”十字交叉法“的原理和应用

化学计算中“十字交叉法”的数学原理和应用

一. “十字交叉法”简介

“十字交叉法”是二元混合物（或组成）计算中的一种特殊方法，若已知两组分量和这两个量的平均值，求这两个量的比例关系等，多可运用“十字交叉法”计算。十字交叉法在化学计算中是一种常用的方法，在很多习题中采用十字交叉法可以简化计算过程，提高计算效率。下面先从一道简单的例题来介绍何为十字交叉法。

例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的质量分数是多少？

采用十字交叉法计算的格式如下：

设混合后溶液的质量分数为x%，则可列出如下十字交叉形式所得的等式：

10%的溶液 10 30 — x

X =

30%的溶液 30 x — 10

由此可得出 x = 25，即混合后溶液的质量分数为25%。

以上习题的计算过程中有一个十字交叉的形式，因此通常将这种方法叫做“十字交叉法”。然而怎样的计算习题可以采用这种方法？且在用“十字交叉法”时，会涉及到最后差值的比等于什么的问题，即交叉后所得的差值之比是实际中的质量之比还是物质的量之比？这些问题如果不明确，计算中便会得出错误的结论。

针对以上问题，在以前的教学中，可能往往让学生从具体的习题类型死记差值之比的实际意义。由于十字交叉法常用于：

①核素“丰度”与元素相对原子质量的计算；

②混合气体不同组分体积之比和混合气体平均相对分子质量的计算；

③不同浓度的同种溶液混合后质量分数与组分溶液质量之比的计算等类型的习题中。

因此可以简单记忆为前两种类型中，差值之比为物质的量之比，第三种类型差值之比为质量之比。这种记忆方法束缚了学生的思维，同时也限制了“十字交叉法”的使用范围。实质上“十字交叉法”的运用范围很广，绝不仅仅只能在以上三种类型的习题中才可运用。然而不同情况下，交叉后所得的差值之比的实际意义是什么？该怎样确定其实际意义？是我们应该探讨和明了的问题。要解决此问题，就要明了“十字交叉法”的数学原理，然后再从原理的角度去分析，便能确定差值之比在何时为组分的质量之比，何时为组分的物质的量之比。

二、“十字交叉法”的数学原理

50g(10%的溶液质量) 150(30%的溶液质量)

若用A 、B 分别表示二元混合物两种组分的量，混合物总量为A+B （例如mol ）若用M 1、M 2分别表示两组分的特性数量（例如相对分子质量），x 表示混合物的特性数量（例如平均分子量）则有：

M 1×A ＋ M 2×B ＝ x ×（A + B ）将此数学表达式变形即可转化为下式：

A/B = （x - xb ）/ (xa - x ）此式又可由十字交叉法推导得出。

A 组分 xa x - M 2 A

X = 即： B 组分 xb M 1 - x B

两组份物质的量之比等于各自摩尔质量与平均摩尔质量之差的比

由此我们可以看出“十字交叉法”是由二元一次方程演变而来的，这就是“十字交叉法”的数学原理。即运用“十字交叉法”计算的习题必须具备的条件，是此习题能列出二元一次方程。也可以说只要能用二元一次方程解决的习题就能用“十字交叉法”计算。

由于我们在列二元一次方程时，要设两个未知数，因此转化为“十字交叉法”时，所涉及的最后差值的比的意义就与所设未知数的意义有了紧密的关系。也就是说用二元一次方程计算时，所设未知数的物理意义是什么，则最后差值的比就等于该物理量之比。因此在运用“十字交叉法”计算时，特别要注意避免不明化学涵义而滥用。否则会由于不明确差值之比的物理意义，而使计算结果错误。我们可以根据下面例题来体会明确差值之比物理意义的重要性。

例2、由CO 2和CO 组成的混合气体，经分析测知含氧的质量分数为70%，则该混合气体中CO 和CO 2的体积比为多少？

解法一：利用CO 和CO 2中氧的质量．．分数列十字交叉式。(注意物理意义表述的质量．．)

在CO 中氧的质量分数为4/7，CO 2中氧的质量分数为8/11，则

CO 4/7 8/11 – 7/10

7/10 =

CO 2 8/11 7/10 – 4/7

至此若即得出CO 和CO 2的体积比为7 ：33，则为错误结果，原因是不明了如此计算所得的比值的物理意义。而实际上由此得出的比值是两种气体的质量之比，而非物质的量之比，也不是体积之比。这一点我们可以从下面二元一次方程的解法去理解。

解法二：设混合气体中CO 2质量为x ，CO 质量为y ，根据氧元素的质量固定可得出下列方程：

%70)(2816

4432

y x y x +=+ 不难解得 x : y = 33 : 7

由此我们可以看出在解法一中所得的CO 和CO 2的比值7 ：33是两种气体的质量之比。再x M M x B A --=12 7

33

从两气体的质量比求物质的量之比就很容易了。

n(CO) /n(CO2) = V(CO)/V(CO2) = m(CO)/28 : m(CO)/44 =7/28 : 33/44 = 1:3

那么能否用“十字交叉法”直接计算出两种气体的体积之比呢？要解决此问题，应该利用混合气体中氧元素的质量分数求出混合气体的平均分子式或平均分子量，然后再利用“十字交叉法”进行计算。

解法三：

设：混合气体的平均分子式为COx，则：利用混合气体中氧元素的质量相等可以列出下列方程。

16x/(12+16x) = 7/10，解得：x = 7/4。即我们可以认为混合气体的平均分子式为CO7/4，然后依据“十字交叉法”原理可列出下面式子计算。

CO 1 8/4 – 7/4 1 V(CO)

7/4 = = ————

CO2 2 7/4 – 4/4 3 V(CO2)

求出平均分子式后，还可继续求出平均分子量，然后再利用“十字交叉法”进行计算。

解法四：因为混合气体的平均分子式为CO7/4，故混合气体的平均分子量为12+16×7/4 = 40

CO 28 44 – 40 1 V(CO)

40 ———— = —— = ————

CO2 44 40 – 28 3 V(CO2)

利用这种方法求出的差值之比之所以能确定是两种气体的物质的量之比，或者说能确定是两种气体的体积之比，我们可以利用下面方程来进行证明。

方法五：设：混合气体中CO2物质的量为x，CO物质的量为y，则: 利用混合气体中氧元素的质量相等可以列出下列方程。

32x +16y = (44x + 28y) ×7/10，解得x :y = 3 : 1

因此：混合气体中CO和CO2的体积之比为1 : 3。

为了将“十字交叉法”理解透彻，我们再看下列一些例题，认真体会“十字交叉法”解计算题的类型和原理。