线性规划解决实际问题专项练习
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学科:数学
教学内容:研究性课题与实习作业:线性规划的实际应用
【自学导引】
1
.线性规划问题的数学模型是已知(这里“≤”也可以是“≥”或“=”号),其中a ij (i =1,2,…,n ,j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,m )都是常量,x j (j =1,2,…,m )是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.
2.线性规划常见的具体问题有物质调运问题、产品安排问题、下料问题.
【思考导学】
1.应用线性规划解决实际问题的一般步骤是什么?
答:一般步骤是①设出变量,列出线性约束条件和线性目标函数;②利用图解法求出最
优解,进而求得目标函数的最大(或最小)值.
2.线性规划的理论和方法主要在哪两类问题中得到应用?
答:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
【典例剖析】
[例1] 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西
车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?
解:设甲煤矿向东车站运x 万吨煤,乙煤矿向东车站运y 万吨煤,那么总运费z =x +
1.5(200-x )+0.8y +1.6(260-y )(万元)
即z =716-0.5x -0.8y .
x、y应满足
作出上面的不等式组所表示的平面区域,如图7—22.
设直线x+y=280与y=260的交点为M,则M(20,260).
把直线l:0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时,z的值最小.
∵点M的坐标为(20,260),
∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨,向西车站运180万吨,乙煤矿生产的煤全部运往东车站时,总运费最少.
[例2]制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g,乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g.已知每天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g.甲烟花每枚可获利2美元,乙种烟花每枚可获利1美元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.
解:设每天生产甲种烟花x枚,乙种烟花y枚,获利为z元,则
作出可行域,如图7—23所示.
目标函数为:z=2x+y.
作直线l:2x+y=0,将直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点A
且与原点的距离最大.此时z=2x+y取最大值.解方程组得答:每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚,能使利润总额达到最大.
点评:把实际问题抽象为线性规划问题是解线性规划应用问题的关键.即根据实际问题找出约束条件和目标函数是解应用问题的关键.
例1可用图示法找约束条件和目标函数,如
例2可用列表去找,如:
【随堂训练】
1.图中阴影部分的点满足不等式组,在这些点中,使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是_____.
解析:当x∈[0,1]时,x+y≤5,
即y≤5-x,
代入k=6x+8y
得:k≤40-2x,
当x=0,y=5时,k最大为40.
当x∈[1,3]时,2x+y≤6,
即y≤6-2x代入k=6x+8y得:k≤48-10x,
当x=1,y=4时,k最大为38.
综上所述,使k取得最大值的坐标为(0,5).
答案:(0,5)
2.某厂生产A与B两种产品,每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨;而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100千瓦,煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?
解:设生产A、B两种产品分别为x公斤、y公斤,总产值z元,则
z=600x+400y.
作出不等式组表示的平面区域
由得
取点M(20,20)
作直线3x+2y=0的平行线l1,当l1经过点M时,z的值最大,最大值为20000元.
答:安排生产A产品20公斤、B产品20公斤能取得最大产值.
3.某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各生产不少于15 t.已知生产甲产品1t需煤5t、电力4千瓦、劳力3个;生产乙产品1t需煤6t、电力5千瓦、劳力10个;甲产品每1t利润7万元,乙产品每1t利润12万元,但每天用煤不超过300t,电力不超过200千瓦,劳力只有300个,问每天各生产甲、乙两种产品多少,能使利润总额达到最大?
解:设每天生产甲、乙两种产品各x t、y t,利润总额为z万元,
则z=7x+12y.
且作出不等式组的可行域.
由
即P(20,24).当直线l:7x+12y=0向上平移到过P点,即生产甲、乙两种产品各20 t、24 t时,利润总额最大为428万元.
【强化训练】
1.某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石8 t、B种矿石8 t、煤5 t;生产乙种产品1 t需耗A种矿石4t、B种矿石8 t、煤10 t.每1t甲种产品的利润是500元,每1 t乙种产品的利润是400元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过320 t、B种矿石不超过400 t、煤不超过450 t.甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大?
解:设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t,利润总额为z元,
那么
作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
令z=500x+400y作直线l:5x+4y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大,此时,z=500x+400y取最大值.
解方程组
得M的坐标为(30,20).
答:应生产甲产品30 t、乙产品20 t,能使利润总额最大.
2.某人需要补充维生素,现有甲、乙两种维生素胶囊,这两种胶囊都含有维生素A、C、D、E和最新发现的Z.甲种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是1 mg、1 mg、4 m g、4 mg、5 mg;乙种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是3 mg、2 mg、1 mg、3 mg、2 mg.如果此人每天摄入维生素A至多19 mg,维生素C至多13 mg,维生素D 至多24 mg,维生素E至少12 mg,那么他每天应服用两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量,并能得到最大量的维生素Z.