磁感应强度;安培环路定律、恒定磁场基本方程与分界面上的衔接条件

2( R x )
2 2 3/ 2
ex
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第 三 章
恒定磁场
例 3.1.3 无限大导体平面通有线电流 K K , ez 试求磁感应强度 B 分布。 解：取宽度 dx 的一条无限长线电流
0 Kdx 0 Kdx y 0 Kydx dBx cos 2π 2π 2π( x 2 y 2 )
图3.1.3 圆形载流回路
er )
2 4 π( R 2 x 2 )
0 Idl sin

根据圆环电流对 P 点的对称性，
dBx dB sin dBy 0
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sin θ R / r
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恒定磁场
dBx
2 sin 4 π( R 2 x 2 )
0 Idl sin
5. B 与 H 的关系
实验证明，在各向同性的线性磁介质中
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恒定磁场
3.2安培环路定律 (Apere’s Circuital Law)
1. 恒定磁场的旋度
0 J ( x, y, z) (r r ) B dV （ 毕奥－沙伐定律 ） 3 4π V r r
旋度运算后，得到
0 J （有电流区） B(r ) 恒定磁场是有旋场 0 （无电流区）
B 0 J
等式两边取面积分
( B) dS
S
0 J dS
S
用斯托克斯定理
B dl I
l 0 k 1
n
k
B dl I
l 0
真空中的安培环路定律
思考 当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正 值，否则取负；
环路上的 B 仅与环路交链的电流有关吗？
4π l l '
F
0
Idl ( I 'dl ' e R ) R2
式中， 0 为真空中的磁导率
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
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恒定磁场
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
( Biot-Savart Law and Magnetic Flux Density )
0 I B e 2
（1）安培环路与磁力线重合
B dl
L
2
0
I 0 d 0 I 2
d dl cos
2
（2）安培环路与磁力线不重合
圆弧为
L L
B dl BCosdl
0
0 I d 0 I 2
（3）安培环路不交链电流
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恒定磁场
例3.2.1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度 B。 解：定性分析场分布，取安培环
路与电流呈右手螺旋
B dl B L B L KL
l 1 2 0
图3.2.9 无限大载流导板
B
0 K ey 2
0 K ey 2
根据对称性 B1 B2 B
第 三 章
第三章 恒定磁场
Steady Magnetic Field
恒定磁场
序 磁感应强度 磁通连续性原理∙安培环路定律 恒定磁场基本方程∙分界面上的衔接条件 磁矢位及边值问题
镜像法
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恒定磁场
Introduction 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围 的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场， 称为恒定磁场。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，
x0
x0
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恒定磁场
例半径为 a 的无限长直导线，载有电流 I ，计算导体
内、外的磁感应强度。
解:

C
B dl 2rB 0 J dS
S
在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，
I ez 2 J a 0
当r≤a时， B 2r a 2 0 Ir B 2a 2
图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系
图3.2.17 H 的分布与磁介质有关
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恒定磁场
说明: • H的环量仅与环路交链的自由电流有关。 • 环路上任一点的H是由系统全部载流体产生的。 • 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否 满足右手 螺旋关系，是为正，否为负。
第 三 章
有限元法
分离变量法
镜像法
电感的计算
磁场能量及力
磁路及其计算
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第 三 章
恒定磁场
本章要求
深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度 的概念。 掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。 了解磁位及其边值问题。
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第 三 章
恒定磁场
3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 3.1.1 安培力定律 (Ampere’s Force Law ) 两个载流回路之间的作用力 F
图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系
A/m
则有
H dl I
l
安培环路定律
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恒定磁场
H dl I
l
安培环路定律
思考 图3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？ 图3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？


I 'dl' (r r ) r r
3
单位 T（Wb/m2）
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l
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恒定磁场
0 I 'd l' e R 0 I ' dl'(r r ) 线电流 B 4π 2 4π l r r 3 l R


