广义测量平差复习资料2
测量平差期末考试公式总结
测量平差期末复习资料1. 将静止的海水面向整个陆地延伸，用所形成的封闭曲面代替地球表面，形成的重力等位面，这个曲面称为大地水准面。
其特点是水准面上任意一点的铅垂线(重力作用线)都垂直于该点的曲面。
2. 6°带中央子午线经度N=Ｌ=6N-3, 3°带中央子午线经度Ｌ=3n 。
3. 高程系统:确定该点沿铅垂方向到某基准面的距离。
绝对高程（海拔）：指某点沿铅垂线方向到大地水准面的距离，用Ｈ表示。
相对高程：某点距假定水准面的铅垂距离。
高差：地面上两点间的高程之差。
4. 地形 ：a,地物:地面上固定性物体，如河流、房屋、道路、湖泊等； b.地貌:地面的高低起伏的形态，如山岭、谷地和陡崖等。
5. 线性代数补充知识1） 由n m ⨯个数有次序地排列成m 行n 列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示， 如：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A212222111211 2)若m=n ，即行数与列数相同，称A 为方阵。
元素a11、a22……ann 称为对角元素。
3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O 表示。
4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。
如：)(00000022112211nn mn n m a a adiag a aa A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E 、I 表示。
6）若aij=aji ，则称A 为对称矩阵.矩阵的基本运算:1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则： 2）具有相同行列数的两矩阵A 、B 相加减，其行列数与A 、B 相同，其元素等于A 、B 对应元素之和、差。
且具有可交换性与可结合性。
3）设A 为m*s 的矩阵，B 为s*n 的矩阵,则A 、B 相乘才有意义，C=AB ，C 的阶数为m*n 。
O A=A O =O ，IA=AI=A ，A （B+C ）=AB+AC ，ABC=A （BC ）矩阵的转置:对于任意矩阵Cmn:nn ⨯n n ⨯BA =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m c c c c c c c c c C 212222111211将其行列互换，得到一个nm 阶矩阵，称为C 的转置。
武汉大测绘学院广义测量平差考试复习题
绪论1.平差问题的函数模型的随机模型，无非以下几种：函数模型中系数阵是列满秩还是秩列亏；待估参数是非随机量还是随机量或者两者兼有；观测量的协方差阵是满秩还是奇异；2.以不同的准则来求定未知参数的最佳估计，得到不同的估计方法，经典的测量平差方法都是以最小二乘估计或者极大似然估计为根据导出的；滤波、配置和动态系统的卡尔曼滤波，最初是以极大验后估计或者最小方差估计导出的。
3.有偏估计是为了克服法方程病态的问题的平差方法，病态又称为法方程的复共线性。
P163（论述题）4.简述引起测量平差法方程系数矩阵病态的原因及其后果，通常采用什么方法解决这一问题，采用何种指标评价参数估值的精度？（在第一章讲过）（秩亏是用秩亏自由网平差，病态用有偏估计）原因：误差方程的系数矩阵存在着很弱的弱相关性，弱相关性也称复共线性。
法方程中系数和常数项存在舍入误差而产生微小变化时，引起的解的很大差异。
这种情况下法方程系数阵的性质不好，称为病态方程。
后果：一旦存在病态性，法方程系数上的微小误差会导致方程的解完全被扭曲。
最小二乘解不稳定。
解决方法：采用有偏估计，包括岭估计、广义岭估计、主成分估计等等有偏估计方法。
评定精度的指标：（在经典平差里面用参数估值的方差评定精度，在广义平差里面用参数估计误差的方差评定精度）在有偏估计中采用均方误差MSE（X尖）来评定精度，均方误差用来衡量参数与其真值的偏离程度。
（参数与数学期望间的偏离程度是方差）5.随着测绘科学技术的变革和不断发展，经典测量平差理论已经不能满足现代测量数据处理，根据自己的理解论述现代测量数据处理的发展方向。
（PPT里面有）1.从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵亏秩2.从仅处理静态数据扩展到处理动态数据3.从无偏估计扩展到有偏估计4.从线性模型的参数估计扩展到非线性模型的参数估计5.从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量6.从观测值仅含偶然误差扩展到含有系统误差和粗差7.从主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型经典—非随机广义---随机6.经典平差对观测误差的基本假设是？答：观测误差仅含有偶然误差经典平差的基本假设：（局限性）1）系统是静态的2）有足够的起算数据3）观测值是随机变量，参数是非随机变量4）观测误差为偶然误差5）观测值函数独立6）平差准则为V T PV = min7.经典平差---未知参数为非随机参数；第一章极大似然估计P81、正态分布的极大似然估计与最小二乘估计相同————之间的转换，PPT15/16页2、均无法顾及到参数的先验统计性质。
测量平差复习提纲(2007)
一、名词解释1、偶然误差；2、真误差；3、 精度；4、准确度；5、权；6、单位权中误差；7、必要观测；8、多余观测；9、最或然值；10、坐标平差；11、函数模型；12、随机模型；13、统计假设检验；14、显著水平；15、区间估计；16、点估计。
二、填空题1、判断下列情况是偶然误差还是系统误差。
（1）钢尺测距中尺长不准确是（ ），钢尺垂曲（ ），估读不准确（ ）。
（2）水准测量中水准仪视准轴与水准轴不平行（ ），读数不准确（ ）。
2、设观测值、真误差、观测值的真值、观测值的平差值、观测值改正数分别表示为：L 、∆、L、ˆL 、V 。
