重庆市巴蜀中学2020-2021高二上期末数学试卷
重庆市2020-2021学年高二数学(文)上学期期末联考卷附答案解析
A． 3 1 2
1
B．
2
C． 2 2
D． 3 2
6
【答案】A
【分析】由题意可得出 PF2F1 120 ， PF2 F2F1 2c ，利用余弦定理可求得 PF1 ，利用椭圆的定义可 得出关于 a 、 c 的等式，进而可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】因为点
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1a b
0,b
0)
的两条渐近线分别交于点
A，B，与
x
轴交于点
C，O
为坐标原
点，若 A 是线段 BC 的中点，且 OA OC ，则双曲线的离心率为___________.
四、解答题
2
17．已知命题 p :不等式 x2 2x a 0 对任意 x R 恒成立，命题 q : 方程 x2 y2 ay a 0 表示圆， ___________，求 a 的取值范围.
（1）证明： DM // 平面 ABE ； （2）求二面角 F AE B 的余弦值.
22．已知椭圆 : x2 y2 1 和点 M 1, 0 ，直线 l 过椭圆 的左焦点 F，且与椭圆 分别交于点 A, B ，直线
10 6 AM ， BM 与椭圆 的另一交点分别为点 C ， D .
MA （1）当直线 l 与 x 轴垂直时，求 MC 的值；
【详解】∵ OAB OAC 60 ，∴ OAB 与 OAC 全等， AB AC ，
设 OD 平面 ABC 于点 D，D 为 Rt△ABC 的外心， 设 BD m ，则 AB 2m ，又 OAB 为等边三角形， OB AB 2m ，
又 OB OD2 BD2 1 m2 ，
2
解得 m 1，可得球的半径为 2 ，故表面积为 4 2 8 .
2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题解析
2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知椭圆方程为2212x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．答案：B根据椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.解：由椭圆的标准方程可知：222222,11a b c a b ==⇒=-=，则焦距为22c =， 故选：B.2．下列说法正确的是（ ） A ．空间中的任意三点可以确定一个平面 B ．四边相等的四边形一定是菱形 C ．两条相交直线可以确定一个平面 D ．正四棱柱的侧面都是正方形 答案：C根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.解：对于A ，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A 错误； 对于B ，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B 错误； 对于C ，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C 正确； 对于D ，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D 错误. 故选：C3．已知数列{}n a 中，1111,31n na a a +==-，则5a =（ ） A ．13B ．32-C ．2-D ．32答案：D由数列{}n a 的递推公式依次去求，直到求出5a 即可. 解：由1111,31n na a a +==-，可得2111311213a a ===--，321123112a a ===---， 3411111(2)3a a ===---， 4511311213a a ===-- 故选： D.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥ B ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥ C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α∥ D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥答案：D根据空间直线与平面间的位置关系判断． 解：若m n ⊥，n ⊂α，也可以有m α⊂，A 错； 若m n ∥，n ⊂α，也可以有m α⊂，B 错； 若m n ⊥，n α⊥，则m α∥或m α⊂，C 错；若m n ∥，n α⊥，则m α⊥，这是线面垂直的判定定理之一，D 正确 故选：D ．5．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ） A ．30尺 B ．40尺C ．6尺D ．60尺答案：A由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解. 解：由题女子织布数成等差数列，设第n 日织布为n a ，有1305,1a a ==，所以()()1120111220130105302a a a a a a a ++++=⨯=+=，故选:A.6．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 为AB 中点，则异面直线BC 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A ．34BC．3D ．12答案：A根据异面直线所成角的定义，取AC 中点为E ，则1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，再解三角形即可求出．解：如图所示：设AC 中点为E ，则在三角形ABC 中，,D E 为中点，DE 为中位线，所以有//DE BC ，112DE BC ==，所以1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，在三角形1EDC 中，112,2DC C E ==22211113cos 24C D DE C E EDC DE C D ∠+-==⋅， 故选：A.7．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．3C ．±1D ．3答案：B设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，及112AF BF p +=，可求得13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上方，又1cos p AF θ=-，求得1cos ,tan 32θθ==，利用对称性即可得出结果.解：设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，所以3AF BF =，由12p =， 112411433BF AF BF p BF +=⇒⨯=⇒=∣，所以13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上 方，又1cos p AF θ=-，所以1cos ,tan 32θθ=，所以由对称性知，直线l 的斜率3故选：B.8．已知四面体P ABC -中，,2,23PC a PA PB AC BC a AB a ======，若该四面体的外接球的球心为O ，则OAC 的面积为（ ） A 273 B 215 C 230 D 23a答案：C根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可. 解：由图设点D 为AB 中点，连接,PD CD ，由PA PB AC BC ===，所以,PD AB CD AB ⊥⊥，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂面PCD ，则AB ⊥面PCD ，且PAB ABC ≌，所以球心O ∈面PCD ，所以平面PCD 与球面的截面为大圆，CD 延长线与此大圆交 于E 点.在三角形ABC 中，由2,23AC BC a AB a ===，所以130,120,sin 22A B C CD BC B a a =====⨯=，由正弦定理知：三角形ABC 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，设三角形ABC 的外接圆圆心为点M ，则OM ⊥面ABC ，有2r ME MC a ===，则MD a =，设PAB △的外接圆圆心为点N ，则ON ⊥面PAB ，由正弦定理知：三角形PAB 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，所以OM ON =，又三角形PDC 中，PC PD CD a ===， 所以OD 为PDC ∠的角平分线，则30ODM ∠=， 在直角三角形OMD 中，3tan 303OM MD ==， 在直角三角形OED 中，22222213433a R OM EM a a =+=+=，在三角形OAC 中，取中点S ，由OA OC OS AC =⇒⊥2222131033OS OA AS a a a =-=-=，所以211303022233OACSAC OS a a a =⨯=⨯⨯=， 故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键. 二、多选题9．如图，正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，2PA AB ==，点,E F 分别为侧棱,PA PB 的中点，则（ ）A ．OE PA ⊥B ．//OF PDC ．四棱锥P ABCD -的体积为43D ．AC ⊥平面PBD 答案：ABD证明OP ⊥平面ABCD ，OP OA =，故选项A 正确；证明//OF PD ，故选项B 正确； 42P ABCD V -=，故选项C 错误；证明,OP AC BD AC ⊥⊥，则AC ⊥平面PBD 即得证，故选项D 正确.解：由点O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD ，直角三角形POA 中，2212,22OA AC OP PA OA ==-所以OP OA =，当E 为中点时，OE PA ⊥，故选项A 正确；在三角形PBD 中，,O F 为中点，所以//OF PD ，故选项B 正确；11422433P ABCD ABCD V OP S -=⨯==C 错误； 由OP ⊥面,,ABCD OP AC BD AC ⊥⊥，,,OP BD O OP BD =⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，故选项D 正确. 故选：ABD.10．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上第一象限的点，点12,A A 为双曲线的左右顶点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点Q ，记212PQt AQ A Q =⋅，则（ ）A ．bt a=B ．双曲线的离心率为1e t =+C ．当1t =时，双曲线的渐近线互相垂直 D ．t 的值与P 点在双曲线上的位置无关 答案：BCD根据双曲线左右顶点坐标，结合双曲线的离心率公式、渐近线方程进行逐一判断即可. 解：因为点12,A A 为双曲线的左右顶点，所以12(,0),(,0)A a A a -设点()12,(0,0),,,p x y x y PQ y AQ x a A Q x a >>==+=-， 则222212||PQ y t AQ A Q x a ==⋅-，又点P 在该双曲线上，满足22221x y a b -=，所以2222222212(1)||x b PQ b a t A Q A Q x a a-===⋅-，所以选项A 错，选项D 对；又c e a ==B 对，对选项C ，221b t a ==，则1b a =，双曲线的渐近线方程为y x =±，故C 对.故选：BCD11．已知欧拉函数()()*n n N ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数.例如：()11ϕ=，()42ϕ=，设数列{}n a 中：()()*n a n n N ϕ=∈，则（ ） A ．数列{}n a 是单调递增数列 B ．{}n a 的前8项中最大项为7a C ．当n 为素数时，1n a n =- D ．当n 为偶数时，2n n a = 答案：BC根据欧拉函数的概念可写出数列{}n a 的前8项，根据前8项，可判断选项A,B,D ；根据n 为素数时，n 与前1n -个数都互素，从而可判断选项C.解：由题知数列{}n a 前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4，不是单调递增数列，故选项A 错误； 由选项A 可知，{}n a 的前8项中最大项为76a =，故选项B 正确； 当n 为素数时，n 与前1n -个数互素，故1n a n =-，所以C 对正确； 因为62a =，故选项D 错误. 