重庆巴蜀中学高2021届高二上期末数学试卷
2021-2022学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )A. B. C. D.2.，是椭圆的焦点，点P在椭圆上，点P到的距离为1，则P到的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63.已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y的值为( )A. B. C. 4 D.4.某工厂去年的电力消耗为m千瓦，由于设备更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 千瓦B. 千瓦C. 千瓦D. 千瓦5.在正方体中，，则( )A. B. C. D.6.等差数列中，为其前n项和，，则的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087.直线平分圆C：的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则( )A. 5B.C. 3D.8.如图，过拋物线的焦点F的直线与拋物线交于两点，与其准线l交于点点B位于之间且于点D且，则等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.在四面体中，，，，，则以下选项正确的有( )A. B.C. D.10.对于直线以下说法正确的有( )A.的充要条件是 B. 当时，C. 直线一定经过点D. 点到直线的距离的最大值为511.椭圆的离心率为，短轴长为，则( )A. 椭圆的方程为B. 椭圆与双曲线的焦点相同C. 椭圆过点D. 直线与椭圆恒有两个交点12.若数列满足，，的前n项和为，下列结论正确的( )A. B. C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点，，则线段MN的垂直平分线的一般式方程为__________.14.已知数列的前n项和，则该数列的首项__________，通项公式__________.15.双曲线的左顶点为A，虚轴的一个端点为B，右焦点F到直线AB的距离为，则双曲线E的离心率为__________.16.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，分别为的中点，连接，则点F到平面PCE的距离为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2021-2022学年重庆市高二上学期期末数学试题解析
2021-2022学年重庆市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线310x -=的倾斜角为（ ） A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°答案：C【解析】求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求解. 解：3310x y +-=，即y =∴直线的斜率为即直线的倾斜角为120°. 故选：C.2．直线1y kx =+与圆22250x y y ++-=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切答案：A由直线恒过定点()0,1A ，且定点()0,1A 在圆内，从而即可判断直线与圆相交. 解：因为直线1y kx =+恒过定点()0,1A ，而220121520++⨯-=-<， 所以定点()0,1A 在圆22250x y y ++-=内， 所以直线1y kx =+与圆22250x y y ++-=相交， 故选：A.3．设a 为实数，则曲线C ：22211yx a -=-不可能是（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．圆 D ．椭圆答案：A根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.解：对A ：因为曲线C 的方程中,x y 都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C 不可能是抛物线，故选项A 正确；对B ：当210a ->时，曲线C 为双曲线，故选项B 错误； 对C ：当211a -=-时，曲线C 为圆，故选项C 错误；对D ：当210a -<且211a -≠-时，曲线C 为椭圆，故选项D 错误；故选：A.4．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ） A ．4031B ．2031C ．1031D ．531答案：C根据等比数列求和公式求出首项即可得解.由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为1a ，公比为2q ，则()5112512a -=-，解得1531a =所以第二天织布的尺数为251023131a =⨯=. 故选：C5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）A 2B 2C 10D 6 答案：B建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，()()()()12,0,0,1,1,2,0,0,2,2,2,0A E D B所以()()11,1,2,2,2,2AE D B =-=-，11423612AE D B AE D B⋅-==⨯⋅ 所以异面直线AE 与1BD 2. 故选：B6．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与y轴交于点A 、与双曲线右支交于点B ，若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 6答案：B由双曲线的定义知，122BF BF a -=，又2ABF 为等边三角形，所以11122AF BF BA BF BF a =-=-=，由对称性有212AF AF a ==，所以124,2BF a BF a ==，在直角三角形1AOF 中，求出1cos AFO ∠，在三角形12BF F 中，由余弦定理求出1cos AFO ∠，从而即可求解. 解：由双曲线的定义知，122BF BF a -=，又2ABF 为等边三角形， 所以11122AF BF BA BF BF a =-=-=，由对称性有212AF AF a ==， 所以124,2BF a BF a ==，在直角三角形1AOF 中，111cos 2F O cAF O AF a ∠==， 在三角形12BF F 中，由余弦定理有()()()22222222121211212423cos 22424F F F B F Bc a a a c AF O F F F Ba cac+-+-+∠===⨯⨯，所以22324c a c a ac +=，解得223c a=，所以双曲线C 的离心率3=c e a 故选：B.7．已知空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ，则点D 到平面ABC 的距离为（ ） A 6 B 6C 6D ．0答案：C根据题意，求得平面ABC 的一个法向量(1,1,2)n =--，结合距离公式，即可求解. 由题意，空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ， 可得(3,1,1),(2,0,1),(1,1,3)AB AC AD ===，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则3020n AB x y z n AC x z ⎧⋅=++=⎨⋅=+=⎩，令1x =，可得1,2y z =-=-，所以(1,1,2)n =--，所以点D 到平面ABC 的距离为1166114n AD n⋅--==++. 故选：C.8．已知数列{}n a 的首项为1a ，且()*1111n n a a n N n +⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭，若4n a a ≥，则1a 的取值范围是（ ） A ．925,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4981,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]6,10D ．25,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：C由题意，得到()11n n n a na n ++-=，利用叠加法求得112n a n a n-=+，结合由4n a a ≥，转化为1(4)42a n n n-≤-恒成立，分13n ≤≤，4n =和5n ≥三种情况讨论，即可求解. 因为()*1111n n a a n N n +⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭，可得111n n n a a n ++-=，所以()11n n n a na n ++-=， 所以()21324121,322,4333,,11n n a a a a a a na n a n --=-=-=--=-，各式相加可得21(1)123(1)22n n n n nna a n ---=++++-==，所以112n a n a n -=+， 由4n a a ≥，可得1113224a a n n -+≥+恒成立，整理得1(4)42a n n n-≤-恒成立， 当13n ≤≤时，40n -<，不等式可化为12a n ≥恒成立，所以1max (2)6a n ≥=； 当4n =时，40n -=，不等式可化为00≤恒成立；当5n ≥时，40n ->，不等式可化为12a n ≤恒成立，所以1min (2)10a n ≥=， 综上可得，实数1a 的取值范围是[]6,10. 故选：C. 二、多选题9．若向量{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．a b +，a b -，2a b + B ．a b -，a c +，b c + C ．a b -，c ，a b c ++ D ．2a b -，b c +，a c b +-答案：ABD根据空间向量的基本定理和空间向量的基底，依次判断每个选项即可.解：对于A 选项，若()()2a b a b a b λμ+=++-，则12λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得3212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故共面；对于B 选项，若()()b c a b a c λμ+=-++，则011λμλμ+=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=⎩，故共面；对于C 选项，若()a b c a b c λμ++=-+，则111λλμ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，无解，故不共面；对于D 选项，若()()2a c b b c a b λμ+-=-++，则1211λλμμ=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，解得11λμ=⎧⎨=⎩，故共面；故选：ABD10．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，设n n n c a b =+，n n n d a b =，则关于数列{}n c 和{}n d ，下列说法中正确的是（ ） A ．数列{}n c 一定是等差数列 B ．数列{}n d 一定不是等差数列C ．给定1c ，2c 可求出数列{}n c 的通项公式D ．给定1d ，2d 可求出数列{}n d 的通项公式 答案：ABC根据等差数列性质可以判定AC ，结合通项公式特征判定BD.数列{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为12,m m ，且均不为0， 11112n n n n n n c c a a b b m m +++-=-+-=+，所以数列{}n c 一定是等差数列，给定1c ，2c 可求出数列{}n c 的通项公式，A ，C 选项正确； 设1122,n n a m n t b m n t =+=+，120m m ≠()()()2112212122112n d m n t m n t m m n mt m t n t t =++=+++一定是一个关于n 的二次函数，所以数列{}n d 一定不是等差数列，所以B 选项正确；根据二次函数性质，仅仅给定1d ，2d 不能求出数列{}n d 的通项公式，所以D 选项错误. 故选：ABC11．设圆O ：221x y +=与y 轴的正半轴交于点A ，过点A 作圆О的切线为l ，对于切线l 上的点B 和圆О上的点C ，下列命题中正确的是（ ）A ．若30ABO ∠=︒，则点B的坐标为)B ．若2OB =，则030OBC ︒≤∠≤︒C ．若30OBC ∠=︒，则2OB =D ．若60ABC ∠=︒，则2OB ≤ 答案：BD对A ：在直角三角形OAB 中即可求解；对B ：当BC 与圆О相切时，OBC ∠最大；当B 、O 、C 三点共线时，OBC ∠最小，分两种情况讨论即可；对C 、D ：当BC 与圆О相切时，OBC ∠最大，即ABC ∠最大，此时2ABC OBC ∠=∠，分析点B 在点()3,1-和()3,1之间变动即可求解.解：对A ：若30ABO ∠=︒，在直角三角形OAB 中，由1OA =可得3AB =，所以点B 的坐标为()3,1或()3,1-，故选项A 错误；对B ：当BC 与圆О相切时，OBC ∠最大，此时在直角三角形OCB 中，因为2,1OB OC ==，所以易得30OBC ∠=；当B 、O 、C 三点共线时，OBC ∠最小，此时0OBC ∠=.综上，030OBC ︒≤∠≤︒，故选项B 正确；对C 、D ：当BC 与圆О相切时，OBC ∠最大，即ABC ∠最大，此时2ABC OBC ∠=∠，当2OB =时，60ABC ∠=，30OBC ∠=.当点B 在点()3,1和)3,1之间变动时，60ABC ∠≥，30OBC ∠≥，所以若60ABC ∠=︒，即30OBC ∠=︒，则2OB ≤.故选项C 错误，选项D 正确. 故选项：BD.12．已知曲线C 的方程为214x x y +=，点1,0A ，则（ ）A ．曲线C 上的点到A 点的最近距离为1B ．以A 为圆心、1为半径的圆与曲线C 有三个公共点 C ．存在无数条过点A 的直线与曲线C 有唯一公共点D ．存在过点A 的直线与曲线C 有四个公共点 答案：BC原方程等价于22221,041,04x y x x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=<⎪⎩，然后对各选项逐一分析判断即可得答案. 解：原方程2||14x x y +=等价于22221,041,04x y x x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=<⎪⎩， 对A ：由题意，当(,)P x y 为曲线C 在第一象限上的点时才有P 点到A 点的最近距离，此时22223||(1)22(02)4PA x y x x x =-+=-+，所以2min 2||3PA =，min ||PA =故选项A 错误； 对B1<，且椭圆右顶点、上顶点到点A 的距离分别为1三个点到A 的距离为1，故选项B 正确；对C ：由于221(0)4xy x -=<与(1)y k x =-无交点时，联立221(0)4(1)x y x y k x ⎧-=<⎪⎨⎪=-⎩， 有222212104k x k x k ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，由∆<0可得k <<，此时直线只与椭圆部分有一个交点，故选项C 正确；对D ：双曲线的渐近线斜率为12±，当过A 点的直线斜率1k或1k ≤-时，直线与曲线C 的椭圆部分有两个交点，与双曲线部分无交点；当11k -≤≤时，直线与曲线C 的椭圆部分有一个交点，与双曲线部分最多两个交点，所以与曲线C 至多有三个公共点，故选项D 错误. 故选：BC. 三、填空题13．已知直线210mx y +-=与()120x m y +++=平行，则实数m 的值为_____________. 答案：2-或1根据平行线的性质进行求解即可.因为直线210mx y +-=与()120x m y +++=平行，所以有：(1)21212m m m m +=⨯⎧⎪⇒=-⎨≠-⎪⎩或1m =， 故答案为：2-或114．写出一个数列{}n a 的通项公式n a =____________，使它同时满足下列条件：①1n n a a +<，②n n S a ≤，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.（写出满足条件的一个答案即可）答案：1n ⎛⎫- ⎪⎝⎭(答案合理即可)当1n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时满足，利用作差比较法即可证明.解：当1n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时满足条件①②，证明如下：因为()1111110111n n a a n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=---=-=> ⎪ ⎪⎭-+++⎝⎝⎭，所以1n n a a +>； 当1n =时，11110S a a a -=-=； 当2n ≥时，1211110121n n n S a a a a n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝-=++=⎭+； 综上，n n S a ≤.故答案为：1n ⎛⎫- ⎪⎝⎭(答案合理即可).15．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()1,2,3P -在x ，y ，z 轴上的射影分别为A ，B ，C ，则四面体PABC 的体积为______________. 答案：2将物体放入长方体中，切割处理求得体积.如图所示：四面体PABC 可以看成以1,2,3为棱长的长方体切去四个全等的C AOB -三棱锥，所以四面体PABC 的体积为111234123232⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.故答案为：216．已知离心率为1e 的椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和离心率为2e 的双曲线2C ：()2222222210,0x y a b a b -=>>有公共的焦点，其中1F 为左焦点，P 是1C 与2C 在第一象限的公共点.线段1PF 的垂直平分线经过坐标原点，则22124e e +的最小值为_____________.答案：924.5设2F 为右焦点，半焦距为c ，12,PF x PF y ==，由题意，12PF PF ⊥，则222124,2,2x y c x y a x y a +=+=-=，所以()()222122224a a c +=⋅，从而有2212112e e +=，最后利用均值不等式即可求解.解：设2F 为右焦点，半焦距为c ，12,PF x PF y ==，由题意，12PF PF ⊥，则222124,2,2x y c x y a x y a +=+=-=，所以()()222122224a a c +=⋅，即2212112e e +=，故()2222121122222212212441145529e e e e e e e e e e ⎛⎫++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当21e ==等，所以2212942e e +， 故答案为：92.四、解答题17．已知数列{}n a 满足13n n a a +-=，且1a ，5a ，8a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值及此时n 的值. 答案：(1)351n a n =- (2)408-；16n =或17（1）由题意得到数列{}n a 为公差为3的等差数列，结合1a ，5a ，8a 成等比数列，列出方程求得1a ，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由351n a n =-，得到116n ≤≤时，0n a <，当17n =时，0n a =，当18n ≥时，0n a >，结合等差数列的求和公式，即可求解. (1)解：由题意，数列{}n a 满足13n n a a +-=，所以数列{}n a 为公差为3的等差数列，又由1a ，5a ，8a 成等比数列，可得2518a a a =，即2111(12)(21)a a a +=+，解得148a =-，所以数列{}n a 的通项公式48(1)3351n a n n =-+-⨯=-. (2)解：由数列{}n a 的通项公式351n a n =-， 令0n a ≤，即3510n -≤，解得17n ≤， 所以当116,n n N +≤≤∈时，0n a <； 当17n =时，0n a =； 当18,n n N +≥∈时，0n a >，所以当16n =或17时，n S 取得最小值，最小值为161717(48)4082S S ⨯-===-. 