第 8 讲 支路电流法网孔电流法节点电压法
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lecture_08_节点电压法
信息学院 徐国保
G23= G32 =-G3
自电导总为正，互电导总为负。 自电导总为正，互电导总为负。
广东海洋大学
Lecture_08 节点电压法
iSn1=iS1+iS2 iSn2=-iS2＋uS/R5
流入节点1的电流源电流的代数和。 流入节点1的电流源电流的代数和。 流入节点2的电流源电流的代数和。 流入节点2的电流源电流的代数和。
KVL自动满足 自动满足
iS3
2. 方程的列写
选定参考节点， (1) 选定参考节点， 标 明 其 余 n-1 个 独 iS1 立节点的电压
广东海洋大学
1 i1 R1
信息学院
i2 R 2 2 R4
i3 R3 i4 R5 + uS _
3 i5
徐国保
Lecture_08 节点电压法
方程： (2) 列KCL方程： 方程
G5
3
U1-U3 = US
1
（2） 选择合适的参考点 + G1
2
看 成 电 流 源 G2
3
U1= US -G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
广东海洋大学 信息学院
Us _
G3
G4
徐国保
G5
Lecture_08 节点电压法
4.受控电源支路的处理 4.受控电源支路的处理
Lecture_08 节点电压法
整理， 整理，得：
1 1 1 ( + ) un1 − ( )un2 = iS1 + iS2 R R2 R2 1 1 1 1 1 1 − un1 + ( + + ) un2 − un3 = 0 R2 R2 R3 R4 R3 1 1 1 uS − ( )un2 + ( + ) un3 = −iS2 + R3 R3 R5 R5
G23= G32 =-G3
自电导总为正，互电导总为负。 自电导总为正，互电导总为负。
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iSn1=iS1+iS2 iSn2=-iS2＋uS/R5
流入节点1的电流源电流的代数和。 流入节点1的电流源电流的代数和。 流入节点2的电流源电流的代数和。 流入节点2的电流源电流的代数和。
KVL自动满足 自动满足
iS3
2. 方程的列写
选定参考节点， (1) 选定参考节点， 标 明 其 余 n-1 个 独 iS1 立节点的电压
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1 i1 R1
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i2 R 2 2 R4
i3 R3 i4 R5 + uS _
3 i5
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Lecture_08 节点电压法
方程： (2) 列KCL方程： 方程
G5
3
U1-U3 = US
1
（2） 选择合适的参考点 + G1
2
看 成 电 流 源 G2
3
U1= US -G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
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Us _
G3
G4
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G5
Lecture_08 节点电压法
4.受控电源支路的处理 4.受控电源支路的处理
Lecture_08 节点电压法
整理， 整理，得：
1 1 1 ( + ) un1 − ( )un2 = iS1 + iS2 R R2 R2 1 1 1 1 1 1 − un1 + ( + + ) un2 − un3 = 0 R2 R2 R3 R4 R3 1 1 1 uS − ( )un2 + ( + ) un3 = −iS2 + R3 R3 R5 R5
节点电压法经典例题ppt课件
(3) 列出所有未知节点电压的节点方程，其中自电 导恒为正，互电导恒为负。
(4) 联立求解节点电压，继而求出其余量。
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题
节点电压法的习题
例1.用节点法求各支路电流。（类型1：支路含有电压源与电阻串联）
I1 20kVA 10k VB 40k I3
+120V +
知识的回顾
支路电流法（以支路电流为变量求解方程） n个节点，b条支路的电路图.
（1）假设各支路电流的参考方向和网孔的 巡回方向。
（2）对（n-1）个节点列KCL方程。 对（b-n+1）个网孔列写以支路电流为
变量表示 的 KVL方程，并加入元件VCR约束 条件。 （3）求解b个支路方程，从而求解各支路电流。
Va
S
R5 i5 + US -
R1 Vb R3
i1
i3
R2 i2
i1=i2+i3 i3=i4-i5 Vc i4 R4
----（2） i1=(Va-Vb)/R1=(Va-Vb)G1
-----（3）
=VbG2
i3=(Vb-Vc)/R3=(Vb-Vc)G3 i4=(Vc-0)/R4 =VcG4
i5=(Va-Vc-US)/R5 =(Va-Vc-U
缺点：这种方法比较解方程比较繁琐。
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题
知识回顾 （引入以网孔电流为独立变量，列写KVL方程） 网孔分析法：
(1) 选定一组网孔，标明网孔电流及其参考方向；（孔b方-n程+1）个网 (2) 以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写实质是KVL方
程；（自电阻，互电阻，电压源）
数据结构(C#语言版)
(4) 联立求解节点电压，继而求出其余量。
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题
节点电压法的习题
例1.用节点法求各支路电流。（类型1：支路含有电压源与电阻串联）
I1 20kVA 10k VB 40k I3
+120V +
知识的回顾
支路电流法（以支路电流为变量求解方程） n个节点，b条支路的电路图.