故选：BC .12．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动，以下命题正确的有（ ） A ．平面1A BE 截正方体所得的截面面积为92B ．三棱锥1B ACE -C ．当点F 在棱1CC 运动时，平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值可以取到2D ．当点F 在底面ABCD 上时，直线1B F 与1CC 所成角为30，则动点F答案：ACD对于选项A ，取CD 中点为N ，则1//EN A B ，可知平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，利用平面几何知识即可求出梯形1A BNE 的面积，进而判断A 是否正确；对于B ，设点M 为AC 中点，AC ⊥面1B ME ，再根据内切球的性质和几何体提及的关系1=3V rS （其中V ,S ，r 分别是几何体的的体积、表面和内切球的半径），由此即可判断B 是否正确；对于C ，利用空间向量法求二面角，即可判断C 是否正确；对于D ，由于11//BB AA ，可得130BB F ∠=，所以123tan 303BF BB ==，可知点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233的圆上，作出草图，即可求出动点F 的轨迹长度，进而判断D 是否正确.解：选项A ，设CD 中点为N ，连接,BN EN ，则1//EN A B ，所以平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，过点E 作1EG A B ⊥，在直角三角形1GA B 中，1125,EA AG == 所以2211922EG EA AG =-所以()1139322222ABNE S EN AB EG =+⨯=⨯⨯=，所以A 正确； 选项B ，在三棱锥1B ACE -中，11122,5,3B A BC AC EA EC B E ====== 设点M 为AC 中点，所以1,B M AC EM AC ⊥⊥，则AC ⊥面1B ME ，16,3B M EM ==，所以11,11122632332A B CE B MEV AC S-=⨯=⨯⨯⨯⨯= 又三棱锥1B ACE -表面积为1116236ACB ACEB EB CE S S SSS =+++=++表面和又1123A B CE V r S -=⨯=表面积，则666236621r ==++++，故B 错误；选项C ，以点B 为坐标原点，1,,BC BA BB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设点()()2,0,,02F t t ≤≤，则()()12,0,,0,1,1==BF t BA ， 设平面1FA B 的法向量为(),,nx y z =，所以1200⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n BF x tz n BA y z ，取2=-=y z ，则x t =，所以平面1FA B 的法向量为(),2,2n t =-，又平面ABCD 法向量为()0,0,1m =平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值2211cos ,328m n m nt θ⋅⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦⋅+∣ 又()111232,32322⎡⎤-=∈⎢⎥+⎣⎦，所以选项C 正确； 选项D ，11//BB CC ，所以1∠BB F 直线1B F 与1CC 所成角，即130BB F ∠=， 所以123tan 303BF BB ==， 所以点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233BF =的圆上， 又点F 在底面ABCD 上，如下图所示：所以动点F 2332ππ=，故D 正确； 故选：ACD. 三、填空题13．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14．已知数列{}n a 满足下列条件：①数列{}n a 是等比数列；②数列{}n a 是单调递增数列；③数列{}n a 的公比q 满足01q <<.请写出一个符合条件的数列{}n a 的通项公式__________.答案：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）根据题意判断数列特征，写出一个符合题意的数列{}n a 的通项公式即可.解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n a 的公比q 满足01q <<，所以等比数列{}n a 公比01q <<，且各项均为负数， 符合题意的一个数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）15．已知数列{}n a 满足()()11121,2n n n a n a a ++=+=，则320222023212320222023a a aa a +++++=__________. 答案：20232024由题112n n n a a n ++=+，用累乘法求得通项公式：11n a n =+，则()11111n a n n n n n ==-++，通过裂项求和即可得出结果. 解：由题112n n n a a n ++=+，所以累乘法求通项公式： 2132123,,341n n n a a a a a a n -==⋯=+，所以12313411n n a a n n =⨯⨯⨯=++，经验证1n =时，112a =符合. 所以()11111n a n n n n n ==-++，则3202220232111111120231123202220232232023202420242024a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2023202416．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，直线(0)y kx k =>与双曲线交于,M N 两点，且2OM OF =，O 为坐标原点，又()222216MF NMF NF S +=，则该双曲线的离心率为__________.根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.解：由直线(0)y kx k =>与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称， 在三角形2MF N ∆中，2OM OF =，所以22MF NF ⊥， ,M N 是以12F F 为直径的圆与双曲线的交点，不妨设()11,M x y 在第一象限， 212NF MMF F SS=，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a b x y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，联立化简可得()222222211b c y a y a b --=，整理得2222222211b c a bb y a y ，242211,b b c y y c==，所以2121122MF F Sc y b =⋅⋅=，由()2222216MF NMF NF S b +==所以124MF MF b ，又因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F +=，即222222222(2)(2)4,824,42b a b a c b a c b a c ++-=+=+=，222222223442,23,2c c a a c c a a -+===，所以离心率62cea .【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键. 四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，首项为12a =，且1241,1,1a a a +++成等比数列. (1)求n a 和n S ；(2)设(1)1nn n b a =-+，记12n n T b b b =+++，求n T .答案：(1)2331,2n n n na n S +=-=(2)**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数（1）由题意解得等差数列{}n a 的公差d ，代入公式即可求得n a 和n S ； （2）把n 分为奇数和偶数两类，分别去数列{}n b 的前n 项和n T . (1)设等差数列{}n a 公差为d ，由题有()()()2214111a a a +=++，即()2(3)333d d +=+，解之得3d =或0，又0d ≠，所以3d =，所以()()2113131,22n n n a a n n n a a n d n S ++=+-=-==. (2)()(1)1(1)311n n n n b a n =-+=--+，当n 为正奇数，()()11(1)(1)313113n n n n a a n n ++-+-=--++-=，()()()12123421n n n n n T b b b a a a a a a a n --=+++=-++-+++-+-+()1133122n n n n -+=⨯--+=- 当n为正偶数，()()()12123415322n n n n n nT b b b a a a a a a n n -=+++=-++-+++-++=⨯+=， 所以**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数18．如图①，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为AB CD ､的中点，224CD AB EF ===，现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体，在图②中：(1)证明：平面//AEB 平面DFC ；(2)求四棱锥F ABCD -的体积. 答案：(1)证明见解析. (2)2（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明； （2）将所求四棱锥F ABCD -的体积转化为求32E CDF V -即可.(1)证明：因为//AE DF ，AE ⊄面DFC ，DF ⊂面DFC ， 所以//AE 面DFC ， 同理//BE 面DFC ， 又因为,AE BE ⊂面ABE ,AE BE E =所以面//ABE 面DFC . (2)解：因为在图①等腰梯形ABCD 中，,E F 分别为,AB CD 的中点， 所以EF CD ⊥，在图②多面体中，因为,EF DF EF FC ⊥⊥，,DF FC ⊂面DFC ，DF FC F ⋂=， 所以EF ⊥面DFC .因为CF EF ⊥，面BEFC ⊥面AEFD ，CF ⊂面BEFC ，面BEFC ⋂面AEFD EF =, 所以CF ⊥面AEFD ， 又因为DF ⊂面AEFD ， 所以CFDF ，在直角三角形DFC 中，因为2DF FC ==,所以CD =，同理，AB = 所以2CD AB =， 则2ACDABCSS=，有32ABCD ABC ACD ACD S S S S =+=△△△△， 所以33331222223F ABCD F ACD A CDF E CDFCDF V V V V EF S ----⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 所以四棱锥F ABCD -的体积为2.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点F ，点()2,2M 在抛物线C 上. (1)求MF ；(2)过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，过点N 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，证明：AOB 为直角三角形（O 为坐标原点）.答案：(1)52(2)证明见解析（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得MF .（2）由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，与抛物线方程联立，可得2240y my --=，利用韦达定理证得0OA OB ⋅=即可得出结论.(1)点()2,2M 在抛物线2:2C y px =上.∴44p =，则1p =，所以252,22M p y x MF x ==+=. (2)证明：由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，点()()1122,,,A x y B x y联立方程222x my y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2240y my --=，由韦达定理有121224y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由22y x =，所以221212422y y x x =⨯=，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥，所以AOB 为直角三角形. 