⎨⎪≤⎩11、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导，求,a b【解】：1）可导必连续，故()()()()211112lim lim 1lim lim 11x x x x f x f x f ax b x -+-+→→→→==⇒=+=+ 即11a b b a +=⇒-=-2）因为可导，故()()()()()()111111lim lim 11x x f x f f x f f f x x -+-+→→--''=⇒=-- ()()()()221111211111lim lim lim lim 11111x x x x x x ax b ax a x a x x x x x -+-+→→→→--++--+=⇒==----+ 1,2a b =-=12、设()2135f x x x -=++，求()f x '【解】：1）()()()()()()22135131521325f x x x f x x x f x x x '-=++⇒=++++⇒=++=+ 13、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-，求()f x '【解】：()()()3232sin 2sin 312sin 4261f x x x f x x x =+--⇒=-- ()2612f x x x '⇒=-14、设()2cos 2z x x y =-，求22z x∂∂；22z y ∂∂；2zx y ∂∂∂【解】：1）()()()()22222322cos 22sin 26sin 24cos 2z z x y x x y x x y x x y x x∂∂=---⇒=----∂∂2）()()22222sin 24cos 2z z x x y x x y y y ∂∂=-⇒=--∂∂3）()()22222sin 24cos 2zx y x x y x y∂=-+-∂∂15、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()()()()sin u v u v x x u v z z u z ve xy e x y x u x v x++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v ye e x y y x y e ++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()sin u v u v y y u v z z u z ve xy e x y y u y v y++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v xe e x y x x y e++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦16、设()223x z x y =-，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：()()22ln 2323x x x y z x y e-=-=()()22ln 2322ln 2323x x y z x e x x y x x y -⎛⎫∂=⋅-+ ⎪∂-⎝⎭()212323x z x x y y -∂=--∂ ，17、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+，求dzdt【解】：()()()22cos2ln 32cos2ln 326ln 322sin 232t t t t t dz z ee t dt t -+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎛⎫=⇒=⋅-- ⎪+⎝⎭ 18、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =，求zx ∂∂；z y∂∂ 【解】：1）()222,,2F x y z x z y z y =++2222,41,4x y z F xz F yz F x y z '''==+=+2）2224x z F z xz x F x y z '∂=-=-'∂+， 222414y z F z yz y F x y z '∂+=-=-'∂+19、设方程()222sin xy e y x y +=+确定函数()y y x =，求dy dx【解1】：()()()()()()22222s i n 2c o s 22x y x y e y x y e y x y y x y x y '''''+=+⇒⋅++=+⋅+()()22222cos 22cos xyxy x x y ye y xe y y x y +-'⇒=+-+ 【解2】：1）()()222,sin xy F x y e y x y =+-+ ()()22222cos ,22cos xy xy x y F ye x x y F xe y y x y ''=-+=+-+2）()()()()222222222cos 2cos 2cos 2cos xy xy x xy xy y ye x x y x x y ye F dy dx F xe y x y xe y x y -++-'=-=-='-+-+ 20、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定，求212x y dz ==-【解】：1）(),,22xy z F x y z e z e -=+--， 12,12x y z ==-⇒= ,,2xy xy z x y z F ye F xe F e --'''=-=-=- 12,,12224xy x z x y z z F z ye z e x F e xe -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂-， 12,,12222xy y z x y z z F z xe z e y F e y e -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂- 2）2122242x y e e dzdx dy e e==-=+-- 21、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂；z y ∂∂ 【解】：1）()()1222z y f xy xyf xy xg g x x ∂'''=++-∂2）()21212z x f xy yg g y x∂'''=++∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+，证明：220z z x xy y x y∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-，证明：1z z x y ∂∂+=∂∂ 设()(),,2sin 2323F x y z x y z x y z =+---+。

导数与微分测试题

从而，从而，f ′(1) = 2 .
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分一、填空题 (每题分，共12分) 每题分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式：三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。