（1）假设各支路电流的参考方向和网孔的 巡回方向。
（2）对（n-1）个节点列KCL方程。 对（b-n+1）个网孔列写以支路电流为
变量表示 的 KVL方程，并加入元件VCR约束 条件。 （3）求解b个支路方程，从而求解各支路电流。
Va
S
R5 i5 + US -
R1 Vb R3
i1
i3
R2 i2
i1=i2+i3 i3=i4-i5 Vc i4 R4
----（2） i1=(Va-Vb)/R1=(Va-Vb)G1
-----（3）
=VbG2
i3=(Vb-Vc)/R3=(Vb-Vc)G3 i4=(Vc-0)/R4 =VcG4
i5=(Va-Vc-US)/R5 =(Va-Vc-U
缺点：这种方法比较解方程比较繁琐。
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解决图的编程问题
知识回顾 （引入以网孔电流为独立变量，列写KVL方程） 网孔分析法：
(1) 选定一组网孔，标明网孔电流及其参考方向；（孔b方-n程+1）个网 (2) 以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写实质是KVL方
程；（自电阻，互电阻，电压源）
数据结构(C#语言版)
支路电流法
支路电流法 网孔电流法 节点电压法
制作:浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院
一、 支路电流法
未知数：各支路电流。 理论依据：根据基氏定律，列节点电流和回路电压方 程，然后联立求解。
利用支路电流法解题的步骤： （1）任意标定各支路的电流的参考方向和网孔回路绕行方向。 （2）用基尔霍夫定律列出节电电流方程。有n个节点，就可以 列出n-1个独立电流方程。 （3）用基尔霍夫电压定律列出l=b-（n-1）个网孔回路方程。 说明：l指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。 （4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。
（3）解方程求回路电流
将数据代入上式可求得回路电流IA、IB、IC
（4）求各支路电流。
（5）进行验算。验算时，选外围回路列KVL方程验证。若 代入数据，回路电压之和为0，则说明以上数据正确。
例5 用网孔电流法求解图6电路中各支路电流。
解：（1）确定网孔。并设定网孔电流的绕行方向。 如图6所示，规定网孔电流方向和顺时针方向。 （2）列以网孔电流为未知量的回路电压方程。
作 业： 第190页 9-6（用支路电流法求解） 9-14 9-15
例1
试用支路电流法求图1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流I及每台发电机 的输出电流I1和I2。已知：R1=1Ω，R2=0.6Ω，R=24Ω，E1=130V，E2=117V。
解：（1）假设各支路电流和网孔回路绕行方向如图示。 （2）列KCL方程 该电路有A、B两个节点，故只能列 一个节点电流方程。对于节点A有： I1+I2=I ① （3）列网孔电压方程 选择网孔作回路，其方向如图示。 对左、右两个回路可列电压方程： I1 R1- I2 R2+ E2-E1=0 ② I R+I2 R2- E2=0 ③ （4）联立方程①②③，代入已知条件，可得： 图1 -I1-I2+I=0 I1-0.6I2=130-117 0.6I2+24I=117 解得各支路电流为： I1=10A I2=-5A I=5A 从计算结果，可以看出发电机E1输出10A的电流 ，发电机E2输出-5A的 电流，负载电流为5A。
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一、 支路电流法
未知数：各支路电流。 理论依据：根据基氏定律，列节点电流和回路电压方 程，然后联立求解。
利用支路电流法解题的步骤： （1）任意标定各支路的电流的参考方向和网孔回路绕行方向。 （2）用基尔霍夫定律列出节电电流方程。有n个节点，就可以 列出n-1个独立电流方程。 （3）用基尔霍夫电压定律列出l=b-（n-1）个网孔回路方程。 说明：l指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。 （4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。
（3）解方程求回路电流
将数据代入上式可求得回路电流IA、IB、IC
（4）求各支路电流。
（5）进行验算。验算时，选外围回路列KVL方程验证。若 代入数据，回路电压之和为0，则说明以上数据正确。
例5 用网孔电流法求解图6电路中各支路电流。
解：（1）确定网孔。并设定网孔电流的绕行方向。 如图6所示，规定网孔电流方向和顺时针方向。 （2）列以网孔电流为未知量的回路电压方程。
作 业： 第190页 9-6（用支路电流法求解） 9-14 9-15
例1
试用支路电流法求图1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流I及每台发电机 的输出电流I1和I2。已知：R1=1Ω，R2=0.6Ω，R=24Ω，E1=130V，E2=117V。
解：（1）假设各支路电流和网孔回路绕行方向如图示。 （2）列KCL方程 该电路有A、B两个节点，故只能列 一个节点电流方程。对于节点A有： I1+I2=I ① （3）列网孔电压方程 选择网孔作回路，其方向如图示。 对左、右两个回路可列电压方程： I1 R1- I2 R2+ E2-E1=0 ② I R+I2 R2- E2=0 ③ （4）联立方程①②③，代入已知条件，可得： 图1 -I1-I2+I=0 I1-0.6I2=130-117 0.6I2+24I=117 解得各支路电流为： I1=10A I2=-5A I=5A 从计算结果，可以看出发电机E1输出10A的电流 ，发电机E2输出-5A的 电流，负载电流为5A。
支路电流法和网孔电流法