20．三棱锥P ABC -中，PAB PAC ≅△△，2BC AB ，PA AB ⊥，直线PC 与平面ABC 所成的角为3π，点D 在线段PA 上.(1)求证：BD AC ⊥； (2)若点E 在PC 上，满足34PE PC =，点D 满足(01)AD AP λλ=<<，求实数λ使得二面角A BE D --的余弦值为25.答案：(1)证明见解析； (2)12λ=.（1）证明AC ⊥平面PAB ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设1AB AC ==，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数λ的等式，即可解得实数λ的值. (1)证明：因为PAB PAC ≅△△，PA AB ⊥，则PA AC ⊥且AB AC =， AB AC A ⋂=，PA ∴⊥平面ABC ，所以PCA ∠为直线PC 与平面ABC 所成的线面角，即3PCA π∠=，22BC AB AC ==，故222AB AC BC +=，AC AB ∴⊥，PA AB A =，AC ∴⊥平面PAB ， BD ⊂平面PAB ，因此，BD AC ⊥.(2)解：设1AB AC ==，由（1）可知3PCA π∠=且PA AC ⊥，tan33PA AC π∴==，因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()0,1,0C 、(3P 、330,4E ⎛ ⎝⎭、()()301D λλ<<，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,0AB =，330,4AE ⎛= ⎝⎭，则1113304m AB x y z m AE ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取1y =，可得(0,1,3m =， 设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，()1,0,3DB λ=-，331,4BE ⎛=- ⎝⎭， 由22222303304n DB x z n BE x y λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x λ=，则(3,43n λλ=-，由已知可得2412cos ,522584m n m n m nλλλ⋅-<>===⋅-+，解得12λ=.当点D 为线段AP 的中点时，二面角A BE D --的平面角为锐角，合乎题意. 综上所述，12λ=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P 在椭圆22149x y +=上，且在第一象限内，点12,A A 分别为椭圆C 的左､右顶点，直线12,PA PA 分别与椭圆C 交于点,M N ，过2A 作直线1PA 的平行线与椭圆C 交于点D ，问直线DN 是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.答案：(1)2214x y +=(2)过定点，8,05⎛⎫⎪⎝⎭（1）根据椭圆上的点及离心率求出a ,b 即可；（2）设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件122212,PA DA DA NA PA PA k k k k k k =⋅=⋅化简，结合椭圆方程，求出t 即可得解.(1) 由2223c e a b c a ===+，有2a b =， 又221341a b+=，所以22a b ==，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+. 如图，联立2214x y x t my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 有：()2224240m y mty t +++-=，韦达定理有：()()1222222212224*,Δ4444044mt y y m m t t m t y y m ⎧+=-⎪⎪+=--+>⎨-⎪=⎪+⎩由12//PA DA ，所以()()122212222000,224PA DA DA NA PA PA y y k k k k k k x x x =⋅=⋅==-+-， 又()22220000914494x y y x +=⇒=-，所以222020944DA NA y k k x ⋅==-- 又221212,22DA NA y yk k x x ==--， 所以()()2211129224DA NA y y k k x x ⋅==---.又()()()()()()221212121222222(2)x x my t my t m y y m t y y t --=+-+-=+-++-所以有()()2212121242(2)9y y m y y m t y y t -=+-++-， 把()*代入有：()22444(2)9t t --=-， 解得85t =或2，又直线DN 不过右端点，所以2t ≠，则85t =， 所以直线DN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知函数()ln 1f x x x =+.(1)求函数()y f x =在x e =处的切线方程；(2)设()f x '为()y f x =的导数，若方程()'2a f x a x =+的两根为12,x x ，且12x x <，当0t >时，不等式()122a t x tx <-+对任意的()12,(0,x x ∞∈+恒成立，求正实数t 的最小值. 答案：(1)21y x e =-+ (2)1（1）先求导数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）将已知方程结合其两根，进行变式，求得()21212ln x x a x x -=，利用该式再将不等式()122a t x tx <-+变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.(1)由题意可得()()()ln 1,2,1f x x f e f e e '+'===+， 所以切点为(),1e e +，则切线方程为：()2121y x e e x e =-++=-+. (2)由题意有：()ln 12a x x a +=+，则ln 2a x x =， 因为12,x x 分别是方程ln 20a x x -=的两个根，即1122ln 2,ln 2a x x a x x ==.两式相减()()2121ln ln 2a x x x x -=-， 则()21212ln x x a x x -=， 则不等式()122(0)a t x tx m <-+>，可变为()()21122122ln x x t x tx x x -<-+， 两边同时除以1x 得，212211212ln x x txt x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<-+，令21x k x =，则()212ln k t tk k-<-+在()1,k ∈+∞上恒成立. 整理可得()21ln 02k k t tk-->-+，在()1,k ∈+∞上恒成立，令()()21ln 2k h k k t tk-=--+，则()()()22222222(2)11(2)14(2)(2)(2)t t k k k t k t t h k k t tk k t tk k t tk ⎡⎤---⎢⎥⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=-==-+-+-+'， ①当22(2)1t t -≤，即1t ≥时，()0h k '>在()1,+∞上恒成立，则()h k 在()1,+∞上单调递增，又()10h =，则()0h k >在()1,+∞上恒成立；②当22(2)1t t ->，即01t <<时，当22(2)1,t k t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时，()0h k '<， 则()h k 在22(2)1,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()()10h k h <=，不符合题意.综上：1t ≥，所以t 的最小值为1.。
2020-2021学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.抛物线y2=6x的焦点坐标为()A. (32,0) B. (0,32) C. (24,0) D. (0,24)2.命题p：“∀x∈(0,π2)，sinx<tanx”的否定￢p为()A. ∀x∈(0,π2),sinx≥tanx B. ∀x∈(0,π2),sinx>tanxC. ∃x0∈(0,π2),sinx0≥tanx0 D. ∃x0∉(0,π2),sinx0≥tanx03.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是()A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆锥D. 圆柱4.已知圆C1：x2+y2=3和圆C2：(x+1)2+(y−3)2=12，那么这两个圆的位置关系是()A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切5.已知直线经过点(2,−3)，且与直线2x−y−5=0垂直，则直线l在y轴上的截距为()A. −4B. −2C. 2D. 46.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是y=√32x，则该双曲线的离心率为()A. √32B. √52C. 2D. √727.“k=√33”是“直线l：y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，AA1=AC=5，AB=3，BC=4，则在堑堵ABC−A1B1C1中截掉阳马C1−ABB1A1后的几何体的外接球的体积是()A. 25πB. 125√23π C. 100π D. 175√23π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知直线l：√3x−y+1=0，则下列结论正确的是()A. 直线l的倾斜角是π6B. 过(√3,1)与直线l平行的直线方程是√3x−y−2=0C. 点(√3,0)到直线l的距离是2D. 若直线m：x−√3y+1=0，则l⊥m10.对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，则下列说法中正确的是()A. 若m⊥α，n⊥α，则m//nB. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD. 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m//α11.给出下列命题，其中正确的命题是()A. 若a⃗⋅b⃗ <0，则<a⃗，b⃗ >是钝角B. 若a⃗为直线l的方向向量，则λa⃗(λ∈R)也是直线l的方向向量C. 若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 在四面体P −ABC 中，若PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 12. 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A(−5,0)，B(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为−49，求点M 的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为−49”拓展为“斜率之积为常数k(k ≠0)”之后，进行了如图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论正确的有( )A. k <0时，点M 的轨迹为椭圆(不含与x 轴的交点)B. −1<k <0时，点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(不含与x 轴的交点)C. k <−1时，点M 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(不含与x 轴的交点)D. k >0时，点M 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(不含与x 轴的交点) 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点A(2,3，5)，B(0,1，7)，则线段AB 的中点M 的坐标为______ ，线段AM 的长为______ ． 14. 