北京市2018年中学生高一数学竞赛初赛试题
2018年全国高中数学竞赛试题
2018年全国高中数学竞赛试题2018年全国高中数学竞赛试题是高中学生们用来展示自己数学才能的重要考试。
本文将分析该考试试题的难度和内容，并探讨其对学生数学能力的要求。
首先，我们来看一下2018年全国高中数学竞赛试题的整体难度。
根据学生们的反馈和考试后的统计数据，该试题的难度较大。
其中一些问题涉及到高等数学的知识和概念，对学生的推理和解题能力提出了很高的要求。
其次，我们来分析2018年全国高中数学竞赛试题的内容。
整个试卷由选择题和解答题两个部分组成。
选择题主要涵盖了数论、代数、几何等数学相关的知识点。
这些选择题通过简洁清晰的语言描述问题，并要求学生选出正确的答案。
解答题则要求学生从实际问题出发，进行推理、计算和解决问题的过程。
这些解答题不仅考察了学生的数学知识，还考察了学生的分析能力和解决问题的思路。
此外，2018年全国高中数学竞赛试题还在难度上进行了适当的增加。
这样做的目的是为了激励学生们更加努力地学习和提高自己的数学水平。
这些增加的难题旨在考察学生的数学思维方式和解决问题的能力，使学生能够更好地应对未来学习和工作中的复杂数学问题。
综上所述，2018年全国高中数学竞赛试题是一套难度适中、内容丰富的试题。
通过这样的考试，学生们可以展示他们在数学方面的才能和潜力。
同时，这些试题还能够提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，对他们今后的学习和发展有着积极的促进作用。
当然，与考试试题的难度和内容相比，学生们在备考过程中的努力和准备也是至关重要的。
只有通过不断的学习和练习，才能更好地理解和掌握数学知识，应对各种各样的数学竞赛试题。
因此，学生们需要制定科学合理的学习计划，并积极参加各种数学竞赛活动，不断提高自己的数学水平和竞赛能力。
最后，希望广大学生们能够充分利用2018年全国高中数学竞赛试题，不仅仅是作为一次考试，更是一次锻炼和成长的机会。
相信通过不断的努力和坚持，每一个学生都能在数学竞赛中取得优异的成绩，展现自己的才能和潜力。
2018年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考答案
二、填空题 1．已知实数 a, b, c, d 满足 5a=4，4b=3，3c=2，2d=5，则(abcd)2018=______． 答：1． 解：化 5a=4，4b=3，3c=2，2d=5 为对数，有 ln 4 ln 3 ln 2 ln 5 ， a log5 4 , b , c , d ln 5 ln 4 ln 3 ln 2 所以
2018 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第 2页 共6页
6 ． 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 若 存 在 两 不 等 实 数 x1, x2 R ， 使 得 x +x f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称函数 f (x)具有性质 P．那么以下函数： f( 1 2) 2 2
2018 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛参考解答 第 4页 共6页
6. 在 3×3 的“九宫格”中填数， 使每行、 每列及两条对角线上 的三数之和都相等，有 3 个方格已经填的数分别为 4, 7, 2018，如右 图，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和为______． 答：−11042.5． 解： 将其余 6 个格子标上字母， 如右下图， 由 a+2018+b=4+7+b
1 ( x 0) ① f ( x) x ； 0 ( x 0)
② f ( x) x 2 ；
③ f ( x) x 2 1 ；
④ f ( x) x3
中，不具有性质 P 的函数为 （A）①． 答：B． 解：具有性质 P 的函数的特点是：存在一条直线与函数图象有三个交点，且其中 一个是另外两个交点的中点. 画图可知①、③、④都是具有性质 P 的函数，②不具备有 三个交点，②是不具有性质 P 的函数 （B）②． （C）③． （D）④．
2018-2019年高中数学北京高一竞赛测试检测试卷【1】含答案考点及解析
2018-2019年高中数学北京高一竞赛测试检测试卷【1】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.由下表可计算出变量的线性回归方程为（）543212A． B．C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，∴样本中心点为（3，1.2）代入选择支，检验可知A满足.故答案选A．考点：线性回归方程.2.下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据面动成体的原理即可解，一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥．一个直角梯形绕着直角边旋转一周得到圆台．解：该几体的上部分是圆锥，下部分是圆台，圆锥的轴截面是直角三角形，圆台的轴截面是直角梯形，∴这个几何图形是由直角三角形和直角梯形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．故选A考点：旋转体点评：本题主要考查空间感知能力，难度不大，学生应注意培养空间想象能力．3.cos300°＝ ()A．－B．－C．D．【答案】C【解析】试题分析：利用诱导公式把要求的式子化为 cos（360°-60°）=cos60°，由此求得结果．解：cos300°=cos（360°-60°）=cos60°=，故选C考点：诱导公式和特殊角的三角函数值点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点．4.下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据基本初等函数的单调性知，在上单调递减；在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.考点：本小题主要考查基本初等函数的单调性.点评：考查函数的单调性，要记住基本初等函数的单调性，结合图象解决问题.5.若角和角的终边关于轴对称，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】试题分析：因为α，β角的终边关于y轴对称，所以，即α+β=π+2kπ，（k∈z），考点：终边相同的角。
