直线的方程两直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式是平面解析几何中非常基础的内容。
它们可以帮助我们确定两条直线的交点坐标以及一个点到直线的距离，是解决许多几何问题的重要工具。
在本篇文章中，我将详细介绍直线的交点坐标与距离公式。
一、直线的交点坐标公式假设有两条直线L1和L2，分别表示为:L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2其中m1、m2分别是L1和L2的斜率，c1、c2分别是L1和L2的截距。
我们可以通过解以上两个方程组来求解直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
解法一：代入法将L1的方程代入L2的方程中，得到：y=m2x+c2m1x+c1=m2x+c2整理得到：x=(c1-c2)/(m2-m1)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
根据这个方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
解法二：消元法将L1和L2的方程相减，可以消去y，得到：m1x+c1-(m2x+c2)=0整理得到：(m1-m2)x+(c1-c2)=0解方程可以得知：x=(c2-c1)/(m1-m2)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
通过以上两种解法，我们可以求得直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
二、点到直线的距离公式同时，我们也可以通过公式求解一个点P(x1,y1)到直线L1: y = mx+ c的距离。
有一种基本的方法是绘制垂线。
首先，我们可以找到点P到直线L1的垂线的方程，将其表示为L2、L2的斜率是m的相反数(-1/m)，并且通过点P(x1,y1)。
垂线L2的方程为：L2:y=(-1/m)x+(y1+x1/m)我们可以通过求解L1和L2的交点坐标来确定点P到直线L1的距离。
交点的坐标为(x0,y0)。
距离点P到直线L1的距离利用勾股定理可以得到：d=√((x0-x1)²+(y0-y1)²)将交点的坐标(x0,y0)带入上式即可求得点P到直线L1的距离。
总结：直线的交点坐标与距离公式是解析几何中重要的工具。
两条直线的交点坐标与两点间的距离公式
两条直线的交点坐标与两点间的距离公式1、直线2x+y-7=0与直线x+y=1的交点坐标2、直线2x-3y+10=0与直线3x+4y-2=0的交点坐标为，过该交点垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为3、直线2x+y-8=0与直线x-2y+1=0的交点坐标为，过该交点平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为4、三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点，a的值5、已知点A(1,2) 、B（2，0）、P（0，3）、Q（-1，1）、M（1，0）、N（-4，0）线段AB=, MN=，PQ=6、两条垂直直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0的交点坐标为7、若三条直线y=2x , x+y=3, mx+ny+5=0 相交于同一点，则（m,n）可能是（）A、(1,-3)B、（3，-1）C、（-3，1）D、（-1，3）8、已知点A（0，-1），点B在直线x-y+1=0上，直线AB垂直于直线x+2y-3=0, 则点B点的坐标是（）A、（-2，-3）B、（2，3）C、（2，1）D、（-2，1）9、直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直并且相交于点(1,m)，求a,c,m的值10、点A（-3，5）、B(2,15) 、C（4，3），试在直线l: 3x-4y+4=0上找一点P：+最小，并求其最小值（1）使得PA PC+最小，并求其最小值（2）使得PA PB11、已知三角形ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为250--=，求：x y--=，AC边上的高BH所在直线方程为250x y（1）顶点C的坐标（2）直线BC的方程点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离1、点P （-5，7）到直线12x+5y-3=0的距离（ ）A 、28B 、25C 、2513D 、28132、两条平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离是（ ）A 、2B 、213 C 、 13D 、253、直线x+3y-9=0与直线x+3y-c=0C 的值为（ ）A 、1-B 、 19C 、 1-或19D 、无法确定4、已知定点(,6)A A 到直线342x y -=的距离为d:(1) 如d=4 ,则a 的值为(2) 如4d ≥ ，则a 的取值范围是5、两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为6、平行于已知直线l: 20x y --= , 且与l 的距离为7、点P （m-n ,-m ）到直线1x y m n+=的距离8、经过点（ 1，3 ）且与原点的距离为1的直线方程为9、已知点A（-3，-4），B（6，3）到直线l: 10ax y++=的距离相等，求a 的值。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，让我们来看直线交点坐标公式。
