面积与代数恒等式PPT课件

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数缺形时少直观， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔离分家万事非。
———华罗庚
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作业： 试利用图形面积推导出乘法公式
（a+b+c）2 （a+b - c）2 （a - b -c）2
a bc a
b c
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a-b
b
2021 (a-b)(a+b) = a2-b2 9
练一练：
下列的代数恒等式分别表示右图的红色部分的面积，
把它与相对应的图形连接起来。
a
ab
a (1) a(a+b)=a2+ab
图一
a
ab
(2) (2a-b)a=2a2-ab
a
图二
(3) (a+b)(2a-b)=2a2+ab – b2
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b a a
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图形特点：
都是由几个矩形组合成一个新矩形。
b
c
a
m
n
b
a
a
b
a
b
a
b
a-b
b
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根据式的几何意义构造图形
二次恒等式 图形面积的不同表达式
图形
bc a
a(b+c) = ab+ac
a
b
a
b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
m
n
b
a
(m+n)(a+b) = mb+nb+ma+na
a
b
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn (2a)2 = 4a2 (a+b)2 = a2+2ab+b2
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像上述这种，不论字母取什么值，左边恒 等于右边的式子叫做代数恒等式。
代数恒等式是如何建立的？
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观察 观察代数恒等式及相应的图形，这些代数恒等式及 探索 相应的图形分别有什么特点？他们是怎样转换的？
bc a
m
n
b
a
a(b+c) = ab+ac
a
b
a
b
(m+n)(a+b) = mb+nb+ma+na
a
b
a-b
b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
2021 (a-b)(a+b) = a2-b2 6
代数恒等式特点：
一边是两个一次式的积，另一边是二次式。
a(b+c) =ab + ac (m+n)(a+b) = mb+nb+ma+na (a+b)(a+b)=(a+b)2 =a2+2ab+b2 (a-b)(a+b) = a2 - b2
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设计师要求：在一块长为4y，宽为4x的长方形地上建成一套
两室一厅一厨一卫的房子。其中客厅面积6xy，两卧室面积共 为8xy，厨房面积为xy，卫生间面积为xy。
根据今天所学的内容，请你试着把自己的想法画成平面结构
示意图。
4y
4x
y y 2y
x 厨房 卫生间
卧室
3x 客厅 卧室
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3.尽可能多的拼出不同的几何图形,并写出相
应的代数恒等式。
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议一议
如图，请利用面积的不同表示方法写出 一个代数恒等式：
b
a a
b
代数恒等式：(a+b)2-(a-b)2=4ab
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做一做
前面我们利用同一图形面积的不同表示方法，得出了代 数恒等式。现已知代数恒等式，你能否设计出相应图形来验 证它们的正确性？
a
b b
图三
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思考
仔细观察拼图过程，思考由此图可以得出一 个什么代数恒等式。
a2a-2ab
b ab
a
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红色部分 面积？？
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再给上图加一同样大小的
长方形在右侧呢？
此时红色部分的面积是：
a2-ab
b
ab
a
a2-ab+ab
a
ab
请思考：
b2 红色部分的面积又是多少
b 呢？
a2-ab+ab-b2
(1) 2a·b = 2ab
(2) a(a+b)=a2+ab
(3) (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
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做一做
(4) (a+2b) (2a－b) = 2a2 +3ab－2b2
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
= (a+2b) (2a－b)
2a2 + 4ab－ ab －2b2
= 2a2 +3ab－2b2
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a
a2-ab
b
ab
b 红色部分面积是：
a2-ab+ab-b2
即：a2-b2
b2
还可以表示为：(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) =a2 - b2
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拼一拼 请同学们利用下列的纸片拼图。
a a
b
b
a
b
要求：
1.在同一个图形中可以多次使用同一种纸片；
2.拼成的图形由2张或者2张以上但不超过4张 的纸片构成，并且整体上是一个规则图形；
华师版 数学 八年级上
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试一试
用不同的方法来表示同一个图形的面积。
m
n
b
bm
bn
a
am
an
= (a+b)(m+n)
am+an+bm+bn
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试一试
ห้องสมุดไป่ตู้
用不同的方法来表示同一个图形的面积。
aa
ab
aa ba
a2
ab
ab
b2
(2a)2 = 4a2
(a+b)2 =a2+2ab+b2
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