线性矩阵不等式的使用
矩阵的柯西施瓦茨不等式
矩阵的柯西施瓦茨不等式
矩阵的柯西施瓦茨不等式是线性代数的一个重要不等式，它适用于任意两个向量的内积。
对于任意两个n维向量x和y，柯
西施瓦茨不等式可以表达为：
|x·y| ≤ ||x|| ||y||
其中，x·y表示向量x和y的内积，即x1y1 + x2y2 + ... + xnyn，||x||表示向量x的范数（也就是向量的长度），表示为√(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。
柯西施瓦茨不等式也可以用矩阵的形式表示。
对于两个列向量
x和y，它们可以组成一个矩阵A=[x y]。
那么柯西施瓦茨不等式可表示为：
|A'| ≤ ||x|| ||y||
其中，A'表示矩阵A的转置矩阵，||x||和||y||表示向量x和y的
范数。
柯西施瓦茨不等式的一个重要推论是当且仅当x和y线性相关时，等号成立。
也就是说，向量x和y平行时，它们的内积的绝对值等于它们的范数之积。
柯西施瓦茨不等式在很多领域有广泛的应用，特别是在数学分析和信号处理等领域。
它可以用来证明向量范数的性质，以及推导其他重要不等式，如三角不等式等。
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
线性矩阵不等式研究
线性矩阵不等式研究[摘要] 近年来，由于线性矩阵不等式（LMI）的优良性质以及解法的突破，使其在控制系统的分析和设计得到了广泛的重视和应用。
本文主要推导和证明现行矩阵不等式的一个性质，这个性质可以于应用解决凸优化问题。
[关键词] 线性矩阵不等式凸集1.背景分析在实际工业控制中，各种工业生产过程、生产设备以及其他众多被控对象，其动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述。
有时即使能获得被控对象的精确数学模型，但由于过于复杂，使得难以对其进行有效的控制性能分析和综合，因此必须进行适当的简化。
因此，线性矩阵不等式及求解凸优化问题的内点法的提出，为许多控制问题的分析和求解提供了有效工具。
在过去的10 余年内,由于线性矩阵不等式(LMI) 的优良性质以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。
在此之前,绝大多数的控制问题都是通过Riccati 方程或其不等式的方法来解决的。
但是解Riccati 方程或其不等式时,有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。
有时,即使问题本身是有解的,也找不出问题的解。
这给实际应用问题的解决带来极大不便,而线性矩阵不等式方法可以很好地弥补Riccati 方程方法的上述不足。
在解线性矩阵不等式时,不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵。
控制系统中时滞的存在往往导致系统的不稳定和较差的系统性能。
因此,时滞系统包括不确定时滞系统的研究具有十分重要的理论意义和应用价值。
关于LMI 技术在时滞系统方面的研究,经过许多学者的努力, 取得了较多的研究成果。
2.线性矩阵不等式一个线性矩阵不等式就是具有形式（2.1）的一个表达式。
其中是个实数变量，称为线性矩阵不等式（2.1）的决策变量，是由决策变量构成的向量，称为决策向量，是一组给定的实对称矩阵，（2.1）式中的不等号“”指的是矩阵是负定的，即对所有非零的向量，或者的最大特征值小于零。
如果把看成是从到实对称矩阵集的一个映射，则可以看出并不是一个线性函数，而只是一个仿射函数。
矩阵的秩不等式
矩阵的秩不等式矩阵的秩不等式是线性代数中一个重要的定理，它描述了一个矩阵的秩和其子矩阵的秩之间的关系。
在本文中，我们将介绍矩阵的秩不等式的定义、证明以及应用。
1. 定义设 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，则它的秩记为$\text{rank}(A)$。
如果 $B$ 是 $A$ 的一个子矩阵，则它的秩记为$\text{rank}(B)$。