设直线1的方程为y=m1x+c1，直线2的方程为y=m2x+c2、这里，m1和m2分别是直线1和直线2的斜率，c1和c2是它们的截距。
要计算两条直线的交点坐标，我们可以将直线1和直线2的方程联立，解出x和y的值。
具体步骤如下：1.将直线1和直线2的方程联立：m1x+c1=m2x+c22.移项得：m1x-m2x=c2-c13.合并同类项：(m1-m2)x=c2-c14.求解x的值：x=(c2-c1)/(m1-m2)5.将x的值带入直线的方程，求解y的值：y=m1x+c1或y=m2x+c2这样，我们就可以得到两条直线的交点坐标(x,y)。
下面，让我们来看直线之间的距离公式。
设直线1的方程为Ax+By+C1=0，直线2的方程为Ax+By+C2=0。
这里，A、B和C1、C2分别是直线1和直线2的系数。
要计算两条直线之间的距离，我们可以使用以下公式：d=，C2-C1，/√(A^2+B^2)其中，C2-C1，表示C2和C1的绝对值。
√(A^2+B^2)表示A^2+B^2的平方根。
需要注意的是，当A^2+B^2=0时，即直线1和直线2平行，此时它们没有交点。
接下来，我将给出两个实际应用的例子，以帮助读者更好地理解直线的交点坐标和距离公式。
例子1：两条直线的交点设直线1的方程为y=2x+3，直线2的方程为y=-x+1、我们需要计算这两条直线的交点坐标。
将直线1和直线2的方程联立，可得：2x+3=-x+1移项得：3x=-2解出x的值得到：x=-2/3将x的值带入直线的方程，可得：y=2*(-2/3)+3=-1/3所以，这两条直线的交点坐标为(-2/3,-1/3)。
例子2：两条直线的距离设直线1的方程为2x+3y-4=0，直线2的方程为4x-6y+8=0。
我们需要计算这两条直线之间的距离。
根据直线之间的距离公式，可以计算得到：d=，(-6)-3(4)，/√(2^2+3^2)=6/√13所以，这两条直线之间的距离为6/√13通过以上例子，我们可以看到直线的交点坐标公式和距离公式的实际应用。
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式要求出两条直线的交点坐标，可以将两条直线的方程联立，得到如下方程组：a1x+b1=a2x+b2(1)y=a1x+b1通过对方程组进行求解，可以得到两条直线的交点坐标。
首先，我们可以将方程(1)两边关于x进行整理，得到：(a1-a2)x=b2-b1再将这个结果代入方程y=a1x+b1中，可以求解出y的值。
现在，我们来看一个具体的实例来说明如何通过方程组来计算两条直线的交点坐标。
假设有两条直线分别为y=2x+1和y=-3x+4我们可以将这两条直线的方程联立，得到方程组如下：2x+1=-3x+4(2)y=2x+1将方程(2)两边关于x进行整理，得到：5x=3解方程5x=3，可以得到x=3/5再将这个结果代入方程y=2x+1中，可以求解出y的值。
代入x=3/5，可以得到y=2*(3/5)+1=6/5+1=11/5因此，两条直线的交点坐标为(3/5,11/5)。
接下来，我们来介绍一下两点间的距离公式。
两点间的距离公式可以通过勾股定理推导得到。
假设有平面上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A和点B之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过勾股定理的推导得到。
假设有直角三角形ABC，其中角C为直角，AB为斜边，AC为边长为a，BC为边长为b，AB为边长为c。
根据勾股定理可以得到a²=b²+c²。
将直角三角形ABC的顶点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标代入，可以得到：c²=(x2-x1)²+(y2-y1)²开方后可以得到两点间的距离d，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这就是两点间的距离公式。
通过这个公式，我们可以计算出平面上两个点之间的距离，进而可以用来计算两条直线的距离。
总结起来，要确定两条直线的交点坐标，可以通过解直线方程组来计算。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式直线是平面几何中最基本的图形之一，计算两条直线的交点坐标和距离是解决许多几何问题的基础。
在本文中，我们将详细介绍如何计算两条直线的交点坐标和距离的公式和方法。
