【帮帮群】四川高考数学模拟试题理科
四川省高考数学模拟试卷(理科)(1月份)
四川省高考数学模拟试卷（理科）（1月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (共12题；共24分)1. （2分）设全集为R，集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·吉林模拟) 若复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高三上·包头期末) 已知函数f（x）= ，若对x∈R都有|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，0]B . [﹣2，0]C . [﹣2，1]D . （﹣∞，1]4. （2分）某电台现录制好10首曲目，其中美声唱法2首，民族唱法4首，通俗唱法4首.拟分两期播出，每期播放其中5首，要求三种唱法每期都有，通俗唱法曲目不得相邻，且第一期的最后一首曲目必须是美声唱法. 则不同的编排方法种数为（）A . 40320B . 80640C . 35712D . 714245. （2分） (2020高三上·合肥月考) 设数列的前项和为，若，则（）A . 81B . 121C . 243D . 3646. （2分） (2018高二上·宁夏期末) 双曲线的焦距为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·河北模拟) 执行上面的程序框图，若输出的值为-2，则①中应填（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·杭州期中) 设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A .B .C .D . 49. （2分）有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为正视图侧视图俯视图A .B .C .D .10. （2分）设M={平面内的点（a,b)}，给出M到N的映射f:(a,b)f(x)=acos2x+bsin2x，则点的象f(x)的最小正周期为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高三上·赣州期末) 若双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则该双曲线C的离心率为（）A .B . 2C .D .12. （2分） (2015高二下·吕梁期中) 下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A . p2 ， p3B . p1 ， p2C . p2 ， p4D . p3 ， p4二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2020·威海模拟) 已知，为单位向量，，且，则________．14. （2分） (2017高三上·嘉兴期末) 在的展开式中，含项的二项式系数为________；系数为________．（均用数字作答）15. （1分）给出下列四个命题：①三点确定一个平面；②三条两两相交的直线确定一个平面；③在空间上，与不共面四点A，B，C，D距离相等的平面恰有7个；④两个相交平面把空间分成四个区域．其中真命题的序号是________ （写出所有真命题的序号）．16. （1分） (2020高一上·兖州期中) 已知，且，则的最小值为________.三、解答题： (共7题；共75分)17. （10分） (2017高二上·景德镇期末) 已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足 =，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0， ]上单调递增，在区间[ ，π]上单调递减．（1）证明：b+c=2a；（2）若f（）=cos A，试判断△ABC的形状．18. （10分） (2019高三上·江西月考) 直角梯形ABCD如图（1）所示，其中，，过点B作，垂足为M，得到面积为4的正方形ABMD，现沿BM进行翻折，得到如图（2）所示的四棱柱C-ABMD．（1）求证：平面平面CDM；（2）若，平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为，求CM的长．19. （10分） (2019高二下·阜平月考) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.20. （10分） (2019高二上·哈尔滨月考) 在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中，如图所示．（1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；（2）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程．21. （15分） (2018高二下·沈阳期中) 已知函数，其中．（1）若在区间上为增函数，求的取值范围；（2）当时，证明：；（3）当时，试判断方程是否有实数解，并说明理由．22. （10分） (2019高一下·黑龙江月考) 在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线与圆交于点，求线段的长.23. （10分） (2016高二下·五指山期末) 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞﹣1，且当x∈（﹣，）时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．参考答案一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题： (共7题；共75分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：第21 页共21 页。
2022届四川省资阳市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2022年四川省资阳市高考模拟试卷数学（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合，集合，那么A ={x|0<x <2}B ={x|―1≤x ≤1}A ∪B =( )A. B. {x|0<x ≤1}{x|―1≤x <2}C. D. {x|―1≤x <0}{x|―1≤x <2}2.若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，，则复数为{a n }n S n 112limn→∞S n =a (n ∈N ∗)z =1a +i (i 虚数单位在复平面上对应的点位于)( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.，，则，，的大小关系为a =212b =313c =515a b c ( )A. B. C. D. a <b <cb <a <c c <a <b b <c <a4.若实数，满足不等式组，目标函数的最大值为，则实数的值是x y {x ―2≤0y ―1≤0x +2y ―a ≥0t =x ―2y 4a ( )A. B. C. D. 201―25.已知是平面，，是直线，则下列命题正确的是αm n ( )A. 若，，则B. 若，，则m//n m//αn//αm ⊥αn//αm ⊥nC. 若，，则D. 若，，则m ⊥αm ⊥n n ⊥αm//αn//αm//n6.椭圆的焦点坐标是34x 2+9y 2=306( )A. 、B. 、(―5,0)(5,0)(―4,0)(4,0)C. 、D. 、(0,―5)(0,5)(0,―4)(0,4)7.若存在正数使成立，则的取值范围是x 2x (x ―a)<1a ( )A. B. C. D. (―∞,+∞)(―2,+∞)(0,+∞)(―1,+∞)8.反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是( )A. 种B. 种C. 种D. 种36084060016809.设，为梯形的两个内角，且满足：，则αβABCD cosα=―7210,tan (β―α)=122β―α=( )A. B.C. D. π43π4―π4―3π410.甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销某厂家的同一种产品，该厂家为了考察两人的销售业绩，随机选了天，统计两店每天的销售量，得到如10图所示的茎叶图，由图中数据可知( )A. 甲网店的销售量的极差大于乙网店的销售量的极差B. 甲网店的销售量的中位数是46C. 乙网店的销售量的众数是42D. 甲网店的销售业绩比乙网店的销售业绩好11.下列四个命题中，真命题的个数为( )如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；(1)两条直线可以确定一个平面；(2)若，，，则；(3)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．(4)A. B. C. D. 123412.已知函数，且关于的方程，恰有三个互不相同f(x)={|log 2(x +1)|,―1<x <0―x 2+4x,x ≥0x f(x)―m =0(m ∈R)的实数根，，，则的取值范围是x 1x 2x 3x 1x 2x 3( )A. B. C. D. (―4,0)(―154,0)[―154,0)[―4,0)二、单空题（本大题共4小题，共12分）13.在展开式中，项的系数为______ ．(2―x)(1+x )5x 214.如图，在中，是的中点，在边上，，，与的交点为若△ABC D BC E AB AC =2BE =2EA AD CE O.AO ⋅BC，则的长为______．=―2AB15.抛物线的焦点到准线的距离为______．x 2=―8y 16.已知一个扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是______．6cm 2cm 2三、解答题（本大题共7小题，共78分）17.已知数列，满足，，．{a n }{b n }a 1=1b 1=122a n +1=a n +12b n ,2b n +1=12a n +b n 证明：数列，为等比数列；(1){a n +b n }{a n ―b n }记为数列的前项和，证明：．(2)S n {a n }n S n <10318.第届世界军人运动会将于年月日至日在湖北武汉举行，赛期天，共设置射击、游泳、7201910182710田径、篮球等个大项，个小项．届时，将有来自多个国家的近万名现役军人同台竞技．为迎27329100接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取名幸运参与者，200他们得分满分分数据，统计结果如下：(100)组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数5304050452010Ⅰ若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这人得分的平均值()μσ200和标准差同一组数据用该区间中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算()μσ(μ,σ)P ．(51<X <93)Ⅱ在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励()(1)方案：得分低于的可以获得次抽奖机会，得分不低于的可获得次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中μ1μ2价值为元 的纪念品的概为；抽中价值为元的纪念品的概率为现有市民张先生参加了此次问15A 2330B 13.卷调查并成为幸运参与者，记为他参加活动获得纪念品的总价值，求的分布列和数学期望，并估算Y Y 此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；P (μ―δ<X ≤μ+δ)≈0.6827P (μ―2δ<X ≤μ+2δ)≈0.9545P (μ―3δ<X ≤μ+3δ)．≈0.997319.如图，在三棱柱中，，平面，，ABC ―A 1B 1C 1AB ⊥AC A 1B ⊥ABC AB =AC =1．A A 1=2证明：平面平面；(1)A A 1B ⊥A A 1C 1C 求三棱锥的体积．(2)B 1―A 1B C 120.设不过坐标原点的直线与二次函数相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点．y =kx +b y =12x 2A B AB 求的值；(1)b 当以为直径的圆的面积最小时，求直线的方程．(2)AB ABf(x)=e x sinx21.设函数．()f(x)Ⅰ求函数单调递增区间；()x∈[0,π]f(x)Ⅱ当时，求函数的最大值和最小值．Cρ={2,0≤θ<π2,3sin(θ―π6),π2≤θ≤π22.已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为．(1)C求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；(2)Cρsinθ=1A B|AB|设曲线与曲线交于，，求．f(x)f(1)=0f(3)=―223.已知一次函数，满足，，(1)f(x)求函数解析式，作出函数的图象；(2)f(x)x∈[―1,2)求函数在的值域．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合，集合，A ={x|0<x <2}B ={x|―1≤x ≤1}所以．A ∪B ={x|―1≤x <2}故选：．B 由并集的运算直接求解即可．本题主要考查并集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由题意，，即．11―12=a a =2，∴z =1a +i =12+i =2―i (2+i)(2―i)=25―15i 复数在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限．∴z =1a +i (25,―15)故选：．D 由无穷递缩等比数列所有项和公式求得，再由复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案．a z 本题考查无穷递缩等比数列所有项和公式的应用，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查实数比较大小的方法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于基础题．由题意利用所给的数的特征结合其方幂比较其大小即可．【解答】解：，，，很明显，、、都是正实数，∵a =212b =313c =515a b c ，，．∵b 6―a 6=9―8=1>0∴b 6>a 6∴b >a ，，．∵a 10―c 10=32―25>0a 10>c 10∴a >c综上可得：，b >a >c 故选：．C 4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，属于中档题．画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数的最大值为，确定约束条件中的值即可．z =x ―2y 2a 【解答】解：画出约束条件表示的可行域，由是最优解，{x =2x ―2y =4⇒A(2,―1)直线过点，x +2y ―a =0A(2,―1)所以，a =0故选：．B 5.【答案】B【解析】解：若，，则或，故A 错误；m//n m//αn//αn ⊂α若，，则由直线与平面垂直的性质得，故B 正确；m ⊥αn//αm ⊥n 若，，则与平行或，故C 错误；m ⊥αm ⊥n n αn ⊂α若，，则与相交、平行或异面，故D 错误．m//αn//αm n 故选：．B 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．6.【答案】C【解析】解：椭圆的方程化为标准形式为：，34x 2+9y 2=306x 29+y 234=1，，∴a 2=34b 2=9，又该椭圆焦点在轴，∴c 2=a 2―b 2=25y 焦点坐标为：，．∴(0,―5)(0,5)故选：．C 将椭圆的方程化为标准形式即可求得答案．34x 2+9y 2=306本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程化为标准形式是关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题重点考查学生对于函数模型的理解，属于中档题．【解答】法一：不等式可变形为在同一平面直角坐标系内作出直线与2x (x ―a)<1x ―a < x .y =x ―a y = x的图像．由题意，在上，直线有一部分在曲线的下方．(0,+∞)观察可知，有，所以，―a <1a >―1故答案选D 项．法二：不等式可变形为．2x (x ―a)<1a >x ― x记，易知当增大时，与的函数值都增大，故为增函数，g(x)=x ― x (x >0)x y =x y =― x g(x)又因为，所以由题意可知．g(0)=―1g(x)∈(―1,+∞).a >―1故答案选D 项．8.【答案】B【解析】解：在次不同点数是停止且在第次停止，所以前次抛掷有种数字，第次才出现第种数字．354253由于在前投中有任意个不同的数出现故为，所以最后投是在剩余个数中任选个数，有42C 26=15141C 14=4在任取的前个数中，假设为和，有以下几种情况2X Y ，其可能性为种①X Y Y Y 4，其可能性为种②X X Y Y 6，其可能性为种③X X X Y 4所以最后全部的可能性有 15×4(4+6+4)=840故选：．B 在次不同点数是停止且在第次停止，所以前次抛掷有种数字，第次才出现第种数字．由于在前投中3542534有任意个不同的数出现故为，所以最后投是在剩余个数中任选个数有，列举出四个位置的数字的2C 26141C 14情况，根据分步计数原理得到结果．本题考查排列组合的实际应用，解题的关键是分析好第五次正好停止所包含的事件，列举出前四种结果的不同的情况．9.【答案】D【解析】解：，为梯形的两个内角，则，，∵αβABCD 0<α<π0<β<π又，∵cosα=―7210，∴sinα=1―cos 2α=1―(7210)2=210，∴tanα=―17，∵tanα=―17>―33=tan 5π6，∴5π6<α<π，解得，tan (β―α)=tanβ―tanα1+tan αtan β=tanβ+171―17tanβ=12tanβ=13，tan2β=2tanβ1―tan 2β=231―19=34，∴tan (2β―α)=43―171+43×17=1，∵tanβ=13<33=tan π6，，∴0<β<π60<2β<π3，∴―π<2β―α<―π2．∴2β―α=―3π4故选：．D 因为，为梯形的两个内角，则，，然后利用已知角的三角函数值以及不等式性αβABCD 0<α<π0<β<π质化简求出所求角的范围，再利用正切的倍角公式以及正切的和差角公式化简即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数以及正切的倍角公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查茎叶图及众数平均数的计算，同时考查极差，逐一判断即可．【解答】解： 对于，甲网店的销售量的极差，为乙网店的销售量的极差为，所以甲网店的A 58―6=5258―5=53销售量的极差小于乙网店的销售量的极差，故错误．对于，甲网店的销售量的中位数是，故错误B 43+452=44;对于， 乙网店的销售量的众数是，故错误C 13;对于，从茎叶图知甲网店的销售量比较集中于，而乙网店的销售量比较分散，所以甲网店的销售业D [40,60]绩比乙网店的销售业绩好故正确．.故选D ．11.【答案】B【解析】【解析】略12.【答案】B【解析】解：依题意得关于的方程，恰有三个互不相同的实数根，，，则x f(x)―m =0(m ∈R)x 1x 2x 3，，，∵x ≥0f(x)=―x 2+4x =―(x ―2)2+4∴0<m <4当时，由，，，m =4log 2(x 0+1)=―4∴x 0=―1516∴x 1∈(―1516,0)又，关于对称，则，，x 2x 3x =2x 2+x 3=4x 2x 3=x 2(4―x 2)=―(x 2―2)2+4，∴0<x 2x 3<4．∴―154<x 1x 2x 3<0故选B ．先确定，当时，确定的范围，利用，关于对称，结合配方法，可得，0<m <4m =4x 1x 2x 3x =20<x 2x 3<4从而可求的取值范围．x 1x 2x 3本题考查分段函数的运用，考查方程根，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.【答案】15【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题先求得展开式的通项公式，可得展开式中，项的系数．(1+x )5(2―x)(1+x )5x 2【解答】解：展开式的通项公式为，，，，，，，∵(1+x )5T r +1=C r 5⋅x rr =012345展开式中，项的系数为，∴(2―x)(1+x )5x 22C 25―C 15=15故答案为．1514.【答案】23【解析】解：是的中点，，∵D BC BE =2EA，∴BE 2BD，，三点共线，设，且三点，，共线，∵E O C BO =λBE +(1―λ)BC =+2(1―λ)BD A O D ，解得，∴2λ3+2(1―λ)=1λ=34∴BO，∴AO =AB +BO =AB ++14(AB +AC )，∴AO ⋅BC =14(AB +AC )⋅(AC ―AB )=14(AC 2―AB 2)=14(4―AB 2)=―2，．∴AB 2=12|AB |=23故答案为：．23根据条件可得出，可设，根据三点，，BE ==2BD BO =λBE +(1―λ)BC =+2(1―λ)BD A O D共线即可得出，从而可得出，进而得出，进行λ=14BO AO ⋅BC =14(AB +AC )⋅(AC ―AB )=―2数量积的运算即可求出的长．AB 本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，三点，，共线，且时，可得出A B C OB =λOA +μOC ，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．λ+μ=115.【答案】4【解析】解：抛物线的焦点到准线的距离为：．x 2=―8y p =4故答案为：．4直接利用抛物线方程，求解的值即可．p 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．16.【答案】或41【解析】【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=求出扇形圆心角的弧度数．lr本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基础题型．【解答】解：设扇形的弧长为：，半径为，所以，l r 2r +l =6因为，S 扇形=12lr =2所以解得：，或者，r =1l =4r =2l =2所以扇形的圆心角的弧度数是：；故答案为：或．4117.【答案】解：数列，满足，，．(1){a n }{b n }a 1=1b 1=122a n +1=a n +12b n ,2b n +1=12a n +b n 所以整理得两式相加，即常数，数列{2a n +1=a n +12b n 2b n +1=12a n+b na n +1+b n +1=34(a n +b n )a n +1+b n +1a n +b n=34(){a n +b n }为等比数列；同理两式相减，即常数故数列为等比数列．a n +1―b n +1=14(a n ―b n )a n +1―b n +1a n ―b n=14(){a n ―b n }证明：由得：，，整理得，(2)(1)a n +b n =32(34)n ―1a n ―b n =12(14)n ―1a n =(34)n +(14)n 所以S n =34(1―3n 4n )1―34+14(1―14n )1―14<341―34+141―14=103【解析】直接利用数列的定义求出数列为等比数列．(1)利用等比数列的前项和公式及放缩法求出结果．(2)n 本题考查的知识要点：数列的定义及应用，通项公式的求法及应用，等比数列的前项和的求法及应用，放n 缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】解：由已知频数表得到(1)E(X)=35×5200+45×30200+55×40200+65×50200+75×45200+85×20200；+95×10200=65D(X)=(35―65)2×0.025+(45―65)2×0.15+(55―65)2×0.2+(65―65)2×0.25+(75―65)2．×0.225+(85―65)2×0.1+(95―65)2×0.05=210由，则，196<σ2<22514<σ<15而，14.52=210.5>210所以，σ≈14则服从正态分布．X N(65,14)所以P(51<X <93)=P (μ―σ<X <μ+2σ)=P (μ―2σ<X <μ+2σ)+P (μ―σ<X <μ+σ)2．=0.9545+0.68272=0.8186显然，，(2)P(X <μ)=P(X ≥μ)=0.5所以所有的取值为，，，，Y 15304560所以的分布列为P(Y =15)=12×23=13;P(Y =30)=12×13+12×23×23=718;P(Y =45)=12×23×13+12×13×23=29;P(Y =60)=12×13×13=118;Y Y 15304560P1371829118所以．E(Y)=15×13+30×718+45×29+60×118=30总费用为．200×30=6000【解析】本题考查概率与统计的相关知识，考查期望、方差以及正态分布的知识预计处理数据的能力；根据频数表计算平均数和方差；得到正态分布的；(1)μ,σ明确的取值，分别计算概率，列出分布列，根据期望公式计算期望．(2)Y 19.【答案】证明：如图，平面，平面，(1)∵A 1B ⊥ABC AC ⊂ABC ．∴A 1B ⊥AC 又，且，∵AB ⊥AC AB ∩A 1B =B 平面．∴AC ⊥A 1AB 又平面，∵AC ⊂A 1AC C 1平面平面；∴A A 1B ⊥A A 1C 1C 解：平面，平面，(2)∵A 1B ⊥ABC ∴A 1B ⊥A 1B 1C 1又，，，，AB ⊥AC AB =AC =1A A 1=2∴A 1B =AA 21―AB 2=3则．V B 1―A 1BC 1=V B ―A 1B 1C 1=13S △A 1B 1C 1 ⋅ A 1B =13×12×1×1×3=36【解析】由平面，得，结合，利用直线与平面垂直的判定可得平面(1)A 1B ⊥ABC A 1B ⊥AC AB ⊥AC AC ⊥A 1，进一步得到平面平面；AB A A 1B ⊥A A 1C 1C 由已知求得，再由等体积法求三棱锥的体积．(2)A 1B B 1―A 1B C 1本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：联立，消去得：．(1){y =kx +by =12x 2y x 2―2kx ―2b =0设，，A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)由韦达定理得，．x 1+x 2=2k x 1x 2=―2b 由已知以为直径的圆过坐标原点，知，得．AB OA ⋅OB =0x 1x 2+y 1y 2=0由于，两点在直线上，A B y =kx +b ∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+b)(kx 1+b)=(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2=―2b(1+k 2)+2k 2b +b 2=．b 2―2b =0解得：或，b =0b =2当时，直线过坐标原点，不符合条件，舍去．b =0AB 故；b =2，的中点为，(2)∵y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2b =2k 2+4∴AB M (k,k 2+2)则以为直径的圆的半径，AB r =|MO|=k 2+(k 2+2)2=k 4+5k 2+4当且仅当时取得最小值．k =0r 2此时，直线的方程为．AB y =2【解析】联立直线方程与抛物线方程，消去得关于的一元二次方程，设，，利用根与(1)y x A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)系数的关系及数量积为列式求得的值；0b 利用根与系数的关系及中点坐标公式求得的中点的坐标，进一步求出以为直径的圆的半径，结合(2)AB M AB 二次函数求最值，得到的值，可得直线的方程．k AB 本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：，(1)∵f(x)=e x sinx ∴f′(x)=e x (sinx +cosx)=2e x sin (x +π4).由，得：，f′(x)≥0sin (x +π4)≥0，即．∴2kπ≤x +π4≤2kπ+π2kπ―π4≤x ≤2kπ+3π4的单调增区间为：∴f(x)[2kπ―π4,2kπ+3π4].，(2)∵x ∈[0,π]由知，是单调增区间，是单调减区间，(1)x ∈[0,3π4]x ∈[3π4,π]又，f(0)=0,f(π)=0,f(34π)=22e 34π所以，．f max =f(3π4)=22e 3π4f min =f(0)=f(π)=0【解析】求出原函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，根据各段内导函数的符号得原函数的单(1)调区间；由导数求出函数在内的极值，比较端点处的函数值后得函数的最大值和最小值．(2)f(x)=e x sinx (0,π)f(x)本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上[a,b]的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数，比较而得到的．(a,b)f(a)f(b)22.【答案】解：曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为的圆周及一个两直角边分别为与(1)C 214223的直角三角形，所以．S =π+23曲线与曲线交于，，(2)C ρsinθ=1A B 所以，得到转换为直角坐标为{ρ=2ρsinθ=1A(2,π6)A(3,1).极坐标方程转换为直角坐标方程为，ρsinθ=1y =1极坐标方程转换为直角坐标方程为，ρ=3sin (θ―π6)x ―3y +23=0所以，B(―3,1)所以．|AB|=23【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(1)利用极径的应用和两点间的距离公式的应用求出结果．(2)本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：设，(1)f(x)=ax +b 由，，f(1)=0f(3)=―2得：，解得：{a +b =03a +b =―2{a =―1b =1,，∴f(x)=―x +1如图示：；由得：在递减，(2)(1)f(x)[―1,2)，，∴f(x )max =f(―1)=2f(x )min >f(2)=―1函数在的值域是．∴f(x)x ∈[―1,2)(―1,2]【解析】本题考查了求函数的解析式问题，考查了函数的图象，值域问题，是一道基础题．设出函数的表达式，得方程组，解出，的值即可；(1)a b 根据函数的单调性求出函数的值域．(2)。
四川省成都2024届高三下学期高考模拟数学(理科)模拟试题(含答案)
6．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则22(0)y px p =>M 22（ ）p =A ．2B ．2或4C ．1或2D ．17．设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题:R p m ∃∈()()2431m m f x m x -+=-()0,∞+，则下列命题为真的是（ ）()2:2,,2x q x x ∀∈+∞>A ．B ．C ．D ．()p q ∧⌝()p q⌝∧p q∧()p q⌝∨8．已知数列满足且，则（ ）{}n a 1122n n n a a a ++-=⋅，13a =2023a =A ．3B ．C ．-2D ．12439．设函数为偶函数，且当时，，则不等式的()f x 0x ≥()cos xf x e x =-(21)(2)0f x f x --->解集为（ ）A ．B ．(1,1)-(,3)-∞-C ．D ．(3,)-+∞(1,)(,1)+∞⋃-∞-10．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不1π()sin (0)26f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭14变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为()g x ()g x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ω（ ）A ．B ．C ．D ．511,22⎛⎤⎥⎝⎦5,42⎛⎤ ⎥⎝⎦114,2⎛⎤ ⎥⎝⎦11,72⎛⎤ ⎥⎝⎦11．设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与1F 2F C ()222210,0x y a b a b -=>>12F F 直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）0bx ay -=A 2tan 2AF O ∠=CA ．53C ．312．如图，已知在长方体111ABCD A B C -个动点，平面与棱交于，则下列说法正确的是（1BED 1AA F （1）三棱锥11B BED -（2）直线与平面1B E BB （3）存在唯一的点，使得E （4）存在唯一的点，使截面四边形E A ．（1）（2）（3）(1)若将被污损的数字视为均人数的概率；(2)若方程有两个不同的实根，证明.()()331f xg x x a =++-12,x x 12e ax x >（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（为参数），直线l 1C 23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同23x ty t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．2C 2cos 22ρθ=(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；1C 2C (2)已知点P 的极坐标为，直线l 与曲线相交于E ，F 两点，直线l 与曲线相交于()2,2π1C 2C A ，B 两点，且，求实数m 的值．11m EF PA PB+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数，．()21f x x a x =+--R a ∈(1)当时，求不等式的解集；2a =()0f x ≤(2)当时，函数的最小值为，若，，均为正数，且，求1a =-()f x m a b c 2224a b c m ++=的最大值．2a b c ++1．A【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合.A B ⋂【详解】因为，{}{}240{22},2,1,0,1,2B x x x x A =-<=-<<=--所以.{}1,0,1A B =- 故选：A 2．B【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解.1i z =-【详解】由复数，可得，()2i 3iz +=-()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z ----====-++-所以复数的虚部是．z 1-故选：B ．3．D【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.【详解】因为，，且，所以，(1,)a m = (2,4)a =- a b ∥ 14(2)0m ⨯--⨯=解得，所以D 正确.2m =-故选：D.4．C【分析】由题可得或，即求.2130mm ⎧-=⎨≤⎩1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩【详解】∵函数，，()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩()3f m =∴或，2130mm ⎧-=⎨≤⎩1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩解得.9m =故选：C.5．C【分析】根据落到不规则图形和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比Ω值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．【详解】解：∵由题意知在正方形中随机投掷个点，则个点中有个点落入中，n n m Ω∴不规则图形的面积：正方形的面积，Ω:m n =∴不规则图形的面积正方形的面积Ωmn =⨯．22m ma a n n =⨯=故选：C ．6．B由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果.2232M My p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，22(0)y px p =>M 22所以，即，代入抛物线方程可得，2232M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2232M My px ⎧=⎪⎨=-⎪⎩8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭整理得，解得或.2680p p -+=2p =4p =故选：B.7．A【分析】根据特称命题与全称命题判断命题的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真,p q 假得结论.【详解】对于命题，当时，函数，是幂函数，且在上单调递减，故p 2m =()1f x x -=()0,∞+命题为真命题；p 对于命题，当时，，不满足，故命题为假命题．q 3x =3223<()22,,2x x x ∞∀∈+>q 所以“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题，“”为假命题．()p q ∧⌝()p q ⌝∧p q ∧()p q⌝∨故选：A ．8．B【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求122n na a +=-得答案.【详解】由题意数列满足，则，{}n a 1122n n n a a a ++-=⋅122n na a +=-故由，得，13a =23452222,,1142,342322232232a a a a ====-+-=-===-由此可知数列的周期为4，{}n a 故，202345053312a a a ⨯+===故选：B 9．