阿特金森社会福利函数

一、阿特金森社会福利函数（两个人的情况） W=[]

εεε--+-121111U U （1） 证明：我们可得阿特金森社会福利函数的边际替代率为：

ε

-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂∂=2121//U U U W U W MRS 对于1=ε时, 1

2U U MRS =

。对于纳什社会福利函数21U U W =而言，其边际替代率也为： 1

221//U U U W U W MRS =∂∂∂∂= 可见，当1=ε时，阿特金森社会福利函数和纳什社会福利函数的边际替代率是相等的，即它们代表了相同的偏好，因此可以认为两者是相同的。

当,-∞→ε由阿特金森社会福利函数的边际替代率 ε-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21U U MRS 可知：当21U U >时，,-∞→ε∞→MRS ；当21U U <时，,-∞→ε0→MRS 。这与罗尔斯社会福利函数},m in{21U U W =的边际替代率是相同的，因此二者具有相同的偏好，因此可以认为两者是相同的。

这就证明了：当0=ε时， 阿特金森社会福利函数就等于功利主义社会福利函数； 当1=ε时， 阿特金森社会福利函数就等于纳什社会福利函数； 当-∞→ε时，阿特金森社会福利函数就等于罗尔斯社会福利函数。

二、CES 社会福利函数（固定弹性社会福利函数）

[]εεε/121U U W += （2）

用同样的方法可以证明：

当1=ε时， CES 社会福利函数就等于功利主义社会福利函数； 当0=ε时， CES 社会福利函数就等于纳什社会福利函数； 当∞→ε时，CES 社会福利函数就等于罗尔斯社会福利函数。

三、应用

通过估算ε来评估政府对公平和效率的权衡程度。

1．Behrman and Craig(1987)采用如下形式的CES 社会福利函数：

εεα/1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑j j j j S N W （3）

考察政府在不同辖区提供公共安全服务时对公平和效率的权衡。其中，j α为对公平和效率的关注程度（政府在作出决策时，并非总是在公平和效率之间进行权衡，也有出于政治考虑）；j N 为j 个辖区的人口，j S 为公共安全服务。

由社会福利最大化给出一阶最优条件，建立经验回归方程估算ε。

2．Castells and Sol é-Oll é(2005)利用相似的方法考察了公共基础设施投资在地区间分配时，政府对公平和效率的权衡：

εε/1)/(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ψ=∑i it it it it t N Y N W （4）

参考文献 哈尔·瓦里安，1997，《微观经济学》（高级教程），经济科学出版社。

Atkinson,A., 1970，“On the Measurement of Inequility”, Journal of Economic Theory 2. Berhaman,J.R. and S.G.Craig,1987, The Distribution of Public Services: An Exploration of Local Government Prefernces, American Economic Review 77.

Castells,A. and A.Sol é-Oll é,2005，The Regional Allocation of Infrastructure Investment: The Role of Equity, Efficiency and Political Factors, European Economic Review 49.

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