首先，我们需要了解什么是直线。
在平面几何中，直线是由一组点组成的，这些点在同一条直线上，且直线上的任意两点可以确定直线的一条直线是由两个不同的点定义。
那么，如何计算两条直线的交点坐标呢？要计算两条直线的交点，我们需要利用直线的方程。
在平面几何中，直线可以由一般方程、点斜式方程和两点式方程表示。
1.一般方程：Ax+By+C=0。
其中A、B、C是常数。
2.点斜式方程：y-y1=m(x-x1)。
其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。
3.两点式方程：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。
像这样，当我们有两条直线的方程时，我们可以通过求解方程组，找到两条直线的交点坐标。
解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法和克莱姆法则等。
让我们通过一个具体的例子来说明如何计算两条直线的交点坐标。
例1：已知直线L1的方程为y=2x-1，直线L2的方程为y=-x+3，求两条直线的交点坐标。
解：将L1和L2的方程联立起来，得到方程组：y=2x-1y=-x+3通过消元法，我们可以先将方程组中的y消去。
将L1中的y代入L2的方程中，得到：2x-1=-x+3整理方程，得到：3x=4解方程，得到：x=4/3将x的值代入L1的方程中，得到：y=2*(4/3)-1y=8/3-1y=5/3所以，两条直线的交点坐标为(4/3,5/3)。
接下来，我们将介绍如何计算两条直线的距离。
两条直线的距离是两条直线之间最短的直线距离，也就是垂直于两条直线的连线段的长度。
计算两条直线的距离，我们可以利用点到直线的距离公式来求解。
点到直线的距离公式:d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，A、B、C是直线的方程中的常数。
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式首先，我们来看两条直线的交点坐标公式。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别是：L1: ax + by = cL2: dx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知变量。
为了求解L1和L2的交点坐标(x0,y0)，我们可以通过以下步骤进行计算：1.将L1和L2的方程联立，得到以下方程组：ax + by = cdx + ey = f2.使用消元法或代入法解方程组，求解出x和y的值。
-对于消元法，我们可以通过消去x或y来求解另一个变量。
例如，可以通过将L1的方程乘以e，将L2的方程乘以b，然后将它们相减，得到可解的方程。
-对于代入法，我们可以先求解出一个变量，然后将它代入到另一个方程中求解另一个变量。
3.将求解得到的x和y的值代入L1或L2中，验证它们是否满足直线的方程。
通过上述步骤，我们可以求解出直线L1和L2的交点坐标(x0,y0)。
接下来，我们来看点到直线的距离公式。
假设有一条直线L，它的方程为：L: ax + by + c = 0其中a、b、c为已知常数，x和y为未知变量。
设点P的坐标为(x1,y1)，我们希望求出点P到直线L的距离d。
为了求解点到直线的距离d = ，ax1 + by1 + c，/ √(a^2 + b^2)使用上述公式，我们可以按照以下步骤来计算点到直线的距离：1. 将点P的坐标代入直线L的方程，计算得到ax1 + by1 + c的值。
2.将步骤1中计算得到的值代入到距离公式中，计算得到点P到直线L的距离d。
通过上述步骤，我们可以求解出点P到直线L的距离d。
总结起来，直线的交点坐标与距离公式是数学和几何问题求解的基本工具。
对于直线的交点坐标，我们通过联立直线的方程，并使用消元法或代入法来求解变量的值，从而得到交点的坐标。
对于点到直线的距离，我们使用距离公式，将点的坐标代入直线的方程，并进行运算，最后得到点到直线的距离。
这两个公式广泛应用于解决直线相关的几何和数学问题，例如计算两条直线的交点、判断点是否在直线上以及计算点到直线的最短距离等。
3.3直线的交点坐标与距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离
设P（x0,y0)是Ax＋By＋C2＝0上
O
的一点
则 Ax0＋By0＋C2＝0 即 Ax0＋By0＝－ C2
d | Ax0 By0 C1 | | C1 C2 |
A2 B2
A2 B2
l1 l2 x
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0
例 :已知ABC的三个顶点是A(1,0), B(1,0) C( 1 , 3 ), 试判断ABC的形状.
22
用代数方法证明几何问题.
例2:证明平行四边形四条边的平方和等于两条
对角线的平方和. y
D (b,c)
C (a+b,c)
A (0,0)
B (a,0) x
小结:用坐标的方法解决问题的方法叫坐标法 或者解析法.