则有以下不等式：$$\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n\leq \text{rank}(AB)\leq\min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$$其中，$AB$ 表示 $A$ 和 $B$ 的乘积。
2. 证明为了证明上述不等式，我们需要使用以下两个引理：引理1：设 $A,B,C$ 是三个矩阵，则有 $\text{rank}(AB)\leq\min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$ 和 $\text{rank}(ABC)\leq\min(\text{rank}(AB),\text{rank}(C))$引理2：设 $A,B,C,D$ 是四个矩阵，则有$\text{rank}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\geq \text{rank}(A)+\text{rank}(D)-\text{rank}(B)-\text{rank}(C)$下面我们来证明矩阵的秩不等式：首先，由引理1可得：$$\text{rank}(AB)\leq \min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$$于是，我们有：$$\text{rank}(AB)\leq \min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))\leq\min(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n,\min(\text{rank}(A),\text{rank}(B)))$$其中，第二个不等式是因为 $\min(a,b)\leq a+b-n$。
矩阵的柯西施瓦茨不等式
矩阵的柯西施瓦茨不等式矩阵的柯西施瓦茨不等式是线性代数中一种重要的不等式，它建立了内积空间中向量之间的关系。
柯西施瓦茨不等式的基本思想是通过内积的性质，将向量的长度（模）与向量之间的夹角联系起来。
本文将介绍柯西施瓦茨不等式的定义、证明以及应用。
1. 定义柯西施瓦茨不等式的定义如下：对于实数域上的n维向量x和y，它们的内积满足：|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中，x·y表示向量x和y的内积，||x||和||y||分别表示向量x和y的模。
等号成立当且仅当两个向量线性相关。
2. 证明下面给出柯西施瓦茨不等式的证明。
首先，构造一个函数：f(t) = ||tx - y||^2其中，t为实数。
根据内积的定义，有：f(t) = (tx - y)·(tx - y)= (tx)·(tx) - 2(tx)·y + y·y= t^2(x·x) - 2t(x·y) + y·y由于二次函数f(t)≥0，因此它的判别式小于等于0：(2(x·y))^2 - 4(x·x)(y·y) ≤ 0化简得到：(x·y)^2 - (x·x)(y·y) ≤ 0移项后即得到柯西施瓦茨不等式。
3. 应用柯西施瓦茨不等式在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：3.1. 数值分析在数值分析中，柯西施瓦茨不等式可以用来估计误差。
例如，在数值积分中，我们可以通过柯西施瓦茨不等式来估计数值积分与准确积分之间的误差。
3.2. 泛函分析在泛函分析中，柯西施瓦茨不等式被广泛应用于勒贝格空间、希尔伯特空间等。
它为这些空间的内积定义提供了基础，并且在证明不等式、建立定理时起到了重要作用。
3.3. 物理学在物理学中，柯西施瓦茨不等式被广泛运用于量子力学和统计力学等领域。
它可以用来推导能量的最小值、确定粒子之间的相关性等。
Matlab中LMI(线性矩阵不等式)工具箱使用教程