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >∈则下列不等式成立的是( ) A ．ba 11< B ．22b a > C ．1122+>+c bc a D ．c b c a >3.下列函数为偶函数，且在)0,(-∞上单调递减的函数是( ) A ．32)(x x f = B ．3)(-=x x fC ．xx f )21()(=D ．x x f ln )(=4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4a a a 依次成 等差数列，且11=a , 则10S =( )A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为( )A.833B. 8 C ．4 D. 4 3 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最大值为()A ．10B ．8-C ．6D ．4 8．已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．24-≤≥m m 或 B. 42-≤≥m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为1310. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（ ）A ．)2,(--∞ ∪ ),2(+∞B . )4,(--∞∪ ),4(+∞C ．)2,2(- D. )4,4(-11. 若直线45π=x 和49π=x 是函数 )0)(sin(>+=w wx y ϕ 图象的两条相邻对称轴，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．43π B. 4π C ．3π D. 2π 12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=,,1,31,1,0),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ） A ．12-a B ．12--a C ．a --21 D ．a 21-二、填空题（每题5分,共20分）13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a 且,)32(c b a⊥-则实数=k _________。
2018年北京市中学生数学竞赛高一数学试卷
2018年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）1.已知集合{0.1,1,10}A =，{|lg ,}B y y x x A ==∈，则AB =（A ）1 （B ）{1}（C ）∅ （D ）02.如图，O 的直径8AB =，C 为O 上一点，60COA ∠=.延长AB 到P ，使12BP BO =，连CP 交半圆于点D ，过点P 作AP 的垂线交AD 的延长线于H ，则PH 的长度为（A ）3 （B ）2（C （D 3.若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(7)9f =，则(2020)(2018)f f -=（A ）6 （B ）7（C ）8 （D ）94.如图，平面直角坐标系xOy 中，,A B 是函数1y x=在第一象限的图象上两点，满足60AOB ∠=，且OA OB =，则OAB 的面积等于（A ）（B（C （D 5.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，若[0.1][0.2]x x +++[0.3][0.4]x x ++++[0.5][0.6][0.7][0.8][0.9]104x x x x x ++++++++++=，则x 的最小值是（A ）11.5 （B ）10.5（C ）9.5 （D ）8.56.设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两不等实数12,x x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P .那么一下函数： ①1,(0)()0,(0)x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x =；③2()|1|f x x =-；④3()f x x =中，不具有性质P 的函数为（A ）① （B ）②（C ）③ （D ）④二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方）1.已知实数a ，b ，c ，d 满足54a =，43b =，32c =，25d =，则2018()abcd =_________.2.满足222018a ab b ++=的正整数解(,)a b 构成的集合是_________.3.一个三角形的一边长为8，面积为12，则这个三角形的周长的最小值等于_________.4.若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数.设超级平方数的集合为A ，A 中元素的个数为||A ，A 中所有元素之和为()S A ，则与()||S A A 最接近的整数是_________. 5.已知正整数x ，y ，z 满足(22)(22)(22)xyz x y z =---，且44x y z ++<，222x y z ++的最大值和最小值分别记作M 和N ，则M N +=_________.6.在33⨯的“九宫格”中填数，使每行、每列及对角线上的三数之和都相等，有3个方格已经填的数分别为4,7,2018，如右图，则“九宫格”中其余6个方格所填数之和为_________.7.已知函数()f x 满足2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，那么()f x 的值域为_________.8.如图，凸五边形ABCDE 中，ABC 、BCD 、CDE 、DEA 、EAB 的面积都等于1，则五边形ABCDE 的面积等于_________.。
北京市高一 数学初赛试题及解答