已知抛物线x 2=4y 上一点P 到x 轴的距离是8，则点P 到该抛物线焦点的距离是______ ． 15. 经过点M(2,1)作直线l 交椭圆x 212+y 24=1于A ，B 两点且M 为AB 的中点，则直线l 的斜率为______ ．16. 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体有四个顶点在圆锥母线上，其余四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10√2cm ，高为10cm.打印所用原料密度为1.2g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______ g.(π取3.14) 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：DE//平面PAC ； (2)求证：AB ⊥PB ．18. 已知圆C ：x 2+y 2=8内有一点P(−1,2)，直线l 过点P 且和圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α．(1)当α=135°时，求弦AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．19. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=4，AB =2，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)求三棱锥C −C 1DE 的体积；(2)求异面直线MN 与C 1D 所成角的余弦值．20. 已知抛物线y 2=−x 与直线y =k(x +1)相交于A ，B 两点，O 为坐标原点(1)当k =12时，求|AB|；(2)求证：OA ⊥OB ．21. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB =6，过点D 作DM ⊥AB 交AB 于点M ，DM =AM =CD =2，现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB 、AC ． (1)求直线AB 与平面AMC 所成角的正弦值；(2)当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求二面角P −MC −B 的余弦值．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，直线y=1与C的两个交点间的距离为4√63．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)分别过F1、F2作l1、l2满足l1//l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：抛物线y2=6x的焦点坐标为：(32,0)．故选：A．直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．2.【答案】C【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈(0,π2),sinx0≥tanx0．故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】C【解析】解：三棱柱，四棱柱(特别是长方体)，圆柱的正视图都可以是矩形，圆锥不可能．几何体放置不同，则三视图也会发生改变．三棱柱，四棱柱(特别是长方体)，圆柱的正视图都可以是矩形．几何体放置不同，则三视图也会发生改变．考查了学生的空间想象力．4.【答案】C【解析】解：∵圆C1：x2+y2=3的圆心C1(0,0)，半径r1=√3，圆C2：(x+1)2+(y−3)2=12的圆心C2(−1,3)，半径r2=2√3，√3=r2−r1<|C1C2|=√10<r1+r2=3√3，∴圆C1和圆C2相交，故选：C．由已知可求得圆C1和圆C2的圆心和半径，继而可求得两圆的圆心距，与两圆半径的和与差比较即可得到答案．本题考查圆与圆的位置关系及其判定，求得两圆的圆心距和半径是关键，考查运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：设经过点(2,−3)，且与直线2x−y−5=0垂直的直线方程为：x+2y+c=0，把(2,−3)代入，得2−6+c=0，解得c=4，∴直线l的方程为x+2y+4=0，令x=0，得y=−2，则直线l在y轴上的截距为−2．故选：B．设经过点(2,−3)，且与直线2x−y−5=0垂直的直线方程为x+2y+c=0，把(2,−3)代入，求出直线l的方程为x+2y+4=0，令x=0，能求出直线l在y轴上的截距．本题考查直线的纵截距的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是y=√32x，可得ba =√32，所以c2−a2a2=34，解得e=ca =√72．故选：D．利用双曲线的渐近线方程，推出a、b，关系，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．7.【答案】A【解析】解：当k=√33时，直线l转换为y=√33(x−2)，即：√3x−3y−2√3=0所以：圆心(0,0)到直线的距离d=√3|√32+(√3)2=1=r，所以直线与园相切．直线与园相切．则：圆心(0,0)到直线kx−y+2k=0的距离d=√1+k2=r=1，解得：k=±√33，故：“k=√33”是“直线l：y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件．故选：A．直接利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：在堑堵ABC−A1B1C1中截掉阳马C1−ABB1A1后，剩余的几何体为三棱锥A−BCC1，该几何体与堑堵ABC−A1B1C1的外接球是同一个球，∵AB=3，BC=4，AC=5，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，所以，直角△ABC的外接圆直径为AC=5，所以，堑堵ABC−A1B1C1的外接球的直径为2R=√AC2+CC12=5√2，∴R=5√22，因此，在堑堵ABC−A1B1C1中截掉阳马C1−ABB1A1后的几何体的外接球的体积是43πR3=43π⋅(5√22)3=125√23π．故选：B．根据题意知，剩余的几何体与堑堵ABC−A1B1C1的外接球是同一个球，先计算出该堑堵底面外接圆的直径AC，然后利用公式2R=√AC2+CC12可得出外接球的半径R，最后利用球体体积公式可计算出答案．本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．9.【答案】BC【解析】解：直线l：√3x−y+1=0，化为：y=√3x+1，A.设直线l的倾斜角为α，可得tanα=√3，解得α=π3，因此A不正确；B.设过(√3,1)与直线l平行的直线方程是√3x−y+m=0，把点(√3,1)代入可得：√3×√3−1+m=0，解得m=−2，因此过(√3,1)与直线l平行的直线方程是√3x−y−2=0，因此B正确；C.点(√3,0)到直线l的距离=√3×√3−0+1|√(√3)2+(−1)2=2，因此C正确；D .直线l 与m 的斜率乘积=√3×√3=1≠−1，因此l 与m 不垂直，因此D 不正确．故选：BC ．利用直线的方程、直线的平行与垂直与斜率之间的关系即可判断出结论．本题考查了直线的方程、直线的平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.【答案】AD【解析】解：对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，在A 中，若m ⊥α，n ⊥α，则由线面垂直的性质定理得m//n ，故A 正确； 在B 中，若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误；在D 中，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由线面垂直、面面垂直的性质得m//α，故D 正确． 故选：AD ．在A 中，由线面垂直的性质定理得m//n ；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在D 中，由线面垂直、面面垂直的性质得m//α． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题． 11.【答案】CD【解析】解：对于A ，当 a ⃗⃗⃗ =−b ⃗ 时，若a ⃗ ⋅b ⃗ =−1<0，但<a ⃗ ，b ⃗ >=π，不是钝角，所以A 错；对于B ，当λ=0时，λa ⃗ =0⃗ ，不是直线l 的方向向量，所以B 错； 对于C ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以C 对； 对于D ，如图，过P 作PO ⊥平面ABD 交平面于O 点，连CO 交AB 于M ，连AO 交BC 于N ，连BO 交AC 于T ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒PC ⊥BC ⇒AN ⊥BC ，同理，CM ⊥AB ⇒O 为△ABC 垂心，所以BT ⊥AC ⇒PB ⊥AC ，从而PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以D 对； 故选：CD ．本题以向量内积判断A ，以直线方向向量概念判断B ，经向量线性运算判断C ，以四面体中线面位置关系判断D ． 本题以命题真假判断为载体，考查了向量基本概念及基本运算，考查了空间线面位置关系，属中档题． 12.【答案】BCD【解析】解：设M(x,y)，则k AM =y−0x+5，k MB =y−0x−5， 由题意可得，y−0x+5⋅y−0x−5=k ，故y 2=k(x 2−25)．若k =−1，方程化为y 2+x 2=25，表示了以原点为圆心，5为半径的圆(除A ，B 点)； 若−1<k <0，方程化为x 225+y 2−25k=1，点M 的轨迹为焦点在x 轴的椭圆(不含与x 轴的交点)；若k <−1，方程化为y 2−25k+x 225=1，表示焦点在y 轴，以A 、B 为短轴端点的椭圆(除A ，B 点)； k >0时，方程化为x 225−y 225k =1，点M 的轨迹为焦点在x 轴的双曲线(不含与x 轴的交点)． 综上可知，BCD 正确．故选：BCD ．设M(x,y)，求出AM ，BM 所在直线的斜率，由题意可得y 2=k(x 2−25)，对k 分类讨论可得结论． 本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．13.【答案】(1,2，6)√3【解析】解：∵点A(2,3，5)，B(0,1，7)，∴线段AB的中点M的坐标为(1,2，6)，线段AM的长为|AM|=√(1−2)2+(2−3)2+(6−5)2=√3．故答案为：(1,2，6)，√3．利用线段中点坐标公式、两点间距离公式直接求解．本题考查线段中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】9【解析】解：设点P的坐标为(x,y)，则由已知可得：y=8，又由抛物线方程可得：p=2，所以由抛物线的定义可得点P到抛物线的焦点的距离为y+p2=8+1=9，故答案为：9．设出点P的坐标，利用抛物线的定义以及已知条件即可求解．本题考查了抛物线的定义，考查了学生对抛物线定义的理解，属于基础题．15.【答案】−23【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1212+y124=1，x2212+y224=1，两式相减，可得，(x1−x2)(x1+x2)12+(y1−y2)(y1+y2)4=0，又点M恰好为线段AB的中点，则x1+x2=4，y1+y2=2，则直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=−23，则直线l的斜率为：−23．故答案为：−23．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，作差运用平方差公式，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，求出斜率即可．本题考查点差法求中点弦所在直线方程，考查直线的斜率公式，及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】478【解析】解：如图，是几何体的轴截面，设正方体的棱长为a，则√2 2 a5√2=10−a10，解得a=5，∴该模型的体积为：V=13×π×(5√2)2×10−53≈398.33(cm3).∴制作该模型所需原料的质量为398.33×1.2≈478(g)．故答案为：478．设正方体的棱长为a，由题意得√2 2 a5√2=10−a10，解得a=5，求出该模型的体积，由此能求出制作该模型所需原料的质量．本题考查圆锥、正方体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】证明：(1)∵D，E分别是AB，PB的中点，∴DE//PA．