R4I1 R6I2 (R3 R4 R6 )I3 US3 US 4
上式简称为网孔方程，联立方程数减少了。图2—22（c）仅保 留了图（b）中各支路间的连接关系，去掉了各支路具体的元 件，称为原电路的拓扑图，拓扑图反映了电路的结构。可以将 I1、I2、I3理解成仅围绕本网孔环形流动的网孔电流，外围支路 的支路电流就等于本网孔的网孔电流；而公共支路电流I4、I5、 I6可由网孔电流的组合来表示。例如第5条支路有I1、I2两个网 孔电流流过，I1与I5方向一致看成是I5的 “主流”，I2与I5方向 相反看成是I5的“逆流”，所以I5有 I1 I2
第1章 直流电路的计算
2.1 电阻元件的连接及分流、分压公式 2.2 实际电源间的等效变换 2.3 支路电流法与网孔电流法 2.4 节点电压法 2.5 戴维南定理和诺顿定理 2.6 齐次定理、叠加定理、替代定理 2.7 受控源的原型及其含受控源电路的计算
2.3 支路电流法和网孔电流法
2.3 支路电流法和网孔电流法
表明计算正确。
第六步：根据要求计算U12。
U12 3I1 (2) 5V
P35 [例2—9]
解 (1) 在电路图中标出网 孔电流绕行方向。
(2) 列网孔方程
(3) 解得各网孔电流
I1 0.786A
I
2
1.143A
I3 1.071A
80I1 20I2 50 10 20I1 60I2 40I3 10 40I2 80I3 40
2.3.2 网孔电流法联立方程的标准形式
图2—22（b）所示的平面电路按网孔列KVL方程，每个方 程必定是独立的，因为每个网孔都至少包含了一条其它网孔所 没有的支路。通过分析可知：该电路第1、第2、第3条支路是 外围支路，仅属于本网孔所有；而第4、第5、第6条支路是两 个网孔之间的公共支路，I4、I5、I6可以用I1、I2、I3来表示，若 将下式的前三式代入后三式，就消去了I4、I5、I6三个未知量， 并将所有电压源移项至方程右侧，得到
上式简称为网孔方程，联立方程数减少了。图2—22（c）仅保 留了图（b）中各支路间的连接关系，去掉了各支路具体的元 件，称为原电路的拓扑图，拓扑图反映了电路的结构。可以将 I1、I2、I3理解成仅围绕本网孔环形流动的网孔电流，外围支路 的支路电流就等于本网孔的网孔电流；而公共支路电流I4、I5、 I6可由网孔电流的组合来表示。例如第5条支路有I1、I2两个网 孔电流流过，I1与I5方向一致看成是I5的 “主流”，I2与I5方向 相反看成是I5的“逆流”，所以I5有 I1 I2
第1章 直流电路的计算
2.1 电阻元件的连接及分流、分压公式 2.2 实际电源间的等效变换 2.3 支路电流法与网孔电流法 2.4 节点电压法 2.5 戴维南定理和诺顿定理 2.6 齐次定理、叠加定理、替代定理 2.7 受控源的原型及其含受控源电路的计算
2.3 支路电流法和网孔电流法
2.3 支路电流法和网孔电流法
表明计算正确。
第六步：根据要求计算U12。
U12 3I1 (2) 5V
P35 [例2—9]
解 (1) 在电路图中标出网 孔电流绕行方向。
(2) 列网孔方程
(3) 解得各网孔电流
I1 0.786A
I
2
1.143A
I3 1.071A
80I1 20I2 50 10 20I1 60I2 40I3 10 40I2 80I3 40
2.3.2 网孔电流法联立方程的标准形式
图2—22（b）所示的平面电路按网孔列KVL方程，每个方 程必定是独立的，因为每个网孔都至少包含了一条其它网孔所 没有的支路。通过分析可知：该电路第1、第2、第3条支路是 外围支路，仅属于本网孔所有；而第4、第5、第6条支路是两 个网孔之间的公共支路，I4、I5、I6可以用I1、I2、I3来表示，若 将下式的前三式代入后三式，就消去了I4、I5、I6三个未知量， 并将所有电压源移项至方程右侧，得到
电路分析方法
电路等效：如果电路N1和电路N2具有完全相同的端口伏安关系，则称N1和N2互为等效电路。
（一）支路电流法：以支路电流为未知量，列出独立的KCL，KVL方程组，解方程以求得各支路的电流，再根据支路特性求得所需要的电压，功率等，这种分析电路的方法称作支路电流法。
解题一般步骤：1.在电路图上标出设定的各支路电流及其参考方向；2.对（n-1)个独立节点，根据KCL列出KCL方程；3.对（b-n+1)个独立回路（一般选网孔），根据KVL列出KVL方程；4.联立列出的KCL和KVL方程，求解出支路电流；（二）网孔电流法：以网孔电流为未知量，根据KVL列出网孔电压方程（∑U=0),再根据已求得的网孔电流与支路电流的关系求解支路电流。
这种分析电路的方法称为网孔电流法。
解题一般步骤：1.首先在电路图中，标出网孔电流及其参考方向。
通常设网孔电流的方向均为顺时针（或逆时针），使网孔方程中互电阻均取“—”号，便于记忆；2.观察电路，直接列出网孔方程；3.求解网孔方程，得到各网孔电流；4.根据支路电流与网孔电流的关系，可求得各支路电流。
支路电流与网孔电流方向相同的取正，方向相反取负；5.由支路的伏安特性，可计算出各支路上的电压；(三）节点电压法：以节点电压为未知量，将各支路电流用节点电压表示，列出（n-1)个KCL 方程，求出各节点电压，进而求得各支路电压，电流和功率，这种分析电路的方法称作节点电压法。
解题一般步骤：1.指定连通电路中任一节点为参考节点，用接地符号表示。
标出各节点电压，其参考方向总是独立节点为“+”，参考节点为“—”；2.标出n个节点，用观察法列出（n-1)个节点方程；3.求解节点方程，得到各节点电压；4.选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电流和支路电压；（四）回路分析法：以回路电流为未知量，根据KVL列出独立的回路电压方程，然后联立求得回路电流，进而求出各支路电流，电压和功率，这种分析电路的方法称作回路分析法。
求解电阻电路的一般方法
求解电阻电路的一般方法支路电流法网孔电流法回路电流法结点电压法●方法的基础●（1）电路的连接关系—KCL，KVL定律。
●（2）元件的电压、电流关系特性。
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。