则有： ()E L = （ ）；()E ∆=（ ）；()E L = （ ）；ˆ()E L =（ ）；()E V =（ ）；()D L =（ ）；()D ∆=（ ）；()D L =（ ）； ˆ()D L =（ ）；ˆLV D =（ ）。
3、设Y k X T=，Z hX =，则有；YY D =（ ）；ZZ D =（ ）；YZ D = （ ）； YY Q = （ ）；ZZ Q =（ ）；ZY Q =（ ）。
4、同精度独立观测值12,,,N L L L 的算术平均值为L ，各观测值的权为1。
其平均值方差为（ ），中误差为（ ），权为（ ）。
5，在附有限制条件的条件平差函数模型中字母c 的含义（ ）； u 的含义（ ）；s 的含义（ ）；t 的含义（ ）；r 的含义（ ）。
5、观测值L 的平差值ˆL 具有最优性，表现在（1）ˆL 是L 的（ ）估计量；（2）ˆL 的方差具有（ ）；ˆL具有（ ）性。
6、常用的假设检验方法有：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
三、计算、证明题1、设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角123,,L L L ，其中误差为σ。
试求将三角形闭合差分配后的各角123ˆˆˆ,,L L L 的协方差阵。
2、已知,Y Z 都是观测向量1n L ⨯的函数，并且有函数关系如下：1(())Y I A AA A L T T -=-；1()Z AA AL T -=。
测量平差重修复习题%20(2)
一、填空题
1、在测量平差里，下列字母分别代表什么意思，n是观测总数，t是必要观测数，r是多余观测数，u是未知参数个数，s是约束参数间关系条件方程数。
2、具有已知水准点的水准网，若有5个待定点，则必要观测数为 5 个；无已知水准点的水准网，若有5个待定点，则必要观测数为 4 个。
3、在水准测量里，视准轴与水准轴不平行是属于系统误差。
4、单一附合导线中，多余观测数始终都是 3 个。
5、已知S1=1000m+10mm，S2=2000m+10mm，则两段距离的精度相同。
二、名词解释
1、偶然误差：真误差的大小，符号表现为偶然性，不能用具体函数表示。
2、误差椭圆：用形状与误差曲线很相似，以E、F为长短半轴的椭圆。
三、计算题
1、已知观测值L1、L2，δ1=δ2=δ，δ12=0，设X=3 L1—6，Y= L1+4L2，Z= L1L2，T=X+Y，求X；Y；Z；T的中误差。
2、在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5mm，问最多可以设多少站？
3、对某三角形三内角作同精度观测，L1=50°、L2=70°、L3=59°59′51″，用条件平差法求三个内角的平差值。
4、对下图三角网观测了12个角度，A、B为已知点，若要用条件平差法对该网进行平差，试列出所需的条件方程（不必线性化）。
D
5、下图水准网中A、B为已知水准点，若要该网进行平差，试列出所需的条件方程和间接平差方程。
《测量平差》学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
《测量平差》学习辅导-14页word资料
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些? （三）计算题1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm ，d σ的量测中误差σ=±0.2mm ，求该两点实地距离S 及中误差s σ。
三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
测量平差备考复习资料
测量平差备考复习资料一、正误判断（正确“T”，错误“F”每题1分，共10 分）。
1．已知两段距离的长度及中误差分别为128.286m±4.5cm与218.268m±4.5cm，则其真误差与精度均相同（）。
2．如果X与Y 的协方差?xy?0，则其不相关（）。
3．水准测量中，按公式pi?csisi为水准路线长）来定权，要求每公里高差精度相同（）。
4．可用误差椭圆来确定待定点与待定点之间的某些精度指标（）。
5．在某一平差问题中，观测数为n，必要观测数为t，参数个数u＜t 且不独立，则该平差问题可采用附有参数的条件平差的函数模型。
（）。
6．由于同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果不同，因此为了得到最佳平差结果，必须谨慎选择平差方法（）。
7．根据公式??2?E2cos2??F2sin2??03600?得到的曲线就是误差椭圆（）。
8．对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，则误差方程的个数是一定的（）。
9．对于同一个观测值来说,若选定一定权常数?0，则权愈小，其方差愈小，其精度愈高（）。
10．设观测值向量L彼此不独立，其权为Pi?i?1,2,?,n?，Z?f(L1,L2,?,Ln)，则有n,1??f?1??f?1??f?1（）。
PZ?LP?LP?LP?1?1?2?2n?n?1222二、填空题（每空2分，共24分）。
1、设对某三角网进行同精度观测，得三角形角度闭合差分别为：3秒，-3秒，2秒，4秒，-2秒，-1秒，0秒，-4秒，3秒，-2秒。
?v1??v12、某平差问题函数模型(Q?I)为???v?1?v2?v3?v4v4?v5??x?5?6?3?0?0?0?0，则该函数模型为平差方法的模型；n? ，t? ，r? ，c? ，u?共4 页3、已知观测值向量L的协方差阵为DLL??21?2??1Q??，协因数，试求观测值的12?3?5D权阵PLL，观测值的权PL PL124、有水准网如图所示，网中A、B为已知点，C、D为待定点，h1~h5为高差观测值，设各线路等长。
测量平差复习题答案
测量平差复习题答案一、单项选择题1. 在测量平差中，观测值的改正数与观测值的符号相反，说明该观测值是（）。
A. 正误差B. 负误差C. 系统误差D. 偶然误差答案：B2. 测量平差中，观测值的中误差是指（）。
