6.2排列与组合(教师版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册

排列与组合

一排列概念的理解

1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_完全相同；(2)元素的排列顺序也相同．

注意点：

(1)要求m≤n.

(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．

二画树状图写排列

利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略

(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．

(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．

三简单的排列问题

要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么．

四排列数公式

1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．

2．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝

n！

n－m！

(n，m∈N*，m≤n)．

3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A n n＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.

规定：0！＝1.

注意点：

(1)乘积是m个连续正整数的乘积；

(2)第一个数最大，是A的下标n；

(3)第m个数最小，是n－m＋1.

五利用排列数公式化简与证明

排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．

六排列数公式的简单应用

对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．情况较多的情形，可以进行分类后进行．

七元素的“在”与“不在”问题

解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．

排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．

八“相邻”与“不相邻”问题

处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干

个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．

九定序问题

在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：

(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m

＋n)个元素排成一列，有A m＋n

m＋n

种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A m m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有

A m＋n

m＋n

A m m种满足条件的不同排法；

(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．

十组合概念的理解

组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

注意点：

(1)组合中取出的元素没有顺序；

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．

十一利用组合数公式化简、求值与证明

(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．

(2)组合数公式：C m n＝A m n

A m m＝n n－1n－2…n－m＋1

m！

或C m n＝

n！

m！n－m！

(n，m∈N*，且m≤n)．

(3)规定：C0n＝1.

注意点：

(1)m≤n，m，n∈N*；

(2)C m n＝A m n

A m m＝n n－1n－2…[n－m－1]

m！常用于计算；

(3)C m n＝

n！

m！n－m！常用于证明．

(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．

(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C m n中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．

十二简单的组合问题

解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．

十三组合数的性质1

组合数的性质1：C m n＝C n－m

n

.

注意点：

(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；

(2)两边下标相同，上标之和等于下标．

十四组合数的性质2

组合数的性质2：C m n＋1＝C m n＋C m－1

n

.

注意点：

(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个