% S2 is 1 by 1 matrix S2 = lmivar(1, [1 0]); % Type of 2, size 1 by 2 M = lmivar(2, [1 2]); 定义完成变量之后，我们就该用 lmiterm 来描述 LMI 中的每一个项了。Matlab 的官方 文档提示我们，如果要描述一个 LMI 只需要描述上三角或者下三角元素就可以了，否则会 描述成另一个 LMI。 When describing an LMI with several blocks, remember to specify only the terms in the blocks on or below the diagonal (or equivalently, only the terms in blocks on or above the diagonal). 语法为：lmiterm(termID,A,B,flag) termID 是一个四维整数向量，来表示该项的位置和包含了哪些矩阵变量。 termID(1)可以为+p 或者-p，+p 代表了这个项位于第 p 个线性矩阵不等式的左边，-p 代表了这个项位于第 p 个线性矩阵不等式的右边。注意：按照惯例来讲，左边通常指较小 的那边。 termID(2:3): 1、对于外部变量来说，取值为[0,0]; 2、对于左边或者右边的内部变量来说，如果该项在(i,j)位置，取值[i,j] termID(4): 1、对于外部变量，取值为 0 2、对于 A*X*B，取值 X 3、对于 A*X'*B，取值-X flag(可选，值为 s）: 因为：(A*X*B) + (A*X*B)T = A*X*B + B'*X'*A'，所以采用 s 来进行简写。 比如：针对 A*X + X'*A' 我们采用笨方法： lmiterm([1 1 1 X],A,1) lmiterm([1 1 1 -X],1,A') 那么简写就是 lmiterm([1 1 1 X],A,1,'s') 接下来我们就看该论文中的算例吧：(1,1)位置是 -Q+Bd*S2*Bd'+Ad*S1*Ad';
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
矩阵秩的不等式及其应用
矩阵秩的不等式及其应用矩阵秩的不等式及其应用矩阵是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域。
矩阵秩是矩阵理论中很重要的一个概念。
矩阵秩不仅仅是一个数值，还具有深刻的物理意义。
下面我们将探讨矩阵秩的不等式及其应用。
一、矩阵秩的定义矩阵是一个M行N列的矩形数组，其中包含M×N个实数元素。
矩阵秩是由它的行和列所组成的线性空间的维数。
一个矩阵的秩指矩阵的行、列向量组的维数中的最小值。
二、矩阵秩的不等式对于任何一个矩阵A，其行秩等于其列秩。
即rank(A)=rank(AT)。
我们可以利用这个性质得到以下的矩阵秩不等式：对于任何两个矩阵A和B，有rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(A-B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))rank(AB) ≤ rank(A)这些不等式给我们提供了方便快捷的工具来计算矩阵秩。
三、矩阵秩的应用矩阵秩在各个领域都有广泛的应用。
在工程中，它可以用于建立模型和解法，广泛应用于控制工程、数字信号处理、材料科学等。
例如，在控制工程中，我们可以利用矩阵秩的不等式来确定控制系统的稳定性。
一个控制系统是稳定的，当且仅当系统矩阵的秩等于系统状态的维数。
如果系统的任何一个状态可以被表示为系统矩阵中的一个线性组合，那么系统就是不稳定的。
此外，在统计学中，我们也可以利用矩阵秩来确定数据的维度。
数据的维数等于其协方差矩阵的秩。
一个协方差矩阵有多少个非零特征值就代表数据有多少维。
总之，矩阵秩是一个非常重要的概念，可以帮助我们解决很多实际问题。
矩阵秩的不等式为我们提供了更便捷的计算方式。
我们应该在学习中深入理解矩阵秩，并灵活运用其相关知识。
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
线性矩阵不等式2
应用Schur 补,即得定理3.3成立。
y w
2 2
即得闭环系统(3-3)的L2增益小于γ。 再由
V x yT y 2wT w 0
知，当闭环系统(3-3)满足H∞性能指标γ时， V x 0.