又∵PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC∴DE//平面PAC；(2)∵PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，∴PC⊥AB，∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴AB⊥PB．【解析】(1)由D，E分别是AB，PB的中点，根据三角形中位线定理，可得DE//PA，利用线面平行的判定定理可得DE//平面PAC；(2)由线面垂直的性质，可得PC⊥AB，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由线面垂直的性质可得AB⊥PB．本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质，属于中档题．18.【答案】解：(1)圆C：x2+y2=8的圆心在原点，半径为2√2，当α=135°时，直线l的方程为：y−2=−(x+1)，即x+y−1=0，圆心(0,0)到直线l的距离d=|−1+2−1|√1+1=0，即直线l过圆心，所以|AB|=4√2．(2)当弦AB被P(−1,2)平分时，OP⊥l，∵k OP=−2，∴直线l的斜率k l=12，∴直线l的方程为：y−2=12(x+1)，即x−2y−5=0【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．(1)先求出直线l的方程，由圆心到直线的距离为0知，AB为圆的直径，故|AB|=4√2；(2)当弦AB被点P平分时，OP⊥l，由此可得直线l的斜率，再由点斜式可得直线l的方程．19.【答案】解：(1)设C1到平面CDE的距离为h，由等体积法可得，V C−C1DE =V C1−CDE=13S△CDE⋅ℎ，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，即CC1为C1到平面CDE的距离为h，∴V C−C1DE =13×12×CD×CE×CC1=13×12×2×1×4=43；(2)取AD的中点Q，连接NQ，BQ，∵N为A1D的中点，∴NQ//AA1且NQ=12AA1，∵M为BB1的中点，∴MB//AA1且MB=12AA1，可得NQ//MB且NQ=MB，∴NQBM为平行四边形，得QB//MN，又QB//DE，∴NM//DE，∴∠C1DE为异面直线MN与C1D所成角(或其补角)，在正方形ABCD中，AB=2，E为BC的中点，∴DE=√5，C1E=√17，C1D=2√5，∴cos∠C1DE=5+20−172×√5√5=45．∴异面直线MN 与C 1D 所成角的余弦值为45．【解析】(1)由已知直接利用等体积法求三棱锥C −C 1DE 的体积；(2)取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQ ，证明NQ//MB 且NQ =MB ，可得∠C 1DE 为异面直线MN 与C 1D 所成角(或其补角)，求解三角形可得DE =√5，C 1E =√17，C 1D =2√5，再由余弦定理可得异面直线MN 与C 1D 所成角的余弦值． 本题考查多面体体积与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算能力，是中档题． 20.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 当k =12时，联立方程组{y 2=−xy =12(x +1)，整理可得y 2+2y −1=0，所以y 1+y 2=−2，y 1y 2=−1，所以弦长|AB|=√1+1k 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+4⋅√4+4=2√10；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组{y 2=−xy =k(x +1)，整理可得ky 2+y −k =0，所以y 1y 2=−1，所以x 1x 2=(y 1y 2)2=1；因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=1−1=0， 所以OA ⊥OB ．【解析】(1)联立直线与抛物线的方程，求出两根之和及两根之积，利用弦长公式可得弦长|AB|的值；(2)联立直线与抛物线的方程，求出两根之积，进而可得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即证得结论成立． 本题考查直线与抛物线的综合及弦长公式，直线垂直的证明方法，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵AM ⊥DM ，平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD =MD ，AM ⊂平面AMD ， ∴AM ⊥平面MBCD ， ∵DM ⊥BM ，∴以M 为原点，MD ，MB ，MA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(0,0，0)，A(0,0，2)，B(0,4，0)，C(2,2，0)，D(2,0，0)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)， 设平面AMC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2z =02x +2y =0，令x =1，则y =−1，z =0，∴m⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设直线AB 与平面AMC 所成角为θ，则sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||=|√16+4×√2|=√105， 故直线AB 与平面AMC 所成角的正弦值为√105．(2)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴P(0,43,43)， 设平面PMC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a +2b =043b +43c =0，第11页，共11页 令a =1，则b =−1，c =1，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1)，∵AM ⊥平面BCM ，∴平面BCM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3×2=√33， 由图可知，二面角P −MC −B 为锐角，故二面角P −MC −B 的余弦值为√33．【解析】(1)由面面垂直的性质定理，知AM ⊥平面MBCD ，而DM ⊥BM ，故以M 为原点建立空间直角坐标系，求得平面AMC 的法向量m⃗⃗⃗ ，设直线AB 与平面AMC 所成角为θ，由sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|，即可得解； (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出点P 的坐标，再求得平面PMC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ，易知平面BCM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，然后由cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得解． 本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角和二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)易知椭圆过点(2√63,1)，所以83a +1b =1，①， 又∵c a =12②，a 2=b 2+c 2，③，①②③得a 2=4，b 2=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1;(Ⅱ)设直线l 1：x =my −1，它与C 的另一个交点为D ，与C 联立，消去x ，得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，△=144(m 2+1)>0，|AD|=√1+m 2⋅12√1+m 23m 2+4，又∵F 2到l 1的距离为d =2，所以S △ADF 2=12√1+m 23m 2+4， 令t =√1+m 2≥1，则S △ADF 2=123t+1t ，所以当t =1时，最大值为3，又∵S 四边形ABF 2F 1=12(|BF 2|+|AF 1|)⋅d =12(|AF 1|+|DF 1|)⋅d =12|AB|⋅d =S △ADF 2所以四边形ABF 2F 1面积的最大值为3.【解析】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题． (Ⅰ)利用离心率为12，直线y =1与C 的两个交点间的距离为4√63，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；(Ⅱ)直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形ABF 2F 1面积的最大值．。
重庆市2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题(含答案)
重庆市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则等于A. B. C. D.2.已知实数a，b，m满足记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数，且的最小值为A. B. C. D.3.已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为A. B. C. D.4.已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是A. B. C. D.5.有下列命题：“或”是“”的必要不充分条件；已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；已知分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为其中所有真命题的个数是A. 4B. 3C. 2D. 16.三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心7.设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是A. B. C. D.8.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为A. 14B. 15C. 16D. 17二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.下列命题正确的是A. 已知R，则“”是“”的充分不必要条件B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则C. 若随机变量，且，则D. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为10.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A. 恰好取到一件次品有不同取法；B. 至少取到一件次品有不同取法；C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法；D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式．11.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是A.B. 若，则C. 的最小正周期为4D. 在上的零点个数最少为1010个12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点焦点的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则的面积不大于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，求曲线过点处的切线方程______．14.关于函数有如下四个命题：是的周期；的图象关于原点对称；的图象关于对称；的最大值为其中所有真命题是________填命题序号15.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．16.已知向量，，若函数在区间上是增函数，则t的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，，的周长为12，求的面积．