A. 观测值的标准差B. 观测值的均值C. 观测值的偏差D. 观测值的最大误差答案：A3. 测量平差中，单位权中误差的计算公式为（）。
A. σ0 = √(Σσ²) / nB. σ0 = Σσ² / nC. σ0 = √(Σσ²) / ΣnD. σ0= Σσ² / Σn答案：A二、多项选择题1. 测量平差中，下列哪些因素会影响观测值的精度（）。
A. 观测者的技能水平B. 观测仪器的精度C. 观测环境D. 观测时间答案：ABCD2. 在测量平差中，下列哪些方法可以提高观测精度（）。
A. 增加观测次数B. 采用高精度仪器C. 改进观测方法D. 延长观测时间答案：ABC三、填空题1. 测量平差中，观测值的中误差是用来衡量观测值的______。
答案：精度2. 测量平差中，单位权中误差是用来衡量观测值的______。
答案：精度3. 在测量平差中，观测值的改正数是用来______观测值的系统误差。
答案：消除四、简答题1. 简述测量平差中，观测值的中误差与观测值的精度之间的关系。
答案：观测值的中误差是观测值精度的一种度量，中误差越小，说明观测值的精度越高。
2. 测量平差中，如何通过观测值的改正数来判断观测值的误差性质？答案：观测值的改正数与观测值的符号相反，说明该观测值是负误差；如果改正数与观测值的符号相同，则说明该观测值是正误差。
五、计算题1. 已知一组观测值的方差分别为2、3、4，计算该组观测值的单位权中误差。
答案：σ0 = √(2+3+4) / 3 = √9 / 3 = √32. 假设在一次测量中，观测者得到了一组观测值，其改正数分别为-0.1、0.2、-0.3，计算该组观测值的平均改正数。
测量平差复习题汇总
《测量平差》复习题第一章：绪论1、什么是观测量的真值？任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。
2、什么是观测误差？观测量的真值与观测值的差称为观测误差。
3、什么是观测条件？仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。
4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。
7、怎样消除或削弱系统误差的影响？一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。
8、测量平差的任务是什么？⑴求观测值的最或是值（平差值）；⑵评定观测值及平差值的精度。
第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？⑴列表法；⑵绘图法；⑶密度函数法。
2、偶然误差具有哪些统计特性？(1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
(2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
(3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
(4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。
3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？⑴制定测量限差的依据；⑵判断系统误差(粗差)的依据。
4、什么叫精度？精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
5、观测量的精度指标有哪些？(1) 方差与中误差；(2) 极限误差；(3) 相对误差。
6、极限误差是怎样定义的？在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。
通常取三倍中误差为极限误差。
当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。
7、误差传播律是用来解决什么问题的？ 误差传播律是用来求观测值函数的中误差。
8、应用误差传播律的实际步骤是什么？ (1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =；(2) 根据函数表达式写出真误差关系式n nx x f x x f x x f z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。
测量平差复习题(测绘工程)-19页word资料
第一章：绪论1、什么是观测量的真值？任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。
2、什么是观测误差？观测量的真值与观测值的差称为观测误差。
3、什么是观测条件？仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。
4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。
7、怎样消除或削弱系统误差的影响？一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。
8、测量平差的任务是什么？⑴求观测值的最或是值（平差值）；⑵评定观测值及平差值的精度。
第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？⑴列表法；⑵绘图法；⑶密度函数法。
2、偶然误差具有哪些统计特性？(1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
(2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
(3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
(4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。