D利用导数判断函数在的单调性，然后根据奇偶性判断在的单调性，再利用[)0,∞+()f x (],0-∞单调性与奇偶性结合求解不等式.【详解】当时，，所以，因为，所以，即0x ≥()cos xf x e x =-()sin x f x e x '=+0x ≥1x e ≥，所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所()1sin 0f x x '≥+≥()f x [)0,∞+()f x R 以函数在上单调递减，在上单调递增，则不等式，()f x (],0-∞[)0,∞+(21)(2)0f x f x --->等价于，所以或.212x x ->-1x <-1x >故选：D.对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，f ()f x 则．()()()f x f x f x -==10．C【分析】先根据题意得出函数，当时，π()sin 26g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π03x <<，要使在上有且仅有3个极值点，需满足ππ2ππ26636x ωω-<-<-()g x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭，解不等式即可.5π2ππ7π2362ω<-≤【详解】由题可知，，当时，．π()sin 26g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π03x <<ππ2ππ26636x ωω-<-<-因为在上有且仅有3个极值点，所以，解得，()g x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭5π2ππ7π2362ω<-≤1142ω<≤所以的取值范围为：．ω114,2⎛⎤⎥⎝⎦故选：C.11．A【分析】首先推得为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式和2AOF △二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值．【详解】由题意可得，2||||AO OF c ==即有为等腰三角形，2AOF △设，22OAF AF O α∠=∠=则，22AOF πα∠=-所以()222tan tan tan 2tan 2tan 1AOF απααα∠=-=-=-2224213⨯==-即为，43b a =所以，221651193c b e a a ==+=+=故选：A关键点点睛：由题意得出为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于的2AOF △,a b 方程，是求出离心率的关键，属于中档题.12．D【分析】对（1），根据三棱锥等体积转换可得求解判断；对（2），点到平1111B BED E BB D V V --=E 面的距离等于点到平面的距离，当最小时即当点与点重合时，此时11BB D D C 11BB D D 1B E E 1C 直线与平面所成角正弦值的最大，求解判断；对（3），若（3）正确，可知点与1B E 11BB D D E 点重合，已找出矛盾；对（4），四边形为平行四边形，周长取得最小值即1C 1BED F 最小时，将平面与将平面放在同一平面内，求得结果.1BE ED +11BCC B 11DCC D 【详解】对于（1），如图过点作垂线，垂足为，易知，C BD M 125MC =在长方体中，平面，平面，所以，又，1BB ⊥ABCD CM ⊂ABCD 1BB CM ⊥CM BD ⊥，平面，所以平面，1BD BB B ⋂=1,BD BB ⊂11BDD B MC ⊥11BDD BCC 以平面，1//CC 11BDD B 所以点到平面平面的距离等于点E 11BDD B 三棱锥的体积为11B BED -11B BED V V -=故（1）错误；对于（2），平面，所以点1//CC 11BB D D所成角正弦值的最大，判断求解，对（3）利用反证法判断，对（4）四边形的11BB D D 1BED F 周长最小即最小时，将平面与将平面放在同一平面内，求解即可.1BE ED +11BCC B 11DCC D 13．##0.2514【分析】利用诱导公式和倍角公式求解.【详解】．()11cos 75cos 9015cos15sin15sin 3024cos15cos15=-===故1414．270【分析】根据展开式的二项式系数之和为，求得，然后利用通项公式求解.232n=5n =【详解】由展开式的二项式系数之和为，解得，13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭232n =5n =所以展开式的通项公式为，513x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()355521551C 313C rr r r rr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-⋅=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭令，解得，3522r -=2r =所以含项的系数为.2x 3253C 270⨯=故270.15．()(),11,-∞-⋃+∞【分析】求导，根据题意知方程有两个不等的实根，可得出，从而得解.()0f x '=0∆>【详解】因为，可得，()32113f x x ax x =-++()221f x x ax '=-+因为函数存在极值点，所以有两不等实根，()f x ()0f x '=则，解得或，2440a ∆=->1a <-1a >所以的取值范围是.a ()(),11,-∞-⋃+∞故答案为.()(),11,-∞-⋃+∞16．2025【分析】由变形为，得到数列是等比数列，从2145n n n a a a +++=()2114n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a+-而得到，再利用累加法得到，从而，再利用裂项相消法求14nn n a a +-=1n a +[]21log 2n n b a n +==解.【详解】解：由得，又，2145n n n a a a +++=()2114n n n n a a a a +++-=-21514a a -=-=所以数列是以4为首项和公比的等比数列，故，{}1n n a a +-14nn n a a +-=由累加法得()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 11414441,3n n n +--=++++= 所以，[]121241log log 3n n n b a ++⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦，()111222241log log 41log 3log 41213n n n n +++-=--<-=+ 又，()122241441log log log 42,233nn n nn b n +-->==∴=令，()1181088108810811,20272221n n n n n n c c b b b b n n n n ++⎛⎫====- ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭，12111111202712231n n n S c c c c n n -⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪+⎝⎭ ，1202711n S n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭代入得.2025n =[]202512027120252026S ⎡⎤⎛⎫=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故202517．(1)35(2)；4.25小时0.03 2.45y x =+【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出的范围，然后求解概率．x （2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可．【详解】（1）设污损的数字为，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得x 7879828180737778868055x+++++++++>即6,x ⇒<0,1,2,3,4,5x =；63105P ∴==（2），，1(20304050)354x =+++=1(3 3.5 3.54) 3.54y =+++=，∴4490xy =又，，4120330 3.540 3.5504505i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221203040505400ii x==+++=∑，∴2505490ˆ0.035400435b-==-⨯，∴ˆ 3.50.0335 2.45a=-⨯=，∴ˆ0.03 2.45yx =+时，．60x ∴=ˆ 4.25y=答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时．18．(1)条件选择见解析，3A π=(2)42【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得即可求解；1cos sin 3A A =（2）由面积得，结合余弦定理和基本不等式求最值.64bc =【详解】（1）若选择①：，()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+由正弦定理可得，()2sin sin cos sin sin sin sin C B A B A B B C=+=因，,故，，(0,π)C ∈(0,π)B ∈sin 0C ≠sin 0B ≠则有，因,故.1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =若选择②：，222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++则，222sin sin sin sin()sin()sin sin B C A A B A C C B +-=++=由正弦定理可得，222b c a bc +-=故，2221cos 22b c a A bc +-==因,故.(0,π)A ∈π3A =若选择③ ；sin sin sin 2sin csin 3b B c C a A AB +-=由正弦定理可得，，2221sin 23b c a Abc +-=再由余弦定理得，，即，1cos sin 3A A =tan 3A =，．(0,π)A ∈ π3A ∴=（2），又，1sin 1632ABC S cb A == π,643A bc =∴=在三角形BCD 中，，2222cosABD BA AD BA AD =+-⋅⋅⋅22π2cos 223b b c c ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，2c =+22211123242422b b cb c cb cb -≥⋅-==当且仅当时取等号，422bc ==的最小值为．BD ∴4219．(1)证明见解析；(2).23333-【分析】（1）由题意可得，利用线面平行的判断定理可得结论；//OE AP （2）结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的A BE C --余弦值为.23333-【详解】（1）证明：由分别是的中点，得，,O E ,CA CP //OE AP 又平面平面，所以平面.OE ⊄,PAD AP ⊂PAD //OE PAD （2）由球的表面积公式，得球的半径，24πS R =136R =设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，1O P ABCD -PO 1O PO 连，则，1AO 11513,66O O AO ==则在，则，即,1Rt O OA △22211OO OA O A +=2OA =圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在,m k MN 时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.Q 【详解】（1）由题意可得：，解得：，2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2226,3a b c ===故椭圆方程为.22163x y +=(2)［方法一］：通性通法设点，()()1122,,,M x y N x y 若直线斜率存在时，设直线的方程为：，MN MN y kx m =+代入椭圆方程消去并整理得：，y ()222124260k x kmx m +++-=可得，，122412km x x k +=-+21222612m x x k -=+因为，所以，即，AM AN ⊥·0AM AN =()()()()121222110x x y y --+--=根据,代入整理可得：1122,kx m y kx m y =+=+，()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=所以，()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭整理化简得，()()231210k m k m +++-=因为不在直线上，所以，(2,1)A MN 210k m +-≠故，于是的方程为，23101k m k ++=≠，MN 2133y k x ⎛⎫=--⎪⎝⎭()1k ≠所以直线过定点直线过定点.21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线的斜率不存在时，可得，MN ()11,N x y -由得：，·0AM AN =()()()()111122110x x y y --+---=得，结合可得：， ()1221210x y -+-=2211163x y +=2113840x x -+=解得：或（舍）.123x =22x =此时直线过点.MN 21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭令为的中点，即，Q AP 41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭若与不重合，则由题设知是的斜边，故，D P AP Rt ADP △12223DQ AP ==若与重合，则，故存在点，使得为定值.D P 12DQ AP =41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭DQ ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得22(2)(1)163x y +++=MN 4mx ny +=MN ，即，化简得224240x x y y +++=22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，即．22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，因为则，即．()()1122,,,M x y N x y AM AN ⊥1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+3m n =--代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则MN ()340n y x x ---=MN 44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭在原坐标系下直线过定点．MN 21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭又，D 在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q ．经检验，直线垂AD MN ⊥AP AP 41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭MN 直于x 轴时也成立．故存在，使得．41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭122||||23DQ AP ==［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为，即．设直线的方程为，21163x y ⨯⨯+=30x y +-=MA 11210k x y k --+=直线的方程为，直线的方程为．由题意MB 22210k x y k --+=MN 0kx y m -+=得．121k k ×=-则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为,MA MB （其中为系数）．()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭λ用直线及点A 处的切线可表示为（其中为系数）．MN ()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=μ即．()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭对比项、x 项及y 项系数得xy ()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去并化简得，即．,λμ3210m k ++=2133m k =--故直线的方程为，直线过定点．又，D 在以MN 2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭MN 21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥为直径的圆上．中点即为圆心Q ．AP AP 41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭经检验，直线垂直于x 轴时也成立．故存在，使得．MN 41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭122||||23DQ AP ==［方法四］：设．()()1122,,,M x y N x y 若直线的斜率不存在，则．MN ()()1111,,,M x y N x y -因为，则，即．AM AN ⊥0AM AN ⋅=()1221210x y -+-=由，解得或（舍）．2211163x y +=123x =12x =所以直线的方程为．MN 23x =若直线的斜率存在，设直线的方程为，则MN MN y kx m =+．()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=令，则．2x =()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+又，令，则()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1y =．()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+因为，所以，AM AN ⊥()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=即或．21m k =-+2133m k =--当时，直线的方程为．所以直线恒过，不21m k =-+MN 21(2)1y kx k k x =-+=-+MN (2,1)A 合题意；当时，直线的方程为，所以直线恒过2133m k =--MN 21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭MN ．21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，直线恒过，所以．MN 21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭42||3AP =又因为，即，所以点D 在以线段为直径的圆上运动．AD MN ⊥AD AP ⊥AP 取线段的中点为，则．AP 41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭122||||23DQ AP ==所以存在定点Q ，使得为定值．||DQ 【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直MN 线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法；P Q AP 方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线的方程为，MN 4mx ny +=再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，,m n P 从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解；Q AP 方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出:MN y kx m =+,,A M N 的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点；,m k P Q AP 方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算．()()1222--x x ()()1211y y --21．(1)12(2)证明见解析【分析】（1）先分析的单调性，从而结合的导数得到，再进行检验即可得解；()g x ()f x a （2）将问题转化为有两个不同的实根，构造函数，22ln 10ax x x -+=12,x x ()12ln h x ax x x =-+利用导数求得的取值范围，再利用零点的定义消去转化得，a a ()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-从而构造函数，利用导数证得，从而得证.()1ln 1t t t t ω-=-+12e x x >【详解】（1）函数与的定义域均为，()f x ()g x ()0,∞+由得，()ln g x x x x a=--()ln g x x'=当时，单调递减；01x <<()()0,g x g x '<当时，单调递增，1x >()()0,g x g x '>由得，()()ln 2f x x ax x =+-()2ln 1f x ax x =+-'因为与有相同的单调区间，()f x ()g x 所以，解得，()1210f a =-='12a =当时，，12a =()()21ln 2,ln 12f x x x x x f x x x =+-=+-'因为在区间上单调递增，且0，()f x '()0,∞+()1f '=所以当时，单调递减；01x <<()()0,f x f x '<当时，单调递增，1x >()()0,f x f x '>此时与有相同的单调区间，符合题意，()f x ()g x 故.12a =（2）方程有两个不同的实根，()()331f xg x x a =++-12,x x 等价于有两个不同的实根，22ln 10ax x x -+=12,x x 等价于有两个不同的实根，12ln ax x x =-12,x x 令，则，()12ln ,0h x ax x x x =-+>()2221221ax x h x a x x x --=--='当时，单调递减，不符合题意，舍去；0a ≤()()0,h x h x '<当时，方程必有一正根，使得，即，0a >()0h x '=0x 200210ax x --=0012ax x =+且当时，单调递减；当时，单调递增，00x x <<()()0,h x h x '<0x x >()()0,h x h x '>若方程有两个不同的实根，，12ln ax x x =-()000000122ln 22ln 0h x ax x x x x =-+=+-<令，则单调递减，()11ln x xxϕ=+-()x ϕ因为，所以，()1e 0eϕ=>0011e,0e x x ><<所以，2220001212e 1111ea x x x ⎛⎫+=+=+-<< ⎪⎝⎭因为是方程的两个不同的实根，12,x x 12ln ax x x =-所以，，11112ln ax x x =-22212ln ax x x =-两式相加，得，即，()()121212122ln x x a x x x x x x ++=-()1212122ln 1x x a x x x x =-+两式相减，得，即，()221211122ln x x x a x x x x x --=+2121122ln1x x a x x x x =+-所以，整理得，()2121121221122ln 2ln 11x x x x x x x x x x x x -=++-()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-不妨设，令，120x x <<()21121,ln ln 1,111x t t t t t t x t t ω-=>=-=+->++则，所以单调递增，，()2221210(1)(1)t t t t t t ω+=-=>++'()t ω()()10t ωω>=所以，所以，221112ln x x x x x x ->+()121221212211ln ln 1x x x x xx x x x x x x ++-=>-所以，所以，()121212ln 11x x x x x x +>+>12e x x >又因为，所以.1a <12e ax x >方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．(1)，()2223x y -+=22122x y -=(2)12m =【分析】（1）由消参法可得曲线的普通方程，根据极坐标和直角坐标之间的转化公式可得1C 曲线的直角坐标方程；2C （2）求得点P 直角坐标，判断点P 位置，结合曲线方程，求得，利用直线的参数方1C EF 程中参数的几何意义求得的值，结合，即可求得答案.11PA PB+11m EF PA PB+=【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），1C 23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α则，2222(2)(3cos )(3sin )x y αα-+=+即曲线的普通方程为．1C ()2223x y -+=因为，所以，2cos 22ρθ=()22222cos sin 2,2x y ρθθ-=∴-=则曲线的直角坐标方程为．2C 22122x y -=（2）因为点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为，则点P 在直线l 上，()2,2π()2,0且点P 为曲线：的圆心，所以．1C ()2223x y -+=23EF =因为直线l 的标准参数方程为（s 为参数），32212x s y s⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将其代入曲线的直角坐标方程中，得，,2C 24340s s ++=320∆=>设A ，B 两点对应的参数分别为，，则,1s 2s 1212434s s s s ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则，，故．10t <20t <12121211113s s PA PB s s s s ++=+==又，所以．11m EF PA PB+=1323,2m m =∴=23．(1)(][),04,-∞+∞U (2)3【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，即可得到，再由柯西不等()f x 22243a b c ++=式计算可得.【详解】（1）当时，2a =()4,12213,214,2x x f x x x x x x x -+≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩所以不等式等价于或或，()0f x ≤240x x ≤-⎧⎨-≤⎩2130x x -<<⎧⎨≤⎩140x x ≥⎧⎨-+≤⎩解得或或，2x ≤-20x -<≤4x ≥综上可得不等式的解集为.()0f x ≤(][),04,∞∞-⋃+（2）当时，1a =-()()()21213f x x x x x =++-≥+--=当且仅当，即时取等号，()()210x x +-≤21x -≤≤所以，22243a b c ++=又，，均为正数，所以，a b c ()()()2222222911142a b c a b c =++++≥++所以，当且仅当，即、时取等号，23a b c ++≤21a b c ===1a b ==12c =所以的最大值为.2a b c ++3。
四川省数学高考模拟试卷(理科)(5月份)
四川省数学高考模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·南海月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·宁德期中) 已知数列1，，，9是等差数列，数列1，，，，16是等比数列，则等于A .B .C .D .4. （2分）下列命题中，真命题是（）A . ∃x0∈R，B . ∀x∈R，C . “a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充要条件D . 设，为向量，则“|•|=||||”是“∥”的充要条件5. （2分） (2019高二下·牡丹江期末) 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（）A . -4B . -7C . -22D . -326. （2分）(2020·九江模拟) 将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（）A .B .C .D .7. （2分）甲、乙两人相约在某地见面，没有安排确定的时间，但都要在晚上7点到8点之间到达，先到的人等待10分钟，若没有见到另一人则离开，那么他们能见面的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·贵阳期末) 甲乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则（）A . V甲＜V乙B . V甲=V乙C . V甲＞V乙D . V甲、V乙大小不能确定9. （2分）已知数列的通项公式，则数列的前n项和的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分） 8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二上·宁波期末) 以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；③设、为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线；④过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；以上命题正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2017高一下·景德镇期末) 函数f（x）=（kx+4）lnx﹣x（x＞1），若f（x）＞0的解集为（s，t），且（s，t）中只有一个整数，则实数k的取值范围为（）A . （﹣2，﹣）B . （﹣2，﹣ ]C . （﹣，﹣1]D . （﹣，﹣1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·浙江) 二项式的展开式的常数项是________．14. （1分）(2017·漳州模拟) 已知双曲线的离心率等于2，其两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，，则p=________．15. （1分）(2017·赣州模拟) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为________．16. （1分）(2017·菏泽模拟) 已知a≥ cosθdθ，则曲线f（x）=ax+ ln（ax﹣1）在点（2，f （2））处切线的斜率的最小值为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2018·攀枝花模拟) 已知的内角的对边分别为其面积为 ,且.（Ⅰ）求角；（II）若 ,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.18. （10分） (2016高一下·盐城期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F分别为AB，A1D，A1C的中点，点G在AA1上，且A1D⊥EG．（1）求证：CD∥平面EFG；（2）求证：A1D⊥平面EFG．19. （5分）(2020·江西模拟) 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：g）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.附：，则，，.20. （10分）(2018·重庆模拟) 如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上都不与重合的两点，记直线的斜率分别是 .（1）求证：；（2）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.21. （10分） (2019高二下·广东期中) 已知函数 .（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明: （其中为自然对数的底数）.22. （10分） (2017高二下·莆田期末) 以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23. （10分）(2019·淮南模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
四川省成都2024届高三高考模拟(六)理科数学试题含答案