18．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点是圆2220x y x +-=与x 轴的一个交点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若过点()8,0的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，О为坐标原点，证明：OA OB ⊥.答案：(1)28y x = (2)证明见解析（1）由圆与x 轴的交点分别为(0,0),(2,0)，可得抛物线的焦点为(2,0)，从而即可求解； （2）设直线为8x my =+，联立抛物线方程，由韦达定理及1212OA OB x x y y ⋅=+，求出0OA OB ⋅=即可得证.(1)解：由题意知，圆与x 轴的交点分别为(0,0),(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，所以22p=， 所以抛物线方程为28y x =； (2)证明：设直线为8x my =+，联立方程288x my y x =+⎧⎨=⎩，有28640y my --=，所以12128,64y y m y y +==-，所以()212121212064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，所以OA OB ⊥.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且()*1211,n n S S n n N -=+>∈.(1)证明：数列{}1n S +为等比数列；(2)若226n n n b S a =-，是否存在正整数k ，使得n k b b ≥对任意*n N ∈恒成立?若存在、求k的值；若不存在，说明理由. 答案：(1)证明见解析 (2)3k =（1）由已知条件有()1121n n S S -+=+，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出n S 及n a ，进而可得n b ，利用二次函数的性质即可求解n b 的最小值，从而可得答案. (1)证明：因为121n n S S -=+，所以()1121n n S S -+=+，又因为112S +=，所以1121n n S S -+=+，所以数列{}1n S +是首项为2公比为2的等比数列； (2)解：由（1）知，11222n n n S -+=⋅=，所以21n n S =-，所以()1122n n n n a S S n --=-=≥，检验1n =时也满足上式，所以()1*2n n a n -=∈N ,所以41521n n n b =-⋅+，令2n t =，所以2151,{2,4,8,16,}n b t t t =-+∈⋯，故当8t =即3n =时，n b 取得最小值， 所以3k =.20．已知圆C 经过点()2,3A -和()0,1B ，且圆心C 在直线10x y ++=上. (1)求圆C 的方程;(2)过原点的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN △l 的方程. 答案：(1)22(2)(1)4x y ++-=(2)直线l 的方程为0y =或43y x =-或(2y x =-±（1）由弦AB 的中垂线与直线10x y ++=的交点为圆心即可求解； （2）由1sin 2CMNSCM CN MCN =⋅⋅∠=3MCN π∠=或23MCN π∠=，进而有d =1d =，显然直线斜率存在，设直线:l y kx =，由点到直线的距离公式求出k 的值即可得答案.(1)解：设弦AB 的中点为D ，则有(1,2)D -， 因为31120AB k -==---，所以直线:1AB y x =-+， 所以直线AB 的中垂线为1:3l y x =+，则圆心C 在直线1l 上，且在直线10x y ++=上，联立方程310y x x y =+⎧⎨++=⎩解得圆心(2,1)C -， 则圆的半径为()()2220112r BC ==--+-=，所以圆方程为22(2)(1)4x y ++-=； (2)解：设圆心到直线l 的距离为d ，因为1sin 32CMNS CM CN MCN =⋅⋅∠=， 所以3MCN π∠=或23MCN π∠=，所以3d =或1d =，显然直线斜率存在，所以设直线:l y kx =，则2|21|31k d k --==+或2|21|11k d k --==+， 解得26k =-±或0k =或43k =-，故直线l 的方程为0y =或43y x =-或(26)y x =-±.21．如图，直角梯形AEFB 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，AE BF ∥，AE AB ⊥，2AB AE ==，1BF =，120ABC ∠=︒，M 为AD 中点.(1)证明：直线BM ∥面DEF ； (2)求二面角M EC F --的余弦值. 答案：(1)证明见解析 231（1）由平面AEFB ⊥平面ABCD ，可得AE ⊥平面ABCD ，连接BD ，可得BM AD ⊥，以M为原点，,MB MD 为,x y 轴，竖直向上为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算BM 与平面DEF 的法向量()1111,,n x y z =的数量积为0即可得证；（2）分别计算出平面MEC 和平面ECF 的法向量()()22223333,,,,,n x y z n x y z ==，然后利用向量夹角公式即可求解. (1)证明：因为平面AEFB ⊥平面ABCD ，平面AEFB ⋂平面ABCD AB =，且AE AB ⊥， 所以AE ⊥平面ABCD ，连接BD ，则ABD △为等边三角形，所以BM AD ⊥，以M 为原点，,MB MD 为,x y 轴，竖直向上为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,1,0),(3,0,0),(3,2,0),(0,1,0),(0,1,2),(3,0,1)A B C D E F --，设()1111,,n x y z =为平面DEF 的法向量，因为(0,2,2),(3,1,1)DE DF =-=-，则有1100DE n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 取1(0,1,1)n =，又因为(3,0,0)BM =-，所以10BM n ⋅=， 因为BM ⊄平面DEF ，所以//BM 平面DEF ；(2)解：分别设()()22223333,,,,,n x y z n x y z ==为平面MEC 和平面ECF 的法向量， 因为(0,1,2),(3,2,0)ME MC =-=，则有2200ME n MC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取2(4,23,3)n =-，因为(3,3,2),(0,2,1)EC CF =-=-，则有3300EC n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取33,23)n =，所以23232231cos 31n n n n θ⋅===⋅M EC F --为锐二面角，所以二面角M EC F --231. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点)6,0A ，()6,0B ，过点A 的动直线1l 与过点B 的动直线2l 的交点为P ，1l ，2l 的斜率均存在且乘积为12-，设动点Р的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)若点M 在曲线C 上，过点M 且垂直于OM 的直线交C 于另一点N ，点M 关于原点O 的对称点为Q .直线NQ 交x 轴于点T ，求QT TN ⋅的最大值.答案：(1)221(63x y x +=≠（1）设P点坐标为(,)(x y x ≠，根据两直线的斜率之积为12-得到方程，整理即可；（2）设()00,M x y ，()00,Q x y --，()11N x y ,，根据设M 、N 在椭圆上，则12NQ MN k k ⋅=-，再由1MQ MN k k ⋅=-，则12NQ MQ k k =，即可表示出直线NQ 、MN 的方程，联立两直线方程，即可得到N 点的纵坐标，再根据弦长公式得到()()22002024734Q y y y T TN-⋅=-，令204y t -=，则1163273Q t t T TN ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：设P点坐标为(,)(x y x ≠，定点)0A，()B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为12-，12-，∴221(63x y x +=≠ (2)解：设()00,M x y ，()00,Q x y --，()11N x y ,，则2200163x y +=，2211163x y +=，所以220122101010222210101010332212NQ MNx x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⋅=⋅===--+-- 又1MQ MN k k ⋅=-，所以12NQ MQ k k =，又00MQ y k x =即002NQ y k x =，则直线NQ ：()00002yy y x x x +=+，直线MN ：()0000x y y x x y -=--，由()()000000002x y y x x y y y y x x x ⎧-=--⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，解得3020123y y y =-，即3020123N y y y =-，所以()()22224000000222000247412334N y y y Q x y y y T TN y y -+⋅==⋅=--令204y t -=，则()1,4t ∈，所以()()74411632733Q t t t t T T tN --⎛⎫⋅==-- ⎪⎝⎭ 因为167t t +≥=，当且仅当167t t =即()1,4t 时取等号，所以QT TN ⋅。
重庆市2021-2022学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2021年秋高二（上）期末联合检测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线3x+3y−1=0的倾斜角为（）A. 60°B. 30°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求解.【详解】解：∵3x+3y−1=0，即y=−3x+3，3∴直线的斜率为−3，即直线的倾斜角为120°.故选：C.2. 直线y=kx+1与圆x2+y2+2y−5=0的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切【答案】A【解析】【分析】由直线恒过定点A(0,1)，且定点A(0,1)在圆内，从而即可判断直线与圆相交.【详解】解：因为直线y=kx+1恒过定点A(0,1)，而02+12+2×1−5=−2<0，所以定点A(0,1)在圆x2+y2+2y−5=0内，所以直线y=kx+1与圆x2+y2+2y−5=0相交，故选：A.3. 设a为实数，则曲线C：x2−y21−a2=1不可能是（）A. 抛物线B. 双曲线C. 圆D. 椭圆【答案】A【解析】【分析】根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.【详解】解：对A：因为曲线C的方程中x,y都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，故选项A正确；对B：当1−a2>0时，曲线C为双曲线，故选项B错误；对C：当1−a2=−1时，曲线C为圆，故选项C错误；对D：当1−a2<0且1−a2≠−1时，曲线C为椭圆，故选项D错误；故选：A.4. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（）A. 4031B. 2031C. 1031D. 531【答案】C【解析】【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为a1，公比为q=2，则a1(1−25)1−2=5，解得a1=531所以第二天织布的尺数为a2=531×2=1031.故选：C5. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与B D1所成角的余弦值为（）A.24B.23C.104D.63【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以D DA ,DC ,DD 1为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，A (2,0,0),E (1,1,2),D 1(0,0,2),B (2,2,0)所以AE =(−1,1,2),D 1B =(2,2,−2)，|AE D 1B |AE |⋅|D B ||=|−46×12|=23所以异面直线AE 与B D 1所成角的余弦值为23.故选：B6. 双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 与y 轴交于点A 、与双曲线右支交于点B ，若△AB F 2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A. 2 B. 3C. 2D. 6【答案】B 【解析】【分析】由双曲线的定义知，|BF 1|−|BF 2|=2a ，又△AB F 2为等边三角形，所以|AF 1|=|BF 1|−|BA |=|BF 1|−|BF 2|=2a ，由对称性有|AF 2|=|AF 1|=2a ，所以|BF 1|=4a,|BF 2|=2a ，在直角三角形AO F 1中，求出cos ∠A F 1O ，在三角形B F 1F 2中，由余弦定理求出cos ∠A F 1O ，从而即可求解.【详解】解：由双曲线的定义知，|BF 1|−|BF 2|=2a ，又△AB F 2为等边三角形，所以|AF 1|=|BF 1|−|BA |=|BF 1|−|BF 2|=2a ，由对称性有|AF 2|=|AF 1|=2a ，所以|BF 1|=4a,|BF 2|=2a ，在直角三角形AO F 1中，cos ∠A F 1O =|F 1O ||AF 1|=c2a ，在三角形B F 1F 2中，由余弦定理有cos ∠A F 1O =|F 1F 2|2+|F 1B |2−|F 2B |22|F 1F 2||F 1B |=(2c )2+(4a )2−(2a )22×4a ×2c=3a 2+c 24ac，所以c2a =3a 2+c 24ac，解得c 2a 2=3，所以双曲线C 的离心率e =ca =3，故选：B.7. 已知空间中四点A (−1,1,0)，B (2,2,1)，C (1,1,1)，D (0,2,3)，则点D 到平面ABC 的距离为（ ）A 6B.63C.66D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得平面ABC 的一个法向量n =(1,−1,−2)，结合距离公式，即可求解.详解】由题意，空间中四点A (−1,1,0)，B (2,2,1)，C (1,1,1)，D (0,2,3)，可得AB =(3,1,1),AC =(2,0,1),AD =(1,1,3)，设平面ABC 的法向量为n =(x,y,z)⋅AB =3x +y +z =0n ⋅AC =2x +z =0，令x =1，可得y =−1,z =−2，所以n =(1,−1,−2)，所以点D 到平面ABC 的距离为|n ⋅AD ||n |=|1−1−6|1+1+4=66.故选：C..【8. 已知数列{a n}的首项为a1，且1n−1−a n=1(n∈N∗)，若a n≥a4，则a1的取值范围是（）A. B.C. [6,10]D.【答案】C【解析】【分析】由题意，得到(n+1)a n−1−n a n=n，利用叠加法求得a n=n−12+a1n，结合由a n≥a4，转化为a1(n−4)2n≤n−4恒成立，分1≤n≤3，n=4和n≥5三种情况讨论，即可求解.【详解】因为1+n−1−a n=1(n∈N∗)，可得n+1na n−1−a n=1，所以(n+1)a n−1−n a n=n，所以2a n−1−a n=1,3a n−1−2a n=2,4a n−1−3a n=3,⋯,n a n−1−(n−1)a n=n−1，各式相加可得n a n−a1=1+2+3+⋯+(n−1)=n(n−1)2=n2−n2，所以a n=n−12+a1n，由a n≥a4，可得n−12+a1n≥32+a14恒成立，整理得a1(n−4)2n≤n−4恒成立，当1≤n≤3时，n−4<0，不等式可化为a1≥2n恒成立，所以a1≥(2n)max=6；当n=4时，n−4=0，不等式可化为0≤0恒成立；当n≥5时，n−4>0，不等式可化为a1≤2n恒成立，所以a1≥(2n)min=10，综上可得，实数a1的取值范围是[6,10].故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若向量{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A. a+b，a−b，a+2bB. a−b，a+c，b+cC. a−b，c，a+b+cD. a−2b，b+c，a+c−b【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量的基本定理和空间向量的基底，依次判断每个选项即可.【详解】解：对于A选项，若a+2b=λ(a+b)+μ(a−b)，则λ+μ=1λ−μ=2，解得λ=32μ=−12，故共面；对于B选项，若b+c=λ(a−b)+μ(a+c)，则λ+μ=0−λ=1μ=1，解得λ=−1μ=1，故共面；对于C选项，若a+b+c=λ(a−b)+μc，则λ=1−λ=1μ=1，无解，故不共面；对于D选项，若a+c−b=λ(a−2b)+μ(b+c)，则λ=1−2λ+μ=−1μ=1，解得λ=1μ=1，故共面；故选：ABD10. 已知数列{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，设c n=a n+b n，d n=a n b n，则关于数列{c n}和{d n}，下列说法中正确的是（）A. 数列{c n}一定是等差数列B. 数列{d n}一定不等差数列C. 给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式D. 给定d1，d2可求出数列{d n}的通项公式【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列性质可以判定AC，结合通项公式特征判定BD.【详解】数列{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为m1,m2，且均不为0，c n+1−c n=a n+1−a n+b n+1−b n=m1+m2，所以数列{c n}一定是等差数列，给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式，A，C选项正确；设a n=m1n+t1,b n=m2n+t2，m1m2≠0d n=(m1n+t1)(m2n+t2)=m1m2n2+(m1t2+m2t1)n+t1t2一定是一个关于n的二次函数，所以数列{d n}一定不是等差数列，所以B选项正确；根据二次函数性质，仅仅给定d1，d2不能求出数列{d n}的通项公式，所以D选项错误.故选：ABC11. 设圆O：x2+y2=1与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆О的切线为l，对于切线l上的点B和圆О上的点C，下列命题中正确的是（）A. 若∠ABO=30°，则点B ,1B. 若|OB|=2，则0°≤∠OBC≤30°C. 若∠OBC=30°，则|OB|=2D. 若∠ABC=60°，则|OB|≤2【答案】BD【解析】【分析】对A：在直角三角形OAB中即可求解；对B：当BC与圆О相切时，∠OBC最大；当B、O、C三点是共线时，∠OBC 最小，分两种情况讨论即可；对C 、D ：当BC 与圆О相切时，∠OBC 最大，即∠ABC 最大，此时∠ABC =2∠OBC ，分析点B 在点−3,1,1之间变动即可求解.【详解】解：对A ：若∠ABO =30°，在直角三角形OAB 中，由|OA |=1可得|AB |=3，所以点B ,1或−3,1，故选项A 错误；对B ：当BC 与圆О相切时，∠OBC 最大，此时在直角三角形OCB 中，因为|OB |=2,|OC |=1，所以易得∠OBC =30∘；当B 、O 、C 三点共线时，∠OBC 最小，此时∠OBC =0∘.