定理得证。
Question
为什么考虑零初始条件？若非零初始 条件，系统H∞性能指标不满足。 V x 0 的证明太过牵强。
（3-3）
y Cx
A = A BK MF t E1 E2 K 系统(3-2)的L2 增益定义为：
Tyw s
sup
w 2 0
y w
2 2
定理3.2 针对闭环系统(3-3)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下矩阵不等式成立
AT P PA C T C DT P PD 0 2 I
M , E1 和 E 2
是反映不确定性结构的常数矩阵，
。
F t 是时变的不确定矩阵，且满足 F T t F t I
设计状态反馈控制律
ห้องสมุดไป่ตู้
u t Kx t
闭环系统可写为 x A BK MF t E1 E 2 K x Dw = Ax + Dw
记X=γP CT T D 0 I
AT X XA XB BT X 2 I C D
CT T D 0 I
线性矩阵不等式3
定理4-5 对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对 称正定矩阵X，使得如下不等式成立
可得矩阵A是D-稳定的（必要性的证明请见书 第102页） 。定理得证。
D稳定性定理的应用
一、 LMI区域为左半开复平面
对于左半开复平面，其特征函数是 f D s s s
则
M D A, X 1 AX 1 XAT AX XAT
由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在 左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵 X，使得 AX XAT 0 Lyapunov不等式
E1 E2 K X 0
Y+MFE+ETFTMT<0 Y+εMMT+ε-1ETE<0
不等式两边分别数乘ε， 并记 V X ,W KV 得
rV MM T qV VAT W T BT 0 T rV E1V E2W E1V E2W qV AV BW
x A + A x B + B u y Cx
不确定参数矩阵 A B MF t E1 E2
M , E1 和 E 2
（4-3）
是反映不确定性结构的常数矩阵，
。
F t 是时变的不确定矩阵，且满足 F T t F t I
应用Kronecker乘积的性质，可得
1.1 A A 2. A B C D AC BD
1 A A; A B C D AC BD
1 v M A, X 1 v 1 v L X M AX M L v Xv M v AXv M v Xv L + M + M
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB求解
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB 求解©
作者：dynamic
Sky 时间：2008.12.10
版权：All Rights Reserved By
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b 一、LMI 工具箱概述 ..................................................................................................................................................6 a 1.系统描述 ...........................................................................................................................................................6
对lmi变量的操作dec2matmat2dec将求解器的输出转化为矩阵变量值通过给定的矩阵变量值返回决策向量3lmifeaspmincxdefcxgevpevallmishowlmidellmidelmvarsetmvarma4lmi结果验证与修改5lmi系统信息的提取decinfodecnbrlmiinfolminbrmntnbr以决策变量的形式表示每个输入的矩阵变量得到决策变量的个数查询现存lmi系统的信息得到问题中lmi的个数得到问题中矩阵变量的个数tlab验证lmi的可行性lmi限制下线性目标的极小值在mincx命令中第一ctx目标lmi限制下的广义特征值最小化由决策变量的给定值来验证所有的变量项返回一个已经评估的lmi的左右边从系统中删除一个lmi从问题中移除一个矩阵变量将一个矩阵变量赋予指定值ky三lmi工具箱函数详解1
线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用(1)
1 引 言
