利用导数研究函数零点专题
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F ( x ) ax 2 2 ln x, F ' ( x ) a 0, F ' ( x ) 0, F ( x ) a 0, F ' ( x ) 0, x (1)0<a (2) a (3) 1 e2 1 , a 2 ax 2 2 x
1 , F ' ( x ) 0, F ( x ) e2
③当 a∈(0,1)时,11 a
1 +ln a<0,即 f(-ln a)<0.又 f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故 f(x)在 a 3 (-∞,-ln a)上有一个零点.设正整数 n0 满足 n0>ln( -1), a 3 则 f(n0)= en0 (a en0 +a-2)-n0> en0 -n0> 2 n -n0>0,由于 ln( -1)>-ln a, a
利用导数研究函数零点专题
wenku.baidu.com
克山一中
潘明宇
【典例】(12分)(2017· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解：(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1), …………………………2分 (ⅰ)若a≤0,则f′(x)<0,
1 , F ' ( x ) 0, F ( x ) 2 1 1 a , x( 2, ), F ' ( x ) 0, F ( x ) 2 a 1 , e ), F ' ( x ) 0, F ( x ) a 2 ) 0, F ( 1 ) 0, F ( e) 0 a
x( F(
当 0＜x＜ m时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减， 当 x＞ m时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增． 综上 m≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； m＞0 时，函数 f(x)的单调增区间是( m，＋∞)，单调减区间是 (0， m)．
1 (2)令 F(x)＝f(x)－g(x)＝－ x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0， 2 问题等价于求函数 F(x)的零点个数， F′(x)＝－ （x－1）（x－m） ，当 m＝1 时， x
f(x)在(-∞,-ln a)上有一个零点
x , e 2 x , 且远远大于 e x 和
f ( x)
x
，
f(x)在(-ln a,+∞)上有一个零点 所以，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.有两个零点。
变式一：
已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.若方程f(x)＝g(x)在区间 [ 2 ，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
变式二：
设函数f(x)＝ 2 x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．
1
【解】 x2－m x ，
m (1) 函数 f(x) 的定义域为 (0 ，＋∞) ， f ′ (x) ＝ x － x ＝
m≤0 时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增， m＞0 时，f′(x)＝ （x＋ m）（x－ m） ， x
F′(x)≤0，函数 F(x)为减函数， 3 注意到 F(1)＝ ＞0，F(4)＝－ln 4＜0， 2 所以 F(x)有唯一零点； 当 m＞1 时，0＜x＜1 或 x＞m 时 F′(x)＜0，1＜x＜m 时 F′(x) ＞0，
所以函数 F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单 调递增， 1 注意到 F(1)＝m＋ ＞0，F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)＜0， 2 所以 F(x)有唯一零点， 综上，函数 F(x)有唯一零点，即两函数图象只有一个交点．
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. …………………………………3分
(ⅱ)若a>0,则由f′(x)=0得x=-ln a. 当x∈(-∞,-ln a)时,f′(x)<0;
当x∈(-ln a,+∞)时,f′(x)>0, ……………………………………5分
所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. 6分
ln 2 1 a 2 e
变式一： 已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.若方程f(x)＝g(x)在区间 [ 2 ，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
由
φ(e) － φ(
4－e2ln 2 ln e4－ln 2e2 2 ln 2 2 ) ＝ 2 － ＝ ＝ ＜ e 2 2e2 2e2
ln 81－ln 27 ＜ 0， 2e2 所以 φ(e)＜φ( 2)．
所以 φ(x)min＝φ(e)， 如图可知 φ(x)＝a 有两个不相等的解时，需 即 f(x)＝g(x)在[ [ ln 2 1 ， )． 2 e ln 2 1 ≤a＜ . 2 e
2，e]上有两个不相等的解时 a 的取值范围为
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参 数，可将参数分离出来后，用 x 表示参数的函数，作出该函数 图象，根据图象特征求参数的范围．
(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. ……………… 7分 (ⅱ)若a>0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)= 1 1- a +ln a. ①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点; ……………8分 ②当a∈(1,+∞)时,由于1- +ln a>0, 即f(-ln a)>0,故f(x)没有零点; …………………………………9分
0
因此 f(x)在(-ln a,+∞)上有一个零点.………………………………………11 分 综上,a 的取值范围为(0,1).……………………………………………………12 分