北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案填空题答案一、选择题1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x2−2∈A, x−2∉A}，则集合B的所有元素之积为（A）36．（B）54．（C）72．（D）108．答：A．解：由x2−2∈A，可得x2=4，2，3，9，即x=±2，，±3．又因为x−2∉A，所以x≠2，x≠3，故x= −2，，，−3．因此，集合B={−2, , , , −3}．所以，集合B的所有元素的乘积等于(−2)()(−3)=36．2．已知锐角△ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)=（A．（B）2．（C）1．（D答：A．解：作锐角△ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角△ABC的垂心H也在形内．连接BO交⊙O于K，BK为Oe的直径. 连接AK，CK．因为AD，CE是△ABC的高，∠KAB，∠KCB是直径BK上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CEKC//AD，因此AKCH是平行四边形．所以KC =AH =AO =12BK ． 在直角△KCB 中，由KC =12BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°． 故tan(2BAC∠)= tan30°=3．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12． （B ）2． （C） （D答：D ．解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ． 易见△COA ≌△DAB ．设点A (a , 1a )，则点B (a +1a , 1a − a )．因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a− a )=1，即21a− a 2=1． 因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =12= 5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则f (10)−f (−5)=（A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （D ）76515．答：C ．解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )−2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x )−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p )−2017×5， 因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a >． （B ）16a >． （C ）15a >． （D ）14a >．答：D ．解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y =x 2−4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ⨯-，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ⨯-．因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ⨯-，解得14a >．二、填空题1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设S =++++L ，求的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1,2，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此3===K ，共7个3；依次类推，4=====K ，共9个4；5=====K ，共11个5；6=====K ，共13个6；7=====K ，共15个7；8=====K ，共17个8；9=====K ，共19个9.S= (++)+(++++)+…+(++L ) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边ABBCCA厘米，求△ABC 的面积． 答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB厘米，BCCA米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）．4.设函数()f x =的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N的值．答：2．解：由已知得()1f x =+因为NA M BP)())(())]x x x x ++-=---=22ln(()1())ln10x x -+--==，所以()))x x -=-，因此，)x +是奇函数．进而可判定，函数22)()1x x g x x ++=+为奇函数．则g (x )的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0． 因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧»DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”¼AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米．解：半圆(O , 2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB =2，所以AB=AC=BD =4，AE =BE，ED =EC =4−． 又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形¼EDC的面积=14π(4−2)2= 6π−π， 卵形¼AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积 −△AEB 的面积+直角扇形¼EDC的面积B FADCEO= 2π+2×2π−4+6π−4π = (12−)π−4（平方厘米）．7. 已知22()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则g (100−x ) = (100−x )2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000= x 2−100x +5000= g (x )， 即 g (k ) = g (100−k )．所以 f (k ) + f (100−k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+- =22(100)()k k g k +-=2， 又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)22100==2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BEAF O E=，即22ac =，由此推出ac = 4． 分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=② 由①、②两式可得DACBD A C B EG FO 1 O 2 · a b b c·4b =将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=解得b 2=5或b 2=20，即b b ，（负根舍）．于是，AB = a +c +2b = 4b ，或AB若AB ，△ABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求．所以AB 的长为．。