C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。

(完整版)导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。

复高等数学课后习题答案--第二章导数与微分

第二章导数与微分典型例题解析例1 设()f x 在0x 处可导，求000()(3)lim x f x x f x x x→+--．分析所求极限与0()f x '的定义式子很相似，则由0()f x '的定义即可求解．解 000()(3)lim x f x x f x x x→+--=00000[()()][()(3)]limx f x x f x f x f x x x→+-+-- =000000()()(3)()lim3lim3x x f x x f x f x x f x x x→→+---+- =0()3()f x f x ''+=04()f x '．错误解答令03xx t -=，则03x x t =+，000()(3)limx f x x f x x x→+--=(4)()limx f t x f t x→+-=4lim ()x f t →'（1）=004lim (3)x f x x →'-=04()f x '．（2）错解分析式（1）用到()f x 在点t 的导数；式（2）用到()f x '在点0x 连续．但是题目只是给出()f x 在0x 处可导的条件，而()f x 在0x 的邻域内是否可导以及()f x '在0x 处是否连续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立．例2 设()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--，其中()x ϕ在(,)-∞+∞上有定义且在点a 处可导．试求(0)f '．分析求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，但在本题中函数()f x 的可导性未知，故只能用定义来求．解当0b ≠时，0()(0)lim 0x f x f x →--=0()()limx a bx a bx xϕϕ→+-- =0[()()][()()]lim x a bx a a bx a xϕϕϕϕ→+---- =()()()()limlimx x a bx a a bx a b b bxbxϕϕϕϕ→→+---+-=()()b a b a ϕϕ''+=2()b a ϕ'．所以(0)f '=2()b a ϕ'．当0b =时，()0f x =，(0)0f '=．综上所述，(0)f '=2()b a ϕ'．例3 设函数2()()()f x x a x ϕ=- ，其中()x ϕ的一阶导函数有界．求()f a ''．分析求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数()f x '的可导性未知，故只能用定义来求．解由于2()2()()()()f x x a x x a x ϕϕ''=-+-，则有()0f a '=．又 ()()lim x af x f a x a→''--=22()()()()limx ax a x x a x x aϕϕ→'-+-- =lim[2()()()]x ax x a x ϕϕ→'+-=2()a ϕ, 所以()f a ''=2()a ϕ．错误解答因为2()2()()()()f x x a x x a x ϕϕ''=-+-，2()2()2()()2()()()()f x x x a x x a x x a x ϕϕϕϕ''''''=+-+-+-，所以()f a ''=2()a ϕ．错解分析此解法错误的根源在于()x ϕ的一阶导函数有界并不能保证()x ϕ二阶可导．而上述求解却要用到()x ϕ''．注此题用到如下结论：a ．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b ．可导必连续．例 4 设()f x 的一阶导数在x a =处连续且0()lim 1x f x a x→'+=，则（）．A ．()f x 在x a =处的二阶导数不存在．B ．0lim ()x f x a →''+一定存在．C ．()1f a ''=．D ．()2f a '=．解因为0()lim 1x f x a x→'+=，所以0lim ()0x f x a →'+=，由于()f x '在x a =处连续，故()0f a '=．又因为00()()()limlim 1()x x f x a f a f x a x a ax→→'''+-+==+-，所以()1f a ''=．选C ．例5 设()f x 在0x =的某个邻域内有定义，x 、y 为该邻域内任意两点且()f x 满足条件：（1）()()()1f x y f x f y +=++；（2）(0)1f '=．试证在上述邻域内()1f x '=．分析此处无法用求导公式和求导法则证明()1f x '=．由于()f x 的表达式未给出，故只能考虑从定义出发．如果用条件（2），则需先求出(0)f ．证明因为()f x 在0x =的某个邻域内有定义，记该邻域为E ，则对任意x 、y E ∈，有()()()1f x y f x f y +=++．令0y =，则(0)1f =-．于是对任意x E ∈，当x x E +∆∈及x E ∆∈时，考虑下列极限0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆=0[()()1]()limx f x f x f x x∆→+∆+-∆ =0()(1)lim x f x x∆→∆--∆ =0()(0)lim x f x f x∆→∆-∆ =(0)f '=1，故()1f x '=，x E ∈．例6（04研）设函数()f x 连续，且(0)0f '>，则存在0δ>，使得（）．A ．()f x 在(0,)δ内单调增加．B ．()f x 在(,0)δ-内单调减少．C ．对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >．D ．对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >．解由导数定义知()(0)(0)lim 00x f x f f x →-'=>-．根据极限的保号性，知存在0δ>，当(,0)(0,)x δδ∈-U 时，有()(0)0f x f x->．因此当(,0)x δ∈-时，有()(0)f x f <；当(0,)x δ∈时，有()(0)f x f >，故选C ．注函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论．例7 设不恒为零的奇函数()f x 在0x =处可导．试说明0x =为函数()f x x的哪一类间断点．解由题设知()()f x f x -=-，令0x =可得(0)0f =．则()limx f x x→=0()0lim 0x f x x →--=(0)f '，于是()f x x在0x =处有极限．从而0x =是()f x x的可去间断点．例8 设函数()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（）． A ．充分必要条件． B ．充分条件但非必要条件． C ．必要条件但非充分条件． D ．既非充分条件又非必要条件．分析 ()F x 表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要考虑函数的左右导数．解由导数定义()(0)(0)limx F x F F x →-'=-，知00()(0)()(1sin )(0)(0)lim lim0x x F x F f x x f F x x---→→---'==- 00()(0)()sin lim lim0x x f x f f x xx x--→→-=-- (0)(0)(0)(0)f f f f -''=-=-，0()(0)()(1sin )(0)(0)lim lim0x x F x F f x x f F x x+++→→-+-'==- (0)(0)(0)(0)f f f f +''=+=+，可见(0)F '存在(0)(0)F F -+''⇔=，即(0)0.f =故选A ．例9（01研）设(0)0f =，则()f x 在点0x =可导的充要条件为（）．A ．201lim(1cosh)h f h →-存在．B ．01lim (1)h h f e h→-存在． C ．201lim (sinh)h f h h →-存在．D ．