综上，0°≤∠OBC ≤30°，故选项B 正确；对C 、D ：当BC 与圆О相切时，∠OBC 最大，即∠ABC 最大，此时∠ABC =2∠OBC ，当|OB |=2时，∠ABC =60∘，∠OBC =30∘.当点B 在点−3,1,1之间变动时，∠ABC ≥60∘，∠OBC ≥30∘，所以若∠ABC =60°，即∠OBC =30°，则|OB |≤2.故选项C 错误，选项D 正确.故选项：BD.12. 已知曲线C 的方程为x |x |4+y 2=1，点A (1,0)，则（ ）A. 曲线C 上的点到A 点的最近距离为1B. 以A 为圆心、1为半径的圆与曲线C 有三个公共点C. 存在无数条过点A 的直线与曲线C 有唯一公共点D. 存在过点A 的直线与曲线C 有四个公共点【答案】BC 【解析】+y 2=1,x⩾0x 24=1,x <0，然后对各选项逐一分析判断即可得答案.【详解】解：原方程x|x|4+y 2=1y 2=1,x⩾0x 24=1,x <0，对A ：由题意，当P(x,y)为曲线C 在第一象限上的点时才有P 点到A 点的最近距离，此时|PA |2=(x−1)2+y 2=34x 2−2x +2(0⩽x⩽2)，所以|PA |2min =23，|PA |min =63，故选项A 错误；对B ：因为63<1，且椭圆右顶点、上顶点到点A 的距离分别为1、2，故椭圆上恰有三个点到A 的距离为1，故选项B 正确；对C ：由于y 2−x 24=1(x <0)与y =k(x−1)无交点时，联立y 2−x 24=1(x <0)y =k(x−1)，有k 22−2k 2x +k 2−1=0，由Δ<0可得−55<k <55，此时直线只与椭圆有一个交点，故选项C 正确；对D ：由于过A 点的直线与椭圆只有一个交点，与双曲线最多两个交点，所以与曲线C 至多有三个公共点，故选项D 错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线mx +2y−1=0与x +(1+m )y +2=0平行，则实数m 的值为_____________.【答案】−2或1【解析】【分析】根据平行线的性质进行求解即可.【详解】因为直线mx +2y−1=0与x +(1+m )y +2=0平行，所以有：m(m +1)=2×1m ≠−12⇒m =−2或m =1，故答案为：−2或114. 写出一个数列{a n }的通项公式a n =____________，使它同时满足下列条件：①a n <a n +1，②S n ≤a n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和.（写出满足条件的一个答案即可）【答案】−答案合理即可)【解析】【分析】当a n =−.【详解】解：当a n =−因为a n +1−a n =−=1n −1n +1=1n (n +1)>0，所以a n +1>a n ；当n =1时，S 1−a 1=a 1−a 1=0；当n ≥2时，S n −a n =a 1+a 2+⋯+a n−1=−+−+⋯+−<0；综上，S n ≤a n .故答案为：−答案合理即可).15. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点P (−1,2,3)在x ，y ，z 轴上的射影分别为A ，B ，C ，则四面体PABC 的体积为______________.【答案】2【解析】【分析】将物体放入长方体中，切割处理求得体积.【详解】如图所示：四面体PABC 可以看成以1,2,3为棱长的长方体切去四个全等的C−AOB 三棱锥，所以四面体PABC 的体积为1×2×3−4×13×12×1×2×3=2.故答案为：216. 已知离心率为e 1的椭圆C 1：x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)和离心率为e 2的双曲线C 2：x 2a 22−y 2b22=1(a 2>0,b 2>0)有公共的焦点，其中F 1为左焦点，P 是C 1与C 2在第一象限的公共点.线段P F 1的垂直平分线经过坐标原点，则4e 12+e 22的最小值为_____________.【答案】92##4.5【解析】【分析】设F 2为右焦点，半焦距为c ，P F 1=x,P F 2=y ，由题意，P F 1⊥P F 2，则x 2+y 2=4c 2,x +y =2a 1,x−y =2a 2，所以(2a 1)2+(2a 2)2=2⋅4c 2，从而有1e 21+1e 22=2，最后利用均值不等式即可求解.【详解】解：设F 2为右焦点，半焦距为c ，P F 1=x,P F 2=y ，由题意，P F 1⊥P F 2，则x 2+y 2=4c 2,x +y =2a 1,x−y =2a 2，所以(2a 1)2+(2a 2)2=2⋅4c 2，即1e 21+1e 22=2，故(4e 21+e 22+=5+4e 21e 22+e 22e 21⩾5+24e 21e 22⋅e 22e 21=9，当且仅当e 2=2e 1=62时取等，所以4e 21+e 22⩾92，故答案为：92.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{a n}满足a n+1−a n=3，且a1，a5，a8成等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式;（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值及此时n的值.【答案】（1）a n=3n−51（2）−408；n=16或17【解析】【分析】（1）由题意得到数列{a n}为公差为3的等差数列，结合a1，a5，a8成等比数列，列出方程求得a1，即可得到数列{a n}的通项公式；（2）由a n=3n−51，得到1≤n≤16时，a n<0，当n=17时，a n=0，当n≥18时，a n>0，结合等差数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，数列{a n}满足a n+1−a n=3，所以数列{a n}为公差为3的等差数列，又由a1，a5，a8成等比数列，可得a25=a1a8，即(a1+12)2=a1(a1+21)，解得a1=−48，所以数列{a n}的通项公式a n=−48+(n−1)×3=3n−51.【小问2详解】解：由数列{a n}的通项公式a n=3n−51，令a n≤0，即3n−51≤0，解得n≤17，所以当1≤n≤16,n∈N+时，a n<0；当n=17时，a n=0；当n≥18,n∈N+时，a n>0，=−408.所以当n=16或17时，S n取得最小值，最小值为S16=S17=17×(−48)218. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是圆x2+y2−2x=0与x轴的一个交点.的（1）求抛物线C方程;（2）若过点(8,0)的直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，О为坐标原点，证明：OA⊥OB.【答案】（1）y2=8x（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由圆与x轴的交点分别为(0,0),(2,0)，可得抛物线的焦点为(2,0)，从而即可求解；（2）设直线为x=my+8，联立抛物线方程，由韦达定理及OA⋅OB=x1x2+y1y2，求出OA⋅OB=0即可得证.【小问1详解】解：由题意知，圆与x轴的交点分别为(0,0),(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，所以p2=2，所以抛物线方程为y2=8x；【小问2详解】证明：设直线为x=my+8，联立方程x=my+8y2=8x，有y2−8my−64=0，所以y1+y2=8m,y1y2=−64，所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=(y1y2)264+y1y2=0，所以OA⊥OB.19. 设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S n=2S n−1+1(n>1,n∈N∗).（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；（2）若b n=S2n−26a n，是否存在正整数k，使得b n≥b k对任意n∈N∗恒成立?若存在、求k的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）k=3【解析】【分析】（1）由已知条件有S n+1=2(S n−1+1)，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出S n及a n，进而可得b n，利用二次函数的性质即可求解b n的最小值，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为S n=2S n−1+1，所以S n+1=2(S n−1+1)，又因为S1+1=2，所以S n+1S n−1+1=2，所以数列{S n+1}是首项为2公比为2的等比数列；【小问2详解】解：由（1）知，S n+1=2⋅2n−1=2n，所以S n=2n−1，所以a n=S n−S n−1=2n−1(n≥2)，检验n=1时也满足上式，所以a n=2n−1(n∈N∗),所以b n=4n−15⋅2n+1，令t=2n，所以b n=t2−15t+1,t∈{2,4,8,16,…}，故当t=8即n=3时，b n取得最小值，所以k=3.20. 已知圆C经过点A(−2,3)和B(0,1)，且圆心C在直线x+y+1=0上.（1）求圆C的方程;（2）过原点直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN的面积为3，求直线l的方程.的【答案】（1）(x +2)2+(y−1)2=4（2）直线l 的方程为y =0或y =−43x 或y =(−2±6)x 【解析】【分析】（1）由弦AB 的中垂线与直线x +y +1=0的交点为圆心即可求解；（2）由S △CMN =12CM ⋅CN ⋅sin ∠MCN =3，可得∠MCN =π3或∠MCN =2π3，进而有d =3或d =1，显然直线斜率存在，设直线l:y =kx ，由点到直线的距离公式求出k 的值即可得答案.【小问1详解】解：设弦AB 的中点为D ，则有D(−1,2)，因为k AB =3−1−2−0=−1，所以直线AB:y =−x +1，所以直线AB 的中垂线为l 1:y =x +3，则圆心C 在直线l 1上，且在直线x +y +1=0上，联立方程y =x +3x +y +1=0解得圆心C(−2,1)， 则圆的半径为r =|BC |=(−2−0)2+(1−1)2=2， 所以圆方程为(x +2)2+(y−1)2=4；【小问2详解】解：设圆心到直线l 的距离为d ，因为S △CMN =12CM ⋅CN ⋅sin ∠MCN =3，所以∠MCN =π3或∠MCN =2π3，所以d =3或d =1，显然直线斜率存在，所以设直线l:y =kx ，则d =|−2k−1|k 2+1=3或d =|−2k−1|k 2+1=1，解得k =−2±6或k =0或k =−43，故直线l 的方程为y =0或y =−43x 或y =(−2±6)x .21. 如图，直角梯形AEFB 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，AE ∥BF ，AE ⊥AB ，AB =AE =2，BF =1，∠ABC =120°，M 为AD 中点.（1）证明：直线BM ∥面DEF ；（2）求二面角M−EC−F 的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）23131【解析】【分析】（1）由平面AEFB ⊥平面ABCD ，可得AE ⊥平面ABCD ，连接BD ，可得BM ⊥AD ，以M 为原点，MB,MD 为x,y 轴，竖直向上为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算BM 与平面DEF 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)的数量积为0即可得证；（2）分别计算出平面MEC 和平面ECF 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),n 3=(x 3,y 3,z 3)，然后利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：因为平面AEFB ⊥平面ABCD ，平面AEFB ∩平面ABCD =AB ，且AE ⊥AB ，所以AE ⊥平面ABCD ，连接BD ，则△ABD 为等边三角形，所以BM ⊥AD ，以M 为原点，MB,MD 为x,y 轴，竖直向上为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,−1,0),B(3,0,0),C(3,2,0),D(0,1,0),E(0,−1,2),F(3,0,1)，设n 1=(x 1,y 1,z 1)为平面DEF 的法向量，因为DE =(0,−2,2),DF =(3,−1,1)，则有DE ⋅n 1=0DF ⋅n =0， 取n 1=(0,1,1)，又因为BM =(−3,0,0)，所以BM ⋅n 1=0，因为BM⊄平面DEF ，所以BM //平面DEF ；【小问2详解】解：分别设n 2=(x 2,y 2,z 2),n 3=(x 3,y 3,z 3)为平面MEC 和平面ECF 的法向量，因为ME =(0,−1,2),MC =(3,2,0)n 2=0n 2=0，取n 2=(−4,23,3)，因为EC =(3,3,−2),CF =(0,−2,1)n 3=0n 3=0，取n 3=(1,3,23)，所以cos θ=n ⋅n |n|⋅|n |=231=23131，由图可知二面角M−EC−F 为锐二面角，所以二面角M−EC−F 的余弦值为23131.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点,0，B −6,0，过点A 的动直线l 1与过点B 的动直线l 2的交点为P ，l 1，l 2的斜率均存在且乘积为−12，设动点Р的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程;（2）若点M 在曲线C 上，过点M 且垂直于OM 的直线交C 于另一点N ，点M 关于原点O 的对称点为Q .直线NQ 交x 轴于点T ，求|QT |⋅|TN |的最大值.【答案】（1）x 26+y 23=1(x ≠±6)（2）32−873【解析】【分析】（1）设P 点坐标为(x,y)(x ≠±6)，根据两直线的斜率之积为−12得到方程，整理即可；（2）设M (x 0,y 0)，Q (−x 0,−y 0)，N (x 1,y 1)，根据设M 、N 在椭圆上，则k NQ ⋅k MN =−12，再由k MQ ⋅k MN =−1，则k NQ =12k MQ ，即可表示出直线NQ 、MN 的方程，联立两直线方程，即可得到N 点的纵坐标，再根据弦长公式得到|QT |⋅|TN |=(24−7y 02)y 023(4−y 02)，令4−y 02=t ，则|QT |⋅|TN |等式计算可得；【小问1详解】解：设P 点坐标为(x,y)(x ≠±6)，∵定点,0，B −6,0，直线PA 与直线PB 的斜率之积为−12，∴yx +6×yx−6=−12，∴x 26+y 23=1(x ≠±6)【小问2详解】解：设M (x 0,y 0)，Q (−x 0,−y 0)，N (x 1,y 1)，则x 026+y 023=1，x 126+y 123=1，所以k NQ ⋅k MN =y 1−y 0x1−x 0⋅y 1+y 0x1+x 0=y 12−y 02x 12−x 02=10=−12又k MQ ⋅k MN =−1，所以k NQ =12k MQ ，又k MQ =y 0x 0即k NQ =y 02x 0，则直线NQ ：y +y 0=y 02x 0(x +x 0)，直线MN ：y−y 0=−x 0y 0(x−x 0)，由y−y 0=−x 0y 0(x−x 0)y +y 0=y 02x 0(x +x 0)，解得y =y 0312−3y 02，即y N=y 0312−3y 02，所以|QT |⋅|TN |=1+4x 02y 02|−y 0|×1+4x 02y 02|y N |=y 02+4x 02y 02⋅y412−3y 02=(24−7y 02)y 023(4−y 02)令4−y 02=t ，则t ∈(1,4)，所以|QT |⋅|TN |=(7t−4)(4−t )3t=因为7t+16t ≥27t⋅16t=87，当且仅当7t=16t即t=47∈(1,4)时取等号，所以|QT|⋅|TN|的最大值为32−873；。
2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题解析
2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知椭圆方程为2212x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．答案：B根据椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.解：由椭圆的标准方程可知：222222,11a b c a b ==⇒=-=，则焦距为22c =， 故选：B.2．下列说法正确的是（ ） A ．空间中的任意三点可以确定一个平面 B ．四边相等的四边形一定是菱形 C ．两条相交直线可以确定一个平面 D ．正四棱柱的侧面都是正方形 答案：C根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.解：对于A ，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A 错误； 对于B ，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B 错误； 对于C ，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C 正确； 对于D ，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D 错误. 故选：C3．已知数列{}n a 中，1111,31n na a a +==-，则5a =（ ） A ．13B ．32-C ．2-D ．32答案：D由数列{}n a 的递推公式依次去求，直到求出5a 即可. 解：由1111,31n na a a +==-，可得2111311213a a ===--，321123112a a ===---， 3411111(2)3a a ===---， 4511311213a a ===-- 故选： D.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥ B ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥ C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α∥ D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥答案：D根据空间直线与平面间的位置关系判断． 解：若m n ⊥，n ⊂α，也可以有m α⊂，A 错； 若m n ∥，n ⊂α，也可以有m α⊂，B 错； 若m n ⊥，n α⊥，则m α∥或m α⊂，C 错；若m n ∥，n α⊥，则m α⊥，这是线面垂直的判定定理之一，D 正确 故选：D ．5．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ） A ．30尺 B ．40尺C ．6尺D ．60尺答案：A由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解. 解：由题女子织布数成等差数列，设第n 日织布为n a ，有1305,1a a ==，所以()()1120111220130105302a a a a a a a ++++=⨯=+=，故选:A.6．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 为AB 中点，则异面直线BC 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A ．34BC．3D ．12答案：A根据异面直线所成角的定义，取AC 中点为E ，则1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，再解三角形即可求出．解：如图所示：设AC 中点为E ，则在三角形ABC 中，,D E 为中点，DE 为中位线，所以有//DE BC ，112DE BC ==，所以1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，在三角形1EDC 中，112,2DC C E ==22211113cos 24C D DE C E EDC DE C D ∠+-==⋅， 故选：A.7．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．3C ．±1D ．