2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)
则(������ + ������������)������2 + 2(������ − ������������)������ + 2 = 0，
整理得：(������������2 + 2������������ + 2) + (������������2 − 2������������)������ = 0
由图结合对称性得：
������1 = ������ − 2, ������2 = 2������ − [4 + 2(2������ − 6)] = 8 − 2������ 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ������(������) ≤ 2在[1，2]内
分析：������������������ + ������������������为偶数，则������������������与������������������奇偶性相同，
故当������ ≥ 2 时，
������������ = √������ ± √������ − 1 ≤ √������ + √������ − 1 < 2√������ (2) ������������与������������+1异号时结论显然成立，
当������������与������������+1同号时： 由(1)得������������ = ±√������， 不妨得：������������ = √������ − √������ − 1
6. 设复数������满足|������|=1，使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根，则这样的复数������的和为
2018年全国高中生数学竞赛
2018年全国高中生数学竞赛【原创实用版】目录一、2018 年全国高中生数学竞赛概述二、竞赛的组织和参与情况三、竞赛的题目特点及难度分析四、对参赛选手的启示和影响五、总结正文一、2018 年全国高中生数学竞赛概述2018 年全国高中生数学竞赛是在我国教育部门的支持下，由中国数学会主办的一项面向全国高中生的数学竞赛活动。
该竞赛旨在选拔和培养优秀的数学人才，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养和创新能力，为我国的数学教育和科学研究储备人才。
二、竞赛的组织和参与情况2018 年全国高中生数学竞赛分为初赛、复赛和决赛三个阶段。
初赛在各地区进行，复赛在各省、自治区、直辖市进行，决赛在全国范围内进行。
竞赛吸引了全国各地众多高中生积极参与，竞争激烈。
三、竞赛的题目特点及难度分析2018 年全国高中生数学竞赛的题目特点主要体现在以下几个方面：1.题目内容涵盖广泛，包括代数、几何、数论、组合等数学各个领域，注重对学生全面数学素养的考察。
2.题目难度分为基础题、进阶题和挑战题，既有对学生基本数学知识的考察，也有对学生创新思维和解题能力的挑战。
3.部分题目具有一定的实际应用背景，旨在培养学生的数学应用意识。
四、对参赛选手的启示和影响参加 2018 年全国高中生数学竞赛，对参赛选手来说具有重要的启示和影响：1.提高数学素养：通过参加竞赛，选手们能够提高自己的数学知识水平和解题能力，更好地应对高考和其他数学竞赛。
2.培养团队协作精神：竞赛过程中，选手们需要与队友合作交流，共同解决问题，有助于培养团队协作精神。
3.锻炼心理素质：竞赛的激烈竞争和压力，对选手们的心理素质提出了较高的要求，有助于锻炼心理素质。
4.拓宽视野：参加竞赛，选手们能够结识来自全国各地的优秀选手，拓宽视野，激发学习动力。
五、总结2018 年全国高中生数学竞赛是我国高中生数学教育领域的一项重要活动，对于选拔和培养优秀数学人才具有重要意义。
2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)
三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分 切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知 但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷） 参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知 圆锥的 顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥 底面 上取 一 点Q , ° 使得 直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域 的面积 解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心， 记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求 的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成 一 行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概 答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 一 个档次 ，第10、 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为 一 个档次 ，不得增加其他中间档次． 11小题5分为 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．
2018高一数学竞赛答案