01lim [(2)()]h f h f h h→-存在．分析本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号．解注意到1cosh 0-≥，且0lim(1cosh)0h →-=．如果201lim(1cosh)h f h→-存在．则22001(1cosh)(0)1cosh lim (1cosh)lim 1cosh 0h h f f f h h →→---⎡⎤-=⋅⎢⎥--⎣⎦200(1cosh)(0)1coshlim lim 1cosh 0h h f f h→→---=⋅-- 001(1cosh)(0)1()(0)1lim lim (0)21cosh 0202h u f f f u f f u ++→→---'===---．所以A 成立只保证(0)f +'存在，而不是(0)f '存在的充分条件．如果01lim (1)h h f e h→-存在，则 001(1)(0)1lim (1)lim 10h h hh h h f e f e f e h e h →→⎛⎫----=⋅ ⎪--⎝⎭00(1)(0)1lim lim 10h hh h h f e f e e h→→---=⋅--()(0)(1)lim(0)0u f u f f u →-'=-=--，故B 是(0)f '存在的充要条件．对于C ，221(sinh)(0)sinh(sinh)sinh 0f h f h f h h h h----=⋅--，注意到20sinhlim 0h h h→-=，所以若(0)f '存在，则由右边推知左边极限存在且为零．若左边极限存在，则由221(sinh)(sinh)(0)sinh sinh f h f h f h h h h ---=--知上式左边极限可能不存在，故(0)f '可能不存在．至于D ，00111lim [(2)()]lim ((2)(0))(()(0))h h f h f h f h f f h f h h h →→⎡⎤-=---⎢⎥⎣⎦，若(0)f '存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在．而左边存在，不能保证右边拆项后极限也分别存在．故选B ．例10（99研）设20()(),0x f x x g x x >=⋅≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（）．A ．极限不存在．B ．可导．C ．连续但不可导．D ．极限存在但不连续．解由于()(0)lim 0x f x f x -→--=20()limx x g x x -→⋅=0=(0)f -'， 0()(0)lim 0x f x f x +→--=0limx →=0=(0)f +'，故选B ．例11 已知()f x 在x a =处可导且()0f a >．求1()lim[]()n n f a n f a →∞+．分析题目条件是()f x 在x a =处可导，必然有()f x 在x a =处连续，从而可知该极限属于1∞型．解 ()f x 在x a =处可导．则1()()lim ()1n f a f a n f a n→∞+-'= 且当n 充分大时1()0f a n+>．故1()lim[]()n n f a n f a →∞+=1()exp{lim ln }()n f a n n f a →∞+⋅=1()()exp{limln[1]}()n f a f a n n f a →∞+-⋅+ =1()()exp{lim}()n f a f a n n f a →∞+-⋅ =1()()1exp{lim }1()n f a f a n f a n→∞+-⋅=()exp{}()f a f a '．注此题用到当0x →时，ln(1)x x +:．例12 讨论函数()|(1)|f x x x x =-的可导性．分析 ()f x 的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上()f x 为分段函数．解法1 由(1)0x x -≥可得1x ≥或0x ≤．由(1)0x x -<得01x <<．于是3223,10(),01x x x x f x x x x ⎧-≥≤⎪=⎨-<<⎪⎩ 或，可求得2232,10()23,01x x x x f x x x x ⎧-><⎪'=⎨-<<⎪⎩或，因为0()(0)lim 0x f x f x +→--=230lim x x x x+→-=0，0()(0)lim 0x f x f x -→--=320lim 0x x x x-→-=，所以(0)0f '=，即()f x 在0x =处可导．而1()(1)lim1x f x f x +→--=321lim 1x x x x +→--=1， 1()(1)lim1x f x f x -→--=231lim 1x x x x -→--=1-，则()f x 在1x =处不可导．综上所述()f x 在1x =处不可导，()f x 在(,1)(1,)-∞+∞U 上均可导．解法2依题意，()f x x =且仅在0x =和1x =处可能不可导．故只需讨论在这两点的情形．（1）0x =时，由于0|||1|lim00x x x x x →⋅⋅-=-，故(0)0f '=．（2）1x =时，由于1|||1|lim1x x x x x →⋅⋅--不存在，故()f x 只在1x =处不可导，在(,1)(1,)-∞+∞U 上均可导．解法3 由于()|(1)||||1|f x x x x x x x =-=⋅-，由导数定义可知，||x 在0x =处不可导，而||x x 在0x =处一阶可导，因此，||x x 在任意点处均可导，再只需考查|1|x -的可导性．由导数定义可知，|1|x -仅仅在1x =处不可导，故()f x 仅在1x =处不可导，在(,1)(1,)-∞+∞U 上均可导．例13 设2()lim 2tx t xf x x e→+∞=+-，讨论()f x 的可导性．分析先应求出()f x 的表达式．本质上()f x 为分段函数．解由于,0lim 1,00,0tx t x e x x →+∞+∞>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则有20,0(),02x f x x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩ ．显然当0x >或0x <时，函数()f x 可导．下面讨论0x =时()f x 的可导性．由于(0)f +'=0()(0)lim 0x f x f x +→--=000limx x+→-=0， (0)f -'=0()(0)lim 0x f x f x -→--=2002limx xx x -→-+=12，于是(0)f +'≠(0)f -'，从而可知()f x 仅在0x =处不可导．例14（05研）设函数()n f x =()f x 在(,)-∞+∞内（）．A ．处处可导．B ．恰有一个不可导点．C ．恰有两个不可导点．D ．至少有三个不可导点．解由于()n f x =133lim[||(1||)]nnnn x x -→∞+=133lim ||(1||)n nn x x -→∞+易求得33,1()1,11,1x x f x x x x ⎧>⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则310()(1)1(1)lim lim 311x x f x f x f x x +++→→--'===--， 11()(1)11(1)lim lim 011x x f x f f x x ---→→--'===--，故1x =为不可导点．同理1x =-也为不可导点．故选C ．例15 设12()max{(),()}F x f x fx =的定义域为(1,1)-，其中1()1f x x =+，22()(1)f x x =+，试讨论()F x 的可导性．若可导，求其导数．分析本质上()F x 是分段函数即112212(),()()()(),()()f x f x f x F x f x f x f x ≥⎧=⎨<⎩，由此可知需先解出不等式12()()11f x f x x ≥⎧⎨-<<⎩与 12()()11f x fx x <⎧⎨-<<⎩．解由12()()11f x f x x ≥⎧⎨-<<⎩即21(1)11x x x ⎧+≥+⎨-<<⎩解得10x -<≤，此时()1F x x =+．而由12()()11f x f x x <⎧⎨-<<⎩即21(1)11x x x ⎧+<+⎨-<<⎩解得01x <<，此时2()(1)F x x =+．