体电流
J (r ) (r r ) B dV 3 4π V r r
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恒定磁场
4） 磁偶极子与电偶极子对比 模 型
电 偶 极 子
极化与磁化
电场与磁场
ρ p - P
p qd
p P en
Jm M
磁 偶 极 子
m IdS
K m M en
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恒定磁场
4.有磁介质时的环量与旋度
磁化强度（magnetization Intensity）
M lim i 1 V 0 V
mi
（A/m）
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n
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恒定磁场
3） 磁化电流
体磁化电流 面磁化电流
Jm M
K m M en
有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用，在真空中产生的。 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
电场力
1 dV F q( e R ) qE 2 4π 0 V R
力 = 受力电荷
电场强度
'
磁场力
μ0 I d l eR F Id l ( ' ) Id l B 2 l l 4π l R
力 = 受力电流 磁感应强度
定义：磁感应强度
0 I 'd l' e R 0 B 2 4π 4π l R
0 L I B dz 2 2 32 L 4π ( z )
1 2
0 Idl e R B 4π L R 2
0 I L1 L2 [ ] 2 2 4π 2 L 2 L 1 2
0 I (sin 1 sin 2 ) 4π
当 L1 , L2时，
B dl I 0 ( I I m )
l 0
0 I 0 J m dS
s
u0 I 0 ( M ) dS
S
u0 I 0 M dl
l
B 移项后 l ( M ) dl I 0 B 定义：磁场强度 H - M 0
3.0 序
但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，
注意类比法的应用。 恒定磁场的知识结构。
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恒定磁场
基本实验定律 (安培力定律）
磁感应强度（B）(毕奥—沙伐定律)
H 的旋度
基本方程 分界面衔接条件 边值问题
B 的散度
磁位( m ) 数值法
磁矢位（A） 解析法
有限差分法
2 2 I π I 2 2 π1 1
I
I 2 l B dl 2πB 0 12
故
图3.2.11 安培定律示意图
0 I B e 2 2 π1
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恒定磁场
2) 1 2

得到
B dl 2πB 0 I l 0 I B e 2 π
在直角坐标系中
ex B x Bx ey y By ez By Bx Bx Bz Bz By ( )e x ( )e y ( )e z z y z z x x y Bz
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1.
安培环路定律（真空）
以长直导线的磁场为例
B dl BCosdl
L L
0
0
0 I d 0 2
（4）安培环路与若干根电流交链
B dl I
L 0
k
该结论适用于其它任何带电体情况。 强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。
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恒定磁场
2. 真空中的安培环路定律
B 的旋度
r≤a r >a
0 Ir 2
当r>a时， B 2r 0 I
0 I B 2r
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恒定磁场
例 3.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。 解： 平行平面磁场, B B( )e
1 ) 0 1
安培环路定律
图3.2.10 同轴电缆

l
B dl 0 I
3) 2 3,
2 32 2 2 2 I I I 2 I 2 2 2 3 2 3 2
0 I ( 32 2 ) l B dl 2πB 32 22
得到
0 I 32 2 B 2 e 2 2π 3 2
0
面电流
0 K (r ) (r r ) B dS 3 4π S r r
毕奥－沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。
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恒定磁场
例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。 解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dz， 式中 R 2 2 z 2 dl eR dz sin e dz sin e dze R
无外磁场作用时，介质对 外不显磁性， n
i 1
mi 0
mi 0
在外磁场作用下，磁偶极 子发生旋转， n
i 1
图3.2.14 介质的磁化
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恒定磁场
转矩为 Ti=mi×B ，旋转方向 使磁偶极矩方向与外磁场方向一
致，对外呈现磁性，称为磁化现
象。
图3.2.15 磁偶极子受磁 场力而转动
图3.2.12 同轴电缆的磁场分布
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恒定磁场
3. 介质的磁化（magnetization） 1）磁偶极子 (magnetic dipole) 磁偶极矩 m IdS Am2
( magnetic dipole moment )
m=IdS dS
图3.2.13 磁偶极子
2）介质的磁化

B Bx e x
图3.1.4 圆形载流回路轴线上的 0 I 磁场分布 sin dl e x 2 2 l 4π( R x )
0 I R 2πR e x 2 2 2 2 4 π( R x ) R x

0 IR 2
0 I B e 2π
图3.1.2 长直导线的磁场
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恒定磁场
例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为R的圆环， 试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。 解：元电流 Idl在 P 点产生的 为B
0 Idl er ( Idl dB 2
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dB
根据对称性 ,By = 0 0 Ky dx Bx 2
2π

(x y2 )
y0
K x 0 0 arctg e x y 2
图3.1.5 无限大电流片及 B 的分布
B
0 K ex 2 0 K ex 2
y0
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