2018竞赛高一初试试题答案 1.D 2. C 3.A 4.B 5. D 6. B 7. D 8. C13. 314. x=2或3x —4y —10=015.-217. 解：(1)由正弦定理得:1 n cosC ,C2 3222兀(2)c a b -2abcos —32 2a b = 25 ab _ 2abab _251 25、. 3 S absinC " (当a=b 时取得最大值) .................... ..10分2 4 18. (1)当直线I 经过坐标原点时，有a • 2 = 0. a = -2. 此时直线l 的方程为x - y = 0. ...................................... 2•分-a 1此时I 的方程为x ■ y —2 = 0....................................... 5•分… 所以直线I 的方程为x - y =0.或x • y - 2 =0....................................... 6•分_b2R =(a —'b) a2Rc 2R 2 c=a 2-ab a 2 b 2 _c 2 = ab..4分9.B 10. A 11.B 12.D16.(3) (4)2 225 = a b -ab .................................................. ..6分当直线l 不经过坐标原点时，即a = -2且a = -1时由直线在两坐标轴上的截距相等可得 -―=2 - a,解得a =0(2)由直线I的方程可得M (,0), N(0,2 - a),1 2 + a因为aT 所以S，OMN =2 a 1 (2 a)=1 〔a 1 122 a 1=210分1当且仅当a • 1二--- ,即a =0时等号成立。
11.分此时直线I的方程为x ■ y - 2 =0. 12'分19. 解:(1)因为向量 m=(sin 2wx,cos2wx), n =(cos :,sin :),所以 f (x) = m • n 二 sin 2wxcos 「亠 cos2wxsin 二 sin(2wx 亠'■) 由题意T =5,T=二，w=1 ,................................................. .•/2 •分4126将点 P(—,1)代入 y =sin(2xJ ，得 sin(2) =16 6所以2k 二，(k ・Z)，又因为',,二 .......................... 4-分… 6 2 6即函数的表达式为 f(x)=sin(2x • §), (x ：= R) . .............................................. 5•分•…(2) 由 f (C) = -1,，即 sin(2C) = -1,62兀又••• O v C v n, ••• C … (3)—— 33由 CA CB ,，知 abcosC =2 2所以ab=3 .......................... 由余弦定理知c=3.............................2 ..20. 解：(1) a n =4s n _2a n 一1(门 N )n 启2时，a n4 =4S n 」—2a n4 —1(NJ2 ..两式相减，得a n 一 a 2 =2.又令n7得a1=4$ -2a 1 -1(N )得a1 T ，所以a n =2n 「….................... 5•分 4(-1)* 彳 a n 1(a n 1)(a n 1 1)1 11 11 1 1=(1 — -) (- 一)-•…•…(- -)2 23 34 2n-1 2n 1=1 1 … ....................................................................2n…9分12•分.（2）由 bn =b n#1)n1(2nD 2n(2n 2)=皿心n1(1 .丄)n(n 1)n n 17…分T2n 4b 2 b 3b2n4T 2^b 1b 2 b 36n4b 2n1 1 1 1 1 =(11)-(13) (14)-1111（不齐）盂和）所以 T 2nj1 T 2n (n N ).21. 解: (1 )由题意知f(0)=0所以a=2.2x _1(2)由(1 )知，f (X )二飞—,2x +1因为 x €(0, 1］，所以 2x - 1 >0, 2x +1>0, 故s f (x) -2x -1恒成立等价于s >21恒成立，因为2x +1€(2, 3］,所以只需s >3卩可使原不等式恒成立. 故s 的取值范围是［3, +^). ................................ 6•分方程 g (2x )- mg (x ) =0,即 22x -m 2x • 1 — m =0 有唯一实数解 令 t=2x ,则 t >0, 即等价为t 2- mt+1 - m=0, (t >0)有一个正根一个负根或两个相等正根或者- 零根一正根 ............................ 8•分 =0由 h (0) <0,得 1 - m<0,即卩 m>111.分当h(0) =0即m=1时，h (t ) =t 2- t ，此时有一正根，一零根，满足题意 综上所述，m 的取值范围为n >l 或m =2、. 2-211.分 12.分此时 f (x) =1 -2 2x12x -1 2x 1 而 f (-x )=2：-1 1 1 -2x 1 2x-f (x),所以f (x )为奇函数，故a=2为所求. 2 •分(3) 由题意g(x)卫，化简得g (x ) =2x +l ,设 h (t ) =t 2- mt+1 - m ,则满足 h(。
2019年北京市高一数学竞赛(初赛)试题(pdf版,含答案)
C
F
二、填空题
1．计算
7142853 7142853
2857143 4285713
=________．
答： 7 ． 8
解
1：原式
(714285 285714)(7142852 (714285 428571)(7142852
714285 285714 714285 428571
则满足条件的子集 A 的个数是
（A）8.
（B）7.
（C）6.
（D）5.
答：B.
解：经枚举，各元素之和为 3 的倍数的子集有｛0｝，｛9｝，｛2, 1｝，｛0, 9｝，｛2, 0, 1｝，
｛2, 1, 9｝，｛2, 0, 1, 9｝共 7 个．
2．如图，∠BAF =∠FEB =∠EBC =∠ECD = 90°， ∠ABF = 30°， ∠BFE = 45°，
4．在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos110°, sin110°)，B(cos50°, sin50°)，则由
坐标原点 O 到 AB 中点 M 的距离是
y
（A） 1 ． 2
答：选 C．
（B） 2 ． 2
（C） 3 ． 2
（D）1．
A MB
1
1
解：画草图，易知 50 60 .
