线性矩阵不等式

(A.2.2)
则在具有时变不确定性系统的鲁棒稳定性分析中提出了以下问题： 寻找一个具有结构（A.2.2）的尺度矩阵 D，使得 sup DG( j ) D 1 1

可以证明：这样一个问题可以转化成一个线性矩阵不等式系统的可行性问 题，即寻找两个对称矩阵 X R 66 和 S DT D R 44 ，使得
F ( X ) F ( xi Ei ) A ( xi EI ) ( xi EI ) A Q
T i 1 I 1 I 1
M
M
M
Q x1 ( AT E1 E1 A) xM ( AT EM EM A)
＜0 （7.1.3）
即 Lyapunov 矩阵不等式（7.1.1）写成了线性矩阵不等式的一般形式（7.1.3） 。
setlmis([]) X=lmivar(1,[6 1]) S=lmivar(1,[2 0;2 1]) ﹪lst LMI lmiterm([1 1 1 x],1,A,’s’) lmiterm([1 1 1 s],c’,c) lmiterm([1 1 2 x],1,B) lmiterm([1 2 2 s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-2 1 1 X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-3 1 1 s],1,1) lmiterm([3 1 1 0],1) lmisys=getlmis
7.2可转化成线性矩阵不等式表示的问题
系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式的问题，或不具有（7.1.1） 式的形式，但可通过适当的处理将问题转换成具有（7.1.1）式形式的一个线性矩阵不等式的 问题。下面给出了这方面的一些典型的例子。 1、 多个线性矩阵不等式
F1 ( x)0,, FK ( x)0
m 是一组给定的实对称矩阵， （7.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有 非零的向量 v R , v F ( x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
m
T
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
min s.t.G ( x) F ( x) F ( x) 0 H ( x) 0
例 7.3.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t ) Ax(t )
的渐近稳定性问题，其中 A R
nn
(7.3.1) 。Lyapunov 稳定性理论告诉我们：这个系统渐近稳
nn
定的当且仅当存在一个对称矩阵 X R
T 使 得 X 0 , A X XA0 。 因 此 系 统
（7.3.1）的渐近稳定性问题等价于线性矩阵不等式
X 0
的可行性问题。
0 0 AT X XA
例 7.3.2
分析问题
1 在 分析中，通常要求确定一个对角矩阵 D，使得 DED 1 ，其中 E 是一个给
AT X XA C T SC XB 0 T B X S
X 0 S I
（A.2.3） （A.2.4） （A.2.5）

用命令lmivar和lmiterm给出线性矩阵不 等式系统（A.2.3）~（A.2.5）的内部描 述如下：

7.4.1线性矩阵不等式及相关术语
考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：
AT X XA XC T N T CX I BT DT
其中：A、B、C、D、N 是给定的矩阵，X=XT∈R
n×n
B D N 0 I
和 ∈R 是问题的变
N 称为外因子，块矩阵
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,

(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
setlmis和getlmis 一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以 getlmis结束。当要确定一个新的系统时，输入： setlmis([]) 如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为lmiso 的现有的线性矩阵不等式系统中,则输入: setlmis(lmiso) 当线性矩阵不等式系统被完全确定好后，输入： lmisys=getlmis 该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示lmisys。
T
1
在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式：
AT P PA PBR1BT P Q0
(7.2.3)
其中：A, B, Q QT 0 , R RT 0 是给定的适当维数的常数矩阵， 是对称矩阵变量， P 则应用引理 7.1.1，可以将矩阵不等式（7.2.3）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
S11 引理 7.1.1 对给定的对称矩阵 S S 21
件是等价的： （ⅰ） S 0 （ⅱ） S11 0, S22 S12 S11 S12 0
T 1
S12 ，其中 S11 是 r×r 维的。以下三个条 S 22
（ⅲ） S22 0, S11 S12 S22 S12 0
（7.2.1）
称 为 一 个 线 性 矩 阵 不 等 式 系 统 。 引 进 F ( x) diagF ( x),，F k ( x) , 则 F1 ( x)0 „ ， 1
Fk ( x)0 同时成立当且仅 F ( x)0 。因此，一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单一的线性
矩阵不等式来表示。
其中：函数lmivar定义了两个矩阵 变量X和S，lmiterm则描述了每一 个线性矩阵不等式中各项的内容。 getlmis回到了这个线性矩阵不等 式系统的内部表示lmisys，lmisys 也称为是储存在机器内部的线性 矩阵不等式系统的名称。以下将 详细介绍这几个函数的功能和用 法。