则有21,10()(1),01x x F x x x +-<≤⎧=⎨+<<⎩ 且1,10'()2(1),01x F x x x -<<⎧=⎨+<<⎩ 当0x =时，0()(0)limx F x F x +→--=20(1)1lim x x x +→+-=2， 0()(0)lim 0x F x F x -→--=0(1)1lim x x x-→+-=1，即(0)(0)F F +-''≠，所以()F x 在0x =处不可导．故1,10()2(1),01x F x x x -<<⎧'=⎨+<<⎩ ．例16 设函数21()1xe xf x ax bx ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若要()f x 为可导函数，应如何选择,a b ？解显然当1x >及1x <时，()f x 可导，故要使()f x 为可导函数，只需使其在1x =处可导．由可导与连续的关系，应该首先选择,a b ，使其在1x =连续．因(1)f e =，(1)f e -=，(1)f a b +=+，故当a b e +=即b e a =-时，()f x 在1x =连续．又22121111()(1)11(1)lim lim lim lim 21111x x x x x x f x f e e e x f e e e x x x x ------→→→→----'=====----， 111()(1)()(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b e ax e a ef a x x x ++++→→→-+-+--'====---，因此当2,a e b e ==-时，(1)f '存在，从而()f x 为可导函数．例17 设()sin f x x =，2()x x ϕ=．求[()]f x ϕ'，[()]f x ϕ'，[(())]f x ϕ'．分析三个函数中都有导数记号，其中[()]f x ϕ'表示函数()x ϕ对x 求导，求得()x ϕ'后再与f 复合；[()]f x ϕ'表示函数f 对()x ϕ求导，即()f u 对u 求导，而()u x ϕ=；[(())]f x ϕ'表示复合函数[()]f x ϕ关于自变量x 求导．解 ()cos f x x '=，()2x x ϕ'=．则[()]f x ϕ'=(2)f x =sin 2x ，[()]f x ϕ'=2cos x ，以及[(())]f x ϕ'=[()]()f x x ϕϕ''⋅=22cos x x ．例18 设21ln sin ()x y x-=．求dy dx．分析本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利用微分的形式不变性先求出dy ，然后可得dy dx．解法1 直接由复合函数求导法则，令sin u v =，1ln x v x-=，则dy dx =dy du dv du dv dx⋅⋅ =2ln 22cos x u v x-⋅⋅=2ln 21ln sin 2()x x x x--⋅．解法2 利用一阶微分的形式不变性dy =21ln sin ()x d x -=1ln 1ln 2sin()sin()x xd x x--=1ln 1ln 1ln 2sin()cos()()x x x d x x x ---=2ln 21ln sin 2()x x dx x x --⋅故dy dx =ln 21ln sin 2()2x x x x--⋅．例19 设aa xax ay x a a =++，0a >．求dy dx．分析 aa x 为幂函数；ax a 为指数函数与幂函数复合而成的函数；而xa a 也为复合函数，它是指数函数与指数函数复合而成的函数．解 dy dx=()()()aaxax a x a a '''++=1ln ln ()()aaxa axaaaa x e e -⋅⋅''⋅++=1ln ()ln ()aaxa a xa a x a x a a x a a a -''⋅+⋅⋅+⋅⋅=112ln (ln )aaxa a xa a x a x a a a x a a a --⋅+⋅⋅+⋅⋅=112ln (ln )aaxa a a xaxa x ax a a a a --+⋅+⋅⋅+⋅．例20 若()x ϕ'存在，2(sec )arcsin y x x ϕ=+．求dy ．分析可以先求出dy dx，也可利用微分的形式不变性求一阶微分．解法1 dydx=22(sec)(sec )x x ϕ''222(sec)sec tan x x x ϕ'⋅，所以dy =22[2(sec )sec tan x x x dx ϕ'⋅．解法2dy=2[(sec )arcsin ]d x x ϕ+=2(sec )arcsin d x d xϕ+=22(sec )sec x d x ϕ'+=22[2(sec)sec tan x x x dx ϕ'⋅．例21 设(cos )cos2f x x '=．求()f x ''．解法1 在(cos )cos2f x x '=的两边微分，得(cos )cos 2sin 2f x d x xdx ''=-，即(cos )(sin )4sin cos f x x dx x xdx ''⋅-=-，化简得(cos )4cos f x x ''=．令cos x t =，则()4f t t ''=．于是可得()4f x x ''=，||1x ≤．解法2 由于2(cos )cos22cos 1f x x x '==-，于是2()21f x x '=-，其中||1x ≤．所以()4f x x ''=，||1x ≤．注本题作变换cos t x =，则要求||1t ≤．故在最后需指明{|11}x x -≤≤是()f x ''的定义域．例22 设2sin ()y f x =且f 有二阶导数．求22d ydx．解 y '=22cos ()()2f x f x x '⋅⋅=222()cos ()x f x f x '⋅⋅，y ''=22222()cos ()2()2cos ()f x f x x f x x f x '''⋅+⋅⋅⋅2222()[sin ()]()2x f x f x f x x ''+⋅⋅-⋅⋅ =2222222222()cos ()4()cos ()4[()]sin ()f x f x x f x f x x f x f x ''''⋅+⋅⋅-⋅⋅．例23 已知函数()f x 具有任意阶导数且2()[()]f x f x '=．则当n 为大于2的正整数时()()n f x 是（）．A ．1[()]n n f x +⋅．B ．1![()]n n f x +⋅．C ．2[()]n f x ．D ．2![()]n n f x ⋅．分析已知2()[()]f x f x '=．应求出()f x ''，(3)()f x ，L ．用数学归纳法推出n 阶导数．解当2n ≥时，2()[()]f x f x '=，()f x ''=2()()f x f x '⋅=32[()]f x ⋅，以及(3)()f x =223[()]()f x f x '⨯⋅⋅=4123[()]f x ⨯⨯⋅=43![()]f x ⋅，L ， ()()n f x =(1)![()]n n f x '-⋅=1![()]'()n n f x f x -⋅⋅=1![()]n n f x +⋅．故选B ．例24 设32()3||f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为（）．A ．0．B ．1．C ．2．D ．3．解逐阶计算导数来验证，记31()3f x x =，易见()1(0)n f 都存在，再记22()||f x x x =，则由求导公式和定义，有323 0() 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，2223, 0 ()3, 0x x f x x x ⎧≥⎪'=⎨-<⎪⎩，26, 0()6, 0x x f x x x ≥⎧''=⎨-<⎩, 即2()6||f x x ''=，则有22(0)(0)0f f '''==．由||x 在0x =不可导，知(3)2(0)f 不再存在，即2n =，选C ．例25 设2sin y x =．求(100)(0)y ．分析求函数的高阶导数一般先求一阶导数，再求二阶，三阶，．．．，找出n 阶导数的规律，然后用数学归纳法加以证明．或者是通过恒等变形或者变量代换，将要求高阶导数的函数转换成一些高阶导数公式已知的函数或者是一些容易求高阶导数的形式．用这种方法要求记住内容提要中所给出的一些常见函数的高阶导数公式．解法1 y =2sin x =11cos222x -．