3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？⑴制定测量限差的依据；⑵判断系统误差(粗差)的依据。
4、什么叫精度？精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
5、观测量的精度指标有哪些？(1) 方差与中误差；(2) 极限误差；(3) 相对误差。
6、极限误差是怎样定义的？在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。
通常取三倍中误差为极限误差。
当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。
7、误差传播律是用来解决什么问题的？误差传播律是用来求观测值函数的中误差。
8、应用误差传播律的实际步骤是什么？(1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =；(2) 根据函数表达式写出真误差关系式n nx x f x x f x x f z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。
广义测量平差资料
一、填空题1、概括平差通式。
11111110ˆ0ˆ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=++s s x u u s c c u u c n n c W x C W x B V A① 当参数个数u=0时，条件平差；② 当参数个数u=t 时，间接平差；③ 当参数个数u<t 时，附有参数的条件平差；④ 当参数个数u>t 时，附有限制条件的间接平差。
2、条件平差、间接平差已知观测值个数，求误差方程数、法方程数。
条件平差：误差方程= r ，法方程= r ； 间接平差：误差方程= n ，法方程= t 。
3、秩亏自由网平差基准的确定。
一维水准网：秩亏数d = 1； 三维GPS 网：秩亏数d = 3；二维测边网：秩亏数d = 3； 二维测角网：秩亏数d = 4。
4、广义最小二乘估计和极大验后估计在什么情况下，谁计算更精确。
当参数的先验期望和先验方差已知时，极大验后估计改善了最小二乘估计，此时，极大验后的误差方差要小于其最小二乘估值的误差方差。
5、滤波的概念。
滤波：求定滤波信号X 的最佳估值的过程；推估：求定滤波推估信息X ’的最佳估值的过程。
6、广义测量平差基本准则。
广义最小二乘原理。
7、极大似然估计与极大验后估计以什么为准则。
极大似然估计：max )/(=x l f ； 极大验后估计：max )/(f =l x 。
8、最优性和无偏性什么情况下满足。
最优性：无偏性：若估计量X Λ的数学期望等于被估计量X 的数学期望。
9、协因数阵计算公式推导。
（平差基础89页）。
10、水准网的必要观测数。
自由网：t = 水准点数—1；附和网：t = 待定高程数。
二、简答题1、极大验后估计与最小二乘估计的转换。
（谁找到了补充一下！！）2、间接平差与秩亏自由网是否相同。
①间接平差：选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式。
②秩亏自由网：将网中全部点的坐标作为平差参数，列出误差方程，此时的坐标参数个数比上述间接平差相应多了d个，d就是间接平差中必要起始数据的个数。
测量平差复习资料
测量平差复习资料一、证明题
1、Z与W的协方差
（1）
2、告诉条件平差公式告诉(1)条件平差的公式；推论出Q VV 及Q LL
(2)间接平差
3、水准测量（1）按测站
（2）按路线
二、推导题
（1）
（2）
填空题
1、u = 0 条件平差；u = t 间接平差；u<t 附有参数的条件平差；u>t 附有限制条件的间接平差（注：t为必要观测，u为参数的个数）
2、正态分布参数μ、σ，μ确定了曲线中心位置，σ越小f(x)值越大曲线越陡峭。
3网中只有一个已知高程点称为自由网，其必要观测为网中水准点的总数减一。
符合水准网，网中已知高程点大于等于2个，其必要观测为网中待测水准点的个数。
（p69）
3、测量误差的种类主要平定那种误差
粗差、系统误差、偶然误差（主要平定的误差）
4、精度（p15）精确度（p19）
5、偶然误差的特性：有界性聚中性对称性、抵偿性
6、协方差p27
计算题
P67(例5-1) p99(例6-1) p109(例6-4)。
测量平差复习题答案
测量平差复习题答案一、选择题1. 平差的目的是什么？A. 确定测量数据的准确度B. 消除测量误差C. 计算未知点的坐标D. 以上都是2. 测量平差中，观测值的权值与什么有关？A. 观测值的精度B. 观测条件C. 测量仪器的精度D. 观测者的经验3. 测量误差的来源主要包括哪些？A. 仪器误差B. 人为误差C. 环境误差D. 所有以上4. 测量平差中，最小二乘法的基本原理是什么？A. 误差平方和最小B. 误差绝对值和最小C. 误差乘积最小D. 误差平均值最小5. 测量平差中，如何确定观测值的权？A. 根据观测者的经验和直觉B. 根据观测值的精度C. 根据测量仪器的精度D. 根据观测条件二、填空题6. 平差过程中，测量误差的改正数通常用________表示。
7. 测量平差中，权的概念是指________。
8. 测量误差的类型包括系统误差和________。
9. 最小二乘法中，观测值的权值通常与________成反比。
10. 测量平差中，常用的权函数有________和________。
三、简答题11. 简述测量平差中，最小二乘法的计算步骤。
12. 说明测量平差中，如何确定观测值的权值。
13. 描述测量平差中，误差传播的概念及其重要性。
四、计算题14. 假设有一组观测数据，其观测值为：x1=100.2mm, x2=100.3mm, x3=100.1mm。
已知观测误差的标准差为σ=0.1mm，试计算这组数据的平均值及其标准误差。
五、论述题15. 论述测量平差在工程测量中的重要性及其应用。