练习:P110, 7
二、点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C＝0的距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（1）分子是P点坐标代入直线方程左边. （2）分母是未知量x、y系数平方和的算术根 （类似于勾股定理求斜边的长）
例1 求点P(-1,2)到下列直线的距离：
3.3直线的交点坐标 与距离公式
复习回顾：
直线 L1 :A1x+B1y+C1=0 ,L2 :A2x+B2y+C2=0
的L1位∥置L2关系的A判1B断2 ： A2B1 0 (注意检验重合情况）
L1⊥L2 A1A2 B1B2 0
两条直线的交点坐标
设l1 : A1x+B1y+C1=0, l2 : A2x+B2y+C2=0，则
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，我们假设有两条直线分别为L1和L2，它们可以表示为以下形式的参数方程：L1:P1=P0+t1*d1L2:P2=P0+t2*d2其中，P1和P2分别是L1和L2上的两个点，P0是直线的起点，d1和d2是直线的方向向量。
t1和t2是参数，用来确定直线上的点的位置。
要求两条直线的交点坐标，我们需要找到使L1和L2重合的参数值t1和t2、我们可以通过两个参数方程组相等来解这个方程组：P1=P2=>P0+t1*d1=P0+t2*d2化简上述方程，我们可以得到：P0+t1*d1-P0=P0+t2*d2-P0即：t1*d1=t2*d2这个方程告诉我们，d1和d2这两个方向向量成比例，它们的比例系数即为两个参数t1和t2的比值。
所以，我们可以将其表示为：d1=k*d2其中，k为比例系数。
在上述方程中，我们可以用矩阵的形式来表示方程：[d1,-d2]*[t1;-t2]=0其中，[d1,-d2]和[t1;-t2]分别是一个2x1的矩阵和一个2x1的列向量。
我们可以将上述方程拓展为一个矩阵方程：[A]*[x]=0其中，[A]是一个2x2的矩阵，其元素为[d1,-d2]。
[x]是一个2x1的列向量，其元素为[t1;-t2]。
根据行列式的定义，只有当[A]的行列式为0时，方程[A]*[x]=0有非零解。
计算[A]的行列式可得：det([A]) = ad1 - bd2对于两条直线相交的情况，其中ad1 - bd2不等于0。
形式上，我们可以将[A]*[x]=0表示为：[U]*[S]*[V^T]*[x]=0其中，[U]和[V]是正交矩阵，[S]是一个对角矩阵，其对角线元素为奇异值。
通过奇异值分解，我们可以得到：[U]*[S]*[V^T]=[R]*[T]其中，[R]是一个旋转矩阵，[T]是一个平移矩阵。
我们可以将解表示为：[x]=[V]*[T[2,:]]其中，[T[2,:]]表示[T]矩阵的第二行。
高二寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式（含答案）知识梳理1、两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-= 特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. （2）点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. （3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.知识典例题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24 B ．6C ．6±D ．-6【答案】C 【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解k 即可．【详解】解：因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上， 所以设交点为(0,)b ，所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩，消去b ，可得6k =±．故选：C ．巩固练习当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【分析】 解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标，由102k <<，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--， 所以交点在第二象限，故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --，(),3B a ，且5AB =，则a 的值为( ) A ．1 B ．5-C ．1或5-D ．1-或5【答案】C 【分析】利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知：()()222315AB a =+++=，解得：1a =或5-本题正确结果：C巩固练习（多选）对于225x x ++，下列说法正确的是（ ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确， 故答案为：BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．79-或13-D ．79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解,得到a 的值. 【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等， 由点A 和点B 到直线的距离公式， 2234163111a a a a --+++=++，化简得3364a a +=+|，()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-，故选C.巩固练习（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．由已知得2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B ．1313C 51326D 71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：d=()2213232--+=7213=713.巩固练习若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为268232-=.题型五 三角形的面积求解例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点(),0B a . （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【答案】（1）12a >（2）33y x =- 【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）当直线l 的斜率不存在时，求出点,A B 坐标，得出4S =；当直线l 的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出S 取得最小值时直线l 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，如下图所示322BP k a==-，解得12a =，此时不能形成AOB ，则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>（2）当直线l 的斜率不存在时，即(2,0)B ，(2,4)A ，此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在，则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-，2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭ 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥，整理得(3)0S S -则3S ≥，即S 的最小值为3此时2690k k -+=，解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-巩固练习已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求：(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．【答案】(1) 2x ＋3y ＋7＝0;(2)452. 【分析】（1）先判断A 点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程，进而通过联立可得解； （2）分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ，利用S △ABC ＝12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由得B (7，－7)． 由得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝，A 点到BC 边的距离d ＝，∴S △ABC ＝×d ×|BC |＝××＝．巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，因此，两直线的交点坐标是()2,3.故选：B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[]0,5C ．(]0,5D．(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5， 因为两直线平行，则两直线距离不为0， 故选：C.3、“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B. 4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A．4 BCD 【答案】D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解.【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d==， 故选：D .5、直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可. 【详解】 联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--，所以直线的斜率为20210--=--，则直线l 的方程为：2y x =，即20x y -=. 故选：B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，则k 的取值范围为__________．【答案】,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可.【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >．故答案为3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标． 【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4，则m 的取值范围是________． 【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可． 【详解】4≤，解得4623m ≤≤．故答案为：462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
两直线的交点坐标及距离公式
3x y 4 0
如何求数轴上两点之间的距离？
A B
x1
x2
| AB || x2 x1 |
探究1：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 | AB | ?