则sin 2y x '=， 2cos2y x ''=， (3)22sin 2y x =-⋅， (4)32cos 2y x =-⋅， (5)42sin 2y x =⋅，L， (100)992cos 2y x =-⋅，故(100)(0)y =992-．解法 2 利用公式()(sin )n kx =sin()2n k k kx π⋅+．由2sin cos sin 2y x x x '==，得(100)()y x =99992sin(2)2x π⋅+，故(100)(0)y =992-．解法3 利用幂级数展开式()0()!n n f x a n =⋅．2sin y x ==11cos222x -=210011111[12(2)(2)]222!4!100!x x x --+-+-+L L L ，故(100)(0)y =992-．注解法3用到了幂级数展开式，这是第十章无穷级数的内容．例26 设2ln(32)y x x =-+．求(50)y ．分析先求出22332x y x x -'=-+，若继续求导，将很难归纳出n 阶导数的表达式．此类有理分式函数，常常是将其分解为部分分式之和，再使用已有的公式．解由于223113212x y x x x x -'==+-+--，则 (50)y =(49)(49)11()()12x x +--=49495050(1)49!(1)49!(1)(2)x x -⋅-⋅+--=505049!49!(1)(2)x x ----．例27 设函数()y y x =由方程cos()0x y e xy ++=确定，求.dy dx分析由方程(,)0F x y =确定的隐函数的求导通常有两种方法，一是只需将方程中的y 看作中间变量，在(,)0F x y =两边同时对x 求导，然后将y '解出即可；二是利用微分形式不变性，方程两边对变量求微分，解出dy ，则dx 前的函数即为所求．解法1 在方程两边同时对x 求导，有(1)sin()()0x y e y xy y xy +''+-+=，所以sin()sin()x yx yy xy e y e x xy ++-'=-．解法2 在方程cos()0x y e xy ++=两边求微分，得cos()0x y de d xy ++=，即()sin()()0x yedx dy xy xdy ydx ++-+=，从而sin()sin()x yx y y xy e dy dx e x xy ++-=-，所以 sin()sin()x yx y y xy e y e x xy ++-'=-．例28 设函数()y f x =由方程1xy y xe =+所确定．求0|x y ='，0|x y =''．解将0x =代入方程1xy y xe =+，得1y =．先求0|x y ='，下面用两种解法求0|x y ='．解法1 对方程两边关于x 求导，可得()xy xy y e x e y xy ''=+⋅⋅+．将0x =，1y =代入上式中可求得0|1x y ='=．解法2 对方程两边关于x 微分得xy xy dy xde e dx =+即2xyxyxydy x e dy xye dx e dx =++．化简得2(1)1xy xydy e xy dx x e +=-．将0x =，1y =代入上式中求得0|1x y ='=．下面求y ''．对等式()xy xy y e x e y xy ''=+⋅⋅+两边关于x 求导，得y ''=2()()()()xy xy xy xy e y xy e y xy xe y xy xe y y xy '''''''++++++++，将0x =，1y =，0|1x y ='=代入上式解得0|2x y =''=．注求y ''时，也可将等式2(1)1xy xye xy y x e +'=-两边对x 求导求得，或利用对数求导法．请读者自行完成这两种方法，并比较一下孰优孰劣．例29 设函数()y y x =是由方程()f y y x e e ⋅=所确定，其中()f x 具有二阶导数且()1f x '≠．求22d ydx．解法1 对方程()f y y x e e ⋅=两边关于x 求导，得()()()f y f y y e x e f y y e y '''+⋅⋅⋅=⋅，即y '=()()()f y y f y e e xe f y '-⋅=1()y y y ex e e f y ⋅'-⋅=1[1()]x f y '-，上式两端再对x 求导得y ''=221{1()[()]}[1()]f y x f y y x f y ''''-⋅-+-⋅'-=223()[1()][1()]f y f y x f y '''--'-．解法2 方程()f y y x e e ⋅=两端取对数得ln ()x f y y +=，对其两端关于x 求导则有1()f y y y x'''+⋅=，解得y '=1[1()]x f y '-．以下同解法1．注利用原方程简化导数表达式是隐函数求导常用的方法之一，在求隐函数的高阶导数时尤其显得重要．例30 求函数()1x x y x=+的导数dy dx．分析所给函数为幂指函数，无求导公式可套用．求导方法一般有两种：对数求导法和利用恒等式ln x x e =（0x >），将幂指函数化为指数函数．解法1 对数求导法．对等式()1x x y x=+两边取自然对数得ln [ln ln(1)]y x x x =-+，两边对x 求导得111[ln ln(1)]()1y x x x y x x'⋅=-++-+，解得1()(ln )111x x x y x x x'=⋅++++．解法2 利用恒等式ln x x e =，（0x >）．ln()[ln ln(1)]1()1xx xx x x xx y e e x⋅-++===+．于是y '=[ln ln(1)]{[ln ln(1)]}x x x e x x x ⋅-+'⋅⋅-+=1()(ln )111x x x x x x⋅++++．注一般的可导幂指函数()()v x y u x =均可采用上述两种方法求导．例31 求由方程(cos )(sin )y x x y =所确定的函数()y x 的导数dy dx．分析此题为幂指函数和隐函数求导数的综合问题．解法1 对方程(cos )(sin )y x x y =两边取自然对数得lncos lnsin y x x y =，两端对x 求导，则有sin cos ln cos lnsin cos sin x yy x y y x y x y-''⋅+⋅=+⋅⋅，解得lnsin tan ln cos cot dy y y xdx x x y+=-．解法2 原方程可变为ln cos lnsin y x x y e e =，即lncos lnsin y x x y =．对上式两边微分：(lncos )(lnsin )d y x d x y =即lncos lncos lnsin lnsin xdy yd x ydx xd y +=+，于是有sin cos ln cos lnsin cos sin y x x y xdy dx ydx dy xy-=+，由此解得lnsin tan ln cos cot dy y y x dx x x y+=-．例32求函数y =的导数．分析该题属于求多个函数的乘积或幂的导数，用对数求导法较好．解法1 两端先取绝对值，再取对数得1ln ||ln(2)4ln |3|5ln |1|2y x x x =++--+，两边对x 求导，得11452(2)31y y x x x '⋅=--+-+．所以145()2(2)31y x x x '--+-+．解法2y ==1452(2)(3)(1)x x x -+⋅-+y '=14521(2)(3)(1)2x x x --+⋅-+13524(2)(3)(1)x x x --+⋅-+14625(2)(3)(1)x x x --+⋅-+145()2(2)31x x x --+-+．例33 设21cos x t y t ⎧=+⎨=⎩，则22d y dx =________．分析这是要求由参数方程确定函数的二阶导数，需要先求一阶导数．解 dy dx=dy dt dx dt=sin 2t t-，22d ydx =sin ()()2d dy d t dx dx dx t -=sin ()2d t dt dt t dx -=⋅=3sin cos 4t t t t -．错误解答 dy dx=dy dt dx dt=sin 2tt -，22d y dx=sin ()2t t-'=2sin cos 2t t t t-．错解分析出错的原因在于忽视了dy dx=sin 2t t -是t 的函数，t 为参数且是中间变量，而题目的要求是求()d dy dx dx．因此，在求这类函数的二阶或三阶导数时要注意避免这类错误发生．例34 设()x f t '=，()()y tf t f t '=-且()0f t ''≠．求22d y dx ．