3答案：B设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，及112AF BF p +=，可求得13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上方，又1cos p AF θ=-，求得1cos ,tan 32θθ==，利用对称性即可得出结果.解：设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，所以3AF BF =，由12p =， 112411433BF AF BF p BF +=⇒⨯=⇒=∣，所以13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上 方，又1cos p AF θ=-，所以1cos ,tan 32θθ=，所以由对称性知，直线l 的斜率3故选：B.8．已知四面体P ABC -中，,2,23PC a PA PB AC BC a AB a ======，若该四面体的外接球的球心为O ，则OAC 的面积为（ ） A 273 B 215 C 230 D 23a答案：C根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可. 解：由图设点D 为AB 中点，连接,PD CD ，由PA PB AC BC ===，所以,PD AB CD AB ⊥⊥，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂面PCD ，则AB ⊥面PCD ，且PAB ABC ≌，所以球心O ∈面PCD ，所以平面PCD 与球面的截面为大圆，CD 延长线与此大圆交 于E 点.在三角形ABC 中，由2,23AC BC a AB a ===，所以130,120,sin 22A B C CD BC B a a =====⨯=，由正弦定理知：三角形ABC 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，设三角形ABC 的外接圆圆心为点M ，则OM ⊥面ABC ，有2r ME MC a ===，则MD a =，设PAB △的外接圆圆心为点N ，则ON ⊥面PAB ，由正弦定理知：三角形PAB 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，所以OM ON =，又三角形PDC 中，PC PD CD a ===， 所以OD 为PDC ∠的角平分线，则30ODM ∠=， 在直角三角形OMD 中，3tan 303OM MD ==， 在直角三角形OED 中，22222213433a R OM EM a a =+=+=，在三角形OAC 中，取中点S ，由OA OC OS AC =⇒⊥2222131033OS OA AS a a a =-=-=，所以211303022233OACSAC OS a a a =⨯=⨯⨯=， 故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键. 二、多选题9．如图，正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，2PA AB ==，点,E F 分别为侧棱,PA PB 的中点，则（ ）A ．OE PA ⊥B ．//OF PDC ．四棱锥P ABCD -的体积为43D ．AC ⊥平面PBD 答案：ABD证明OP ⊥平面ABCD ，OP OA =，故选项A 正确；证明//OF PD ，故选项B 正确； 42P ABCD V -=，故选项C 错误；证明,OP AC BD AC ⊥⊥，则AC ⊥平面PBD 即得证，故选项D 正确.解：由点O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD ，直角三角形POA 中，2212,22OA AC OP PA OA ==-所以OP OA =，当E 为中点时，OE PA ⊥，故选项A 正确；在三角形PBD 中，,O F 为中点，所以//OF PD ，故选项B 正确；11422433P ABCD ABCD V OP S -=⨯==C 错误； 由OP ⊥面,,ABCD OP AC BD AC ⊥⊥，,,OP BD O OP BD =⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，故选项D 正确. 故选：ABD.10．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上第一象限的点，点12,A A 为双曲线的左右顶点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点Q ，记212PQt AQ A Q =⋅，则（ ）A ．bt a=B ．双曲线的离心率为1e t =+C ．当1t =时，双曲线的渐近线互相垂直 D ．t 的值与P 点在双曲线上的位置无关 答案：BCD根据双曲线左右顶点坐标，结合双曲线的离心率公式、渐近线方程进行逐一判断即可. 解：因为点12,A A 为双曲线的左右顶点，所以12(,0),(,0)A a A a -设点()12,(0,0),,,p x y x y PQ y AQ x a A Q x a >>==+=-， 则222212||PQ y t AQ A Q x a ==⋅-，又点P 在该双曲线上，满足22221x y a b -=，所以2222222212(1)||x b PQ b a t A Q A Q x a a-===⋅-，所以选项A 错，选项D 对；又c e a ==B 对，对选项C ，221b t a ==，则1b a =，双曲线的渐近线方程为y x =±，故C 对.故选：BCD11．已知欧拉函数()()*n n N ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数.例如：()11ϕ=，()42ϕ=，设数列{}n a 中：()()*n a n n N ϕ=∈，则（ ） A ．数列{}n a 是单调递增数列 B ．{}n a 的前8项中最大项为7a C ．当n 为素数时，1n a n =- D ．当n 为偶数时，2n n a = 答案：BC根据欧拉函数的概念可写出数列{}n a 的前8项，根据前8项，可判断选项A,B,D ；根据n 为素数时，n 与前1n -个数都互素，从而可判断选项C.解：由题知数列{}n a 前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4，不是单调递增数列，故选项A 错误； 由选项A 可知，{}n a 的前8项中最大项为76a =，故选项B 正确； 当n 为素数时，n 与前1n -个数互素，故1n a n =-，所以C 对正确； 因为62a =，故选项D 错误. 故选：BC .12．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动，以下命题正确的有（ ） A ．平面1A BE 截正方体所得的截面面积为92B ．三棱锥1B ACE -C ．当点F 在棱1CC 运动时，平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值可以取到2D ．当点F 在底面ABCD 上时，直线1B F 与1CC 所成角为30，则动点F答案：ACD对于选项A ，取CD 中点为N ，则1//EN A B ，可知平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，利用平面几何知识即可求出梯形1A BNE 的面积，进而判断A 是否正确；对于B ，设点M 为AC 中点，AC ⊥面1B ME ，再根据内切球的性质和几何体提及的关系1=3V rS （其中V ,S ，r 分别是几何体的的体积、表面和内切球的半径），由此即可判断B 是否正确；对于C ，利用空间向量法求二面角，即可判断C 是否正确；对于D ，由于11//BB AA ，可得130BB F ∠=，所以123tan 303BF BB ==，可知点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233的圆上，作出草图，即可求出动点F 的轨迹长度，进而判断D 是否正确.解：选项A ，设CD 中点为N ，连接,BN EN ，则1//EN A B ，所以平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，过点E 作1EG A B ⊥，在直角三角形1GA B 中，1125,EA AG == 所以2211922EG EA AG =-所以()1139322222ABNE S EN AB EG =+⨯=⨯⨯=，所以A 正确； 选项B ，在三棱锥1B ACE -中，11122,5,3B A BC AC EA EC B E ====== 设点M 为AC 中点，所以1,B M AC EM AC ⊥⊥，则AC ⊥面1B ME ，16,3B M EM ==，所以11,11122632332A B CE B MEV AC S-=⨯=⨯⨯⨯⨯= 又三棱锥1B ACE -表面积为1116236ACB ACEB EB CE S S SSS =+++=++表面和又1123A B CE V r S -=⨯=表面积，则666236621r ==++++，故B 错误；选项C ，以点B 为坐标原点，1,,BC BA BB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设点()()2,0,,02F t t ≤≤，则()()12,0,,0,1,1==BF t BA ， 设平面1FA B 的法向量为(),,nx y z =，所以1200⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n BF x tz n BA y z ，取2=-=y z ，则x t =，所以平面1FA B 的法向量为(),2,2n t =-，又平面ABCD 法向量为()0,0,1m =平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值2211cos ,328m n m nt θ⋅⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦⋅+∣ 又()111232,32322⎡⎤-=∈⎢⎥+⎣⎦，所以选项C 正确； 选项D ，11//BB CC ，所以1∠BB F 直线1B F 与1CC 所成角，即130BB F ∠=， 所以123tan 303BF BB ==， 所以点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233BF =的圆上， 又点F 在底面ABCD 上，如下图所示：所以动点F 2332ππ=，故D 正确； 故选：ACD. 三、填空题13．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14．已知数列{}n a 满足下列条件：①数列{}n a 是等比数列；②数列{}n a 是单调递增数列；③数列{}n a 的公比q 满足01q <<.请写出一个符合条件的数列{}n a 的通项公式__________.答案：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）根据题意判断数列特征，写出一个符合题意的数列{}n a 的通项公式即可.解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n a 的公比q 满足01q <<，所以等比数列{}n a 公比01q <<，且各项均为负数， 符合题意的一个数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）15．已知数列{}n a 满足()()11121,2n n n a n a a ++=+=，则320222023212320222023a a aa a +++++=__________. 答案：20232024由题112n n n a a n ++=+，用累乘法求得通项公式：11n a n =+，则()11111n a n n n n n ==-++，通过裂项求和即可得出结果. 解：由题112n n n a a n ++=+，所以累乘法求通项公式： 2132123,,341n n n a a a a a a n -==⋯=+，所以12313411n n a a n n =⨯⨯⨯=++，经验证1n =时，112a =符合. 所以()11111n a n n n n n ==-++，则3202220232111111120231123202220232232023202420242024a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2023202416．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，直线(0)y kx k =>与双曲线交于,M N 两点，且2OM OF =，O 为坐标原点，又()222216MF NMF NF S +=，则该双曲线的离心率为__________.根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.解：由直线(0)y kx k =>与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称， 在三角形2MF N ∆中，2OM OF =，所以22MF NF ⊥， ,M N 是以12F F 为直径的圆与双曲线的交点，不妨设()11,M x y 在第一象限， 212NF MMF F SS=，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a b x y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，联立化简可得()222222211b c y a y a b --=，整理得2222222211b c a bb y a y ，242211,b b c y y c==，所以2121122MF F Sc y b =⋅⋅=，由()2222216MF NMF NF S b +==所以124MF MF b ，又因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F +=，即222222222(2)(2)4,824,42b a b a c b a c b a c ++-=+=+=，222222223442,23,2c c a a c c a a -+===，所以离心率62cea .【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键. 四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，首项为12a =，且1241,1,1a a a +++成等比数列. (1)求n a 和n S ；(2)设(1)1nn n b a =-+，记12n n T b b b =+++，求n T .答案：(1)2331,2n n n na n S +=-=(2)**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数（1）由题意解得等差数列{}n a 的公差d ，代入公式即可求得n a 和n S ； （2）把n 分为奇数和偶数两类，分别去数列{}n b 的前n 项和n T . (1)设等差数列{}n a 公差为d ，由题有()()()2214111a a a +=++，即()2(3)333d d +=+，解之得3d =或0，又0d ≠，所以3d =，所以()()2113131,22n n n a a n n n a a n d n S ++=+-=-==. (2)()(1)1(1)311n n n n b a n =-+=--+，当n 为正奇数，()()11(1)(1)313113n n n n a a n n ++-+-=--++-=，()()()12123421n n n n n T b b b a a a a a a a n --=+++=-++-+++-+-+()1133122n n n n -+=⨯--+=- 当n为正偶数，()()()12123415322n n n n n nT b b b a a a a a a n n -=+++=-++-+++-++=⨯+=， 所以**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数18．如图①，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为AB CD ､的中点，224CD AB EF ===，现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体，在图②中：(1)证明：平面//AEB 平面DFC ；(2)求四棱锥F ABCD -的体积. 答案：(1)证明见解析. (2)2（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明； （2）将所求四棱锥F ABCD -的体积转化为求32E CDF V -即可.(1)证明：因为//AE DF ，AE ⊄面DFC ，DF ⊂面DFC ， 所以//AE 面DFC ， 同理//BE 面DFC ， 又因为,AE BE ⊂面ABE ,AE BE E =所以面//ABE 面DFC . (2)解：因为在图①等腰梯形ABCD 中，,E F 分别为,AB CD 的中点， 所以EF CD ⊥，在图②多面体中，因为,EF DF EF FC ⊥⊥，,DF FC ⊂面DFC ，DF FC F ⋂=， 所以EF ⊥面DFC .因为CF EF ⊥，面BEFC ⊥面AEFD ，CF ⊂面BEFC ，面BEFC ⋂面AEFD EF =, 所以CF ⊥面AEFD ， 又因为DF ⊂面AEFD ， 所以CFDF ，在直角三角形DFC 中，因为2DF FC ==,所以CD =，同理，AB = 所以2CD AB =， 则2ACDABCSS=，有32ABCD ABC ACD ACD S S S S =+=△△△△， 所以33331222223F ABCD F ACD A CDF E CDFCDF V V V V EF S ----⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 所以四棱锥F ABCD -的体积为2.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点F ，点()2,2M 在抛物线C 上. (1)求MF ；(2)过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，过点N 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，证明：AOB 为直角三角形（O 为坐标原点）.答案：(1)52(2)证明见解析（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得MF .（2）由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，与抛物线方程联立，可得2240y my --=，利用韦达定理证得0OA OB ⋅=即可得出结论.(1)点()2,2M 在抛物线2:2C y px =上.∴44p =，则1p =，所以252,22M p y x MF x ==+=. (2)证明：由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，点()()1122,,,A x y B x y联立方程222x my y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2240y my --=，由韦达定理有121224y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由22y x =，所以221212422y y x x =⨯=，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥，所以AOB 为直角三角形. 20．三棱锥P ABC -中，PAB PAC ≅△△，2BC AB ，PA AB ⊥，直线PC 与平面ABC 所成的角为3π，点D 在线段PA 上.(1)求证：BD AC ⊥； (2)若点E 在PC 上，满足34PE PC =，点D 满足(01)AD AP λλ=<<，求实数λ使得二面角A BE D --的余弦值为25.答案：(1)证明见解析； (2)12λ=.（1）证明AC ⊥平面PAB ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设1AB AC ==，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数λ的等式，即可解得实数λ的值. (1)证明：因为PAB PAC ≅△△，PA AB ⊥，则PA AC ⊥且AB AC =， AB AC A ⋂=，PA ∴⊥平面ABC ，所以PCA ∠为直线PC 与平面ABC 所成的线面角，即3PCA π∠=，22BC AB AC ==，故222AB AC BC +=，AC AB ∴⊥，PA AB A =，AC ∴⊥平面PAB ， BD ⊂平面PAB ，因此，BD AC ⊥.