【答案】1. D2. A3. D4. A5. B6. 改正数7. 观测值的相对重要性8. 随机误差9. 观测误差的方差10. 倒数权函数，倒数平方权函数11. 略（根据最小二乘法的基本原理和计算步骤回答）12. 略（根据观测值的精度和误差方差来确定权值）13. 略（描述误差传播的概念，以及在测量平差中的重要性）14. 平均值 = (100.2 + 100.3 + 100.1) / 3 = 100.2mm；标准误差= σ / √3 = 0.1 / √3 mm15. 略（根据测量平差在工程测量中的重要性和应用进行论述）【结束语】测量平差是确保测量结果准确性的重要手段，通过本复习题的练习，希望能够帮助大家更好地理解和掌握测量平差的基本理论、方法和应用。
测量平差复习题及答案
测量平差复习题及答案一、综合题1．已知两段距离(de)长度及中误差分别为cm m 5.4465.300±及cm m 5.4894.660±,试说明这两段距离(de)真误差是否相等他们(de)精度是否相等答：它们(de)真误差不一定相等；相对精度不相等,后者高于前者.2．已知观测值向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121L L L (de)权阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=32313132LL P ,现有函数21L L X +=,13L Y =,求观测值(de)权1L P ,2L P ,观测值(de)协因数阵XY Q .答：12/3L P =；22/3L P =；3XY Q =3．在下图所示三角网中,A ．B 为已知点,41~P P 为待定点,已知32P P 边(de)边长和方位角分别为0S 和0α,今测得角度1421,,,L L L 和边长21,S S ,若按条件平差法对该网进行平差：（1）共有多少个条件方程各类条件方程各有多少个（2）试列出除图形条件和方位角条件外(de)其它条件方程（非线性条件方程不要求线性化）答：（1）14216,6,10n t r =+=== ,所以图形条件：4个；极条件：2个；边长条件：2个；基线条件：1个；方位角条件：1个 （2）四边形14ABPP (de)极条件（以1P 为极）： 34131241314ˆˆˆˆsin()sin sin 1ˆˆˆˆsin sin sin()L L L L L L L L +⋅⋅=+ 四边形1234PP P P (de)极条件（以4P 为极）： 10116891167ˆˆˆˆsin()sin sin 1ˆˆˆˆsin sin sin()L L L L L L L L +⋅⋅=+ 边长条件（1ˆAB S S - ）：123434ˆˆˆˆˆˆsin()sin()AB S S L L L L L =+++ 边长条件（12ˆˆS S - ）：1121314867ˆˆˆsin ˆˆˆˆˆsin()sin sin()S L S L L L L L ⋅=++ 基线条件（0AB S S - ）：02101191011ˆˆˆˆˆsin()sin()S S L L L L L =+++4．A ．B ．C 三点在同一直线上,测出了AB ．BC 及AC(de)距离,得到4个独立观测值,m L 010.2001=,m L 050.3002=,m L 070.3003=,m L 090.5004=,若令100米量距(de)权为单位权,试按条件平差法确定A ．C 之间各段距离(de)平差值Lˆ.答：ˆ[200.0147,300.0635,300.0635,500.0782]T L=5．在某航测像片上,有一块矩形稻田.为了确定该稻田(de)面积,现用卡规量测了该矩形(de)长为cm L 501=,方差为22136.0cm =σ,宽为cm L 302=,方差为22236.0cm =σ,又用求积仪量测了该矩形(de)面积231535cm L =,方差为42336cm =σ,若设该矩形(de)长为参数1ˆX ,宽为参数2ˆX ,按间接平差法平差：（1）试求出该长方形(de)面积平差值；（2）面积平差值(de)中误差.答：（1）令0111ˆX X x =+,0222ˆX X x =+,011X L =,022X L =,误差方程式为： 1122312ˆˆ305035v xv xv v v ===+-令：10013050B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,0035L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,单位权方差为2036σ=,则法方程为：T TB PBX B PL=,可得：120.30.5x X x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则0111ˆ50.3X X x =+=,0222ˆ30.5X X x =+= 所以面积平差值为2312ˆˆˆ50.3*30.51534L X X cm ===（2）2200.35T V PVcm rσ== ()12112212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆdXdS X dX X dX X X dX ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭,所以ˆˆ98.94SS Q =则2ˆ 3.4814S cm σσ==±6．如图水准网中,A 为已知点,高程为10.000A H m =,观测高差及路线长度为：m h 563.21=,km S 11=；m h 326.12-=,km S 12=；m h 885.33-=,km S 23=；m h 883.34-=,km S 24=；若设参数12334ˆˆˆˆˆˆˆTTBX X X X H h h ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦,定权时C= 2 km ,试列出：（1）、误差方程和限制条件； （2）、法方程式.答：（1）误差方程为：112231243ˆˆˆˆ4ˆv xv x v x x v x=⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=⎩ 限制条件为：13ˆˆ20xx --= （2）法方程为：1234ˆ31004ˆ130140ˆ00110ˆ01102x x xx-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 7．