根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
一、支路电流法对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。
只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。
●支路电流法的一般步骤：1.标定各支路电流（电压）的参考方向。
2.选定（n-1）个结点，列写其KCL方程。
3.选定b-（n-1）个独立回路，指定回路绕行方向，结合KVL和支路方程列写k=u sk4.求解上述方程，得到b个支路电流。
5.进一步计算支路电压和进行其他分析。
支路电流法的特点：支路法列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。
二、网孔电流法在网孔电流法中，以网孔电流作为电路的独立变量，它仅适用于平面电路。
●网孔电流法的一般步骤：1.选网孔为独立回路，并确定其绕行方向。
2.以网孔电流为未知量，列写其KVL方程。
3.求解上述方程，得到l个网孔电流。
4.求各支路电流。
5.其他分析。
网孔电流法的特点：仅适用于平面电路。
三、回路电流法以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
●回路电流法的一般步骤：1.根据给定的电路，通过选择一个树确定一组基本回路，并指定各回路电流（即连支电流）的参考方向。
2.一般公式R11i l1+R12i l1+ …+R1l i ll=u S l1 列出回路电流方程，注意自阻总是正的，互阻的正、R21i l1+R22i l1+ …+R2l i ll=u S l2负由相关的两个回路电流通过共有电阻时，两者……的参考方向是否相同而定。
并注意该式右边项取R l1i l1+R l2i l1+ …+R ll i ll=u S ll代数和时各有关电压源前面的“+”、“-”号。
第三章 支路电流法 节点电压法资料讲解
那么，我们可以考虑，如果对于一个电路，假设如图 3.1所示，电路中所有的元件的取值都是已知的，只有电 路中各条支路的电流是未知的被求量，那么以支路电流为 未知数列出的KCL方程和KVL方程数正好等于支路数，而 这些方程又都是关于支路电流的方程，所以联立求解就可 求出各支路电流。
对我们研究的例题，有6条支路，4个节点，所以可列出4-1=3个独立的 节点电流方程；列出6-（4-1）=3个独立的回路电压方程，而这两组方程的 数目正好等于电路的支路数。
下面我们再来研究电路中的回路，对图3.1的电 路，它的回路是很多的，因为只要若干支路组成的 闭合路径,其中每个节点只经过一次, 这条闭合路径 称为回路。那是不是我们必须把所有的回路中电压 方程都列出来，才能求出电路中所要求的参量呢？ 下面我们就来研究这个问题。对应于图中标出的三 个回路，应用KVL，可以列出回路电压方程如下：
-I5-I4+I1=0
-I2+I4+I6-I3-I6+I5 -I5-I4+I1=0 <=>
-I1+I2+I3 =0
观察以上四个表达式，可看出其中的任 一个方程都可由其它三个方程得出。说 明这四个方程中只有三个方程是独立的。 对于更多节点的电路，情况也一样。一 般来讲，具有n个节点的电路，只能列出 （n-1）个独立的KCL方程。
回路L1： i1 +2i2 +4i4 =10
- i1 + L1
i2 i3
L2
i6
i4 L3 i5
回路L2：-2i2+3i3 - 6i6 =8
回路L3：-4i4 + 5i5 +6i6 =-8
以上三个回路方程中，没有哪个方程能从 另外两个方程中推出，所以都是独立的回路方 程。
支路电流法和结点电压法实用PPT
由此可得到方程组：
的电阻倒数， 称为互导。 ① 设参考点(零电位点，对独立结点设结点电压，方向指向参考点)。 支路电流法解题的方法步骤: 在上式中：等号左边第一项中，
(GG)u Gu i I 支式路，电 从流而法求的解出支发路1 点电是流以。电路2中各支路n的1电流 I 为未2知变量n，2然后应用SK1CL定律列S出2节点电流方程式，应用KVL定律列出回路电压方程 解：支路电流的参考方向如图所示 。 Gu (GG)u i 凡根不据能 上用面电例阻子串，并可联以等得效出2变利换用化结n简点1的电电压路求，解称支2为路复电杂路电电路流3。的方法，n具2体步骤如S下2：
的电阻倒数， 称为互导。 第讲支路电流法和结点电压法
解方程组即可求出结点电压，再求支路电流。 为了减少方程式的数目，简化繁冗的计算，电路分分析中，采用了一些其他的简便方法，本节就来介绍结点电压法。
（1）首先标定各待求支路的电流参考正方向及回路绕行方向； 解： 假定各支路电流方向如图所示。 I1=－1A, I2=5 A, I3=4A 网孔绕行方向按顺时针方向，电流源两端电压u的参考方向如图。
设每条支路电流的参 考方向，网孔为顺时 针绕行方向。
对a结点，有： i1i2i3 0
对回路1，有： 对回路2，有：
R1i1R2i2uS1
R2i2R3i3uS3
支路电流法解题的方法步骤:
（假定电路有m条支路， n个节点）
（1）首先标定各待求支路的电流参考正方向及回路 绕行方向；
（2）应用KCL定律列出（n－1）个独立的节点电流 方程；
第讲支路电流法和结点电压法
1.9 支路电流法
1. 凡不能用电阻串并联等效变换化简的电路，称 为复杂电路。
2. 在分析计算复杂电路的各种方法中，支路电流 法是最基本的，也是基础！
支路电流法与结点电压法
取正号，相反时取负号，与支路电流的参考方向无关。
例2-7 试用结点电压法计算图示电路中的电流。
解： 电路只有两个结点a、b，选b为参考结点，利用公式217，得a结点的结点电压为：
I1 R1
A I2 R2
+
US1 _
I3 R3
I
+
II
US3 _
B
+
E E1 E2 E3
U
R R1 R2 R3
US2
所选回路中不包含恒流源支路，这时，电路中有几
条支路含有恒流源，则可少列几个KVL方程。
(2) 若所选回路中包含恒流源支路，则因恒流源