(2)解：设1AB AC ==，由（1）可知3PCA π∠=且PA AC ⊥，tan33PA AC π∴==，因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()0,1,0C 、(3P 、330,4E ⎛ ⎝⎭、()()301D λλ<<，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,0AB =，330,4AE ⎛= ⎝⎭，则1113304m AB x y z m AE ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取1y =，可得(0,1,3m =， 设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，()1,0,3DB λ=-，331,4BE ⎛=- ⎝⎭， 由22222303304n DB x z n BE x y λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x λ=，则(3,43n λλ=-，由已知可得2412cos ,522584m n m n m nλλλ⋅-<>===⋅-+，解得12λ=.当点D 为线段AP 的中点时，二面角A BE D --的平面角为锐角，合乎题意. 综上所述，12λ=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P 在椭圆22149x y +=上，且在第一象限内，点12,A A 分别为椭圆C 的左､右顶点，直线12,PA PA 分别与椭圆C 交于点,M N ，过2A 作直线1PA 的平行线与椭圆C 交于点D ，问直线DN 是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.答案：(1)2214x y +=(2)过定点，8,05⎛⎫⎪⎝⎭（1）根据椭圆上的点及离心率求出a ,b 即可；（2）设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件122212,PA DA DA NA PA PA k k k k k k =⋅=⋅化简，结合椭圆方程，求出t 即可得解.(1) 由2223c e a b c a ===+，有2a b =， 又221341a b+=，所以22a b ==，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+. 如图，联立2214x y x t my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 有：()2224240m y mty t +++-=，韦达定理有：()()1222222212224*,Δ4444044mt y y m m t t m t y y m ⎧+=-⎪⎪+=--+>⎨-⎪=⎪+⎩由12//PA DA ，所以()()122212222000,224PA DA DA NA PA PA y y k k k k k k x x x =⋅=⋅==-+-， 又()22220000914494x y y x +=⇒=-，所以222020944DA NA y k k x ⋅==-- 又221212,22DA NA y yk k x x ==--， 所以()()2211129224DA NA y y k k x x ⋅==---.又()()()()()()221212121222222(2)x x my t my t m y y m t y y t --=+-+-=+-++-所以有()()2212121242(2)9y y m y y m t y y t -=+-++-， 把()*代入有：()22444(2)9t t --=-， 解得85t =或2，又直线DN 不过右端点，所以2t ≠，则85t =， 所以直线DN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知函数()ln 1f x x x =+.(1)求函数()y f x =在x e =处的切线方程；(2)设()f x '为()y f x =的导数，若方程()'2a f x a x =+的两根为12,x x ，且12x x <，当0t >时，不等式()122a t x tx <-+对任意的()12,(0,x x ∞∈+恒成立，求正实数t 的最小值. 答案：(1)21y x e =-+ (2)1（1）先求导数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）将已知方程结合其两根，进行变式，求得()21212ln x x a x x -=，利用该式再将不等式()122a t x tx <-+变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.(1)由题意可得()()()ln 1,2,1f x x f e f e e '+'===+， 所以切点为(),1e e +，则切线方程为：()2121y x e e x e =-++=-+. (2)由题意有：()ln 12a x x a +=+，则ln 2a x x =， 因为12,x x 分别是方程ln 20a x x -=的两个根，即1122ln 2,ln 2a x x a x x ==.两式相减()()2121ln ln 2a x x x x -=-， 则()21212ln x x a x x -=， 则不等式()122(0)a t x tx m <-+>，可变为()()21122122ln x x t x tx x x -<-+， 两边同时除以1x 得，212211212ln x x txt x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<-+，令21x k x =，则()212ln k t tk k-<-+在()1,k ∈+∞上恒成立. 整理可得()21ln 02k k t tk-->-+，在()1,k ∈+∞上恒成立，令()()21ln 2k h k k t tk-=--+，则()()()22222222(2)11(2)14(2)(2)(2)t t k k k t k t t h k k t tk k t tk k t tk ⎡⎤---⎢⎥⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=-==-+-+-+'， ①当22(2)1t t -≤，即1t ≥时，()0h k '>在()1,+∞上恒成立，则()h k 在()1,+∞上单调递增，又()10h =，则()0h k >在()1,+∞上恒成立；②当22(2)1t t ->，即01t <<时，当22(2)1,t k t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时，()0h k '<， 则()h k 在22(2)1,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()()10h k h <=，不符合题意.综上：1t ≥，所以t 的最小值为1.。
2021-2022学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为( )A. √3B. −√3C. √33D. −√332. F 1，F 2是椭圆x 29+y 24=1的焦点，点P 在椭圆上，点P 到F 2的距离为1，则P 到F 1的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知u ⃗ =(1,2,1)是直线l 的方向向量，v ⃗ =(2,y,2)为平面α的法向量，若l//α，则y 的值为( )A. −2B. −12C. 4D. 144. 某工厂去年的电力消耗为m 千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 0.14m 千瓦B. 0.15m 千瓦C. 0.94m 千瓦D. 0.95m 千瓦5. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x,y,z)=( )A. (1,1,1)B. (1,1,0)C. (1,1,−1)D. (1,0,−1)6. 等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，2a 8−a 9=16，则S 13的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087. 直线x +2y −6=0平分圆C ：x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0的周长，过点P(−1,−b)作圆C 的一条切线，切点为Q ，则|PQ|=( )A. 5B. 2√6C. 3D. 2√28. 如图，过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与其准线l 交于点C(点B 位于A ，C 之间)且CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⊥l 于点D 且|AD|=4，则|OF|等于( )A. 23 B. 43 C. 83二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在四面体P −ABC 中，P(0,0,3)，A(2,2,5)，B(1,3,2)，C(3,1,2)，则以下选项正确的有( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−3)B. |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |C. PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11 10. 对于直线l 1：ax +2y +3a =0，l 2：3x +(a −1)y +3−a =0.以下说法正确的有( )A. l 1//l 2的充要条件是a =3B. 当a =25时，l 1⊥l 2 C. 直线l 1一定经过点M(3,0)D. 点P(1,3)到直线l 1的距离的最大值为511. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，短轴长为2√3，则( )A. 椭圆的方程为x 24+y 23=1B. 椭圆与双曲线2y 2−2x 2=1的焦点相同C. 椭圆过点(1,−32)D. 直线y =k(x +1)与椭圆恒有两个交点12. 若数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=3n(n ≥1,n ∈N ∗)，{a n }的前n 项和为S n ，下列结论正确的有( )A. a 2022=3031B. a 2n−1=3n −1C. a n+1−a n =1D. S 2n =3n 2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点M(2,3)，N(−3,1)，则线段MN 的垂直平分线的一般式方程为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2，则该数列的首项a 1=______，通项公式a n =______． 15. 双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，右焦点F 到直线AB 的距离为3b2，则双曲线E 的离心率为______． 16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA =AB =1，AD =2，E ，F 分别为AB ，离为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a3=6，S10=−15．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求n为何值时S n的值最大．18.圆心在x轴正半轴上、半径为2的圆C与直线l1：√2x−4y=0相交于A，B两点且|AB|=2√3．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l2//l1，圆C上仅有一个点到直线l2的距离为1，求直线l2的方程．19.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，虚轴的长为4．(1)求a，b的值及双曲线C的浙近线方程；(2)直线y=kx−2与双曲线C相交于互异两点，求k的取值范围．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠APD=90°，AB⊥AD，BC//AD，PA=PC=PD=2√2，AD=2AB=2BC，O为AD的中点，连接OC，OP．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值．21.已知等差数列{a n}满足：a2+4，a5，a6成等差数列，a4，a7，a12成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)在数列{a n}的每相邻两项a t与a t+1间插入2t个3(t=1,2,3,⋯)，使它们和原数列{a n}的项构成一个新数列{b n}，数列{b n}的前n项和记为S n，求b18及S2022．22.椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点到F2的距离为2√2，且椭圆E过点(√6,1)，过F1且不与两坐标轴平行的直线l交椭圆E于A，B两点，点B与点M关于x轴对称．(1)求椭圆E的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△ABF2的面积；(3)若点N(−4,0)，求证：A，M，N三点共线．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120°=tan(180°−60°)=−tan60°=−√3．故选：B．根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值．2.【答案】C【解析】解：由题意得a2=9，得a=3，因为|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=1，所以|PF1|=5，故选：C．利用椭圆的定义直接求解．本题主要考查椭圆的定义及其应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：u⃗=(1,2,1)是直线l的方向向量，v⃗=(2,y,2)为平面α的法向量，l//α，∴u⃗⊥v⃗，∴u⃗⋅v⃗=1×2+2y+1×2=0，解得y=−2．故选：A．由l//α，得到u⃗⊥v⃗，由此能求出y的值．本题考查实数值的求法，考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：某工厂去年的电力消耗为m 千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%，∴今年的电力消耗为a 1=m(1−10%)=0.9m ，∴从今年起，该工厂第5年消耗的电力为a 5=0.9m(1−10%)4=0.95m. 故选：D ．今年的电力消耗为a 1=m(1−10%)=0.9m ，利用等比数列通项公式求出从今年起，该工厂第5年消耗的电力．本题考查等比数列的运算，等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x,y,z)=(1,1,1)， 故选：A ．利用空间向量的线性运算求解即可． 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，2a 8−a 9=16， ∴2(a 1+7d)−(a 1+8d)=a 1+6d =16， S 13=132(a 1+a 13)=132(2a 1+12d)=13×16=208．故选：D ．利用等差数列的通项公式、前n 项和公式直接求解．本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：由x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0⇒(x −2)2+(y −b)2=1， 所以该圆的圆心为C(2,b)，半径为1，因为直线x +2y −6=0平分圆C ：x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0的周长， 所以圆心在直线x +2y −6=0上，故2+2b −6=0⇒b =2， 因此P(−1,−2)，C(2,2)，所以有|PC|=√(−1−2)2+(−2−2)2=5， 所以|PQ|=√|PC|2−12=√25−1=2√6， 故选：B ．根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，两点之间距离公式及其应用等知识，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设BE ⊥l 于点E ，准线l 交x 轴于点G ，则|BE|=|BF|，又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|BC|=3|BE|，|CF|=3|GF|，又AD ⊥l 于点D 且|AD|=4， ∴BE//AD ，∴|AC|=|AD|+|CF|=|AD|+3|GF|=3|AD|，即3p =2|AD|=2×4， ∴p =83，故选：B ．由题可得|AC|=3|AD|，然后结合条件可得p =83，即可得|OF|的值．本题主要考查直线与抛物线的综合问题，圆锥曲线与向量的综合问题等知识，属于中等题．9.【答案】AB【解析】解：在四面体P −ABC 中，P(0,0,3)，A(2,2,5)，B(1,3,2)，C(3,1,2)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−3)，故A 正确；|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+9=√11，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−3)，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+9=√11， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，故B 正确； PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,−1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5≠0，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，故C 错误； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1−1+9=7，故D 错误． 故选：AB ．利用向量坐标运算法则、向量数量积公式、向量的模直接求解．本题考查命题真假的判断，考查利用向量坐标运算法则、向量数量积公式、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：A ：由a(a −1)−6=0，解得a =3或a =−2，经验证a =3，a =−2时两条直线平行，∴A 错误，B ：当a =25时，则l 1：x +5y +3=0，l 2：15x −3y +13=0，∵1×15+5×(−3)=0，∴l 1⊥l 2，∴B 正确，C ：∵直线l 1：ax +2y +3a =0，则a(x +3)+2y =0，∴x +3=0且y =0，∴x =−3，y =0，∴直线l 1过定点(−3,0)，∴C 错误，D ：∵直线l 1过定点N(−3,0)，∴点P(1,3)到直线l 1的距离的最大值为PN =√(1+3)2+32=5，∴D 正确， 故选：BD ．利用直线的平行判断A ，利用直线的垂直判断B ，利用直线过定点判断C ，利用两点间的本题考查了两条直线平行，垂直的充要条件，考查了直线过定点，两点间的距离公式，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：因为椭圆的短轴长为2√3，所以有2b =2√3⇒b =√3⇒a 2−c 2=3， 而椭圆的离心率为12，所以c a =12⇒a =2c ⇒a 2=4c 2， 所以可得：c 2=1，a 2=4，b 2=3．