18.已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．证明数列等比数列；已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅．选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．来求数列前n和．19.已知中，，，，分别取边AB，AC的中点D，E，将沿DE折起到的位置，设点M为棱的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足．求证：平面；试探究在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．20.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11 10 9分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．求该同学这个题目需要仲裁的概率；求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望精确到整数．21.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点．若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点记点G的纵坐标为，求的值．若，点在曲线上且线段的中点均在抛物线C 上，记线段的中点为N，面积为用表示点N的横坐标，并求的值．22.已知函数．求不等式的解集；函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；答案和解析1.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．【解答】解：集合，，，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．由已知得，结合，可求出m的取值范围求，设，求，研究的单调性和最值，从而可的单调性和最小值．【解答】解：根据题意，得又，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得．因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，，即当时，恒成立，所以当且时，恒成立，所以在上单调递增，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，且．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，用a，b表示，，再求出，由，得，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，因为，，，所以，，，所以．又因为，所以．又由，得，即，结合整理可得，即离心率．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为，设，由向量关系得到然后将点的坐标代入椭圆方程，得到由即可得到答案．【解答】解：设，，则由，可得，解得，，即由题意可设椭圆E的标准方程为，所以消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判定，属于中档题，分别进行充分性和必要性判断即可，根据全称量词命题否定判断即可，根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可，由题意求出的最小值即可判断．【解答】解：充分性：当“且”时，令，，此时，不能推出””的结论，因此充分性不成立必要性：当“”时，令，，此时不能推出“且”的结论，因此必要性不成立。
重庆市巴蜀中学2020—2021学年高二上学期期末复习2数学试题
高2022届高二(上)数学期末复习题2一､单选题1､已知a 为实数,命题p:20,10.a a a ∃>-+<则P ⌝为()2.0,10A a a a ∃<-+≥2.0,10B a a a ∃>-+≥ C.20,10a a a >-+≥∀ D.20,10a a a ∀≤-+≥2､"a=1"是"直线l 1:ax-y+8=0与直线l 2:2x-(a+1)y+3=0互相平行"的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3､过点(-4,2),且与双曲线2212x y -=有机同渐近线的双曲线的方程尼() 22.184x y A -= 22.148x y B -= 22.184y x C -= 22.148y x D -= 4､已知定义在R 上的函数f(x),其导函数()f x '的图象如图所示,则下列叙述正确的是()A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)5､若直线l:x-y+m=0被圆C:22(1)(2)12x y -+-=截得的弦长为4,则m=()A.5B.5或-3C.3D.3或-56､《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面 体(如图),其中四边形ABCD 为矩形,EF//AB,若AB=3EF,△ADE 和△BCF 都是正三角形,且AD=2EF,则异面直线AE 与CF 所成角的大小为().6A π.4B π.3C π .2D π 7､已知函数21()3ln ()2f x x x a x =-+-在区间(1,3)上有最大值,则实数a 的取值范围是()111.(,)22A - 1.(,5)2B - 111.(,)22C 1.(,5)2D8､已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,以F 为圆心,a 为半径的圆与它的一条渐近线相交于P ､Q 两点,O 为坐标原点,若,OP PQ =则C 的离心率为()A .BC .D 二､多选题9､设mn 是两条不同的直线,α､β是两个不同的平面,下列命题中错误的是()A.若m ⊂α,n ∈β,m//n.则αllβB.若m ⊂α,n ⊥m,则n ⊥αC.若m ⊥α､n ⊂α,则m ⊥nD.若α//β,m ⊂α,n ⊂β,则m//n10､已知12,F F 分别是双曲线C:221x y -=的左右焦点,点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点｡且向量120.PF PF ⋅=则下列结论正确的是(A.双曲线C 的渐近线方程为y=±xB.以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=1.C F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 12.D PF F 的面积为111､点P 是直线x+y-3=0上的动点,由点P 向圆O:224x y +=作切线,则切线长可能为()A 1.2B 1.3C .D 12､定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为()'f x ,且()().f x f x x'<则对任意12(0,)x ∈+∞､x ,其中12x x ≠,则下列不等式中一定成立的有() 1212.()()()A f x x f x f x +<+ 11221211.()()))((x x B f x f x f x f x x x +<+ 11.(2)2(1)x x C f f < D.1212()())(f x x f x f x <三､填空题13､准线方程为y=1的抛物线的标准方程为____.14､设P 是函数f(x)=lnx 图象上的动点,则P 到直线y=x+1的距离的最小值为_____.15､已知P 是椭圆22:143x y C +=上一动点,A 是C 的左顶点,F 是C 的右焦点,则AP FP ⋅的最小值为____. 16､四面体ABCD 中,AD=CD=BD=2,CD ⊥AD,CD ⊥BD,二面角A-CD-B 的大小为60°,则该四面体外接球的体积为____.四､解答题17.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.(1)证明:D1E⊥A1D:(2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离.18､已知a∈R.函数f(x)=ax-1-lnx在x=1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的最大值.19､已知焦点在x轴上的抛物线C上一点P(m,2)(其中m>0)到焦点的距离为2.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点M(1,0)的直线l交曲线C于A､B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.20､如图,在以P为顶点的圆锥中,底面圆的直径AB长为2,O为圆心.C是圆O所在平面上一点,且AC与圆O相切.连接BC交圆于点D,连接PD,PC,E是PC的中点,连接OE,ED.(1)求证:平面PBC⊥平面PAC;(2)若二面角B-PO-D的大小为2,3求面PAC与面DOE所成锐二面角的余弦值.21､已知椭圆C:22221(0x y a b a b+=>>）的离心串为1,2其左,右焦点分别是12,F F ,椭圆上的4个点A,B,M,N 满足:直线AB 过左焦点1,F 直线AM 过坐标原点O,直线AN 的斜率为3,2-且2ABF ∆周长为8.(1)求椭圆C 的方程;(2)求△AMN 面积的最大值.22､已知函数2()2 1.x f x xe ax ax =++-(1)当212a e =时,求f(x)在x=-2处的切线方程; (2)当11a e>--时,讨论f(x)零点的个数.。
(完整版)重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学理试题
重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（）A. B. C. D.2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.3. 命题“，均有”的否定形式是（）A. ，均有B. ，使得C. ，均有D. ，使得4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（）A. B. C. D.6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（）A. B. C. D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（）A. B. C. D.10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（）A.2B.C. 3D.11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（）A. B. C.0.3 D.12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则__________．14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．15. 三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16. 已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