2024年四川省成都高考数学模拟试卷（理科）（六）（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}||1|2,N A x x x =-<∈，1|1B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.[]1,3 B.[]0,2 C.{}0,2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据幂函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由|1|2x -<，即212x -<-<，解得13x -<<，所以{}{}{}||1|2,N |13,N 0,1,2A x x x x x x =-<∈=-<<∈=，又{}1|1|1B y y y y x ⎧⎫==+=≠⎨⎬⎩⎭，所以{}0,2A B =I .故选：C2.若复数z满足(1i)|i |z +=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.i B.1- C.1D.i-【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求出z 即可.【详解】依题意，(1i)z +=22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====-++-，所以z 的虚部是1-.故选：B3.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（）A.1- B.2- C.5- D.1【分析】根据线性约束条件得可行域，确定目标函数取最值的情况从而可得取值范围.【详解】根据约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩确定的可行域，如下图：则目标函数2z x y=-+的最值即直线2y x z=+纵截距的最值，可知在图中(1,1)A处，2z x y=-+取到最大值1-.故选：A．4.若曲线2lny x a x=-在点()1,1P处的切线与直线2y x=-垂直，则实数a的值为（）A.1B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】求导2ay xx'=-，12xy a='=-与直线2y x=-垂直，求出a的值.【详解】由2lny x a x=-，求导2ay xx'=-，则2lny x a x=-在点()1,1P处的切线的斜率为12xy a='=-，而2lny x a x=-在点()1,1P处的切线与直线2y x=-垂直,则21a-=-，故3a=.故选：D5.已知角α的终边经过点(1,3)P-，则()cosππcos cos2ααα+=⎛⎫+-⎪⎝⎭（）A.12B.12- C.14 D.14-【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有tan α的代数式，代入计算可知结果为选项B.【详解】利用诱导公式化简：()cos πcos cos πsin cos sin cos cos cos 2ααααααααα+-==--+⎛⎫+- ⎪⎝⎭已知角α的终边经过点(1,3)-，可得cos 0α≠，且tan 3α=-.分子分母同时除以cos α：cos 11sin cos tan 12αααα==-++.故选：B6.已知向量(2,2),(,3)a b x ==- ，则“a 与b的夹角为钝角”是“3x <”的（）A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要不充分条件【答案】A 【解析】【分析】由已知结合向量夹角公式及向量平行的坐标表示即可求解．【详解】由已知可得，26a b x ⋅=-，由a b∥可得，26x =-，解得3x =-，由“a 与b 的夹角为钝角”可得，260a b x ⋅=-<即3x <且3x ≠-，所以“a 与b的夹角为钝角”是“3x <”的充分不必要条件．故选：A ．7.如图，圆O 内接一个圆心角为60°的扇形ABC ，在圆O 内任取一点，则该点落在扇形ABC 内的概率为（）A.14B.4C.12D.2【答案】C 【解析】【分析】连接OA ，OC ，设圆的半径为r ，求出AC ，利用扇形面积公式求出扇形ABC 的面积，再结合几何概型求概率公式求解．【详解】连接OA ，OC，则30OAC ∠=︒，OA OC r ==，取AC 中点D ，连接OD ，则OD ⊥AC ，其中cos302AD CD r r ==︒=，所以2AC AD ==，所以扇形ABC 的面积为221π1π232AC r ⨯⨯=，又因为圆的面积为2πr ，所以在圆O 内任取一点，该点落在扇形ABC 内的概率为221ππ212rr =．故选：C8.地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y （单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数lg y 与时间x （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：lg 0.898.64y x =+，相关指数20.97R =）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）A.根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取y 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型10ax y bk =⨯ 来拟合B.根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的0.89107.76≈倍C.虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程D.根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为8.6410，可以推断地球生命可能并非诞生于地球【答案】B 【解析】【分析】利用指数式与对数式互化判断A ；利用回归方程的意义判断B ；利用相关指数的意义判断C ；求出地球在诞生之初时生物的复杂度，结合描述判断D.【详解】对于A ，由lg 0.898.64y x =+，得00.898.68.64.489101010x x y +==⨯，令8.64ˆˆ10,0.89,0b a k ===，满足10ax y bk =⨯+ ，A 正确；对于B ，观察散点图，所给5个点不全在回归直线lg 0.898.64y x =+上，回归拟合是近似的，不能说每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的0.89107.76≈倍，B 错误；对于C ，数据越多，拟合的准确性越高，因此增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程，C 正确；对于D ，当1y =时，8.649.71 4.50.89x =-≈-<-，根据回归方程可知，当0x =时，8.6410y =，即地球在诞生之初时生物的复杂度大约为8.6410，可以推断地球生命可能并非诞生于地球，D 正确.故选：B9.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222024b c a +=，则()tan tan tan tan tan A B C B C+的值为（）A.12023B.22023C.11012 D.22025【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值.【详解】由同角三角函数的关系，结合正弦定理与余弦定理可得：()()sin sin tan tan tan sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan cos sin sin cos cos A C A B C A B C B C A B C B C B C A B C B C ⎫⎪++⎝⎭==⨯()222222sin sin sin 2cos sin sin cos sin sin cos A B C A a a A B C A B C bc A b c a+====+-，又2222024b c a +=，代入可得()222tan tan tan 22tan tan 20242023A B C a B Ca a +==-.故选：B10.若函数222e ()2e e x xf x x x =-++，且,,222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.b c a >>B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】先判断函数的单调性及对称性，然后结合对称性及单调性即可比较函数值的大小．【详解】因为2222e 1()2(2)e e e ex x x xf x x x x x -=-+=--++，所以()()()()222211(2)2(22)2e ee e x xx xf x x x x x f x -----=----=--=++所以()f x 关于1x =对称，当1x >时，令2e e x x y -=+，则20e e x x y -'=->，所以2e e x x y -=+在()1,∞+上单调递增，且20e e x x y -=+>恒成立，所以21e e xx y -=+在()1,∞+上单调递减，又()()2211y x x x =--=--+在()1,∞+上单调递减，所以()f x 在()1,∞+上单调递减，又()f x 关于1x =对称，故()f x 在(),1∞-上单调递增，且222f f ⎛⎫⎛=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为()1sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 3022224+=+=+=⨯+⨯=，又626222222sin 750224⎛⎫--=-⨯=-> ⎪ ⎪⎝⎭，且)()1 1.71.41 4.08222220222222+⎛⎫+--=-=-<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，21222<-<<，所以22222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故a c b <<.故选：A.11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AC BC AA ⊥==，E 、F 、G 、H 分别为11AB BB CC AC 、、、的中点，则下列说法中错误的是（）A.E 、F 、G 、H 四点共面B.1EF GH AA 、、三线共点C.设2BC =，则平面1EFC 截该三棱柱所得截面的周长为1+D.AC 与平面EFGH 所成角为45︒【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行确定平面判断A ；利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断B ；作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C ；作CM HG ⊥于M ，利用线面垂直的判定定理证明CM ⊥平面EFGH ，进而得到∠CHM 为AC 与平面EFGH 所成的角可得D 正确.【详解】如图，A ：连接,HE GF ，因为E 、F 、G 、H 分别为AB 、1BB 、1CC 、AC 的中点，所以//HE BC ，//GF BC ，所以//GF HE ，所以E 、F 、G 、H 四点共面，故A 正确；B ：由A 知，//GF HE 且HE GF ≠，所以梯形的两腰EF 、HG 所在直线必相交于一点P '，因为P '∈平面11A ABB ，P '∈平面11A ACC ，又平面11A ABB ⋂平面111A ACC AA =，所以1P A A '∈，所以P '与P 重合，即EF 、GH 、1AA 三线共点于P ，故B 正确.C ：延长FE 交1A A 的延长线于P 点，连接1PC ，交AC 于Q 点，连接QE ，1C F ，设1,FE FC 确定平面为α，则1,P C α∈，所以1PC α⊂，所以1,C Q QE α⊂，则易知三棱柱的截面四边形为1FEQC ，在11Rt C B F 中，1C F ==，在Rt BEF △中，EF ==Rt AEH △中，1QE EH >=，而11C Q C H >==1+C 错误；D ：作CM HG ⊥于M ，因为CH CG =，所以M 为HG 中点，因为11,,,BC AC BC CC AC CC C ⊥⊥= AC ⊂平面11A ACC ，1CC ⊂平面11A ACC ，所以BC ⊥平面11A ACC ，因为CM ⊂平面11A ACC ，所以BC CM ⊥，又//HE BC ，所以CM HE ⊥，又,HG HE H HG =⊂ 平面EFGH ，HE ⊂平面EFGH ，所以CM ⊥平面EFGH ，所以∠CHM 为AC 与平面EFGH 所成的角，等于45︒，故D 正确；故选：C.C 选项的关键所在12.“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若()1,1A 成中心对称，则称(),A B ，同时把(),A B 和(),B A 视为同一对“然诺点”．已知()()2e ,12,1x x x a x ax x -⎧-<∈=⎨->⎩Z 的图象上有两对“然诺点”，则a 等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】当1x >时，()2f x ax =-，其关于点(1,1)P 对称的函数为24(1)y ax a x =-+<，问题转化为24y ax a =-+与()2e x y x -=-在(),1x ∞∈-上有两个交点，联立方程得到4e 2x a x -+=-，构造函数4(),()e 2x h x a g x x -=+=-，利用函数图象即可求出结果.【详解】当x ＞1时，()2f x ax =-关于点(1,1)P 对称的函数为24(1)y ax a x =-+<，由题知24y ax a =-+与(2)e x y x -=-在(,1)x ∞∈-上有两个交点，由24(2)e x y ax a y x -=-+⎧⎨=-⎩，消y 得到24(2)e x ax a x --+=-，又1x <，得到4e 2x a x -+=-，令4(),()e 2x h x a g x x -=+=-，则4()2h x a x =+-和()e x g x -=在(,1)-∞上有两个交点，在同一坐标系中，作出()e x g x -=和42y x =-的图象，如图所示，因为4()2h x a x =+-的图象可由42y x =-上下平移得到，由图知14e 12412a a -⎧+<⎪⎪-⎨⎪+>⎪-⎩，得到134e 5a -<<+<，又Z a ∈，所以4a =．故选：C．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题（1）先求函数()2f x ax =-关于点()1,1P 对称的函数24(1)y ax a x =-+<；（2）将问题转化为函数24(1)y ax a x =-+<与()2e xy x -=-在(),1x ∞∈-上有两个交点；（3）最后利用构造函数()()4,e 2x h x a g x x -=+=-，通过图象即可求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.抛物线C ：()220y px p =->经过点()1,2P -，则点P 到C 的焦点的距离为________．【答案】2【解析】【分析】将点P 坐标代入抛物线方程求出p ，求出F ，结合两点间距离公式计算即可求解.【详解】把()1,2P -代入22y px =-得2p =，所以C 的焦点为()1,0F -，所以2PF ==．故答案为：214.611(1)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中x 2的系数为___________．【答案】5-【解析】【分析】直接由二项展开式的通项公式即可求得答案．【详解】由题意得()()()()()()()()6123456012345666666661C +C +C +C +C C +C x x x x x x x x -=-----+--，所以()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中含2x 项为：()()()2323226611C +×C =1520=5x x x x x ⨯----,故答案为：5-．15.已知椭圆C ：22221x y a b+=（()0a b >>），1F 、2F 为椭圆的左右焦点，A 为椭圆上一点，连接1AF 并延长交椭圆于另一点B ，若212AF AF =，213BF BF =，则椭圆C 的离心率为______.【答案】217【解析】【分析】由题意212AF AF =，213BF BF =，结合椭圆定义可将这些长度以及11AB AF BF =+用同一个参数a 表示，然后分别在在2ABF △、12AF F △中，对A ∠利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解.【详解】如图所示：由题意212AF AF =，213BF BF =，122F F c =，所以不妨设21212,,3,AF t AF t BF u BF u ====，而由椭圆定义有212132,42AF AF t a BF BF u a +==+==，所以2,32a a t u ==，所以21211142327,,,,3322326a a a a a a a AF AF BF BF AB AF BF =====+=+=，在2ABF △中，由余弦定理有22224916923694cos 747263a a a BAF a a +-∠==⨯⨯，在12AF F △中，由余弦定理有222124164299cos 247233a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，交叉相乘得222140322899a c a -=，即221228a c =，所以217c e a ====.故答案为：217.【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出21211142327,,,,3322326a a a a a a a AF AF BF BF AB AF BF =====+=+=以及122F F c =，然后利用余弦定理即可顺利得解.16.已知直线:10l x ay --=与⊙22:2440C x y x y +-+-=交于,A B 两点，设弦AB 的中点为M ，则OM 取值范围为___________．【答案】1⎤-+⎦【解析】【分析】易知直线l 过定点()1,0P ，且点P 在圆C 内，结合MP 垂直于MC ，可得动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=，由此容易得出OM 的范围．【详解】将圆C 的方程为化为标准方程为()()22129x y -++=，则圆心为()1,2C -，直线:10l x ay --=，易知直线恒过定点()1,0P 又()()2211029-++<,所以点()1,0P 在圆内，如下图所示：由于MP 垂直于MC ，则点M 的轨迹为以CP 为直径的圆，所以动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=，圆()()22111x y -++=的圆心为()1,1N -，又||ON ==，11ON OM ON -≤≤+，11||OM ≤≤，即OM 的取值范围为1⎤-+⎦．故答案为：1⎤⎦．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n S a n =+-．（1）求证：数列{}2n a -为等比数列；（2）已知()23n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【小问1详解】当1n =时，1121a a =+，解得11a =-，当2n ≥时，由221n n S a n =+-，可得11223n n S a n --=+-,两式相减得1222n n n a a a -=-+，所以()1222n n a a --=-，即1222n n a a --=-，又因为123a -=-，所以{}2n a -是首项为3-，公比为2的等比数列，所以1232n n a --=-⋅，所以数列{}n a 的通项公式为1232n n a -=-⋅+；【小问2详解】由（1）知，()1223n n n n a b n --==⋅，所以数列{}n b 的前n 项和为()01211222122n n n T n n --=⨯+⨯++-+⋅ ，可得12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，两式相减得211212222221212nn nn n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=--⋅- ，所以()121nn T n =-⋅+．18.“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，SA AB ⊥，SA SC ==．（1）证明：四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；（2）已知点E 在线段AC 上，且AE EC λ= ，若二面角A SE D --的余弦值为15-，求λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）通过证明AB ⊥平面SAD ，得到SD AB ⊥，再由BC ⊥平面SCD 得到SD BC ⊥，即可证明SD ⊥平面ABCD ，从而得解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面SAE 与平面SDE 的法向量，利用二面角为3015-计算出λ.【小问1详解】四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥，SA AB ⊥，SA AD A = ，,SA AD ⊂平面SAD ，AB ∴⊥平面SAD ，SD ⊂ 平面SAD ，SD AB ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，∴BCCD ⊥，SC BC ⊥ ，⋂=CD SC C ，,CD SC ⊂平面SCD .BC ∴⊥平面SCD ，SD ⊂ 平面SCD ，SD BC ∴⊥，BC AB B ⋂= ，,BC AB ⊂平面ABCD ，SD ∴⊥平面ABCD ，∴四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；【小问2详解】由（1）得SD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，SD AD ∴⊥，SA =，3AB =，3SD ∴=，以点D 为原点，DA ，DC ，DS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(0,0,0)D ，(3,0,0)A ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，(0,0,3)S ，所以(3,3,0),(3,0,3),(0,0,3)AC SA SD =-=-=-，设(),,E x y z ，()()3,,,,3,AE E x y z x y z C ∴=-=---，AE EC λ=，[]0,1λ∈，()()3,,,3,x y z x y z λ∴-=---，即()33x x y y z z λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以31310x y z λλλ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎪⎩，33,,011E λλλ⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，33,,011DE λλλ⎛⎫⎪=++⎝⎭ ，设()111,,m x y z =r 是平面SAE 的一个法向量，则0m AC m SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴1111330330x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令11z =，则1111x y =⎧⎨=⎩，(1,1,1)m ∴=，设()222,,n x y z =r 是平面SDE 的一个法向量，则00n SD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2223033011z x y λλλ-=⎧⎪⎨+=⎪++⎩，令21y =-，则220x z λ=⎧⎨=⎩，(,1,0)n λ∴=- ，∴cos ,||||15m n m n m n ⋅〈〉==-，13λ∴=或3λ=（舍去）.19.甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）59（2）分布列见解析，()7427E x =【分析】（1）设第i 局甲胜为事件i A ，则第3局甲开球为事件1212A A A +，结合条件概率公式计算即可.（2）由X 的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望.【小问1详解】设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i = 则“第3局甲开球”为事件2A ，()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⋅+⋅=.【小问2详解】依题意1,2,3,4X =，()()1231224133327P X P A A A ===⋅⋅=，()()()()1231231232121111217233333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()()()()1231231232212111128333333333327P X P A A A P A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()()1232228433327P X P A A A ===⋅⋅=，X ∴的分布列为则()47887412342727272827E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为D 在C 上．（1）求C 的方程；（2）直线:1l x my +＝与C 的右支交于,A B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，D 点在x 轴上的投影为G .①求m 的取值范围；②求证：直线BE 过点G ．【答案】（1）2214x y -=（2）①2m <<；②证明见解析【分析】（1）由题可得2222216312a b c a b c ⎧+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎩，解方程即可得到答案；（2）①设()()1122,,,A x y B x y ，联立22144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 得()224230m y my -+-=，由于l 与C 的右支交于A ，B 两点，双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，可得()()222Δ41241630m m m =+-=->，以及11||2m >，解不等式可得m 的取值范围；②由①得12224my y m +=--，12234y y m -=-，由题可得(4,0)G ，利用向量关系可得//GB GE ，从而可得B ，G ，E 三点共线，即可证明.【小问1详解】由已知得2222216312a b c a b c ⎧+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎩，解得224,1a b ==，所以C 的方程为2214x y -=.【小问2详解】①设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,E x y -，联立22144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 得()224230m y my -+-=，则240m -≠，()()222Δ41241630m m m =+-=->，解得||m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ，B 两点，C 的渐近线方程为12y x =±，则11||2m >，即0||2m <<，所以m 的取值范围为2).②由①得12224my y m +=--，12234y y m -=-，又点D 在x 轴上的投影为(4,0)G ，所以()224,GB x y =- ，()114,GE x y =--，所以()()122144x y x y -+-()()122133my y my y =-+-()121223my y y y =-+，223223044m m m m --=⋅-⋅=--，所以//GB GE ，又GB ，GE有公共点G ，所以B ，G ，E 三点共线，所以直线BE 过点G .【点睛】关键点睛：（1）直线与双曲线一支相交于两点，可利用韦达定理、根的判别式以及直线斜率与渐近线斜率的关系进行求解；（221.已知函数()()()1xxf x e aea x a R -=--+∈（其中常数 2.71828e =⋅⋅⋅，是自然对数的底数）.（1）求函数()f x 极值点；（2）若对于任意01a <<，关于x 的不等式()()21a f x e a λ-<-⎡⎤⎣⎦在区间()1,a -+∞上存在实数解，求实数λ的取值范围.【答案】（1）见解析（2）[),e +∞【解析】【分析】（1）求导得到()()()1'xx xe e af x e --=，对a 分类讨论，求出单调区间，进而求出极值点；（2）所求问题转化为()()21min a f x e a λ-⎡⎤<-⎣⎦，由（1）得当01,()a f x <<在(ln ,0)a 单调递减，(0,)+∞单调递增，构造函数()ln 1g a a a =-+，可证的ln 10a a <-<，可求出得min 10()x a f =->，转化为任意01a <<，()21(1)a a ea λ--<-，通过证明10a ea -->，只需01a <<时，不等式()211a a eaλ-->-恒成立，构造函数()()211x x F x ex--=-，01x <<，求出()F x 的取值范围，即可得出结论.【详解】（1）易知()()()()1'1xx x x xe e af x e ae a e ---=+-+=，①当0a ≤时，x(),0-∞0()0,+∞()'f x -+()f x极小值∴函数()f x 的极小值点为0x =，无极大值点；②当01a <<时，∴函数()f x 的极大值点为ln x a =，极小值点为0x =；③当1a =时，()()21'0xxef x e-=≥，∴函数()f x 单调递增，即()f x 无极值点；④当1a >时，x(),0-∞0()0,ln a ln a()ln ,a +∞()'f x +-+()f x 极大值 极小值∴函数()f x 的极大值点为0x =，极小值点为ln x a =；综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极小值点为0x =，无极大值点；当01a <<时，函数()f x 的极大值点为ln x a =，极小值点为0x =；当1a =时，函数()f x 无极值点；当1a >时，函数()f x 的极大值点为0x =，极小值点为ln x a =.（2）以下需多次引用到如下不等式：1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，证明略.注意到当01a <<时，有ln 10a a <-<.（法一）∵当01a <<时，111a e a a ->+-=，∴ln 10a a <-<，（法二）令()ln 1g a a a =-+，则()1'1g a a =-，当01a <<时，()'0g a >，∴()()10g a g <=，即1ln a a ->，显然10a -<，∴ln 10a a <-<，∴由（1）可知当01a <<时，()f x 在区间()1,0a -上递减，在区间()0,+∞上递增，∴()f x 在区间()1,a -+∞上的最小值为()01f a =-，∵关于x 的不等式()()21a f x e a λ-⎡⎤<-⎣⎦在区间()1,a -+∞上存在实数解，∴只需当01a <<时，关于a 的不等式()()211a a ea λ--<-恒成立，由上易知当01a <<时，10a e a -->，∴只需当01a <<时，不等式()211a a e a λ-->-恒成立即可，令函数()()211x x F x e x --=-，01x <<，即()()()()1121131'x x x x e xe x F x e x -------=-，（法一）令函数()1131x x G x e xe x --=---，01x ≤<，则()()1'21x G x x e -=--，当01x <<时，∵12x e x ->-，∴()121x x e --<，∴()'0G x <，∴()()10G x G >=，即()0G x >，（法二）令函数()()13x u x x e-=-，01x <<，则()()1'20x u x x e -=->，∴()'11u =，又()12u =，∴函数()()13x u x x e -=-在点()1,2T 处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，如图所示，易知()131x x ex --≥+，当且仅当1x =时取等号，∴当01x <<时，()0G x >，∴当01x <<时，()'0F x <，∴()()0F x F e <=，即()F x e <，∴当01a <<时，不等式()21a a e ea λ->-恒成立，只需e λ≥，综上，实数λ的取值范围为[),e +∞.【点睛】本题以基本初等函数、不等式问题为载体，考查利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有一定综合性，属于难题.四、请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为21(151txt tyt⎧=-⎪⎪+⎨⎪=+⎪+⎩为参数)，曲线221x y+=经过伸缩变换x xy'='=⎧⎪⎨⎪⎩后得到曲线C.以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设射线()0,02θαραπ=>≤<与直线l和曲线C分别交于点,A B，求2241OA OB+的最大值.【答案】（1）()cos sin40cos1ρθρθρθ+-=≠-，2212yx+=；（2）214+.【解析】【分析】（1）通过加法消元求得直线l的普通方程，再利用cos,sinx yρθρθ==求得其极坐标方程；对曲线C通过变换，即可容易求得其直角坐标方程；（2）求得曲线C的极坐标方程，联立θα=与直线和曲线C的极坐标方程，求得22,OA OB，将目标式转化为关于α的三角函数，求其最值即可.【小问1详解】对直线l的参数方程21151txtyt⎧=-⎪⎪+⎨⎪=+⎪+⎩，两式相加可得40x y+-=，且1x≠-，由cos,sinx yρθρθ==，得()cos sin40cos1ρθρθρθ+-=≠-，又对曲线221x y+=，经过变换x xy'='=⎧⎪⎨⎪⎩，则221x'+=，即2212yx''+=，所以直线l的极坐标方程为()cos sin40cos1ρθρθρθ+-=≠-，曲线C的普通方程为2212yx+=.【小问2详解】直线极坐标方程整理得4sin cos ρθθ=+，即2161sin 2ρθ=+，曲线22:12y C x +=变形得22220x y +-=，即22222cos sin 20ρθρθ+-=，2222sin 2cos ρθθ=+，由题可知2161sin 2OA α=+，2222sin 2cos OB αα=+，则2222411sin 2sin 2cos 42OA OB ααα+++=+4sin 2cos 212444ααπα++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭当且仅当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8k παπ=+，Z k ∈，当8πα=时，2241OA OB +的最大值为14+.23.已知()|||3|()f x x a x a =--∈+R ．（1）若1a =-，解不等式()2f x x ≥；（2）当a t =（0t >）时，()f x 的最小值为3，若正数m 、n 满足m n t +=，证明：6≤．【答案】（1）不等式()2f x x ≥的解集为(,2]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分段讨论求解含绝对值符号的不等式即得；（2）利用绝对值三角不等式结合最小值求出t ，再利用柯西不等式证明不等式即可.【小问1详解】若1a =-时，不等式为|1||3|2x x x ++-≥，当1x ≤-时，原不等式化为132x x x --+-≥，解得12x ≤，因此1x ≤-，当13x -<<时，原不等式化为132x x x ++-≥，解得2x ≤，所以12x -<≤，当3x ≥时，原不等式化为132x x x ++-≥，即20-≥，显然不成立，因此不等式无解，所以不等式()2f x x ≥的解集为(,2]-∞；【小问2详解】当(0)a t t =>时，()|||3||()(3)||3|f x x t x x t x t =-+-≥---=-，当()(3)0x t x --≤时等号成立，由|3|3t -=得6t =，即6m n +=，由柯西不等式得22236()[2]m n =++≥，即得6+≤=，即4,2m n ==时取等号，所以原不等式成立.。