在过去的 10 余年内 ,由于线性矩阵不等式 (L M I) 的优良性质以及解法的突破 ,使其在控制 系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用 。 在此之前 ,绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3 ] 。但是解 Riccati 方程或其不等式时 ,有大量的参数和正定 对称矩阵需要预先调整 。有时 ,即使问题本身是 有解的 ,也找不出问题的解 。这给实际应用问题 的解决带来极大不便 ,而线性矩阵不等式方法可 以很好地弥补 Riccati 方程 方 法 的 上 述 不 足[4 ] 。 在解线性矩阵不等式时 ,不需要预先调整任何参 数和正定对称矩阵 。本文对 L M I 在控制工程中 的发展和现状进行简要的回顾 ,着重讨论 L M I 在 不确定控制系统中的应用研究成果以及展望 。
表 1 基于 LMI 方法的各种控制与滤波问题
序号
系统描述
采用方法
文献
1
不确定线性系统和非线性系统的状 基于 L M I 转化为凸优化问题求得鲁棒界 ;对于非
[14 ]
态反馈以及输出反馈表述
线性如 L urie 系统则通过 L yapunov 函数方法得到
[15 ]
系统稳定的 L M I 判定准则
摘 要 : 介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具 箱 Matlablmi 的 3 个求解器 ,对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述 。分 析了其在当前的两个研究热点 ,即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用 。同时探 讨了时滞系统与非线性系统的研究现状 。然后列举了一些具有代表性的采用 L M I 求解控 制问题的最新结果 。为了说明线性矩阵不等式的求解过程 ,给出了一个保性能控制的例 子 ,在 Matlab 513 编辑器中运行程序 ,得到的结果是最优性能指标值 , copt = J 3 101677 7 。 关 键 词 : 线性矩阵不等式 ;时滞 ;凸优化 ;L M I 工具箱 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A
线性矩阵不等式
线性矩阵不等式是一种数学关系，它可以用来描述矩阵之间的线性关系。
它把一个矩阵的元素和另一个矩阵的元素比较，以表达它们之间的线性关系。
它可以用来比较两个矩阵之间的差异，也可以用来比较两个矩阵之间的相似度。
线性矩阵不等式的具体形式是：A，B两个矩阵，其中A和B的元素之间的比较关系可以写成a_ij ≤ b_ij，其中i表示A矩阵的行号，j表示A矩阵的列号，a_ij表示A矩阵第i行第j列的元素，b_ij表示B矩阵第i行第j列的元素。
线性矩阵不等式的应用非常广泛，它可以用来求解矩阵的最大值和最小值，可以用来解决线性规划问题，也可以用来求解矩阵的最优解。
总之，它是一种重要的数学工具，在线性代数中有着重要的应用。
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式1. 引言控制论是研究如何通过调节输入信号以改变和稳定系统行为的理论。
矩阵不等式是控制论中常用的分析工具之一。
它是由一组矩阵构成的不等式关系，用于描述系统的稳定性、性能和鲁棒性等方面的要求。
本文将介绍控制论常用的矩阵不等式及其应用领域。
首先，我们将介绍矩阵不等式的基本概念和定义。
然后，我们将讨论矩阵不等式在系统稳定性分析、性能指标设计和鲁棒控制中的应用。
最后，我们将总结矩阵不等式的优缺点，并展望其未来的发展方向。
2. 矩阵不等式的基本概念和定义矩阵不等式是一种关于矩阵的不等式关系，常用于描述系统的稳定性和性能等要求。
下面是一些常见的矩阵不等式的定义：定义1：对于给定的实对称矩阵A和正定矩阵P，不等式A^T P + PA < 0称为Lyapunov不等式。
Lyapunov不等式在系统稳定性分析中特别重要。
通过求解Lyapunov不等式，可以判断系统的稳定性，并设计稳定控制器。
定义2：对于给定的实对称矩阵A、B和正定矩阵Q，不等式A^T Q + QA - B^T B < 0称为Riccati不等式。
Riccati不等式广泛应用于线性二次型控制问题中。
通过求解Riccati不等式，可以设计最优的状态反馈控制器，使系统具有最小的性能指标。
定义3：对于给定的实对称矩阵A和不等式约束矩阵C，不等式AC + CA^T < 0称为LMI不等式。
LMI不等式是一种常见的矩阵不等式形式，广泛应用于鲁棒控制和优化问题中。
通过求解LMI不等式，可以设计稳定控制器，并满足一定的性能指标和鲁棒性要求。
3. 矩阵不等式在系统稳定性分析中的应用系统稳定性是控制论中的一个重要问题。
矩阵不等式在系统稳定性分析中起到关键作用。