(1)、y1 y2
y
(2)、x1 x2
y
A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 ).
y1
A( x1 , y1 )
x1 o
x2
x
o
x
B( x2 , y 2 ).
y2
| AB || x2 x1 |
| AB || y2 y1 |
探究1：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 | AB | ?
(3) x1 x2 , y1 y2
o y
B( x2 , y2 ).
| y2 x y1 |
两点间的距离公式 A( x1 , y1|)x 2 x1 | P( x2 , y1 ).
| AB |
x2 x1 y2 y1
2
2
探究2：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 A, B中点的坐标?
144 25
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2 的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式可作怎样的变形？
y2 y1 k ( x2 x1 )
1 | P1 P2 | 1 k | x2 x1 | 1 2 | y2 y1 | k
y
B( x2 , y2 ).
x
M ( x0 , y0 ).
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的一般式方程分别为：Ax + By = C 和 Dx + Ey = F
将两个方程相减或相加，得到一个一元一次方程，解得交点的x或y坐标
将得到的x或y坐标代入任意一个原方程，解得另一个坐标
得到交点坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2)
特殊情况的处理
两条直线平行的情况：此时它们的交点坐标为无穷远点，即坐标为(∞, ∞)。
公式推导过程中涉及到的数学知识点包括向量、三角函数和代数运算
距离公式的应用场景
计算线段的中点坐标
计算两点间的距离
判断点与线之间的距离
计算多边形的面积
距离公式的几何意义
公式适用于平面和三维空间中的两点距离计算
几何意义是将两点的距离量化为一个数值
公式中的平方和表示线段的平方长度
两点间的距离公式是连接两点的线段的长度
公式中$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别表示两点的坐标
公式表示点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的距离
公式可用于计算任意两点间的距离
两点间距离公式的推导
两点间距离公式推导的起始点是欧几里得几何的基本假设
通过勾股定理和三角函数推导出两点间距离公式
公式形式为：d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
两条直线垂直的情况：此时它们的交点坐标为原点(0, 0)。
两条直线重合的情况：此时它们的交点坐标为无穷多个，即任意坐标点。
两条直线相切的情况：此时它们的交点坐标为切点，需要根据具体情况计算。
03
两点间的距离公式
点坐标的表示方法
两点间的距离公式为：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
两条直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标与距离公式一、平面直线的交点坐标计算方法在平面几何中，两条直线的交点即为它们的方程组的解。
假设有两条直线，直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0。
其中a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
要求两条直线的交点坐标，可以使用消元法和代入法进行计算。
1.消元法消元法是通过将一个方程乘以适当的系数，使得方程的其中一项系数与另一个方程的对应系数相等，以消去一个未知数。
然后将消去后的方程代入到另一个方程中解得另一个未知数，从而求得交点坐标。
首先选择一个方程，例如直线1的方程a1x+b1y+c1=0作为基准，通过乘以a2和b1使得两个方程的x系数相等，即a1*a2*x+b1*a2*y+c1*a2=a2*a1*x+b2*a1*y+c2*a1，然后再乘以b2和b1使得两个方程的y系数相等，即a1*a2*x*b2+b1*a2*y*b2+c1*a2*b2=a2*a1*x*b2+b2*a1*y*b2+c2*a1*b2、通过将两个方程相减消去x的系数，即得到一个只含有y的方程，然后通过解这个方程来求得y的值。
将求得的y的值代入到任意一个方程中，即可求得x的值。
进而得到交点坐标。
2.代入法代入法是通过将一个方程的未知数表示为另一个方程的函数，再将其代入到另一个方程中，求得另一个方程的解。
从而求得未知数的值。
假设直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0，选择其中一个方程（例如直线1的方程）中未知数x表示为y的函数，即x=(c1-b1y)/a1、将这个式子代入到另一个方程（例如直线2的方程）中，得到一个只含有y的方程。
然后解这个方程可以得到y的值。
将求得的y的值代入到x=(c1-b1y)/a1中，即可求得x的值。
从而得到交点坐标。
以上就是求解两条直线交点坐标的两种方法。
二、两条直线之间的距离公式两条直线之间的距离可以使用点到直线的距离公式进行计算。
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【例2】直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点， △OAB的面积为12，求直线l的方程． 思维点拨：题中△OAB的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式．
解：解法一：设直线l的方程为
∴A(a,0)，B(0，b)，∴ ∴所求直线l的方程为
∴|a－1|＝2 答案：1－2
，又a＜0，∴a＝1－2
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确定一条直线需要两个独立条件，故求直线方程时就应围绕如何根据已知条 件确定或找出能确定直线方程的两个条件，从而达到求出直线方程的目 的．一般地，已知直线过一点，一般考虑点斜式或斜截式；已知直线过两点， 一般考虑两点式；已知直线与两坐标轴相交得到的三角形的相关条件，一般 考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式．
＝1(a>0，b>0)，
＝1，即2x＋3y－12＝0.
