柯西不等式推导过程

柯西不等式推导过程
1、二维形式：
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件：ad=bc
2、三角形式：
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]
等号成立条件：ad=bc
3、向量形式：
|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，
β=(b1,b2,…,bn)(n∈N，n≥2)
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。

4、一般形式：
(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

扩展资料：
不等式的特殊性质有以下三种：
①不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;
②不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

常用定理
①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。

②如果不等式F(x) < G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含，那么不等式 F(x)<G(X)与不等式F(X)+H(X)<G(X)+H(X)同解。

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③如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)<G(X)与不等式
H(X)F(X)< )G(x) x>
④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。

排序不等式：
对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。

当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。