下面介绍两种常见的矩阵不等式在系统稳定性分析中的应用。
Lyapunov不等式的应用在系统稳定性分析中，Lyapunov不等式常用于判断系统的渐进稳定性。
对于给定的系统描述矩阵A，存在一个实对称矩阵P满足Lyapunov不等式，当且仅当系统是渐进稳定的。
lmi的matlab程序
lmi的matlab程序LMI的Matlab程序LMI（线性矩阵不等式）是一种常用的工具，用于解决线性系统控制问题。
Matlab是一种流行的数值计算软件，它提供了丰富的工具箱和函数库，可以帮助工程师和科学家解决各种数学和工程问题。
在本文中，我们将探讨如何使用Matlab编写和求解LMI的程序。
让我们简要介绍一下LMI。
LMI是一种特殊的线性不等式，其形式为AX + XB < C，其中A、B和C是已知的矩阵，X是待求解的变量矩阵。
LMI在控制理论和优化领域中有广泛的应用，例如线性系统稳定性分析、鲁棒控制设计和最优控制问题等。
在Matlab中，我们可以使用控制系统工具箱来编写和求解LMI。
首先，我们需要定义已知的矩阵A、B和C。
然后，我们可以使用lmi函数来创建LMI对象。
例如，我们可以使用以下代码创建一个LMI对象：```matlabA = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = [9 10; 11 12];LMI = lmi(A, B, C);```创建LMI对象后，我们可以使用lmiinfo函数来获取LMI的信息，例如LMI的维度和约束条件的数量。
例如，我们可以使用以下代码获取LMI的信息：```matlabinfo = lmiinfo(LMI);```接下来，我们可以使用lmiterm函数来添加约束条件。
约束条件可以是线性约束、二次约束或多项式约束。
例如，我们可以使用以下代码添加一个线性约束条件：```matlablmiterm([1 1 1 X], A', 1, 's');```在这个约束条件中，[1 1 1 X]表示约束项的位置和变量，A'表示已知矩阵A的转置，1表示约束项的系数，'s'表示约束的类型为小于等于。
添加约束条件后，我们可以使用lmisolve函数来求解LMI。
lmisolve函数将返回LMI的最优解，并将其存储在变量x中。
离散代数riccati方程 lmi
离散代数riccati方程 lmi离散代数Riccati方程与LMI引言离散代数Riccati方程（Discrete Algebraic Riccati Equation）是控制论和系统科学中的一个重要问题。
它可以通过线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）来表示和求解。
在本文中，我们将介绍离散代数Riccati方程与LMI之间的关系，探讨其应用和解决方法。
离散代数Riccati方程简介离散代数Riccati方程是一类特殊的代数方程，形式如下：X=A T XA−A T XB(R+B T XB)−1B T XA+Q其中，X是未知矩阵，A和B是已知矩阵，Q和R是给定的对称矩阵。
Riccati方程的求解对于控制系统的稳定性和性能分析具有重要意义。
线性矩阵不等式（LMI）线性矩阵不等式是描述矩阵约束条件的不等式。
LMI的一般形式如下：F(X)≼0其中，X 是待求矩阵，F (X ) 是关于 X 的线性函数。
LMI 的解集合可以表示为一组矩阵的集合。
Riccati 方程与LMI 的关系Riccati 方程和LMI 之间存在紧密的关系。
事实上，离散代数Riccati 方程可以转化为一个LMI 问题。
通过引入新的变量和约束，可以将Riccati 方程重新表述为LMI 形式，进而可以使用现有的LMI 求解方法来求解Riccati 方程。
具体而言，我们定义下面的矩阵和变量：X =[X 11X 12X 21X 22], Z =[X 11X 12X 21X 22]T F (X )=[X 11−A T X 11A +Q X 11A −X 12+A T X 21⋆X 22−R] 其中，⋆ 表示可以任意取值的元素。
通过对矩阵 F (X ) 的约束条件进行推导和求解，可以得到Riccati 方程的解。
Riccati 方程的求解方法Riccati 方程是一个重要的非线性方程，其求解是一个复杂的问题。
线性矩阵不等式在控制工程中的应用
线性矩阵不等式在控制工程中的应用线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，简称LMI）是一种常见且重要的数学工具，它在控制工程领域中得到广泛应用。
本文将着重介绍LMI的基本概念、应用场景以及在控制工程中的具体应用。
一、LMI的基本概念LMI是一种线性约束条件下的矩阵不等式，一般形式为：P > 0（表示矩阵P是正定的），或F(A, B, C) > 0（表示关于矩阵A、B、C的函数F大于零）。
LMI的解集是所有满足该矩阵不等式条件的矩阵组成的集合。
LMI问题通常可以通过利用凸优化方法进行求解。