重庆高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线与直线平行，则实数a 的值为（ ）1:20l x y -+=2:230l x ay +-=A ． B ． C ．2 D ．12-1-【答案】A【分析】解方程即得解.1(1)20a ⨯--⨯=【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=-经检验，当时，满足题意.2a =-故选：A2．已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）()222210,0y x a b a b -=>>A． B ．y x =32y x =±C ． D ．23y x =±y =【答案】C 【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线中，()222210,0y x a b a b -=>>24,26a b ==所以，双曲线焦点在轴上，2,3a b ==y 所以双曲线的渐近线方程为，23y x ab x =±=±故选：C.3．记等差数列的前n 项和为，已知，，则（ ）{}n a n S 515S =735S =1a =A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-【答案】D【分析】利用题给条件列出关于首项公差d 的方程组，解之即可求得的值.1a 1a 【详解】设等差数列的首项为，公差为d ， {}n a 1a 则，解之得11545152767352a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩121d a =⎧⎨=-⎩故选：D4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）()1,1P 224x y +=AB AB A ． B ． C ． D ．20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=【答案】A【分析】根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，求出弦所在直线的斜率，再代入点斜式化为一般式即可.【详解】的圆心为,半径，224x y +=(0,0)O 2r =因为为圆的弦的中点，()1,1P 224x y +=AB 所以圆心与点确定的直线斜率为， O P 01101PO k -==-因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，所以弦所在直线的斜率为，AB 1AB k =-所以弦所在直线的方程为：，AB ()1(1)1y x -=-⋅-即.20x y +-=故选：A.5．圆与圆的位置关系为（ ）()221:11O x y -+=()222:39O x y -+=A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【分析】求出两个圆的圆心与半径, 通过圆心距与两圆的半径和与差的关系, 判断两个圆的位置关系.【详解】因为圆 的圆心, 半径为,()221:11O x y -+=(1,0)11r =圆 的圆心, 半径为，,()222:39O x y -+=(3,0)23r =,而，2=122r r -=则圆 与圆 的位置关系为内切.1O 2O 故选: D.6．已知数列的前n 项和，满足，则＝（ ）{}n a n S 23n n S a =-6a A ．72B ．96C ．108D ．126 【答案】B 【分析】根据得到数列是以3为首项，2为公比的等比数列，从而求出通11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 项公式，得到的值.6a 【详解】当时，，解得：，1n =11123S a a ==-13a =由题意可得，①23n n S a =-当时，，②2n ≥1123n n S a --=-①﹣②得，，即，1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，{}n a 所以，132n n a -=⨯故.563296a =⨯=故选：B.7．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为2222:1(0)x y C a b a b+=>>，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与2222x y a b +=+222:116x y C a +=M M C 该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（ ） ,P Q MPQ A CA ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出PQ 22216x y a +=+，再利用基本不等式即可求即解.222216)4(MP MQ PQ a ++==【详解】椭圆C 因为，所以为蒙日圆的直径，MP MQ ⊥PQ所以，所以. PQ =222216)4(MP MQ PQ a ++==因为，当22216)2(2MP MQMP MQ a ≤++⋅=MP MQ ==所以面积的最大值为：. MPQ A 26121MP MQ a =+⋅由面积的最大值为34，得，得，MPQ A 23416a +=a =故椭圆的长轴长为C 故选：C8．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以1F 2F C ()222210,0x y a b a b-=>>A 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的12F F M N 135MAN ∠=︒离心率为（ ）ABC ．2 D【答案】D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从222x y c +=b y x a =(),M a b MAO ∠a b 与而进一步解出答案.【详解】依题意得, 以线段 为直径的圆的方程为 ,12F F 222x y c +=双曲线 的一条渐近线的方程为 . C b y x a =由 以及 222,,b y x a x yc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩222,a b c +=解得 或 ,x a y b =⎧⎨=⎩,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取 , 则 .(),M a b (),N a b --因为 ,(),0,135A a MAN ∠-= 所以 ,45MAO ∠= 又 , tan 2b MAO a ∠=所以 , 12b a=所以,2b a =所以该双曲线的离心率 e ==故选：D.二、多选题9．过点的直线l 与直线平行，则下列说法正确的是（ ）(2,0)P -1:20+-=l x y A ．直线l 的倾斜角为45︒B ．直线l 的方程为：20x y ++=C ．直线l 与直线间的距离为1l D ．过点P 且与直线l 垂直的直线为：20x y -+=【答案】BCD【分析】由直线的斜率可求得倾斜角即可判断选项A ，由直线平行和垂直的斜率关系设出所求方程点代入求得直线方程即可判断B 、D ，由平行直线间的距离公式计算即可判断C 选项.P 【详解】过点的直线l 与直线平行，(2,0)P -1:20+-=l x y 设直线l 方程为，代入可得，解得：,所以直线l 的方程1:0l x y m ++=(2,0)P -200m -++=2m =为：，B 正确，20x y ++=直线l 的斜率，直线l 的倾斜角为，则A 错误，1k =-135︒l 与直线的距离为C 正确，1l d 过点P 且与直线l 垂直的直线可设为：，代入可得，解得：,0x y n -+=(2,0)P -200n --+=2n =则过点P 且与直线l 垂直的直线为：，D 正确.20x y -+=故选：BCD.10．已知等差数列的前n 项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） {}n a n S d 151416S S S <<A ．B ． 0d >0d <C ．D ．当时，取得最小值 300S >15n =n S 【答案】ACD【分析】根据题干条件利用可得到，，，然后即可根()12n n n a S S n -=-≥150a <15160a a +>160a >据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为，所以，，. 151416S S S <<1515140a S S =-<1616150a S S =->151616140a a S S +=->对于A 、B 选项，因为，，所以，故选项A 正确，选项B 错误； 150a <160a >16150d a a =->对于C ，因为，所以，故选项C 正确； 15160a a +>()()130301516301502a a S a a +==+>对于D ，因为，，可知，，等差数列为递增数列，150a <160a >10a <0d >{}n a当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D 选项正确. 15n ≤0n a <16n ≥0n a >15n =n S 故选：ACD.11．如图，在正方体中，为的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -E 1AAA ．平面11//A D BEC B ．平面1AB ⊥BEC C ．平面平面11AA B B ⊥BECD ．直线与平面1DD BEC 【答案】ACD【分析】对于ABC ，由正方体特征判断即可；对于D ，取的中点，连接，得AB F 1B F 1B F BE ⊥，由，得平面，因为，所以与平面所成角即为与平面1BC B F ⊥1B F ⊥BEC 11//DD BB 1DD BEC 1BB 所成角，大小为，即可判断.BEC 1B BE ∠【详解】由题知，A 选项：因为，平面，平面，11//A D BC BC ⊂BEC 11A D ⊄BEC 所以平面，故A 正确；11//A D BEC B 选项：显然与不垂直，故B 错误；1AB BE C 选项：因为平面，平面，BC ⊥11AA B B BC ⊂BEC 所以平面平面，故C 正确；11AA B B ⊥BEC D 选项：如图，取的中点，连接，易证，AB F 1B F 1B BF BAE △≌△所以，1BB F ABE ∠=∠因为，1190BB F B FB ∠+∠=︒所以，即，190ABE B FB ∠+∠=︒1B F BE ⊥因为平面，平面，BC ⊥11AA B B 1B F ⊂11AA B B 所以，1BC B F ⊥因为，平面BE BC B = ,BE BC ⊂BEC 所以平面，1B F ⊥BEC 因为，11//DD BB 所以与平面所成角即为与平面所成角，大小为，1DD BEC 1BB BEC 1B BE ∠所以，故D 正确， 11cos sin B BE BB F ∠=∠故选：ACD.12．已知点F 是抛物线的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且，直线AB 的斜率为24y x =AB CD ⊥k ，且，C ，A 两点在x 轴上方，则（ ）0k >A ． B ．四边形ABCD 面积最小值为643OC OD ⋅=-C ．D ．若，则直线CD 的斜率为1114AB CD +=16AF BF ⋅=【答案】ACD【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根F AB 之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长，同理可得的值，由均值不等式可得四边形||AB ||CD 的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．【详解】由抛物线的方程可得焦点，，由题意可得直线，的斜率存在且不为0， (1F 0)AB CD 设直线 的方程为：，设，，，，CD 1(0)x my m =+<1(C x 1)y 2(D x 2)y 联立，整理可得：， 214x my y x=+⎧⎨=⎩2440y my --=显然，，，0∆>124y y m +=124y y =-，， 21212()242x x m y y m +=++=+21212()116y y x x ==所以，所以A 正确；12121(4)3OC OD x x y y ⋅=+=+-=- 由于 , , 21244CD x x p m =++=+1AB CDk k =-所以将中的换成代入中得 , CD m 1m -CD 2144AB m =+，当且仅当时()()22222411114182823222ACBD m S AB CD m m m m +⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形…1m =-等号成立，所以四边形的最小面积为，所以B 不正确；32设,，,，3(A x 3)y 4(B x 4)y 若，即，||||16AF BF ⋅=343434(1)(1)116x x x x x x ++=+++=整理可得，4343()116x x x x +++=即，解得，即的斜率， 21411126m ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭213m =m =CD 10k m =<所以直线的斜率为D 正确；CD 可得弦长,， ()2||41CD m =+21||41AB m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，所以C 正确； 2221111||||4(1)4(1)4m AB CD m m +=+=++故选：ACD三、填空题13．已知空间向量，若，则实数的值为__________.()()2,1,3,4,2,a b x =-=- a c ⊥ x 【答案】 103【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为，所以，解得， a c ⊥ 2(4)(1)230a b x ⋅=⨯-+-⨯+= 103x =故答案为: . 10314．“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．