设对某量进行了两组观测,得到观测值(de)真误差如下： 第一组：3,-3,2,4,-2,-1,0,-4,3,-2 第二组：0,-1,-7,2,1,-1,8,0,-3,1 试回答如下问题：（1）两组值(de)平均误差1ˆθ、2ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ（2）这两组观测值(de)精度,哪一组精度高,为什么答：（1）1ˆθ=,2ˆθ=；1ˆσ=,2ˆσ=（2）两组观测值(de)平均误差相同,而中误差不同,由于中误差对大(de)误差反应敏感,故通常采用中误差作为衡量精度(de)指标,本题中1ˆσ<2ˆσ,故第一组观测值精度高.8．设对丈量10km(de)距离同精度丈量10次,令其平均值(de)权为5,现以同样等级(de)精度丈量(de)距离.问丈量此距离一次(de)权是多少.（问答题,10分）答：一次观测值(de)权倒数1025N C P === ,所以每次丈量10km 距离(de)权为：100.5P =长度为i S 距离(de)权为：1i i C P S = ,则112.510,2.510C C P P == ,所以15C = 故12.522.5C P == 9．下列各式中(de)()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值,其中误差为σ,试求下列函数(de)中误差：(1)()12312X L L L =++；(2)321L L L Y =答：（1）x σ= （2）3x σ=10．在图一所示测角网中,A 、B 、C 为待定点,同精度观测了1L 、2L 、3L 和4L 共四个角度观测值.设平差后BAC ∠为参数Xˆ. （1）试指出采用何种平差模型； （2）写出函数模型和法方程.答：采用附有参数(de)条件平差模型；平差方程为：123ˆˆˆ1800L L L ++-= 34ˆˆ3600L L +-= 1ˆˆ0L X -= 则条件方程为：12313421300ˆ0v v v w v v w v x w +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ ,其中闭合差方程为1123234031w L L L w L L w L X ⎧=++⎪=+⎨⎪=-⎩,建立法方程为： 1122333110120001011ˆ0100k w k w k w x⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11.有水准网如下图,网中A ．B 为已知水准点,高程m H A 013.12+=．m H B 013.10+=可视为无误差,C ．D 为待定点,共观测了四个高差,高差观测值及相应水准路线(de)距离为：km S 21=,m h 004.11-=,km S 12=,m h 516.12+=,km S 23=,m h 512.23+=,km S 5.14=,m h 520.14+=.试用条件平差法求C 和D 两点高程(de)平差值.答：4,2n t == ,所以2r = ,条件方程如下：12324ˆˆˆ0ˆˆ0A Bh h h H H h h ⎧+-+-=⎪⎨-=⎪⎩ 以ˆi i ih h v =+ 代入上式,可得上述方程(de)最终形式为： 123411100001014v v v v ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ,以1km 观测高差为单位权观测,则法方程为： 1212502.540k k k k +=⎧⎨+-=⎩ ,解得120.35, 1.74k k =-= 进而求得()0.74 1.40.7 2.6TV mm =--观测值(de)平差值为：1234ˆˆˆˆ1.0047, 1.5174, 2.5127, 1.5174L m L m L m L m =-=== 则C 、D 两点(de)平差高程为：11.0083,12.5257C D H m H m ==12.设在三角形ABC 中,观测三内角321,,L L L ,将闭合差平均分配后得到(de)各角之值为014489ˆ,025050ˆ,030140ˆ321'''='''='''= L L L ,如下图.它们(de)协方差阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=633363336LLD ,已知边长m S 000.15000=（无误差）,试求ba S S ,(de)长度和它们(de)协方差SS D .答：013023ˆˆˆˆsin /sin 967.679,sin /sin 1150.573a b S S L L m S S L L m ==== 对函数式取自然对数,并微分得：331213231323ˆˆˆˆcos cos cos cos ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆsin sin sin sin a b a b dS L dS L L L dL dL dL dL S S L L L L ====即1132233ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆa a a b b b dLdS S ctgL S ctgL dS dL dS S ctgL S ctgL dL ⎛⎫ ⎪⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则23263311460114604 1.860.7713630962096250.77 1.32(20610)33645SS D cm --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎪--⨯⎝⎭⎝⎭⎪⎪----⎝⎭⎝⎭。
测量平差期末考试资复习料
测量平差2011 上复习：填空题：第一章：1、观测值：通过测量仪器、工具等任何手段获得的以数字形式表示的空间信息称为观测值。