两端的电压未知，所以，有一个恒流源就出现一个
未知电压，因此，在此种情况下不可少列KVL方程
。
例：试求各支路电流。
a
c
支路数b =4，但恒流
+ 42V– 12
1 6 I1
联立
15I1 - I3 15-9 解得： 1.5I2 + I3 9-4.5
I1 0.5A,I2 I3 1.5A
2A,
支路电流法分析电路的步骤：
⑴ 分析电路结构：有几条支路、几个网孔，选定并 标出各支路电流的参考方向。
⑵ 任选 n-1 个结点，根据KCL列独立节点电流方程。 ⑶ 选定 b-n+1 个独立的回路（通常可取网孔），指 定网孔或回路电压的绕行方向，根据KVL列写独立 回路的电压方程。
选取两个网孔，并假定两个网孔的绕行方向为顺时针（已 在图中标出），根据KVL列出两个网孔的回路电压方程。
网孔Ⅰ
I1R1 - I3R3 = U S1 -U S 3
网孔Ⅱ I 3R3 I 2R2 U s3 U s2
实验八matlab支路电流法、回路分析法、节点电压法求解电压和电流
解：设三个回路电流分别为、、则：1m I 2m I 3m I 图1图2MATLAB 把矩阵指令和结果如下：];[02U I m 解：设三个回路电流分别为、、，则：1m I 2m I 3m I 图3图4u I m 5.03-= 补充方程为： iI I m m =-31 i I I m m 5.012=- u I I m m =-32 由此可以解出、、、、。
A I m 11=A I m 32=A I m 33-=A i 4=A u 6= 将方程整理为： 14000)11(0321=+++-++U u i I I I m m m 000)11(00321=-++-++U u i I I I m m m 005.00000321=+++++U u i I I I m m m 00000321=++--+U u i I I I m m m 0005.000321=++-++-U u i I I I m m m 00000321=+-+-+U u i I I I m m m 然后用MATLAB 计算如下：其中];;;;;[321o m m m U u i I I I x =a=[1+1 0 -1 0 0 1;0 1+1 -1 0 0 -1;0 0 1 0 0.5 0;1 0 -1 -1 0 0;-1 10 -0.5 0 0;0 1 -1 0 -1 0];%定义a 矩阵b=[14;0;0;0;0;0];x=a\b %定义b 矩阵并求解运行结果为：x = 1 3 -3 4 6 9在以上例题中，采用的思想是找准未知量，采用分离变量的方法让未知量在方程组的一侧，然后把方程组写成矩阵形式Ax=B ，未知量构成的矩阵（后者列向量）x=A\B 。
所以在MATLAB 中建立好矩阵就可以求解了，节约了运算时间，以上例子都是手工带入数据整理方程组的，但注意的是：数据的值其实是取代的对应的元件，因此也可以用符号表示方法化简方程组后，编制M 文件，由MATLAB 带入数据进行运算.。
3.1支路电流法3.2网孔电流法3.3节点电压法
3
n2 n3
26
对上图列KCL独立方程
i1 i4 i5 is1 i2 i5 i6 0 i3 i4 i6 is2
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27
将支路电流用节点电压表示
i1 G1un1 i2 G2un2 i3 G3un3 i4 G4 (un1 un3 ) i5 G5 (un1 un2 ) i6 G6 (un2 un3 )
R2im2 uS2 R6 (im3 im2 ) R5 (im1 im2 ) 0
R4 (im3 im1 ) uS4 R6 (im3 im2 ) uS3 R3im3 0
(R1 R4 R5 )im1 R5im2 R4im3 uS1 uS4
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10
3.2.1 网孔电流
网孔电流实际上是不存 在的，电路中真正存在 的是支路电流。
i1 im1 i2 im2 i3 im3
i4 im3 im1 i5 im1 im2 i6 im3 im2
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11
以网孔电流为未知量，根据KVL列出网孔
解： 参考节点和节点电压如图所示。设节点电压分别为 un1和un2，用观察法列出节点方程
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33
运用节点电压法列出方程时需要注意：
（1）在列出节点电压方程时，把实际电压 源模型等效成实际电流源模型。（例3.9 , 3.10）并注意互电导的符号为负。
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34
例3.10：用节点电压法求节点电压u和支路电流i1和i2
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28
整理后：(G1 G4 G5 )un1 G5un2 G4un3 is1 G5un1 (G2 G5 G6 )un2 G6un3 0 G4un1 G6un2 (G3 G4 G6 )un3 is2
《电路》课件 节点电压法
第3章 电阻电路的一般分析
目录
3.1 支路电流法 3.2 网孔电流法和回路电流法 3.3 节点电压法
电路
南京理工大学自动化学院
3.3 节点电压法
节点电压
任意选择电路中某一节点作为参考节点，其余节点与 此参考节点间的电压分别称为对应的节点电压，节点 电压的参考极性均以参考节点为负极性端，以所对应 节点为正极性端
2
0
G3 G4 G5 Un3 0
电路
南京理工大学自动化学院
3.3 节点电压法
Gkk——第k个节点的自G电5 导
. . . GISkkjk——U——nk1流节I1s入点节和点Gj节k1的点所公2U有共n电2支流G路3源上电的流互3的电Un代导3 数（和一律为负）
G2
G4
4.