【答案】40【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前项，相当于已知，求解1211215.5, 4.5a a ==.5678a a a a +++【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此成等差数列，设公差为，则所以{}n a d 11215.5, 4.5a a ==，则，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为15.511 4.5d +=1d =-567811.510.59.58.540a a a a +++=+++=故答案为：4015．已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值(5,2)A F 24y x =P ||||PA PF +为__．【答案】6【分析】作出图形，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可知，当点、P =1x -E A P 、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，即可求解.E AP =1x -||||PA PF +【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，24y x =(1,0)F =1x -过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，P =1x -E PF PE =，||||||||PA PF PA PE +=+当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，A P E AP =1x -取得最小值，且最小值为．||||PA PF +516+=故答案为：.6四、双空题16．我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等.已知反比例函数解析式为，其图象所表示的双曲线的焦距为______；已知二4y x=次函数解析式为，其图象所表示的抛物线焦点坐标为______.223y x x =--【答案】 81,34⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】结合反比例函数图象的对称轴求得焦距；根据图象变换的知识求得抛物线的焦点坐标.【详解】的图象关于直线对称，即是双曲线的实轴， 4y x =y x =y x =4y x=由解得或， 4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩1122x y =⎧⎨=⎩2222x y =-⎧⎨=-⎩设，所以双曲线的实轴长为()()2,2,2,2A B --=4y x =由于轴和轴是双曲线的渐近线，所以双曲线是等轴双曲线， x y 4y x =4y x =所以双曲线的虚轴长为 4y x =所以双曲线. 4y x=8=二次函数， 2212523248y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎭-⎝可看作的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到. 22y x =14258即，其焦点坐标为， 22y x =212x y =10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到， 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭142531,34⎛⎫- ⎪⎝⎭即抛物线的焦点坐标为. 223y x x =--1,34⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：； 81,34⎛⎫- ⎪⎝⎭五、解答题17．在等差数列中，已知 且．{}n a 12318a a a ++=45654a a a =++(1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．14n n n b a a +=⋅{}n b n n S 【答案】(1) 42n a n =-(2) 21n n S n =+ 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得{}n a d 13318a d +=131254a d +=,12a =4d =,；∴24(1)42n a n n =+-=-*n ∈N （2）解：，()()()()14411114242212122121n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪⋅-+-+-+⎝⎭ . 111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，P ABCD -ABCD PB ⊥ABCD 3AB BC ==3BP =，，． 13CF CP =13DE DA =(1)证明：平面；EF P ABP (2)求直线与平面所成角的正弦值．PC ADF 【答案】(1)证明见解析【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线EF ABP 面角即可.【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分BC BA BP B BC BA BP 别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,x y z B xyz -则，，，， ()0,0,0B ()3,0,0C ()2,3,0E ()2,0,1F所以，．()3,0,0BC = ()0,3,1EF =- 底面，底面，PB ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PB BC ∴⊥又，，BC BA ⊥ PB BA B = 且平面,,PB BA ⊂ABP 平面，BC ∴⊥ABP 所以是平面的一个法向量．()3,0,0BC = ABP 因为，()()3,0,00,3,10BC EF ⋅=⋅-= 所以．BC EF ⊥ 又平面，所以平面．EF ⊄ABP EF P ABP （2）因为，，，，，()0,3,0A ()3,0,0C ()3,3,0D ()0,0,3P ()2,0,1F 所以，，，()3,0,0AD = ()2,3,1AF =- ()3,0,3PC =- 设平面的法向量为，则ADF (),,n x y z = 由，解得，令， 30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 03x z y =⎧⎨=⎩1y =得平面的一个法向量为．ADF ()0,1,3n = 设直线与平面所成的角为，PC ADF θ则sin cos<,PCθ= 故：直线与平面． PC ADF 19．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．C ()3,0A ()2,1B 240x y +-=(1)求圆的方程；C(2)从点向圆C 作切线，求切线方程．()3,2【答案】(1)22(2)1x y -+=(2)或3x =3410x y --=【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 10123AB k -==--AB 又因为的中点为， AB 51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以线段的中垂线的直线方程为， AB 1522y x -=-即， 20x y --=联立 解得 ，所以圆心 240,20x y x y +-=⎧⎨--=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C 又因为半径等于,所以圆的方程为.1AC =C 22(2)1x y -+=（2）设圆的半径为，则，C r 1r =若直线的斜率不存在，因为直线过点，()3,2所以直线方程为，3x =此时圆心到直线的距离，满足题意;(2,0)C 3x =1d r ==若直线的斜率存在，设斜率为，k 则切线方程为，即，2(3)y k x -=-230kx y k -+-=因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， d 解得， 34k =所以切线方程为，即. 392044x y -+-=3410x y --=所以切线方程为或.3x =3410x y --=20．已知椭圆经过． 2222:1x y E a b +=1(0,1),2⎫⎪⎭(1)求椭圆的方程；E (2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．:10l x y --=E A B O OAB A【答案】(1) 2214x y +=(2) 45【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出，的值，可求出椭圆的方程；a b （2）直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标l x 1y ，，设直线与轴交于点，利用进行求解． 2y l x P 1212S OP y y =-【详解】（1）椭圆经过，将两点坐标代入椭圆方程中，得2222:1x y E a b +=1(0,1),2⎫⎪⎭22213114b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：，， 2a =1b =即椭圆的方程为； E 2214x y +=（2）记，，可设的方程为，11(,)A x y 22(,)B x y AB 1x y =+由，消去得，解得， 22441x y x y ⎧+=⎨=+⎩x 25230y y +-=1231,5y y =-=直线与轴交于点，则 . l x (1,0)P 12118412255S OP y y =-=⨯⨯=21．已知数列的前n 项和为，且. {}n a n S 2n n S n a +=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若恒成立.求实数的最大值.1n na S n n λ-≤-λ【答案】(1)；21n n a =-(2).23【分析】（1）根据给定条件，利用“当时，”探求数列相邻两项的关系，再构2n ≥1n n n S S a --={}n a 造数列求解作答.（2）由已知结合（1）的结论分离参数，再构造新数列，借助单调性求解作答.【详解】（1）依题意，，当时，，解得，2n n S a n =-1n =1121a a =-11a =当时，，，两式相减得，2n ≥2n n S a n =-1121n n S a n --=-+1221n n n a a a -=--因此，则， 121n n a a -=+()1121n n a a -+=+则是以为首项，2为公比的等比数列，有，显然满足上式， {}1n a +11a +12nn a +=11a =所以数列的通项公式为.{}n a 21n n a =-（2）由（1）可知，，因，整理得：， 1222n n n S a n n +=-=--1n na S n n λ-≤-2221n n λ≤--令，则， 2221n n n b =--222111(1)[(1)2]2(21)2121(21)(21)n n n n n n n n n n n b b ++++--⋅++-=-=----显然，当时，，即，因此当时，数列是递增的， 210b b -<2n ≥10n n b b +->1n n b b +>2n ≥{}n b 于是得，依题意，恒成立，即有， min 22()3n b b ==2221n n λ≤--23λ≤所以实数的最大值为.λ2322．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点.2:4C y x =O F l C ,A B (1)记和的面积分别为，若，求直线的方程；AFO A BFO A 12,S S 212S S =l (2)判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由.x M OAMB【答案】(1)；440x -=(2)不存在，理由见详解.【分析】（1）设直线方程为，，利用韦达定理及计算可得答l 1x ty =+()()1122,,,A x y B x y 212y y =-案；（2）假设存在点，使得四边形为矩形，根据抛物线的性质推出不成立，则可得M OAMB OA OB ⊥不存在点，使得四边形为矩形.M OAMB 【详解】（1）设直线方程为，l 1x ty =+()()1122,,,A x y B x y 联立，消去得， 241y x x ty ⎧=⎨=+⎩x 2440y ty --=得①，②，124y y t +=124y y =-又因为，则③212S S =212y y =-由①②③解得 t =即直线的方程为，即 l 1x y =+440x -=（2）假设存在点，使得四边形为矩形，M OAMB则互相平分 ,OM AB 所以线段的中点在上，则轴， AB x AB x ⊥此时 ()()1,2,1,2A B - 41OA OB k k ∴=-≠-则不成立.OA OB ⊥故在轴上不存在点，使得四边形为矩形 x M OAMB。