二、LMI的应用场景LMI广泛应用于控制工程领域，其中最主要的应用场景包括：1. 系统稳定性分析与设计：通过构建LMI来分析系统的稳定性，并设计稳定控制器，以确保系统在不同工况下具有良好的稳定性。
2. 鲁棒控制设计：在存在不确定性或测量噪声的情况下，通过LMI技术设计鲁棒控制器，使系统具有鲁棒性能。
3. 最优控制设计：通过最小化LMI问题的目标函数，优化控制设计，实现系统的最优性能。
4. 过程控制与优化：利用LMI技术设计控制器，通过对系统的状态变量、输入变量进行优化，实现过程控制与优化。
5. 非线性控制器设计：通过线性化方法将非线性系统线性化，并将其表示为LMI形式，从而设计出最优的线性控制器。
三、LMI在控制工程中的具体应用1. 鲁棒控制：对于具有不确定性的系统，通过建立LMI，设计鲁棒控制器，以提高系统的稳定性和鲁棒性能。
2. H∞控制：利用LMI方法设计H∞控制器，使系统对不确定性和噪声具有良好的鲁棒性能，同时最小化系统对外界干扰的敏感度。
3. 状态反馈控制：通过LMI技术设计状态反馈控制器，实现系统状态的稳定性和快速响应。
4. 参数估计：利用LMI方法设计参数估计器，对系统的未知参数进行在线估计，以提高系统的自适应性能。
5. 面向网络控制系统的设计：通过LMI技术，设计满足网络控制系统带宽约束的控制器，以保证系统的稳定性和性能。
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LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
项（Terms）：项是常量或者变量（Terms are either constant or variable）。
常项（Constant Terms）是确定的矩阵。
可变项（Variable Terms)是哪些含有矩阵变量的项，例如：X*A, X*C'。
如果是X*A + X*C'，那么记得要把它当成两项来处理。
好了废话不说了，让我们来看个例子吧（下面是一线性时滞系统）。
500)this.width=500;" border=0>针对这个式子，如果存在满足如下LMI的正矩阵(positive-define)的Q，S1，S2和矩阵M，那么我们就称作该系统为H-inf渐进稳定的，并且gammar是上限。
500)this.width=500;" border=0>该论文的地址为：论文原文地址该论文的算例为：500)this.width=500;" border=0>我们要实现的就利用LMI进行求解，验证论文结果。
首先我们要用setlmis([])命令初始化一个LMI系统。
接下来，我们就要设定矩阵变量了。
采用函数为lmivar语法：X = lmivar(type,struct)type=1: 定义块对角的对称矩阵。
每一个对角块或者是全矩阵<任意对称矩阵>，标量<单位矩阵的乘积>，或者是零阵。
如果X有R个对角块，那么后面这个struct就应该是一个Rx2阶的的矩阵，在此矩阵中，struct(r,1)表示第r个块的大小，struct(r,2) 表示第r个块的类型<1--全矩阵，0--标量，-1--零阵）。
比如一个矩阵有两个对角块，其中一个是2x2的全对称矩阵，第二个是1x1的一个标量，那么该矩阵变量应该表示为X = lmivar(1, [2 1; 1 0]) 。
type=2: mxn阶的矩阵，只需要写作struct = [m,n]即可。
type=3: 其它类型。
针对类型3，X的每一个条目（each entry of X）被定义为0或者是+(-)xn，此处xn代表了第n个决策变量。
那么针对我们的例子，我们如此定义变量：% Q is a symmetric matrix, has a block size of 2 and this block is symmetricQ = lmivar(1, [2 1]);% S1 a symmeric matrix, size 2S1 = lmivar(1, [2 1]);% S2 is 1 by 1 matrixS2 = lmivar(1, [1 0]);% Type of 2, size 1 by 2M = lmivar(2, [1 2]);定义完成变量之后，我们就该用lmiterm来描述LMI中的每一个项了。
Matlab 的官方文档提示我们，如果要描述一个LMI只需要描述上三角或者下三角元素就可以了，否则会描述成另一个LMI。
When describing an LMI with several blocks, remember to specify only the terms in the blocks on or below the diagonal (or equivalently, only the terms in blocks on or above the diagonal).语法为：lmiterm(termID,A,B,flag)termID是一个四维整数向量，来表示该项的位置和包含了哪些矩阵变量。