节点电流源
列向量
G1 G5
G1
G5
G1 G1 G2 G3
G3
G5 Un1 Is
G3
U
n
2
0
G3 G4 G5 Un3 0
电路
南京理工大学自动化学院
3.3 节点电压法
问：如果G5支路有两个电导串在一起，那么 下面方程中的参数该怎么修改？
G3
Un1
G2 Un2 IS4
Un3
IS1
c: 求解
电路
南京理工大学自动化学院
3.3 节点电压法
含多条不具有公共端点的理想电压源支路 G5
. Un1 1
+ Us_
G1
.2Un2
G2
. I
+
_ 3 Un3
Us3
G4
4.
a: 适当选取其中一个电压源的端点作参考点:令 Un4＝0， 则Un1＝ Us1
目录
3.1 支路电流法 3.2 网孔电流法和回路电流法 3.3 节点电压法
电路
南京理工大学自动化学院
3.3 节点电压法
节点电压
任意选择电路中某一节点作为参考节点，其余节点与 此参考节点间的电压分别称为对应的节点电压，节点 电压的参考极性均以参考节点为负极性端，以所对应 节点为正极性端
2
0
G3 G4 G5 Un3 0
电路
南京理工大学自动化学院
3.3 节点电压法
Gkk——第k个节点的自G电5 导
. . . GISkkjk——U——nk1流节I1s入点节和点Gj节k1的点所公2U有共n电2支流G路3源上电的流互3的电Un代导3 数（和一律为负）
G2
G4
4.
节点电流源
列向量
G1 G5
G1
G5
G1 G1 G2 G3
G3
G5 Un1 Is
G3
U
n
2
0
G3 G4 G5 Un3 0
电路
南京理工大学自动化学院
3.3 节点电压法
问：如果G5支路有两个电导串在一起，那么 下面方程中的参数该怎么修改？
G3
Un1
G2 Un2 IS4
Un3
IS1
c: 求解
电路
南京理工大学自动化学院
3.3 节点电压法
含多条不具有公共端点的理想电压源支路 G5
. Un1 1
+ Us_
G1
.2Un2
G2
. I
+
_ 3 Un3
Us3
G4
4.
a: 适当选取其中一个电压源的端点作参考点:令 Un4＝0， 则Un1＝ Us1
支路和网孔电流法
+ Us _
Im1 + U _
R2
Is
Im2
R3
.