A ：因为a 2=4，b 2=3，所以该椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1，因此本选项正确；B ：由2y 2−2x 2=1⇒y 212−x 212=1，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆x 24+y 23=1的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；C ：因为124+(−32)23=1，所以点(1,−32)在该椭圆上，因此本选项说法正确；D ：直线y =k(x +1)恒过点(−1,0)，而(−1)24+023<1，所以点(−1,0)在椭圆内部，因此直线y =k(x +1)与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确， 故选：ACD ．根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．12.【答案】BD【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=3n(n ≥1,n ∈N ∗)， ∴a n+1+a n+2=3(n +1)， ∴a n+2−a n =3，又a 1+a 2=3×1=3⇒a 2=1，故数列{a n }的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列， 偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列， ∴a 2n =2+3(n −1)=3n −1， a 2n−1=1+3(n −1)=3n −2，S2n=2+3+6+....+(3n−1)+1+4+....+(3n−2)=n(2+3n−1)2+n(1+3n−2)2=3n2，故选：BD．根据递推关系得到数列{a n}的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列，偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列，进而求出数列的通项公式，即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，考查通项公式的求解，属于中档题目．13.【答案】10x+4y−3=0【解析】解：设P为点M(2,3)，N(−3,1)的中点，则P(−12,2)，∵点M(2,3)，N(−3,1)，∴k MN=3−12−(−3)=25，∴线段MN的垂直平分线的斜率为−52，∴线段MN的垂直平分线的方程为y−2=−52(x+12)，即10x+4y−3=0．故答案为：10x+4y−3=0．根据已知条件，结合中点公式，以及两直线垂直的性质，即可求解．本题主要考查垂直平分线的求解，考查计算能力，属于基础题14.【答案】3{3,n=12n−1,n≥2【解析】解：∵S n=n2+2，∴n=1时，a1=S1=3；n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1，a1=3不满足上式，∴a n={3,n=12n−1,n≥2，故答案为：3，{3,n=12n−1,n≥2．根据S n=n2+2，再写一式，两式相减，可得{a n}的通项公式，进而求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及通项公式的求解，考查计算能力，属于基础题目．15.【答案】2【解析】解：双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，则A(−a,0)，不妨设B(0,b)，∴直线AB 的方程为y =ba (x +a)，即bx −ay +ab =0， ∵F(c,0)， ∴|bc+ab|√a 2+b 2=32b ，即c+a c=32，∴c =2a ， ∴e =ca =2． 故答案为：2．先求出直线AB 的方程，根据点到直线的距离公式可得|bc+ab|√a 2+b 2=32b ，化简整理可得e =c a=2．本题考查了双曲线的方程和性质，考查了运算求解能力，属于基础题．16.【答案】4√105105【解析】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(12,0,0)，P(0,0,1)，D(0,2,0)，C(1,2,0)，F(0,1,12)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,2,0)．设平面PCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12x +z =012x +2y =0，取y =−1，得n⃗ =(4,−1,2)． 又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−12)， ∴点F 到平面PCE 的距离为：d =∣n ⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗⃗ ∣=√1+4×√14+1+4=4√105105．故答案为：4√105105． 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点F 到平面PCE 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：(1)a 3=6，S 10=−15，∴{a 1+2d =610a 1+45d =−15， 解得d =−3，a 1=12，∴a n =12−3(n −1)=−3n +15； (2)S n =12n −3n(n−1)2=−32(n 2−9n)=−32[(n −92)2−814]，当n =4或5时，S n 的值最大， 故S n =−32n 2+272n ，当n =4或5时，S n 的值最大．【解析】(1)根据通项公式和求和公式列出方程组解得即可求出首项和公差； (2)根据求和公式和二次函数的性质即可求出．本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，以及二次函数的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为圆心在x 轴正半轴上、半径为2，所以设圆的方程为(x −a)2+y 2=4(a >0)，圆心C(a,0)， 圆心C 到直线l 1：√2x −4y =0的距离d =√2a √2+16=a3，又因为|AB|=2√3，所以2√4−d 2=2√3，所以4−a 29=3，解得a =3或a =−3(舍去)， 所以圆C 的标准方程为(x −3)2+y 2=4； (2)由(1)可知d =∣√2a ∣√2+16=a3=1，圆C 的半径为2，因为线l 2//l 1，所以设直线线l 2的方程为√2x −4y +m =0，因为圆C 上仅有一个点到直线l 2的距离为1，所以直线l 2与该圆相离， 当两平行线间的距离为2，于是有0−m √2+16=2，所以m =±6√2， 当m =6√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2+6√2∣√2+16=3>2，符合题意，当m =−6√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2−6√2∣√2+16=1<2，不符合题意， 故直线l 2的方程为√2x −4y +6√2=0．当两平行线间的距离为4，于是有√2+16=4，所以m =±12√2， 当m =12√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：∣3√2+12√2∣√2+16=5>2×2，不符合题意，当m =−12√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2−12√2∣√2+16=3>2，符合题意， 故直线l 2的方程为√2x −4y −12√2=0．综上所述：直线l 2的方程为√2x −4y −12√2=0或√2x −4y +6√2=0．【解析】(1)根据圆的弦长公式进行求解即可；(2)根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可． 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得e =ca =√5，2b =4，即b =2，又a 2+b 2=c 2， 解得a =1，c =√5， 则双曲线的方程为x 2−y 24=1，渐近线方程为y =±2x ；(2)联立{y =kx −24x 2−y 2=4，可得(4−k 2)x 2+4kx −8=0， 由直线y =kx −2与双曲线C 相交于互异两点，可得4−k 2≠0，且Δ=16k 2+32(4−k 2)>0，解得−2√2<k <2√2，且k ≠±2，所以k 的取值范围是(−2√2,−2)∪(−2,2)∪(2,2√2).【解析】(1)由双曲线的离心率公式和虚轴的概念、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到渐近线方程；(2)联立直线y =kx −2与双曲线的方程，消去y ，可得x 的二次方程，运用判别式大于0，注意二次项的系数不为0，解不等式可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AD =2BC ，O 为AD 的中点，所以AO =BC ，而AD//BC ，所以四边形AOCB 是平行四边形，因此AB =OC =2， 因为∠APD =90°,PA =PD =2√2,O 为AD 的中点， 所以AD ⊥PO ，PO =12AD =12√PA 2+PD 2=12×√8+8=2，而PC =2√2，因为PC 2=PO 2+CO 2，所以OC ⊥PO ，而AD ∩CO =O ，AD ，CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ；(2)解：根据(1)，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0,0,2)，A(0,−2,0)，D(0,2,0)，B(−2,2,0)，C(2,0,0)，于是有：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(0,−2,−2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ −(0,2,−2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)， 设平面PAD 的法向量为：n =(x 1,y 1,z 1)，所以{n⃗ ⊥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−2y 1−2z 1=02y 1−2z 1=0⇒n ⃗ =(1,0,0)， 设平面PBC 的法向量为：m −(x 2,y 2,z 2)，所以{m⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ m ⃗⃗⃗ ⊥PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −0⇒{−2x 2+2y 2−2z 2=02x 2−2z 2=0⇒m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ， 所以cosθ=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=1×√12+22+12−√66．【解析】(1)根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)利用空间向量夹角公式进行求解即可．本题主要考查线面垂直的证明，面面角的计算等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)设等差数列的公差d，因为a2+4，a5，a6成等差数列，所以有2a5=a6+a2+4⇒2(a1+4d)=a1+5d+a1+d+4⇒d=2，因为a4，a7，a12成等比数列，所以a72=a4a12⇒(a1+6×2)2=(a1+3×2)(a1+11×2)⇒a1=3，所以a n=3+(n−1)⋅2=2n+1；(2)由题意可知：在3和5之间插入2个3，在5和7之间插入22个3，⋯，在19和21之间插入29个3，此时共插入3的个数为：2(1−29)1−2=210−2=1022<2022，在21和23之间插入210个3，此时共插入3的个数为：2(1−210)1−2=211−2=2046>2022，因此b1=3，在3和5之间插入2个3，在5和7之间插入22个3，在7和9之间插入23个3，第18项为9，即b18=9，S2022=(3+5+⋯+21)+(2022−10)×3=(3+21)×102+2012×3=6156．【解析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；(2)根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．本题考查了等差数列与等比数列的综合以及数列的求和问题，属于中档题．22.【答案】(1)解：因为短轴的一个端点到F2的距离为2√2，所以a=2√2，又椭圆E过点(√6,1)，所以(2√2)2+1b2=1，解得b2=4，故椭圆E的方程为x28+y24=1．(2)解：由题意知，F1(−2,0)，F2(2,0)，当直线l的斜率为1时，其方程为y=x+2，联立{y=x+2x28+y24=1，解得x=0或−83，不妨取A(0,2)，B(−83,−23)，故△ABF 2的面积为S =12|F 1F 2|⋅|y A −y B |=12×4×|2−(−23)|=163．(3)证明：设直线l 的方程为y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则M(x 2,−y 2)， 联立{y =k(x +2)x 28+y 24=1，得(2k 2+1)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，所以x 1+x 2=−8k 22k 2+1，x 1⋅x 2=8k 2−82k 2+1，所以k AN −k MN =y 1x1+4−−y 2x2+4=y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)(x 1+4)(x 2+4)，因为y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)=k(x 1+2)(x 2+4)+k(x 2+2)(x 1+4)=2k ⋅x 1x 2+6k(x 1+x 2)+16k=2k ⋅8k 2−82k 2+1+6k ⋅(−8k 22k 2+1)+16k =16k 3−16k−48k 3+32k 3+16k2k 2+1=0，所以k AN −k MN =0，即直线AM ，MN 的斜率相等， 故A ，M ，N 三点共线．【解析】(1)易知a =2√2，将点(√6,1)代入椭圆方程求出b 的值后，即可得解； (2)直线l 的方程为y =x +2，将其与椭圆方程联立，求得A ，B 两点的坐标，再利用分割法，由S =12|F 1F 2|⋅|y A −y B |，得解；(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =k(x +2)，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，证明k AN −k MN =0，即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，分割法求三角形面积，以及三点共线的证明方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
重庆市2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题(含答案)
重庆市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则等于A. B. C. D.2.已知实数a，b，m满足记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数，且的最小值为A. B. C. D.3.已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为A. B. C. D.4.已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是A. B. C. D.5.有下列命题：“或”是“”的必要不充分条件；已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；已知分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为其中所有真命题的个数是A. 4B. 3C. 2D. 16.三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心7.设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是A. B. C. D.8.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为A. 14B. 15C. 16D. 17二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.下列命题正确的是A. 已知R，则“”是“”的充分不必要条件B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则C. 若随机变量，且，则D. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为10.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A. 恰好取到一件次品有不同取法；B. 至少取到一件次品有不同取法；C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法；D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式．11.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是A.B. 若，则C. 的最小正周期为4D. 在上的零点个数最少为1010个12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点焦点的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则的面积不大于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，求曲线过点处的切线方程______．14.关于函数有如下四个命题：是的周期；的图象关于原点对称；的图象关于对称；的最大值为其中所有真命题是________填命题序号15.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．16.已知向量，，若函数在区间上是增函数，则t的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，，的周长为12，求的面积．18.已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．证明数列等比数列；已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅．选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．来求数列前n和．19.已知中，，，，分别取边AB，AC的中点D，E，将沿DE折起到的位置，设点M为棱的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足．求证：平面；试探究在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．20.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11 10 9分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．求该同学这个题目需要仲裁的概率；求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望精确到整数．21.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点．若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点记点G的纵坐标为，求的值．若，点在曲线上且线段的中点均在抛物线C 上，记线段的中点为N，面积为用表示点N的横坐标，并求的值．22.已知函数．求不等式的解集；函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；答案和解析1.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．【解答】解：集合，，，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．由已知得，结合，可求出m的取值范围求，设，求，研究的单调性和最值，从而可的单调性和最小值．【解答】解：根据题意，得又，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得．因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，，即当时，恒成立，所以当且时，恒成立，所以在上单调递增，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，且．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，用a，b表示，，再求出，由，得，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，因为，，，所以，，，所以．又因为，所以．又由，得，即，结合整理可得，即离心率．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为，设，由向量关系得到然后将点的坐标代入椭圆方程，得到由即可得到答案．【解答】解：设，，则由，可得，解得，，即由题意可设椭圆E的标准方程为，所以消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判定，属于中档题，分别进行充分性和必要性判断即可，根据全称量词命题否定判断即可，根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可，由题意求出的最小值即可判断．【解答】解：充分性：当“且”时，令，，此时，不能推出””的结论，因此充分性不成立必要性：当“”时，令，，此时不能推出“且”的结论，因此必要性不成立。