解 dy dx=dy dt dx dt=(()())(())dtf t f t dt df t dt'-'=t ， 22d y dx =()d dy dx dx =()d dy dt dt dx dx ⋅=()d dtt dt dx⋅=11()f t ⋅''=1()f t ''．例35 设()y y x =是由2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定．求202|t d y dx =．分析此题为隐函数求导与由参数方程所确定函数的求导的综合问题．解法1 在2323x t t =++两边对t 求导得62dxt dt=+．由sin 10y e t y -+=得0|1t y ==，对方程两边关于t 求导得cos 1sin y y dy e t dt e t=-=cos 2y e t y-．则有0|t dy e dt ==，dy dx=dy dt dx dt =cos (2)(62)y e t y t -+．故22d y dx =()d dy dt dt dxdx⋅=23(cos sin )(2)(62)cos [6(2)(62)](2)(62)y y y dy dye t e t y t e t y t dt dty t ⋅--+---⋅+-+，所以202|t d y dx ==2234e e-．解法2 由0t =得3x =，1y =．又62dx t dt=+，cos 1sin y y dy e t dte t =-=cos 2y e t y-，故dy dx=dy dt dx dt=cos (2)(62)y e t y t -+，0|2t dy e dx==，22d y dx =cos ()262y d e t dx y t ⋅-+=cos cos ()()622262y y t d e e d t dt t dx y y dt t dx⋅+⋅⋅+--+=23cos (2)(62)sin 6cos 62(2)2(62)y y y t y e e dy e t t t t y dx y t -+-+-⋅⋅+⋅+--+，所以202|t d y dx ==2234e e-．解法3 运用公式22d ydx=22223()d y dx dy d xdt dt dt dt dx dt⋅-⋅．容易求出00|(62)|t t dx t dt===+2=，226d xdt =，0|1t y ==，对sin 10y e t y -+=两边分别关于t 求一阶导数，得sin cos 0y y dy dye t e t dt dt ⋅-+=从而0|t dy e dt==，对sin cos 0y y dy dy e t e t dtdt⋅-+=两边分别关于t 求一阶导数，得22222sin ()sin 2cos sin 0y y y y d y dy dy d ye t e t e t e t dt dt dt dt⋅+⋅+⋅--=，由此可得2202|2t d y e dt ==．于是将0|t dx dt =2=，226d x dt =，0|t dy e dt==，2202|2t d y e dt ==代入公式22d ydx =22223()d y dx dy d xdt dt dt dt dx dt⋅-⋅，得202|t d y dx ==2234e e-．例36（04研）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为________．分析求切线方程，需先求斜率即求一阶导数，利用两直线（不平行坐标轴）垂直的关系：斜率互为负倒数．解直线1x y +=的斜率为11k =-，由1(ln )y x x ''==得21k x=，由121k k ⋅=-得1x =，从而切点为(1,0)，于是所求切线方程为 01(1)y x -=⋅-，即1y x =-为所求．例37（97研）求对数螺线e θρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程．分析求切线方程，需先求斜率即求一阶导数，而对数螺线的方程为极坐标形式，故应先化为参数方程形式．解由e θρ=知cos sin x e y e θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，点2(,)2e ππ的直角坐标为2(0,)e π．又由dy dx=dyd dx d θθ=cos sin cos sin θθθθ+-可知，当2πθ=时1dydx=-．故所求切线方程为2(1)(0)y e x π-=-⋅-即20x y e π+-=为所求．例38 已知曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ．求lim ()n n f ξ→∞．分析先求出切线方程，然后求出该切线与x 轴的交点坐标即可．解曲线在(1,1)处的切线斜率为11(1)|n x k f n x n -='==⋅=，故切线方程为1(1)y n x -=-．令0y =，得该切线与x 轴的交点的横坐标为11n nξ=-．于是lim ()n n f ξ→∞=1lim(1)n n n→∞-=()(1)1lim(1)n n n-⋅-→∞-=1e -．例39 已知()f x 是周期为5的连续函数，其在0x =的某个邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+，其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小且()f x 在1x =处可导．求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程．分析求()f x 在(6,(6))f 处的切线方程，需求(6)f 与切线斜率(6)f '，而由(5)f x +=()f x ，可得(6)(1)f f =和(5)()f x f x ''+=，从而(6)(1)f f ''=．故问题转化为求(1)f 与(1)f '．解由题设条件有00lim[(1sin )3(1sin )]lim[8()]x x f x f x x x α→→+--=+，从而(1)3(1)0f f -=，得(1)0f =．又0(1sin )3(1sin )8()limlim[]8x x f x f x x x x x xα→→+--=+=，从而 0(1sin )3(1sin )sin lim 8sin x f x f x xx x→+--⋅=，即 0(1sin )3(1sin )lim 8sin x f x f x x→+--=．令sin t x =，则有0(1sin )3(1sin )(1)3(1)limlim 8sin x t f x f x f t f t x t→→+--+--==, 即000(1)3(1)(1)(1)(1)(1)lim lim 3lim t t t f t f t f t f f t f ttt→→→+--+---=+⋅-4(1)8f '==．所以(1)2f '=．由(5)f x +=()f x ，可得(5)()f x f x ''+=．则 (6)(1)0f f ==，(6)(1)2f f ''==，故所求切线方程为02(6)y x -=-，即2120x y --=为所求．例40 现有一深为18cm 顶部直径为12cm 的正圆锥漏斗，内盛满水，下接一直径为10cm 的圆柱形水桶，水由漏斗进入水桶．试问当漏斗中水深为12cm 且其水面下降速度为1cm/min 时，圆柱形水桶中水面上升的速度为多少?(其中cm 表示厘米，min 表示分钟．)分析设在时刻t 时刻漏斗水平面的高度为()h t cm ，水桶水平面的高度为()H t cm ．关键在于建立()h t 与()H t 之间的函数关系，然后用导数的物理意义即可求解．而由题设可知如下等量关系：在任何时刻t ，漏斗中的水量与水桶中的水量之和等于原来漏斗中的水量，据此问题不难求解．解设在时刻t 时漏斗中的水量与水桶中水量分别为1V 、2V ，则22313111()()[()]()()3333V r t h t h t h t h t πππ=⋅⋅=⋅⋅=⋅，225()V H t π=⋅⋅，由于在任何时刻，12VV +均应等于开始时漏斗中的水量，即23161863V ππ=⋅⨯=，即3233()5()63h t H t πππ⋅+⋅⋅=，解得33311()[6()]253H t h t =⋅-．对该等式两边关于t 求导得2211()()()253H t h t h t ''=-⨯⋅⋅，将()12h t =cm ，()1h t '=-厘米/分钟代入上式则求得水桶中水平面上升的速度为22111612(1)25325v =-⨯⨯⨯-=厘米/分钟．。