2、 在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的 Schur 补性质。考虑一个矩阵 S R
nn
,并将wenku.baidu.comS 进行分块：
S11 S S 21
S12 S 22
（7.2.2）
1
其中的 S11 是 r×r 维的。假定 S11 是非奇异的，则 S11 S 21S11 S12 称为 S11 在 S 中的 Schur 补。以下引理给出了矩阵的 Schur 补性质。


要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
7.4.2线性矩阵不等式的确定


LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
T
例 7.3.3
最大奇异值问题
考虑最小化问题 min f ( x) max ( F ( x)) ,其中 F ( x) : R m S n 是一个仿射的矩 阵值函数。由于
max (F ( x)) F T ( x)F ( x) 2 I 0
根据矩阵的 Schur 补性质，
AT P PA Q PB 0 BT P R
（7.2.4）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
7.3一些标准的线性矩阵不等式问题

1.可行性问题； 2.特征值问题
min s.t.G( x) I H ( x) 0

3.广义特征值问题
其中：A， Q R
nn
(7.1.2)
nn
是给定的常数矩阵，且 Q 是对称的， X R
是对称的未知矩阵变量因
此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设 E1,E2,„，EM 是 Sn 中的一组基，则对任意对称
X R
nn
，存在 x1，x2，„xM，使得 X
x E
i 1 i
M
i
。
因此，
例 A.2.1 考虑一个具有 4 个输入、4 个输出和 6 个状态的稳定传递函数
G(s) C(sI A) 1 B
和一组具有以下块对角结构的输入/输出尺度矩阵 D：
d1 0 D 0 0 0 d1 0 0 0 0 d2 d4 0 0 d3 d5
(A.2.1)
AT X XA XC T L（X , ） CX I BT DT
B D I
称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵，它在许多问题中常常不出现。 ● X 和 是问题的矩阵变量。注意，标量也可以看成是一个 1×1 维的矩阵。 ● 内因子 L（X， ）是一个对称块矩阵。根据对称性，L（X， ）可以由对角线及 其上方的块矩阵完全确定。 ● L（X， ）中的每一块都是矩阵变量 X 和 的仿射函数。这一函数由常数项和变量 项这两类基本项组成， 其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表达式， 例如 L（X， ）中的 B 和 D；变量项是包含一个矩阵变量的项，例如 XA、- I 等。 一个线性矩阵不等式不论多么复杂， 都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定这个 线性矩阵不等式。
第7章
线性矩阵不等式
7.1 线性矩阵不等式的一般表示
一个线性矩阵不等式是具有形式 F x F0 x1 F1 xm Fm 0
(7.1.1)
的一个表达式。其中 x1 ,„„, xm ,是 m 个实数变量，称为线性矩阵不等式（7.1.1）的决策变量，
x ( x1 ,，x m )T R m 是由决策变量构成的向量，称为决策向量， Fi FiT Rnn ,i=0,1,„，


lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系 统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是： X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中 的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
7.4 LMI工具箱介绍


线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的 一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式, 使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的的形式加以描述。 一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性 矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工 具，它们主要用于： ● 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式； ● 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； ● 修改现有的线性矩阵不等式系统； ● 求解3个一般的线性矩阵不等式问题； ● 验证结果。