2、测量误差：测量是一个有变化的过程，观测值是不能准确得到的，总是与观测量得真值有一定的差异，在测量上称这种差异为观测误差。
3、观测条件：仪器、观测者、外界环境。
4、系统误差：在相同的观测条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，那么，这种误差称为系统误差。
5、偶然误差：在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差来看，该系列误差的大小和符号没有规律。
但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
6、测量平差的任务：1、对一系列带有偶然误差的观测值，采用合理的方法来消除他们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。
2、运用合理的方法来评定测量成果的精度。
第二章1、偶然误差的特性：有界性、聚中性、对称性、抵偿性。
2、精度的概念：就是指误差分布的密集或离散的程度。
3、方差的算术平方根称为中误差（标准差）测量中常用m 表示。
恒为正值。
4、极限误差就是最大误差。
规定三倍中误差为极限误差，若观测要求严，可规定为两倍。
5、相对精度包括相对真误差、相对中误差、相对极限误差，它们分别是真误差、中误差和极限误差与其观测值之比。
（如：相对中误差=中误差/观测值）6、真误差、中误差和极限误差统称为绝对误差。
7、观测值的方差愈小，其权愈大；反之，其权愈小。
即观测值的权与其方差成反比。
8、在测量中权为1 的观测值称为单位权观测值，与之相应的中误差称为单位权观测值的中误差，简称单位权中误差。
一般情况下，权是无量纲单位的。
9、加权平均值的权等于各观测值的权之和。
当观测值的精度都相同，即为同精度观测值时，观测值的权均为P=1，加权平均值就成为算术平均值，其权等于n10、由三角形闭合差计算测角中误差的计算公式称为菲列罗公式：11、同精度观测的算术平均值就是该量的最或是值。
测量平差 中国地质大学 北京 复习资料02
7BC α6 5 4 32 1 D C B A 576 243 12 P 2(1.732,3.000) P 1(1.732,1.000) A(0,0)B(0,2)一. 已知观测值向量21L 的协方差阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3112LLD ，又知协因数5112-=Q ，试求观测值的权阵LL P 及观测值的权1L P 和2L P 。
（10分）二. 在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设对A ∠观测4测回的权为1，则对B ∠观测9个测回的权为多少？（10分） 三. 在图一所示测角网中，A 、B 为已知点，BC α为已知方位角，C 、D为待定点，721,,,L L L 为同精度独立观测值。
若按条件平差法对该网进行平差：(1).共有多少个条件方程？各类条件方程各有多少个？(2).试列出全部条件方程（非线性条件方程要求线性化）。
（15分）图一四. 某平差问题有以下函数模型)(I Q =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=+-+=--0ˆ03060515443121xv v v v v v vv试问：(1). 以上函数模型为何种平差方法的模型？(2). 本题中，=n ，=t ，=r ，=c ，=u ，=s 。
(10分) 五. 在图二所示测角网中，已知A 、B 两点的坐标和P 1、P 2两待定点的近似坐标值（见图二，以“km ”为单位），以及0000330001'''=BP α，000030002'''=BP α，km S BP 0.201=，km S BP 0.202=，721,,,L L L 为同精度观测值，其中65955906'''=L 。
若按坐标平差法对该网进行平差，试列出观测角6L 的误差方程(设5102⨯=ρ，xˆ、 图二 yˆ以dm 为单位)。
(10分)A ABP 2h 5h 4h 1h 3h 2P 1h 5 h 4h 1 h 3h 2CDB六. 有水准网如图三所示，网中A 、B 为已知点，C 、D 为待定点，51~h h 为高差观测值，设各线路等长。
测量平差复习题2
[△△] 《测量平差》复习题 1、观测误差产生的原因有哪些？ 2、观测条件包括哪些？观测条件与观测质量之间的关系是什么？ 3、根据误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为 和 两类。
4、在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？误差小的观测值比误差大的观测值的精度高吗，为什么？5、测量平差所要研究的内容是对仅带有 误差的观测值进行适当的处理。
6、测量平差的任务是 和 。
7、真误差通常用符号 表示，其表达式可写为△= 。
8、偶然误差的四个特性。
9、精度的含义。
10、常用的衡量精度的的标准有 、 、 。
11、中误差的计算式即估值为[]n∆∆±=σ 中， n 和△分别表示什么含义？ 12、中误差的计算（如P 8例1）。
13、在我国统一采用 作为衡量精度的标准，通常用L ±δ的形式来表示某值及其 。
14、 与 的比值称为相对中误差。
15、已知观测值S=500.000m ±10㎜，试求观测值S 的相对中误差。
16、已知S 1=500.000m ±20㎜，S 2=1000.000m ±20㎜，试说明：它们的中误差是否相等？它们的精度是否相同？17、设观测两个长度，结果分别为S 1=500.000m ±20㎜，S 2=800.000m ±25㎜。
试计算两个长度的和及差的相对中误差，并比较和与差哪个精度高？18、误差传播定律即协方差传播律的公式1、3及应用（例1、2、3）。
19.在一个三角形中观测了两个角度，其值分别为α=30º20′22″±4″，β=60º24′18″±3″，试求第三个角度γ的角值及其中误差σγ。