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解法二：设直线l的方程为y－2＝k (x－3)，
令y＝0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a＝3－
令x＝0，得直线l在y轴的正半轴上的截距b＝2－3k， ∴ (2－3k)＝24，解得k＝－ (x－3)，
)
则线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，又线 则线段AB的垂直平分线方程为
y－ ＝2(x－2)，即4x－2y＝5.
答案：B
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4． 已知点(a,2)(a＜0)到直线l：x－y＋1＝0的距离为2， 则a等于________． 解析：由点到直线的距离公式得：
∴所求直线 l 的方程为y－2＝－ 即2x＋3y－12＝0.
＝2－3k，解得k＝－1或k＝
(x－3)．
∴直线l的方程为：y－2＝－(x－3)或y－2＝ 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
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金太阳新课标资源网 老师都说好! 拓展1：求经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等 的直线方程． 解：当直线过原点时，截距相等且均为零截距， ∴直线方程为y＝2x. 当直线不过原点时，可设方程为： ＝1，
将(1,2)代入可求得a＝3或a＝－1，
∴直线方程为x＋y＝3或x－y＝－1. 故所求直线方程为 2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
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求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数 法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤： ①设出所求直线方程； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设的方程．
(3)两平行线间的距离公式：已知直线l1：Ax＋By＋C1＝0，直 线l2：Ax＋By＋C2＝0，则d＝ .
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【思考】 在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式
时应注意什么问题？
答案：(1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； (2)求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一 般形式后，才能套用公式计算．
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金太阳新课标资源网 老师都说好! 【例1】求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 思维点拨：选择截距式和斜截式均可． 解：解法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a， 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)， ∴l的方程为y＝ 即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为
提示：截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y轴的 交点的纵坐标，横截距是直线与x轴的交点的横坐标；距离是一个非负数．1
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线段的中点坐标公式 2． 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的 坐标为(x，y)，则x＝ 且 y＝ .
∵l过点P(3,2)，∴
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0， 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
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解法二：由题意，所求直线的斜率存在且k≠0， 设直线方程为y－2＝k (x－3)，令y＝0，得x＝3－ ，
令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－
3． 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方
程组 的 解 .
2
ห้องสมุดไป่ตู้
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4．距离公式 (1)两点间的距离公式：已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)， |AB|＝ ；
(2)点到直线的距离公式：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0， 则 d＝ ；
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名称
方
程
适用范围
斜截式
y＝kx＋b
不能表示垂直于x轴的直线
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
不能表示垂直于x轴的直线
两点式
不能表示垂直于坐标轴的直线
截距式
不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
能表示平面上任何直线
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1．过点(1，－1)和(0，－3)的直线在y轴上的截距为( A． B. C．3
) D．－3
解析：由斜率公式求得k＝2，∴直线方程为：y＋3＝2x 令x＝0，∴y＝－3. 答案：D
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2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋ ＝0相交 于一点，则k等于( 解析：由 得k＝－ 答案：B ) 得(－1，－2)，代入x＋ky＋k＋
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3．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为( A．4x＋2y＝5 C．x＋2y＝5 解析：kAB＝ 段AB的中点坐标为 B．4x－2y＝5 D．x－2y＝5