2023-2024学年四川省成都市高三下册阶段性模拟考试理科数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高三下册阶段性模拟考试理科数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}20A x x =->，{}14B x x =-<<，则集合A B ⋃=（）A.()1,4-B.{}2x x >C.{}1,4- D.()1,-+∞【正确答案】D【分析】根据集合并集概念课直接得到.【详解】{}{}202A x x x x =->=>，{}{}{}2141A B x x x x x x ⋃=>⋃-<<=>-故选：D.2.已知复数2i1iz =-，则以下判断正确的是（）A.复数z的模为1 B.复数z C.复数z 的虚部为i D.复数z 的虚部为1-【正确答案】B【分析】根据复数除法运算即可求得1i z =-+，根据复数模长公式和虚部定义即可判断结果.【详解】由2i1i z =-可得()()()222i 1i 2i 2i 1i 1i 1i 1iz ++===-+-+-；即复数z 的虚部为1，所以CD 错误；则复数z =A 错误，B 正确；故选：B3.下列说法错误的是（）A.“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B.在回归直线0.585y x =-$中，变量200x =时，变量y 的值一定是15C.命题p ：则0x ∃∈R ，20010x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x ++≥D.若l αβ= ，m α⊂，n β⊂，αβ⊥，m l ⊥，则m n ⊥【正确答案】B【分析】根据小范围能推出大范围，大范围推不出小范围判断选项A ；根据回归方程的实际意义判断选项B ；根据特称命题的否定是全称命题判断选项C ；根据面面垂直及线面垂直的性质定理判断选项D.【详解】若1a >，则11a <成立，反之，若11a<，则1a >或a<0，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故选项A 正确；在回归直线0.585y x =-$中，变量200x =时，变量y 的值估计为15，故选项B 错误；因为命题p ：则0x ∃∈R ，20010x x ++<，所以命题的否定p ⌝：x ∀∈R ，210x x ++≥，故选项C 正确；因为l αβ= ，m α⊂，αβ⊥，m l ⊥，根据面面垂直的性质定理得到：m β⊥，又n β⊂，所以m n ⊥，故选项D 正确.故选：B.4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.()8f x x=-B.()5tan f x x =C.()323f x x x =+ D.()f x x =+【正确答案】C【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数()8f x x=-为奇函数，但该函数在定义域内不单调，A 选项不满足条件；对于B 选项，函数()5tan f x x =为奇函数，但该函数在定义域内不单调，B 选项不满足条件；对于C 选项，函数()323f x x x =+的定义域为R ，且()()()332323f x x x x x f x -=⋅--=--=-，所以，函数()323f x x x =+为奇函数，因为函数32y x =、3y x =均为R 上的增函数，故函数()323f x x x =+在R 上为增函数，C 选项满足条件；对于D 选项，函数()f x x =+的定义域为[)0,∞+，该函数为非奇非偶函数，D 选项不满足条件.故选：C.5.()()()239111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中2x 的系数是（）A.45B.84C.120D.210【正确答案】C【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含2x 项的系数．【详解】解：239(1)(1)(1)x x x ++++⋯++的展开式中，含2x 项的系数为22223234910C C C C C 120+++⋯+==，故选：C ．6.设点P 是函数()()()31122f x x f x f ''=-+图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A.3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.π3π0,,π24⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭D.π3π0,,π24⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【正确答案】B【分析】求出()f x '，令1x =后可求()f x '，再根据导数的取值范围可得tan α的范围，从而可得α的取值范围.【详解】∵()()()31122f x x f x f ''=-+，∴()()21312f x x f ''=-，∴()()11312f f ''=-，∴()12f '=，∴()2311f x x '=-≥-，∴tan 1α≥-，∴π02α≤<或3ππ4α≤<.故选：B.7.在等差数列{}n a 中，19a =-，43a =-．记12n n T a a a =⋅⋅⋅（n 为正整数），则数列{}n T （）A.有最大项，也有最小项B.最大项，但无最小项C.无最大项，但有最小项D.无最大项，也无最小项【正确答案】B【分析】由已知求出等差数列的通项公式,分析可知数列{}n a 是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值,进一步分析得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d,由19a =-，43a =-,得4133a a d =+=-，解得：d=2.所以()921211n a n n =-+-=-.令2110n a n =-=,得112n =,而n ∈N*,可知数列{}n a 是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值.可知T 1=-9<0,T 2=63>0,T 3=-315<0,T 4=945>0为最大项,自T 5起均小于0,且逐渐减小∴数列{}n T 有最大项,无最小项.故选:B8.志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（）A.14B.12C.24D.28【正确答案】A【分析】由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果.【详解】解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：①丁扶贫点最先去，有33A 种安排方法；②丁扶贫点安排在中间位置去，有112222C C A 种安排方法，综合①②知共有3112322214A C C A +=种安排方法.故选：A.9.已知函数()2cos 2sin 2f x x x x =+-，以下说法中，正确的是（）①函数()f x 关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当π2π,63x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x 的取值范围为()2,0-；④将函数()f x 的图像向右平移π12个单位长度，所得图像对应的解析式为()2sin21g x x =-.A.①② B.②③④C.①③D.②【正确答案】D【分析】先对()f x 化简变形，得到()π2sin(2)13f x x =--，再对①②③④逐一分析判断，即可得出结果.【详解】因为()2πcos 2sin 2cos212sin(2)16f x x x x x x x =+-=--=--,对于①，由π2π,Z 6x k k -=∈，即ππ,Z 122k x k =+∈，所以对称中心为ππ(,1)(Z)122k k +-∈，令0x =，得到一个对称中心为π(,1)12-，所以①错误；对于②，当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由sin y x =的图像与性质知，()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以②正确；对于③，当π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ7π2(,)666x -∈，由sin y x =的图像与性质知，()(2,1]f x ∈-，所以③错误；对于④，将函数()f x 的图像向右平移π12个单位长度，得到图像对应的解析式为()πππ2sin 2(12sin(211263g x x x ⎡⎤=---=--⎢⎥⎣⎦，所以④错误.故选：D.10.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.【正确答案】B【分析】取MN 中点A ，连AF 2，令22||||MF NF m ==，由双曲线定义及所给条件可得2||AF ==，再借助直线斜率为2即可作答.【详解】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF ==，2Rt AMF中，2||AF =，=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||2||2AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a 所以双曲线C故选：B11.已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 为等腰直角三角形，其顶点P 到底面ABC 的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O 的半径为5，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度为（）A.6πB.30πC.(9π+D.(6π+【正确答案】D【分析】利用三棱锥-P ABC 的体积，求解底边边长，求出ABC 的外接圆半径，以及球心O 到底面ABC 的距离，判断顶点P 的轨迹是两个不同截面圆的圆周，进而求解周长即可．【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形ABC 的边长为()0x x >，∴三棱锥-P ABC 的体积21132432V x =⋅⋅⋅=解得：x =ABC ∴的外接圆半径为112r ==∴球心O 到底面ABC 的距离为11d ===，又 顶点P 到底面ABC 的距离为3，∴顶点P 的轨迹是一个截面圆的圆周当球心在底面ABC 和截面圆之间时，球心O 到该截面圆的距离为2312d =-=，截面圆的半径为2r===，∴顶点P的轨迹长度为22r π=；当球心在底面ABC 和截面圆同一侧时，球心O 到该截面圆的距离为3314d =+=，截面圆的半径为33r===，∴顶点P 的轨迹长度为326r ππ=；综上所述，顶点P 的轨迹的总长度为(6π+故选：D ．本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．12.已知a ，b ，()1,c ∈+∞，且ln 2a a -=，1ln 2ln 22b b -=+，sin1ln tan1c c -=+，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.a c b<< D.b<c<a【正确答案】B【分析】由题设，构造()ln f x x x =-且(1,)x ∈+∞研究单调性，判断(),(),()f a f b f c 的范围，作差法比较()()(),,f a f b f c 大小，即可得答案.【详解】由题设ln 21a a -=>，1ln 2ln 2ln e 12b b -=+>=，πln sin1tan1tan 14c c -=+>=，令()ln f x x x =-且(1,)x ∈+∞，则1()0x f x x-'=>，即()f x 在(1,)x ∈+∞上递增，又132ln 22ln 4ln 022+-=-=，即()()f b f a <，由()()sin1tan12f c f a -=+-，令()sin tan 2h x x x x =+-且π(0,)2x ∈，则32221cos 2cos 1()cos 2cos cos x x h x x x x-+=+-='，又cos (0,1)x ∈，令32()21g x x x =-+且(0,1)x ∈，则()(34)0g x x x -'=<，即()g x 递减，所以()(1)0g x g >=，所以()0h x '>，即()h x 在π(0,2上递增，故()(0)0h x h >=，即sin tan 2x x x +>在π(0,)2x ∈上恒成立，故()()f c f a >，综上，()()()f b f a f c <<，结合()f x 单调性知.b a c<<故选：B关键点点睛：构造函数()ln f x x x =-且(1,)x ∈+∞研究单调性，再通过作差、构造函数判断(),(),()f a f b f c 大小，进而判断,,a b c 大小.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，写出一个满足下列条件的{}n a 的公比q =__________.①10a >，②{}n a 是递增数列，③3113S a <.【正确答案】2（答案不唯一）【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】由等比数列的通项公式可得11n n a a q-=，则()2111n n n a a a qq ---=-，因为10a >，且{}n a 是递增数列，所以1q >，因为3113S a <，所以123113a a a a ++<，即2111120a q a q a +-<，因为10a >，所以2120q q +-<，解得43q -<<，综上13q <<，故2（答案不唯一）14.已知向量a →，b →方满足1a →=，2b →=，且a →与b →的夹角为3π，则向量a b →→-与b →的夹角为______.【正确答案】56π【分析】先利用已知条件求得1a b →→⋅=，接着求解向量a b →→-的模长，最后根据向量夹角公式求解即可.【详解】因为1a →=，2b →=，且a →与b →的夹角为3π，所以1cos12132a b a b π→→→→⋅=⨯⨯=⨯⨯=，所以2()143a b b a b b →→→→→→⋅=⋅=--=--，a b →→==-=，设向量a b →→-与b →的夹角为θ，所以()3cos 2a b ba b bθ→→→→→→-⋅==--⨯，又因为两向量所成夹角范围为[]0,π，所以向量a b →→-与b →的夹角为56πθ=，故答案为.56π15.已知直线经过抛物线()220y px p =>的焦点F 并交抛物线于A ，B 两点，则4AF =，且在抛物线的准线上的一点C 满足2CB BF =，则p =______.【正确答案】2【分析】由所给向量关系可得点C 在直线AB 上，过点A ，B 分别作抛物线准线的垂线，结合抛物线定义求出30ACN ∠= 即可作答.【详解】过点A ，B 作抛物线()220y px p =>准线2px =-的垂线，垂足分别为N ，M ，令准线交x 轴于点K ，如图：则有||||,||||AN AF BM BF ==，因点C 在准线上且满足2CB BF =，即点C 是直线AB 与准线的交点，于是有||2||CB BM =，得30ACN ∠= ，从而有||2||2||AC AN AF ==，即点F 是线段AC的中点，而//FK AN ，则有11||||||222FK AN AF ===,又||FK p =，所以2p =.故216.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,E F G H P 均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是__________．①棱AB 上一定存在点Q ，使得1QC D Q ⊥；②三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π；③过点,,E F G 作正方体的截面，则截面面积为④设点M 在平面11BB C C 内，且1A M 平面AGH ，则1A M 与AB 所成角的余弦值的最大值为223．【正确答案】②③④【分析】①建立空间直角坐标系，设Q 坐标，通过空间向量垂直的坐标表示求点Q 进行判断；②使用补形法，将三棱锥补形为长方体求解即可；③画出正方体过点,,E F G 的截面，为正六边形，求面积即可；④设M 坐标，用线面平行得出M 坐标满足的条件，再由空间向量求线线角余弦值的最大值即可.【详解】对于①，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则由已知，()0,2,0C ，()10,0,2D ，设棱AB 上一点()02,,0Q y ()002y ≤≤，则()02,2,0QC y =-- ，()102,,2D Q y =-，若1QC D Q ⊥，则()100420QC D Q y y ⋅=-+-=，整理得200240y y -+=，即()20130y -+=，0y 无实数解，∴棱AB 上不存在点Q ，使得1QC D Q ⊥，故①错误；对于②，如图，分别取棱AB ，11B C ，11D C ，11A D 的中点N ，1H ，1P ，1E ，由已知，=EP PH HN EN ===111EPHN E PH F -为长方体，其外接球的直径为12R E H ==24π8πS R ==，∵三棱锥F EPH -的顶点均在长方体111EPHN E PH F -的外接球上，故该球也是三棱锥F EPH -的外接球，∴三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π，故②正确；对于③，如图所示，过点,,E F G 2的正六边形，其可分成六个全等的，2的等边三角形，面积1π622sin 3323S =⨯=对于④，由①中所建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,2,1G ，()1,2,0H ，()12,0,2A ，()2,2,0B ，()2,2,1AG =- ，()1,2,0AH =- ，设平面AGH 的一个法向量为()111,,x n y z =，则1111122020n AG x y z n AH x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12x =，则11y =，12z =，∴()2,1,2n = ，设平面11BB C C 内一点(),2,M x z ，则()12,2,2A M x z =--，∵1A M 平面AGH ，∴()()12212220A M n x z ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，即3z x =-，又∵()0,2,0AB =，∴1A M 与AB 所成角的余弦值为()()11221cos ,2422A M AB A M AB A M ABx z ⋅==-++-⨯其中，()()()()222222311222322652222x z x x x x x ⎛⎫-+-=-+--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，∴1cos,3A M AB≤=，即当且仅当32x=时，1A M与AB 所成角的余弦值的最大值为223，故④正确.故答案为：②③④.解决立体几何中动点问题的有效方法之一，是建立空间直角坐标系，设动点坐标，借助空间向量将几何关系转化为代数运算，通过运算进行求解.三､解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.在ABC中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且cos sin3a c Bb C-=.（1）求角C的大小；（2）若c=，且__________，求ABC的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①1sin sin12A B=；②ABC的面积为33；③23CA BC⋅=-.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.【正确答案】（1）3Cπ=（2）4+【分析】（1）根据条件，利用()sin sinA B C=+和正弦的和角公式，化简即可得出结果；（2）选①，利用正弦定理和条件得出43ab=，选②，利用条件和三角形面积公式得出43ab=，选③，利用条件和数量积的定义得出43ab=，再利用余弦定即可得到结果.【小问1详解】由正弦定理：3sin sin cos sin sin3A CB B C-=，因为()sin sinA B C=+，所以3sin cos cos sin sin cos sin sin3B C B C C B B C+-=，所以sin cos sin sin 3B C B C =，因为sin 0B ≠，所以cos sin 3C C =，得到tan C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】若选①，根据正弦定理和（1）可知，4πsin sin sin sin 3a b c A B C ====，所以4sin ,4sin a A b B ==，所以1sin sin 1612ab A B ==，得到43ab =，若选②，由题知11sin 2223ab C ab =⨯=，得到43ab =，若选③，即23CA BC ⋅=- ，由数量积定义得()12cos π23ab C ab -=-=-，得到43ab =，故三个条件任选一个条件，都可以得到43ab =，由余弦定理，得222π2cos 3c a b ab =+-，整理得2π()22cos 123a b ab ab +--=，即2()16a b +=，则4a b +=或4a b +=-（舍去），所以ABC的周长为4a b c ++=+.18.2021年3．15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【正确答案】（1）7120；（2）该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【分析】（1）方案一若享受到7折，需要摸出2个红球和1个黑球，由此可计算出概率；（2）选择方案一，付款金额X 元可能的取值为5000、7000、9000、10000，分别计算出概率的分布列，计算出期望．选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则得关系式100002000Z Y =-，由1~3,5Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，可得()E Y ，再计算出()E Z ，比较后可得．【详解】（1）选择方案一若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，设顾客享受到7折为事件A ，则21273107()120C C P A C ==．（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为5000、7000、9000、10000，21213101(5000)120C C P X C ===，21273107(7000)120C C P X C ===，12173107(9000)40C C P X C ===，17791(10000)112012040120P X ==---=．故X 的分布列为，X50007000900010000P1120712074091120所以()1779128825500070009000100009608.3120120401203E X =⨯+⨯+⨯+⨯=≈（元）若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则100002000Z Y =-，由已知可得1~3,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故13()355E Y =⨯=，所以()(100002000)100002000()8800E Z E Y E Y =-=-=（元）因为()()E X E Z >，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．19.如图，已知矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，1BE CF ==，2BC =，3AB CD ==，P 、Q 分别是DE 、CF 的中点，现沿着EF 翻折，使得二面角A EF B --大小为23π.（Ⅰ）求证：PQ ∥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A DB E --的余弦值.【正确答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）47【详解】（Ⅰ）取EB 的中点M ，连接PM ，QM ，又P 为DE 的中点，所以PM BD ，PM ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以PM 平面BCD ，同理可证MQ BC ，MQ 平面BCD ，又因为PM MQ M ⋂=，所以平面PMQ 平面BCD ，PQ ⊂平面PQM ，所以PQ 平面BCD .（Ⅱ）在平面DFC 内，过点F 作FC 的垂线，易证明这条垂线垂直平面EBCF ，因为二面角A EFB --大小为23π，所以23DFC π∠=，建立空间直角坐标系F xyx -如图所示，则()2,0,0E ，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(0,3D -，(2,3A -，则(2,3BD =-- ，(0,2,3AB = ，()0,1,0EB =，设平面DAB 的一个法向量(),,m x y z =，根据0{0m BD m AB⋅=⇒⋅=2230{230x y z y --+==，令3z =，则0x =，32y =，所以30,32m ⎛= ⎝ ，设平面DBE 的一个法向量()111,,n x y z=，根据0{0n BD n EB ⋅=⇒⋅=11112230{0x y z y --==，令1z =10y =，132x =，所以32n ⎛= ⎝ ，所以cos ,m n m n m n⋅〈〉==342174===，所以二面角A DB E --的余弦值为47.证明线面平行有两种方法，法一是利用判定定理，寻求线线平行；法二是寻求面面平行，本题是通过面面平行去证明线面平行.求二面角常用空间向量去求，先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两个半平面的法向量，再利用公式求出二面角的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0) x y M a b a b +=>>离心率为2，点1 2P ⎫⎪⎭在椭圆M 上.（1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，且O 为ABC 的重心，探究ABC 面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由【正确答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，332.【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）先讨论直线AB 的斜率不存在时，根据题中条件，求出此时的ABC 面积；再讨论直线AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，联立直线与椭圆方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理，得出12x x +，12x x ⋅；由弦长公式，得出AB ；根据O 为ABC 的重心，求出点O 为C 坐标，代入椭圆方程，得到,k m 之间关系；再由点到直线的距离公式，得出点O 到直线AB 的距离，由3ABC ABO S S = 即可得出结果.【详解】（1）由题知：222222212132a b ca abc ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；（2）当直线AB 的斜率不存在时，AB x ⊥轴，点C 在x轴上，AB =．点C 到AB 的距离为3d =，则122ABC S AB d ==△．当直线AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m=+由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，整理()()222418410k x kmy m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有()2216410k m=+->△，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，所以()121222241m y y k x x m k +=++=+，12AB x =-=因为O 为ABC 的重心，则由()2282,4141km m OC OA OB k k ⎛⎫=-+=- ⎪++⎝⎭uuu r uu r uu u r ，点2282,4141km m C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在椭圆上，则222282411441km m k k ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+-= ⎪+⎝⎭得22441m k =+，点O 到直线AB的距离为d =；所以333322ABCABOSS AB d ===V V ；综上：2ABC S =△为定值．思路点睛：求解椭圆中三角形面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，以及点到直线距离公式，表示出三角形的面积，再结合题中条件，即可求解.21.已知函数()2ln 4f x x a x a =-+，()a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()sin g x f x x =-，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠时，()()12g x g x =，证明.212x x a<【正确答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)求函数的定义域和导数，分0a ≤和0a >两种情况，结合导数可求出函数的单调性.(2)根据题意可得()()()121212ln ln 2sin sin a x x x x x x -=---，通过构造函数()sin h x x x =-，求函数单调性及参变分离可得1212ln ln x x a x x ->-，令()121x t x t >=，通过导数得()()ln 1m t t t=>的单调性，即可证明()()10m t m >=，从而可证明212x x a <.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22a x af x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x ¢>，当0a >时，由()0f x ¢>得2a x >，由()0f x '<得02ax <<，∴当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.（2）()2ln sin 4g x x a x x a =--+，∵()()12g x g x =，由题意知，1112222ln sin 2ln sin x a x x x a x x --=--，∴()()()121212ln ln 2sin sin a x x x x x x -=---，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，不妨设120x x >>，∵()()12h x h x >，∴1122sin sin x x x x ->-，∴()1221sin sin x x x x -->-，∴()()()()12121221122sin sin 2x x x x x x x x x x --->-+-=-∴()1212ln ln a x x x x ->-，∴1212ln ln x x a x x ->-，令()121x t x t >=，只需证t 1ln t->，只需证ln 0t ->，设()()ln 1m t t t =>，则()210m t -'=>，∴()m t 在()1,+∞递增，∴()()10m t m >=，即1212ln ln x x x x ->-∴a >212x x a <.思路点睛:利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【正确答案】（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(,22【分析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程；（2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈，半圆C 的圆心是()1,0C 因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cosθ=，得[]2220,01x y x y +-=∈，，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,1+cos 12332D αααπαα⎛⎫-=⇒=∈∴= ⎪-⎝⎭本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.选修4-5：不等式选讲23.设函数() 3 1 2 2f x x x =-++的最小值M（1）求M ；（2）已知,,a b c 为正实数，且9a b c M ++=，求证242424(1)(1)(1)8a b c ---≥．【正确答案】（1）83=M ；（2）证明见解析.【分析】(1)用零点分段法把函数分段表示出，再求该函数的最小值即可作答；(2)利用(1)的结论对不等式左边化简变形，再利用均值不等式即可证得.【详解】（1）由题可得151,31()3,1351,1x x f x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪--≤-⎪⎪⎩，13x ≥时，8513x +≥，113x -<<时，8343x <-+<，1x ≤-时，514x --≥，于是有8,()3x R f x ∀∈≥，所以min 18()()33M f x f ===；（2）由（1）知24a b c ++=，可得24241a b c a a a -+-==，同理得241a c b b +-=，241a b c c +-=，由基本不等式可得242424()()()(1)(1)(1)8b c c a a b a b c abc abc +++---=≥=当且仅当8a b c ===时取“=”，所以242424(1)(1)(1)8a b c ---≥．。
四川省成都市第七中学2023届高三下学期高考模拟理科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1.函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号（ ）．A ．478B ．324C ．535D ．5223. 不论m 为何值，直线过定点（ ）A．B．C．D．4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率（ ）A．B．C．D．5. 在平行六面体中，是线段上一点，且，若，则（ ）A．B ．1C．D．6. 已知等边的边长是1，点满足，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数的图象中相邻两条对称轴的距离是，现将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，且最大值为2，则下列结论正确的是（ ）A．的最小正周期是B ．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D ．在上单调递减8. 已知向量，，，其中m ，n 均为正数，下列说法正确的是（ ）A．B．与的夹角为钝角C ．若，则D ．若，则9. 已知成等比数列，则等比中项__________.10. 最简根式与是同类二次根式，则______．11.圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为__________．四川省成都市第七中学2023届高三下学期高考模拟理科数学试题(高频考点版)四川省成都市第七中学2023届高三下学期高考模拟理科数学试题(高频考点版)四、解答题12.设函数，则，若，则实数的取值范围是 ．13. 已知关于的不等式．（1）是否存在实数，使不等式对任意的恒成立？并说明理由．（2）若对于不等式恒成立，求实数的取值范围．14. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程．15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．(1)求的面积；(2)求边长及的值．16. 现有600个元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数法设计抽样方案？。
四川省高考数学模拟试卷(理科)
四川省高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或12．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜13．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．166．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．20167．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．48．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：19．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为_______．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为_______．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA 最小，则最小值为_______．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_______．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣4，数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，其n项和为T n，且T2+T6=32．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F 两点，求证：|DE|•|DF|为定值．21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．四川省高考数学模拟试卷（理科）试题解析一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部等于0且虚部不为0列式求得a值．【解答】解：∵（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分别化简集合M，N，对a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，∴当a＜0时，N=∅，满足N⊆M．当a≥0时，集合N=[1﹣a，1+a]．∵N⊆M，∴，解得0≤a≤1．综上可得：a的取值范围为a≤1．故选：B．3．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真【考点】命题的否定．【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，当x=﹣y时，满足cosx=cosy，但x=y不成立，即命题q是假命题，故￢q为真，其余都为假命题，故选：D4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），代值计算即可求出p，能求出焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），∴4=4p，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣），故选：C．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．16【考点】计数原理的应用．【分析】小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，第一类小明在排尾，其余3人全排，故有A33=6种，第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2人有A22种排法，故有2×2×2=8种根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2016【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i的值，当i=2017＞2016时，满足条件，终止循环，输出P的值．【解答】解：执行程序框图，有p=0，i=1，P=0+cosπ=﹣1，i=2，不满足条件i＞2016？，有P=﹣1+cos2π=0，i=3，不满足条件i＞2016，有P=0+cos3π=﹣1，，…，i=2016，不满足条件i＞2016，有P=﹣1+cos2016π=0，i=2017，满足条件i＞2016，输出P的值为0．故选：C．7．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z==22x﹣y，令u=2x﹣y，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣u由图象可知当直线y=2x﹣u过点A时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大，由，解得，即A（5，2）．代入目标函数u=2x﹣y，得u=2×5﹣2=8，∴目标函数z==22x﹣y，的最大值是28=256．故选：B．8．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，∵+2+3=，∴﹣=3．又=2，可得=2．于是=，∴S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．故选：C．9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，；由，得b+2c＜2a，．综上所述，．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选A ．10．已知函数，若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f （x 1）=f （x 2），则x 1f （x 2）﹣f （x 2）的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】分段函数的应用．【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f （x 1）=f （x 2），确定x 1的取值范围然后再根据x 1f （x 2）﹣f （x 2），转化为求在x 1的取值范围即可．【解答】解：作出函数的图象：∵存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f （x 1）=f （x 2）∴0≤x 1＜，∵x +在[0，）上的最小值为；2x ﹣1在[，2）的最小值为，∴x 1+≥，x 1≥，∴≤x 1＜．∵f （x 1）=x 1+，f （x 1）=f （x 2）∴x 1f （x 2）﹣f （x 2）=x 1f （x 1）﹣f （x 1）2=﹣（x 1+）=x 12﹣x 1﹣，设y=x 12﹣x 1﹣=（x 1﹣）2﹣，（≤x 1＜）， 则对应抛物线的对称轴为x=，∴当x=时，y=﹣，当x=时，y=，即x 1f （x 2）﹣f （x 2）的取值范围为[﹣，）．