重庆市2021-2022学年高二上学期期末考试(一)数学试卷
重庆2021-2022学年（上）年度考试高二数学注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若抛物线的焦点与椭圆的下焦点重合，则的值为A. B. C. D.2.已知空间向量，，则，A. B. C. D.3.直线的倾斜角是A. B. C. D.4.方程表示的曲线为A. 抛物线与一条直线B. 上半抛物线除去顶点与一条射线C. 抛物线与一条射线D. 上半抛物线除去顶点与一条直线5.已知集合，，则中元素的个数为A. B. C. D.6.已如双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为A. B.C. D.7.已知直线：与轴，轴分别交于，两点，且直线与圆：相切，则的面积的最小值为A. B. C. D.8.古希腊数学家欧几里得在几何原本中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明经过了年，到了世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作数学汇篇中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列说法正确的是A. 若直线垂直于轴，则该直线的一个方向向量为，一个法向量为B. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为C. 若直线的法向量为，则能作为该直线的一个方向向量D. 任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的10.在数列中，对任意，都有为常数，则称为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断正确的是A. 不可能为B. 等差数列一定是等差比数列C. 等比数列一定是等差比数列D. 通项公式为的数列一定是等差比数列11.若直线：与圆：相切，则直线与圆：的位置关系可以是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定12.如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ公共的左顶点与左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是A.B.C.D.三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线与直线平行，则的值是______．14.与圆：外切于原点，且被轴截得的弦长为的圆的标准方程为______．15.若，，，，与，，，，，，均为等差数列，则______．16.如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知为等差数列，前项和为，数列是首项为的等比数列，，，求和的通项公式；求数列的前项和．18.已知圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且．求圆的标准方程；若，直线：，从点发出的一条光线经直线反射后与圆有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围．19.如图，在正方体中，分别为，的中点．求证：平面平面；求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.已知数列满足，，______，．从，，这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题．写出，，并求数列的通项公式；求数列的前项和．21.设椭圆的左顶点为，右顶点为已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为．求椭圆的标准方程；设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线的斜率大于，求直线的斜率的取值范围．答案1-8 DABDB BAC 9.ACD 10.AD 11.AB 12.ABD13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知，得，而，则，解得．；由，得，由，得，联立以上两式解得，则．和的通项公式分别为，；设数列的前项和为，由，得，，，则．18.【答案】解：根据题意，设所求圆的方程为，令，有，若该圆与轴的交点为，，则有，令，有，若该圆与轴的交点为，，则有，又由，则，又由该圆经过点，，则有，和，联立可得：，，，则要求圆的方程为．即圆：为所求；因为关于：的对称点，，，解得，反射光线所在直线过点，设反射光线所在直线方程为：；所以，整理可得：，解得，所以反射光线所在的直线斜率取值范围为．19.【答案】证明：在正方体中，且，且，且，四边形为平行四边形，则，不在平面内，平面，平面；同理可证得平面，又，平面，平面，平面平面E.解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为．则，，，，设平面的法向量为．则，令，则，，则．平面，是平面的一个法向量．设平面与平面夹角为．，因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20.【答案】解：若选，数列满足，，，，是首项为，公比为的等比数列，，，．若选，数列满足，，，，．，，，当为偶数时，．当为奇数时，．数列的前项和．21.【答案】解：以线段为直径的圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆被直线所截得的弦长为，解得，又椭圆的离心率为，所以，所以椭圆的方程为．设，其中，，则，所以直线的斜率，，则直线的方程为，直线的方程为，联立，得，所以，所以，又因为，所以，令，，则，所以，因为，所以，所以，即。
2021-2022学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为( )A. √3B. −√3C. √33D. −√332. F 1，F 2是椭圆x 29+y 24=1的焦点，点P 在椭圆上，点P 到F 2的距离为1，则P 到F 1的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知u ⃗ =(1,2,1)是直线l 的方向向量，v ⃗ =(2,y,2)为平面α的法向量，若l//α，则y 的值为( )A. −2B. −12C. 4D. 144. 某工厂去年的电力消耗为m 千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 0.14m 千瓦B. 0.15m 千瓦C. 0.94m 千瓦D. 0.95m 千瓦5. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x,y,z)=( )A. (1,1,1)B. (1,1,0)C. (1,1,−1)D. (1,0,−1)6. 等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，2a 8−a 9=16，则S 13的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087. 直线x +2y −6=0平分圆C ：x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0的周长，过点P(−1,−b)作圆C 的一条切线，切点为Q ，则|PQ|=( )A. 5B. 2√6C. 3D. 2√28. 如图，过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与其准线l 交于点C(点B 位于A ，C 之间)且CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⊥l 于点D 且|AD|=4，则|OF|等于( )A. 23 B. 43 C. 83二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在四面体P −ABC 中，P(0,0,3)，A(2,2,5)，B(1,3,2)，C(3,1,2)，则以下选项正确的有( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−3)B. |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |C. PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11 10. 对于直线l 1：ax +2y +3a =0，l 2：3x +(a −1)y +3−a =0.以下说法正确的有( )A. l 1//l 2的充要条件是a =3B. 当a =25时，l 1⊥l 2 C. 直线l 1一定经过点M(3,0)D. 点P(1,3)到直线l 1的距离的最大值为511. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，短轴长为2√3，则( )A. 椭圆的方程为x 24+y 23=1B. 椭圆与双曲线2y 2−2x 2=1的焦点相同C. 椭圆过点(1,−32)D. 直线y =k(x +1)与椭圆恒有两个交点12. 若数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=3n(n ≥1,n ∈N ∗)，{a n }的前n 项和为S n ，下列结论正确的有( )A. a 2022=3031B. a 2n−1=3n −1C. a n+1−a n =1D. S 2n =3n 2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点M(2,3)，N(−3,1)，则线段MN 的垂直平分线的一般式方程为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2，则该数列的首项a 1=______，通项公式a n =______． 15. 双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，右焦点F 到直线AB 的距离为3b2，则双曲线E 的离心率为______． 16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA =AB =1，AD =2，E ，F 分别为AB ，离为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a3=6，S10=−15．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求n为何值时S n的值最大．18.圆心在x轴正半轴上、半径为2的圆C与直线l1：√2x−4y=0相交于A，B两点且|AB|=2√3．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l2//l1，圆C上仅有一个点到直线l2的距离为1，求直线l2的方程．19.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，虚轴的长为4．(1)求a，b的值及双曲线C的浙近线方程；(2)直线y=kx−2与双曲线C相交于互异两点，求k的取值范围．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠APD=90°，AB⊥AD，BC//AD，PA=PC=PD=2√2，AD=2AB=2BC，O为AD的中点，连接OC，OP．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值．21.已知等差数列{a n}满足：a2+4，a5，a6成等差数列，a4，a7，a12成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)在数列{a n}的每相邻两项a t与a t+1间插入2t个3(t=1,2,3,⋯)，使它们和原数列{a n}的项构成一个新数列{b n}，数列{b n}的前n项和记为S n，求b18及S2022．22.椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点到F2的距离为2√2，且椭圆E过点(√6,1)，过F1且不与两坐标轴平行的直线l交椭圆E于A，B两点，点B与点M关于x轴对称．(1)求椭圆E的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△ABF2的面积；(3)若点N(−4,0)，求证：A，M，N三点共线．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120°=tan(180°−60°)=−tan60°=−√3．故选：B．根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值．2.【答案】C【解析】解：由题意得a2=9，得a=3，因为|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=1，所以|PF1|=5，故选：C．利用椭圆的定义直接求解．本题主要考查椭圆的定义及其应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：u⃗=(1,2,1)是直线l的方向向量，v⃗=(2,y,2)为平面α的法向量，l//α，∴u⃗⊥v⃗，∴u⃗⋅v⃗=1×2+2y+1×2=0，解得y=−2．故选：A．由l//α，得到u⃗⊥v⃗，由此能求出y的值．本题考查实数值的求法，考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：某工厂去年的电力消耗为m 千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%，∴今年的电力消耗为a 1=m(1−10%)=0.9m ，∴从今年起，该工厂第5年消耗的电力为a 5=0.9m(1−10%)4=0.95m. 故选：D ．今年的电力消耗为a 1=m(1−10%)=0.9m ，利用等比数列通项公式求出从今年起，该工厂第5年消耗的电力．本题考查等比数列的运算，等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x,y,z)=(1,1,1)， 故选：A ．利用空间向量的线性运算求解即可． 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，2a 8−a 9=16， ∴2(a 1+7d)−(a 1+8d)=a 1+6d =16， S 13=132(a 1+a 13)=132(2a 1+12d)=13×16=208．故选：D ．利用等差数列的通项公式、前n 项和公式直接求解．本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：由x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0⇒(x −2)2+(y −b)2=1， 所以该圆的圆心为C(2,b)，半径为1，因为直线x +2y −6=0平分圆C ：x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0的周长， 所以圆心在直线x +2y −6=0上，故2+2b −6=0⇒b =2， 因此P(−1,−2)，C(2,2)，所以有|PC|=√(−1−2)2+(−2−2)2=5， 所以|PQ|=√|PC|2−12=√25−1=2√6， 故选：B ．根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，两点之间距离公式及其应用等知识，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设BE ⊥l 于点E ，准线l 交x 轴于点G ，则|BE|=|BF|，又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|BC|=3|BE|，|CF|=3|GF|，又AD ⊥l 于点D 且|AD|=4， ∴BE//AD ，∴|AC|=|AD|+|CF|=|AD|+3|GF|=3|AD|，即3p =2|AD|=2×4， ∴p =83，故选：B ．由题可得|AC|=3|AD|，然后结合条件可得p =83，即可得|OF|的值．本题主要考查直线与抛物线的综合问题，圆锥曲线与向量的综合问题等知识，属于中等题．9.【答案】AB【解析】解：在四面体P −ABC 中，P(0,0,3)，A(2,2,5)，B(1,3,2)，C(3,1,2)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−3)，故A 正确；|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+9=√11，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−3)，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+9=√11， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，故B 正确； PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,−1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5≠0，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，故C 错误； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1−1+9=7，故D 错误． 故选：AB ．利用向量坐标运算法则、向量数量积公式、向量的模直接求解．本题考查命题真假的判断，考查利用向量坐标运算法则、向量数量积公式、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：A ：由a(a −1)−6=0，解得a =3或a =−2，经验证a =3，a =−2时两条直线平行，∴A 错误，B ：当a =25时，则l 1：x +5y +3=0，l 2：15x −3y +13=0，∵1×15+5×(−3)=0，∴l 1⊥l 2，∴B 正确，C ：∵直线l 1：ax +2y +3a =0，则a(x +3)+2y =0，∴x +3=0且y =0，∴x =−3，y =0，∴直线l 1过定点(−3,0)，∴C 错误，D ：∵直线l 1过定点N(−3,0)，∴点P(1,3)到直线l 1的距离的最大值为PN =√(1+3)2+32=5，∴D 正确， 故选：BD ．利用直线的平行判断A ，利用直线的垂直判断B ，利用直线过定点判断C ，利用两点间的本题考查了两条直线平行，垂直的充要条件，考查了直线过定点，两点间的距离公式，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：因为椭圆的短轴长为2√3，所以有2b =2√3⇒b =√3⇒a 2−c 2=3， 而椭圆的离心率为12，所以c a =12⇒a =2c ⇒a 2=4c 2， 所以可得：c 2=1，a 2=4，b 2=3．