参数方程消参方法

参数方程的消参方法
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数。

（2）三角法：利用三角恒等式消去参数
（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

2、常见曲线的参数方程
（1）过定点),(00y x P 倾斜角为
α的直线的参数方程 ⎩
⎨⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数） （2）圆2
2
2
r y x =+参数方程⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x （θ为参数）
（3）圆2
2
2
00()()x x y y r -+-=参数方程为：⎩
⎨⎧+=+=θθ
sin cos 00r y y r x x （θ为参数）
（4）椭圆122
22=+b
y a x 参数方程
⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y 22
=参数方程⎩
⎨⎧==Pt y Pt x 222
（t 为参数）
7．已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为
3
4，直线l 和抛物线x y 22
=相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离。

（2）M 点的坐标。

（3）线段AB 的长AB 。

解：由34tan =α得：53cos ,54sin ==αα，所以直线的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=54532，代入x y 22=化简得：045625162=--t t ，4
25
,8152121-==+t t t t
（1）4
15221
=+=t t PM （2）⎪⎩
⎪⎨⎧
=⨯==⨯+=341554417415532y x 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛3,417M
（3）()8
65
542
1221=
-+=
t t t t AB
10 (1) 写出经过点)5,1(0M ，倾斜角是3/π的直线l 的参数方程；
(2) 利用这个参数方程，求这条直线l 与直线032=--y x 的交点到点M 0的距离。

(3) 求这条直线l 和圆162
2
=+y x 的两个交点到点M 0的距离的和与积。

解：(1)()为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=235211 (2)3610+
(3)把()为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=235211代入1622=+y x 化简得：()
0103512=+++t t ()3103642
122121+=-+=
-t t t t t t ，1021=t t
1. 设是椭圆上的一个动点，则的最大值是
，最小值是。

P x y x y 2312222+=+
分析一：注意到变量（x ，y ）的几何意义，故研究二元函数x+2y 的最值时，可转化为几何问题。

若
设x+2y=t ，则方程x+2y=t 表示一组直线（t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x ，y ）既满足2x 2+3y 2=12，又满足x+2y=t ，故点（x ，y ）是方程组的公共解。

依题意，可知直线与椭圆总有公共点。

从而转化为
研究消元后的一元二次方程的判别式。

231222022x y x y t x y t +=+=⎧⎨⎩+=≥∆ 解法一：
令，，还满足，故x y t y +=+=23122x y 2x 2
方程组有公共解，消去x y t
x y x +=+=⎧⎨⎩
223122
2
()
得的一元二次方程：y y t y t 118212022-⋅+-= ()
由解得：∆=-⨯⨯-≥-≤≤644112*********t t t ∴+-x y 22222的最大值为，最小值为
分析二：
由于研究二元函数x+2y 相对困难，因此有必要消元，但由x ，y 满足的方程2x 2+3y 2=12表出x 或y ，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y 转化为一元函数呢？
方法是利用椭圆的参数方程
代入中，即可转化为以x
y x y x y 2
2
641622+=⇔==⎧⎨⎩
+cos sin θθ θ为变量的一元函数。

解法二：
由椭圆的方程，可设，2x +3y =12x =622cos sin θθy =2 ()代入，得：x y x y ++=+⋅=+2262222cos sin sin θθθϕ ()其中，由于，所以的最小值为，最大值为tg x y x y ϕθϕ=
-≤+≤-≤+≤∴+-6
4
1122222
22222
sin ［注］以上两种解法都是通过引入新的变量来转化问题，解法一是通过引入t ，而把x+2y 几何
化为直线的纵截距的最值问题；解法二则是利用椭圆的参数方程，设出点P 的坐()标（，），代入中，转化为一元函数求其最值，这两种解法不妨都622cos sin θθθx y f +
称为“参数法”。

2. 求椭圆
x y P 2
2
94
110+=上一点与定点（，）之间距离的最小值 2. 解：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
()()()()
设，，则到定点（，）的距离为P P d 32103120565535165
22
2
2
cos sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ=
-+-=-+=-⎛
⎝ ⎫⎭⎪+
当时，取最小值
cos )θθ=
(3545
5
d 5．设直线 022:=-+y x l ，交椭圆14
9:2
2=+y x C 于A 、B 两点，在椭圆C 上找一点P ，使ABP ∆面积最大。