故选：B ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为15．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的平均数是10，∴=（x1+x2+…+x10）=8；∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数是：= [（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x10﹣1）]=2×（x1+x2+…+x10）﹣1=2×8﹣1=15．故答案为：15．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为35．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的系数．【解答】解：由题意可得2n=128，n=7，∴=，它的通项公式为T r+1=•x21﹣4r，令21﹣4r=5，求得r=4，故展开式中x5的系数为=35，故答案为：35．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为a．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故EA=EC，所以EC就是EP+EP的最小值；【解答】解：连接AC交BD于N，连接EN，EC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥EN，∴△AEN≌△CEN，∴EA=EC，连接EC，∴线段EC的长就是EP+EA的最小值．在Rt△EAC中，AC=a，EA=a，∴EC==a．故答案为：a．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为2π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆半径r=，a=﹣1时，r min==1，a=1时，r max==，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差．【解答】解：∵圆以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切，∴圆半径r===，∴a=﹣1时，r min==1，最小圆面积S min=π×12=π，a=1时，r max==，最大圆面积S max==3π，∴最大圆面积与最小圆面积的差为：3π﹣π=2π．故答案为：2π．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为[e+1，]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=﹣1+a≥e可得a≥e+1，从而可判断f（x）在[1，e]上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．【解答】解：f′（x）=﹣2x+a=，∵x＞0，又a＞0，∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．又f（1）=﹣1+a≥e，∴a≥e+1，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴最大值为f（e）=a2﹣e2+ae≤3e+2，解得：a≤，又a≥e+1，而e+1＜，∴a的取值集合是[e+1，]，故答案为：[e+1，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；（II）求出+的坐标，计算|+|2，根据B的范围解出|+|的范围．【解答】解：（I）∵=，∴，整理得cosA=．∴A=．（II）∵2cos2=1+cosC=1﹣cos（B+）=1﹣cosB+sinB，∴=（cosB，1﹣cosB+sinB）．∴=（cosB，﹣cosB+sinB），∴（）2=cos2B+（﹣cosB+sinB）2=+﹣sin2B=1+cos（2B+）．∵0＜B＜，∴＜2B+＜．∴﹣1≤cos（2B+）＜，∴≤（）2＜．∴≤|+|＜．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，由此能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）∵随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良，∴12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，从这12名学生中任选3人进行测试，基本事件总数n==220，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，∴至少有1人成绩是“优良”的概率：p=1﹣=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，Eξ==．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CD∥EF，于是CD∥平面EFQ，利用线面平行的性质得出CD∥GH，从而GH∥AB；（II）由AQ=2BD可得AB⊥BQ，以B为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角得出异面直线DP与BQ所成的角；（III）求出和平面PDC的法向量，则直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（I）∵CD是△ABQ的中位线，EF是△PAB的中位线，∴CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，又EF⊂平面EFQ，CD⊄平面EFQ，∴CD∥平面EFQ，又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面EFQ=GH，∴GH∥CD，又CD∥AB，∴GH∥AB．（II）∵D是AQ的中点，AQ=2BD，∴AB⊥BQ．∵PB⊥平面ABQ，∴BA，BP，BQ两两垂直．以B为原点以BA，BQ，BP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：设BA=BP=BQ=1，则B（0，0，0），P（0，0，1），D（，，0），Q（0，1，0）．∴=（﹣，﹣，1），=（0，1，0）．∴=﹣，||=，||=1，∴cos＜＞=﹣．∴异面直线DP与BQ所成的角为arccos．（III）设BA=BP=BQ=1，则A（1，0，0），Q（0，1，0），P（0，0，1），D（，，0），C（0，，0）．=（﹣1，1，0），=（，0，0），=（0，﹣，1）．设平面CDP的一个法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1，得=（0，2，1）．∴=2，||=，||=，∴cos＜＞==，∴直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣4，数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，其n项和为T n，且T2+T6=32．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系即可得出．（Ⅱ）S n=2×4n﹣4．不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7，化为：λ≤，利用单调性求出的最小值即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2a n﹣4，∴n=1时，a1=2a1﹣4，解得a1=4；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣4﹣（2a n﹣1﹣4），化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为4，公比为2，∴a n=4×2n﹣1=2n+1．∵数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，∴数列{b n}是等差数列，公差为1．∵T2+T6=32，∴2b1+1+6b1+×1=32，解得b1=2．∴b n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）S n=2×2n+1﹣4．∴不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7，化为：λ≤，∵=（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，当n=2时，取得最小值3，∴实数λ的取值范围是λ≤3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F 两点，求证：|DE|•|DF|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由条件可得到A1（﹣2，0），B（0，b），从而可以写出直线BA1的方程，这样即可得出圆心（﹣1，0）到该直线的距离为，从而可以求出b，这便可得出椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）可设P（x1，y1），从而有，可写出直线A1P的方程为，从而可以求出该直线和直线x=的交点E的坐标，同理可得到点F的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得A1（﹣2，0），B（0，b）；∴直线BA1的方程为；∴圆心（﹣1，0）到直线BA1的距离为；解得b2=3；∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），则，；∴直线A1P的方程为；∴；同理得，；∴；∴|DE|•|DF|为定值．21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意可得lnx﹣x2α≤0恒成立，讨论当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围；（2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F（x）=ln x+﹣（t+1），利用导数求出函数F（x）的最小值，再分类讨论，得到方程组的解得个数，继而得到切线的条数．【解答】解：（1）对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，即为lnx﹣x2α≤0恒成立，当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，h′（x）=﹣2α•x2α﹣1，当x＞时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有x=时，h（x）取得最大值，且为ln﹣，由ln﹣≤0，可得α≥，综上可得，实数α的取值范围是[，+∞）；（2）记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点（x1，x12﹣x1+t），（x2，ln x2），由f′（x）=2x﹣1，得l的方程为y﹣（x12﹣x1+t）=（2x1﹣1）（x﹣x1），即y=（2x1﹣1）x﹣x12+t．由g′（x）=，得l的方程为y﹣ln x2=（x﹣x2），即y=•x+ln x2﹣1．所以（*）消去x1得ln x2+﹣（t+1）=0 （**）．令F（x）=ln x+﹣（t+1），则F′（x）=﹣==，x＞0．由F'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，F'（x）＜0，当x＞1时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而F（x）min=F（1）=﹣t．当t=0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；当t＞0时，F（1）＜0，由于F（e t+1）＞ln（e t+1）﹣（t+1）=0，故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解；令k（x）=ln x+﹣1（x≤1），由于k'（x）=﹣=≤0，故k（x）在（0，1]上单调递减，故当0＜x＜1时，k（x）＞k（1）=0，即ln x＞1﹣，从而ln x+﹣（t+1）＞（﹣）2﹣t．所以F（）＞（+）2﹣t=+＞0，又0＜＜1，故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．。
四川高考数学(理科)模拟考试卷附带答案解析
四川高考数学（理科）模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设集合{1M x x =≤或}3x ≥与{}2log 1N x x =≤，则集合M N ⋂=（ ） A ．(],1-∞B ．(]0,1C ．[]1,2D ．(],0-∞2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是1,2，则2iz +的共轭复数为（ ）A ．14i +B ．14i -C ．4i +D ．4i -3．利用独立性检验来考查两个分类变量X 和Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度.如果 5.024k >,那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为A ．25%B ．75%C ．2.5%D ．97.5%4．日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射．因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用0e KDD I I -=表示其总衰减规律，其中K 是平均消光系数（也称衰减系数），D （单位：米）是海水深度，D I （单位：坎德拉）和0I （单位：坎德拉）分别表示在深度D 处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K 的值约为（ ）（参考数据：ln20.7≈和ln3 1.1,ln5 1.6≈≈） A ．0.12B ．0.11C ．0.07D ．0.015．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的外接球的表面积为（ ）A ．19π3B ．6πC ．20π3D ．7π6．智慧的人们在进行工业设计时巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点2F 发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点1F ．已知入射光线2F P 斜率为2F P 和反射光线PE 互相垂直（其中P 为入射点），则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．1+7．在等比数列 {}n a 中，4a 和12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a =（ ） A ．3B ．5C ．1-D ．1±8．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知229sin 4sin B A =与1cos 4C =，则ca=（ ）A B C D 9．将函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =为奇函数，则ω的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为（ ） A ．12B ．25C ．14D ．2311．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（ ）A ．49B ．481C ．427D ．82712．已知0.0110011,e ,1tan 99249a b c ===+，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<二、填空题13．在()53(1)x x -+的展开式中2x 的系数为__________.14．若向量,a b 满足2,3,4a b a b ==-=， 则a b ⋅=______15．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时161(),()2log ,xf x x ⎧⎪=⎨⎪⎩022x x ≤<≥，若关于x 的方程2[()]()0(,)f x af x b a b R ++=∈有且仅有7个不同实数根，则a b +=___________16．比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为16，底面半径为3的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为______.三、解答题17．成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区．某景区为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，统计出这5天的游客数(千人)分别为0.8、3.7、5.1、5.6、6.8，已知这5天的最高气温()℃依次为8、18、22、24、28．(1)根据以上数据，求游客数y 关于当天最高气温x 的线性回归方程(系数保留一位小数)； (2)根据（1）中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在2026℃～℃内的天数(保留整数) 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是y b x a=+；其中：()1122211()()nnii i i i i nn i ii i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．本题参考数据：()51()70i i i x x y y =--=∑与521()232i i x x =-=∑．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n n S S a +=++， .请在①5826a a +=；②139,,a a a 成等比数列；③20420S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若24n n a b =，记数列1{}n b 的前n 项和为n T ，求证2n T <．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，且////222AD BC AF BE AD AB AB AF AD AB BC BE ⊥⊥====，，，，．(1)已知点G 为AF 上一点，且AG =1，求证：//BG 平面DCE ； (2)已知直线BF 与平面DCE DCE 与平面BDF 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，离心率为121,,2A A 分别为椭圆C 的左､右顶点，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)当直线m 过椭圆C 的左焦点1F 以及上顶点P 时直线m 与椭圆C 交于另一点Q ，求此时的弦长PQ . (3)设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，,M N 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A M 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DN 与x 轴的交点为E ，当2MA N 与MEN 的面积之差取得最大值时求直线2A M 的方程.21．已知函数()212xf x axe x x =--．(1)讨论()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)若0a >时方程()21ln 2f x x x =-有两个不等实根1x ，2x 求证：21212x xx x e -->．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为πcos 4m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 交于相异两点A ，B ，且||AB =，求m 的值. 23．已知函数()12f x x x =--- ()21g x x =-． (1)求函数()f x 的值域；(2)若a >0，b >0，且221a b +=，不等式22114()22f x a b≤+恒成立，求实数x 的取值范围． 参考答案与解析1．B【分析】利用对数函数性质化简集合N ，再结合交集的运算求解即可. 【详解】由题知{}{}2log 102N x x x x =≤=<≤ 又{1M x x =≤或}3x ≥则{}01M N x x ⋂=<≤，即(]0,1x ∈.故选：B 2．A【分析】利用复数的几何意义可得出复数z ，利用复数的四则运算化简复数2iz +，结合共轭复数的定义可得结果.【详解】由复数的几何意义可得12z i =-，则212i 2i 14i iz +=--=-. 因此，2iz +的共轭复数为14i +.故选：A. 3．D【分析】由观测值表中对应于5.024的值可得正确的选项.【详解】因为 5.024k >，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，1-0.025=97.5%所以有97.5%的把握认为“X 和Y 有关系” ． 故选D ．【点睛】本题考查独立性检验的应用，属于基础题，根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，从而得到结果． 4．A【分析】根据题意，列出方程，得到1030%e K -=，两边取对数后，求出K 的值.【详解】由题意得100030%e KI I -=，即1030%e K -=两边取对数得：ln3ln10ln3ln 2ln510K -=-=-- 故ln 2ln 5ln 30.7 1.6 1.10.121010K +-+-=≈=.故选：A 5．A【分析】由三视图得正三棱柱的底面正三角形的棱长为2，高为1，再求外接球半径，进而求解面积即可. 【详解】解：如图，正三棱柱的直观图为111ABC A B C 由三视图可知，该正三棱柱的底面正三角形的棱长为2，高为1设正三棱柱的外接球的球心为O ，12,O O 分别为上下底面正三角形的外接圆圆心 所以，根据对称性，O 为12O O 的中点因为112A O AO ==所以正三棱柱的外接球的半径R 满足()()222222121199412R AO AO OO ==+=+= 所以这个正三棱柱的外接球的表面积为219π4π3R =故选：A6．D【分析】由入射光线2F P 的斜率得出2160PF F ∠=︒，进而得出21||||,P F F P c =，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率.【详解】因为入射光线2F P 斜率为2160PF F ∠=︒，又21F P F P ⊥ 12||2F F c =所以21||||,P F F P c =，又)21||||12PF PF c a -==所以1c e a ===. 故选：D 7．C【分析】设等比数列的公比为()0q q ≠，由韦达定理可得412412,a a a a ⋅+，再根据等比数列的性质即可得解. 【详解】设等比数列的公比为()0q q ≠ 因为4a 和12a 是方程2310x x ++=的两根 所以41241213a a a a ⋅=+=-， 所以480,0a a <<由等比数列的性质得284121a a a =⋅=所以4840a a q =<，则81a =-.故选：C. 8．D【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程来求得ca.【详解】229sin 4sin B A =，2294b a ∴=即23a b = 2222222419cos 4243a a c abc C a ab +-+-===2109c a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，则c a =故选：D 9．C【分析】根据伸缩及平移变换得到函数()y g x =，结合奇偶性得到()212k k Z ω=-∈，从而得到结果.【详解】由题意，()sin sin 2662612g x x x ωππωπωπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为()y g x =为奇函数，所以()612k k Z πωππ-=∈，解得()212k k Z ω=-∈又0ω>，所以当k ＝0时ω取得最小值2． 故选：C 10．B【分析】将五个版块依次记为A ，B ，C ，D ，E ，利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式计算即可求解.【详解】将五个版块依次记为A ，B ，C ，D ，E则有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,E),(,)A B A C A D A E B C B D B E C D C D E 共10种结果. 某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的结果 有(,),(,),(,),(,)A E B E C E D E ，共4种 则“创新发展能力”版块被选中的概率为42105P == 故选：B. 11．B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时三棱锥D HJK -为正三棱锥，设正方体的棱长为3 则2DH DK DJ ===所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=则427EF =，所以481EF EG =. 故选：B 12．D【分析】构造函数1()ln 1f x x x=+-讨论单调性和最值可比较得a b >，再构造函数()tan =-g x x x 可比较得c a >.【详解】设221111()ln 1,()x f x x f x x x x x-'=+-=-= 令()0f x '>解得1x >，令()0f x '<解得01x << 所以()f x 在(0,1)单调递减，()1,+∞单调递增所以()(1)0f x f ≥=，即1ln 1x x≥-，当且仅当1x =时取等 所以10099ln10.0199100>-=，所以0.01100e 99>，即a b >. 设2222πcos sin 0,,()1tan 02cos ()tan ,x x x g x g x x x x x +⎪=-⎛⎫'∈=-=> ⎝⎭所以()tan (0)0g x x x g =->= 即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan x x >所以11111001tan124924999c a =+>+⨯>= 综上所述b a c << 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数与最值之间的关系证明不等式1ln 1x x ≥-和当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan x x >，根据不等式赋值即可比较大小.13．25-【分析】根据二项式的展开公式求解即可. 【详解】5(1)x +展开式的通项公式为515C r rr T x-+=所以()53(1)x x -+的展开式中含2x 的项等于4322225455(3)C (3)C 53025x T T x x x x x x ⋅+-=⋅+-=-=-故答案为: -25. 14．32-##-1.5【分析】将4a b -=两边平方，然后将条件代入即可得到答案. 【详解】因为 234a b a b ==-=，， 所以 2||16a b -=，即 ()216a b-=所以22216a a b b -⋅+=，即22216a a b b -⋅+= 所以42916a b -⋅+=所以 32a b ⋅=-故答案为 32-.15．1-【分析】根据题意，作出函数()f x 的图像，令()t f x =，将原问题转化为图像交点问题，即可求解. 【详解】根据题意，作出函数()f x 的图像，如下.由关于x 的方程2[()]()0(,)f x af x b a b R ++=∈有且仅有7个不同实数根 结合图像，令()t f x =，则关于t 的方程20t at b ++=有两个根，且11t = 2114t << 故210a b ++=，即1a b +=-. 故答案为：1-. 16．45##0.8【分析】作出圆柱的轴截面，根据已知给出的条件以及直角三角形的性质求出a 的值，而椭圆的短轴长即为圆柱的底面的直径，进而可以求出c 的值，从而可以求解.【详解】设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，如图所示：作出圆柱的轴截面，切点为A 、1A 延长1AA 与圆柱面相交于C 、1C过点O 在平面AOB 内作OD DC ⊥在直角三角形ABO 中，AB=3，162352BO -⨯==所以3sin 5AB AOB BO ∠== 因为90AOB COD OCD COD ∠+∠=∠+∠=，所以，AOB OCD ∠=∠所以33sin sin 5OD AOB OCD OC OC ∠=∠===，所以5a OC == 由平面与圆柱所截可知椭圆的短轴即为圆柱底面直径的长，即26b =，则3b =则4c ，所以，椭圆的离心率为45c e a == 故答案为45. 17．(1)0.3 1.6y x =-(2)27天【分析】（1）先求样本中心，再根据公式和已知数据计算即可得答案；（2）计算最高气温在2026℃～℃内时y 的值，求出游客人数；再由频率分布直方图求出这个范围内的条形图面积，计算对应天数．【详解】（1）解：由题意知，计算()1818222428205x =⨯++++= ()10.8 3.7 5.1 5.6 6.8 4.45y =⨯++++= 又()51()70i i i x x y y =--=∑ 521()232i i x x =-=∑所以()121()700.3232()n i i i ni i x x y y b x x ==--==≈-∑∑ 4.40.320 1.6a y b x =-=-⨯=-所以y 关于x 的线性回归方程是0.3 1.6y x =-；（2）解：当最高气温在2026℃～℃内时根据0.3 1.6y x =-，得游客数在4.4 6.2～内；频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为()()5 4.40.180.14 6.260.070.262-⨯++-⨯=所以天数为0.26210026.2⨯=所以这100天中最高气温在2026℃～℃内的天数约为27天．18．(1)详见解析(2)证明见解析【分析】（1）选取一个条件利用等差等比数列的相关知识通过公式法即可求得通项公式.（2）利用放缩和裂项相消即可证明不等式.【详解】（1）由已知12n n n S S a +=++，所以12n n a a +-=所以数列{}n a 是等差数列，公差2d =若选①又因为5826a a +=，所以121126a d +=解得12a =，所以()112n a a n d n =+-=.若选②又因为139,,a a a 成等比数列，所以3129a a a =⋅所以()()2111416a a a +=+，解得12a =所以()112n a a n d n =+-=.若选③又因为20420S =，所以1201902420a +⨯=解得12a =，所以()112n a a n d n =+-= （2）因为24n n a b =，由（1）知，2n a n =，所以2n b n = 所以211n b n=，所以()2111111114912231n T n n n =++++<++++⨯⨯⋅- 所以1111111122231n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为122n-<，所以2n T < 19．(1)证明见解析 (2)89【分析】（1）连接AE ,交BG 于点O ,取DE 的中点H ,连接HO ,HC ,GE ，由中位线性质可得1//,2OH AD OH AD =结合题意可得四边形BCHO 为平行四边形,可得//HC OB ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABEF ,建立空间直角坐标系，设AF a =，求出BF 和平面DCE 的法向量，利用线面角空间向量的求法可得到4a =，再求出平面BDF 的法向量，利用面面角的空间向量的求法即可求解【详解】（1）连接AE ,交BG 于点O ,取DE 的中点H ,连接HO ,HC ,GE//,,AG BE AG BE =∴四边形ABEG 为平行四边形 O ∴为AE 的中点1//,2OH AD OH AD ∴= 又1//,,//,2BC AD BC AD OH BC OH BC =∴= ∴四边形BCHO 为平行四边形//HC OB ∴HC ⊂平面,DCE OB ⊄平面DCE//OB ∴平面DCE ,即//BG 平面DCE .（2）平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ⋂平面,ABEF AB AD AB =⊥,AD ⊂平面ABCDAD ∴⊥平面ABEF以A 为原点,以AF ,AB ,AD 所在直线为,,x y z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系(0,2,1),(1,2,2),(,2,0),(0,2,2),DC DE BF a BD ∴=-=-=-=-设平面DCE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20220y z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 令1y =,则2,(2,1,2)x z n ==∴=直线BF 与平面DCE22|cos ,|||||BF na BF n BF n a ⋅-∴<>===⋅+ 化简得21140160a a --=,解得4a =或411-(舍) (4,2,0)BF ∴=- 设平面BDF 的法向量为(),,m x y z '''=,则00m BF m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即420220x y y z '''-=⎧⎨-+='⎩ 令1x '=,则2,(1,2,2)y z m ''==∴= 88cos ,||||339m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯ 故平面DCE 与平面BDF 所成锐二面角的余弦值为89. 20．(1)22143x y += (2)165(3)360x -=或360x -=【分析】（1）由题意列出方程组解出22,a b 即可；（2）根据1,F P 的坐标，计算直线m 的方程，联立椭圆方程，解出Q ,利用两点间的距离公式计算即可.（3）根据题意直线2A M 的斜率存在且不为0，设直线2A M 方程，联立2x =-解出点M ，根据对称性得出点N ，在联立直线2A M 与椭圆方程，解出点D ，然后求出直线DN 方程，令0y =，得E x ，从而得到2A E ，由图可知：2MA N 与MEN 的面积之差为22E MA S，利用三角形面积公式写出22E MA S ，利用基本不等式求出最值，从而得直线的斜率.【详解】（1）由椭圆的离心率为12，所以12c e a ==，① 又222a c b -=， ②设过左焦点且垂直于x 轴的直线为：x c =- 代入2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，结合②化简得： 4222b b y y a a =⇒=± 所以过左焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为：223b a=， ③ 联立①②③解得：224,3a b ==所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）由（1）知()(11,0,F P -所以直线m 的方程为：11x =-，即 )1y x +，代入22143x y +=中消去y 得： 2580x x +=，解得：0x =或85x =-当0x =时y =P 点当85x =-时y =所以8,5Q ⎛- ⎝⎭所以165PQ ==. （3）由（1）知()()122,0,2,0A A -，如图所示：连接2,ME A N因为直线l 过点1A ，且与x 轴垂直所以直线l 方程为：2x =-由题意得直线2A M 的斜率存在且不为0设直线2A M 的方程为：2(0)x my m =+≠联立2(0)2x my m x =+≠⎧⎨=-⎩得： 点42,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又,M N 为直线l 上关于x 轴对称的两点 所以42,N m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 联立222(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得： ()2234120m y my ++=，解得：0y =或21234m y m =-+，由点D 异于点2A 所以将21234m y m =-+代入2(0)x my m =+≠中得： 226834m x m -+=+，即2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭所以直线DN 的方程为：()2221246842203434m m x y m m m m ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫--+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令0y =，226432E m x m -+=+ 所以222226412223232E m m A E x m m -+=-=-=++ 由图可知：2MA N 与MEN 的面积之差为：222MA N ME E N MA S S S -= 因为222224812432321222M MA E m m A m S E y m m ==⋅-=⨯⋅++4823mm=≤=+当且仅当22233m m mm=⇒=⇒=时取等号所以当2MA N与MEN的面积之差取得最大值时直线2A M的方程为：2x y=+即：360x-=或360x-=.21．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；（2）令()e0xt x x=>，原不等式即证12ln ln2t t+>，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明. 【详解】（1）由题意得()()()()1e11e1x xf x a x x x a'=+--=+⋅-．因为0x>，所以10x+>．当0a≤时e10xa-<，()0f x'<所以()f x在()0,∞+上单调递减．当0a>时令e10xa-=，则lnx a=-．①若1a≥，则ln0x a=-≤，当0x>时0f x，所以()f x在()0,∞+上单调递增；②若01a<<，则ln0x a=->，当()0,lnx a∈-时()0f x'<，所以()f x在()0,ln a-上单调递减；当(ln,)x a∈-+∞时0f x，所以()f x在()ln,a-+∞上单调递增．综上当0a≤时()f x在()0,∞+上单调递减；当1a≥时()f x在()0,∞+上单调递增；当01a<<时()f x在()0,ln a-上单调递减，在()ln,a-+∞上单调递增．（2）证明：方程()21ln2f x x x=-，即e ln0xax x x--=因为()e ln 0x ax x x -+=，则()e ln e 0x x ax x -=令()e 0x t x x =>，()1e 0x t x '=+>所以函数e x t x =在()0,∞+上单调递增因为方程()e ln 0x ax x x -+=有两个实根1x ，2x 令111e x t x =，222e x t x =则关于t 的方程ln 0at t -=也有两个实根1t ，2t 且12t t ≠要证21212e x x x x -->，即证12212e e e x x x x ⋅>，即证212e t t >，即证12ln ln 2t t +>由已知1122ln ln at t at t =⎧⎨=⎩ 所以()()12121212ln ln ln ln a t t t t a t t t t ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩整理可得12121212ln ln ln ln t t t t t t t t ++=-- 不妨设120t t >> 即证12112122ln ln ln 2t t t t t t t t ++=>- 即证()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++ 令12t s t =，即证()21ln 1s s s ->+，其中1s > 构造函数()()()21ln 11s g s s s s -=->+ ()()()()222114011s g s s s s s -'=-=>++ 所以函数()g s 在()1,+∞上单调递增，当1s >时()()10g s g >=，故原不等式成立．【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.22．(1)22(1)4x y -+=0x y -=(2)m =或m【分析】（1）平方消参得到1C 的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出2C 的直角坐标方程；（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解（1）在1C 的参数方程中消去参数α，得1C 的普通方程为22(1)4x y -+=； 由πcos 4m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin m θρθ= 又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C的直角坐标方程为0x y -=.（2）由（1）知曲线1C 是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，曲线2C 为直线则圆心(1,0)到曲线2C的距离d =因为||AB =，所以2222+=⎝⎭解得：m =m =. 23．(1)[]1,1- (2)7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分2x ≥，1x ≤和12x <<三种情况，分类讨论求解或者绝对值不等式性质求解.（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出221122a b+的最小值2，结合（1）分情况讨论()42f x ≤，解不等式即可.【详解】（1）法一：由题得()1,123,121,2x f x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其中，当12x <<时()()231,1f x x =-∈-，从而易得函数()f x 的值域为[]1,1-． 法二：由绝对值不等式的性质可得()()()12121f x x x x x =---≤---= 所以()11f x -≤≤，当且仅当()()120x x --≥，即1x ≤或2x ≥时取得等号 故函数()f x 的值域为[]1,1-．（2）由基本不等式，得()2222222222111112222222b a a b a b ab a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当a b ==时取得等号，故221122a b +的最小值为2． 由题得，4()2f x ≤，即1|1||2|2x x ---≤ 等价于1112x ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩或121232x x <<⎧⎪⎨-≤⎪⎩或2112x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 由此可解得74x ≤，故原不等式的解集为7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。