A ：因为a 2=4，b 2=3，所以该椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1，因此本选项正确；B ：由2y 2−2x 2=1⇒y 212−x 212=1，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆x 24+y 23=1的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；C ：因为124+(−32)23=1，所以点(1,−32)在该椭圆上，因此本选项说法正确；D ：直线y =k(x +1)恒过点(−1,0)，而(−1)24+023<1，所以点(−1,0)在椭圆内部，因此直线y =k(x +1)与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确， 故选：ACD ．根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．12.【答案】BD【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=3n(n ≥1,n ∈N ∗)， ∴a n+1+a n+2=3(n +1)， ∴a n+2−a n =3，又a 1+a 2=3×1=3⇒a 2=1，故数列{a n }的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列， 偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列， ∴a 2n =2+3(n −1)=3n −1， a 2n−1=1+3(n −1)=3n −2，S2n=2+3+6+....+(3n−1)+1+4+....+(3n−2)=n(2+3n−1)2+n(1+3n−2)2=3n2，故选：BD．根据递推关系得到数列{a n}的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列，偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列，进而求出数列的通项公式，即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，考查通项公式的求解，属于中档题目．13.【答案】10x+4y−3=0【解析】解：设P为点M(2,3)，N(−3,1)的中点，则P(−12,2)，∵点M(2,3)，N(−3,1)，∴k MN=3−12−(−3)=25，∴线段MN的垂直平分线的斜率为−52，∴线段MN的垂直平分线的方程为y−2=−52(x+12)，即10x+4y−3=0．故答案为：10x+4y−3=0．根据已知条件，结合中点公式，以及两直线垂直的性质，即可求解．本题主要考查垂直平分线的求解，考查计算能力，属于基础题14.【答案】3{3,n=12n−1,n≥2【解析】解：∵S n=n2+2，∴n=1时，a1=S1=3；n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1，a1=3不满足上式，∴a n={3,n=12n−1,n≥2，故答案为：3，{3,n=12n−1,n≥2．根据S n=n2+2，再写一式，两式相减，可得{a n}的通项公式，进而求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及通项公式的求解，考查计算能力，属于基础题目．15.【答案】2【解析】解：双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，则A(−a,0)，不妨设B(0,b)，∴直线AB 的方程为y =ba (x +a)，即bx −ay +ab =0， ∵F(c,0)， ∴|bc+ab|√a 2+b 2=32b ，即c+a c=32，∴c =2a ， ∴e =ca =2． 故答案为：2．先求出直线AB 的方程，根据点到直线的距离公式可得|bc+ab|√a 2+b 2=32b ，化简整理可得e =c a=2．本题考查了双曲线的方程和性质，考查了运算求解能力，属于基础题．16.【答案】4√105105【解析】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(12,0,0)，P(0,0,1)，D(0,2,0)，C(1,2,0)，F(0,1,12)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,2,0)．设平面PCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12x +z =012x +2y =0，取y =−1，得n⃗ =(4,−1,2)． 又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−12)， ∴点F 到平面PCE 的距离为：d =∣n ⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗⃗ ∣=√1+4×√14+1+4=4√105105．故答案为：4√105105． 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点F 到平面PCE 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：(1)a 3=6，S 10=−15，∴{a 1+2d =610a 1+45d =−15， 解得d =−3，a 1=12，∴a n =12−3(n −1)=−3n +15； (2)S n =12n −3n(n−1)2=−32(n 2−9n)=−32[(n −92)2−814]，当n =4或5时，S n 的值最大， 故S n =−32n 2+272n ，当n =4或5时，S n 的值最大．【解析】(1)根据通项公式和求和公式列出方程组解得即可求出首项和公差； (2)根据求和公式和二次函数的性质即可求出．本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，以及二次函数的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为圆心在x 轴正半轴上、半径为2，所以设圆的方程为(x −a)2+y 2=4(a >0)，圆心C(a,0)， 圆心C 到直线l 1：√2x −4y =0的距离d =√2a √2+16=a3，又因为|AB|=2√3，所以2√4−d 2=2√3，所以4−a 29=3，解得a =3或a =−3(舍去)， 所以圆C 的标准方程为(x −3)2+y 2=4； (2)由(1)可知d =∣√2a ∣√2+16=a3=1，圆C 的半径为2，因为线l 2//l 1，所以设直线线l 2的方程为√2x −4y +m =0，因为圆C 上仅有一个点到直线l 2的距离为1，所以直线l 2与该圆相离， 当两平行线间的距离为2，于是有0−m √2+16=2，所以m =±6√2， 当m =6√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2+6√2∣√2+16=3>2，符合题意，当m =−6√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2−6√2∣√2+16=1<2，不符合题意， 故直线l 2的方程为√2x −4y +6√2=0．当两平行线间的距离为4，于是有√2+16=4，所以m =±12√2， 当m =12√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：∣3√2+12√2∣√2+16=5>2×2，不符合题意，当m =−12√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2−12√2∣√2+16=3>2，符合题意， 故直线l 2的方程为√2x −4y −12√2=0．综上所述：直线l 2的方程为√2x −4y −12√2=0或√2x −4y +6√2=0．【解析】(1)根据圆的弦长公式进行求解即可；(2)根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可． 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得e =ca =√5，2b =4，即b =2，又a 2+b 2=c 2， 解得a =1，c =√5， 则双曲线的方程为x 2−y 24=1，渐近线方程为y =±2x ；(2)联立{y =kx −24x 2−y 2=4，可得(4−k 2)x 2+4kx −8=0， 由直线y =kx −2与双曲线C 相交于互异两点，可得4−k 2≠0，且Δ=16k 2+32(4−k 2)>0，解得−2√2<k <2√2，且k ≠±2，所以k 的取值范围是(−2√2,−2)∪(−2,2)∪(2,2√2).【解析】(1)由双曲线的离心率公式和虚轴的概念、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到渐近线方程；(2)联立直线y =kx −2与双曲线的方程，消去y ，可得x 的二次方程，运用判别式大于0，注意二次项的系数不为0，解不等式可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AD =2BC ，O 为AD 的中点，所以AO =BC ，而AD//BC ，所以四边形AOCB 是平行四边形，因此AB =OC =2， 因为∠APD =90°,PA =PD =2√2,O 为AD 的中点， 所以AD ⊥PO ，PO =12AD =12√PA 2+PD 2=12×√8+8=2，而PC =2√2，因为PC 2=PO 2+CO 2，所以OC ⊥PO ，而AD ∩CO =O ，AD ，CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ；(2)解：根据(1)，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0,0,2)，A(0,−2,0)，D(0,2,0)，B(−2,2,0)，C(2,0,0)，于是有：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(0,−2,−2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ −(0,2,−2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)， 设平面PAD 的法向量为：n =(x 1,y 1,z 1)，所以{n⃗ ⊥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−2y 1−2z 1=02y 1−2z 1=0⇒n ⃗ =(1,0,0)， 设平面PBC 的法向量为：m −(x 2,y 2,z 2)，所以{m⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ m ⃗⃗⃗ ⊥PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −0⇒{−2x 2+2y 2−2z 2=02x 2−2z 2=0⇒m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ， 所以cosθ=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=1×√12+22+12−√66．【解析】(1)根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)利用空间向量夹角公式进行求解即可．本题主要考查线面垂直的证明，面面角的计算等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)设等差数列的公差d，因为a2+4，a5，a6成等差数列，所以有2a5=a6+a2+4⇒2(a1+4d)=a1+5d+a1+d+4⇒d=2，因为a4，a7，a12成等比数列，所以a72=a4a12⇒(a1+6×2)2=(a1+3×2)(a1+11×2)⇒a1=3，所以a n=3+(n−1)⋅2=2n+1；(2)由题意可知：在3和5之间插入2个3，在5和7之间插入22个3，⋯，在19和21之间插入29个3，此时共插入3的个数为：2(1−29)1−2=210−2=1022<2022，在21和23之间插入210个3，此时共插入3的个数为：2(1−210)1−2=211−2=2046>2022，因此b1=3，在3和5之间插入2个3，在5和7之间插入22个3，在7和9之间插入23个3，第18项为9，即b18=9，S2022=(3+5+⋯+21)+(2022−10)×3=(3+21)×102+2012×3=6156．【解析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；(2)根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．本题考查了等差数列与等比数列的综合以及数列的求和问题，属于中档题．22.【答案】(1)解：因为短轴的一个端点到F2的距离为2√2，所以a=2√2，又椭圆E过点(√6,1)，所以(2√2)2+1b2=1，解得b2=4，故椭圆E的方程为x28+y24=1．(2)解：由题意知，F1(−2,0)，F2(2,0)，当直线l的斜率为1时，其方程为y=x+2，联立{y=x+2x28+y24=1，解得x=0或−83，不妨取A(0,2)，B(−83,−23)，故△ABF 2的面积为S =12|F 1F 2|⋅|y A −y B |=12×4×|2−(−23)|=163．(3)证明：设直线l 的方程为y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则M(x 2,−y 2)， 联立{y =k(x +2)x 28+y 24=1，得(2k 2+1)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，所以x 1+x 2=−8k 22k 2+1，x 1⋅x 2=8k 2−82k 2+1，所以k AN −k MN =y 1x1+4−−y 2x2+4=y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)(x 1+4)(x 2+4)，因为y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)=k(x 1+2)(x 2+4)+k(x 2+2)(x 1+4)=2k ⋅x 1x 2+6k(x 1+x 2)+16k=2k ⋅8k 2−82k 2+1+6k ⋅(−8k 22k 2+1)+16k =16k 3−16k−48k 3+32k 3+16k2k 2+1=0，所以k AN −k MN =0，即直线AM ，MN 的斜率相等， 故A ，M ，N 三点共线．【解析】(1)易知a =2√2，将点(√6,1)代入椭圆方程求出b 的值后，即可得解； (2)直线l 的方程为y =x +2，将其与椭圆方程联立，求得A ，B 两点的坐标，再利用分割法，由S =12|F 1F 2|⋅|y A −y B |，得解；(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =k(x +2)，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，证明k AN −k MN =0，即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，分割法求三角形面积，以及三点共线的证明方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题
因为 (x -1)2 + y2 = x +1 ，
所以点 P ( x, y) 到点 (1, 0) 的距离等于点 P ( x, y) 到直线 x= - 1 的距离，
所以 P 的轨迹为抛物线. 故选：C. 3．B 【分析】连接 B1C ， AB1 ,根据正方体 ABCD - A1B1C1D1 ,得到 A1D P B1C , 得到异面直线
B． 4 5
C．
2 3
D． 6 6
4．已知圆 C1 : (x - a)2 + ( y -1)2 = 1与圆 C2 : (x -1)2 + ( y - 3)2 = 4 有且仅有 2 条公切线，
则实数 a 的取值范围是（ ）
( ) A． 1- 5,1+ 5
( ) B． 1+ 5,1+ 21
C． (-2, 0)
2．已知点 P ( x, y) 满足 (x -1)2 + y2 = x +1 ，则点 P 的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
3．在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = AA1 = 1, AD = 2 ，则异面直线 AC, A1D 的夹角余 弦值为（ ）
A． 10 10
1 2S1
+
2 3S2
+L
+
n
(n +1) Sn
<1.
试卷第41 页，共33 页
18．已知曲线 f ( x) = x3 - x +1， (1)求曲线在点 P (1,1) 处的切线方程；
(2)求过点
Q
æ çè
2 3
,
1 3
重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学(理)试题(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（）A. B. C.D.2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C.D.3. 命题“，均有”的否定形式是（）A. ，均有B. ，使得C. ，均有D. ，使得4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（）A. B. C.D.6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（）A. B. C. D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（）A. B. C. D.10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（）A.2B.C. 3D.11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（）A. B. C.0.3D.12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A. B. C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则__________．14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．15. 三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16. 已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。
重庆市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
3.命题：“ ，抛物线 的焦点在x轴上”的否定是（）
A. ，抛物线 的焦点在x轴上
B. ，抛物线 的焦点不在x轴上
C. ，抛物线 的焦点在x轴上
D. ，抛物线 的焦点不在x轴上
【答案】D
4.空间中，两பைடு நூலகம்线异面是两直线没有公共点的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】AD
11.如图，在三棱锥 中， 平面ABC， ，则下列结论正确的有（）
A.三棱锥 的表面积
B.三棱锥 的体积
C.三棱锥 的外接球表面积
D.三棱锥 的内切球体积
【答案】BC
12.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，左、右顶点分别为A、B，O为坐标原点.点P为双曲线上任意一点（异于实轴端点），过点 作 的平分线的垂线，垂足为Q，连接OQ.则下列结论正确的有（）
15.已知抛物线 的准线 ，经过双曲线 的一个顶点，点 在抛物线 上，直线 ，则点 到直线 与 的距离之和的最小值为________.
【答案】
16.已知椭圆 的右顶点和上顶点分别为A、B，点P在椭圆上，AP交y轴于点C，BP交x轴于点D，若 ，则该椭圆的离心率为________.
【答案】
四、解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.
（注： ， ）
A. B.
C. D.
【答案】A
8.直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.