全等三角形培优专题训练电子教案

全等三角形培优专题
训练
探索三角形全等
1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D
在同一条直线上.
⑴求证：AB ⊥ED ；
⑵若PB ＝BC ，请找出图中与此条件有
关的一对全等三角形，并给予证明
2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的是（ ）
3、如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA ＝BC ，EB ＝AC ，FC ＝AB ，∠AFB ＝51°，求∠DFC 的度数.
4、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点
O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线M、N上，且OE＝OF.
⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；
⑵求证：∠MAE＝∠NCF
全等三角形的应用
全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：
①线段和角的等量关系
②线段和角的和差倍分关系
③直线与直线的平行或垂直等位置关系
1、如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在
BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.试判断AP与AQ的关系，并证明.
2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，
求证：BE⊥AC
B
E
3、如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°.
⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.
⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.
4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线 BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.
⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝_______度.
⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β
a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有
怎样的数量关系？请说明理由.
b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数
量关系？请直接写出你的结论.
②
B
①
②
辅助线作法之连接法
在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.
1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.
证明∶AC＝AB
2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD
求证：AC∥DF
3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA ＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？
A
B
E
辅助线作法之倍长中线法
在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.
1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围.
2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线
求证：AB＝AC
3、在△ABC中，D是边BC上的一点，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.
求证∶AC＝2AE
B
B
B
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4、△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥DF 交AB ，AC 于点E ，F.
求证：BE ＋CF ＞EF
辅助线作法之截长补短法
截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等.
补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等. 1、已知AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，点E 在CD 上.
求证：AB ＝AC ＋BD
2、在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝½（AB ＋AD ）.
求证∶∠B ＋∠D ＝180°
A
B
D
A
3、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC的
中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F.
求证：∠ADB＝∠CDF
4、如图，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的角平分线.
求证∶AC＋CD＝AB
12、如图，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积.
B
B
辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形
2、如图，在△ABC 中，AC ＝½AB ，AD 平分∠BAC ，且AD ＝BD
求证：CD ⊥AC
全等三角形在动态几何中的运用
1、如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC.△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP.
⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系; ⑵将△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时,EP 交AC 于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;
⑶将△EFP 沿直线l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
B
探究角平分线
1、如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 相交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝_____________.
2、如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC.
求证:AM 平分∠DAB
3、如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE.
求证:CE ＝1
2
BD
4、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ＝CD 求证：∠B ＝∠C
5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝10cm ，则△DBE 的周长是多少？
6、AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△
ADG
B
B
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和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为多少？
7、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.
求证：BE ＝CF
8、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°
⑴求证：DE ＝DF
⑵如果把最后一个条件改为AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝180°，那么结论还成立吗？
9、如图，已知AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 与CF 交于点D
求证：点D 在∠BAC 的平分线上.
10、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下
B
列结论正确的是( )
A.AB－AD＞CB－CD
B.AB－AD＝CB－CD
C.AB－AD＜CB－CD
D.AB－CD与CB－CD的大小关系不确定
11、如图，已知△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠BCA的平分线
AD，CE相交于点O.
求证：DC＋AE＝AC
12、如图，已知△ABC，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P 作PG⊥BC于G点。

试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由。

B
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