四川省高考数学模拟试卷(理科) (2)
四川省高考数学模拟试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·黄陵期末) 下列六个关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，其中正确的个数为（）A . 个B . 个C . 个D . 少于个2. （2分）复数（）A .B .C .D .3. （2分）若下边的程序框图输出的S是126，则条件①可为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·全国Ⅱ卷文) 若在是减函数，则a的最大值是（）A .B .C .D .5. （2分）已知等差数列，为其前项和，若，且，则（）A . 20B . 24C . 26D . 306. （2分）已知函数f（x）=x2﹣4x﹣2，则函数f（x）在[1，4]上的最大值和最小值分别是（）A . ﹣2，﹣3B . ﹣3，﹣6C . ﹣2，﹣6D . 0，﹣27. （2分） (2020高三上·泸县期末) 设中边上的中线为，点O满足，则（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·北京) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A . 3B . 2C . 2D . 29. （2分） (2016高一下·黄山期末) 已知变量x，y满足：，则z=（）2x+y的最大值为（）A .B . 3C . 3D . 910. （2分）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二上·赣县期中) 若向量，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一上·桐乡期中) 若函数f（x）=ax+b的图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=loga（x+b）的大致图象是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·长春期中) 已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线截得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为________．14. （1分）设空间四边形ABCD中，对角线BD=6cm，且∠BAD=∠BCD=90°，则空间四边形ABCD的外接球的体积为________．15. （1分） (2020高二下·丽水期末) 在矩形中，，E是的中点，将沿折起，则在翻折过程中，异面直线与所成角的取值范围是________.16. （1分）设定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x1 ， x2 ， x3 ，则x12+x22+x32等于________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2019高二上·成都期中) 已知在等比数列{an}中，a1=2，且a1 ， a2 ， a3-2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Sn ．18. （5分）如图（1），△ABC中，∠ABC=90°，，M为AC中点，现将△ABM沿着BM边折起，如图（2）所示．（Ⅰ）求证：平面BCM⊥平面ACM．（Ⅱ）若平面ABM⊥平面BCM，求三棱锥B﹣ACM外接球的直径．19. （10分）甲将要参加某决赛，赛前A，B，C，D四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知A，B选择甲的概率均为m，C，D选择甲的概率均为n（m＞n），且四人同时选择甲的概率为，四人均未选择甲的概率为．（1）求m，n的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为X，求X的分布列和数学期望．20. （5分）(2017·丰台模拟) 已知椭圆C：，点P（4，0），过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切．21. （10分）(2020·新课标Ⅰ·理) 已知函数 .（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.22. （5分）(2017·芜湖模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2= ，且直线l经过曲线C的左焦点F．（ I ）求直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．23. （5分）(2019·龙岩模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若存在，使成立，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。
四川省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
四川省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)2. （2分）已知集合，则（）A . {0}B . {1}C . {-1}D . {0,1}3. （2分） (2017高一下·桃江期末) 有20位同学，编号从1﹣20，现在从中抽取4人的作问卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（）A . 5，10，15，20B . 2，6，10，14C . 2，4，6，8D . 5，8，11，144. （2分） (2020高二上·娄底开学考) 已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A . 关于直线对称B . 关于点对称C . 周期为D . 在上是增函数5. （2分） (2019高二上·吴起期中) 在中，是的（）.A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2015高三上·大庆期末) 若曲线C1：x2+y2﹣4x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣x）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣，）B . （﹣，0）∪（0，）C . [﹣， ]D . （﹣∞，﹣）∪（，+∞）7. （2分）下列值等于1的积分是（）A . xdxB . （x+1）dxC . 1dxD . dx8. （2分）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）已知定义在R上的函数满足，且在区间上是减函数．若方程在区间上有四个不同的根，则这四根之和为（）A . ±4B . ±8C . ±6D . ±2二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2018高二上·巴彦期中) 已知点分别是双曲线：的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为________.12. （1分） (2015高三上·潮州期末) 已知x，y满足约束条件：，则z=3x+y的最大值等于________．13. （1分）设的展开式的各项系数之和为 M ，二项式系数之和为 N ，若M-N=240 ，则 n ＝________.14. （1分） (2020高二下·南昌期末) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是________.15. （1分） (2017高一上·沛县月考) 已知函数，若函数存在四个不同的零点，则实数的取值范围是________.三、解答题： (共6题；共60分)16. （10分） (2016高三上·黑龙江期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC，（1）求角C的大小；（2）求 sinA﹣cos（B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．17. （5分） (2018高二下·中山月考) 甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是 .(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率；(Ⅱ)用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望；18. （10分） (2019高二上·大庆月考) 如图，四棱锥底面为菱形，平面平面，，，，E为的中点.（1）证明：；（2）二面角的余弦值.19. （15分） (2016高三上·六合期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an ，求数列{bn}的通项公式；（3）设cn= ，数列{cn}的前n项和为Tn= ．求n．20. （10分） (2020高二上·临澧期中) 椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为 .（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求直线的斜率.21. （10分） (2018高二下·龙岩期中) 已知函数，为的导数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）已知，求函数在区间上的最大值与最小值.参考答案一、选择题： (共10题；共20分)答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题： (共6题；共60分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
2023_2024学年四川省成都市高三下册高考数学(理)模拟测试卷(一模)含解析
2023_2024学年四川省成都市高三下册高考数学（理）模拟测试卷（一模）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，且M ，N 都是全集U 的子集，{{}|,|31M x x N x x ==-≤≤≤≤则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.{}|1x x ≤≤{}3|1x x -≤≤{|3x x -≤<{|1x x <≤2. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）122xy -=14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 向左平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度12123. 在非直角中 “”是“”的ABC A B >tan tan A B >A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 平面直角坐标系中，如图所示区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为（）A. B. 02x ≤≤0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩C.D.22000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩22000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩5. 等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则{}n a n n S 23a 32a 4a 33S a =A. B. 或 C. D. 或13931393791396. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）312a ii ++R a ∈i a A.B. C. 4D. 66-2-7. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间的频率为0.45；[300500),②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为A. 0B. 1C. 2D. 38. 若函数在为单调函数，则实数a 的取值范围是()sin cos f x a x x =+ππ[,]44-A. B. (,1][1,)-∞-+∞ (,1]-∞-C. D. [1,)+∞[1,1]-9. 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ）A. 13B. 16C. 20D. 2510. 数列1，1，2，3，5，8，13，.称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂L 纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”据未来某教育专家（这里省略271字人物简介）考证，中国古代很早就一边养兔子吃兔子，一边研究“兔子数列”，比斐波那契早得多，只是因为中国古代不重视自然科学，再加上语言不通交流不畅，没有得到广大非洲朋友的认可和支持，才让欧洲人捡了便宜.“兔子数列”的构造特征是：前两项均为1，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，某人设计如图所示的程序框图，当输入正整数时，输出结果恰好为“兔子数列”的第n 项，则图中空白处应填入（ ）(3)n n ≥A. B. C. D. b a b=+b a c=+a b c=+c a c=+11. 下列结论中正确的是（）A. 若，，则0a b >>0c d <<b a c d>B. 若且，则0x y >>1xy =()21log 2x yx x y y +>>+C. 设是等差数列，若，则{}n a 210a a >>2a <D. 若，则[)0,x ∈+∞()21ln 18x x x +≥-12. 已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F 的距离与到定直线l 的距离（F 不在l 上）的比值e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的()222210,0x y a b a b -=>>1F 直线l 交双曲线于A ，B 两点，满足．设M 为AB 的中点，则直线OM 斜率的最113F B F A =小值是（ ）A. B. C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题每小题5分共20分．把答案填在答题卡上13.______．1ln341e81-+=14. 设定义在上且，则______．()f x R ()()()()()()2log 2,212,2x x f x f x f x x ⎧-<⎪=⎨---≥⎪⎩()13f =15. 用表示等差数列的前n 项和，若，，则m 的值n S {}n a 1233m m m a a a ++++=21121m S +=为______．16. 已知三点都在以为直径的球的表面上，，，、、A B C PC O AB BC ⊥2AB =，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为_________．4BC =O PB AC 三、解答题：本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题共60分．17. 某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天.两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件(含30件)的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元. 经统计，试销这10天两个商家每天的销量如图所示的茎叶图（茎为十位数字，叶为个位数字）：（1）现从甲商家试销的10天中随机抽取两天，求这两天的销售量都小于30件的概率；（2）根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题：①记商家乙的日返利额为X(单位：元)，求X 的分布列和数册望；②超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的数册望考虑，请利用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由.18. 如图，在多面体中，平面，平面平面，是边ABCDE ⊥AE ABC BCD ⊥ABC ABC 长为的等边三角形，，．2BD CD ==2AE=（1）证明：平面平面；EBD ⊥BCD （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．BED ABC 19. 设函数的图象关于直线对称，其中为常()22sin cos f x x x xωωω=+πx =ω数且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）在中，已知，且，求的值．ABC ()3f A =2B C =cos cos A C 20. 椭圆的中心在原点，一个焦点为，且过点．Γ(12B ⎛ ⎝（1）求的标准方程；Γ（2）设，斜率为的直线l 交椭圆于M ，N 两点且，()1,0A ()0k k >AM AN ⊥①若，求k 的值；AM AN=②求的面积的最大值．AMN 21. 已知函数，其中．()()()32116868ln 432f x x a x a x a x a=-+++--R a ∈（1）若，求的单调区间；2a =()f x （2）已知，解关于x 的不等式．（参考数据：）()()24f f =()8f x ≤217ln 2324<<（二）选考题：其10分．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线xOy C 2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩α的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．l y x=x （1）求曲线的极坐标方程；C （2）若直线与曲线交于，两点，求的值．l C P Q OP OQ[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f （x ）=|x-m|-|2x+2m|（m ＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f （x ）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x ∈R ，∃t ∈R ，使得f （x ）+|t-1|＜|t+1|，求实数m 的取值范围．2023_2024学年四川省成都市高三下册高考数学（理）模拟测试卷（一模）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，且M ，N 都是全集U 的子集，{{}|,|31M x x N x x ==-≤≤≤≤则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.{}|1x x ≤≤{}3|1x x -≤≤{|3x x -≤<{|1x x <≤【正确答案】C【分析】根据韦恩图可得阴影部分表示，进而即得.()U N M ⋂ð【详解】由韦恩图可知阴影部分表示，()U N M ⋂ð∵，{{}|,|31M x x N x x ==-≤≤≤≤∴．(){3U N M x x ⋂=-≤<ð故选：C.2. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）122xy -=14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 向左平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度1212【正确答案】D【分析】变换得到，根据函数图象的平移法则得到答案.1212214x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭=【详解】，故要得到函数的图像，1212214x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭=1212214x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭=只需将函数的图像向右平移个单位长度.14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭12故选：D.本题考查了函数图象的平移，意在考查学生对于函数图像平移的掌握.3. 在非直角中 “”是“”的ABC A B >tan tan A B >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】D【详解】试题分析：由△为锐角三角形，都有意义，ABC tan tan A B ，当时，未必有成立，例如当时；A B >tan tan A B >2A Bπ>>tan 0,tan 0A B 当时，未必有成立，例如当时；tan tan A B >A B >2A Bπ<<tan 0tan A B >>所以“”是“”的既不充分也不必要条件A B >tan tan A B >故选：D.4. 平面直角坐标系中，如图所示区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为（）A. B. 02x ≤≤0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩C.D.22000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩22000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩【正确答案】C【分析】求出相应的直线方程，再结合图形判断即可.【详解】过、的直线方程为，整理得，()2,0()0,1121x y +=220x y +-=由阴影部分在直线的左下方（包括边界），故满足，220x y +-=220x y +-≤过、的直线方程为，即，()0,0()1,1--y x =0x y -=由阴影部分在直线的右下方（包括边界），故满足，0x y -=0x y -≥又阴影部分在直线的上方（包括边界），故满足，0y =0y ≥所以如图所示区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为.22000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩故选：C5. 等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则{}n a n n S 23a 32a 4a 33S a =A. B. 或 C. D. 或1393139379139【正确答案】B【分析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得{}n a q 23a 32a 4a ，即，解得值，利用等比数列的通项公式与求和公式224223a a a ⨯=+222243a q a a q =+q 即可得出答案．【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 由于，，成等差数列，所以，即，23a 32a 4a 243223a a a ⨯=+222243a q a a q =+由于在等比数列中，，所以，解得或{}n a 20a ≠243q q =+1q =3q =当时，1q =333333S a a a ==当时，3q =23111231139S a a q a q a a q ++==故答案选B本题考查等差中项与等比数列的通项公式和求和公式，理解并掌握数列的通项公式和求和公式是解题的关键，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题6. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）312a ii ++R a ∈i a A. B. C. 4D. 66-2-【正确答案】A【分析】利用复数的除法可求，再根据其为纯虚数可求的值.312a ii ++a 【详解】,()()()()3126323236125555a i i a a i a a i a ii +-++--++===++因为为实数且该复数为纯虚数，故，此时，a 6a =-32305a-=≠故选：A.7. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间的频率为0.45；[300500),②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【正确答案】D【分析】根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可0.0025a =[300500),[200500),判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间0.5的比例，求出中位数，判断③.【详解】由，，(0.0010.00150,0020.00052)1001a ++++⨯=0.0025a =的频率为，①正确；[300500),(0.0020.0025)1000.45+⨯=的频率为，②正确；[200500),(0.00150.0020.0025)1000.55++⨯=的频率为，的频率为，[20000),40.3[200500),0.55中位数在且占该组的，[400,500)45故中位数为，③正确.0.50.34001004800.25-+⨯=故选:D.本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题8. 若函数在为单调函数，则实数a 的取值范围是()sin cos f x a x x =+ππ[,]44-A. B. (,1][1,)-∞-+∞ (,1]-∞-C. D. [1,)+∞[1,1]-【正确答案】A【分析】利用排除法，由，由，从而可得结果.a =,B D a =C 【详解】利用特值法：时，；a =()26f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭时，单调递增，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦5,61212x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；,B D ，a =()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，7,,,4431212x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即合题意，排除，故选A.C 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.n 9. 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ）A. 13B. 16C. 20D. 25【正确答案】B【分析】根据给定条件，确定十位、千位数字，再分类求解作答.【详解】依题意，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的十位、千位数字分别为5与4或5与3，当十位、千位数字为5与4时，排十位、千位数字有种，排另三个数位有种，共有22A 33A 种，2323A A 当十位、千位数字为5与3时，则4与5必相邻，且4只能为最高位或个位，即4与5可视为一个整体，1，2，3视为一个整体，且3在1与2的中间，因此不同排法有种，2222A A 所以构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为.22222323A A 262216A A =⨯+⨯+=故选：B10. 数列1，1，2，3，5，8，13，.称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂L 纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”据未来某教育专家（这里省略271字人物简介）考证，中国古代很早就一边养兔子吃兔子，一边研究“兔子数列”，比斐波那契早得多，只是因为中国古代不重视自然科学，再加上语言不通交流不畅，没有得到广大非洲朋友的认可和支持，才让欧洲人捡了便宜.“兔子数列”的构造特征是：前两项均为1，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，某人设计如图所示的程序框图，当输入正整数时，输出结果恰好为“兔子数列”的第n 项，则图中空白处应填入（ ）(3)n n ≥A. B. C. D. b a b =+b a c=+a b c=+c a c=+【正确答案】B【分析】由数列可得数列,，结合程序框图即可得1,1,2,3,5,8,13, 12n n n a a a --=+()3n ≥出答案.【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,,，∴12n n n a a a --=+()3n ≥结合程序框图可得空白处为:.b a c =+故选：B.11. 下列结论中正确的是（）A. 若，，则0a b >>0c d <<b a c d >B. 若且，则0x y >>1xy =()21log 2x yx x y y +>>+C. 设是等差数列，若，则{}na 210a a >>2a <D. 若，则[)0,x ∈+∞()21ln 18x x x +≥-【正确答案】A【分析】根据不等式的性质判断A ，利用特殊值判断B ，根据等差数列的性质及基本不等式判断C ，构造函数，利用导数判断D.【详解】选项A ，由，可得，则，0c d <<0c d ->->11d c ->->又，所以，则，故A 正确.0a b >>a b d c ->-b ac d >选项B ，取，则，12,2x y ==221154,,log ()log 1282xy x x y y +==+=>则不等式不成立，故B 不正确.()21log 2xyx x y y +>>+选项C ，由题意得且，1322a a a +=13a a ≠所以，故C 不正确.21311=()22a a a +>⨯=选项D ，设，则，21()ln(1)8h x x x x=+-+1(3)()1144(1)x x x h x x x -'=-+=++当时，，则单调递减，，03x <<()0h x '<()h x ()(0)0h x h <=即，故D 不正确.()21ln 18x x x +<-故选：A.12. 已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F 的距离与到定直线l 的距离（F 不在l 上）的比值e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的()222210,0x y a b a b -=>>1F 直线l 交双曲线于A ，B 两点，满足．设M 为AB 的中点，则直线OM 斜率的最113F B F A =小值是（ ）A. B. C.D.【正确答案】C【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得tan θ=法可得，进而可得.22AB OM b k k a =OM k =【详解】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影A B 1AF O θ∠=,A B 为，因为，11,A B 113F B F A =则，()1111112cos BB AA BF AF AB ee BF AF θ++===-所以tan θ=设，则，()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 2222112222221,1x y x y a b a b -=-=所以，，即，22221212220x x y y a b ---=2012121221212120y y y y y y y b x x x x x xx a -+-⋅=⋅=-+-22AB OM b k k a =所以，222tan 1ABOM OM OMbk k k k e aθ====-所以，当且仅当2OM k ==≥=e =故选：C.关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，112cos BB AA AB eθ+==然后利用点差法得.OM k =第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题每小题5分共20分．把答案填在答题卡上13.______．1ln341e81-+=【正确答案】1-【分析】利用指对数运算的性质化简求值即可.【详解】.114ln31441e81331)3311⨯--+=-+=--=-故1-14. 设定义在上且，则______．()f x R ()()()()()()2log 2,212,2x x f x f x f x x ⎧-<⎪=⎨---≥⎪⎩()13f =【正确答案】0【分析】根据分段函数解析式一一计算可得.