解：设椭圆的参数方程为()为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧==sin 2cos 3y x ，则()θθsin 2,cos 3P ，到直线022:=-+y x l 的
距离为：()5
2
sin 55
2
sin 4cos 3-+=
-+=ϕθθθd ，当()1sin -=+ϕθ，即2
3π
ϕθ=
+时，此时
⎪⎩
⎪⎨⎧
-
==-==58sin 259cos 3θθy x ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛58,59P
3.已知实数y x ,满足()()25212
2
=-+-y x ，求y x y x ++2,2
2的最值。

解：设圆的参数方程为()为参数θθθ
⎩
⎨
⎧+=+=sin 52cos 51y x
⑴()()()φθθθ++=+++=+sin 51030sin 52cos 512
2
2
2y x ，最大值与最小值分别是
51030,51030-+
⑵()ϕθθθ++=+++=+sin 154sin 52)cos 51(22y x ，最大值与最小值分别是19与-11。

11 求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆14
22
=+y x 所得的弦长。

解：直线的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=22
122
1代入1422
=+y x 化简得022652=++t t
()5
2
442
122121=-+=
-t t t t t t 8. 直线（为参数）被双曲线上截得的弦长为。

x t
y t
t x y =+=⎧⎨
⎩-=23122
分析与解：
方法之一可把直线的参数方程化为普通方程，与双曲线方程联立，消元，再结合韦达 ()()定理，利用弦长公式可求得弦长；若不把参数方程化为普通方
程，又怎样求弦长呢？注意到直线参数方程不是标准形式，故上述方程中的不具有显而易见的几何意义，因此有必要先将其化为标准形式：
AB k x x x x t y y t t =
+-=+=+⎧⎨⎩1212200cos sin α
α
为参数）
（ 23 212t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+= 1 23 21212
2
2
2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=-t t y x ，得：代入 06 4 2
=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t 6 4 2121-=⋅=+t t t t ，
()
()10240644 4 2
212
2121==--=-+=
-=t t t t t t AB 从而弦长为
17．已知点()1,2M 和双曲线12
22
=-y x ，求以()1,2M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程。

解：设所求的直线l 的方程为：()为参数θθ
θ⎩⎨⎧+=+=sin 1cos 2t y t x 代入1222
=-y x 化简得：
()025sin cos 4sin 21cos 222=+-+⎪⎭⎫
⎝⎛-θθθθt t ，0sin 2
1cos cos 4sin 2221=--=+∴θθθt t
4tan ==∴θk ，所求的直线l 的方程为：094=-+y x
12．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线方程是x y 21±
=．过点()4,0P -作斜率为1
4
的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2
PA PB PC ⋅=．求双曲线G 的方程；
解：由双曲线G 渐近线方程是x y 2
1
±
=，可设双曲线G 的方程为：224x y m -=． 把直线l 的参数方程方程)(171
1744为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=+-=代入双曲线方程，整理得
01617
32
17122=-+-m t t ，设B A ,对应的参数为21,t t ，()0161712417322>-⨯⨯-=∆m 得3
46
<
m 由韦达定理：()m t t -=1612
17
21，()16121721-=⋅=⋅∴m t t PB PA
令017
44=+
-t ，得17=t ，17=∴PC ，由2
PA PB PC ⋅=得
()171612
17
=-m ，28=m
所以，双曲线的方程为
22
1287
x y -=．
19．从椭圆14
92
2=+y x 上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x 轴上截距的乘积。

解 化方程为参数方程：⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 2cos 3y x （θ为参数）
设P 为椭圆上任一点，则P(3cosθ,2sinθ)。

于是，直线BP 的方程为：θ
θ
θθcos 3cos 3sin 22sin 2--=
--x y 直线AP 的方程为：
θ
θ
θθcos 3cos 3sin 22sin 2--=
---x y 令y=0代入AP ，BP,的方程，分别得它们在x 轴上的截距为θθsin 1cos 3-，θ
θ
sin 1cos 3+
故截距之积为：
9sin 1cos 3sin 1cos 3=-•-θ
θ
θθ。