线性规划解决实际问题专项练习

学科：数学

教学内容：研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用【自学导引】

1．线性规划问题的数学模型是已知(这里“≤”也可以是“≥”或“＝”号)，其中a ij(i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，m)，b i(i＝1，2，…，m)都是常量，x j(j＝1，2，…，m)是非负变量，求z＝c1x1＋c2x2＋…＋c m x m的最大值或最小值，这里c j(j＝1，2，…，m)是常量．

2．线性规划常见的具体问题有物质调运问题、产品安排问题、下料问题．

【思考导学】

1．应用线性规划解决实际问题的一般步骤是什么？

答：一般步骤是①设出变量，列出线性约束条件和线性目标函数；②利用图解法求出最优解，进而求得目标函数的最大(或最小)值．

2．线性规划的理论和方法主要在哪两类问题中得到应用？

答：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．

【典例剖析】

［例1］已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?

解：设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)

即z＝716－0.5x－0.8y．

x、y应满足

作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图7—22．

设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20，260)．

把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．

∵点M的坐标为(20，260)，

∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．

［例2］制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3ｇ、B药品4ｇ、C药品4ｇ，乙种烟花每枚含A药品2ｇ、B药品11ｇ、C药品6ｇ．已知每天原料的使用限额为A药品120ｇ、B药品400ｇ、C药品240ｇ．甲烟花每枚可获利2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．

解：设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则

作出可行域，如图7—23所示．

目标函数为：z＝2x＋y．

作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A

且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．解方程组得答：每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润总额达到最大．

点评：把实际问题抽象为线性规划问题是解线性规划应用问题的关键．即根据实际问题找出约束条件和目标函数是解应用问题的关键．

例1可用图示法找约束条件和目标函数，如

例2可用列表去找，如：

【随堂训练】

1．图中阴影部分的点满足不等式组，在这些点中，使目标函数k＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是_____．

解析：当x∈［0，1］时，x＋y≤5，

即y≤5－x，

代入k＝6x＋8y

得：k≤40－2x，

当x＝0，y＝5时，k最大为40．

当x∈［1，3］时，2x＋y≤6，

即y≤6－2x代入k＝6x＋8y得：k≤48－10x，

当x＝1，y＝4时，k最大为38．

综上所述，使k取得最大值的坐标为(0，5)．

答案：(0，5)

2．某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元．又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨．但该厂的电力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨．问如何安排生产计划以取得最大产值?

解：设生产A、B两种产品分别为x公斤、y公斤，总产值z元，则

z＝600x＋400y．

作出不等式组表示的平面区域

由得

取点M(20，20)

作直线3x＋2y＝0的平行线l1，当l1经过点M时，z的值最大，最大值为20000元．

答：安排生产A产品20公斤、B产品20公斤能取得最大产值．

3．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15 t．已知生产甲产品1t需煤5t、电力4千瓦、劳力3个；生产乙产品1t需煤6t、电力5千瓦、劳力10个；甲产品每1t利润7万元，乙产品每1t利润12万元，但每天用煤不超过300t，电力不超过200千瓦，劳力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大?

解：设每天生产甲、乙两种产品各x t、y t，利润总额为z万元，

则z＝7x＋12y．

且作出不等式组的可行域．

由

即P(20，24)．当直线l：7x＋12y＝0向上平移到过P点，即生产甲、乙两种产品各20 t、24 t时，利润总额最大为428万元．

【强化训练】

1．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石8 t、B种矿石8 t、煤5 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4t、B种矿石8 t、煤10 t．每1t甲种产品的利润是500元，每1 t乙种产品的利润是400元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过320 t、B种矿石不超过400 t、煤不超过450 t．甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大?

解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，

那么

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域．

令z＝500x＋400y作直线l：5x＋4y＝0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时，z＝500x＋400y取最大值．

解方程组

得M的坐标为(30，20)．

答：应生产甲产品30 t、乙产品20 t，能使利润总额最大．

2．某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A、C、D、E和最新发现的Z．甲种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是1 mｇ、1 mｇ、4 m ｇ、4 mｇ、5 mｇ；乙种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是3 mｇ、2 mｇ、1 mｇ、3 mｇ、2 mｇ．如果此人每天摄入维生素A至多19 mｇ，维生素C至多13 mｇ，维生素D 至多24 mｇ，维生素E至少12 mｇ，那么他每天应服用两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素Z．