【详解】因为，()()()()()()2log 2,212,2x x f x f x f x x ⎧-<⎪=⎨---≥⎪⎩所以，()()()()()()()13121111101110f f f f f f f =-=--=-，()()()()()()()10988787f f f f f f f =-=--=-同理可得.()()()()21371log 210f f f ===-=故015. 用表示等差数列的前n 项和，若，，则m 的值n S {}n a 1233m m m a a a ++++=21121m S +=为______．【正确答案】5【分析】利用等差中项性质有，结合等差数列前n 项和公式有，111m a +=1(21)121m m a ++=即可求参数值.【详解】由，则，121333m m m m a a a a +++++==111m a +=由，则，121211(21)()(21)1212m m m m a a S m a +++++==+=2111+=m 所以.5m =故516. 已知三点都在以为直径的球的表面上，，，、、A B C PC O AB BC ⊥2AB =，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为_________．4BC =O PB AC【分析】作出图形，分别取、、的中点、、，连接、、、，利PA AB BC M N E MN NE ME AE 用中位线的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线与所成的角为或PB AC MNE ∠其补角，并计算出各边边长，利用余弦定理计算出，即可得出答案．MNE ∆cos MNE ∠【详解】解：设球的半径为，则，得，O R 343R π=R =如下图所示，分别取、、的中点、、，连接、、、，PA AB BC M N E MN NE ME AE易知，平面，，，PA ⊥ABC AB BC ⊥ ∴AC ==∴，2PA ==为的中点，则，E BC AE ==、分别为、的中点，则，且M N PA AB //MN PB MN ==同理可得，且，//NE AC 12NE AC ==所以，异面直线与所成的角为或其补角，且，PB AC MNE ∠3ME ==在中，，，，MNE ∆MN =NE =3ME =由余弦定理得222cos 2MN NE ME MNE MN NE +-∠==因此，异面直线与．PB AC本题考查球体体积，考查异面直线的定义，同时也考查了余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题共60分．17. 某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天.两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件(含30件)的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元. 经统计，试销这10天两个商家每天的销量如图所示的茎叶图（茎为十位数字，叶为个位数字）：（1）现从甲商家试销的10天中随机抽取两天，求这两天的销售量都小于30件的概率；（2）根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题：①记商家乙的日返利额为X(单位：元)，求X 的分布列和数册望；②超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的数册望考虑，请利用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由.【正确答案】（1）；（2）①分布列见解析，153；②由①得乙商家的日平均返利额为15313元>148.2元，所以推荐该超市选择乙商家长期销售.【分析】（1）记“抽取的两条销售量都下于30件”为事件，利用排列组合即可求得答案；A （2）①设乙商家的日销售量为，推导出的所有可能取值为：140，145，150，160，分a X 别求出相应的概率，由此能求出的分布列和；X EX ②依题意，求出甲商家的日平均销售量，从而求出甲商家的日平均返利额，再求出乙商家的日平均返利额，从而推荐该超市选择乙商家长期销售．【详解】(1)记“抽取的两天销售量都小于30件”为事件A ，则.262101()3C P A C ==（2）①设乙商家的日销售量为件，则当时，；当时，a 28a =285140X =⨯=29a =；当时，；当时，295145X =⨯=30a =305150X =⨯=31a =.所以的所有可能取值为：140，145，150，160.305110160X =⨯+⨯=X 所以X 的分布列为X 140145150160P110151512所以；()111114014515016015310552E X =⨯+⨯+⨯+⨯=②依题意，甲商家的日平均销售量为：28×0.2+29×0.4+30×0.2+31×0.2=29.4.所以甲商家的日平均返利额为：60+29.4×3=148.2元.由①得乙商家的日平均返利额为153元>148.2元，所以推荐该超市选择乙商家长期销售.本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数册望的求法及应用，考查古典概型、茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 如图，在多面体中，平面，平面平面，是边ABCDE ⊥AE ABC BCD ⊥ABC ABC 长为的等边三角形，，．2BD CD ==2AE =（1）证明：平面平面；EBD ⊥BCD （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．BED ABC 【正确答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可BC O AO DO AODE 得出，利用面面垂直的性质定理推导出平面，可得出平面//AO DE AO ⊥BCD DE ⊥，利用面面垂直的判定定理可证得结论；BCD （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标O OB AO OD x y z 系，利用空间向量法可计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.BED ABC 【详解】（1）取中点，连接、，BC O AO DO为的中点，则， ，BD CD == O BC DO BC ⊥2DO ==平面，平面平面，平面平面，DO ⊂ BCD DBC ABC BC =BCD ⊥ABC 平面，DO ∴⊥ABC 平面，，AE ^Q ABC //AE DO ∴又，四边形是平行四边形，，2DO AE ==∴AODE //ED AO ∴是等边三角形，，ABC AO BC ∴⊥平面，平面平面，平面平面，AO ⊂Q ABC BCD ABC BC =BCD ⊥ABC 平面，平面，AO ∴⊥BCD ED ∴⊥BCD 平面，平面平面；ED ⊂ EBD ∴EBD ⊥BCD （2）由（1）得平面，又平面，，AO ⊥BCD DO ⊂BCD AO DO ∴⊥又，，DO BC ⊥AO BC ⊥以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系O OB AO OD x y z ，O xyz -则、、、，()0,A ()1,0,0B ()0,0,2D ()0,2E 平面的一个法向量为，ABC ()0,0,1m =设平面的一个法向量为，，，BED (),,n x y z =()1,0,2BD =-()1,2BE =-则，取，得，2020n BD x z n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2x =()2,0,1n = 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则．BED ABCθcos m n m nθ⋅===⋅ 因此，平面与平面BED ABC 本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力，难度不大.建立合适的空间直角坐标系是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.设函数的图象关于直线对称，其中为常()22sin cos f x x x xωωω=+πx =ω数且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）在中，已知，且，求的值．ABC ()3f A =2B C =cos cos A C 【正确答案】（1）； 5π()2sin()136f x x =-+（2）.14【分析】（1）应用倍角正余弦公式化简函数式，根据对称轴有且，ππ2ππ62k ω-=+Z k ∈结合参数范围求参数值，即可得函数解析式；（2）由题设得求得，根据已知求得，然后利用三角5πsin()136A -=2π5A =2ππ,55B C ==恒等变换结合条件即得.【小问1详解】因为，()22sin cos f x x x xωωω=+所以，()π1cos(2))2sin(2)16f x x x x ωωω=-+=-+由题意且，则且，ππ2ππ62k ω-=+Z k ∈132kω=+Z k ∈由，则，故，1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1k =115326ω=+=所以.5π()2sin(136f x x =-+【小问2详解】由，则，，5π()2sin(1336f A A =-+=5πsin()136A -=0πA <<所以，故，可得，5ππ3π(,)3662A -∈-5ππ362A -=2π5A =所以，而，故，3ππ5B C A +=-=2B C =2ππ,55B C ==所以，且，sin sin 4C C =2A C =所以，1cos cos sin cos 2cos sin sin 44A C C C C C C==所以.1cos cos 4A C =20. 椭圆的中心在原点，一个焦点为，且过点．Γ(12B ⎛ ⎝（1）求的标准方程；Γ（2）设，斜率为的直线l 交椭圆于M ，N 两点且，()1,0A ()0k k >AM AN ⊥①若，求k 的值；AM AN=②求的面积的最大值．AMN 【正确答案】（1）； 2214y x +=（2）①；②.k =6425【分析】（1）根据题设确定焦点位置及标准方程形式，由点在椭圆上及参数关系列方程求参，即可得椭圆标准方程；（2）①令，联立椭圆并整理为，结合:MN y kx m =+222(4)240k x kmx m +++-=及韦达定理，根据向量垂直的坐标表示、两点距离公式列方程求；②设直线0∆>k 利用椭圆方程可得坐标，进而可表示出()():1,0AM y t x t =-≠M ，然后利用换元法结合函数单调性即得.()()()22232112414AMNt t S AM AN t t +==++ 【小问1详解】由题设，椭圆焦点在y 轴上，且且，c =22221y x a b +=0a b >>所以，可得，222231143ab a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2241a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为.Γ2214y x +=【小问2详解】令，联立椭圆：，则，:MN y kx m =+Γ2244y x +=22()44kx m x ++=所以，，222(4)240k x kmx m +++-=222244(4)(4)0k m k m ∆=-+->设，则，则，，()(),,,M M N N M x y N x y 224k m +>224M N km x x k +=-+2244M N m x x k -=+由，，(1,)M M AM x y =- (1,)N N AN x y =-①因为且，AM AN ⊥AM AN=所以，即，2222(1)(1)0(1)(1)M N M N M M N N x x y y x y x y --+=⎧⎨-+=-+⎩22222523043()2()MN M N m km k k x x x x ⎧+-=⎪+⎨⎪-=--⎩所以，而，22523(53)()0[3()2]()0M N M N m km k m k m k x x x x ⎧+-=-+=⎨++-=⎩0MN xx -≠故且，可得，此时2(53)()0340m km k k km -+=⎧⎨-+=⎩0k >k =m =所以；k =②设直线，由，可得，()():1,0AM y t x t =-≠()22114y t x yx ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22224240t x t x t +-+-=所以，，2244M t x t -=+22248144M t ty t t t ⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭即，且，22248,44t t M t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭1AM =-=又，同理可得AM AN ⊥222148,1414t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以，()()()()()222222232132112414419AMNt t t t S AM AN t t t t ++===++++ 令，则，2112t n t t t+==+≥119432AMNn S n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 对函数，，函数单调递增，194,(2)32y n n n ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭22219149403232n y n n ⎛⎫-⎛⎫'=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故，192543264y n n ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭6425AMN S ≤ 即的面积的最大值为.AMN 6425圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21. 已知函数，其中．()()()32116868ln 432f x x a x a x a x a=-+++--R a ∈（1）若，求的单调区间；2a =()f x （2）已知，解关于x 的不等式．（参考数据：）()()24f f =()8f x ≤217ln 2324<<【正确答案】（1）的减区间为，增区间为.()f x (0,4)(4,)+∞（2）.{}2,4【分析】（1）对函数求导，研究导函数的符号，进而确定其单调区间；（2）由题意得，即，对函数求导，研究导函数234ln 203a a --=2(2,4)3(34ln 2)a =∈-的符号，判断单调性，进而可得最小值，即得.【小问1详解】由题设，则，且，321()42016ln 83f x x x x x =-+--216()820f x x x x '=-+-0x >所以，22(4)4(4)(4)(2)()x x x x x f x x x x ----'=+=当时，，当时，，(0,4)x ∈()0f x '<(4,)x ∈+∞()0f x '>所以的减区间为，增区间为.()f x (0,4)(4,)+∞【小问2详解】由题意，()()()()864262868ln 24864868ln 4433a a a a a a a a -+++--=-+++--所以，即234ln 203a a --=23(34ln 2)a =-因为，所以，217ln 2324<<2(2,4)3(34ln 2)a =∈-又，且，28(2)()(4)()(6)(86)a x x a x f x x a x a x x ---'=-+++-=0x >当或时，或时，(0,2)x ∈(,4)x a ∈()0f x '<(2,)x a ∈(4,)x ∈+∞()0f x '>所以、上递减，、上递增，(0,2)(,4)a ()f x (2,)a (4,)+∞()f x 又极小值，()()24f f =故最小值为，()f x ()()20242(34ln 2)83f f a ==+-=所以不等式的解集为.()8f x ≤{}2,4方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.（二）选考题：其10分．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线xOyC 2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩α的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．l y x=x （1）求曲线的极坐标方程；C （2）若直线与曲线交于，两点，求的值．l C P Q OPOQ【正确答案】（1） 2cos 4sin 30ρθρθ--+=（2）3【分析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据，得到曲线的C 222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩C 极坐标方程；（2）首先求出直线的极坐标方程，设，，将代入曲线的极l 1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭2π,6Q ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭π6θ=C 坐标方程，利用韦达定理计算可得.【小问1详解】因为曲线的参数方程为（为参数），C 2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩α所以曲线的普通方程为，即，C (()2224xy +-=22034y x y -+-+=由可得曲线的极坐标方程为.222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩C 2cos 4sin 30ρθρθ--+=【小问2详解】因为直线的方程为，所以直线的极坐标方程为，l y x =l ()6θρ=∈πR 设，，将代入可得1π,6Pρ⎛⎫ ⎪⎝⎭2π,6Q ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭π6θ=2cos 4sin 30ρθρθ--+=，2530ρρ-+=因为，所以，，()2543130∆=--⨯=>123ρρ=125ρρ+=所以.123OP OQ ρρ==[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f （x ）=|x-m|-|2x+2m|（m ＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f （x ）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x ∈R ，∃t ∈R ，使得f （x ）+|t-1|＜|t+1|，求实数m 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）[-2，-]；（Ⅱ）0＜m ＜123【分析】（Ⅰ）分段去绝对值解不等数组后在相并可得；（Ⅱ）f （x ）+|t-1|＜|t+1|⇔f （x ）＜|t+1|-|t-1|对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．再利用分段函数的单调性求得f （x ）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t+1|-|t-1|的最大值，然后将问题转化为f （x ）的最大值＜（|t+1|-|t-1|）的最大值可得．【详解】（Ⅰ）当m=1时，|x-1|-|2x+2|≥1⇔或或，{x 1x 31≤-+≥{1x 13x 11-<<--≥{x 1x 31≥--≥解得-2≤x≤-，所以原不等式的解集为[-2，-]．2323（Ⅱ）f （x ）+|t-1|＜|t+1|⇔f （x ）＜|t+1|-|t-1|对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．∵f （x ）=，x 3m x m 3x m m x m x 3m x m +≤-⎧⎪---⎨⎪--≥⎩，，＜＜，根据分段函数的单调性可知：x=-m 时，f （x ）取得最大值f （-m ）=2m ，∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值为2．所以问题转化为2m ＜2，解得0＜m ＜1．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考模拟试题四川卷数学理科
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考模拟试题（四川卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分 钟．第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．已知全集 U {xN|0≤x≤6}，集合 A {1，3，5}，B {2，4，6}，则（ ）A．0A BB．0( U A ) BC．0(A) ( U B )D．0 ( U A ) ( U B )2．5 名同学去听同时举行的 3 个课外知识讨论，每名同学可自由选择听其中的 1 个讨论，不同选择的种数是（）A．10B．60C．125D．2433．要得到函数 y sin(2x )的图象，只需将函数 y cos2x 的图象 4A．向左平移 个单位长度 8B．向右平移 个单位长度 8C．向左平移 个单位长度 4D．向右平移 个单位长度 44．设 M 是 ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则 OA OB OC OD（） （）A． OMB．2 OMC．3 OMD．4 OM5．函数 y cos2x 3 sinxcosx(x[0, ])为增函数的区间是（）A．[0, ]B．[ , ]C．[ , ]312 336D．[ , ] 66．如图，有一块半径为 1 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上，则梯形面积 y 和腰长 x 间的函数的大致图象是yyyy1111（）DCO 1x O 1x O 1x O 1A． B．C．D．7．曲线 x2 y2 |x| |y|围成的图形的面积是A． 2B． 1C． 2 22x AOBD． 1 2（）8．函数 f(x)a，b，c，则 （）( 1 )x 2log 1 x，g(x)2( 1 )x log2x，h(x) 22x log2x 的零点分别为A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b9．运行如下程序框图，如果输入的 x[7,11]，则输出 y 属于（ ）A．( 20,12]B．( 20,16]开始C．[ 20,12]D．[ 20,16]输入xx ≥ 0,10.已知x，y满足不等式组 y x≥ 0, y≤s,当 3≤s≤5 时， y 2x ≤ 4.目标函数 z 3x 2y 的最大值的变化范围是 （ ）A．[6,15]B．[7,15]C．[6,8]D．[7,8]n0x≤3是否nn1，xx4输出y结束第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在题中的横线上． 11.双曲线 y2 x2 1的焦点到其渐近线的距离是．9 1612.(1 x x2)(1 x)10 展开式中 x4 的系数是．13.把复数 z1 在复平面内的对应点 P 绕原点逆时针旋转 90°得复数 z2 在复平面内的对应点Q，z1 2 i，则 z1z2 ．14.已知 x＞0，y＞0，且 4xy x 2y 4，则 xy 的最小值为．15.正方体 ABCD A1B1C1D1 中，P，Q 分别是线段 AC，B1D1 上的动点．现有如下命题：（1） P，Q，使得 AQ∥C1P； （2） P，Q，使得 AQ⊥C1P； （3） P，Q，使得 AQ∥BP；D1Q A1C1 B1（4） P，Q，使得 AQ⊥BP． 其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）D PAC B三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分 12 分） 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核， 否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 4 、 5 3 、 2 ，且各轮问题能否正确回答互不影响． 43 (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率； (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题正确的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期 望．17.（本小题满分 12 分） 已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列． (Ⅰ)求证：a2，a8，a5 成等差数列； (Ⅱ)若 a1 a4 3，求 a1 a4 a7 … a31．18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC，平面SAB⊥底面 ABCD，且 SA SB 2 ，AD 1，AB 2，BC 3．(Ⅰ)求证：平面 SAD⊥平面 SBC；S(Ⅱ)求面 SCD 与底面 ABCD 所成二面角的余弦BC值．AD19.（本小题满分 12 分）已知 AD 是△ ABC 的角平分线，且△ ABD 的面积与△ ACD 的面积比为 3:2． (Ⅰ)求 sin B 的值；sin C (Ⅱ)若 AD 3 2 ，∠C 2∠B，求△ ABC 的面积．20.（本小题满分 13 分）如图，椭圆C: x2 a2y2 b2 1 (a＞b＞0)经过点P(2,3)，离心率 e 1 ，直线 l 的方程为 y 4． 2My B(Ⅰ)求椭圆 C 的方程； O(Ⅱ)AB 是经过(0,3)的任一弦(不经过点 P)．设直线 AB与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为k1， k2，k3．问：是否存在常数 ，使得 1 1 ？若存在，求 的值．k1 k2 k3l Px A21.（本小题满分 14 分）已知直线 y x b 与函数 f(x) lnx 的图象交于两个不同的点 A，B，其横坐标分别为x1，x2，且 x1＜x2．(Ⅰ)求 b 的取值范围；(Ⅱ)证明：x1x22＜2．高考模拟试题（四川卷） 数学（理科）一、选择题． 1.D因为 0 A，0 B，所以 0( U A ) ( U B )。
2021年四川省成都市高考数学模拟试卷(理科)(一)有答案
2021年四川省成都市某校高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.对应的点的坐标为（）1. 在复平面内，复数z=2+3iiA.(3, 2)B.(2, 3)C.(−2, 3)D.(3, −2)2. 已知集合A＝{x|y＝ln(−x2−3x+4)}，B＝{y|y＝2}，则A∪B＝（）A.(−4, 4]B.(0, 1)C.(−∞, 4]D.(−4, +∞)3. 设命题p:∀x≤0，＝−x，则￢p为（）A.∀x≤0，≠−xB.∃x0≤0，＝−x0C.∀x>0，＝−xD.∃x0≤0，≠−x04. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所2围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）为2π3（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）A.220平方米B.246平方米C.223平方米D.250平方米5. 已知双曲线8x2−8y2＝−1有一个焦点在抛物线C:x2＝2py(p>0)准线上，则p的值为（）A.2B.1C.D.6. 已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7＝20，a4⋅a7＝64，则＝（）A. B. C. D.7. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A.P＝B.P＝C.P＝D.P＝8. 已知sin(θ−）cos(π+θ)＝cos2θ，且sinθ≠0，则tan(θ+）的值为（）A. B. C.2− D.2+9. 某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，且S1＝λS2，则λ＝（）A.1B.23C.32D.4310. 已知AB是半径为2的圆M的一条直径，四边形ABCD是圆M内接四边形，∠CMD＝120∘，若P在线段CD上（端点C、D除外）运动，则•的取值范围是（）A.(0, 3)B.(1, 3)C.[−3, 0)D.(−3, 3)11. 已知椭圆C1：＝1(a>b>0)，双曲线C2：-＝1，F1，F2分别为C2的左、右焦点，P为C1和C2在第一象限内的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为2，C1和C2的离心率之积为，则该内切圆的半径为（）A.4−2B.4+2C.4−2D.4−212. 已知函数f(x)＝+，若关于x的方程f2(x)−mf(x)+m2−1＝0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）A.(1，+1)B.(0，+1)C.(1，）D.(0，）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.如图，动点P(x, y)在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，则z＝2x−4y的最小值为________．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有________种放法．（用数字作答）已知函数f(x)＝，若f(x)≥f(1)恒成立，则正实数a的取值范围是________．已知f(x)＝m sinωx−cosωx(m>0, ω>0)，g(x)＝e x，若对∀x1∈R，∃x2∈[0, ln2]，使得f(x1)≤g(x2)成立，若f(x)在区间[0, π]上的值域为[−1，]，则实数ω的最大值为________．三、解答题(一）必考题:共60分已知数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N∗，都有＝a n+1．（1）设b n＝a n+1−a n，判断数{b n}是否为等差数列或等比数列．（2）若a2＝5，c n＝，求数列{c n}的前2n项的和S2n．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示2018年x月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望．参考数据：x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57．参考公式：相关系数r＝如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，CD＝，F为棱PA上一点，且AF＝λAP(0<λ<1)，M为AD的中点，四棱锥P−ABCD的体积为．（1）若λ＝，N是PB的中点，求证：平面MNF // 平面PCD，（2）是否存在λ，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为？已知椭圆C：＝1(a>b>0)上任意一点到其两个焦点F1，F2的距离之和等于2，焦距为2c，圆O:x2+y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若直线l1:y＝kx+m(m≠0)与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l1与l2平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于l1的同侧），求直线l1、l2距离d的取值范围．已知函数f(x)＝x2+m ln(1−x)，其中m∈R．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：f(x1)+f(x2)>-ln4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为{x＝3cosθy＝2sinθ，（θ为参数），P(x0, y0)是曲线C上的任意一点，动点Q(x, y)满足{x＝x02y＝3y0，记Q(x, y)轨迹为E，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，A点的极坐标为(5, 0)．（1）求E的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x|．（1）求不等式f(x−1)+f(2x−1)≤2x的解集；（2）若a>0，b>0，c>0，且＝1，证明：f(x+a)+f(x−b−c)≥36．参考答案与试题解析2021年四川省成都市某校高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】复数的运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=2+3ii =(2+3i)(−i)−i2=3−2i，∴在复平面内，复数z=2+3ii对应的点的坐标为(3, −2)．2.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】扇形面积公式【解析】在Rt△AOD中，由题意OA=20，∠DAO=π6，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．如图，由题意可得：∠AOB=2π3，OA=20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×20=10，可得：矢=20−10=10，由AD=AO⋅sinπ3=20×√32=10√3，可得：弦=2AD=2×10√3=20√3，所以：弧田面积=12（弦+矢）×矢=12(20√3+10)×10≈223平方米．5.【答案】B【考点】抛物线的性质双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】D两角和与差的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由题意知该柱体是圆柱，且底面圆的直径等于母线长，设底面圆的半径为R，求出圆柱的表面积和内切球的表面积，计算λ的值即可．【解答】由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为R，则圆柱的母线长为2R，内切球的半径也为R，则圆柱体的表面积为S1＝2πR2+2πR⋅2R＝6πR2，其内切球的表面积为S2＝4πR2，又S1＝λS2，则λ=S1S2=6πR24πR2=32．10.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】A【考点】双曲线的离心率椭圆的离心率【解析】此题暂无解析12.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】−12【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】10【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(0，]【考点】分段函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析三、解答题(一）必考题:共60分【答案】数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N∗，都有＝a n+1．所以：a n+5−a n+1＝a n+1−a n，所以：数列{a n}的公差为8时，b n+1＝b n＝0，所以：数列{b n}是等差数列，不是等比数列．当数列{a n}的公差不为3时，b n+1＝b n≠0，所以：数列{b n}既是等差数列，又是等比数列．若a6＝5，由（1）知：a n+1−a n＝a6−a1＝2，所以：a n＝4n+1．则：，则：S2n＝S奇+S偶，＝(8+7+11+...+2n+7)+(42+44+...+44n)，＝．【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意，计算，＝21，又x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈2.58，；所以相关系数r＝＝＝＝≈5.92；因为0.92非常趋近1，所以变量x，可用线性回归模型拟合y与x的关系；二人所获奖金总额X的所有可能取值有4，3，5，8，8，10千元，计算P(X＝0)＝×＝，P(X＝3)＝2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝7)＝×＝，P(X＝8)＝2××＝，P(X＝10)＝×＝；所以随机变量X的分布列为：X0456510数学期望为E(X)＝0×+3×+7×+10×．【考点】离散型随机变量的期望与方差求解线性回归方程离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】∵，∴F是A的中点，∵N是PB的中点，∴FN // AB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB // CD，∵CD⊂平面PCD，FN⊄平面PCD，∴FN // 平面PCD，FM // DP，DP⊂平面PCD，∴FM // 平面PCD，FM∩FN＝F，FM，∴平面FMN // 平面PCD．连结PM，过M作ME // CD，由△PAD是等边三角形，得PM⊥AD，面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，PM⊂面PAD，∴PM⊥平面ABCD，以M为原点，MA为x轴，MP为z轴，假设存在λ，满足题意，设，3)，则A(1, 0, 6)，0，），B(7，，M(0，5，＝(1，，5)，＝），则＝＝(4−），设面FMN的法向量＝(x，y，则，即，取y＝-，得＝(2，-，），取PAD的法向量＝(0，1，由题知|cos<>|＝＝＝，∴存在λ＝，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】椭圆C：＝1(a>b>8)中，解得a＝；又圆的直径AB⊥x轴时四边形A6AA2B的面积最大，最大为2ac＝5，解得c＝1，所以b2＝a2−c2＝7，所以椭圆C的方程为+＝1；由直线l6:y＝kx+m(m≠0)与圆O相切，得＝1；再设直线l2:y＝kx+n，联立，消去y得(5k2+8)x2+10knx+5n4−20＝0；所以△＝(10kn)2−7(5k2+4)(5n2−20)＝4，化简得n2＝5k7+4；因为d＝＝＝|1−|，且＝＝5−；由k5≥0，得0<，所以6≤；由O、P两点位于l1的同侧，m、n异号<≤−2；所以d＝1−∈[3），即直线l1、l4距离d的取值范围是[3，1+）．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】函数的定义域为(−∞, 1)＝，1−x>3，令−x2+x−m＝0，判别式△＝6−4m，当△≤0，则f′(x)≤6恒成立，1)上是减函数，当△>0，即m<时2−x+m＝2，得x1＝，x2＝，若0<m<，则x1<x4<1，则当x<x1时，f′(x)<8，当x1<x<x2时，f′(x)>4，当x2<x<1时，f′(x)<6．若m≤0，则x1<2≤x2，则x<x1时，f′(x)<6，x1<x<1时，f′(x)>3综上m≤0时，f(x)的单调递减区间为(−∞，），1)．0<m<时，f(x)的单调递减区间为(−∞，），（，单调递增区间为（，），m≥时，f(x)的单调递减区间为(−∞．函数的定义域为(−∞, f′(x)＝x−＝，若函数f(x)存在两个极值点x1，x5，且x1<x2，∴f′(x)＝6在(−∞, 1)上有两个不同的根x1，x5，设g(x)＝−x2+x−m，则，得0<m<，从而，且x7<x2，得0<x5<，5<x2<，f(x1)+f(x2)＝x17+m ln(1−x1)+x22+m ln(1−x2)＝(x17+x22)+m ln(4−x1)(1−x7)]＝[(x8+x2)2−8x1x2]+m ln[(5−(x1+x2)+x2x2]＝(1−2m)+m ln m，构造函数ℎ(x)＝x ln x−x+，0<x<，则ℎ′(x)＝ln x<0，即ℎ(x)在2<x<上单调递减，∴ℎ(x)>ℎ（）＝-．即证．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】由已知Q(x, y)满足{x＝x02y＝3y0及{x0＝3cosθy0＝2sinθ得{x＝3cosθy＝3sinθ，∴曲线E:x2+y2=9，由于l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，即为y=x，A(5, 0)∵|MN|=6，d=√2，S=12⋅6√2=15√22．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由已知Q(x, y)满足{x＝x02y＝3y0及{x0＝3cosθy0＝2sinθ得{x＝3cosθy＝3sinθ，消去θ可得E的普通方程，（2）l的极坐标方程化为直角坐标方程为y=x，MN为圆的直径，点到直线的距离求出三角形的高，代入面积公式可得．【解答】由已知Q(x, y)满足{x＝x02y＝3y0及{x0＝3cosθy0＝2sinθ得{x＝3cosθy＝3sinθ，∴曲线E:x2+y2=9，由于l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，即为y=x，A(5, 0)∵|MN|=6，d=√2，S=12⋅6√2=15√22．[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x−1)+f(2x−5)＝|x−1|+|2x−3|，当x>1时，|x−1|+|7x−1|＝3x−4≤2x，故1<x≤2，当≤x≤6时，解得：x≥0，故，当x<时，|x−3|+|2x−1|＝3−3x≤2x，故≤x<，综上，不等式的解集是{x|；由绝对值不等式的性质得：f(x+a)+f(x−b−c)＝|x+a|+|x−b−c|≥|x+a−x+b+c|＝a+b+c，∵a>0，b>4，且＝1，∴a+b+c＝(a+b+c)（）＝1+7+9+++≥14+8+2＝36，当且仅当b＝2a，c＝3a时“＝”成立，故原命题成立．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