R2 I m1 ( R 2 R3 ) I m 2 U 0
a: 选取网孔电流绕行方向，虚设电流源电压U
南京理 b: 根据直接观察法列方程 : ( R1 R 2 ) I m 1 R 2 I m 2 U U s
c: 添加约束方程： m 2 I m 1 I s I d: 求解
Rkj——k网孔和j网孔公共支路上的互电阻（可正可负） +
Im2 Im1 us1 USkk——k网孔内所有电压源电位升的代数和 _ R5 . _ 1. +4 R R4 us4 6
.3
网孔电阻矩阵
R1 R 4 R 5 R5 R4
电路
Im3 R3
R5 R6 R3 R4 R6 R4
.3
I3 + us3
I3 I4
第1步：选定各支路电流参考方向，各节点KCL方程如下：
节点 1 : I 1
节点 2 : I 1 I 2 节点 3 : 节点 4 :
电路
0
I5
0 I6 0
I2 I3
I4 I5 I6 0
南京理 工大学 自动化 学院
法
1 : I1 2 : I1 I 2 3: 4: I2 I3 I3 I4 I5 0 0 I6 0 I4 I5 I6 0
电路
南京理 工大学 自动化 学院
电流法
例：列写网孔电流方程
1Ω
1A
R1 R 4 R 5 R5 R4
电路
.3
支路电流法节点电压
-i
1
+ L1
ii
2 L2 3
i
i
6L3
i5
回路L1： i1 +2i2 +4i4 =回1路0 L2：-2i2+3i3 - 6i6 =8 回路L3：-4i4 + 5i5 +6i6 =以8上三个回路方程中，没有哪个方程能从
另外两个方程中推出，所以都是独立的回路方 程。
如果再用其它回路列方程，我们可以验证 他们都不是独立方程。
(1S (1 S)1uS1) u1(1 S(1S2)uS2)u25A 1A 0
图2－28
解得各节点电压为：
2u1 u2 5V u1 整3u理2得到1：0V
u11 选V 定各u 电2 阻 支3 路V 电流参考方向如图所示，
可求得：
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2) 4A
单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容
第三章 线性网络的 一般分析方法
汇报人姓名
第一节 第二节
支路电流法 节点电压法
第一节 支路电流法 前一章介绍了电阻的串联和并联；电阻的星、三角连接的等效变换两种 实际电源模型的等效变换。这几种方法都是利用等效变换，逐步化简电 路进行分析计算的方法。这些方法适用于具有一定结构形式而且比较简 单的电路。如要对较复杂的电路进行全面的一般性的探讨，还需寻求一 些系统化的方法——即不改变电路结构，先选择电路变量（电流或电 压），再根据KCL、KVL建立起电路变量的方程，从而求解变量的方法。 支路电流法就是系统化方法中的最基本的一种。 支路电流法是以每个支路的电流为求解的未知量，以基尔霍夫一、二定 理即KCL、KVL 为依据，列方程求解电路的一种分析方法。
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I1
I3
b
图7
列结点电压公式的规律： ■ 列结点电压公式的规律：
（1）分子部分： 分子部分： 两节点间各支路的电动势与该支 路的电导乘积的代数和。 （其中，当支路电动势的方向与结 点电压的方向相反时取“+”，相同 时取“—”） （2）分母部分： 分母部分： 两节点间各支路的电导之和。 （分母总为“+”）
图2
例3
试用支路电流法求解如图3电路中各支路电流，列出方程。（P191 9-13题）
图3
支路电流法小结
1 解题步骤 对每一支路假设 1. 2. 一未知电流 列电流方程： 列电流方程： 对每个节点有 结论 假设未知数时，正方向可任意选择。 假设未知数时，正方向可任意选择。 原则上， 个未知数。 原则上，有B个支路电流就设B个未知数。 （恒流源支路除外） 恒流源支路除外） 2 若电路有N个节点， 若电路有N个节点， 例外？ 例外？
例5 用网孔电流法求解图6电路中各支路电流。
解：（1）确定网孔。并设定网孔电流的绕行方向。 如图6所示，规定网孔电流方向和顺时针方向。 （2）列以网孔电流为未知量的回路电压方程。
图6 （3）解方程求各网孔电流。 解此方程组得：
（4）求支路电流得： （5）验算。列外围电路电压方程验证。
三、 节点电压法
作 业： 第190页 9-6（用支路电流法求解） 9-14 9-15
（3）求支路电流。 I1=（E1-U）/ R1 I2=（E2-U）/ R2 I3=（E3-U）/ R I4=U/ R4
A
RS R1 I1
I2
对于含恒流源支路的电路， 列节点电压方程时应按以下 规则：
R2
分母部分： 分母部分：按原方法编写， 但不考虑恒流源支路的电 阻。
Is
E1
B 分子部分： 分子部分：写上恒流源的电流。 如图所示，电路的结点电压公式为： 如图所示，电路的结点电压公式为： 其符号为：电流朝向未知节点时 取正号，反之取负号。电压源支 1 1 E1 VA ( + ) = + IS 路的写法不变。
例2 用支路电流法列出如图2电路中各支路电流的方程。（已知恒流源IS所
在支路电流是已知的） 解： 由电路图可见该电路中有一恒流源支路，且其大小是已知的，所以 在解题的时候只需要考虑其余两条未知支路的电流即可。
（1）假设流过R1、R2的电流方向如图示。 （2）列节点电流方程： I1+I2= IS （3）列网孔电压方程 I2 R2- E-I1 R1=0
I1 I2
I3
ΣI = 0
则可以列出 (N-1) 个独立方程。 ？ 个独立方程。 1. 2. 未知数= 已有 未知数=B， (N-1)个节点方程， 个节点方程， 已有( 1)个节点方程 需补足 B -（N -1）个方程。 ）个方程。 独立回路的选择： 独立回路的选择： #1 #2 #3 一般按网孔选择
R1
R2
R1
课堂小结： 课堂小结：