高等数学第二章课后习题答案

第二章导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。

⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ），其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4．求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()32y x y π=-=-所以切线方程为1()223y x π-=--2(1)03y +-+=班级姓名学号法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小所以函数在0x =处连续因为 20001s i n(0)(0)1l i m l i m l i ms i n 0x x x x f x f x x x xx∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆ 所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f hh +→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;班级姓名学号当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+ 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+ （3）;3253xx e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2s e c s e c t a ny x x x =+班级姓名学号（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+ '422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22l n c o s c o s l n s i n x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x xy x -+-=+ 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x xx -+-=+ （10）.ln 3ln 223x x x x y ++=2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1s i n c o s s i n2d d ρϕϕϕϕϕ=+-班级姓名学号所以4222422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或因为2'1y x -=+，所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=；曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。

高等数学题库第02章(导数与微分)

第二章导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ，,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定，若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ，则=dxdy. 三．下列各题中均假定)(0'x f 存在，按照导数定义，求出下列各题中的A 值（）（1）=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A（2）=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = （3）=-+→hx f h x f h )()3(lim000A（4）=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f ， C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f ， D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ，则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ，3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8．若函数)(x f y =有21)(0'=x f ，则当0→∆x 时，)(x f 在点0x 处的微分是（） A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。

(完整版)第二章导数与微分部分考研真题及解答

第二章导数与微分 2.1导数的概念01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为（ B ）（A ）01lim(1cosh)h f h →-存在（B ）01lim (1)h h f e h →-存在（C ）01lim (sinh)h f h h →-存在（D ）01lim [(2)()]h f h f h h→-存在03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0.(C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x =1处连续，则0)1(=ϕ是f (x )在x =1处可导的 [ A ](A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ](A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )=x1，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22lim1n f h h→=,则（ C ）(A )()()'000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在(C)()()'000f f +=且存在 (D)()()'010f f +=且存在07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是：（ D ）（反例：()f x x =）(A ) 若0()limx f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则f (0)=0.(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在04.2) 设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x ---→→-++'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.2.2导数的运算法则06.2)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C]（A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln21--（D ）ln21-03.3) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .03.3) 设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x =0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 04.1) 曲线y=ln x 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .04.4) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .05.2) 设xx y )sin 1(+=，则π=x dy=dx π- .09农）设2()ln(4cos 2)f x x x =+，则()8f π'=41π+ 10.2)已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当12cm l =，5cm w =时，它的对角线增加速率为3cm/s2.3高阶导数06.34) 设函数()2f x x =在的某领域内可导,且()()(),21f x f x e f '==,则()2f '''=32e（复合求高阶导） 07.234)设函数1,23y x =+则()(0)n y =12(1)!().33n n n - 10.2)函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y =2(1)!n n --2.4隐函数导数由参数方程确定的函数的导数 01.2)设函数()y f x =由方程2cos()1x ye xy e +-=-所确定，则曲线()yf x =在点(0,1)处的法线方程为220x y -+=03.2) 设函数y =f (x )由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程是x-y =0 .08.1)曲线()sin ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是1y x =+02.1)已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++-=确定，则(0)y ''= -209.2) 设()y y x =是方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则202|x dy dx== -306.2) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则x dy dx==e-02.2)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=-，求曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程.07.2) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=03.2) 设函数y =y (x )由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx4=，得,)ln 21(24ln 212t e t t et dtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==t t t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e+-当x =9时，由221t x +=及t >1得t =2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edx y d t x 07.2) 已知函数f (u )具有二阶导数，且(0)1f '=，函数y =y (x )由方程11y y xe --=所确定，设(ln sin )z f y x =-，求2002,.x x dzd z dxdx ==【详解】(ln sin )(cos )dz y f y x x dx y''=-⋅-，22222(cos )(sin )d z y y y y f x f x dx y y ''''-'''=⋅-+⋅+ 在11y y xe--=中, 令x = 0 得y =1 . 而由11y y xe --=两边对x 求导得110y y y e xe y --''--=再对x 求导得 111210y y y y y ey e y xe y xe y ----'''''''----=将x =0, y =1代入上面两式得 (0)1,(0) 2.y y '''== 故(0)(00)0,x dz f dx='=-=202(0)(21) 1.x d z f dx ='=⋅-=10.2)设函数()y f x =由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩，(1)t >-所确定，其中()t ψ具有2阶导数，且5(1),2ψ=(1)6,ψ'=已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ.2.5微分及其应用02.2)设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '= （ D ）（A ）-1. （B ）0.1. （C ）1. （D ）0.5.06.1234) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 [ A ] (A )0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆< (C) 0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<弹性07.34)设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ D ） (A ) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40.01.34)设生产函数为,Q AL K αβ=其中Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而,,A αβ均为大于零的参数，则当1Q =时K 关于L 的弹性为αβ-09.3) 设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P 的弹性ζ=0.2，则当需求量为1000件时，价格增加1元会使产品收益增加 12000 元10.3)设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p =313p pe-02.4)设某商品需求量Q 是价格p 的单调减少函数：(),Q Q p =其需求弹性2220.192p pη=>-（1）设R 为总收益函数，证明(1)dRQ dpη=-.（2）求6p =时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.04.34) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=P P E d ，得P = 10. 当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.。

2导数与微分练习题答案

二、导数与微分练习题一、填空题1. 将适当的函数填入括号内(1) d( -cosx +C )=sinxdx (2) d( arccotx +C )=-dx x211+ (3) d( ln x +C )= dx x1(4) d(x 12+x +C)=()11222+++x x x dx2. 若x x f 2)(='，则f(x)=2x C +3. 若f(x)= 2tan ++x a x ，则=')(x f x a a x 2sec ln +4. f(x)在点0x 处可导是f(x)在点0x 连续的充分条件；是f(x)在点0x 处可微的充要条件5. 曲线y=x 2在点（１，２）处的切线方程是２ln2x-y+2(1-ln2)=0，法线方程x+2ln2y-4ln2-1=06. y=),1sin(2-x 则='=1x y 27. y=x x 2cos 2，则=''y 2cos2x(1-2x 2)-8xsin2x 8. y=2x ，则=∆y 22x x x ∆+∆，=dy xdx 29. y=)2(sin x f ，则='x y )2(sin 2cos 2x f x '10. 设函数y=)(x f 是线性函数，且5)2(,1)0(=-=f f ，则=')(x f 311. 设曲线17332--=x x y 上点M 处的切线斜率是15，则点M 的坐标为_（3，1） 12. 设)(x f 在点0x 处可导，则=→)(lim 0x f x x )(0x f13. 若函数)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0的值为_114. 若122=+y x ，则dy =dx yx -15. 一质点作直线运动的方程是252010t t s -+=，求2=t 时的速度=_0 ，加速度=_-10 。

《高等数学》第二章.导数和微分的习试题库完整

第二章导数与微分一、判断题1. []00''()()f x f x = ,其中0x 是函数()f x 定义域内的一个点。

（）2. 若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处连续。

（）3. 因为()f x x =在0x =处连续，所以()f x 在0x =处可导。

（）4. 因为()f x x =在0x =处的左、右导数都存在，所以()f x 在0x =处可导。

（）5. ()f x 在0x 处可导的充要条件左、右导数存在且相等。

（）6. 若曲线()y f x =在0x 处存在切线，则'0()f x 必存在。

（）7. 若()f x 在点0x 处可导，则曲线()f x 在点0x 处切线的斜率为()0f x '。

（）8. ()()()sin sin cos tan cot cos sin cos x x x x x x xx ''⎛⎫'====- ⎪-'⎝⎭。

（）9. ()()()22sin cos cos sin sin tan sec cos cos x x x x x x x x x '''-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭。