（A）｛3, 4, 6, 9｝． （B）｛2, 0, 1, 9｝． （C）｛0, 3, 5, 9｝． （D）｛1, 2, 7, 8｝．
2019 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 共 5 页 第 1页
答：D． 解：易知 f (n)的值域为{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}， f (f (n))的值域为{1, 2, 7, 8}， f (f (f (n)))的值域是｛1, 2, 7, 8｝．
北京市高一数学初赛试题与答案
北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案填空题答案一、选择题1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2−2∈A , x −2∉A }，则集合B 的所有元素之积为 （A ）36．（B ）54． （C ）72．（D）108． 答：A ．解：由x 2−2∈A，可得x 2=4，2，3，9，即x =±2，，±3． 又因为x −2∉A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = −2，，−3． 因此，集合B ={−2, ,，−3}．所以，集合B 的所有元素的乘积等于(−2)()(−3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)= （A（B ）． （C ）1． （D ． 答：A ．解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内．连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O e 的直径. 连接AK ，CK ．因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CE KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．所以KC =AH =AO =12BK ． 在直角△KCB 中，由KC =12BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°． 故tan(2BAC∠)= tan30°3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12． （B ）2． （C）2． （D）2．答：D ．解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ．设点A (a ,1a )，则点B (a +1a , 1a− a )． 因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a− a )=1，即21a− a 2=1． 因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =122=． 5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则f (10)−f (−5)=（A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （ D ）76515．答：C ．解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )−2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x )−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p )−2017×5， 因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a >． （B ）16a >． （C ）15a >． （D ）14a >． 答：D ．解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y =x 2−4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ⨯-，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ⨯-．因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ⨯-，解得14a >．二、填空题1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设S =++++L ，求的值． 答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1, ＜2，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此3===K ，共7个3；依次类推，4=====K ，共9个4；5=====K ，共11个5；6=====K ，共13个6；7=====K ，共15个7；8=====K ，共17个8；9=====K ，共19个9.S= (++)+(++++)+…+(++L ) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8． 解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边ABBCCA厘米，求△ABC 的面积． 答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB厘米，BCCA=米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）．4.设函数22(1))()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N的值．答：2．解：由已知得()1f x =+因为)())(())]x x x x ++-=--=22ln(()1())ln10x x -+--==，所以()))x x -=-，因此，)x +是奇函数．进而可判定，函数()g x =为奇函数． NA MBP则g (x )的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0． 因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧»DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”¼AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米． 解：半圆(O , 2)的面积=12π×22=2π． 因为AO=OB =2，所以AB=AC=BD =4，AE =BE，ED =EC =4−． 又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形¼EDC的面积=14π(4−)2= 6π−， 卵形¼AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积 −△AEB 的面积+直角扇形¼EDC的面积 = 2π+2×2π−4+6π−= (12−)π−4（平方厘米）．7. 已知22()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则BFADCEOg (100−x ) = (100−x )2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000= x 2−100x +5000= g (x )，即 g (k ) = g (100−k )．所以 f (k ) + f (100−k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+- =22(100)()k k g k +-=2， 又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)22100==2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BEAF O E=，即22ac =，由此推出ac = 4． 分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=② 由①、②两式可得4b =将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=解得b 2=5或b 2=20，即b或b= 2（负根舍）． 于是，AB = a +c +2b = 4bAB．若ABABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求．DACBD A C B EG FO 1 O 2 · a b b c·所以AB的长为。