1、支路电流法即列出（n-1）个节点电流方程和L（网孔数）个回路 电压方程，联立解方程组，从而求解出各支路电流的最基本、最直观 的一种求解复杂电路的方法。 2、网孔电流法用于求支路较多的电路，避免了用支路电流法求解 方程过多，带来解题繁杂的问题。解题方法是先求网孔电流再利用网 孔电流求支路电流。 3、节点电压法用于节点较少而网孔较多的电路。节点电压法求解步 骤：选择参考节点，设定参考方向；求节点电压U；求支路电流 4、支路电流法、网孔电流法、节点电压法三种方法中，列方程时， 都要特别注意方向问题。
二、回路（网孔）电流法
1、回路电流法：在电路中确定出全部独立回路，以回路电流为未知数，根据 基尔霍夫电压定律列出含有回路电流的回路电压方程，然后求解出各回路电流， 而各支路电流等于该支路内所通过的回路电流的代数和。 适用：支路、节点数较多的电路 2、解题步骤： (以图5所示电路为例讲解) （1）确定独立回路，并设定回路电流的绕行方向。 ）确定独立回路，并设定回路电流的绕行方向。 独立回路是指每次所选定的回路中至少要包含 一条新支路，即其他支路未曾用过的支路。如图5 所示，设定顺时针方向为独立回路电流的绕行方向。 （2）列以回路电流为未知量的电流电压方程。 ）列以回路电流为未知量的电流电压方程。
（2）列回路电压方程（3个） I1R1-I6R6+I4R4=0 I2R2+I5R5+ I6R6 =0 - I4R4 - I5R5+I3R3-E=0
I3 + I4 = I1 I1 + I6 = I2
+E 图4
=4个 节点数 N=4个 =4 =6个 支路数 B=6个 =6
由例题可看出支路电流法的缺点：电路中支路数较多时， 由例题可看出支路电流法的缺点：电路中支路数较多时， 所需方程的个数较多，求解比较复杂。 所需方程的个数较多，求解比较复杂。
例1
试用支路电流法求图1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流I及每台发电机 的输出电流I1和I2。已知：R1=1 ，R2=0.6 ，R=24 ，E1=130V，E2=117V。
解：（1）假设各支路电流和网孔回路绕行方向如图示。 （2）列KCL方程 该电路有A、B两个节点，故只能列 一个节点电流方程。对于节点A有： I1+I2=I ① （3）列网孔电压方程 选择网孔作回路，其方向如图示。 对左、右两个回路可列电压方程： I1 R1- I2 R2+ E2-E1=0 ② I R+I2 R2- E2=0 ③ （4）联立方程①②③，代入已知条件，可得： 图1 -I1-I2+I=0 I1-0.6I2=130-117 0.6I2+24I=117 解得各支路电流为： I1=10A I2=-5A I=5A 从计算结果，可以看出发电机E1输出10A的电流 ，发电机E2输出-5A的 电流，负载电流为5A。
适用情况：支路数多，节点少的电路。 ■ 适用情况：支路数多，节点少的电路。
节点电压法解题步骤： （1）选择参考节点，设定参考 方向 （2）求节点电压U （3）求支路电流
a
+ E3 R2 – Uab I4 R3 R4
– + E1 E2 – R1 I2 +
■ 两节点的节点电压公式
（以图7为例，若选择参考节点为b， 节点电压方向为从a到b）
本例提示我们，两个电源并联时，并不都是向负载供给 电流和功率的。当两电源的电动势相差较大时，就会发生 某电源不但不输出功率，反而吸收功率成为负载。因此， 在实际的供电系统中，直流电源并联时，应使两电源的电 动势相等，内阻也应相近。有些电器设备更换电池时也要 求全部同时换新的，而不要一新一旧，也是同一道理。
如图所示电路列结点电压公式为： ∑（±）E/R = Uab= ∑1/R 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4 E1/R1+E2/R2+E3/R3
a
– + E1 E2 – R1 I2 R2 + E3 + – Uab I4 R3 R4
I1
I3
b
图7
例7 求解图7电路中各支路电流I1、I2、I3、I4 。 解：（1）选择参考节点，设定参考方向。选择电路中B点作为参考点，并设 定节点电压为U，其参考方向为由A至B。（这里也可选择以A点为参考点，参考 方向由B至A） （2）求节点电压U UAB= E1/R1+E2/R2+E3/R3 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4
列电压方程： 列电压方程： 3 对每个回路有
ΣE = Σ U
4 解联立方程组
根据未知数的正负决定电流的实际方向。 根据未知数的正负决定电流的实际方向。
例4
I2 Hale Waihona Puke 1 I6 R6 I3 I4 I5 R3
利用支路电流法求解： 利用支路电流法求解： （1）列节点电流方程（3个）
I 2 = I5 + I3 I 4 + I6 = I5
（3）解方程求回路电流 ）
将数据代入上式可求得回路电流IA、IB、IC
（4）求各支路电流。 ）求各支路电流。
方程验证。 （5）进行验算。验算时，选外围回路列 ）进行验算。验算时，选外围回路列KVL方程验证。若 方程验证 代入数据，回路电压之和为0，则说明以上数据正确。 代入数据，回路电压之和为 ，则说明以上数据正确。
支路电流法 网孔电流法 节点电压法
制作:浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院
一、 支路电流法
未知数：各支路电流。 未知数：各支路电流。 理论依据：根据基氏定律， 理论依据：根据基氏定律，列节点电流和回路电压方 然后联立求解。 程，然后联立求解。 利用支路电流法解题的步骤： （1）任意标定各支路的电流的参考方向和网孔回路绕行方向。 （2）用基尔霍夫定律列出节电电流方程。有n个节点，就可以 列出n-1个独立电流方程。 （3）用基尔霍夫电压定律列出l=b-（n-1）个网孔回路方程。 说明：l指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。 （4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。