20、如图1所示的四边形中，独立观测α、β、γ三内角，它们的中误差分别为3.0″、4.0″、5.0″，试求：（1） 第四角的中误差；（2） F=α+β+γ+δ的中误差。
测量平差第二章
[] lim D() E (2 ) n n 2 f ()d
中误差：
[] 2 lim n n
面积为1
越小，误差曲 提示： 线越陡峭，误差分布 越密集，精度越高。 相反，精度越低。
2 1
-0.8 -0.6 -0.4
+△ 频率K/n 0.128 (K/n)/d△ 0.640
0.20~0.40
0.40~0.60 0.60~0.80
40
33 23
0.112
0.092 0.064
0.560
0.460 0.320
41
33 21
0.115
0.092 0.059
0.575
0.460 0.295
0.80~1.00
1.00~1.20 1.20~1.40
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第四节 协方差传播律及其应用
• 例[1-6] 经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中 第i(i=1,2…N)站的观测高差为 hi • 解：A、B两水准点间的高差为： h h h h • 设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误 差均为 ，。应用协方差传播律，得
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
第三节 协方差传播应用步骤:
协方差传播律
• 根据实际情况确定观测值与函数,写出具 体表达式 Z KX 或 Zi f i ( X1 , X 2 ,, X n ), (i 1,2,, t ) • 写出观测量的协方差阵 • 对函数进行线性化 • 应用协方差传播律求方差或协方差阵。 • DZZ KD XX K T
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（四）．线性最小方差估计的推导过程
广义测量平差P23-25
（五）．给出X、L等参数，求极大验后估计的推导过程
广义测量平差P19-21
（六）．极大似然估计和最小二乘估计或广义最小二乘平差的推导过程及它们的共同点
广义测量平差P9-16，P16-19，P27-28，P18当观测误差和参数X是正态随机向量是，最小二乘估计准则还可以从极大似然估计导出。重点是参数是否随机。
（七）．广义测量平差P4（1-2-3）（1-2-4）的推导
（八）．测量平差基础P127-133,6个例题考两个
（九）．根据给定的数据，求必要观测数，列出条件平差方程、间接平差方程及其线性化在网上找的，网址：/p-731088354.html
当参数的先验期望和先验方差已知时，极大验后估计改善了最小二乘估计，此时，极大验后的误差方差要小于其最小二乘估值的误差方差。
（四）．对于不同的网型，秩亏自由网的基准数（广义测量平差P39）
（1）一维水准网，秩亏数d=1
（2）三维GPS网，秩亏数d=3
（1）二维测边网，秩亏数d=3
（1）二维测角网，秩亏数d=4
一、填空题
（一）．概括平差函数模型参数的选择
（1）式为附有条件的条件平差。
1、当参数个数u=0时，有B=0，C=0。（1）式变为条件平差，即
2、当参数个数u=t，且彼此独立时，有C=0，A=-E，W=-l。（1）式变为间接平差，即
3、当参数个数u<t，且彼此独立时，有C=0。（1）式变为附有参数的条件平差，即
广义测量平差的准则为广义最小二乘原理，极大似然估计： ；极大验后估计： 。
（七）．满足最优性、无偏性的情况（测量平差基础P64，广义测量平差P2）
（1）无偏性
若估计量的数学期望等于被估计量 的数学期望，
如果X是非随机量，上式即为 则称为无偏估计量。
（2）最优性
所谓最优性，就是指估计值的方差最小。下面就来证
间接平差：选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式。
秩亏自由网：将网中全部点的坐标作为平差参数，列出误差方程，此时的坐标参数个数比上述间接平差相应多了d个，d就是间接平差中必要起始数据的个数。引入d个起算数据的约束条件就是仅具有必要起算数据的间接平差。
秩亏数，也是相应平差问题的必要起算数据和基准数。
（五）．滤波的概念（广义测量平差P56，测量平差基础P166）
在测量平差中，滤波就是利用含有误差（噪声）的观测值，求定最佳估值的方法。
滤波：求定滤波信号X的最佳估值的过程；推估：求定滤波推估信息X’的最佳估值的过程。
（六）．广义测量平差的基本准则（广义测量平差P30最后一句）、极大似然估计的准则、极大验后估计的准则（广义测量平差P28、P9、P19）
2、附合水准路线包含的线路数最少为原则
二、测角网
4个必要的起算数据为：
一个已知点（2个坐标）
一个方位（1个）
一个尺度（1个）两已知点（4个坐标）
三、测边网
边角网
简答题和计算题
（一）．广义测量平差P10，例1-3-1
（二）．极大验后估计和广义最小二乘平差的转换和区别（广义测量平差P28）
（三）．间接平差和秩亏自由网平差的不同，以及怎样解决秩亏问题（间接平差：测量平差基础P91-93，秩亏自由网平差：广义测量平差P37-39.测量平差基础P143）
4、当参数个数u>t时，有A=-E，W=-l。（1）式变为附有条件的间接平差，即
由上可见，该平差模型起到了概括其他函数模型的作用，因此，也称为概括平差函数模型。
（二）．根据四种平差模型
条件平差
间接平差
附有参数的条件平差
附有条件的间接平差
误差方程的个数
r
n
c
n+s
法方程的个数
r
t
c+u
u+s
（三）．广义最小二乘和极大验后估计在什么情况下，哪种更精确（广义测量平差P21）
明参数估值和观测值的估值具有最小方差，即
或
或
（八）．在间接平差中，各协因数阵，观测平差各方程中Q的各种表达式（广义测量平差P32）
（九）．各种水准网观测数的确定（测量平差基础P68）
自由网的必要观测数为网中的水准点的总数减一，而附合水准网的必要观测数为网中待定点高程的个数
一、水准网
列条件的原则：
1、闭合水准路线