（）10. 若()f x ，g()x 在x 处均可导，则[]()g()()g()f x x f x x '''=。

（）11. 设()sin cos f x x x =，'''()(sin ).(cos)(sin )cos f x x x x x ==-。

（）12. 设2()x e f x x =，则'()2x e f x x=。

（）13. 由参数方程0y e xy +=的两边求导得'0y e x xy ++=，于是'1()y y e y x=-+。

（）14. ()()n x x e e =。

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⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ），其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4．求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()3y x y π=-=所以切线方程为1)223y x π-=--2(1)03y +-+=法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小所以函数在0x =处连续因为 20001sin(0)(0)1lim limlim sin 0x x x x f x f x x xx x∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h+→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf h h-→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf h h+→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2'364y x x =-+ 652'20282y x x x ---=--+（3）;3253x x e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+ '422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+-21ln x x-=22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x xy x -+-=+ 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x xx -+-=+ （10）.ln 3ln 223x x x x y ++=2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1s i n c o s s i n2d d ρϕϕϕϕϕ=+- 所以4222422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或因为2'1y x -=+，所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=；曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。

11. 求下列函数的导数：（1）()可分解为：函数452+=x y 4,25y u u x ==+ 其导数='y 38(25)x +（2）函数可分解为：23x e y -= 2,3u y e u x ==- ='y 其导数236x xe--（3）可分解为：函数22x a y -= 22y u a x ==- ='y 其导数（4）()可分解为：函数x e y arctan = a r c t a n ,x y u u e ==='y 其导数21x xe e+12. 写出下列函数的导数（只需写出结果）：（1）()='-=y x y , cos 343sin(43)x - （2）()='+=y x y , ln 21221xx + （3）='=y x y , sin 22sin cos x x（4）()='=y x y , arctan 2421xx + （5）()='=y x y , tan 2222sec ()x x（6）(),log ='++=y x x y a 12221(1)ln x x x a+++ （7）='=y x y ,cos ln tan x - （8）()='-=y x y ,arcsin 2113. 求下列函数的导数（要有解题步骤）：（1）;2arcsin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y （2）;arctan x e y =（3）()[]; ln ln ln x y = （4）.cos sin nx x y n =14. 设():dxdy y x f 的导数可导，求下列函数（1）();2xf y = （2）()().cos sin 22x f x f y +=22'()dy xf x dx = 22'(sin )2sin cos '(cos )2cos sin dy f x x x f x x x dx=- 22sin 2['(sin )'()]x f x f cox x =-15. 求下列函数的导数：（1）()22sin sin x x y ⋅=（2）xy 1cos ln =（3）xey 1sin 2-=（4）x x y +=16. 求下列函数的二阶导数：（1）x x y ln 22+=1'4y x x =+21''4y x=-（2）t e y tsin -='sin cos (cos sin )t t t y e t e t e t t ---=-+=-''(cos sin )(sin cos )2cos ttty e t t e t t e t ---=--+--=-（3）()1ln 2x x y ++='y === 3223221''(1)22(1)x y x x x -=-+=-+17. 若():22dxyd x f 阶导数存在，求下列函数的二''（1）()2x f y = （2）()[]x f y ln =2222'()()''()()['()][()]dy f x dx f x d y f x f x f x dx f x =-=18. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式：（1）x y 2sin = （2）x x y ln =19. 求下列函数所指定阶的导数：（1）,cos x e y x= 求().4y （2）,2sin 2x x y = 求().50y20. 求下列方程所确定的隐函数:dxdy y 的导数（1）0333=-+axy y x (2) yxe y -=1方程两边关于x 求导得：方程两边关于x 求导得：2233330dy dy x y ay ax dx dx +--= y y dy dy e xe dx dx=-- 所以 22223333dy ay x ay x dx y ax y ax--==-- 所以 1y ydy e dx xe -=+21. .42,42323232程处的切线方程和法线方在点求曲线⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+a a a yx 222222222'()2['()2''()]2'()4''()dyxf x dxd yf x x xf x dxf x x f x ==+=+方程两边关于x 求导得：113322033dy x y dx--+= 所以1313dy x dx y --=-=从而切线斜率1)1dy k dx==-，法线斜率 2111k k =-=所以切线方程为()44y a x a -=--，即02x y a +-=；法线方程为y x =，即0x y -=。

22. .122dxyd y xe y y的二阶导数所确定的隐函数求由方程+=23. 用对数求导法求下列函数的导数:dxdy （1）55225+-=x x y （2）()()54132+-+=x x x y24. 求由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin ，所确定的曲线在4π=t 处的切线方程和法线方程.25. :22dxyd 的函数的二阶导数求下列参数方程所确定（1）⎪⎩⎪⎨⎧==-tte y e x 23 （2）()()()⎩⎨⎧-'='=tf t f t y t f x ,().存在且不为零设t f '' 22233tt tdy dy e dt e dx dx e dt -===-- '()''()'()''()dydy f t tf t f t dt t dx dx f t dt +-=== 223244339t t t e d y edx e --==- 221''()d y dx f t =26. 注水入深m 8上顶直径m 8的正圆锥形容器中，其速率为min 43m .当水深为m 5时,其表面上升的速率为多少？27. 求下列函数的微分:⑴ ;2sin x x y = ⑵ ()[];1ln 2x y -=s i n 2s i n d y x d x x d x =+ 2[ln(1)]dy d x =-s i n 22c o s 2xd x x x d x =+ 2l n (1)l n (1x d x =--(s i n 22c o s 2)x x x d x =+ 2ln(1)(1)1x d x x-=--班级姓名学号2ln(1)1x dx x -=-⑶ (); 3cos x e y x -=- ⑷ .1arcsin 2x y -=cos(3)(3)x x dy x de e dcox x --=-+- a r c s d y d =c o s (3)s i n (3)x xx e dx e x dx --=--+-=(s i n (3)c o s (3)x e x xd x-=---=28. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：⑴ ()22;d x Cdx += ⑵2332d x C xdx ⎛⎫+=⎪⎝⎭；⑶ ()sin cos d x Cxdx += ⑷ cos sin ;xd C xdx ωωω⎛⎫-+=⎪⎝⎭⑸ ()1ln(1);1d x Cdx x ++=+ ⑹ 22;2x xe d C e dx --⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⑺ ();dC=⑻ 2tan 3sec 33xd C xdx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭29. 计算三角函数值29cos 的近似值。

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