四川省高考数学模拟试卷(理科)
四川省高考数学模拟试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·山西期中) 已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|x2﹣1＞0}，则A∩B=（）A . [﹣2，1）B . （﹣1，1）C . （1，2]D . （﹣2，﹣1）∪（1，2]2. （2分）(2020·滨州模拟) 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·昌平模拟) 设是非零向量，则“存在实数，使得”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）(2020·江门模拟) 若向量、满足，则一定有（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·榆林模拟) 函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（）A . （5，π）B . （4，π）C . （﹣1，2π）D . （4，2π）6. （2分） (2016高二上·河北开学考) 若 {an}是等比数列，a4a7=﹣512，a3+a8=124，且公比q为整数，则a10=（）A . 256B . ﹣256C . 512D . ﹣5127. （2分）(2017·黑龙江模拟) 《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a，则输出的结果为（）A . 81B . 74C . 121D . 1698. （2分） (2018高一下·伊春期末) 空间某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中x的值为（）A . 5B . 4C . 3D . 29. （2分） (2019高一下·吉林期末) 若 x、y 满足约束条件，则 z=x-y 的最小值是（）A . 0B .C .D . 310. （2分）(2019·宁波模拟) 在（x-2)2019的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为M，含x的偶次幂的项之和为N，则当x=-1时，M-N=（）A . （-3）2019B . -1C . 1D . 3201911. （2分） (2017高二下·彭州期中) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两点，若△FPQ是边长为2的正三角形，则p的值是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·葫芦岛期末) 定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2019高一上·广州期中) 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为70元/盒、65元/盒、85元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到128元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为________.14. （1分） (2016高一上·张家港期中) 设f（x）=log3（3x+1）+ ax是偶函数，则a的值为________．15. （1分）已知球O的表面积是其直径的倍，则球O的体积为________．16. （1分）(2018·江苏) 已知集合 ,将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ,记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为________.三、解答题 (共8题；共75分)17. （10分） (2015高三上·厦门期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（1）求b的值；（2）求的值．18. （10分） (2016高二下·宁波期末) 一个口袋装有大小相同的小球9个，其中红球2个、黑球3个、白球4个，现从中抽取2次，每次抽取一个球．（1）若有放回地抽取2次，求两次所取的球的颜色不同的概率；（2）若不放回地抽取2次，取得红球记2分，取得黑球记1分，取得白球记0分，记两次取球的得分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19. （5分）(2017·运城模拟) 三棱锥A﹣BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径．20. （10分）(2014·江西理) 如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C 的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0 ， y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．21. （10分） (2019高二下·佛山月考) 已知函数在处有极小值．（1）求、的值；（2）求出函数的单调区间．22. （10分）(2016·江西模拟) 直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．（1）证明：DB=DC；（2）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23. （10分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.（1）当时，求两点的极坐标；（2）设，求的值.24. （10分） (2016高一上·六安期中) 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．（2）若函数g（x）=f（x）+（4﹣2a）x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。
四川高考数学模拟试题理科
{R 00b +b =b =b -3=32考前须知：2022 年四川高考数学模拟试题〔理科〕考试时间：120 分钟；总分值：150 分1．答题前填写好自己的姓名等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷〔选择题，共 50 分〕一、选择题〔共 10 小题，每题 5 分，每题有且只有一个选项正确〕1．集合，〔〕A ．B ． C． D ．B ={xy A ==ln (x 12-x x 2-)x }-,2那么≤1A I CB = [([(-1，,1，21]))2．假设，i 是虚数单位，那么复数 z 的虚部为〔〕z1-i = 3 +i A ．B ．C ．--222i 2i D ．3．函数在上的图象是〔〕y =[--πx ,πs in ]x4．以下有关命题的说法错误的选项是〔〕A ．命题“假设，那么〞的逆否命题为 x 2-3x x ≠=+12≠=0“假设，那么〞B ．“〞是“〞的充分不必要条件C ．对于命题：，使得，那么：，那么D ．假设为假命题，那么、均为假命题x 2-3x x =+12 =0x x 2∃+∀x x ⌝p ∈+p +1R 1≥<0 0 pq ∧p q 5．平面向量，满足，，，那么〔a ρρa ρ⋅ρρa ρρ 〕A ．B ． 42+17 3C ．D ．6．定义运算为执行如下图的 πa ⊗b 7π程序框图输出的 S 值，那么的值为(2 cos 3 ) ⊗tan 4〔〕a ≥b ?S=b(a+1)S=a(a-b)输入 a,b输出 S结束是否A ．2B ．-2C ．-1D ．17．抛物线〔〕与椭圆〔〕有相 x a y 2A 2>p F =F A b >y ⊥22>0p x 0x +=1同的焦点，点是两曲线的一个公共点，a 2且轴，那么椭圆的离心率为〔〕 A ． B ．2 b 2 2352-1C ．D ．8．在区间上任取一个数，那么C C :x :2+x -[y -23a +,234]x -25=0圆与圆有公共点的概率为〔 〕1 2 (a 2)+y = 1A ． B ． C ．215D ．9．在?爸爸去哪儿?第二季第四期中，村 36长给 6 位“萌娃〞布置一项搜寻空投食物的任务. ：①食物投掷地点有远、近两处；②由于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有〔〕 A．100种B．80种C．70种D．40种10．函数,, 设函数， 且函数的F ([a x ),b =](x f a 2(<b F x -+(b x x ,3a 3)a ),⋅b g x ∈(4x Z -)4)x 2022零点均在区间内， 那么g f (x ) =1+-x +- 的 最 小 值 为 〔 〕+-+- 2 3 +-...-+ 4 2022A ． 10B ． 9C ． 8D ．7开始5133 3 y [=f -1(f ,x '5()]x ) ⎨ 3 ⎪ n n n 第 II 卷〔非选择题〕二、填空题〔共 5 小题，每题 5 分，总分值25 分，请将答案正确填写在答题卡中的横线上〕11 ． 的 展 开 式 中 常 数 项 为(x - .〔用数字表示〕 1 )43x 12． 已 知 ， 那么. cos ⎛αsi -n π⎛α⎫+7πα⎫==13．满足约束条件假设目 x⎪、s y in ⎪标函数的最大值为7，那么的最小值为. z =⎝ax ⎧+x ⎝b 6+3y ⎭(y +a ≥46>10⎭,b >50) ⎪x -a y ≥b -1,⎪2x -y ≤ 214 ． 如 图 所 示 ， 在 三 棱 柱 ABC － ⎩A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点， 那么直线EF 和BC 1所成的角是． 15 ． 函数的定义域为， 局部对应值如下表, 的导函数的图象如下图. 以下关于的命题： x－1 0 4 f (x )1 22②函数在上是减函数； ③ 如果当时， 的最大值是 2，那么的最大值为 4；④当时，函数有个零点； ⑤ 函数的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个．其 中 正 确 命 题 的 序 号 是．三、解答题〔共 6 小题，总分值75 分，解容许写出必要的步骤和答题过程〕16．〔本小题总分值12 分〕在中, 分别是角的对边，且． A ∆a ,,A B b 1B ,C C c 〔Ⅰ〕求的大小; 〔Ⅱ〕假设，,求的面积． 17.〔本小题总分值12 分〕 cos A cos C +B 2=sin A sin Cb ∆A =B 3C 33a +c =2数列满足：，.数列的前 2a =2a {a a b S n =+n }-112,n ∈N *项和为，. 〔Ⅰ〕求数列，的通项公式； S =n +19-⎛11n ⎫n n n ⎝⎭ {a b n }, n ∈ N *〔Ⅱ〕设，.求数列的前项和. 18.〔本小题总分值 12 分〕c n n {=∈T c n a N}*b 如图, 平面,,△ 是正三角形,AD D=A E D C B C /F E /D A D =⊥B 2AB =2,且是的中点. 〔Ⅰ〕求证:平面; 〔Ⅱ〕求证:平面平面; 〔Ⅲ〕求平面与平面所成 f 04(x )[f 0(,2x ]) x ∈f [(t -x 1),t ] y =1 <f a 4(x<)2- a y = f (x ) - a B A C F /E / B C D E E ⊥A B C D E组距75 80 85 90 95 100ϕ (x )锐二面角的大小.19．〔本小题总分值12 分〕加不少于小时的社区效劳才合格．教育部门在全市随机抽取 200 位学生参加社区效劳的数据，按时间段，，，，〔单位： 小时〕进行统计，其频率分布直方图如下图． 频率0.07 5 0.06 0 0.04 0 0.02 0 0.005O效劳时间 / 小时〔Ⅰ〕求抽取的 200 位学生中，参加社区效劳时间不少于 90 小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区效劳时间不少于 90 小时的概率； 〔Ⅱ〕从全市高中学生〔人数很多〕中 E ξ(ξ)任意选取 3 位学生，记为 3 位学生中参 加社区效劳时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望.20．〔本小题总分值 13 分〕 椭圆 C ：的长轴是短轴的两倍，x 2 y 2A kB k 12O1+P(=13(,a >)b >0) 点在椭圆上.不过原点的直线a 2b 22 l 与椭圆相交于 A 、B 两点，设直线 OA 、l 、OB 的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为 S. 〔Ⅰ〕求椭圆 C 的方程.〔Ⅱ〕试判断是否为定值？假设是， OA 2 +OB 2 求出这个值；假设不是，请说明理由？ 〔Ⅲ〕求 S 的范围.21．〔本小题总分值14 分〕函数(Ⅰ)假设时，函数在其定义域上是增函数，求 b 的取值范围；(Ⅱ) 在(Ⅰ) 的结论下，设函数求的最小值；(Ⅲ)设函数的图象C 1与函数的图象C 2交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交 C 1、C 2于点 M 、N ，问是否存在点 R ，使 C 1在 M 处的切线与 C 2在 N 处的切线平行？假设存在，求出 R 的横坐标；假设不存在，请说明理由.45⎛α +37π ⎫ sin ⎪ = 42) 2 ) ++22 0a a C ≤≤ 11 a + C - 1 2 5 5 4 3 2 7 7 a ⎝ ⎭ ⎝ 2 6 ⎭ 2 = 5⎪ 5 参考答案1．A2．C3．B4．D5．B6．A 7．B 由于抛物线和椭圆有相同∴AF ∴=(22a c -,e 2F 22-c A ∆+F a y )⎛(p 2A 22=c F p e +A =F ,2-22(p c 2F 1a c ,2c ⎫=)A )=20F +0(=2c 2)a 2-2c 1A x ==1,1c p ⎪1的焦点，因此，不妨设是 第一象限的点，椭圆的左焦点设为，把⎝22 2 ⎭代入抛物线方程得，故，即，，由于是直角三角形，，整理得，即解得8．Ce = 2-1试题分析：圆与圆有公共点，那么C C ⇔:2x 2:≤-2((x≤2+x 60+ x 22y -≤y 2-4≤124=54=9=10圆 心 距 需 满 足 ， 所 以 ， 解 得 3-(-3) 3〔舍〕或，故圆与圆有公共点的概率为9．D【解析】试题分析：按 Grace 参与和不参与分CC 1C 2C 2C 32==1030 两类：第一类 Grace 不参与，那么参与搜寻任务的小孩只有４人，均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有种；第二类 Grace 参与，那么参与搜寻任务的小孩有６人，均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有种；所以一共有 30+10=40 种不同的搜寻方案. 10．A 【解析】试 题f '(x )=11--(x x 2+)10x 12-x x 3(1+-L F (x ([+2a x x ),1b 20=201]1g 12f 1(261f )a (g (f 0(=-(<b F -x g )f 2154x 141R (,-+=3b )+,-2x +6=-,=013a )a x 314)x >10,2)22⋅02b 040g +022∈3(4L x -Z -+)x 4x +1)2210x 210221032-3(x 1++x 3x +202L3 +x 2022)=g (-f g 2()(-1=1))1==-11-g 2-'1+(1+x -)=--=+-+ --.-....<-..-.0- ><0<0=0 >0分 析 ： ， 所 以1-x 2 1-x 22 31+4x 1-x 2220221103131+x 在上单调递增，，，所以的零点在上，而，所以在上单调递减，，， ，所以的零点在上， 函数，且函数的零点均在区间内，的零点在上，的零点在上，的最小值为．11． 【解析】通项为， 当T=C r T x 4=-r ((=-- 2 12r 2=3-r 422-=2(2(--=12r2-r r 4-2r 时，常数项为12． r +1 4 2+11C )43)x C 4 3x-3 1) )3 33x C 4 x 【 解cos ⎛α-π⎫+ sin α= cos αcos π+ sin α5 π+ sin α= 3 cos α+3 sin α=析】. 6⎪ 所 以 . 所以.13．7sin sin 6 6 2 2 5α=+-s 1in co ⎛s αα+π3⎫=-3 ⎝6 ⎭作 出 平 面 区 域 可 知 目 标 函 数 在 点3a +34b 4=7+〔3,4〕处取得最大值7，所以，=〔〕a b当且仅当取得等⎛3a +4b ⎫=1(25+12a b =b 1=2a 1)≥1(25+2⨯12)=7号14．60°⎪+ ⎝⎭b 7连接 AB 1，易知 AB 1∥EF， 连接 B 1C 交 BC 1 于点 G ，取 AC 的中 点 H ， 连 接 G H ， 那么3 32 22 2 2) ≤ y a ( -C3 a 2c a =c ⎝ ⎭n +1 n * n GH∥AB 1∥EF.故∠HGB(或其补角)即为 EF 和 BG 所成角．设 AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接 HB ，在 △GHB 中，易知 GH ＝HB ＝BG ＝a ， 故两直线所成的角即为∠HGB＝60°. 15．①②⑤① 由的导函数的图象知， 函数的 极 y =f (f x '()x ) 大值点为 0，4，故①正确；② 因为在上导函数为负， 故函数在上是 [f 0(,2x ])减函数，②正确；③ 由 表 中 数 据 可 得 当 x=0 或 x=4 时，x 0∈≤f [(t -x ≤1),5t ] 函数取最大值 2，假设时，的最大值是 2，那么，故的最大值为 5，即③错误；④由知，因为极小值未知，f (〔f x )2〕=a 所以无法判断函数有几个零点， 故 y = ④不正确；f (x )-a⑤ ∵ 函数在定义域为共有两个单调增[f -1(,x 5)]区间，两个单调减区间，故 函 数 的 零 点 个 数 可 能 为 0、1、2、3、4 个，故⑤正确． 故 答 案 为①②⑤． 16．〔1〕；〔2〕y =f (x )-a 5π3〔1〕利用公式化简，要熟练掌握公 A +B 1+36C =π 式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确，得到需要的形式，〔2〕在三角形中，注意这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围．〔3〕在解决三角形的 S =1ab sin C =1 bc sin A =1 ac sin B 问题中，面积公式最常2 2 2试题解析：〔1〕由得： ， 2 分， 又 4 分cos A cos C +1 = sin A sin Ccos(A +2C )=-1 2 0<∴B <π1cos B =6∴B =π2分〔 2 〕 由 余 弦 定 理 得 ： 3 a 2+c 2-b217分 cos B == 2ac 2，8 (a +c )2-2ac -b 2 1分 ∴2ac =2又， a +b =333， 10 分∴27-c =-523=ac ． ∴S =1441 5 =12 分考点：三角恒等变换、正余弦定理及面积公式．∆ABCac sin B =⨯⨯ 2 2 4 2 1617．〔Ⅰ〕由得，又， 所以是以 1 为首项，为公差的等 a 2a -n a +1a =1==21a 1n ,+∈1N * n {∈a 1N 2}n +1差数列，那么，. 当时，a n =a 1+(n -n 1)d = 2 n =⎛11⎫1-2 b 1 =S 1 = 9 - 3 ⎪ 2 = 6, 5 3⊄ 3a b n =∈n 3N 2+⎛ 11 ⎫ ⎝ ⎭ 3 T 45 2n +n -15 ⎛ 1 ⎫ 3 3 ⎝ ⎭ ⎝b =⎭= 6 ⎥⎦= b 1⎢⎣ 3 ⎝ ⎭ ⎥⎦ n - +4 ⎪ 当时，， ，n ≥⎛21 ⎫n -3⎡S n -1 =9-n - 2⎤⎪⎡n -3⎤b =S -S =9 -⎛1 ⎫ ⎝3-⎭ 9-⎛1⎫=2又时，所以，. 〔 Ⅱ 〕 由 〔 Ⅰ 〕 知，，，所以. n n n -1 ⎢ ⎢⎣ c n =a n b n 2n 3n ∈⎪=N 12⎥*⎢ n -n 2 n -*2 n -2=(n n +13)n 2 -2⎪ 3⎪⎥3n -2 , n ∈ N *所 以 〔1〕 ⎛1 ⎫-1 ⎛1 ⎫0 ⎛1 ⎫1⎛1 ⎫n -2等式两边同乘以T n =2⨯ 3⎪ +3⨯ 3⎪ +41⨯ 3⎪ +Λ+ (n +1) ⨯ 3 ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 3〔2〕1 ⎛1 ⎫0 ⎛1 ⎫1 ⎛1 ⎫2⎛1 ⎫n -1〔1〕-〔2〕3T n =2⨯ 3⎪ +3⨯ 3⎪ +4⨯ 3⎪ +Λ+ (n +1) ⨯ 3 ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得2 ⎛1⎫-1 ⎛1⎫0 ⎛1⎫1⎛1⎫n -2 ⎛1 ⎫n -13T n =2⨯ 3⎪ + 3⎪ + 3⎪ +Λ+ 3 ⎪ - (n +1) 3⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎛1⎫n -1. 18．试 题 分 析 ： 〔1〕 取 CE 中=6+ 1- ⎪ ⎝⎭ 1-1 3n -2=-⎛1⎫ (n 1) ⎪4 ⎝⎭ , n ∈ N *点 P ，连接 FP 、BP ，根据中位线定理可知 FP||DE ，且且 FP=，而AB||DE ，且AB=那么ABPF 为平行四边形，那么AF||BP ，AF 平面BCE ，BP ⊂平面 BCE ，满足线面平行的判定定理，从而 证得结论；〔2〕 根 据 AB 平 面 DE ⊥AF ．又AF ⊥⊂⊥CD ，CD I DE =DACD ， DE||AB ， 那么DE 平面 ACD ，又 AF ⊂平面 ACD ，根据线面垂直的性质可知，满足线面垂直的判定定理，证得 AF 平面 CDE ，又 BP||AF ，那么BP 平面 CDE ，BP 平面 BCE ，根据面面垂直的判定定理可证得结论；〔3〕 由〔2〕 ， 以 F 为坐标原点， cos FA ， FD ， FP 所 在 的 直 线 分 别 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 F| m ⋅n || m | ⋅ | n |﹣xyz ．设 AC=2，根据线面垂直求出平面 BCE 的法向量 n ，而 m=〔0，0，1〕为平面 ACD 的法向量，设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 α，根据可求出所求．试题解析：〔1〕解:取 zCE 中点 P,连结 FP 、BP, ∵F为CD 的中点,∴FP|| xDE,且 FP=又 AB||DE, 且 AB=∴AB|| FP,且 AB=FP,∴ABPF为平行四边形, y∴AF||BP又 ∵ 平 面 BCE,BP 平 面BCE,AF ⊄α =所以PC ( ) ⋅⋅ ( ) = ∴AF||平面 BCE〔2〕∵△ACD 为正三角形,∴. ∵AB 平面 ACD,DE||AB,∴DE 平面 ACD,又 AF 平面 ACD, ∴DEAF.又 AFCD,CD∩DE=D,∴AF 平面 CDEAF ⊥ CD⊥ ⊥ ⊥ ⊥又 BP||AF,∴BP 平面 CDE.又∵BP 平面 BCE, ⊥∴平面 BCE⊥平面 CDE〔3〕法一、由〔2〕,以 F 为坐标原点,FA,FD,FP 所在的直线分别为 x,y,z 轴〔如图〕, 建立空间直角坐 标 系 F — xyz. 设 AC=2, 那么 C〔 0,— 1,0〕, 设 为 平 面 BCE 的法向量，，令 n=1,那么 显 然 , 为 平 面 ACD 的法向量.设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为那么.即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐 二面角为45︒法二、延长 EB 、DA,设 EB 、DA 交于一点 O,连结 CO.那么面面.由 AB 是的中位线,那么.在中, .,又.面而 CE 面 ECD,在中，DAC =CO OD =2AD =2A C EC⊂D , ED =CD 即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为. 45︒19 ． 解：〔1〕 根据题意，参加社区服[90, 95)务时间在时间段小时的学生人数为〔人〕，参加社区效劳时间在 P 2=0600⨯[+09.25080,261000⨯08]50=6202时间段小时的学生人数为〔人〕．== . 200 200 5所以抽取的 200 位学生中，参加社区效劳时间不少于 90 小时的学生人数为人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区效劳时间不少于 90 小时的概率估计为〔2〕由〔Ⅰ〕可知，从全市高中生中任意选取 1 人，其参加社区效劳时间不少于 90 小时的概率为由得，随机变量的可能取0,12ξ,2,3值为． .所以；； P (ξ=01)=10 5210 3 323 52475 5 125On = (x , y , z )n = (0, -1,1)=, 3 A (x ⎧ , y (=m )+、⇒≠l y = 1 1 2 (x ∴+ x (x ) +- x 12x )x +12+ 22 = 5 2 b Ox ⎩ + x = ；．P (ξ=32)=322 32 ⋅3 01 =386C 3(ξ5) (5) 125ξ123P27 125 54 125 36 125 8125因为～，所以.20．〔1〕由题意可知且， E ξ=n B p (3ξ2⨯)2=6 3⇒a +b =2125=b 1=515所以椭圆的方程为a x 22 4b 2〔2〕设直线的方程为，由 恰好构成等比数列.21y 41 kx B +0()m x 2,y 2) (1+4k 2⎧)x ⎨2x +28+k ⇒4m y x 2-+=84k 4m 2-4=0 ⎪1 2 、k 2⎪k 1、k 1+42k =即 此时且 得， ∆=∆(⎨-0k 14=x 6<k 2(11m +26m +2m (224<⇒)(+-k 22k 2,m x 1m -12m 2m +)y =≠2>2m y 0()101)>+04k 2)， 2 2∴⎪k -18∴=k k 2k =m 2k ±=4m =2 -1 42， k =k +x 1⋅x 2 =1 2+2〔否那么：，那么中至少有一个 ⎩⎪4m 2x -1x 4122+44x k 14x m 2 2 -4 OM x x =1、10,x 0x O 22N 为，直线中至少有一个斜率不存在，矛 盾！〕；= O 3A ⎡2 +O ⎧3B x 12+2=x =2x 2=2+±2y m 2⎤+x 2 +y 2 ，4⎣1 ⎨2 1 2 ⎦ ⎩4x ⋅x = 2m 2 - 2所以是定值为． 〔3〕 1A 225+OB 2=11112=2S =AB ⋅d (4=x m 1 +2-x 21()8+m k -242-x 18x -)2 m x m ⋅〔〕，那么： 221．〔1〕 依题意： ∵ 上是增函数，∴ 对 恒 成 立 ， 2 分 ∴∵ ∴b 的取值范围为 4 分 〔2〕 设， 那么， 即 5 分∴ 当 即 时 函 数 y 在 [1,2]上为增函数， 当 t=1 时，当即时，当 即 时 ， 函 数 y 在 [1,2]上为减函数， 当 t=2 时，综上所述，当时的最小值为 b+1 220<-S 2m (m ∈2<=-(201,,m )12)+≠1112x ∈(0,+∞)x > 0 t =e x- 2 ≤b ≤ 2 2- 4 <b <-2 b ≤-4-2≤ϕb (x ≤)22当时的最小值为当时的最小值为 4+2b ........8 分 〔3〕设点 P 、Q 的坐标是那么点 M 、N 的横坐标为-4ϕ<(b x 2<)-2 ϕ-≤(x 4-)4m 1+ k 2C 1 在 M 处的切线斜率为 C2在点 N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，那么即那么，设①令那么∵∴所以上单调递增，故，那么这与①矛盾，假设不成立,故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.。
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f 04x f0,2x x f tx1,t
④当时，函数有个零点； ⑤函数的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个．
y 1 f a4 x2 a y f xa
其中正确命题的序号是
．
三、解答题（共 6 小题，满分 75 分，解答应写出必要的步骤和答题过程）
16．（本小题满分 12 分）
在中, 分别是角的对边，且．cos
某市规定，高中学生三年在校期间参 99785058,,10890050
加不少于小时的社区服务才合格．教 育部门在全市随机抽取 200 位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位： 小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
频率
组距
0.07 50.06 0
0.04 0
0.02 00.005
O
75 80 85 90 95 100
求出这个值；若不是，请说明理由？
（Ⅲ）求 S 的范围.
21．（本小题满分 14 分）
已知函数
(Ⅰ)若时，函数在其定
与该项任务，但此时另需一位小孩在 大本营陪同，要么参与搜寻 近处投掷点的食物；
③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组 ，一组去远处，一组去近处．则 不同的搜
寻方案有（ ）
A． 100 种
B． 80 种
C．70 种
D．40 种
10．已知函数
,, 设 函 数 ， 且 函 数 的 零点均在区间内，则
gf (x)
“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件 x2 3xx12 0
C．对于命题：，使得，则：，则 D．若为假命题，则、均为假命题 5．已知平面向量，满足，，，则
xx02 xpx0q0pppq1R100 （ aaabbba2b233
）
A．
B ． 421773 C．
D．
6．定义运算为执行如图所示的 程序框图输出的 S 值，则的值为
2015 年四川高考数学模拟试题
（理科）
考试时间：120 分钟；满分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题，共 50 分）
一、选择题（共 10 小题，每题 5 分，每小题有且只有一个选项正确）
1．已知集合，（
A．
） B
B．
则直线 EF 和 BC1 所成的角是________．
15 ． 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 部分对应值如下表, 的导函 数的图象如图所示. 下列 关于的命题：
x －1 0 4 5
f x
1221
y f1f,x5x
①函数的极大值点为，； ②函数在上是减函数； ③如果当时，的最大值是 2，那么的最大值为 4；
区
间
上
任
取
一
个
数
，
则
CC1 :B2x:．2 x2y2a23532a2,23411xCy．2510
D．
圆与圆有公共点的概率为（
）
A．
B．
C． 215 D．
9．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村 36 长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物
的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于 Grace 年纪尚小，所以要么不参
（Ⅰ）求的大小;
A
cosCAa,A,BBb12B,CcCsin
A
sinC
（Ⅱ）若，,求的面积． 17.（本小题满分 12 分） 已知数列满足：，.数列的前 项和为，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）设，.求数列的前项和.
S2nan19ac2nbnac{{a{13A1TaabbcSnnnBnnnnaNn}}}3C1n312b2,n,3nnNN
x
yAln
x1 2xx2 x,2则 1A [1，,12，1]
CR
B
C．
D．
2．若，i 虚部为（
是虚数单位，则复数 ）
z
的
z 1
i
3
i
A．
B．
C． 222i2i D．
3．函数在上的图象是（ ）
y x,sin x
4．以下有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为 x2 3xx12 0
中
常
数
项
为
(x
1 3x
)4
12．已知，则
.
13 ． 已 知 满 足 约 束 条 件 若 目
标函数的最大值为 7，则的最
小值为_______.
14 ． 如 图 所 示 ， 在 三 棱 柱
czos axsinxxb6a3yx、yyas7yb46i1n01,,b
ABC － 2x y 2
3
3
50
A1B1C1 中，AA1⊥底面 Байду номын сангаасBC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点，
(2
cos3a)bt
an
7 4
（）
1
开始
输入 a,b
是 S=a(a-b)
a≥b?
否 S=b(a+1)
输出 S 结束
A．2
B．-2
C．-1
D．1
7．已知抛物线（）与椭圆（）有相 同的焦点，点是两曲线的一个公共点
，axay22A2pFFAbby2220px0x
1
且轴，则椭圆的离心率为（ ）
A 8
． ．在
F 1
([axx), b](xf2a2(bFx(bxx3,3a3)a),bgx4(4xZ)..4.)
x2013 2013
的最小值为（
）
A．
10
B． 9
C．
8
D．7
2
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，满分 25 分，请将答案正确填写在答题卡中的横线
上）
11 ． 的 展 开 式 .（用数字表示）
18.（本小题满分 12 分）
如 图 , 已 知 平 面 ,,△ 是 正 三 角 形 ,ADD=AEDCBC/FE/DAD=B2AB
=2,且是的中点.
（Ⅰ）求证:平面; （Ⅱ）求证:平面平面; （Ⅲ）求平面与平面所成
BACF/E/ BCCDEE ABCDE
3
锐二面角的大小. 19．（本小题满分 12 分）
20．（本小题满分 13 分）
椭圆 C：的长轴是短轴的两倍，x2 点在椭圆上.不过原点的直线 a2
byP22 (AkB1k312(O,a12)
b
0)
l 与椭圆相交于 A、B 两点，设
直线 OA、l、OB 的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为 S.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程.
（Ⅱ）试判断是否为定值？若是， OA 2 OB 2
服务时间 / 小 时
（Ⅰ）求抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数，并估计
从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率；
（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中 E 任意选取 3 位学生，记为 3 位学生中参
加社区服务时间不少于 90 小时的人数． 试求随机变量的分布列和数学期望.