北京市高一数学竞赛(解析版)
高一年级初赛试题2008年4月13日8︰30～10︰30亲爱的中学生朋友:欢迎你参加本次竞赛活动﹗中国的未来需要众多的人才，人才的培养需要从青少年时代奠基，打好数学基础有助于从事各行业的发展。
北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平。
祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔。
注意事项1.本次考试共有14个小题﹙6个选择，8个填空题﹚，把答案填写在下面标有题号的空格内。
2.不允许使用计算器。
3.监考员宣布考试结束时，请你私下本页，填好所要求填写的项目，交给监考员。
以下由考生填写姓名__________________性别______考号_____________校名______________________________年级___________以下由评分者填写本次考试该生所得分数是__________高一年级初赛试题一 、选择题﹙满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分﹚ 1.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 2. 0cos 31,tan 46,sin 81,sin 113的大小关系是 ﹙A ﹚0000cos 31tan 46sin 81sin113<<<. ﹙B ﹚0000sin 81cos 31sin113tan 46<<<. ﹙C ﹚0000cos 31sin113sin 81tan 46<<<. ﹙D ﹚0000tan 46sin 81cos 31sin113<<<.3.已知0abc <，则在下列四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像只可能是4.对非0实数a ，存在实数θ使得212cos a aθ+=成立，则6cos πθ⎛⎫⎪⎝⎭+的值是 ﹙A. ﹙B ﹚12. ﹙C﹚-. ﹙D ﹚12-.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6. 23456cos 0coscoscos cos cos cos 777777ππππππ++++++等于 ﹙A ﹚4. ﹙B ﹚3. ﹙C ﹚2. ﹙D ﹚1.二 、填空题﹙满分64分，每小题8分，请将答案填入第一页指定地方﹚ 1.求523111125323111og og og ⋅⋅的值.2.如果sin cos αα+=，试确定3tan πα⎛⎫⎪⎝⎭+的值.3.在右图的圆中，弦,AB C D 垂直相交于E ，若线段,AE EB 和ED 的长分别是2厘米，6厘米和3厘米，试求这个圆的面积. 4.以[]x 表示不超过x 的最大整数，试确定sin1sin 2sin 3sin 4sin 5++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值.5.已知直角三角形A B C 斜边AB ，计算AB AC BC BA C A C B ++⋅⋅⋅.6.已知集合{}{}22,68070x x x x x ax A B -+<-+===.若A B ≠∅ ，确定实数a 的取值范围.7.分别以锐角三角形A B C 的边,,AB BC C A 为直径画圆，如图所示.已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w 平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为u 平方厘米，试确定三 角形A B C 的面积.8.已知正整数n 与k 使得252500nk =+成立.试确定不小于lg lg kn的最小整数的值.参考答案1. A 【解析】(2)2(1004)32(2)2006(1004)2(2)31004f f f f f +=⨯⎧⇒=⎨+=⨯⎩2. C 【解析】注意到：cos 31sin 59︒=︒，sin 113sin 67︒=︒ sin 59sin 67sin 811tan 46︒<︒<︒<<︒4. A 【解析】注意到：2111cos (||)1cos 2||2||a a a a θθ+==+≥=≥我们有：cos 1θ=，sin 0θ=此时有：cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 5. B 【解析】令函数()lg f x x x =，则()f x 是(0,)+∞上的增函数，注意到： (10)10lg 10101004()f f βββββα=⋅=⋅==，有10βα=此时有10(10)1004f ββαββ⋅=⋅==6.D 【解析】注意到：162534cos coscoscoscoscos0777777ππππππ+=+=+=因此有：原式＝11.()()2355lg 21lg 3111(3)lg 5loglog log 15125323lg 2lg 3lg 5-⨯-⨯-⨯⋅⋅=⋅⋅=-2. sin cos sin 12()444k k Z πππαααααπ⎛⎫⎛⎫+=+=⇒+=⇒=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1tan tan 2tan 234343k πππππαπ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 2tan 3A E A D E D E∠==，6tan 23B E B D E D E∠===223tan 8sin 2123A DB A D B +∠==-⇒∠=-⨯28652sin4ABR S RAD Bππ=====∠4. sin1、sin2、sin3(0,1)∈，sin4、sin5(1,0)∈-2sin1sin2sin3sin4sin5++++=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦5. ||29AB AC BC BA CA CB AB AC BC BA AB AB AB++=+=⋅==⋅⋅⋅⋅⋅6. {|24}A x x=<<，记2()7f x x ax=-+，欲使A Bφ≠需且只需：(2)(4)0f f<或(2)0(4)0242ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎪⎩，整理有234a≤≤7.如图所示，设红色区域面积为x，白色区域面积为y，三个半圆的面积之和为S，则：1()232S w yx u w uS y x u=+⎧⇒+=-⎨=++⎩8. 当n ＝1、2、3、4时，k非正整数，当5n≥时，有()44252500554n n k-+=⨯+=此时有4225|5|k k⇒，令25()k t t N=∈，有424545(2)(2)n nt t t--+=⇔=+⨯-，存在α、Nβ∈，αβ>，使得5225455t tαβαβ=+>-=⇒=-若0β≠，则：5|55αβ-，矛盾有0β=，则：lg lg22513225,5lg lg5kt k nnα=⇒=⇒==⇒=注意到lg125lg225lg62534lg5lg5lg5=<<=，lg2254lg5⎡⎤=⎢⎥⎢⎥。