难点突破： 当
0 a 1 时，
1- +ln a<0,即f(-ln a)<0
1 a
x , e2 x 0, e x 0, f ( x)
1 , F ' ( x ) 0, F ( x ) e2
③当 a∈(0,1)时,11 a
1 +ln a<0,即 f(-ln a)<0.又 f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故 f(x)在 a 3 (-∞,-ln a)上有一个零点.设正整数 n0 满足 n0>ln( -1), a 3 则 f(n0)= en0 (a en0 +a-2)-n0> en0 -n0> 2 n -n0>0,由于 ln( -1)>-ln a, a
利用导数研究函数零点专题
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克山一中
潘明宇
【典例】(12分)(2017· 全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解：(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1), …………………………2分 (ⅰ)若a≤0,则f′(x)<0,
1 , F ' ( x ) 0, F ( x ) 2 1 1 a , x( 2, ), F ' ( x ) 0, F ( x ) 2 a 1 , e ), F ' ( x ) 0, F ( x ) a 2 ) 0, F ( 1 ) 0, F ( e) 0 a
x( F(
当 0＜x＜ m时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减， 当 x＞ m时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增． 综上 m≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； m＞0 时，函数 f(x)的单调增区间是( m，＋∞)，单调减区间是 (0， m)．
1 (2)令 F(x)＝f(x)－g(x)＝－ x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0， 2 问题等价于求函数 F(x)的零点个数， F′(x)＝－ （x－1）（x－m） ，当 m＝1 时， x
f(x)在(-∞,-ln a)上有一个零点
x , e 2 x , 且远远大于 e x 和
f ( x)
x
，
f(x)在(-ln a,+∞)上有一个零点 所以，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.有两个零点。
变式一：
已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.若方程f(x)＝g(x)在区间 [ 2 ，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
变式二：
设函数f(x)＝ 2 x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．
1
【解】 x2－m x ，
m (1) 函数 f(x) 的定义域为 (0 ，＋∞) ， f ′ (x) ＝ x － x ＝
m≤0 时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增， m＞0 时，f′(x)＝ （x＋ m）（x－ m） ， x
F′(x)≤0，函数 F(x)为减函数， 3 注意到 F(1)＝ ＞0，F(4)＝－ln 4＜0， 2 所以 F(x)有唯一零点； 当 m＞1 时，0＜x＜1 或 x＞m 时 F′(x)＜0，1＜x＜m 时 F′(x) ＞0，
所以函数 F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单 调递增， 1 注意到 F(1)＝m＋ ＞0，F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)＜0， 2 所以 F(x)有唯一零点， 综上，函数 F(x)有唯一零点，即两函数图象只有一个交点．
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. …………………………………3分
(ⅱ)若a>0,则由f′(x)=0得x=-ln a. 当x∈(-∞,-ln a)时,f′(x)<0;
当x∈(-ln a,+∞)时,f′(x)>0, ……………………………………5分
所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. 6分
ln 2 1 a 2 e
变式一： 已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.若方程f(x)＝g(x)在区间 [ 2 ，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
由
φ(e) － φ(
4－e2ln 2 ln e4－ln 2e2 2 ln 2 2 ) ＝ 2 － ＝ ＝ ＜ e 2 2e2 2e2
ln 81－ln 27 ＜ 0， 2e2 所以 φ(e)＜φ( 2)．
所以 φ(x)min＝φ(e)， 如图可知 φ(x)＝a 有两个不相等的解时，需 即 f(x)＝g(x)在[ [ ln 2 1 ， )． 2 e ln 2 1 ≤a＜ . 2 e
2，e]上有两个不相等的解时 a 的取值范围为
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参 数，可将参数分离出来后，用 x 表示参数的函数，作出该函数 图象，根据图象特征求参数的范围．
(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. ……………… 7分 (ⅱ)若a>0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)= 1 1- a +ln a. ①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点; ……………8分 ②当a∈(1,+∞)时,由于1- +ln a>0, 即f(-ln a)>0,故f(x)没有零点; …………………………………9分
0
因此 f(x)在(-ln a,+∞)上有一个零点.………………………………………11 分 综上,a 的取值范围为(0,1).……………………………………………………12 分
难点突破： 当
0 a 1 时，
1- +ln a<0,即f(-ln a)<0
1 a
x , e2 x 0, e x 0, f ( x)