termID(1)可以为+p或者-p，+p代表了这个项位于第p个线性矩阵不等式的左边，-p代表了这个项位于第p个线性矩阵不等式的右边。
注意：按照惯例来讲，左边通常指较小的那边。
termID(2:3):1、对于外部变量来说，取值为[0,0];2、对于左边或者右边的内部变量来说，如果该项在(i,j)位置，取值[i,j]termID(4):1、对于外部变量，取值为02、对于A*X*B，取值X3、对于A*X'*B，取值-Xflag(可选，值为s）:因为：(A*X*B) + (A*X*B)T = A*X*B + B'*X'*A'，所以采用s来进行简写。
比如：针对A*X + X'*A'我们采用笨方法：lmiterm([1 1 1 X],A,1)lmiterm([1 1 1 -X],1,A')那么简写就是lmiterm([1 1 1 X],A,1,'s')接下来我们就看该论文中的算例吧：(1,1)位置是-Q+Bd*S2*Bd'+Ad*S1*Ad';我们应该表示为：% pos in (1, 1)lmiterm([1 1 1 Q], -1, 1);lmiterm([1 1 1 S2], Bd, Bd');lmiterm([1 1 1 S1], Ad, Ad');其它位置仿照写就行了，不懂了多看帮助文档。
把每一个项都定义以后，要记得lmis = getlmis;[tmin, feas] = feasp(lmis)getlmis:是在完成定义变量和项之后，LMI系统的内部表示就可以通过此命令获得（After completing the description of a given LMI system with lmivar and lmiterm, its internal representation lmisys is obtained with the command）。
feasp是调用feasp求解器，看有没有可行解。
feas就是可行解。
下面我把代码贴上去，那些常数矩阵都在此源程序中定义了。
A = [2 1; 0 1];Ad = [0.2 0.1; 0 0.1];B1 = [0.1 0.1]';B2 = [1 1]';Bd = [0.1 0.1]';C = [1, 1];Cd = [0.1, 0.1];D11 = 0.1;D12 = 1;Dd = 0.1;gammar = 1;% Initial a LMI systemsetlmis([]);% Define Variables% Q is a symmetric matrix, has a block size of 2 and this block is symmetricQ = lmivar(1, [2 1]);% S1 a symmeric matrix, size 2S1 = lmivar(1, [2 1]);% S2 is 1 by 1 matrixS2 = lmivar(1, [1 0]);% Type of 2, size 1 by 2M = lmivar(2, [1 2]);% Q, S1, S2 > 0lmiterm([-2 1 1 Q], 1, 1);lmiterm([-3 1 1 S1], 1, 1);lmiterm([-4 1 1 S2], 1, 1);% pos in (1, 1)lmiterm([1 1 1 Q], -1, 1);lmiterm([1 1 1 S2], Bd, Bd');lmiterm([1 1 1 S1], Ad, Ad');% pos (1, 2)lmiterm([1 1 2 Q], A, 1);lmiterm([1 1 2 M], B2, 1);% pos(1, 3)lmiterm([1 1 3 0], B1);% pos(1, 4)lmiterm([1 1 4 S2], Bd, Dd');lmiterm([1 1 4 S1], Ad, Cd');% pos(2, 2)lmiterm([1 2 2 Q], -1, 1);% pos(2, 4)lmiterm([1 2 4 Q], 1, C');lmiterm([1 2 4 -M], 1, D12');% pos(2, 5)lmiterm([1 2 5 -M], 1, 1);% pos(2, 6)lmiterm([1 2 6 Q], 1, 1);% pos(3, 3)lmiterm([1 3 3 0], -(gammar^2));% pos(3, 4)lmiterm([1 3 4 0], D11');% pos(4, 4)lmiterm([1 4 4 0], -1);lmiterm([1 4 4 S1], Cd, Cd');lmiterm([1 4 4 S2], Dd, Dd');lmiterm([1 5 5 S2], -1, 1);lmiterm([1 6 6 S1], -1, 1);lmis = getlmis;[tmin, feas] = feasp(lmis)运行后，就调用dec2mat把决策变量转化为矩阵形式。